Koren te enačbe je ulomek. Najenostavnejše racionalne enačbe

Reševanje enačb z ulomki poglejmo primere. Primeri so preprosti in ilustrativni. Z njihovo pomočjo lahko razumete na najbolj razumljiv način,.
Na primer, morate rešiti preprosto enačbo x/b + c = d.

Enačba te vrste se imenuje linearna, ker imenovalec vsebuje samo števila.

Rešitev se izvede tako, da obe strani enačbe pomnožimo z b, nato enačba dobi obliko x = b*(d – c), t.j. imenovalec ulomka na levi strani se zmanjša.

Na primer, kako rešiti frakcijska enačba:
x/5+4=9
Oba dela pomnožimo s 5. Dobimo:
x+20=45
x=45-20=25

Še en primer, kjer je neznanka v imenovalcu:

Takšne enačbe imenujemo ulomno racionalne ali preprosto frakcijske.

Ulomno enačbo bi rešili tako, da se znebimo ulomkov, nakar se ta enačba najpogosteje spremeni v linearno ali kvadratno enačbo, ki jo rešujemo na običajen način. Upoštevati morate le naslednje točke:

vrednost spremenljivke, ki spremeni imenovalec v 0, ne more biti koren;
enačbe ne morete deliti ali pomnožiti z izrazom =0.

Tu začne veljati koncept, kot je območje dovoljenih vrednosti (ODZ) - to so vrednosti korenin enačbe, za katere je enačba smiselna.

Tako je pri reševanju enačbe potrebno najti korenine in jih nato preveriti glede skladnosti z ODZ. Tiste korenine, ki ne ustrezajo našemu DHS, so izključene iz odgovora.

Na primer, morate rešiti ulomno enačbo:

Na podlagi zgornjega pravila x ne more biti = 0, tj. ODZ v tem primeru: x - katera koli vrednost, razen nič.

Imenovalca se znebimo tako, da vse člene enačbe pomnožimo z x

In reši običajno enačbo

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Odgovor: x = 1/3

Rešimo enačbo bolj zapleteno:

Tu je prisoten tudi ODZ: x -2.

Z reševanjem te enačbe ne bomo vsega prenesli v eno smer in ulomke pripeljali do skupnega imenovalca. Takoj pomnožimo obe strani enačbe z izrazom, ki bo zmanjšal vse imenovalce naenkrat.

Če želite zmanjšati imenovalce, morate levo stran pomnožiti z x + 2, desno stran pa z 2. Torej je treba obe strani enačbe pomnožiti z 2 (x + 2):

To je najpogostejše množenje ulomkov, o katerem smo že razpravljali zgoraj.

Zapišemo isto enačbo, vendar na nekoliko drugačen način.

Leva stran se zmanjša za (x + 2), desna pa za 2. Po redukciji dobimo običajno linearno enačbo:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, kar ustreza našemu ODZ

Odgovor: x = 2.

Reševanje enačb z ulomki ni tako težko, kot se morda zdi. V tem članku smo to pokazali s primeri. Če imate kakršne koli težave z kako rešiti enačbe z ulomki, nato se odjavite v komentarjih.

Predstavitev in lekcija na temo: "Racionalne enačbe. Algoritem in primeri za reševanje racionalnih enačb"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vse materiale preveri protivirusni program.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 8. razred
Priročnik za učbenik Makarychev Yu.N. Priročnik za učbenik Mordkovich A.G.

Uvod v iracionalne enačbe

Fantje, naučili smo se reševati kvadratne enačbe. Toda matematika ni omejena nanje. Danes se bomo naučili reševati racionalne enačbe. koncept racionalne enačbe zelo podoben konceptu racionalna števila. Samo poleg številk smo zdaj uvedli še nekaj spremenljivk $x$. In tako dobimo izraz, v katerem so operacije seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in dvigovanja na celo število.

Naj bo $r(x)$ racionalno izražanje . Tak izraz je lahko preprost polinom v spremenljivki $x$ ali razmerje polinomov (uvedena je operacija deljenja, kot za racionalna števila).
Pokliče se enačba $r(x)=0$ racionalna enačba.
Vsaka enačba v obliki $p(x)=q(x)$, kjer sta $p(x)$ in $q(x)$ racionalna izraza, bo prav tako racionalna enačba.

Razmislite o primerih reševanja racionalnih enačb.

Primer 1
Reši enačbo: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Rešitev.
Prestavimo vse izraze na levo stran: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Če bi bila na levi strani enačbe predstavljena navadna števila, bi dva ulomka pripeljali do skupnega imenovalca.
Naredimo to: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo enačbo: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Ulomek je enak nič, če in samo če je števec ulomka nič, imenovalec pa je drugačen od nič. Nato ločeno enačite števec na nič in poiščite korene števca.
$3(x^2+2x-3)=0$ ali $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Zdaj pa preverimo imenovalec ulomka: $(x-3)*x≠0$.
Zmnožek dveh števil je enak nič, če je vsaj eno od teh števil enako nič. Potem: $x≠0$ ali $x-3≠0$.
$x≠0$ ali $x≠3$.
Korenine, pridobljene v števcu in imenovalcu, se ne ujemata. Tako kot odgovor zapišemo oba korena števca.
Odgovor: $x=1$ ali $x=-3$.

Če je nenadoma eden od korenov števca sovpadal s korenom imenovalca, ga je treba izključiti. Takšne korenine se imenujejo tuje!

Algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Vse izraze, ki jih vsebuje enačba, je treba prenesti na leva stran iz znaka enakosti.
2. Pretvorite ta del enačbe v algebraični ulomek: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Dobljeni števec izenačimo z nič, torej rešimo enačbo $p(x)=0$.
4. imenovalec enači z nič in reši dobljeno enačbo. Če so korenine imenovalca sovpadale s koreninami števca, jih je treba izključiti iz odgovora.

Primer 2
Reši enačbo: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Rešitev.
Rešili bomo po točkah algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Števec izenači z nič: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izenačite imenovalec z nič:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ in $x=-1$.
Eden od korenov $x=1$ je sovpadal s korenom števca, potem ga v odgovor ne zapišemo.
Odgovor: $x=-1$.

Racionalne enačbe je priročno reševati z uporabo metode spremembe spremenljivk. Pokažimo.

Primer 3
Reši enačbo: $x^4+12x^2-64=0$.

Rešitev.
Uvedemo zamenjavo: $t=x^2$.
Potem bo naša enačba dobila obliko:
$t^2+12t-64=0$ je navadna kvadratna enačba.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 $.
Uvedemo inverzno zamenjavo: $x^2=4$ ali $x^2=-16$.
Korenine prve enačbe so par številk $x=±2$. Drugi nima korenin.
Odgovor: $x=±2$.

Primer 4
Reši enačbo: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Rešitev.
Predstavimo novo spremenljivko: $t=x^2+x+1$.
Nato bo enačba dobila obliko: $t=\frac(15)(t+2)$.
Nato bomo ravnali po algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 $.
4. $t≠-2$ - koreni se ne ujemajo.
Uvedemo povratno zamenjavo.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Vsako enačbo rešimo posebej:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korenine.
In druga enačba: $x^2+x-2=0$.
Zakoreninjeno dano enačbo bosta številki $x=-2$ in $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ in $x=1$.

Primer 5
Reši enačbo: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Rešitev.
Uvedemo zamenjavo: $t=x+\frac(1)(x)$.
Nato:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ali $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo enačbo: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korenine te enačbe so par:
$t=-3$ in $t=2$.
Uvedemo povratno zamenjavo:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odločili se bomo posebej.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rešimo drugo enačbo:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koren te enačbe je število $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Naloge za samostojno reševanje

Reši enačbe:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Enačbo smo uvedli zgoraj v § 7. Najprej se spomnimo, kaj je racionalni izraz. ta - algebraični izraz, sestavljen iz številk in spremenljivke x z uporabo operacij seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in stopnjevanja z naravnim eksponentom.

Če je r(x) racionalen izraz, potem se enačba r(x) = 0 imenuje racionalna enačba.

Vendar je v praksi bolj priročno uporabiti nekoliko več široka razlaga izraz "racionalna enačba": to je enačba v obliki h(x) = q(x), kjer sta h(x) in q(x) racionalna izraza.

Do sedaj nismo mogli rešiti nobene racionalne enačbe, ampak samo eno, ki je bila zaradi različnih transformacij in sklepanja reducirana na linearna enačba. Zdaj so naše možnosti veliko večje: lahko bomo rešili racionalno enačbo, ki se ne reducira le na linearno
mu, ampak tudi na kvadratno enačbo.

Spomnite se, kako smo prej reševali racionalne enačbe in poskusite oblikovati algoritem rešitve.

Primer 1 reši enačbo

Rešitev. Enačbo prepišemo v obrazec

V tem primeru kot običajno uporabljamo dejstvo, da enakosti A = B in A - B = 0 izražata enako razmerje med A in B. To nam je omogočilo, da izraz prenesemo na levo stran enačbe z nasprotno znamenje.

Izvedemo transformacije leve strani enačbe. Imamo

Spomnimo se pogojev enakosti frakcije nič: če in samo če sta dve relaciji izpolnjeni hkrati:

1) števec ulomka je nič (a = 0); 2) imenovalec ulomka je drugačen od nič).
Če izenačimo na nič števec ulomka na levi strani enačbe (1), dobimo

Preostalo je še preveriti izpolnjevanje drugega zgoraj omenjenega pogoja. Razmerje za enačbo (1) pomeni, da . Vrednosti x 1 = 2 in x 2 = 0,6 ustrezata navedenim razmerjem in zato služita kot korenine enačbe (1), hkrati pa tudi korenine dane enačbe.

1) Enačbo pretvorimo v obliko

2) Izvedemo transformacije leve strani te enačbe:

(hkrati spremenili znake v števcu in
ulomki).
V to smer, dano enačbo prevzame obliko

3) Reši enačbo x 2 - 6x + 8 = 0. Poišči

4) Za najdene vrednosti preverite pogoj . Število 4 izpolnjuje ta pogoj, število 2 pa ne. Torej je 4 koren dane enačbe, 2 pa je tuj koren.
Odgovor: 4.

2. Rešitev racionalnih enačb z uvedbo nove spremenljivke

Način uvedbe nove spremenljivke vam je znan, že večkrat smo ga uporabili. Pokažimo s primeri, kako se uporablja pri reševanju racionalnih enačb.

Primer 3 Reši enačbo x 4 + x 2 - 20 = 0.

Rešitev. Uvajamo novo spremenljivko y \u003d x 2. Ker je x 4 = (x 2) 2 = y 2, lahko dano enačbo prepišemo v obliki

y 2 + y - 20 = 0.

To je kvadratna enačba, katere korenine bomo našli s pomočjo znanega formule; dobimo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Toda y \u003d x 2, kar pomeni, da je bila težava zmanjšana na reševanje dveh enačb:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Iz prve enačbe ugotovimo, da druga enačba nima korenin.
Odgovor: .
Enačba v obliki ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 se imenuje bikvadratna enačba ("bi" - dva, t.j. tako rekoč enačba "dva kvadratna"). Pravkar rešena enačba je bila natančno bikvadratna. Vsaka bikvadratna enačba se reši na enak način kot enačba iz primera 3: uvede se nova spremenljivka y = x 2, nastala kvadratna enačba se reši glede na spremenljivko y in se nato vrne k spremenljivki x.

Primer 4 reši enačbo

Rešitev. Upoštevajte, da se isti izraz x 2 + 3x tukaj pojavi dvakrat. Zato je smiselno uvesti novo spremenljivko y = x 2 + Zx. To nam bo omogočilo, da prepišemo enačbo v enostavnejši in prijetnejši obliki (kar je pravzaprav namen uvedbe novega spremenljivka- in snemanje je lažje
in struktura enačbe postane bolj jasna):

In zdaj bomo uporabili algoritem za reševanje racionalne enačbe.

1) Prestavimo vse člene enačbe v en del:

= 0
2) Pretvorimo levo stran enačbe

Torej, dano enačbo smo preoblikovali v obliko

3) Iz enačbe - 7y 2 + 29y -4 = 0 najdemo (rešili smo že kar nekaj kvadratnih enačb, zato verjetno ni vredno vedno navajati podrobnih izračunov v učbeniku).

4) Preverimo najdene korenine s pogojem 5 (y - 3) (y + 1). Obe korenini izpolnjujeta ta pogoj.
Torej je kvadratna enačba za novo spremenljivko y rešena:
Ker y = x 2 + Zx in y, kot smo ugotovili, ima dve vrednosti: 4 in, - moramo še rešiti dve enačbi: x 2 + Zx = 4; x 2 + Zx \u003d. Korenini prve enačbe sta številki 1 in -4, korenine druge enačbe so številke

V obravnavanih primerih je bil način uvedbe nove spremenljivke, kot radi rečejo matematiki, ustrezen situaciji, torej ji je dobro ustrezal. zakaj? Da, ker je bil isti izraz v zapisu enačb večkrat očitno naletel in je bilo smiselno ta izraz označiti z novo črko. A temu ni vedno tako, včasih se nova spremenljivka »pojavi« šele v procesu transformacij. Točno to se bo zgodilo v naslednjem primeru.

Primer 5 reši enačbo
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Rešitev. Imamo
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Tako dano enačbo lahko prepišemo kot

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Zdaj se je "pojavila" nova spremenljivka: y = x 2 - Zx.

Z njeno pomočjo lahko enačbo prepišemo v obliki y (y + 2) \u003d 24 in nato y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Korenini te enačbe sta številki 4 in -6.

Če se vrnemo k izvirni spremenljivki x, dobimo dve enačbi x 2 - Zx \u003d 4 in x 2 - Zx \u003d - 6. Iz prve enačbe najdemo x 1 = 4, x 2 \u003d - 1; druga enačba nima korenin.

Odgovor: 4, - 1.

Vsebina lekcije povzetek lekcije podpora okvir predstavitev lekcije pospeševalne metode interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samoizpit delavnice, treningi, primeri, naloge domača naloga razprava vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetke in večpredstavnost fotografije, slike grafike, tabele, sheme humor, anekdote, šale, stripovske prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki povzetkičlanki čipi za radovedne jaslice učbeniki osnovni in dodatni slovarček pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodabljanje fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti v lekciji zamenjava zastarelo znanje z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za eno leto smernice razpravni programi Integrirane lekcije

Spoznajmo se z racionalnimi in frakcijskimi racionalnimi enačbami, damo njihovo definicijo, navedemo primere in analiziramo najpogostejše vrste problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalna enačba: definicija in primeri

Spoznavanje racionalnih izrazov se začne v 8. razredu šole. V tem času se pri pouku algebre učenci vse pogosteje začenjajo srečevati z nalogami z enačbami, ki v svojih zapiskih vsebujejo racionalne izraze. Osvežimo si spomin, kaj je.

Opredelitev 1

racionalna enačba je enačba, v kateri obe strani vsebujeta racionalne izraze.

V različnih priročnikih lahko najdete drugo besedilo.

Opredelitev 2

racionalna enačba- to je enačba, katere zapis leve strani vsebuje racionalni izraz, desna pa nič.

Definicije, ki smo jih dali za racionalne enačbe, so enakovredne, saj pomenijo isto stvar. Pravilnost naših besed potrjuje dejstvo, da za vse racionalne izraze P in Q enačb P=Q in P − Q = 0 bodo enakovredni izrazi.

Zdaj pa se obrnimo na primere.

Primer 1

Racionalne enačbe:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionalne enačbe, tako kot enačbe drugih vrst, lahko vsebujejo poljubno število spremenljivk od 1 do več. Za začetek bomo razmislili preprosti primeri, v katerem bodo enačbe vsebovale samo eno spremenljivko. In potem začnemo postopoma zapletati nalogo.

Racionalne enačbe so razdeljene v dve veliki skupini: cele in ulomne. Poglejmo, katere enačbe bodo veljale za vsako od skupin.

Opredelitev 3

Racionalna enačba bo celo število, če zapis njenega levega in desnega dela vsebuje celotne racionalne izraze.

Opredelitev 4

Racionalna enačba bo ulomka, če en ali oba njena dela vsebujeta ulomek.

Ulomno racionalne enačbe nujno vsebujejo deljenje s spremenljivko ali pa je spremenljivka prisotna v imenovalcu. Pri pisanju celoštevilskih enačb takšne delitve ni.

Primer 2

3 x + 2 = 0 in (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 so cele racionalne enačbe. Tu sta oba dela enačbe predstavljena s celimi izrazi.

1 x - 1 = x 3 in x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 so ulomno racionalne enačbe.

Celotne racionalne enačbe vključujejo linearne in kvadratne enačbe.

Reševanje celotnih enačb

Rešitev takšnih enačb se običajno reducira na njihovo preoblikovanje v enakovredne algebraične enačbe. To je mogoče doseči z izvajanjem enakovrednih transformacij enačb v skladu z naslednjim algoritmom:

najprej dobimo nič na desni strani enačbe, za to je treba izraz, ki je na desni strani enačbe, prenesti na njeno levo stran in spremeniti predznak;
nato pa izraz na levi strani enačbe pretvorimo v polinom standardni pogled.

Dobiti moramo algebraično enačbo. Ta enačba bo enaka izvirni enačbi. Preprosti primeri nam omogočajo, da rešimo problem tako, da celotno enačbo reduciramo na linearno ali kvadratno. V splošnem primeru rešimo algebraično enačbo stopenj n.

Primer 3

Treba je najti korenine celotne enačbe 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Rešitev

Pretvorimo izvirni izraz, da dobimo algebraično enačbo, ki mu je enakovredna. Da bi to naredili, bomo prenesli izraz iz desne strani enačbe na levo stran in spremenili predznak v nasprotno. Kot rezultat dobimo: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sedaj bomo pretvorili izraz, ki je na levi strani, v polinom standardne oblike in izvedeli potrebna dejanja s tem polinomom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Rešitev izvirne enačbe nam je uspelo reducirati na rešitev kvadratna enačba prijazen x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanta te enačbe je pozitivna: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . To pomeni, da bosta dve pravi korenini. Najdemo jih s formulo korenin kvadratne enačbe:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 ali x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 ali x 2 = - 1

Preverimo pravilnost korenin enačbe, ki smo jo našli pri reševanju. Za to število, ki smo ga prejeli, nadomestimo v prvotno enačbo: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 in 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. V prvem primeru 63 = 63 , v drugem 0 = 0 . Korenine x=6 in x = − 1 so dejansko korenine enačbe, podane v primeru pogoja.

odgovor: 6 , − 1 .

Poglejmo, kaj pomeni "moč celotne enačbe". Na ta izraz bomo pogosto naleteli v tistih primerih, ko moramo celotno enačbo predstaviti v obliki algebraične. Opredelimo pojem.

Definicija 5

Stopnja celoštevilske enačbe je diploma algebraična enačba, kar je enakovredno izvirni celotni enačbi.

Če pogledate enačbe iz zgornjega primera, lahko ugotovite: stopnja te celotne enačbe je druga.

Če bi bil naš tečaj omejen na reševanje enačb druge stopnje, bi lahko obravnavanje teme zaključili tukaj. A vse ni tako preprosto. Reševanje enačb tretje stopnje je polno težav. In za enačbe nad četrto stopnjo sploh ne obstaja splošne formule korenine. V zvezi s tem reševanje celotnih enačb tretje, četrte in drugih stopenj od nas zahteva uporabo številnih drugih tehnik in metod.

Najpogosteje uporabljen pristop k reševanju celotnih racionalnih enačb temelji na metodi faktorizacije. Algoritem dejanj v tem primeru je naslednji:

izraz prenesemo z desne na levo stran, tako da ostane nič na desni strani zapisa;
izraz na levi strani predstavimo kot produkt faktorjev, nato pa preidemo na niz več enostavnejših enačb.

Primer 4

Poiščite rešitev enačbe (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Rešitev

Prenesemo izraz z desne strani zapisa na levo stran z nasprotnim predznakom: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Pretvorba leve strani v polinom standardne oblike je nepraktična zaradi dejstva, da nam bo to dalo algebraično enačbo četrte stopnje: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Enostavnost transformacije ne opravičuje vseh težav pri reševanju takšne enačbe.

Veliko lažje je iti po drugi poti: odstranimo skupni faktor x 2 − 10 x + 13 . Tako pridemo do enačbe oblike (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sedaj dobljeno enačbo nadomestimo z nizom dveh kvadratnih enačb x 2 − 10 x + 13 = 0 in x 2 − 2 x − 1 = 0 in poiščite njihove korenine skozi diskriminanto: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

odgovor: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Podobno lahko uporabimo metodo uvedbe nove spremenljivke. Ta metoda nam omogoča, da preidemo na enakovredne enačbe z manjšimi močmi od tistih v izvirni celotni enačbi.

Primer 5

Ali ima enačba korenine? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Rešitev

Če zdaj poskušamo celotno racionalno enačbo reducirati na algebraično, bomo dobili enačbo stopnje 4, ki nima racionalnih korenin. Zato bomo lažje šli v drugo smer: uvedli novo spremenljivko y, ki bo nadomestila izraz v enačbi x 2 + 3 x.

Zdaj bomo delali s celotno enačbo (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Desno stran enačbe prenesemo na levo stran z nasprotnim predznakom in izvedemo potrebne transformacije. Dobimo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Poiščimo korenine kvadratne enačbe: y = − 1 in y = − 3.

Zdaj pa naredimo obratno zamenjavo. Dobimo dve enačbi x 2 + 3 x = − 1 in x 2 + 3 x = - 3 . Prepišimo jih kot x 2 + 3 x + 1 = 0 in x 2 + 3 x + 3 = 0. Uporabimo formulo korenin kvadratne enačbe, da poiščemo korene prve pridobljene enačbe: - 3 ± 5 2 . Diskriminanta druge enačbe je negativna. To pomeni, da druga enačba nima pravih korenin.

odgovor:- 3 ± 5 2

Celoštevilske enačbe visokih stopenj se v težavah pogosto srečujejo. Ni se jih treba bati. Za njihovo reševanje morate biti pripravljeni uporabiti nestandardno metodo, vključno s številnimi umetnimi transformacijami.

Rešitev ulomno racionalnih enačb

Obravnavo te podteme začnemo z algoritmom za reševanje frakcijsko racionalnih enačb oblike p (x) q (x) = 0 , kjer je p(x) in q(x) so celoštevilski racionalni izrazi. Rešitev drugih ulomno racionalnih enačb je vedno mogoče reducirati na rešitev enačb navedene oblike.

Najpogosteje uporabljena metoda za reševanje enačb p (x) q (x) = 0 temelji na naslednji trditvi: številčni ulomek u v, kje v je število, ki je različno od nič, enako nič le v primerih, ko je števec ulomka enak nič. Po logiki zgornje trditve lahko trdimo, da je rešitev enačbe p (x) q (x) = 0 reducirana na izpolnjevanje dveh pogojev: p(x)=0 in q(x) ≠ 0. Na tem je zgrajen algoritem za reševanje frakcijskih racionalnih enačb oblike p (x) q (x) = 0:

najdemo rešitev celotne racionalne enačbe p(x)=0;
preverimo, ali je pogoj izpolnjen za korenine, ki jih najdemo med rešitvijo q(x) ≠ 0.

Če je ta pogoj izpolnjen, potem najdeni koren, če ne, potem koren ni rešitev problema.

Primer 6

Poiščite korenine enačbe 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Rešitev

Opravka imamo z ulomno racionalno enačbo oblike p (x) q (x) = 0 , v kateri je p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Začnimo reševati linearno enačbo 3 x - 2 = 0. Koren te enačbe bo x = 2 3.

Preverimo najdeni koren, ali izpolnjuje pogoj 5 x 2 - 2 ≠ 0. Če želite to narediti, v izraz nadomestite številsko vrednost. Dobimo: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Pogoj je izpolnjen. To pomeni, da x = 2 3 je koren prvotne enačbe.

odgovor: 2 3 .

Obstaja še ena možnost za reševanje ulomnih racionalnih enačb p (x) q (x) = 0 . Spomnimo se, da je ta enačba enakovredna celotni enačbi p(x)=0 na območju dopustnih vrednosti spremenljivke x prvotne enačbe. To nam omogoča, da pri reševanju enačb p(x) q(x) = 0 uporabimo naslednji algoritem:

reši enačbo p(x)=0;
poiščite obseg sprejemljivih vrednosti za spremenljivko x;
vzamemo korenine, ki ležijo v območju dopustnih vrednosti spremenljivke x kot želene korene prvotne ulomne racionalne enačbe.

Primer 7

Reši enačbo x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Rešitev

Najprej rešimo kvadratno enačbo x 2 − 2 x − 11 = 0. Za izračun njegovih korenin uporabimo korensko formulo za sodi drugi koeficient. Dobimo D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 in x = 1 ± 2 3 .

Zdaj lahko najdemo ODV za x za prvotno enačbo. To so vse številke za katere x 2 + 3 x ≠ 0. To je isto kot x (x + 3) ≠ 0, od koder je x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Zdaj pa preverimo, ali so koreni x = 1 ± 2 3, dobljeni na prvi stopnji rešitve, v območju sprejemljivih vrednosti spremenljivke x. Vidimo, kaj pride. To pomeni, da ima izvirna ulomna racionalna enačba dva korena x = 1 ± 2 3 .

odgovor: x = 1 ± 2 3

Opisana je druga metoda rešitve lažje kot prvi v primerih, ko je enostavno najti območje dopustnih vrednosti spremenljivke x in korenine enačbe p(x)=0 iracionalno. Na primer, 7 ± 4 26 9 . Korenine so lahko racionalne, vendar z velikim števcem ali imenovalcem. na primer 127 1101 in − 31 59 . To prihrani čas za preverjanje stanja. q(x) ≠ 0: veliko lažje je izločiti korenine, ki se ne prilegajo, pravi ODZ.

Ko so korenine enačbe p(x)=0 so cela števila, je bolj smotrno uporabiti prvi od opisanih algoritmov za reševanje enačb oblike p (x) q (x) = 0 . Hitrejše iskanje korenin celotne enačbe p(x)=0, nato pa preverite, ali je pogoj zanje izpolnjen q(x) ≠ 0, in ne poiščite ODZ, nato pa rešite enačbo p(x)=0 na tem ODZ. To je posledica dejstva, da je v takih primerih običajno lažje opraviti pregled kot najti ODZ.

Primer 8

Poiščite korenine enačbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Rešitev

Začnemo z upoštevanjem celotne enačbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 in iskanje njenih korenin. Za to uporabimo metodo reševanja enačb s faktorizacijo. Izkazalo se je, da je prvotna enačba enakovredna nizu štirih enačb 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, od katerih so tri linearne in ena je kvadratna. Najdemo korenine: iz prve enačbe x = 1 2, od drugega x=6, od tretjega - x \u003d 7, x \u003d - 2, od četrtega - x = − 1.

Preverimo pridobljene korenine. ODZ v tem primeru težko določimo, saj bomo za to morali rešiti algebraično enačbo pete stopnje. Lažje bomo preverili pogoj, po katerem imenovalec ulomka, ki je na levi strani enačbe, ne sme izginiti.

Namesto spremenljivke x v izrazu nadomestite korenine x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 in izračunaj njegovo vrednost:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Opravljeno preverjanje nam omogoča, da ugotovimo, da so korenine prvotne ulomne racionalne enačbe 1 2 , 6 in − 2 .

odgovor: 1 2 , 6 , - 2

Primer 9

Poiščite korene ulomne racionalne enačbe 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Rešitev

Začnimo z enačbo (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Poiščimo njegove korenine. To enačbo nam je lažje predstaviti kot kombinacijo kvadratnih in linearnih enačb 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 in x − 2 = 0.

Za iskanje korenin uporabimo formulo korenin kvadratne enačbe. Iz prve enačbe dobimo dva korena x = 7 ± 69 10 in iz druge x=2.

Nadomestitev vrednosti korenin v prvotno enačbo za preverjanje pogojev bo za nas precej težavna. Lažje bo določiti LPV spremenljivke x. V tem primeru so DPV spremenljivke x vsa števila, razen tistih, za katere je pogoj izpolnjen x 2 + 5 x − 14 = 0. Dobimo: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Zdaj pa preverimo, ali najdene korenine spadajo v obseg sprejemljivih vrednosti za spremenljivko x.

Korenine x = 7 ± 69 10 - pripadajo, torej so korenine prvotne enačbe in x=2- ne sodi, zato je tuj koren.

odgovor: x = 7 ± 69 10 .

Ločeno preučimo primere, ko števec ulomne racionalne enačbe oblike p (x) q (x) = 0 vsebuje število. V takih primerih, če števec vsebuje število, ki ni nič, enačba ne bo imela korenin. Če je to število enako nič, bo koren enačbe poljubno število iz ODZ.

Primer 10

Rešite ulomno racionalno enačbo - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Rešitev

Ta enačba ne bo imela korenin, saj števec ulomka z leve strani enačbe vsebuje število, ki ni nič. To pomeni, da za nobene vrednosti x vrednost ulomka, podanega v pogoju problema, ne bo enaka nič.

odgovor: brez korenin.

Primer 11

Reši enačbo 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Rešitev

Ker je števec ulomka nič, bo rešitev enačbe katera koli vrednost x iz spremenljivke ODZ x.

Zdaj pa definirajmo ODZ. Vsebuje vse vrednosti x, za katere x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rešitve enačb x 4 + 5 x 3 = 0 so 0 in − 5 , saj je ta enačba enakovredna enačbi x 3 (x + 5) = 0, in je po drugi strani enakovreden nizu dveh enačb x 3 = 0 in x + 5 = 0 kjer so te korenine vidne. Prišli smo do zaključka, da je želeni razpon sprejemljivih vrednosti poljuben x, razen x=0 in x = -5.

Izkazalo se je, da ima ulomna racionalna enačba 0 x 4 + 5 x 3 = 0 neskončno število rešitev, ki so poljubna števila, razen nič in - 5.

odgovor: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Zdaj pa se pogovorimo o frakcijskih racionalnih enačbah poljubne oblike in metodah za njihovo reševanje. Lahko se zapišejo kot r(x) = s(x), kje r(x) in s(x) so racionalni izrazi in vsaj eden od njih je ulomek. Rešitev takšnih enačb se reducira na rešitev enačb oblike p (x) q (x) = 0 .

Že vemo, da lahko dobimo enakovredno enačbo tako, da izraz z desne strani enačbe prenesemo na levo stran z nasprotnim predznakom. To pomeni, da je enačba r(x) = s(x) je enakovredna enačbi r (x) − s (x) = 0. Prav tako smo že razpravljali o tem, kako pretvoriti racionalni izraz v racionalni ulomek. Zahvaljujoč temu lahko enostavno transformiramo enačbo r (x) − s (x) = 0 v svoj enak racionalni ulomek oblike p (x) q (x) .

Torej se premaknemo od prvotne frakcijske racionalne enačbe r(x) = s(x) na enačbo oblike p (x) q (x) = 0 , ki smo se jo že naučili reševati.

Treba je opozoriti, da pri prehodih iz r (x) − s (x) = 0 na p (x) q (x) = 0 in nato na p(x)=0 morda ne bomo upoštevali razširitve obsega veljavnih vrednosti spremenljivke x.

Povsem realno je, da izvirna enačba r(x) = s(x) in enačbo p(x)=0 zaradi transformacij ne bodo več enakovredni. Nato rešitev enačbe p(x)=0 nam lahko da korenine, ki jim bodo tuje r(x) = s(x). V zvezi s tem je treba v vsakem primeru opraviti preverjanje s katero koli od zgoraj opisanih metod.

Da bi vam olajšali preučevanje teme, smo vse informacije posplošili v algoritem za reševanje ulomne racionalne enačbe v obliki r(x) = s(x):

prenesemo izraz z desne strani z nasprotnim predznakom in na desni dobimo nič;
prvotni izraz pretvorimo v racionalni ulomek p (x) q (x) z zaporednim izvajanjem dejanj z ulomki in polinomi;
reši enačbo p(x)=0;
tuje korenine razkrijemo s preverjanjem njihove pripadnosti ODZ ali z zamenjavo v prvotno enačbo.

Vizualno bo veriga dejanj izgledala takole:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → osip r o n d e r o o n s

Primer 12

Rešite ulomno racionalno enačbo x x + 1 = 1 x + 1 .

Rešitev

Pojdimo na enačbo x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Pretvorimo frakcijski racionalni izraz na levi strani enačbe v obliko p (x) q (x) .

Če želite to narediti, moramo racionalne ulomke zmanjšati na skupni imenovalec in poenostaviti izraz:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Da bi našli korenine enačbe - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moramo rešiti enačbo − 2 x − 1 = 0. Dobimo en koren x = - 1 2.

Ostaja nam, da izvedemo preverjanje s katero koli od metod. Upoštevajmo oba.

Dobljeno vrednost nadomestite v izvirno enačbo. Dobimo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Prišli smo do pravilne številčne enakosti − 1 = − 1 . To pomeni, da x = − 1 2 je koren prvotne enačbe.

Zdaj bomo preverili preko ODZ. Določimo območje sprejemljivih vrednosti za spremenljivko x. To bo celotna množica števil, razen − 1 in 0 (ko je x = − 1 in x = 0, imenovalci ulomkov izginejo). Korenina, ki smo jo dobili x = − 1 2 pripada ODZ. To pomeni, da je koren prvotne enačbe.

odgovor: − 1 2 .

Primer 13

Poiščite korenine enačbe x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Rešitev

Imamo opravka z ulomno racionalno enačbo. Zato bomo ravnali po algoritmu.

Prestavimo izraz z desne na levo stran z nasprotnim predznakom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Izvedemo potrebne transformacije: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Pridemo do enačbe x=0. Koren te enačbe je nič.

Preverimo, ali je ta koren tuj za prvotno enačbo. Zamenjajte vrednost v prvotni enačbi: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kot lahko vidite, nastala enačba nima smisla. To pomeni, da je 0 tuj koren in izvirna ulomna racionalna enačba nima korenin.

odgovor: brez korenin.

Če v algoritem nismo vključili drugih enakovrednih transformacij, to sploh ne pomeni, da jih ni mogoče uporabiti. Algoritem je univerzalen, vendar je zasnovan tako, da pomaga, ne omeji.

Primer 14

Reši enačbo 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Rešitev

Najlažje je rešiti dano frakcijsko racionalno enačbo po algoritmu. Ampak obstaja še en način. Razmislimo o tem.

Od desnega in levega dela odštejemo 7, dobimo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Iz tega lahko sklepamo, da mora biti izraz v imenovalcu leve strani enak številu, ki je recipročno število z desne strani, to je 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Od obeh delov odštejemo 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Po analogiji 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, od koder 1 5 - x 2 = 1 3, in dalje 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x \u003d ± 2

Preverimo, da ugotovimo, ali so najdene korenine korenine prvotne enačbe.

odgovor: x = ± 2

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

V tem članku vam bom pokazal algoritmi za reševanje sedmih vrst racionalnih enačb, ki se s spremembo spremenljivk zmanjšajo na kvadratne. V večini primerov so transformacije, ki vodijo do zamenjave, zelo nepomembne in o njih je težko uganiti sami.

Za vsako vrsto enačbe bom razložil, kako spremeniti spremenljivko v njej, nato pa bom pokazal podrobno rešitev v ustrezni video vadnici.

Imate možnost, da sami nadaljujete z reševanjem enačb, nato pa svojo rešitev preverite z video vadnico.

Torej, začnimo.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Upoštevajte, da je zmnožek štirih oklepajev na levi strani enačbe, število pa na desni strani.

1. Oklepaje združimo po dva, tako da je vsota prostih členov enaka.

2. Pomnožite jih.

3. Uvedemo spremembo spremenljivke.

V naši enačbi združimo prvi oklepaj s tretjim, drugega pa s četrtim, saj (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Na tej točki postane sprememba spremenljivke očitna:

Dobimo enačbo

odgovor:

2 .

Enačba te vrste je podobna prejšnji z eno razliko: na desni strani enačbe je produkt števila za. In rešuje se na povsem drugačen način:

1. Oklepaje združimo po dva, tako da je produkt prostih členov enak.

2. Vsak par oklepajev pomnožimo.

3. Iz vsakega faktorja vzamemo x iz oklepaja.

4. Obe strani enačbe delite z .

5. Uvedemo spremembo spremenljivke.

V tej enačbi združimo prvi oklepaj s četrtim, drugega pa s tretjim, saj:

Upoštevajte, da sta v vsakem oklepaju koeficient pri in prosti člen enaka. Vzemimo množitelj iz vsakega oklepaja:

Ker x=0 ni koren prvotne enačbe, delimo obe strani enačbe z . Dobimo:

Dobimo enačbo:

odgovor:

3 .

Upoštevajte, da imenovalci obeh ulomkov vsebujejo kvadratni trinomi, katerega vodilni koeficient in prosti člen sta enaka. Kot v enačbi druge vrste, x vzamemo iz oklepaja. Dobimo:

Delite števec in imenovalec vsakega ulomka z x:

Zdaj lahko uvedemo spremembo spremenljivke:

Dobimo enačbo za spremenljivko t:

4 .

Upoštevajte, da so koeficienti enačbe simetrični glede na osrednjega. Takšna enačba se imenuje vračljivo .

Da ga rešim

1. Obe strani enačbe delimo s (To lahko storimo, ker x=0 ni koren enačbe.) Dobimo:

2. Razvrstite izraze na ta način:

3. V vsaki skupini izločimo skupni faktor:

4. Predstavimo zamenjavo:

5. Izrazimo izraz z t:

Od tod

Dobimo enačbo za t:

odgovor:

5. Homogene enačbe.

Enačbe, ki imajo strukturo homogene, lahko naletimo pri reševanju eksponentnih, logaritemskih in trigonometrične enačbe, zato ga je treba prepoznati.

Homogene enačbe imajo naslednjo strukturo:

V tej enakosti so A, B in C številke, isti izrazi pa sta označena s kvadratom in krogom. To pomeni, da je na levi strani homogene enačbe vsota monomov, ki imajo enako stopnjo (v tem primeru je stopnja monomov 2), prostega člena pa ni.

Za rešitev homogene enačbe delimo obe strani z

Pozor! Ko delite desno in levo stran enačbe z izrazom, ki vsebuje neznano, lahko izgubite korenine. Zato je treba preveriti, ali so koreni izraza, s katerim delimo oba dela enačbe, koreni izvirne enačbe.

Gremo po prvi poti. Dobimo enačbo:

Zdaj uvedemo zamenjavo spremenljivke:

Poenostavite izraz in dobite bikvadratno enačbo za t:

odgovor: oz

7 .

Ta enačba ima naslednjo strukturo:

Če ga želite rešiti, morate izbrati cel kvadrat na levi strani enačbe.

Če želite izbrati cel kvadrat, morate dodati ali odšteti dvojni produkt. Nato dobimo kvadrat vsote oziroma razlike. To je ključnega pomena za uspešno zamenjavo spremenljivke.

Začnimo z iskanjem dvojnega produkta. To bo ključ za zamenjavo spremenljivke. V naši enačbi je dvojni produkt