Persamaan irasional dan cara menyelesaikannya. Persamaan irasional

Menjawab:x = 3.

8 metode. Penerapan turunan dalam menyelesaikan persamaan irasional

Paling sering, ketika menyelesaikan persamaan menggunakan metode turunan, metode estimasi digunakan.

CONTOH 15:

Selesaikan persamaan: (1)

Solusi: Sejak https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, atau (2). Pertimbangkan fungsinya ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> sama sekali dan karenanya meningkat. Oleh karena itu, persamaan setara dengan persamaan yang memiliki akar yang merupakan akar dari persamaan asli.

Menjawab:

CONTOH 16:

Selesaikan persamaan irasional:

Domain definisi fungsi adalah segmen. Temukan yang terbesar dan nilai terkecil nilai-nilai fungsi ini pada interval . Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan dari fungsi f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Mari kita cari nilai fungsinya f(x) di ujung segmen dan di titik : Jadi, Tapi dan, oleh karena itu, kesetaraan hanya mungkin dalam kondisi https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Verifikasi menunjukkan bahwa angka 3 adalah akar dari persamaan ini.

Menjawab: x = 3.

9 metode. Fungsional

Dalam ujian, mereka terkadang menawarkan untuk memecahkan persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk , di mana adalah fungsi tertentu.

Misalnya, beberapa persamaan: 1) 2) . Memang, dalam kasus pertama , dalam kasus kedua . Oleh karena itu, selesaikan persamaan irasional dengan menggunakan pernyataan berikut: jika suatu fungsi meningkat secara ketat pada himpunan X dan untuk sembarang , maka persamaan, dll., adalah ekuivalen pada himpunan X .

Selesaikan persamaan irasional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> meningkat secara ketat di lokasi syuting R, dan https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > yang memiliki akar unik Oleh karena itu, persamaan ekivalen (1) juga memiliki akar unik

Menjawab: x = 3.

CONTOH 18:

Selesaikan persamaan irasional: (1)

Berdasarkan definisi akar kuadrat, kami memperoleh bahwa jika persamaan (1) memiliki akar, maka mereka termasuk dalam himpunan DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Pertimbangkan fungsi https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> secara ketat meningkat pada set ini untuk ..gif" width="100" apa pun tinggi ="41"> yang memiliki akar tunggal Oleh karena itu, dan setara dengan itu di set X persamaan (1) memiliki akar tunggal

Menjawab: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Solusi: Persamaan ini setara dengan sistem campuran

Jika persamaan tersebut memuat variabel di bawah tanda akar kuadrat, maka persamaan tersebut disebut irasional.
Perhatikan persamaan irasional

Persamaan ini, menurut definisi akar kuadrat, berarti bahwa 2x + 1 = 32. Faktanya, kita beralih dari persamaan irasional yang diberikan ke persamaan rasional 2x + 1 = 9 dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan irasional. Metode mengkuadratkan kedua sisi persamaan adalah metode utama untuk menyelesaikan persamaan irasional. Namun, ini bisa dimengerti: bagaimana lagi cara menghilangkan tanda akar kuadrat? Dari persamaan 2x + 1 = 9 kita temukan x = 4.
Ini adalah akar dari persamaan 2x + 1 = 9 dan persamaan irasional yang diberikan.
Metode kuadrat secara teknis sederhana, tetapi terkadang menimbulkan masalah. Perhatikan, misalnya, persamaan irasional

Dengan mengkuadratkan kedua ruas, diperoleh

Selanjutnya kita memiliki:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1.
Tetapi nilai x - 1, yang merupakan akar dari persamaan rasional 2x - 5 = 4x - 7, bukanlah akar dari persamaan irasional yang diberikan. Mengapa? Mengganti 1 sebagai ganti x dalam persamaan irasional yang diberikan, kita mendapatkan . Bagaimana kita bisa berbicara tentang pemenuhan kesetaraan numerik, jika bagian kiri dan kanannya mengandung ekspresi yang tidak masuk akal? Dalam kasus seperti itu, mereka mengatakan: x \u003d 1 adalah akar asing untuk persamaan irasional yang diberikan. Ternyata persamaan irasional yang diberikan tidak memiliki akar.
Selesaikan persamaan irasionalnya

-
Akar persamaan ini dapat ditemukan secara lisan, seperti yang kita lakukan di akhir paragraf sebelumnya: hasil kali mereka adalah - 38, dan jumlahnya adalah - 17; mudah ditebak bahwa ini adalah angka 2
dan - 19. Jadi, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
Mensubstitusi nilai 2 sebagai ganti x dalam persamaan irasional yang diberikan, kita mendapatkan

Ini tidak benar.
Mengganti nilai - 19 sebagai ganti x dalam persamaan irasional yang diberikan, kita dapatkan

Ini juga tidak benar.
Apa kesimpulannya? Kedua nilai yang ditemukan adalah akar asing. Dengan kata lain, persamaan irasional yang diberikan, seperti yang sebelumnya, tidak memiliki akar.
Akar asing bukanlah konsep baru untuk Anda, akar asing telah ditemukan saat menyelesaikan persamaan rasional, pemeriksaan membantu mendeteksinya. Untuk persamaan irasional, pemeriksaan adalah langkah wajib dalam menyelesaikan persamaan, yang akan membantu mendeteksi akar asing, jika ada, dan membuangnya (biasanya mereka mengatakan "singkirkan").

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua bagiannya; setelah memecahkan persamaan rasional yang dihasilkan, perlu untuk melakukan pemeriksaan, menghilangkan kemungkinan akar asing.

Menggunakan derivasi ini, mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1 selesaikan persamaannya

Keputusan. Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan (1):

Selanjutnya, berturut-turut kita memiliki

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Penyelidikan. Mengganti x \u003d 5 ke dalam persamaan (1), kita mendapatkan - persamaan yang benar. Mengganti x \u003d 4 ke dalam persamaan (1), kita mendapatkan - persamaan yang benar. Oleh karena itu, kedua nilai yang ditemukan adalah akar dari persamaan (1).
O n e t: 4; 5.

Contoh 2 selesaikan persamaannya
(kami menemukan persamaan ini di 22 dan kami "menunda" solusinya sampai waktu yang lebih baik.) dari persamaan irasional, kami memperoleh
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Lalu kita punya
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Penyelidikan. Substitusikan x = 80 ke dalam persamaan irasional yang diberikan, kita peroleh

Ini jelas persamaan yang salah, karena sisi kanannya berisi angka negatif, dan sisi kirinya berisi angka positif. Jadi x = 80 adalah akar asing untuk persamaan ini.

Substitusikan x = 12 ke dalam persamaan irasional yang diberikan, kita peroleh

yaitu . = 20, adalah persamaan yang benar. Oleh karena itu, x = 12 adalah akar dari persamaan ini.
Jawaban: 12.

Kami membagi kedua bagian dari istilah persamaan terakhir dengan istilah dengan 2:

Penyelidikan. Substitusikan nilai x = 14 ke persamaan (2), kita peroleh adalah persamaan yang salah, jadi x = 14 adalah akar asing.
Substitusikan nilai x = -1 ke dalam persamaan (2), kita peroleh
- kesetaraan sejati. Oleh karena itu, x = - 1 adalah akar dari persamaan (2).
A n t e t : - 1.

Contoh 4 selesaikan persamaannya

Keputusan. Tentu saja, Anda dapat menyelesaikan persamaan ini dengan cara yang sama seperti yang kita gunakan pada contoh sebelumnya: tulis ulang persamaan tersebut sebagai

Kuadratkan kedua sisi persamaan ini, selesaikan persamaan rasional yang dihasilkan dan periksa akar-akar yang ditemukan dengan mensubstitusinya ke dalam
persamaan irasional awal.

Tapi kami akan menggunakan cara yang lebih elegan: kami memperkenalkan variabel baru y = . Kemudian kita mendapatkan 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - persamaan kuadrat sehubungan dengan variabel y. Mari kita cari akar-akarnya: y 1 = 1, y 2 = -. Dengan demikian, tugas itu dikurangi menjadi menyelesaikan dua

Dari persamaan pertama kami menemukan x \u003d 1, persamaan kedua tidak memiliki akar (Anda ingat bahwa itu hanya membutuhkan nilai non-negatif).
Jawaban 1.
Kami menyimpulkan bagian ini dengan diskusi teoretis yang agak serius. Intinya adalah sebagai berikut. Anda telah memperoleh beberapa pengalaman dalam memecahkan berbagai persamaan: linier, kuadrat, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ketika memecahkan persamaan, berbagai transformasi dilakukan,
misalnya: anggota persamaan dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda; kedua sisi persamaan dikalikan atau dibagi dengan angka bukan nol yang sama; hilangkan penyebutnya, yaitu ganti persamaan = 0 dengan persamaan p (x) = 0; Kedua sisi persamaan dikuadratkan.

Tentu saja, Anda memperhatikan bahwa sebagai hasil dari beberapa transformasi, akar asing dapat muncul, dan karena itu Anda harus waspada: periksa semua akar yang ditemukan. Jadi sekarang kita akan mencoba untuk memahami semua ini dari sudut pandang teoretis.

Definisi. Dua persamaan f (x) = g (x) dan r (x) = s (x) disebut ekuivalen jika memiliki akar yang sama (atau, khususnya, jika kedua persamaan tidak memiliki akar).

Biasanya, ketika menyelesaikan suatu persamaan, mereka mencoba mengganti persamaan ini dengan persamaan yang lebih sederhana, tetapi setara dengannya. Perubahan seperti itu disebut transformasi ekuivalen persamaan.

Transformasi berikut merupakan transformasi ekivalen dari persamaan:

1. Pemindahan suku-suku persamaan dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda.
Misalnya, mengganti persamaan 2x + 5 = 7x - 8 dengan persamaan 2x - 7x = - 8 - 5 merupakan transformasi ekivalen dari persamaan tersebut. Ini berarti bahwa

persamaan 2x + 5 = 7x -8 dan 2x - 7x = -8 - 5 adalah setara.

2. Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama.
Misalnya, mengganti persamaan 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 dengan persamaan 5x 2 - Zx \u003d 20
(kedua bagian persamaan dikalikan suku demi suku dengan 10) merupakan transformasi persamaan yang setara.

Transformasi non-ekuivalen dari persamaan adalah transformasi berikut:

1. Pengecualian dari penyebut yang mengandung variabel.
Misalnya, mengganti persamaan dengan persamaan x 2 \u003d 4 adalah transformasi persamaan yang tidak setara. Faktanya adalah bahwa persamaan x 2 \u003d 4 memiliki dua akar: 2 dan - 2, dan persamaan yang diberikan nilai x = 2 tidak dapat dipenuhi (penyebutnya hilang). Dalam kasus seperti itu, kami mengatakan ini: x \u003d 2 adalah akar asing.

2. Kuadratkan kedua sisi persamaan.
Kami tidak akan memberikan contoh, karena ada cukup banyak di paragraf ini.
Jika dalam proses penyelesaian persamaan salah satu transformasi non-ekuivalen yang ditunjukkan digunakan, maka semua akar yang ditemukan harus diperiksa dengan substitusi ke dalam persamaan asli, karena di antara mereka mungkin ada akar asing.

Topik: “Persamaan bentuk irasional , .»

(Pengembangan metodologis.)

Konsep dasar

Persamaan irasional disebut persamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar (radikal) atau tanda pangkat menjadi pecahan.

Persamaan bentuk f(x)=g(x), di mana setidaknya salah satu ekspresi f(x) atau g(x) adalah irasional persamaan irasional.

Sifat dasar radikal:

• Semua radikal derajat genap adalah hitung, itu. jika ekspresi radikal negatif, maka radikal tidak masuk akal (tidak ada); jika ekspresi akar sama dengan nol, maka radikalnya juga nol; jika ekspresi radikal positif, maka nilai radikal ada dan positif.
• Semua radikal gelar ganjil didefinisikan untuk setiap nilai ekspresi radikal. Terlebih lagi, radikalnya negatif jika ekspresi radikalnya negatif; adalah nol jika ekspresi akar adalah nol; positif jika ekspresi yang ditundukkan positif.

Metode untuk memecahkan persamaan irasional

Memecahkan persamaan irasional - berarti menemukan semua nilai nyata dari variabel, ketika mensubstitusikannya ke persamaan asli, itu berubah menjadi persamaan numerik yang benar, atau untuk membuktikan bahwa nilai tersebut tidak ada. Persamaan irasional diselesaikan pada himpunan bilangan real R.

Rentang nilai persamaan yang valid terdiri dari nilai-nilai variabel yang semua ekspresi di bawah tanda radikal derajat genap adalah non-negatif.

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan irasional adalah:

a) metode menaikkan kedua bagian persamaan ke pangkat yang sama;

b) metode memasukkan variabel baru (metode substitusi);

c) metode buatan untuk memecahkan persamaan irasional.

Pada artikel ini, kita akan fokus pada pertimbangan persamaan bentuk yang didefinisikan di atas dan menyajikan 6 metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

1 metode. kubus.

Metode ini membutuhkan penggunaan rumus perkalian yang disingkat dan tidak mengandung "jebakan", mis. tidak mengarah pada munculnya akar asing.

Contoh 1 selesaikan persamaannya

Keputusan:

Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk dan kubus kedua sisinya. Kami memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan ini ,

Menjawab: x=2, x=11.

Contoh 2. Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk dan naikkan kedua sisinya menjadi kubus. Kami memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan ini

dan pertimbangkan persamaan yang dihasilkan sebagai persamaan kuadrat terhadap salah satu akarnya

oleh karena itu, diskriminannya adalah 0, dan persamaan tersebut dapat memiliki solusi x=-2.

Penyelidikan:

Menjawab: x=-2.

Komentar: Cek dapat dihilangkan jika persamaan kuadrat selesai.

2 metode. Kubus menggunakan rumus.

Kami akan melanjutkan persamaan pangkat tiga, tetapi pada saat yang sama kami akan menggunakan rumus yang dimodifikasi untuk perkalian yang disingkat.

Mari kita gunakan rumus:

(modifikasi kecil rumus yang diketahui), kemudian

Contoh3. selesaikan persamaannya .

Keputusan:

Mari kita kubus persamaan menggunakan rumus yang diberikan di atas.

Tapi ekspresinya harus sama dengan ruas kanan. Oleh karena itu kami memiliki:

.

Sekarang, ketika dipotong dadu, kita mendapatkan persamaan kuadrat yang biasa:

, dan dua akarnya

Kedua nilai, seperti yang ditunjukkan oleh tes, adalah benar.

Menjawab: x=2, x=-33.

Tetapi apakah semua transformasi di sini setara? Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari selesaikan satu persamaan lagi.

Contoh 4. Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Menaikkan, seperti sebelumnya, kedua bagian ke kekuatan ketiga, kami memiliki:

Dari mana (mengingat bahwa ekspresi dalam tanda kurung adalah ), kita mendapatkan:

Kita dapatkan, .Mari kita periksa dan pastikan x=0 adalah akar asing.

Menjawab: .

Mari kita jawab pertanyaan: "Mengapa akar asing muncul?"

Kesetaraan mengarah pada kesetaraan . Mengganti dari dengan -s, kita mendapatkan:

Sangat mudah untuk memeriksa identitas

Jadi, jika , maka , atau . Persamaan tersebut dapat direpresentasikan sebagai , .

Mengganti dari dengan -s, kita mendapatkan: jika , maka salah satu , atau

Oleh karena itu, ketika menggunakan metode solusi ini, sangat penting untuk memeriksa dan memastikan bahwa tidak ada akar asing.

3 metode. Metode sistem.

Contoh 5 selesaikan persamaannya .

Keputusan:

Biarlah, . Kemudian:

Bagaimana jelas bahwa

Persamaan kedua dari sistem diperoleh sedemikian rupa sehingga kombinasi linear dari ekspresi radikal tidak bergantung pada variabel aslinya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa sistem tidak memiliki solusi, dan oleh karena itu persamaan aslinya tidak memiliki solusi.

Menjawab: Tidak ada akar.

Contoh 6 selesaikan persamaannya .

Keputusan:

Kami memperkenalkan penggantian, menyusun, dan menyelesaikan sistem persamaan.

Biarlah, . Kemudian

Kembali ke variabel asli, kami memiliki:

Menjawab: x=0.

4 metode. Menggunakan fungsi monoton.

Sebelum menggunakan metode ini, mari kita beralih ke teori.

Kami akan membutuhkan properti berikut:

Contoh 7 selesaikan persamaannya .

Keputusan:

Ruas kiri persamaan adalah fungsi naik, dan ruas kanan adalah bilangan, mis. konstan, oleh karena itu, persamaan tidak memiliki lebih dari satu akar, yang kami pilih: x \u003d 9. Memeriksa untuk memastikan bahwa root cocok.

Persamaan disebut irasional jika mengandung kuantitas yang tidak diketahui di bawah tanda akar. Ini adalah, misalnya, persamaan

Dalam banyak kasus, dengan menerapkan satu kali atau berulang kali eksponensial dari kedua bagian persamaan, persamaan irasional dapat direduksi menjadi persamaan aljabar satu derajat atau lainnya (yang merupakan konsekuensi dari persamaan asli). Karena ketika menaikkan persamaan ke pangkat, solusi asing mungkin muncul, kemudian, setelah menyelesaikan persamaan aljabar yang telah kita kurangi persamaan irasional ini, kita harus memeriksa akar yang ditemukan dengan mensubstitusi ke persamaan asli dan hanya menyimpan yang memenuhinya, dan buang sisanya - asing.

Saat memecahkan persamaan irasional, kita membatasi diri kita hanya pada akar realnya; semua akar derajat genap dalam notasi persamaan dipahami dalam arti aritmatika.

Pertimbangkan beberapa contoh tipikal persamaan irasional.

A. Persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda akar kuadrat. Jika persamaan ini hanya mengandung satu Akar pangkat dua, di bawah tanda yang tidak diketahui, maka akar ini harus diisolasi, yaitu, ditempatkan di satu bagian persamaan, dan semua istilah lain harus dipindahkan ke bagian lain. Setelah mengkuadratkan kedua ruas persamaan, kita sudah bebas dari irasionalitas dan memperoleh persamaan aljabar untuk

Contoh 1. Selesaikan persamaan.

Keputusan. Kami mengisolasi akar di sisi kiri persamaan;

Kami kuadratkan persamaan yang dihasilkan:

Kami menemukan akar dari persamaan ini:

Verifikasi menunjukkan bahwa hanya memenuhi persamaan asli.

Jika persamaan mencakup dua atau lebih akar yang mengandung x, maka kuadrat harus diulang beberapa kali.

Contoh 2. Selesaikan persamaan berikut:

Solusi, a) Kami kuadratkan kedua sisi persamaan:

Kami memisahkan akarnya:

Persamaan yang dihasilkan dikuadratkan lagi:

Setelah transformasi, kami memperoleh persamaan kuadrat berikut untuk:

menyelesaikannya:

Dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan asli, kami memastikan bahwa ada akarnya, tetapi itu adalah akar asing untuknya.

b) Contoh dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti contoh a) diselesaikan. Namun, mengambil keuntungan dari fakta bahwa sisi kanan persamaan ini tidak mengandung kuantitas yang tidak diketahui, kami akan melanjutkan secara berbeda. Kami mengalikan persamaan dengan ekspresi konjugasi ke sisi kirinya; kita mendapatkan

Di sebelah kanan adalah produk dari jumlah dan selisihnya, yaitu selisih kuadrat. Dari sini

Di sisi kiri persamaan ini adalah jumlah dari akar kuadrat; di sisi kiri persamaan yang sekarang diperoleh adalah perbedaan dari akar yang sama. Mari kita tuliskan persamaan yang diberikan dan diterima:

Mengambil jumlah dari persamaan ini, kita mendapatkan

Kami kuadratkan persamaan terakhir dan, setelah penyederhanaan, kami mendapatkan

Dari sini kita menemukan. Dengan memeriksa kami yakin bahwa hanya angka yang berfungsi sebagai akar dari persamaan ini. Contoh 3. Selesaikan persamaan

Di sini, sudah di bawah tanda radikal, kami memiliki trinomial persegi.

Keputusan. Kami mengalikan persamaan dengan ekspresi terkonjugasi dengan sisi kirinya:

Kurangi persamaan terakhir dari yang diberikan:

Mari kita kuadratkan persamaan ini:

Dari persamaan terakhir kita temukan . Dengan memeriksa kami yakin bahwa hanya angka x \u003d 1 yang berfungsi sebagai akar persamaan ini.

B. Persamaan yang mengandung akar pangkat tiga. Sistem persamaan irasional. Kami membatasi diri pada contoh individu dari persamaan dan sistem tersebut.

Contoh 4. Selesaikan persamaan

Keputusan. Mari kita tunjukkan dua cara untuk menyelesaikan persamaan (70.1). Cara pertama. Mari kita kubus kedua sisi persamaan ini (lihat rumus (20.8)):

(di sini kita telah mengganti jumlah akar pangkat tiga nomor 4, menggunakan persamaan).

Jadi kita punya

yaitu, setelah penyederhanaan,

dimana Kedua akar memenuhi persamaan asli.

Cara kedua. Mari kita taruh

Persamaan (70.1) akan ditulis sebagai . Selain itu, jelas bahwa . Dari persamaan (70.1) kita telah melewati sistem

Membagi persamaan pertama dari istilah sistem dengan yang kedua, kita menemukan

Persamaan irasional adalah setiap persamaan yang memiliki fungsi di bawah tanda akar. Sebagai contoh:

Persamaan seperti itu selalu diselesaikan dalam 3 langkah:

1. Pisahkan akarnya. Dengan kata lain, jika ada bilangan atau fungsi lain di sebelah kiri tanda sama dengan selain akar, semua ini harus dipindahkan ke kanan dengan mengubah tanda. Pada saat yang sama, hanya radikal yang harus tetap berada di sebelah kiri - tanpa koefisien apa pun.
2. 2. Kita kuadratkan kedua sisi persamaan. Pada saat yang sama, ingatlah bahwa rentang akarnya adalah semua bilangan non-negatif. Oleh karena itu fungsi di sebelah kanan persamaan irasional juga harus non-negatif: g (x) 0.
3. Langkah ketiga mengikuti secara logis dari yang kedua: Anda perlu melakukan pemeriksaan. Faktanya adalah bahwa pada langkah kedua kita dapat memiliki akar tambahan. Dan untuk memotongnya, perlu untuk mengganti nomor kandidat yang dihasilkan ke dalam persamaan asli dan memeriksa: apakah persamaan numerik yang benar benar-benar diperoleh?

Memecahkan persamaan irasional

Mari kita berurusan dengan persamaan irasional kita yang diberikan di awal pelajaran. Di sini akarnya sudah terpencil: di sebelah kiri tanda sama dengan tidak ada apa-apa selain akarnya. Mari kita kuadratkan kedua sisinya:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Kami memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan melalui diskriminan:

D = b 2 4ac = (−4) 2 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Tetap hanya untuk mengganti angka-angka ini dalam persamaan asli, yaitu. melakukan pemeriksaan. Tetapi bahkan di sini Anda dapat melakukan hal yang benar untuk menyederhanakan keputusan akhir.

Bagaimana menyederhanakan keputusan

Mari kita berpikir: mengapa kita bahkan memeriksa di akhir penyelesaian persamaan irasional? Kami ingin memastikan bahwa ketika mengganti akar kami, akan ada bilangan non-negatif di sebelah kanan tanda sama dengan. Lagi pula, kita sudah tahu pasti bahwa itu adalah bilangan non-negatif di sebelah kiri, karena akar kuadrat aritmatika (karena persamaan kita disebut irasional) menurut definisi tidak boleh kurang dari nol.

Oleh karena itu, yang perlu kita periksa adalah bahwa fungsi g ( x ) = 5 x , yang di sebelah kanan tanda sama dengan, adalah non-negatif:

g(x) 0

Kami mengganti akar kami ke dalam fungsi ini dan mendapatkan:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Dari nilai yang diperoleh berikut bahwa akar x 1 = 6 tidak cocok untuk kita, karena ketika mensubstitusi ke ruas kanan persamaan asli, kita mendapatkan bilangan negatif. Tetapi root x 2 \u003d 2 cukup cocok untuk kita, karena:

1. Akar ini adalah solusi untuk persamaan kuadrat yang diperoleh dengan menaikkan kedua sisi persamaan irasional menjadi persegi.
2. Ruas kanan persamaan irasional awal, ketika akar x 2 = 2 disubstitusi, berubah menjadi bilangan positif, mis. jangkauan akar aritmatika tidak patah.

Itulah keseluruhan algoritma! Seperti yang Anda lihat, menyelesaikan persamaan dengan radikal tidak begitu sulit. Hal utama adalah jangan lupa untuk memeriksa root yang diterima, jika tidak, kemungkinan besar akan mendapatkan jawaban tambahan.