C 14 akar kuadrat aritmatika. Bagaimana menemukan akar kuadrat dari suatu angka secara manual

Matematika lahir ketika seseorang menjadi sadar akan dirinya dan mulai memposisikan dirinya sebagai unit otonom dunia. Keinginan untuk mengukur, membandingkan, menghitung apa yang mengelilingi Anda - inilah yang mendasari salah satu ilmu dasar zaman kita. Pada awalnya, ini adalah bagian dari matematika dasar, yang memungkinkan untuk mengaitkan angka dengan ekspresi fisiknya, kemudian kesimpulan mulai disajikan hanya secara teoritis (karena abstraksinya), tetapi setelah beberapa saat, seperti yang dikatakan oleh seorang ilmuwan, " matematika mencapai langit-langit kompleksitas ketika semua angka." Konsep " Akar pangkat dua"muncul pada saat itu dapat dengan mudah didukung dengan data empiris, melampaui bidang perhitungan.

Bagaimana semuanya dimulai

Penyebutan pertama dari akar, yang pada saat ini dilambangkan sebagai , tercatat dalam tulisan-tulisan matematikawan Babilonia, yang meletakkan dasar bagi aritmatika modern. Tentu saja, mereka terlihat sedikit seperti bentuk saat ini - para ilmuwan pada tahun-tahun itu pertama kali menggunakan tablet besar. Namun pada milenium kedua SM. e. mereka datang dengan rumus perhitungan perkiraan yang menunjukkan bagaimana mengambil akar kuadrat. Foto di bawah ini menunjukkan sebuah batu tempat para ilmuwan Babilonia mengukir proses keluaran 2, dan ternyata sangat benar sehingga perbedaan dalam jawaban hanya ditemukan di tempat desimal kesepuluh.

Selain itu, akar digunakan jika perlu untuk menemukan sisi segitiga, asalkan dua lainnya diketahui. Nah, saat menyelesaikan persamaan kuadrat, tidak ada jalan keluar untuk mengekstrak akarnya.

Seiring dengan karya Babilonia, subjek artikel juga dipelajari dalam karya Cina "Matematika dalam Sembilan Buku", dan orang Yunani kuno sampai pada kesimpulan bahwa angka apa pun yang akarnya tidak diekstraksi tanpa sisa memberikan hasil yang tidak rasional. .

Asal usul istilah ini dikaitkan dengan representasi angka dalam bahasa Arab: para ilmuwan kuno percaya bahwa kuadrat dari angka yang berubah-ubah tumbuh dari akarnya, seperti tanaman. Dalam bahasa Latin, kata ini terdengar seperti radix (seseorang dapat melacak pola - segala sesuatu yang memiliki beban semantik "akar" adalah konsonan, baik itu lobak atau linu panggul).

Para ilmuwan dari generasi berikutnya mengambil ide ini, menetapkannya sebagai Rx. Misalnya, pada abad ke-15, untuk menunjukkan bahwa akar kuadrat diambil dari bilangan arbitrer a, mereka menulis R 2 a. Biasa tampilan modern"centang" hanya muncul di abad ke-17 berkat Rene Descartes.

Hari hari kita

Secara matematis, akar kuadrat dari y adalah bilangan z yang kuadratnya adalah y. Dengan kata lain, z 2 =y setara dengan y=z. Namun, definisi ini hanya relevan untuk akar aritmatika, karena ini menyiratkan nilai ekspresi non-negatif. Dengan kata lain, y=z, di mana z lebih besar dari atau sama dengan 0.

Secara umum, yang valid untuk menentukan akar aljabar, nilai ekspresi dapat berupa positif atau negatif. Jadi, karena z 2 =y dan (-z) 2 =y, kita memiliki: y=±z atau y=|z|.

Karena fakta bahwa cinta matematika hanya meningkat dengan perkembangan ilmu pengetahuan, ada berbagai manifestasi keterikatan padanya, tidak diungkapkan dalam perhitungan kering. Misalnya, bersama dengan acara menarik seperti hari Pi, hari libur akar kuadrat juga dirayakan. Mereka dirayakan sembilan kali dalam seratus tahun, dan ditentukan menurut prinsip berikut: angka-angka yang menunjukkan hari dan bulan secara berurutan harus akar kuadrat dari tahun tersebut. Ya, masuk lain waktu Liburan ini akan dirayakan pada tanggal 4 April 2016.

Sifat-sifat akar kuadrat pada bidang R

Hampir semua ekspresi matematika memiliki basis geometris, nasib ini tidak berlalu dan y, yang didefinisikan sebagai sisi persegi dengan luas y.

Bagaimana cara menemukan akar suatu bilangan?

Ada beberapa algoritma perhitungan. Yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama cukup rumit, adalah perhitungan aritmatika biasa, yaitu sebagai berikut:

1) dari angka yang akarnya kita perlukan, angka ganjil dikurangi secara bergantian - hingga sisa keluaran lebih kecil dari yang dikurangi atau genap nol. Jumlah gerakan pada akhirnya akan menjadi jumlah yang diinginkan. Misalnya, menghitung akar kuadrat dari 25:

Mengikuti angka ganjil adalah 11, kami memiliki sisa berikut: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Untuk kasus seperti itu, ada ekspansi deret Taylor:

(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , di mana n mengambil nilai dari 0 hingga

+∞, dan |y|≤1.

Representasi grafis dari fungsi z=√y

Pertimbangkan fungsi dasar z=√y pada bidang bilangan real R, di mana y lebih besar dari atau sama dengan nol. Bagan nya terlihat seperti ini:

Kurva tumbuh dari titik asal dan tentu saja melintasi titik (1; 1).

Sifat-sifat fungsi z=√y pada bidang bilangan real R

1. Domain definisi dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga ditambah tak terhingga (nol disertakan).

2. Rentang nilai dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga plus tak terhingga (nol dimasukkan lagi).

3. Fungsi mengambil nilai minimum (0) hanya pada titik (0; 0). Tidak ada nilai maksimal.

4. Fungsi z=√y bukan genap maupun ganjil.

5. Fungsi z=√y tidak periodik.

6. Hanya ada satu titik potong grafik fungsi z=√y dengan sumbu koordinat: (0; 0).

7. Titik potong grafik fungsi z=√y juga merupakan nol dari fungsi ini.

8. Fungsi z=√y terus bertambah.

9. Fungsi z=√y hanya mengambil nilai positif, oleh karena itu, grafiknya menempati sudut koordinat pertama.

Opsi untuk menampilkan fungsi z=√y

Dalam matematika, untuk memudahkan penghitungan ekspresi kompleks, bentuk pangkat dari penulisan akar kuadrat kadang-kadang digunakan: y=y 1/2. Opsi ini cocok, misalnya, dalam menaikkan fungsi ke pangkat: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Metode ini juga merupakan representasi yang baik untuk diferensiasi dengan integrasi, karena berkat itu akar kuadrat diwakili oleh fungsi pangkat biasa.

Dan dalam pemrograman, pengganti simbol adalah kombinasi dari huruf sqrt.

Perlu dicatat bahwa di area ini akar kuadrat sangat diminati, karena ini adalah bagian dari sebagian besar rumus geometris yang diperlukan untuk perhitungan. Algoritma penghitungan itu sendiri cukup rumit dan didasarkan pada rekursi (fungsi yang memanggil dirinya sendiri).

Akar kuadrat di bidang kompleks C

Pada umumnya, subjek artikel ini yang mendorong penemuan bidang bilangan kompleks C, karena matematikawan dihantui oleh pertanyaan untuk memperoleh akar derajat genap dari bilangan negatif. Ini adalah bagaimana unit imajiner i muncul, yang dicirikan oleh properti yang sangat menarik: kuadratnya adalah -1. Berkat ini, persamaan kuadrat dan dengan diskriminan negatif mendapat solusi. Di C, untuk akar kuadrat, properti yang sama relevan seperti di R, satu-satunya batasan pada ekspresi root dihilangkan.

Pada artikel ini, kami akan memperkenalkan konsep akar bilangan. Kami akan bertindak secara berurutan: kami akan mulai dengan akar kuadrat, dari situ kami akan melanjutkan ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kita generalisasikan konsep akar dengan mendefinisikan akar derajat ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar suatu bilangan, dan akar kuadrat pada khususnya, seseorang harus memiliki . Pada titik ini, kita akan sering menjumpai pangkat dua dari suatu bilangan - kuadrat suatu bilangan.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari adalah bilangan yang kuadratnya a.

Untuk membawa contoh akar kuadrat , ambil beberapa angka, misalnya, 5 , 0.3 , 0.3 , 0 , dan kuadratkan, kita mendapatkan angka masing-masing 25 , 0.09 , 0.09 dan 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 dan 0 2 =0 0=0 ). Maka dengan definisi di atas, 5 adalah akar kuadrat dari 25, 0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak untuk sembarang bilangan a ada , yang kuadratnya sama dengan a . Yaitu, untuk setiap bilangan negatif a tidak ada bilangan asli b , yang kuadrat akan sama dengan a . Memang, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk setiap a negatif , karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk b . Dengan demikian, pada himpunan bilangan real tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dan tidak memiliki arti.

Ini mengarah pada pertanyaan logis: "Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a non-negatif apa pun"? Jawabannya iya. Alasan untuk fakta ini dapat dianggap sebagai metode konstruktif yang digunakan untuk menemukan nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikut: "Berapa jumlah semua akar kuadrat dari bilangan non-negatif yang diberikan a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih"? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a suatu bilangan positif, maka jumlah akar kuadrat dari bilangan a sama dengan dua, dan akar-akarnya adalah . Mari kita buktikan ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Mari kita tunjukkan bahwa nol memang akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti persamaan nyata 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari kita gunakan cara sebaliknya. Mari kita asumsikan bahwa ada beberapa bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin, karena untuk sembarang b bukan nol, nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kami telah sampai pada kontradiksi. Ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari kita beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Di atas kami mengatakan bahwa selalu ada akar kuadrat dari setiap bilangan non-negatif, misalkan b adalah akar kuadrat dari a. Katakanlah ada bilangan c , yang juga merupakan akar kuadrat dari a . Kemudian, dengan definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a adalah valid, sehingga b 2 c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 c 2 =( b−c) ( b+c) , lalu (b−c) (b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan berlaku sifat-sifat tindakan dengan bilangan real hanya mungkin jika b−c=0 atau b+c=0 . Jadi bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita berasumsi bahwa ada suatu bilangan d, yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan penalaran yang sama dengan yang telah diberikan, terbukti bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, jumlah akar kuadrat dari bilangan positif adalah dua, dan akar kuadrat adalah bilangan yang berlawanan.

Untuk kenyamanan bekerja dengan akar kuadrat, akar negatif "dipisahkan" dari akar positif. Untuk tujuan ini, ia memperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Untuk akar kuadrat aritmatika dari angka a, notasi diterima. Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Itu juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, Anda sebagian dapat mendengar "root" dan "radikal", yang berarti objek yang sama.

Bilangan di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut nomor akar, dan ekspresi di bawah tanda akar - ekspresi radikal, sedangkan istilah "bilangan radikal" sering diganti dengan "ekspresi radikal". Misalnya, dalam notasi, angka 151 adalah bilangan radikal, dan dalam notasi, ekspresi a adalah ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya, entri dibaca sebagai "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan ratus." Kata "aritmatika" diucapkan hanya ketika mereka ingin menekankan bahwa kita berbicara tentang akar kuadrat positif dari suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, maka dari definisi akar kuadrat aritmatika, untuk sembarang bilangan non-negatif a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmatika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol adalah nol, yaitu . Untuk bilangan negatif a, kami tidak akan menambahkan arti pada entri sampai kami mempelajarinya bilangan kompleks. Misalnya, ekspresi dan tidak ada artinya.

Berdasarkan definisi akar kuadrat, sifat-sifat akar kuadrat terbukti, yang sering digunakan dalam praktik.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan adalah solusi dari bentuk x 2 =a terhadap variabel x .

akar pangkat tiga dari

Definisi akar pangkat tiga dari nomor a diberikan dengan cara yang mirip dengan definisi akar kuadrat. Hanya itu didasarkan pada konsep kubus angka, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari bilangan yang kubusnya sama dengan a disebut

Ayo bawa contoh akar pangkat tiga. Untuk melakukan ini, ambil beberapa angka, misalnya, 7 , 0 , 2/3 , dan pangkat tiga: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa angka 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan 2/3 adalah akar pangkat tiga dari 8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan a, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, dan tidak hanya untuk a non-negatif, tetapi juga untuk sembarang bilangan real a. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan metode yang sama yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga dari bilangan a yang diberikan. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, pertimbangkan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0 dan a adalah bilangan negatif.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa untuk a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a , maka dengan definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a . Jelas bahwa persamaan ini tidak mungkin benar untuk b negatif dan untuk b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan menjadi bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain bilangan b ada satu akar pangkat tiga lagi dari bilangan a, mari kita nyatakan c. Maka c3 =a. Oleh karena itu, b 3 c 3 =a−a=0 , tetapi b 3 c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ini adalah rumus perkalian yang disingkat perbedaan kubus), dari mana (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b c+c 2 =0 . Dari persamaan pertama kita memiliki b=c , dan persamaan kedua tidak memiliki solusi, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c sebagai jumlah dari tiga suku positif b 2 , b c dan c 2 . Ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Untuk a=0, satu-satunya akar pangkat tiga dari a adalah nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada bilangan b , yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin jika b=0 .

Untuk a negatif , seseorang dapat berargumen serupa dengan kasus untuk a positif . Pertama, kita tunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan negatif tidak bisa sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kami berasumsi bahwa ada akar pangkat dua kedua dari angka negatif dan menunjukkan bahwa itu pasti akan bertepatan dengan yang pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari sembarang bilangan real a, dan hanya satu.

Ayo berikan definisi akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a Bilangan tak negatif yang kubusnya sama dengan a disebut

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a dilambangkan sebagai , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga, bilangan 3 dalam notasi ini disebut indikator akar. Angka di bawah tanda akar adalah nomor akar, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika didefinisikan hanya untuk bilangan non-negatif a, akan lebih mudah untuk menggunakan entri di mana bilangan negatif berada di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika. Kita akan memahaminya sebagai berikut: , di mana a adalah bilangan positif. Sebagai contoh, .

Kita akan berbicara tentang sifat-sifat akar pangkat tiga dalam artikel umum sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstrak akar pangkat tiga, tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstrak akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita katakan bahwa akar pangkat tiga dari a adalah solusi dari bentuk x 3 =a.

Akar ke-n, akar aritmatika dari n

Kami menggeneralisasi konsep akar dari angka - kami memperkenalkan penentuan akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-n sama dengan a.

Dari definisi ini jelas bahwa akar derajat pertama dari angka a adalah angka itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat dengan indikator alami, kami mengambil 1 = a.

Di atas, kami mempertimbangkan kasus khusus dari akar derajat ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar derajat kedua, dan akar pangkat tiga adalah akar pangkat tiga. Untuk mempelajari akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar derajat genap (yaitu, untuk n=4, 6 , 8, ...), kelompok kedua - akar pangkat ganjil (yaitu, untuk n=5, 7, 9, ... ). Ini disebabkan oleh fakta bahwa akar derajat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar derajat ganjil mirip dengan akar kubik. Mari kita berurusan dengan mereka secara bergantian.

Mari kita mulai dengan akar-akarnya, yang pangkatnya adalah bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kita katakan, mereka mirip dengan akar kuadrat dari bilangan a. Artinya, akar pangkat genap dari bilangan a hanya ada untuk a non-negatif. Selain itu, jika a=0, maka akar dari a adalah tunggal dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar yang berderajat genap dari bilangan a, dan keduanya merupakan bilangan yang berlawanan.

Mari kita membenarkan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar pangkat genap (kita nyatakan sebagai 2 m, di mana m adalah beberapa bilangan asli) dari nomor a. Misalkan ada sebuah bilangan c - akar lain 2 m dari a . Maka b 2 m c 2 m =a−a=0 . Tetapi kita mengetahui bentuk b 2 m c 2 m = (b c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), maka (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa b−c=0 , atau b+c=0 , atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bahwa angka b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0 , karena sisi kirinya berisi ekspresi yang non-negatif untuk b dan c apa pun sebagai jumlah dari bilangan non-negatif.

Adapun akar-akar derajat ke-n untuk n ganjil, mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar suatu derajat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a adalah unik.

Keunikan akar pangkat ganjil 2·m+1 dari bilangan a dibuktikan dengan analogi dengan pembuktian keunikan akar pangkat tiga dari a . Hanya di sini alih-alih kesetaraan a 3 b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Ekspresi dalam kurung terakhir dapat ditulis ulang sebagai b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))))). Misalnya, untuk m=2 kita memiliki b 5 c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif, hasil kali keduanya adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c , yang berada di dalam tanda kurung dengan derajat penyatuan tertinggi, adalah positif sebagai jumlah dari positif angka. Sekarang, pindah berturut-turut ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat bersarang sebelumnya, kami memastikan bahwa mereka juga positif sebagai jumlah dari bilangan positif. Sebagai hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 hanya mungkin bila b−c=0 , yaitu bila bilangan b sama dengan bilangan c .

Saatnya berurusan dengan notasi akar derajat ke-n. Untuk ini, diberikan penentuan akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

akar aritmatika pangkat n dari bilangan non-negatif a disebut bilangan non-negatif, pangkat ke-n sama dengan a.

Apa itu akar kuadrat?

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Konsep ini sangat sederhana. Alam, saya akan mengatakan. Matematikawan mencoba menemukan reaksi untuk setiap tindakan. Ada penambahan dan ada pengurangan. Ada perkalian dan ada pembagian. Ada kuadrat... Jadi ada juga mengekstrak akar kuadrat! Itu saja. Aksi ini ( mengambil akar kuadrat) dalam matematika dilambangkan dengan ikon ini:

Ikon itu sendiri disebut kata yang indah "radikal".

Bagaimana cara mengekstrak root? Lebih baik untuk mempertimbangkan contoh.

Berapakah akar kuadrat dari 9? Dan bilangan kuadrat berapa yang memberi kita 9? 3 kuadrat memberi kita 9! Itu:

Apa akar kuadrat dari nol? Tidak masalah! Berapa angka kuadrat nol yang diberikan? Ya, dia sendiri memberikan nol! Cara:

Tertangkap apa itu akar kuadrat? Kemudian kita pertimbangkan contoh:

Jawaban (berantakan): 6; satu; 4; sembilan; 5.

Diputuskan? Sungguh, itu jauh lebih mudah!

Tapi... Apa yang dilakukan seseorang ketika dia melihat beberapa tugas dengan akar?

Seseorang mulai mendambakan ... Dia tidak percaya pada kesederhanaan dan ringannya akar. Meskipun dia sepertinya tahu apa itu akar kuadrat...

Ini karena seseorang telah mengabaikan beberapa poin penting ketika mempelajari akarnya. Kemudian mode ini secara brutal membalas dendam pada tes dan ujian ...

Poin satu. Akar harus dikenali dengan penglihatan!

Berapakah akar kuadrat dari 49? Tujuh? Benar! Bagaimana Anda tahu ada tujuh? Kuadratkan tujuh dan dapatkan 49? Benar! Harap dicatat bahwa ekstrak akarnya dari 49, kami harus melakukan operasi sebaliknya - kotak 7! Dan pastikan kita tidak ketinggalan. Atau mereka bisa melewatkan...

Disitulah letak kesulitannya ekstraksi akar. Mengkuadratkan nomor berapa pun dimungkinkan tanpa masalah. Kalikan angka itu sendiri dalam sebuah kolom - dan itu saja. Tapi untuk ekstraksi akar tidak ada teknologi yang sederhana dan bebas masalah. akun untuk menjemput jawab dan periksa apakah terkena kuadrat.

Proses kreatif yang rumit ini - memilih jawaban - sangat disederhanakan jika Anda ingat kuadrat dari angka-angka populer. Seperti tabel perkalian. Jika, katakanlah, Anda perlu mengalikan 4 dengan 6 - Anda tidak menambahkan empat 6 kali, bukan? Jawabannya langsung muncul 24. Walaupun tidak semua orang memilikinya ya...

Untuk pekerjaan gratis dan sukses dengan akar, cukup mengetahui kuadrat angka dari 1 hingga 20. Selain itu, di sana dan kembali. Itu. Anda harus dapat dengan mudah menyebutkan keduanya, katakanlah, 11 kuadrat dan akar kuadrat dari 121. Untuk mencapai hafalan ini, ada dua cara. Yang pertama adalah mempelajari tabel kuadrat. Ini akan banyak membantu dengan contoh. Kedua, putuskan lebih banyak contoh. Sangat bagus untuk mengingat tabel kuadrat.

Dan tidak ada kalkulator! Untuk verifikasi saja. Jika tidak, Anda akan melambat tanpa ampun selama ujian ...

Jadi, apa itu akar kuadrat Dan bagaimana ekstrak akar- Saya pikir itu bisa dimengerti. Sekarang mari kita cari tahu DARI APA Anda dapat mengekstraknya.

Poin dua. Akar, aku tidak mengenalmu!

Dari bilangan apa kamu bisa mengambil akar kuadrat? Ya, hampir semua. Lebih mudah untuk memahami apa itu dilarang ekstrak mereka.

Mari kita coba menghitung akar ini:

Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil angka yang dikuadratkan akan memberi kita -4. Kami memilih.

Apa yang tidak dipilih? 2 2 memberi +4. (-2) 2 memberi +4 lagi! Itu saja ... Tidak ada angka yang, ketika dikuadratkan, akan memberi kita angka negatif! Padahal aku tahu angkanya. Tapi aku tidak akan memberitahumu.) Pergi ke perguruan tinggi dan cari tahu sendiri.

Cerita yang sama akan terjadi dengan angka negatif apa pun. Maka kesimpulannya:

Ekspresi di mana angka negatif berada di bawah tanda akar kuadrat - tidak masuk akal! Ini adalah operasi terlarang. Dilarang seperti pembagian dengan nol. Ingatlah fakta ini! Atau, dengan kata lain:

Anda tidak dapat mengekstrak akar kuadrat dari angka negatif!

Tetapi dari semua yang lain - Anda bisa. Misalnya, adalah mungkin untuk menghitung

Pada pandangan pertama, ini sangat sulit. Ambil pecahan, tapi kuadratkan ... Jangan khawatir. Ketika kita berurusan dengan sifat-sifat akar, contoh-contoh seperti itu akan direduksi menjadi tabel kuadrat yang sama. Hidup akan menjadi lebih mudah!

Oke pecahan. Tapi kami masih menemukan ekspresi seperti:

Tidak apa-apa. Semua sama. Akar kuadrat dari dua adalah angka yang, jika dikuadratkan, akan memberi kita deuce. Hanya jumlahnya yang benar-benar tidak merata... Ini dia:

Menariknya, pecahan ini tidak pernah berakhir... Angka seperti itu disebut irasional. Dalam akar kuadrat, ini adalah hal yang paling umum. Omong-omong, inilah mengapa ekspresi dengan akar disebut irasional. Jelas bahwa menulis pecahan tak terhingga sepanjang waktu itu tidak nyaman. Oleh karena itu, alih-alih pecahan tak terbatas, mereka membiarkannya seperti ini:

Jika, saat memecahkan contoh, Anda mendapatkan sesuatu yang tidak dapat diekstraksi, seperti:

lalu kita biarkan seperti itu. Ini akan menjadi jawabannya.

Anda perlu memahami dengan jelas apa yang ada di bawah ikon

Tentu saja, jika akar bilangan diambil mulus, Anda harus melakukannya. Jawaban tugas dalam bentuk, misalnya

jawaban yang cukup lengkap.

Dan, tentu saja, Anda perlu mengetahui nilai perkiraan dari memori:

Pengetahuan ini banyak membantu untuk menilai situasi dalam tugas-tugas yang kompleks.

Poin tiga. Yang paling licik.

Kebingungan utama dalam bekerja dengan akar hanya dibawa oleh mode ini. Dialah yang memberi kepercayaan pada kekuatan sendiri... Mari kita hadapi mode ini dengan benar!

Untuk memulainya, kita kembali mengekstrak akar kuadrat dari keempatnya. Apa, apakah saya sudah mendapatkan Anda dengan root ini?) Tidak ada, sekarang ini akan menarik!

Berapa angka yang akan diberikan pada kuadrat 4? Nah, dua, dua - saya mendengar jawaban yang tidak puas ...

Benar. Dua. Tetapi juga dikurangi dua akan memberikan 4 kuadrat ... Sementara itu, jawabannya

benar dan jawabannya

kesalahan terberat. Seperti ini.

Jadi apa masalahnya?

Memang, (-2) 2 = 4. Dan di bawah definisi akar kuadrat dari empat dikurangi dua cukup cocok... Ini juga merupakan akar kuadrat dari empat.

Tetapi! Dalam kursus matematika sekolah, biasanya mempertimbangkan akar kuadrat hanya bilangan non-negatif! Yaitu nol dan semua positif. Bahkan istilah khusus diciptakan: dari nomor sebuah- Ini non-negatif bilangan yang kuadratnya sebuah. Hasil negatif saat mengekstrak akar kuadrat aritmatika dibuang begitu saja. Di sekolah, semua akar kuadrat - hitung. Meski tidak disebutkan secara spesifik.

Oke, itu bisa dimengerti. Bahkan lebih baik tidak dipusingkan dengan hasil negatif ... Ini belum kebingungan.

Kebingungan dimulai ketika memecahkan persamaan kuadrat. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan berikut.

Persamaannya sederhana, kami menulis jawabannya (seperti yang diajarkan):

Jawaban ini (omong-omong, cukup benar) hanyalah notasi yang disingkat dua jawaban:

Berhenti berhenti! Sedikit lebih tinggi saya menulis bahwa akar kuadrat adalah angka selalu non-negatif! Dan inilah salah satu jawabannya - negatif! Kekacauan. Ini adalah masalah pertama (tetapi bukan yang terakhir) yang menyebabkan ketidakpercayaan pada akarnya ... Mari kita selesaikan masalah ini. Mari kita tuliskan jawabannya (semata-mata untuk pemahaman!) seperti ini:

Tanda kurung tidak mengubah esensi jawaban. Saya baru saja memisahkan dengan tanda kurung tanda-tanda dari akar. Sekarang jelas terlihat bahwa akar itu sendiri (dalam tanda kurung) masih merupakan bilangan non-negatif! Dan tanda-tandanya adalah hasil penyelesaian persamaan. Lagi pula, ketika menyelesaikan persamaan apa pun, kita harus menulis semua x, yang jika disubstitusikan ke persamaan awal, akan memberikan hasil yang benar. Akar lima (positif!) cocok untuk persamaan kita dengan plus dan minus.

Seperti ini. Jika kamu ambil saja akar kuadratnya dari apapun kamu selalu Dapatkan satu non-negatif hasil. Sebagai contoh:

Karena itu - akar kuadrat aritmatika.

Tetapi jika Anda memutuskan persamaan kuadrat, Tipe:

kemudian selalu ternyata dua jawaban (dengan plus dan minus):

Karena itu adalah solusi dari persamaan.

Harapan, apa itu akar kuadrat Anda melakukannya dengan benar dengan poin Anda. Sekarang tinggal mencari tahu apa yang bisa dilakukan dengan akarnya, apa sifat-sifatnya. Dan apa mode dan kotak bawah air ... permisi, batu!)

Semua ini - dalam pelajaran berikutnya.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Di antara sekian banyak pengetahuan yang merupakan tanda literasi, alfabet menempati urutan pertama. Berikutnya, elemen "tanda" yang sama, adalah keterampilan penjumlahan-perkalian dan, bersebelahan dengannya, tetapi maknanya terbalik, operasi aritmatika pengurangan-pembagian. Keterampilan yang dipelajari di masa kanak-kanak sekolah yang jauh melayani dengan setia siang dan malam: TV, koran, SMS, Dan di mana pun kita membaca, menulis, menghitung, menambah, mengurangi, mengalikan. Dan, katakan padaku, apakah Anda sering harus mengakar dalam kehidupan, kecuali di pedesaan? Misalnya, masalah yang menghibur, seperti, akar kuadrat dari angka 12345 ... Apakah masih ada bubuk mesiu di dalam termos bubuk? Bisakah kita melakukannya? Ya, tidak ada yang lebih mudah! Di mana kalkulator saya ... Dan tanpa itu, tangan kosong, lemah?

Pertama, mari kita perjelas apa itu - akar kuadrat dari sebuah angka. Secara umum, "mengekstrak akar dari suatu angka" berarti melakukan operasi aritmatika yang berlawanan dengan menaikkan pangkat - di sini Anda memiliki kesatuan lawan dalam aplikasi kehidupan. misalkan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan, yaitu seperti yang diajarkan di sekolah, X * X = A atau dalam notasi lain X2 = A, dan dengan kata lain - “X kuadrat sama dengan A”. Kemudian masalah kebalikannya berbunyi seperti ini: akar kuadrat dari bilangan A adalah bilangan X, yang jika dikuadratkan sama dengan A.

Mengekstrak akar kuadrat

Dari kursus aritmatika sekolah, metode perhitungan "dalam kolom" diketahui, yang membantu melakukan perhitungan apa pun menggunakan empat yang pertama operasi aritmatika. Sayangnya ... Untuk kuadrat, dan tidak hanya kuadrat, akar dari algoritma tersebut tidak ada. Dan dalam hal ini, bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat tanpa kalkulator? Berdasarkan definisi akar kuadrat, hanya ada satu kesimpulan - perlu untuk memilih nilai hasil dengan pencacahan angka berurutan, kuadrat yang mendekati nilai ekspresi akar. Hanya dan semuanya! Sebelum satu atau dua jam berlalu, itu dapat dihitung menggunakan metode perkalian yang terkenal menjadi "kolom", akar kuadrat apa pun. Jika Anda memiliki keterampilan, beberapa menit sudah cukup untuk ini. Bahkan kalkulator atau pengguna PC yang tidak terlalu mahir melakukannya dalam satu gerakan - kemajuan.

Tapi serius, perhitungan akar kuadrat sering dilakukan dengan menggunakan teknik "garpu artileri": pertama, mereka mengambil angka yang kuadratnya kira-kira sesuai dengan ekspresi akar. Lebih baik jika "kotak kami" sedikit lebih kecil dari ekspresi ini. Kemudian mereka mengoreksi angka tersebut sesuai dengan pemahaman keterampilan mereka sendiri, misalnya, kalikan dua, dan ... kuadratkan lagi. Jika hasilnya lebih banyak nomor di bawah root, secara berurutan menyesuaikan nomor aslinya, secara bertahap mendekati "rekan" di bawah root. Seperti yang Anda lihat - tidak ada kalkulator, hanya kemampuan untuk menghitung "dalam kolom". Tentu saja, ada banyak algoritma yang beralasan secara ilmiah dan dioptimalkan untuk menghitung akar kuadrat, tetapi untuk "penggunaan di rumah" teknik di atas memberikan kepercayaan 100% pada hasilnya.

Ya, saya hampir lupa, untuk mengonfirmasi peningkatan literasi kami, kami menghitung akar kuadrat dari angka 12345 yang ditunjukkan sebelumnya. Kami melakukannya langkah demi langkah:

1. Ambil, secara intuitif murni, X=100. Mari kita hitung: X * X = 10.000. Intuisi ada di atas - hasilnya kurang dari 12345.

2. Mari kita coba, juga murni secara intuitif, X = 120. Kemudian: X * X = 14400. Dan sekali lagi, dengan intuisi, urutan - hasilnya lebih dari 12345.

3. Di atas, diperoleh "garpu" 100 dan 120. Mari kita pilih angka baru - 110 dan 115. Kita masing-masing mendapatkan 12100 dan 13225 - garpu menyempit.

4. Kami mencoba "mungkin" X = 111. Didapatkan X * X = 12321. Angka ini sudah cukup mendekati 12345. Sesuai dengan ketelitian yang dibutuhkan, “fitting” dapat dilanjutkan atau dihentikan pada hasil yang diperoleh. Itu saja. Seperti yang dijanjikan - semuanya sangat sederhana dan tanpa kalkulator.

Sedikit sejarah...

Bahkan Pythagoras, siswa sekolah dan pengikut Pythagoras, berpikir untuk menggunakan akar kuadrat, 800 SM. dan di sana, "bertemu" dengan penemuan-penemuan baru di bidang angka. Dan dari mana asalnya?

1. Penyelesaian masalah dengan ekstraksi akar, memberikan hasil berupa bilangan dari kelas baru. Mereka disebut irasional, dengan kata lain, "tidak masuk akal", karena. mereka tidak ditulis sebagai angka lengkap. Contoh paling klasik dari jenis ini adalah akar kuadrat dari 2. Kasus ini sesuai dengan perhitungan diagonal persegi dengan sisi sama dengan 1 - ini dia, pengaruh aliran Pythagoras. Ternyata dalam segitiga dengan satuan ukuran sisi yang sangat spesifik, sisi miring memiliki ukuran yang dinyatakan dengan angka yang "tidak memiliki ujung". Jadi dalam matematika muncul

2. Diketahui bahwa ternyata ini operasi matematika berisi tangkapan lain - mengekstraksi akar, kita tidak tahu kuadrat angka apa, positif atau negatif, adalah ekspresi akar. Ketidakpastian ini, hasil ganda dari satu operasi, dituliskan.

Studi tentang masalah yang terkait dengan fenomena ini telah menjadi arah dalam matematika yang disebut teori variabel kompleks, yang sangat penting secara praktis dalam fisika matematika.

Sangat mengherankan bahwa sebutan akar - radikal - digunakan dalam "Aritmatika Universal" -nya oleh I. Newton yang sama di mana-mana, tetapi persisnya tampilan modern Catatan akar telah dikenal sejak 1690 dari buku Frenchman Roll "Guide to Algebra".