Sistem joint ax in disebut indefinite if. Memecahkan sistem persamaan aljabar linier, metode penyelesaian, contoh

Sistem tersebut disebut persendian, atau larut jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem tersebut disebut tidak kompatibel, atau tidak larut jika tidak memiliki solusi.

SLAE pasti, tidak terbatas.

Jika SLAE memiliki solusi dan unik, maka disebut yakin dan jika solusinya tidak unik, maka tidak pasti.

PERSAMAAN MATRIKS

Matriks memungkinkan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:

Perhatikan matriks sistem dan kolom matriks dari anggota yang tidak dikenal dan anggota bebas

Ayo temukan produknya

itu. sebagai hasil dari produk, kami memperoleh sisi kiri dari persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai

atau lebih pendek A∙X=B.

Di sini matriks A dan B diketahui, dan matriks X tidak dikenal. Dia perlu ditemukan, karena. elemen-elemennya adalah solusi dari sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | A| 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, invers matriks A: . Sejauh A -1 A = E dan E∙X=X, maka kita peroleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = A -1 B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui.

rumus Cramer

Metode Cramer adalah bahwa kita berturut-turut menemukan pengenal sistem utama, yaitu determinan matriks A: D = det (a i j) dan n penentu tambahan D i (i= ), yang diperoleh dari determinan D dengan mengganti kolom ke-i dengan kolom suku bebas.

Rumus Cramer terlihat seperti: D × x i = D i (i = ).

Ini menyiratkan aturan Cramer, yang memberikan jawaban lengkap untuk pertanyaan kompatibilitas sistem: jika penentu utama sistem berbeda dari nol, maka sistem memiliki solusi unik, ditentukan oleh rumus: x i = D i / D.

Jika determinan utama sistem D dan semua determinan bantu D i = 0 (i= ), maka sistem tersebut memiliki banyak solusi. Jika determinan utama sistem D = 0, dan paling sedikit satu determinan bantu berbeda dengan nol, maka sistem tersebut tidak konsisten.

Teorema (aturan Cramer): Jika determinan sistem adalah 0, maka sistem yang dipertimbangkan memiliki satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti: Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga yang tidak diketahui. Kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar A 11 elemen 11, persamaan ke-2 - pada A21 dan ke-3 - pada 31:

Mari kita tambahkan persamaan ini:

Perhatikan masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Menurut teorema tentang perluasan determinan dalam hal elemen-elemen kolom ke-1.

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk melihatnya

Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan: . Karena itu, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, dari mana penegasan teorema berikut.

Teorema Kronecker-Capelli.

Suatu sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat dari matriks sistem tersebut sama dengan pangkat dari matriks yang diperbesar.

Bukti: Itu dipecah menjadi dua tahap.

1. Biarkan sistem memiliki solusi. Mari kita tunjukkan itu.

Biarkan himpunan angka adalah solusi dari sistem. Dilambangkan dengan kolom ke - matriks , . Maka , yaitu kolom suku bebas adalah kombinasi linier dari kolom-kolom matriks . Biarlah. Mari kita berpura-pura itu . Kemudian oleh . Kami memilih di minor dasar. Dia punya pesanan. Kolom anggota bebas harus melewati minor ini, jika tidak maka akan menjadi minor basis dari matriks. Kolom suku bebas dalam minor adalah kombinasi linier dari kolom-kolom matriks. Berdasarkan sifat-sifat determinannya, dimana adalah determinan yang diperoleh dari minor dengan mengganti kolom suku bebas dengan kolom. Jika kolom melewati M minor, maka di , Akan ada dua kolom identik dan, oleh karena itu, . Jika kolom tidak melalui minor, maka akan berbeda dengan minor orde r + 1 matriks hanya pada orde kolom. Dari dulu . Jadi, yang bertentangan dengan definisi dasar minor. Oleh karena itu, asumsi bahwa , adalah salah.

2. Biarkan . Mari kita tunjukkan bahwa sistem memiliki solusi. Karena , maka basis minor dari matriks tersebut adalah basis minor dari matriks tersebut . Biarkan kolom melewati minor . Kemudian, berdasarkan teorema minor basis dalam sebuah matriks, kolom suku bebas adalah kombinasi linier dari kolom-kolom yang ditunjukkan:

(1)

Kami menetapkan , , , , dan mengambil sisa yang tidak diketahui sama dengan nol. Kemudian untuk nilai-nilai ini kita dapatkan

Berdasarkan kesetaraan (1) . Persamaan terakhir berarti himpunan bilangan adalah solusi dari sistem. Keberadaan solusi terbukti.

Dalam sistem yang dibahas di atas , dan sistemnya konsisten. Dalam sistem , , dan sistem tidak konsisten.

Catatan: Meskipun teorema Kronecker-Capelli memungkinkan untuk menentukan apakah suatu sistem konsisten, teorema ini jarang digunakan, terutama dalam studi teoritis. Pasalnya, perhitungan yang dilakukan saat mencari rank suatu matriks pada dasarnya sama dengan perhitungan saat mencari solusi sistem. Oleh karena itu, biasanya alih-alih menemukan dan , orang mencari solusi untuk sistem tersebut. Jika dapat ditemukan, maka kita belajar bahwa sistem tersebut konsisten dan sekaligus mendapatkan solusinya. Jika solusi tidak dapat ditemukan, maka kami menyimpulkan bahwa sistem tidak konsisten.

Algoritma untuk menemukan solusi untuk sistem persamaan linier arbitrer (metode Gauss)

Biarkan sistem persamaan linier dengan yang tidak diketahui diberikan. Diperlukan untuk menemukan solusi umumnya jika konsisten, atau menetapkan inkonsistensinya. Metode yang akan disajikan pada bagian ini dekat dengan metode menghitung determinan dan metode pencarian pangkat suatu matriks. Algoritma yang diusulkan disebut Metode Gauss atau metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui.

Mari kita tulis matriks yang diperbesar dari sistem

Kami menyebut operasi berikut dengan matriks operasi dasar:

1. permutasi garis;

2. mengalikan string dengan angka bukan nol;

3. penjumlahan string dengan string lain dikalikan dengan angka.

Perhatikan bahwa ketika memecahkan sistem persamaan, berbeda dengan menghitung determinan dan menemukan pangkat, seseorang tidak dapat beroperasi dengan kolom. Jika sistem persamaan dipulihkan dari matriks yang diperoleh dari operasi dasar, maka sistem baru akan sama dengan aslinya.

Tujuan dari algoritma ini adalah, dengan menerapkan urutan operasi dasar ke matriks, untuk memastikan bahwa setiap baris, kecuali mungkin yang pertama, dimulai dengan nol, dan jumlah nol hingga elemen bukan-nol pertama di setiap berikutnya baris lebih besar dari yang sebelumnya.

Langkah algoritmanya adalah sebagai berikut. Temukan kolom bukan nol pertama dalam matriks. Biarkan itu menjadi kolom dengan nomor . Kami menemukan elemen bukan nol di dalamnya dan menukar baris dengan elemen ini dengan baris pertama. Agar notasi tambahan tidak menumpuk, kita akan mengasumsikan bahwa perubahan baris dalam matriks telah dilakukan, yaitu . Kemudian pada baris kedua kita tambahkan yang pertama dikalikan dengan angka, pada baris ketiga kita tambahkan yang pertama dikalikan dengan angka, dst. Sebagai hasilnya, kami mendapatkan matriks

(Kolom nol pertama biasanya tidak ada.)

Jika ada baris dengan nomor k dalam matriks, di mana semua elemen sama dengan nol, dan , maka kita menghentikan eksekusi algoritma dan menyimpulkan bahwa sistem tidak konsisten. Memang, memulihkan sistem persamaan dari matriks diperpanjang, kita mendapatkan bahwa persamaan -th akan memiliki bentuk

Persamaan ini tidak memenuhi himpunan bilangan apa pun .

Matriks dapat ditulis sebagai

Sehubungan dengan matriks, kami melakukan langkah algoritma yang dijelaskan. Dapatkan matriksnya

di mana , . Matriks ini dapat ditulis lagi sebagai

dan langkah algoritma di atas diterapkan lagi pada matriks.

Proses berhenti jika setelah eksekusi langkah berikutnya matriks tereduksi baru hanya terdiri dari nol atau jika semua baris habis. Perhatikan bahwa kesimpulan tentang ketidakcocokan sistem dapat menghentikan proses lebih awal.

Jika kita tidak mereduksi matriks, maka pada akhirnya kita akan sampai pada matriks berbentuk

Selanjutnya, apa yang disebut reverse pass dari metode Gaussian dilakukan. Berdasarkan matriks, kami membuat sistem persamaan. Di sisi kiri, kami meninggalkan yang tidak diketahui dengan angka yang sesuai dengan elemen bukan nol pertama di setiap baris, yaitu . Perhatikan itu . Yang tidak diketahui yang tersisa dipindahkan ke sisi kanan. Mengingat hal-hal yang tidak diketahui di ruas kanan adalah sejumlah besaran tetap, mudah untuk menyatakan hal-hal yang tidak diketahui di ruas kiri dalam bentuk mereka.

Sekarang, dengan menetapkan nilai arbitrer ke yang tidak diketahui di sisi kanan dan menghitung nilai variabel di sisi kiri, kita akan menemukan berbagai solusi sistem asli Ax=b. Untuk menuliskan solusi umum, perlu untuk menunjukkan yang tidak diketahui di sisi kanan dalam urutan apa pun dengan huruf , termasuk yang tidak diketahui yang tidak secara eksplisit ditulis di sisi kanan karena koefisien nol, dan kemudian kolom yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai kolom, di mana setiap elemen adalah kombinasi linier dari nilai arbitrer (khususnya, hanya nilai arbitrer ). Entri ini akan menjadi solusi umum sistem.

Jika sistem homogen, maka kita memperoleh solusi umum dari sistem homogen. Koefisien at yang diambil pada setiap elemen kolom solusi umum akan membentuk solusi pertama dari sistem dasar solusi, koefisien pada - solusi kedua, dan seterusnya.

Metode 2: Sistem dasar solusi dari sistem homogen dapat diperoleh dengan cara lain. Untuk melakukan ini, satu variabel, yang dipindahkan ke sisi kanan, harus diberi nilai 1, dan sisanya - nol. Menghitung nilai variabel di sisi kiri, kami memperoleh satu solusi dari sistem fundamental. Dengan menetapkan nilai 1 ke variabel lain di sisi kanan, dan nol untuk yang lain, kita memperoleh solusi kedua dari sistem fundamental, dan seterusnya.

Definisi: sistem ini disebut bersama-sama th, jika memiliki setidaknya satu solusi, dan tidak konsisten - jika tidak, yaitu, dalam kasus ketika sistem tidak memiliki solusi. Pertanyaan apakah suatu sistem memiliki solusi atau tidak terhubung tidak hanya dengan rasio jumlah persamaan dan jumlah yang tidak diketahui. Misalnya, sistem tiga persamaan dengan dua tidak diketahui

memiliki solusi , dan bahkan memiliki banyak solusi, tetapi sistem dua persamaan dengan tiga tidak diketahui.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Sistem ini selalu konsisten karena memiliki solusi trivial x 1 =…=x n =0

Agar solusi nontrivial ada, perlu dan cukup bahwa

kondisi r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Himpunan solusi SLAE membentuk ruang dimensi linier (n-r). Ini berarti bahwa produk dari penyelesaiannya dengan suatu bilangan, serta jumlah dan kombinasi linier dari sejumlah penyelesaiannya, adalah solusi dari sistem ini. Ruang solusi linier dari setiap SLAE adalah subruang dari ruang R n .

Himpunan (n-r) solusi bebas linier dari SLAE (yang merupakan basis dalam ruang solusi) disebut himpunan solusi dasar (FSR).

Misal 1 ,…,х r menjadi tidak diketahui dasar, r +1 ,…,х n menjadi tidak diketahui bebas. Kami memberikan variabel bebas pada gilirannya nilai-nilai berikut:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Membentuk ruang linier S (ruang solusi), yang merupakan subruang dalam R n (n adalah jumlah yang tidak diketahui), dan dims=k=n-r, di mana r adalah pangkat sistem. Basis dalam ruang solusi(x (1) ,…, x (k) ) disebut sistem dasar solusi, dan solusi umum memiliki bentuk:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Matematika Tinggi » Sistem Linear persamaan aljabar» Istilah dasar. Notasi matriks.

Sistem persamaan aljabar linier. Istilah dasar. Notasi matriks.

1. Definisi sistem persamaan aljabar linier. Solusi sistem. Klasifikasi sistem.
2. Bentuk matriks sistem penulisan persamaan aljabar linier.

Definisi sistem persamaan aljabar linier. Solusi sistem. Klasifikasi sistem.

Di bawah sistem persamaan aljabar linier(SLAE) menyiratkan sebuah sistem

\begin(persamaan) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(persamaan)

Parameter $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) dipanggil koefisien, dan $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - anggota gratis SLAU. Kadang-kadang, untuk menekankan jumlah persamaan dan yang tidak diketahui, mereka mengatakan "$m\kali n$ sistem persamaan linier" - dengan demikian menunjukkan bahwa SLAE berisi persamaan $m$ dan $n$ yang tidak diketahui.

Jika semua suku bebas $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), maka SLAE disebut homogen. Jika di antara anggota bebas setidaknya ada satu selain nol, SLAE disebut heterogen.

keputusan SLAU(1) setiap kumpulan bilangan berurut ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) dipanggil jika elemen-elemen dari kumpulan ini, disubstitusi dalam urutan tertentu untuk yang tidak diketahui $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , balikkan setiap persamaan SLAE menjadi identitas.

Setiap SLAE homogen memiliki setidaknya satu solusi: nol(dalam terminologi yang berbeda - sepele), mis. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Jika SLAE (1) memiliki setidaknya satu solusi, itu disebut persendian jika tidak ada solusi, tidak cocok. Jika SLAE gabungan memiliki tepat satu solusi, itu disebut yakin, jika sejumlah solusi tak terhingga - tidak pasti.

Contoh 1

Pertimbangkan SLAE

\begin(persamaan) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(sejajar)\kanan.\end(persamaan)

Kami memiliki sistem persamaan aljabar linier yang berisi persamaan $3$ dan $5$ yang tidak diketahui: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Dapat dikatakan bahwa sistem persamaan linear $3\dikalikan $5 diberikan.

Koefisien sistem (2) adalah angka di depan yang tidak diketahui. Misalnya, dalam persamaan pertama, angka-angka ini adalah: $3,-4,1,7,-1$. Anggota bebas sistem diwakili oleh angka $11,-65.0$. Karena setidaknya ada satu di antara anggota gratis, itu bukan nol, maka SLAE (2) tidak homogen.

Koleksi yang dipesan $(4;-11;5;-7;1)$ adalah solusi untuk SLAE ini. Ini mudah diverifikasi jika Anda mengganti $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ ke dalam persamaan sistem yang diberikan:

\begin(selaras) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(selaras)

Secara alami, muncul pertanyaan apakah solusi yang diverifikasi adalah satu-satunya. Masalah jumlah solusi SLAE akan dibahas dalam topik yang relevan.

Contoh #2

Pertimbangkan SLAE

\begin(persamaan) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(sejajar) \kanan.\end(persamaan)

Sistem (3) adalah SLAE yang berisi persamaan $5$ dan $3$ yang tidak diketahui: $x_1,x_2,x_3$. Karena semua suku bebas sistem ini sama dengan nol, maka SLAE (3) homogen. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa koleksi $(0;0;0)$ adalah solusi untuk SLAE yang diberikan. Substitusikan $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, misalnya, ke dalam persamaan pertama sistem (3), kita mendapatkan persamaan yang benar: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . Substitusi ke persamaan lain dilakukan dengan cara yang sama.

Bentuk matriks sistem penulisan persamaan aljabar linier.

Beberapa matriks dapat diasosiasikan dengan setiap SLAE; Selain itu, SLAE itu sendiri dapat ditulis sebagai persamaan matriks. Untuk SLAE (1), perhatikan matriks berikut:

Matriks $A$ disebut matriks sistem. Unsur-unsur matriks ini adalah koefisien dari SLAE yang diberikan.

Matriks $\widetilde(A)$ disebut sistem matriks diperluas. Ini diperoleh dengan menambahkan ke matriks sistem kolom yang berisi anggota gratis $b_1,b_2,…,b_m$. Biasanya kolom ini dipisahkan oleh garis vertikal - untuk kejelasan.

Matriks kolom $B$ disebut matriks anggota gratis, dan matriks kolom $X$ - matriks yang tidak diketahui.

Menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas, SLAE (1) dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks: $A\cdot X=B$.

Catatan

Matriks yang terkait dengan sistem dapat ditulis cara yang berbeda: itu semua tergantung pada urutan variabel dan persamaan SLAE yang dipertimbangkan. Tetapi bagaimanapun, urutan yang tidak diketahui dalam setiap persamaan dari SLAE yang diberikan harus sama (lihat contoh No. 4).

Contoh #3

Tulis SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ dalam bentuk matriks dan tentukan matriks yang diperbesar dari sistem.

Kami memiliki empat yang tidak diketahui, yang dalam setiap persamaan mengikuti urutan ini: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Matriks yang tidak diketahui akan menjadi: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Anggota bebas dari sistem ini dinyatakan dengan angka $-5,0,-11$, oleh karena itu matriks anggota bebas berbentuk: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\kanan)$.

Mari kita beralih ke kompilasi matriks sistem. Baris pertama matriks ini akan berisi koefisien persamaan pertama: $2,3,-5,1$.

Pada baris kedua kita menulis koefisien persamaan kedua: $4.0,-1.0$. Dalam hal ini, harus diperhitungkan bahwa koefisien sistem dengan variabel $x_2$ dan $x_4$ dalam persamaan kedua sama dengan nol (karena variabel ini tidak ada dalam persamaan kedua).

Di baris ketiga matriks sistem, kami menulis koefisien persamaan ketiga: $0,14.8.1$. Kami memperhitungkan persamaan ke nol dari koefisien pada variabel $x_1$ (variabel ini tidak ada dalam persamaan ketiga). Matriks sistem akan terlihat seperti:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \kanan) $$

Untuk memperjelas hubungan antara matriks sistem dan sistem itu sendiri, saya akan menuliskan SLAE yang diberikan dan matriks sistemnya secara berdampingan:

Dalam bentuk matriks, SLAE yang diberikan akan terlihat seperti $A\cdot X=B$. Dalam entri yang diperluas:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \kanan) $$

Mari kita tulis matriks yang diperbesar dari sistem. Untuk melakukan ini, ke matriks sistem $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ tambahkan kolom istilah gratis (yaitu $-5,0,-11$). Kami mendapatkan: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \kanan) $.

Contoh #4

Tulis SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ dalam bentuk matriks dan tentukan matriks yang diperbesar dari sistem.

Seperti yang Anda lihat, urutan yang tidak diketahui dalam persamaan SLAE ini berbeda. Misalnya, pada persamaan kedua urutannya adalah: $a,y,c$, tetapi pada persamaan ketiga: $c,y,a$. Sebelum menulis SLAE dalam bentuk matriks, urutan variabel dalam semua persamaan harus dibuat sama.

Anda dapat mengurutkan variabel dalam persamaan SLAE yang diberikan cara yang berbeda(banyaknya cara menyusun tiga variabel adalah $3!=6$). Saya akan mempertimbangkan dua cara untuk memesan yang tidak diketahui.

Metode nomor 1

Mari kita perkenalkan urutan berikut: $c,y,a$. Mari kita menulis ulang sistem, menempatkan yang tidak diketahui di pesanan yang diperlukan: $\left \(\begin(sejajar) & 3th+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(selaras)\kanan.$

Untuk kejelasan, saya akan menulis SLAE sebagai berikut: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(selaras)\kanan.$

Matriks sistem adalah: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( array) \kanan) $. Matriks anggota gratis: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Saat menulis matriks yang tidak diketahui, ingat urutan yang tidak diketahui: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Jadi, bentuk matriks dari SLAE yang diberikan adalah sebagai berikut: $A\cdot X=B$. Diperluas:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \kanan) $$

Matriks sistem yang diperluas adalah: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \kanan) $.

Metode nomor 2

Mari kita perkenalkan urutan berikut: $a,c,y$. Mari kita menulis ulang sistem, menempatkan yang tidak diketahui dalam urutan yang diperlukan: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(aligned)\right.$

Untuk kejelasan, saya akan menulis SLAE sebagai berikut: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(selaras)\kanan.$

Matriks sistem adalah: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( array)\kanan)$. Matriks anggota gratis: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Saat menulis matriks yang tidak diketahui, ingat urutan yang tidak diketahui: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Jadi, bentuk matriks dari SLAE yang diberikan adalah sebagai berikut: $A\cdot X=B$. Diperluas:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \kanan) $$

Matriks sistem yang diperluas adalah: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \kanan) $.

Seperti yang Anda lihat, mengubah urutan yang tidak diketahui sama dengan mengatur ulang kolom dari matriks sistem. Tapi apapun susunan yang tidak diketahui ini, itu harus cocok di semua persamaan dari SLAE yang diberikan.

Persamaan linear

Persamaan linear- topik matematika yang relatif sederhana, cukup sering ditemukan dalam tugas-tugas di aljabar.

Sistem persamaan aljabar linier: konsep dasar, jenis

Mari kita cari tahu apa itu dan bagaimana persamaan linear diselesaikan.

Biasanya, persamaan linier adalah persamaan berbentuk ax + c = 0, di mana a dan c adalah bilangan arbitrer, atau koefisien, dan x adalah bilangan yang tidak diketahui.

Misalnya, persamaan linier akan menjadi:

Solusi persamaan linier.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear?

Memecahkan persamaan linear cukup mudah. Untuk ini, teknik matematika digunakan, seperti: transformasi identitas. Mari kita cari tahu apa itu.

Contoh persamaan linear dan penyelesaiannya.

Misal ax + c = 10, dimana a = 4, c = 2.

Jadi, kita mendapatkan persamaan 4x + 2 = 10.

Untuk menyelesaikannya lebih mudah dan lebih cepat, kami akan menggunakan metode pertama transformasi identitas- yaitu, kami mentransfer semua angka ke sisi kanan persamaan, dan meninggalkan 4x yang tidak diketahui di sisi kiri.

Mendapatkan:

Dengan demikian, persamaan direduksi menjadi masalah yang sangat sederhana untuk pemula. Tetap hanya menggunakan metode kedua dari transformasi identik - meninggalkan x di sisi kiri persamaan, mentransfer angka ke sisi kanan. Kita mendapatkan:

Penyelidikan:

4x + 2 = 10, di mana x = 2.

Jawabannya benar.

Grafik persamaan linier.

Saat menyelesaikan persamaan linier dengan dua variabel, metode plot juga sering digunakan. Faktanya adalah bahwa persamaan dalam bentuk ax + wy + c \u003d 0, sebagai suatu peraturan, memiliki banyak solusi, karena banyak angka yang menggantikan variabel, dan dalam semua kasus persamaan tetap benar.

Oleh karena itu, untuk memudahkan tugas tersebut, dibuatlah grafik persamaan linier.

Untuk membangunnya, cukup mengambil sepasang nilai variabel - dan, menandainya dengan titik-titik pada bidang koordinat, menggambar garis lurus melaluinya. Semua titik pada garis ini akan menjadi varian dari variabel dalam persamaan kita.

Ekspresi, konversi ekspresi

Urutan tindakan, aturan, contoh.

Numerik, literal dan ekspresi dengan variabel dalam catatan mereka mungkin berisi tanda-tanda berbagai operasi aritmatika. Saat mengonversi ekspresi dan menghitung nilai ekspresi, tindakan dilakukan dalam urutan tertentu, dengan kata lain, Anda harus mengamati urutan tindakan.

Pada artikel ini, kami akan mencari tahu tindakan mana yang harus dilakukan terlebih dahulu, dan tindakan mana yang setelahnya. Mari kita mulai dengan yang paling kasus sederhana ketika ekspresi hanya berisi angka atau variabel yang dihubungkan dengan tanda plus, minus, perkalian dan pembagian. Selanjutnya, kami akan menjelaskan urutan eksekusi tindakan apa yang harus diikuti dalam ekspresi dengan tanda kurung. Akhirnya, pertimbangkan urutan di mana tindakan dilakukan dalam ekspresi yang mengandung kekuatan, akar, dan fungsi lainnya.

Perkalian dan pembagian pertama, lalu penjumlahan dan pengurangan

Sekolah menyediakan sebagai berikut: aturan yang menentukan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi tanpa tanda kurung:

• tindakan dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan,
• di mana perkalian dan pembagian dilakukan terlebih dahulu, lalu penjumlahan dan pengurangan.

Aturan yang dinyatakan dirasakan cukup alami. Melakukan tindakan secara berurutan dari kiri ke kanan dijelaskan oleh fakta bahwa merupakan kebiasaan bagi kita untuk menyimpan catatan dari kiri ke kanan. Dan fakta bahwa perkalian dan pembagian dilakukan sebelum penambahan dan pengurangan dijelaskan oleh makna yang dibawa oleh tindakan-tindakan ini dalam dirinya sendiri.

Mari kita lihat beberapa contoh penerapan aturan ini. Sebagai contoh, kami akan mengambil ekspresi numerik paling sederhana agar tidak terganggu oleh perhitungan, tetapi untuk fokus pada urutan tindakan yang dilakukan.

Ikuti langkah 7−3+6.

Ekspresi asli tidak mengandung tanda kurung, juga tidak mengandung perkalian dan pembagian. Oleh karena itu, kita harus melakukan semua tindakan secara berurutan dari kiri ke kanan, yaitu, pertama kita kurangi 3 dari 7, kita dapatkan 4, setelah itu kita tambahkan 6 ke selisih 4 yang diperoleh, kita dapatkan 10.

Secara singkat, solusinya dapat ditulis sebagai berikut: 7−3+6=4+6=10.

Tunjukkan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi 6:2·8:3.

Untuk menjawab pertanyaan masalah, mari kita beralih ke aturan yang menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi tanpa tanda kurung. Ekspresi asli hanya berisi operasi perkalian dan pembagian, dan menurut aturan, mereka harus dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan.

Pertama, bagi 6 dengan 2, kalikan hasil bagi ini dengan 8, dan akhirnya, bagi hasilnya dengan 3.

Konsep dasar. Sistem persamaan linear

Hitung nilai ekspresi 17−5 6:3−2+4:2.

Pertama, mari kita tentukan dalam urutan apa tindakan dalam ekspresi asli harus dilakukan. Ini mencakup perkalian dan pembagian dan penambahan dan pengurangan.

Pertama, dari kiri ke kanan, Anda perlu melakukan perkalian dan pembagian. Jadi kami mengalikan 5 dengan 6, kami mendapatkan 30, kami membagi angka ini dengan 3, kami mendapatkan 10. Sekarang kami membagi 4 dengan 2, kami mendapatkan 2. Kami mengganti nilai yang ditemukan 10 bukannya 5 6: 3 dalam ekspresi aslinya, dan nilai 2 bukannya 4: 2, kita memiliki 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, tidak ada lagi perkalian dan pembagian, sehingga tetap melakukan tindakan yang tersisa dalam urutan dari kiri ke kanan: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5 6:3−2+4:2=7.

Pada awalnya, agar tidak membingungkan urutan tindakan saat menghitung nilai ekspresi, akan lebih mudah untuk menempatkan angka di atas tanda tindakan yang sesuai dengan urutan pelaksanaannya. Untuk contoh sebelumnya, akan terlihat seperti ini: .

Urutan operasi yang sama - perkalian dan pembagian pertama, kemudian penambahan dan pengurangan - harus diikuti saat bekerja dengan ekspresi literal.

Bagian atas halaman

Langkah 1 dan 2

Dalam beberapa buku teks matematika, terdapat pembagian operasi aritmatika menjadi operasi langkah pertama dan kedua. Mari kita tangani ini.

Dalam istilah ini, aturan dari paragraf sebelumnya, yang menentukan urutan tindakan yang dilakukan, akan ditulis sebagai berikut: jika ekspresi tidak mengandung tanda kurung, maka dalam urutan dari kiri ke kanan, tindakan tahap kedua ( perkalian dan pembagian) dilakukan terlebih dahulu, baru kemudian tindakan tahap pertama (penjumlahan dan pengurangan).

Bagian atas halaman

Urutan pelaksanaan operasi aritmatika dalam ekspresi dengan tanda kurung

Ekspresi sering mengandung tanda kurung untuk menunjukkan urutan tindakan yang harus dilakukan. Pada kasus ini aturan yang menentukan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi dengan tanda kurung, dirumuskan sebagai berikut: pertama, tindakan dalam tanda kurung dilakukan, sedangkan perkalian dan pembagian juga dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan, kemudian penjumlahan dan pengurangan.

Jadi, ekspresi dalam tanda kurung dianggap sebagai komponen dari ekspresi asli, dan urutan tindakan yang sudah kita ketahui dipertahankan di dalamnya. Pertimbangkan solusi contoh untuk kejelasan yang lebih besar.

Lakukan langkah yang ditunjukkan 5+(7−2 3) (6−4):2.

Ekspresi berisi tanda kurung, jadi pertama-tama mari kita lakukan operasi dalam ekspresi yang terlampir dalam tanda kurung ini. Mari kita mulai dengan ekspresi 7−2 3. Di dalamnya, Anda harus terlebih dahulu melakukan perkalian, dan baru kemudian pengurangan, kami memiliki 7−2 3=7−6=1. Kami meneruskan ke ekspresi kedua dalam tanda kurung 6−4. Hanya ada satu tindakan di sini - pengurangan, kami melakukannya 6−4=2.

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam ekspresi asli: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. Dalam ekspresi yang dihasilkan, pertama kita melakukan perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan, kemudian pengurangan, kita mendapatkan 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Pada ini, semua tindakan selesai, kami mematuhi urutan eksekusi berikut: 5+(7−2 3) (6−4):2.

Ayo tulis solusi singkat: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

Kebetulan ekspresi mengandung tanda kurung di dalam tanda kurung. Anda tidak perlu takut akan hal ini, Anda hanya perlu secara konsisten menerapkan aturan bersuara untuk melakukan tindakan dalam ekspresi dengan tanda kurung. Mari kita tunjukkan contoh solusi.

Lakukan tindakan dalam ekspresi 4+(3+1+4 (2+3)).

Ini adalah ekspresi dengan tanda kurung, yang berarti bahwa eksekusi tindakan harus dimulai dengan ekspresi dalam tanda kurung, yaitu dengan 3 + 1 + 4 (2 + 3).

Ekspresi ini juga mengandung tanda kurung, jadi Anda harus terlebih dahulu melakukan tindakan di dalamnya. Mari kita lakukan ini: 2+3=5. Mengganti nilai yang ditemukan, kami mendapatkan 3+1+4 5. Dalam ekspresi ini, pertama-tama kita lakukan perkalian, lalu penjumlahan, kita mendapatkan 3+1+4 5=3+1+20=24. Nilai awal, setelah mengganti nilai ini, mengambil bentuk 4+24, dan tetap hanya untuk menyelesaikan tindakan: 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

Secara umum, ketika tanda kurung di dalam tanda kurung hadir dalam sebuah ekspresi, seringkali lebih mudah untuk memulai dengan tanda kurung dalam dan lanjutkan ke tanda kurung luar.

Sebagai contoh, katakanlah kita perlu melakukan operasi dalam ekspresi (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Pertama, kita melakukan tindakan dalam kurung internal, karena 4−6:2=4−3=1, kemudian setelah itu ekspresi aslinya akan berbentuk (4+(4+1)1)−1. Sekali lagi, kita melakukan aksi dalam kurung dalam, karena 4+1=5, kita sampai pada ekspresi berikut (4+5−1)−1. Sekali lagi, kami melakukan tindakan dalam tanda kurung: 4+5−1=8, sementara kami sampai pada perbedaan 8−1, yang sama dengan 7.

Bagian atas halaman

Urutan operasi yang dilakukan dalam ekspresi dengan akar, kekuatan, logaritma, dan fungsi lainnya

Jika ekspresi mencakup pangkat, akar, logaritma, sinus, kosinus, tangen dan kotangen, serta fungsi lainnya, maka nilainya dihitung sebelum tindakan lain dilakukan, sedangkan aturan dari paragraf sebelumnya menentukan urutan dalam mana tindakan yang dilakukan juga diperhitungkan. Dengan kata lain, hal-hal yang terdaftar, secara kasar, dapat dianggap terlampir dalam tanda kurung, dan kita tahu bahwa tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Mari kita pertimbangkan contoh.

Lakukan operasi dalam ekspresi (3+1) 2+6 2:3−7.

Ekspresi ini berisi kekuatan 6 2 , nilainya harus dihitung sebelum melakukan langkah selanjutnya. Jadi, kami melakukan eksponensial: 6 2 \u003d 36. Kami mengganti nilai ini ke dalam ekspresi aslinya, itu akan mengambil bentuk (3+1) 2+36:3−7.

Maka semuanya menjadi jelas: kami melakukan tindakan dalam tanda kurung, setelah itu ekspresi tanpa tanda kurung tetap ada, di mana, dalam urutan dari kiri ke kanan, pertama-tama kami melakukan perkalian dan pembagian, lalu penambahan dan pengurangan. Kita punya (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

Lainnya, termasuk lainnya contoh kompleks melakukan tindakan dalam ekspresi dengan akar, derajat, dll., Anda dapat melihat perhitungan nilai ekspresi di artikel.

Bagian atas halaman

Tindakan langkah pertama disebut penjumlahan dan pengurangan, sedangkan perkalian dan pembagian disebut tindakan langkah kedua.

• Matematika: studi. untuk 5 sel. pendidikan umum institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Edisi ke-21, terhapus. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 hal.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.

Tuliskan sistem persamaan aljabar linier dalam bentuk umum

Apa itu solusi SLAE?

Penyelesaian suatu sistem persamaan adalah himpunan n bilangan,

Ketika mana disubstitusikan ke dalam sistem, setiap persamaan menjadi identitas.

Sistem apa yang disebut joint (non-joint)?

Suatu sistem persamaan disebut konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi.

Suatu sistem disebut tidak konsisten jika tidak memiliki solusi.

Sistem apa yang disebut pasti (indefinite)?

Suatu sistem gabungan disebut pasti jika memiliki solusi yang unik.

Suatu sistem gabungan disebut tak tentu jika memiliki lebih dari satu solusi.

Bentuk matriks penulisan sistem persamaan

Peringkat sistem vektor

Rank suatu sistem vektor adalah jumlah maksimum vektor bebas linier.

Peringkat matriks dan cara menemukannya

Peringkat matriks- urutan tertinggi dari minor dari matriks ini, yang determinannya berbeda dari nol.

Metode pertama, metode edging, adalah sebagai berikut:

Jika semua anak di bawah umur adalah orde 1, mis. elemen matriks sama dengan nol, maka r=0 .

Jika paling sedikit salah satu minor orde 1 tidak sama dengan nol, dan semua minor orde 2 sama dengan nol, maka r=1.

Jika minor orde ke-2 bukan nol, maka kita menyelidiki minor orde ke-3. Dengan cara ini, minor orde ke-k ditemukan dan diperiksa apakah minor orde ke-k+1 tidak sama dengan nol.

Jika semua k+1 orde minor sama dengan nol, maka rank matriks sama dengan bilangan k. Minor orde k+1 seperti itu biasanya ditemukan dengan "merayap" orde minor ke-k.

Metode kedua untuk menentukan pangkat suatu matriks adalah dengan menerapkan transformasi dasar dari matriks ketika dinaikkan ke bentuk diagonal. Pangkat matriks semacam itu sama dengan jumlah elemen diagonal bukan nol.

Solusi umum dari sistem persamaan linier yang tidak homogen, sifat-sifatnya.

Properti 1. Jumlah dari setiap solusi untuk sistem persamaan linier dan setiap solusi untuk sistem homogen yang sesuai adalah solusi untuk sistem persamaan linier.

Properti 2.

Sistem persamaan linier: konsep dasar

Selisih dua solusi sistem persamaan linier tak homogen adalah solusi dari sistem homogen yang bersesuaian.

Metode Gauss untuk menyelesaikan SLAE

Selanjutnya:

1) matriks diperluas dari sistem persamaan dikompilasi

2) dengan bantuan transformasi dasar, matriks direduksi menjadi bentuk langkah

3) peringkat matriks yang diperluas dari sistem dan peringkat matriks sistem ditentukan dan pakta kompatibilitas atau ketidakcocokan sistem dibuat

4) dalam hal kompatibilitas, sistem persamaan yang setara ditulis

5) solusi dari sistem ditemukan. Variabel utama dinyatakan dalam bentuk bebas

Teorema Kronecker-Capelli

Kronecker - teorema Capelli- kriteria kompatibilitas sistem persamaan aljabar linier:

Suatu sistem persamaan aljabar linier konsisten jika dan hanya jika pangkat dari matriks utamanya sama dengan pangkat dari matriks yang diperluas, dan sistem tersebut memiliki solusi unik jika pangkatnya sama dengan jumlah yang tidak diketahui, dan himpunan solusi tak terhingga jika rank kurang dari angka tidak dikenal.

Agar sistem linier menjadi konsisten, perlu dan cukup bahwa peringkat matriks yang diperluas dari sistem ini sama dengan peringkat matriks utamanya.

Kapan sistem tidak memiliki solusi, kapan memiliki solusi tunggal, apakah memiliki banyak solusi?

Jika jumlah persamaan sistem sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan tersebut memiliki solusi unik, dan dalam kasus sistem homogen, semuanya tidak diketahui variabel sama dengan nol.

Sistem persamaan linear yang memiliki setidaknya satu solusi disebut kompatibel. Jika tidak, yaitu jika sistem tidak memiliki solusi, maka itu disebut tidak konsisten.

persamaan linear disebut konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi, dan tidak konsisten jika tidak ada solusi. Dalam contoh 14 sistem kompatibel, kolom adalah solusinya:

Solusi ini juga dapat ditulis tanpa matriks: x = 2, y = 1.

Suatu sistem persamaan akan disebut tak tentu jika memiliki lebih dari satu solusi, dan pasti jika solusi tersebut unik.

Contoh 15. Sistem tak tentu. Misalnya, ... adalah solusinya. Pembaca dapat menemukan banyak solusi lain untuk sistem ini.

Rumus yang menghubungkan koordinat vektor di pangkalan lama dan baru

Mari kita pelajari cara menyelesaikan sistem persamaan linier terlebih dahulu dalam kasus tertentu. Suatu sistem persamaan AX = B akan disebut sistem persamaan Cramer jika matriks utamanya persegi dan tidak berdegenerasi. Dengan kata lain, jumlah yang tidak diketahui dalam sistem Cramerian bertepatan dengan jumlah persamaan dan |A| = 0.

Teorema 6 (aturan Cramer). Sistem persamaan linier Cramer memiliki solusi unik yang diberikan oleh rumus:

dimana = |A| adalah determinan matriks utama, i adalah determinan yang diperoleh dari A dengan mengganti kolom ke-i dengan kolom suku bebas.

Kami akan melakukan pembuktian untuk n = 3, karena dalam kasus umum argumennya serupa.

Jadi, ada sistem Cramer:

Mari kita asumsikan dulu bahwa solusi untuk sistem itu ada, yaitu, ada

Mari kita kalikan yang pertama. persamaan pada pelengkap aljabar untuk elemen aii, persamaan kedua - pada A2i, ketiga - pada A3i dan tambahkan persamaan yang dihasilkan:

Sistem persamaan linier ~ Solusi sistem ~ Sistem yang konsisten dan tidak konsisten ~ Sistem homogen ~ Kompatibilitas sistem homogen ~ Peringkat matriks sistem ~ Kondisi kompatibilitas non-trivial ~ Sistem solusi dasar. Solusi umum ~ Studi sistem homogen

Pertimbangkan sistemnya m persamaan aljabar linier terhadap n tidak dikenal
x 1 , x 2 , …, x n :

Keputusan sistem disebut totalitas n nilai yang tidak diketahui

x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,

pada substitusi yang semua persamaan sistem berubah menjadi identitas.

Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks:

di mana A- matriks sistem, b- bagian kanan, x- solusi yang diinginkan Ap - matriks diperluas sistem:

.

Sistem yang memiliki paling sedikit satu solusi disebut persendian; sistem yang tidak memiliki solusi tidak kompatibel.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol:

Tampilan matriks dari sistem homogen: kapak = 0.

Sistem homogen selalu konsisten, karena setiap sistem linier homogen memiliki setidaknya satu solusi:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.

Jika suatu sistem homogen memiliki solusi unik, maka solusi unik ini adalah nol, dan sistem tersebut disebut sepele bersama. Jika suatu sistem homogen memiliki lebih dari satu solusi, maka ada solusi tidak nol di antara mereka, dan dalam hal ini sistem disebut sendi non-sepele.

Terbukti ketika m=n untuk kompatibilitas sistem non-sepele perlu dan cukup sehingga determinan matriks sistem sama dengan nol.

CONTOH 1. Kompatibilitas non-sepele dari sistem persamaan linier homogen dengan matriks persegi.

Menerapkan algoritma eliminasi Gaussian ke matriks sistem, kami mengurangi matriks sistem ke bentuk langkah

.

Nomor r Baris tak nol dalam bentuk langkah matriks disebut peringkat matriks, menunjukkan
r=rg(A) atau r=Rg(A).

Pernyataan berikut ini benar.

Sistem persamaan aljabar linier

Agar sistem homogen menjadi nontrivially konsisten, perlu dan cukup bahwa peringkat r matriks sistem kurang dari jumlah yang tidak diketahui n.

CONTOH 2. Kompatibilitas non-sepele dari sistem homogen dari tiga persamaan linier dengan empat yang tidak diketahui.

Jika sistem homogen konsisten non-trivial, maka ia memiliki jumlah solusi yang tak terbatas, dan kombinasi linier dari solusi apa pun dari sistem juga merupakan solusinya.
Dibuktikan bahwa di antara himpunan tak hingga dari solusi sistem homogen, tepat n-r solusi bebas linier.
Agregat n-r solusi bebas linier dari sistem homogen disebut sistem keputusan yang mendasar. Setiap solusi dari sistem dinyatakan secara linier dalam sistem fundamental. Jadi, jika pangkat r matriks A homogen sistem linier kapak = 0 lebih sedikit yang tidak diketahui n dan vektor
e 1 , e 2 , …, e n-r membentuk sistem dasar penyelesaiannya ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), maka solusi apa pun x sistem kapak = 0 dapat ditulis dalam bentuk

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

di mana c 1 , c 2 , …, c n-r adalah konstanta arbitrer. Ekspresi tertulis disebut solusi umum sistem homogen .

Riset

sistem homogen berarti menetapkan apakah itu konsisten non-trivial, dan jika ya, maka temukan sistem solusi dasar dan tuliskan ekspresi untuk solusi umum sistem.

Kami mempelajari sistem homogen dengan metode Gauss.

matriks dari sistem homogen yang diteliti, yang peringkatnya adalah r< n .

Matriks seperti itu direduksi oleh eliminasi Gauss ke bentuk bertahap

.

Sistem ekivalen yang sesuai memiliki bentuk

Dari sini mudah untuk mendapatkan ekspresi untuk variabel x 1 , x 2 , …, x r melalui x r+1 , x r+2 , …, x n. Variabel
x 1 , x 2 , …, x r ditelepon variabel dasar dan variabel x r+1 , x r+2 , …, x n - variabel bebas.

Mentransfer variabel bebas ke sisi kanan, kami memperoleh rumus

yang menentukan solusi keseluruhan sistem.

Mari kita secara berurutan mengatur nilai variabel bebas sama dengan

dan hitung nilai yang sesuai dari variabel dasar. Diterima n-r solusi bebas linier dan, oleh karena itu, membentuk sistem dasar solusi dari sistem homogen yang dipelajari:

Investigasi sistem homogen untuk kompatibilitas dengan metode Gauss.

Namun, dua kasus lagi tersebar luas dalam praktiknya:

– Sistem tidak konsisten (tidak memiliki solusi);
Sistem ini konsisten dan memiliki banyak solusi yang tak terhingga.

Catatan : istilah "konsistensi" menyiratkan bahwa sistem memiliki setidaknya beberapa solusi. Dalam sejumlah tugas, diperlukan untuk memeriksa kompatibilitas sistem terlebih dahulu, bagaimana melakukan ini - lihat artikel di peringkat matriks.

Untuk sistem ini, metode solusi yang paling universal digunakan - Metode Gauss. Sebenarnya, cara "sekolah" juga akan mengarah pada jawaban, tetapi dalam matematika yang lebih tinggi Merupakan kebiasaan untuk menggunakan metode Gaussian untuk eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui. Yang belum paham dengan algoritma metode Gauss, silahkan pelajari dulu pelajarannya metode gauss untuk boneka.

Transformasi matriks dasar itu sendiri persis sama, perbedaan akan berada di akhir solusi. Pertama, pertimbangkan beberapa contoh di mana sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten).

Contoh 1

Apa yang langsung menarik perhatian Anda dalam sistem ini? Jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah variabel. Jika jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah variabel, maka kita dapat segera mengatakan bahwa sistem tersebut tidak konsisten atau memiliki banyak solusi tak terhingga. Dan itu tetap hanya untuk mencari tahu.

Awal dari solusinya cukup biasa - kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, kami membawanya ke bentuk bertahap:

(1) Pada langkah kiri atas, kita perlu mendapatkan +1 atau -1. Tidak ada angka seperti itu di kolom pertama, jadi mengatur ulang baris tidak akan berhasil. Unit harus diatur secara independen, dan ini dapat dilakukan dengan beberapa cara. Saya melakukan ini: Ke baris pertama, tambahkan baris ketiga, dikalikan dengan -1.

(2) Sekarang kita mendapatkan dua nol di kolom pertama. Untuk baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan 3. Untuk baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan 5.

(3) Setelah transformasi selesai, selalu disarankan untuk melihat apakah mungkin untuk menyederhanakan string yang dihasilkan? Bisa. Kami membagi baris kedua dengan 2, pada saat yang sama mendapatkan -1 yang diinginkan pada langkah kedua. Bagilah baris ketiga dengan -3.

(4) Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

Mungkin, semua orang memperhatikan garis buruk, yang ternyata sebagai hasil dari transformasi dasar: . Jelas bahwa ini tidak mungkin terjadi. Memang, kami menulis ulang matriks yang dihasilkan kembali ke sistem persamaan linear:

Jika, sebagai hasil dari transformasi dasar, diperoleh string berbentuk, di mana adalah bilangan bukan nol, maka sistem tersebut tidak konsisten (tidak memiliki solusi) .

Bagaimana cara merekam akhir tugas? Mari kita menggambar dengan kapur putih: "sebagai hasil dari transformasi dasar, garis bentuk diperoleh, di mana" dan berikan jawabannya: sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten).

Jika, menurut kondisi, diperlukan untuk MENJELAJAHI sistem untuk kompatibilitas, maka perlu untuk mengeluarkan solusi dengan gaya yang lebih solid yang melibatkan konsep rank matriks dan teorema Kronecker-Capelli.

Harap dicatat bahwa tidak ada gerakan terbalik dari algoritma Gaussian di sini - tidak ada solusi dan tidak ada yang bisa ditemukan.

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan linear

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi Lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Sekali lagi, saya mengingatkan Anda bahwa jalur solusi Anda mungkin berbeda dari jalur solusi saya, algoritma Gaussian tidak memiliki "kekakuan" yang kuat.

Yang lainnya fitur teknis solusi: transformasi dasar dapat dihentikan Sekaligus, Segera setelah garis seperti , di mana . Mempertimbangkan contoh bersyarat: misalkan setelah transformasi pertama kita mendapatkan matriks . Matriks belum direduksi menjadi bentuk bertahap, tetapi tidak ada kebutuhan untuk transformasi dasar lebih lanjut, karena garis bentuk telah muncul, di mana . Harus segera dijawab bahwa sistem tidak kompatibel.

Ketika sistem persamaan linier tidak memiliki solusi, ini hampir merupakan hadiah, karena solusi singkat diperoleh, kadang-kadang secara harfiah dalam 2-3 langkah.

Tetapi segala sesuatu di dunia ini seimbang, dan masalah di mana sistem memiliki banyak solusi tak terbatas hanya akan lebih lama.

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linear

Ada 4 persamaan dan 4 yang tidak diketahui, sehingga sistem dapat memiliki solusi tunggal, atau tidak memiliki solusi, atau memiliki banyak solusi tak terhingga. Apa pun itu, tetapi metode Gauss bagaimanapun akan membawa kita pada jawabannya. Di situlah letak keserbagunaannya.

Awal lagi standar. Kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, membawanya ke bentuk langkah:

Itu saja, dan Anda takut.

(1) Perhatikan bahwa semua angka di kolom pertama habis dibagi 2, jadi 2 baik-baik saja di anak tangga kiri atas. Ke baris kedua kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan -4. Ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan -2. Ke baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan -1.

Perhatian! Banyak yang mungkin tergoda dari baris keempat mengurangi garis pertama. Ini bisa dilakukan, tetapi itu tidak perlu, pengalaman menunjukkan bahwa kemungkinan kesalahan dalam perhitungan meningkat beberapa kali lipat. Tambahkan saja: Ke baris keempat, tambahkan baris pertama, dikalikan dengan -1 - tepat!

(2) Tiga baris terakhir proporsional, dua di antaranya dapat dihapus.

Di sini sekali lagi perlu untuk menunjukkan perhatian yang meningkat, tetapi apakah garis-garisnya benar-benar proporsional? Untuk reasuransi (terutama untuk teko), tidak akan berlebihan untuk mengalikan baris kedua dengan -1, dan membagi baris keempat dengan 2, menghasilkan tiga baris yang identik. Dan hanya setelah itu hapus dua di antaranya.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap:

Saat menyelesaikan tugas di buku catatan, disarankan untuk membuat catatan yang sama dengan pensil untuk kejelasan.

Kami menulis ulang sistem persamaan yang sesuai:

Satu-satunya solusi sistem yang "biasa" tidak berbau di sini. Tidak ada garis yang buruk juga. Ini berarti bahwa ini adalah kasus ketiga yang tersisa - sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Terkadang, dengan syarat, perlu untuk menyelidiki kompatibilitas sistem (yaitu, untuk membuktikan bahwa ada solusi sama sekali), Anda dapat membaca tentang ini di paragraf terakhir artikel Bagaimana cara mencari rank suatu matriks? Tapi untuk saat ini, mari kita uraikan dasar-dasarnya:

Himpunan solusi tak hingga dari sistem secara singkat ditulis dalam bentuk yang disebut solusi sistem umum .

Kami akan menemukan solusi umum dari sistem menggunakan gerakan terbalik dari metode Gauss.

Pertama kita perlu menentukan variabel apa yang kita miliki dasar, dan variabel mana Gratis. Tidak perlu pusing-pusing dengan istilah-istilah aljabar linier, cukup diingat bahwa ada variabel dasar dan variabel bebas.

Variabel dasar selalu "duduk" secara ketat pada langkah-langkah matriks.
PADA contoh ini variabel dasarnya adalah dan

Variabel bebas adalah segalanya tersisa variabel yang tidak mendapatkan langkah. Dalam kasus kami, ada dua di antaranya: - variabel bebas.

Sekarang Anda membutuhkan semua variabel dasar cepat hanya melalui variabel bebas.

Gerakan kebalikan dari algoritma Gaussian secara tradisional bekerja dari bawah ke atas.
Dari persamaan kedua sistem, kami menyatakan variabel dasar:

Sekarang perhatikan persamaan pertama: . Pertama, kami mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

Tetap mengekspresikan variabel dasar dalam hal variabel bebas:

Hasilnya adalah apa yang Anda butuhkan - semua variabel basis ( dan ) dinyatakan hanya melalui variabel bebas:

Sebenarnya, solusi umum sudah siap:

Bagaimana cara menuliskan solusi umumnya?
Variabel bebas ditulis ke dalam solusi umum "sendiri" dan secara ketat di tempatnya. Dalam hal ini, variabel bebas harus ditulis pada posisi kedua dan keempat:
.

Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar dan jelas perlu ditulis di posisi pertama dan ketiga:

Memberikan variabel bebas nilai sewenang-wenang, ada banyak sekali keputusan pribadi. Nilai yang paling populer adalah nol, karena solusi tertentu adalah yang paling mudah diperoleh. Substitusi ke dalam solusi umum:

merupakan keputusan pribadi.

Yang satu adalah pasangan manis lainnya, mari kita substitusikan ke solusi umum:

adalah solusi khusus lainnya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa sistem persamaan memiliki banyak solusi(karena kita dapat memberikan variabel bebas setiap nilai)

Setiap solusi tertentu harus memenuhi untuk masing-masing persamaan sistem. Ini adalah dasar untuk pemeriksaan "cepat" atas kebenaran solusi. Ambil, misalnya, solusi tertentu dan substitusikan ke sisi kiri setiap persamaan dalam sistem asli:

Semuanya harus bersatu. Dan dengan solusi khusus apa pun yang Anda dapatkan, semuanya juga harus menyatu.

Tapi, sebenarnya, verifikasi solusi tertentu terkadang menipu; beberapa solusi tertentu dapat memenuhi setiap persamaan sistem, dan solusi umum itu sendiri sebenarnya ditemukan salah.

Oleh karena itu, verifikasi solusi umum lebih teliti dan dapat diandalkan. Bagaimana cara memeriksa solusi umum yang dihasilkan ?

Mudah, tapi cukup melelahkan. Kita perlu mengambil ekspresi dasar variabel, dalam hal ini dan , dan substitusikan ke ruas kiri setiap persamaan sistem.

Ke ruas kiri persamaan pertama sistem:

Ke ruas kiri persamaan kedua sistem:


Sisi kanan persamaan asli diperoleh.

Contoh 4

Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss. Temukan solusi umum dan dua solusi pribadi. Periksa solusi keseluruhan.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Omong-omong, di sini, sekali lagi, jumlah persamaan lebih kecil daripada jumlah yang tidak diketahui, yang berarti segera jelas bahwa sistem akan menjadi tidak konsisten atau memiliki jumlah solusi tak terhingga. Apa yang penting dalam proses pengambilan keputusan itu sendiri? Perhatian, dan lagi perhatian. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Dan beberapa contoh lagi untuk memperkuat materi

Contoh 5

Memecahkan sistem persamaan linear. Jika sistem memiliki banyak solusi, temukan dua solusi khusus dan periksa solusi umumnya

Keputusan: Mari kita tulis matriks yang diperbesar dari sistem dan dengan bantuan transformasi dasar kita bawa ke bentuk langkah:

(1) Tambahkan baris pertama ke baris kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan 2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama dikalikan 3.
(2) Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -5. Ke baris keempat kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -7.
(3) Baris ketiga dan keempat sama, kami menghapus salah satunya.

Inilah keindahan seperti itu:

Variabel dasar duduk di tangga, jadi mereka adalah variabel dasar.
Hanya ada satu variabel bebas, yang tidak mendapatkan langkah:

Gerakan mundur:
Kami mengungkapkan variabel dasar dalam hal variabel bebas:
Dari persamaan ketiga:

Pertimbangkan persamaan kedua dan substitusikan ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

Pertimbangkan persamaan pertama dan substitusikan ekspresi yang ditemukan dan ke dalamnya:

Ya, kalkulator yang menghitung pecahan biasa masih nyaman.

Jadi solusi umumnya adalah:

Sekali lagi, bagaimana itu terjadi? Variabel bebas duduk sendirian di tempat keempat yang sah. Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar , juga mengambil tempat ordinalnya.

Mari kita segera memeriksa solusi umum. Bekerja untuk orang kulit hitam, tetapi saya sudah melakukannya, jadi tangkap =)

Kami mengganti tiga pahlawan , , ke sisi kiri setiap persamaan sistem:

Sisi kanan persamaan yang sesuai diperoleh, sehingga solusi umum ditemukan dengan benar.

Sekarang dari solusi umum yang ditemukan kita mendapatkan dua solusi khusus. Koki di sini adalah satu-satunya variabel bebas. Anda tidak perlu mematahkan kepala Anda.

Biarkan kemudian merupakan keputusan pribadi.
Membiarkan , Kemudian menjadi solusi khusus lainnya.

Menjawab: Keputusan bersama: , solusi khusus: , .

Saya seharusnya tidak ingat tentang orang kulit hitam di sini ... ... karena segala macam motif sadis muncul di kepala saya dan saya ingat fotozhaba yang terkenal, di mana anggota Ku Klux Klan dengan pakaian terusan putih berlari melintasi lapangan setelah sepak bola hitam pemain. Aku duduk dan tersenyum dalam diam. Anda tahu bagaimana mengganggu ....

Banyak matematika yang berbahaya, jadi contoh terakhir yang serupa untuk solusi independen.

Contoh 6

Temukan solusi umum dari sistem persamaan linier.

Saya sudah memeriksa solusi umum, jawabannya bisa dipercaya. Solusi Anda mungkin berbeda dari solusi saya, yang utama adalah solusi umum cocok.

Mungkin, banyak yang memperhatikan momen yang tidak menyenangkan dalam solusi: sangat sering, selama kebalikan dari metode Gauss, kami harus mengutak-atik pecahan biasa. Dalam praktiknya, ini benar, kasus di mana tidak ada pecahan jauh lebih jarang terjadi. Bersiaplah secara mental, dan yang paling penting, secara teknis.

Saya akan membahas beberapa fitur dari solusi yang tidak ditemukan dalam contoh yang diselesaikan.

Solusi umum sistem kadang-kadang dapat mencakup konstanta (atau konstanta), misalnya: . Di sini salah satu variabel dasar sama dengan angka konstan: . Tidak ada yang eksotis dalam hal ini, itu terjadi. Jelas, dalam hal ini, setiap solusi tertentu akan berisi lima di posisi pertama.

Jarang, tetapi ada sistem di mana jumlah persamaan lebih banyak kuantitas variabel. Metode Gaussian bekerja dalam kondisi yang paling parah; seseorang harus dengan tenang membawa matriks sistem yang diperluas ke bentuk bertahap sesuai dengan algoritma standar. Sistem seperti itu mungkin tidak konsisten, mungkin memiliki banyak solusi tak terhingga, dan, anehnya, mungkin memiliki solusi unik.

tugas layanan. Kalkulator online dirancang untuk mempelajari sistem persamaan linier. Biasanya dalam kondisi masalah diperlukan untuk menemukan solusi umum dan khusus dari sistem. Saat mempelajari sistem persamaan linier, masalah berikut diselesaikan:

1. apakah sistemnya kolaboratif;
2. jika sistem konsisten, maka pasti atau tidak terbatas (kriteria kompatibilitas sistem ditentukan oleh teorema);
3. jika sistem didefinisikan, lalu bagaimana menemukan solusi uniknya (metode Cramer, metode matriks terbalik atau metode Jordan-Gauss digunakan);
4. jika sistem tidak terbatas, lalu bagaimana menggambarkan himpunan penyelesaiannya.

Klasifikasi sistem persamaan linear

Sistem persamaan linier arbitrer memiliki bentuk:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. Sistem persamaan linier tidak homogen (jumlah variabel sama dengan jumlah persamaan, m = n).
2. Sistem arbitrer persamaan linier tidak homogen (m > n atau m< n).

Definisi. Penyelesaian suatu sistem adalah himpunan bilangan c 1 ,c 2 ,...,c n , yang substitusinya ke dalam sistem alih-alih bilangan yang tidak diketahui yang bersesuaian mengubah setiap persamaan sistem menjadi suatu identitas.

Definisi. Dua sistem dikatakan ekivalen jika solusi yang pertama adalah solusi yang kedua dan sebaliknya.

Definisi. Sistem yang memiliki paling sedikit satu solusi disebut persendian. Sistem yang tidak memiliki solusi disebut tidak konsisten.

Definisi. Sistem dengan solusi unik disebut yakin, dan memiliki lebih dari satu solusi tidak terbatas.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

1. Temukan barisan matriks utama dan matriks diperpanjang. Jika mereka tidak sama, maka, menurut teorema Kronecker-Capelli, sistemnya tidak konsisten, dan di sinilah penelitian berakhir.
2. Misalkan pangkat(A) = pangkat(B) . Kami memilih minor dasar. Dalam hal ini, semua sistem persamaan linier yang tidak diketahui dibagi menjadi dua kelas. Yang tidak diketahui, yang koefisiennya termasuk dalam minor dasar, disebut dependen, dan yang tidak diketahui, yang koefisiennya tidak termasuk dalam minor dasar, disebut bebas. Perhatikan bahwa pilihan tidak diketahui dependen dan bebas tidak selalu unik.
3. Kami mencoret persamaan sistem yang koefisiennya tidak termasuk dalam minor dasar, karena merupakan konsekuensi dari yang lain (menurut teorema minor dasar).
4. Suku-suku persamaan yang mengandung tidak diketahui bebas akan dipindahkan ke ruas kanan. Akibatnya, kami memperoleh sistem persamaan r dengan r tidak diketahui, setara dengan yang diberikan, yang determinannya berbeda dari nol.
5. Sistem yang dihasilkan diselesaikan dengan salah satu cara berikut: metode Cramer, metode matriks terbalik, atau metode Jordan-Gauss. Ditemukan hubungan yang menyatakan variabel terikat dalam bentuk variabel bebas.

Sistem pemecahan persamaan aljabar linier (SLAE) tidak diragukan lagi topik yang paling penting dari kursus aljabar linier. Sejumlah besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi sistem penyelesaian persamaan linier. Faktor-faktor ini menjelaskan alasan untuk membuat artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sehingga dengan bantuannya Anda dapat

• pilih metode optimal untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier Anda,
• mempelajari teori metode yang dipilih,
• selesaikan sistem persamaan linier Anda, dengan mempertimbangkan secara rinci solusi dari contoh dan masalah yang umum.

Deskripsi singkat tentang materi artikel.

Mari kita berikan semuanya dulu definisi yang diperlukan, konsep, dan memperkenalkan notasi.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan metode untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan yang memiliki solusi unik. Pertama, mari kita fokus pada metode Cramer, kedua, kami akan menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan seperti itu, dan ketiga, kami akan menganalisis metode Gauss (metode penghapusan variabel yang tidak diketahui secara berurutan). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan berbagai cara.

Setelah itu, kita beralih ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier pandangan umum, di mana jumlah persamaan tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau matriks utama dari sistem mengalami degenerasi. Kami merumuskan teorema Kronecker-Capelli, yang memungkinkan kami untuk menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (dalam hal kompatibilitasnya) menggunakan konsep dasar minor dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gauss dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.

Pastikan untuk memikirkan struktur solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami mempertimbangkan sistem persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier, serta berbagai masalah, yang dalam penyelesaiannya muncul SLAE.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p mungkin sama dengan n ) dalam bentuk

Variabel tidak diketahui, - koefisien (beberapa bilangan real atau kompleks), - anggota bebas (juga bilangan real atau kompleks).

Bentuk SLAE ini disebut koordinat.

PADA bentuk matriks sistem persamaan ini memiliki bentuk ,
di mana - matriks utama sistem, - matriks-kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks-kolom anggota bebas.

Jika kita menambahkan ke matriks A sebagai (n + 1)-kolom kolom matriks suku bebas, maka kita mendapatkan apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linier. Biasanya, matriks yang diperbesar dilambangkan dengan huruf T, dan kolom anggota bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom lainnya, yaitu,

Dengan memecahkan sistem persamaan aljabar linier disebut seperangkat nilai variabel yang tidak diketahui , yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks untuk nilai yang diberikan dari variabel yang tidak diketahui juga berubah menjadi identitas.

Jika sistem persamaan memiliki setidaknya satu solusi, maka itu disebut persendian.

Jika sistem persamaan tidak memiliki solusi, maka disebut tidak cocok.

Jika SLAE memiliki solusi unik, maka itu disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka - tidak pasti.

Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol , maka sistem tersebut disebut homogen, sebaliknya - heterogen.

Solusi sistem dasar persamaan aljabar linier.

Jika jumlah persamaan sistem sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka kita akan memanggil SLAE seperti itu dasar. Sistem persamaan tersebut memiliki solusi yang unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.

Kami mulai mempelajari SLAE semacam itu di sekolah menengah atas. Ketika menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui dalam hal yang lain dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian mengambil persamaan berikutnya, menyatakan variabel yang tidak diketahui berikutnya dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu mereka menambahkan dua atau lebih persamaan untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena mereka pada dasarnya adalah modifikasi dari metode Gauss.

Metode utama untuk menyelesaikan sistem dasar persamaan linier adalah metode Cramer, metode matriks dan metode Gauss. Mari kita urutkan.

Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer.

Mari kita selesaikan sistem persamaan aljabar linier

di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem berbeda dari nol, yaitu .

Membiarkan menjadi determinan matriks utama sistem, dan adalah determinan matriks yang diperoleh dari A dengan mengganti 1, 2, …, n kolom masing-masing ke kolom anggota bebas:

Dengan notasi seperti itu, variabel yang tidak diketahui dihitung dengan rumus metode Cramer sebagai . Ini adalah bagaimana solusi dari sistem persamaan aljabar linier ditemukan dengan metode Cramer.

Contoh.

Metode Cramer .

Keputusan.

Matriks utama dari sistem memiliki bentuk . Hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel):

Karena determinan matriks utama sistem adalah bukan nol, sistem tersebut memiliki solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode Cramer.

Tulis dan hitung determinan yang diperlukan (determinan diperoleh dengan mengganti kolom pertama pada matriks A dengan kolom anggota bebas, determinan - dengan mengganti kolom kedua dengan kolom anggota bebas, - dengan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom anggota bebas ):

Menemukan variabel yang tidak diketahui menggunakan rumus :

Menjawab:

Kerugian utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kerugian) adalah rumitnya menghitung determinan ketika jumlah persamaan sistem lebih dari tiga.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks (menggunakan matriks terbalik).

Biarkan sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks , di mana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.

Karena , maka matriks A dapat dibalik, yaitu ada matriks terbalik . Jika kita mengalikan kedua sisi persamaan dengan di sebelah kiri, maka kita mendapatkan rumus untuk menemukan matriks kolom dari variabel yang tidak diketahui. Jadi kami mendapatkan solusi dari sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks.

Contoh.

Memecahkan Sistem Persamaan Linier metode matriks.

Keputusan.

Mari kita tulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Sebagai

maka SLAE dapat diselesaikan dengan metode matriks. Dengan menggunakan matriks terbalik, solusi untuk sistem ini dapat ditemukan sebagai .

Mari kita bangun matriks invers menggunakan matriks komplemen aljabar dari elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Tetap menghitung - matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks terbalik pada kolom matriks anggota gratis (jika perlu, lihat artikel):

Menjawab:

atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks adalah rumitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks kuadrat berorde lebih tinggi dari ketiga.

Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Gauss.

Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linier dengan n variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utama yang berbeda dari nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari pengecualian berturut-turut dari variabel yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, mulai dari yang kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari yang ketiga, dan seterusnya, sampai hanya variabel yang tidak diketahui x n tetap dalam persamaan terakhir. Proses transformasi persamaan sistem untuk eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gauss langsung. Setelah proses maju metode Gauss selesai, x n ditemukan dari persamaan terakhir, x n-1 dihitung dari persamaan kedua dari belakang menggunakan nilai ini, dan seterusnya, x 1 ditemukan dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut metode Gauss terbalik.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kami akan berasumsi bahwa , karena kami selalu dapat mencapai ini dengan mengatur ulang persamaan sistem. Kami mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari yang kedua. Untuk melakukannya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan kedua sistem, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Dengan demikian, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kami bertindak serupa, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Untuk melakukannya, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan ketiga sistem, tambahkan kedua dikalikan dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambahkan kedua dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana . Dengan demikian, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita lanjutkan ke eliminasi x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perjalanan langsung dari metode Gauss sampai sistem mengambil bentuk

Mulai saat ini, kami memulai kebalikan dari metode Gauss: kami menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperoleh x n kami menemukan x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kami menemukan x 1 dari yang pertama persamaan.

Contoh.

Memecahkan Sistem Persamaan Linier metode Gauss.

Keputusan.

Mari kita singkirkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem. Untuk melakukan ini, ke kedua bagian persamaan kedua dan ketiga, kami menambahkan bagian yang sesuai dari persamaan pertama, dikalikan dengan dan dengan, masing-masing:

Sekarang kami mengecualikan x 2 dari persamaan ketiga dengan menambahkan ke bagian kiri dan kanannya bagian kiri dan kanan dari persamaan kedua, dikalikan dengan:

Pada ini, jalur maju dari metode Gauss selesai, kami memulai jalur sebaliknya.

Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan, kami menemukan x 3:

Dari persamaan kedua kita peroleh .

Dari persamaan pertama kami menemukan variabel yang tidak diketahui yang tersisa dan ini melengkapi kebalikan dari metode Gauss.

Menjawab:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Dalam kasus umum, jumlah persamaan sistem p tidak bertepatan dengan jumlah variabel yang tidak diketahui n:

SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan yang matriks utamanya adalah persegi dan degenerasi.

Teorema Kronecker-Capelli.

Sebelum menemukan solusi untuk sistem persamaan linier, perlu untuk menetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan ketika SLAE kompatibel, dan ketika tidak kompatibel, memberikan Teorema Kronecker-Capelli:
untuk sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p dapat sama dengan n ) agar konsisten, perlu dan cukup bahwa pangkat matriks utama sistem sama dengan pangkat matriks yang diperluas, yaitu, Rank( A)=Peringkat(T) .

Mari kita perhatikan penerapan teorema Kronecker-Capelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linier sebagai contoh.

Contoh.

Cari tahu apakah sistem persamaan linear memiliki solusi.

Keputusan.

. Mari kita gunakan metode membatasi anak di bawah umur. Minor orde kedua berbeda dari nol. Mari kita bahas anak di bawah umur tingkat ketiga yang mengelilinginya:

Karena semua minor orde ketiga yang berbatasan sama dengan nol, pangkat matriks utama adalah dua.

Pada gilirannya, pangkat matriks yang diperbesar sama dengan tiga, karena minor dari orde ketiga

berbeda dari nol.

Dengan demikian, Rang(A) , oleh karena itu, menurut teorema Kronecker-Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.

Menjawab:

Tidak ada sistem solusi.

Jadi, kita telah belajar untuk menetapkan inkonsistensi sistem menggunakan teorema Kronecker-Capelli.

Tetapi bagaimana menemukan solusi SLAE jika kompatibilitasnya ditetapkan?

Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep basis minor suatu matriks dan teorema pangkat suatu matriks.

Minor orde tertinggi dari matriks A, selain nol, disebut dasar.

Dari definisi basis minor, urutannya sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks A bukan nol, mungkin ada beberapa minor dasar; selalu ada satu minor dasar.

Sebagai contoh, perhatikan matriks .

Semua minor orde ketiga dari matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen baris pertama dan kedua yang bersesuaian.

Minor berikut dari orde kedua adalah dasar, karena bukan nol

Anak di bawah umur tidak dasar, karena mereka sama dengan nol.

Teorema peringkat matriks.

Jika pangkat suatu matriks orde p oleh n adalah r, maka semua elemen baris (dan kolom) dari matriks yang tidak membentuk basis minor terpilih diekspresikan secara linear dalam elemen-elemen baris (dan kolom yang bersesuaian) ) yang membentuk basis minor.

Apa yang diberikan teorema peringkat matriks kepada kita?

Jika, dengan teorema Kronecker-Capelli, kami telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kami memilih setiap minor dasar dari matriks utama sistem (urutannya sama dengan r), dan mengecualikan dari sistem semua persamaan yang tidak membentuk minor dasar yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan setara dengan yang asli, karena persamaan yang dibuang masih berlebihan (menurut teorema peringkat matriks, persamaan tersebut adalah kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).

Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang berlebihan, dua kasus dimungkinkan.

Jika jumlah persamaan r dalam sistem yang dihasilkan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka akan pasti dan satu-satunya solusi dapat ditemukan dengan metode Cramer, metode matriks atau metode Gauss.

Contoh.

.

Keputusan.

Peringkat matriks utama sistem sama dengan dua, karena minor dari orde kedua berbeda dari nol. Peringkat matriks yang diperluas juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor dari orde ketiga sama dengan nol

dan minor dari orde kedua yang dipertimbangkan di atas berbeda dari nol. Berdasarkan teorema Kronecker-Capelli, seseorang dapat menyatakan kompatibilitas sistem asli persamaan linier, karena Rank(A)=Rank(T)=2 .

Sebagai dasar minor, kami mengambil . Ini dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua:


Persamaan ketiga dari sistem tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar, jadi kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema peringkat matriks:


Jadi kita punya sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan dengan metode Cramer:


Menjawab:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jika jumlah persamaan r dalam SLAE yang dihasilkan lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui n, maka kita meninggalkan suku-suku yang membentuk minor dasar di bagian kiri persamaan, dan memindahkan suku-suku yang tersisa ke bagian kanan persamaan dari sistem dengan tanda yang berlawanan.

Variabel yang tidak diketahui (ada r dari mereka) yang tersisa di sisi kiri persamaan disebut utama.

Variabel yang tidak diketahui (ada n - r dari mereka) yang berakhir di sisi kanan disebut Gratis.

Sekarang kita asumsikan bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai arbitrer, sedangkan r variabel utama yang tidak diketahui akan diekspresikan dalam variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang dihasilkan dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Mari kita ambil contoh.

Contoh.

Memecahkan Sistem Persamaan Aljabar Linier .

Keputusan.

Tentukan pangkat matriks utama sistem tersebut dengan metode anak di bawah umur berbatasan. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor orde pertama bukan nol. Mari kita mulai mencari minor orde kedua bukan nol yang mengelilingi minor ini:


Jadi kami menemukan minor bukan nol dari orde kedua. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan bukan nol dari orde ketiga:


Dengan demikian, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperbesar juga sama dengan tiga, yaitu sistemnya konsisten.

Minor bukan nol yang ditemukan dari orde ketiga akan diambil sebagai yang dasar.

Agar lebih jelas, kami menunjukkan elemen-elemen yang membentuk basis minor:


Kami meninggalkan istilah yang berpartisipasi dalam minor dasar di sisi kiri persamaan sistem, dan mentransfer sisanya dengan tanda yang berlawanan ke sisi kanan:


Kami memberikan variabel bebas yang tidak diketahui x 2 dan x 5 nilai arbitrer, yaitu, kami mengambil , di mana adalah angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE mengambil bentuk


Kami memecahkan sistem dasar persamaan aljabar linier yang diperoleh dengan metode Cramer:


Karena itu, .

Dalam jawabannya, jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui.

Menjawab:

Dimana angka arbitrer.

Meringkaskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, pertama-tama kita mencari kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker-Capelli. Jika rank dari matriks utama tidak sama dengan rank dari matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak konsisten.

Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita memilih minor dasar dan membuang persamaan sistem yang tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar yang dipilih.

Jika orde dari basis minor sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka SLAE memiliki solusi unik, yang dapat ditemukan dengan metode apa pun yang kita ketahui.

Jika urutan basis minor lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka di sisi kiri persamaan sistem kita meninggalkan suku dengan variabel utama yang tidak diketahui, memindahkan suku yang tersisa ke ruas kanan dan memberikan nilai arbitrer​ untuk variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linier yang dihasilkan, kami menemukan variabel utama yang tidak diketahui dengan metode Cramer, metode matriks atau metode Gauss.

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Dengan menggunakan metode Gauss, seseorang dapat menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier jenis apa pun tanpa penyelidikan awal untuk kompatibilitasnya. Proses pengecualian berturut-turut dari variabel yang tidak diketahui memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang kompatibilitas dan inkonsistensi SLAE, dan jika ada solusi, itu memungkinkan untuk menemukannya.

Dari sudut pandang pekerjaan komputasi, metode Gaussian lebih disukai.

Awas Detil Deskripsi dan menganalisis contoh dalam artikel Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Merekam solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem dasar solusi.

Pada bagian ini, kita akan fokus pada sistem homogen dan tidak homogen gabungan dari persamaan aljabar linier yang memiliki jumlah solusi tak terbatas.

Mari kita berurusan dengan sistem homogen terlebih dahulu.

Sistem keputusan mendasar dari sistem homogen persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui adalah himpunan (n – r) solusi bebas linier dari sistem ini, di mana r adalah orde dari basis minor dari matriks utama sistem.

Jika kita menetapkan solusi bebas linier dari SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) adalah matriks kolom berdimensi n oleh 1 ) , maka solusi umum dari sistem homogen ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor sistem fundamental solusi dengan koefisien konstanta arbitrer 1 , 2 , …, (n-r), yaitu, .

Apa arti istilah solusi umum sistem homogen persamaan aljabar linier (oroslau)?

Artinya sederhana: rumus menentukan segalanya solusi yang memungkinkan SLAE asli, dengan kata lain, mengambil himpunan nilai konstanta arbitrer С 1 , 2 , …, (n-r) , menurut rumus kita mendapatkan salah satu solusi dari SLAE homogen asli.

Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat menetapkan semua solusi dari SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi untuk SLAE homogen.

Kami memilih minor dasar dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem, dan mentransfer ke sisi kanan persamaan sistem dengan tanda yang berlawanan semua istilah yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui. Mari kita beri variabel bebas yang tidak diketahui nilai 1,0,0,…,0 dan hitung variabel utama yang tidak diketahui dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang dihasilkan dengan cara apa pun, misalnya, dengan metode Cramer. Dengan demikian, X (1) akan diperoleh - solusi pertama dari sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0,…,0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, maka kita mendapatkan X (2) . Dll. Jika kita memberikan variabel bebas yang tidak diketahui nilai 0,00,…,0,1 dan menghitung variabel utama yang tidak diketahui, maka kita mendapatkan X (n-r) . Ini adalah bagaimana sistem dasar solusi dari SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen, solusi umumnya direpresentasikan sebagai:

Mari kita lihat contoh.

Contoh.

Temukan sistem solusi fundamental dan solusi umum sistem homogen persamaan aljabar linier .

Keputusan.

Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari pangkat matriks utama dengan metode fringing minor. Sebagai minor bukan nol dari orde pertama, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Temukan minor pembatas bukan nol dari orde kedua:

Sebuah minor dari orde kedua, berbeda dari nol, ditemukan. Mari kita pergi melalui anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol:

Semua minor yang berbatasan dari orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan tambahan adalah dua. Mari kita ambil minor dasar. Untuk kejelasan, kami mencatat elemen sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga dari SLAE asli tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar, oleh karena itu, dapat dikecualikan:

Kami membiarkan suku-suku yang mengandung faktor-faktor yang tidak diketahui utama di ruas kanan persamaan, dan memindahkan suku-suku dengan variabel bebas yang tidak diketahui ke ruas kanan:

Mari kita membangun sistem dasar solusi untuk sistem persamaan linier homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan urutan minor dasarnya adalah dua. Untuk menemukan X (1), kami memberikan variabel bebas yang tidak diketahui nilai x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, kemudian kami menemukan yang tidak diketahui utama dari sistem persamaan
.