Bagaimana menyelesaikan akar kuadrat. Cara cepat mengekstrak akar kuadrat

Di antara sekian banyak pengetahuan yang merupakan tanda literasi, alfabet menempati urutan pertama. Berikutnya, elemen "tanda" yang sama, adalah keterampilan penjumlahan-perkalian dan, bersebelahan dengannya, tetapi maknanya terbalik, operasi aritmatika pengurangan-pembagian. Keterampilan yang dipelajari di masa kanak-kanak sekolah yang jauh melayani dengan setia siang dan malam: TV, koran, SMS, Dan di mana pun kita membaca, menulis, menghitung, menambah, mengurangi, mengalikan. Dan, katakan padaku, apakah Anda sering harus mengakar dalam kehidupan, kecuali di pedesaan? Misalnya, masalah yang menghibur, seperti, akar kuadrat dari angka 12345 ... Apakah masih ada bubuk mesiu di dalam termos bubuk? Bisakah kita melakukannya? Ya, tidak ada yang lebih mudah! Di mana kalkulator saya ... Dan tanpa itu, tangan kosong, lemah?

Pertama, mari kita perjelas apa itu - Akar pangkat dua angka. Secara umum, "mengekstrak akar dari suatu angka" berarti melakukan operasi aritmatika yang berlawanan dengan menaikkan pangkat - di sini Anda memiliki kesatuan lawan dalam aplikasi kehidupan. misalkan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan, yaitu seperti yang diajarkan di sekolah, X * X = A atau dalam notasi lain X2 = A, dan dengan kata lain - “X kuadrat sama dengan A”. Kemudian masalah kebalikannya berbunyi seperti ini: akar kuadrat dari bilangan A adalah bilangan X, yang jika dikuadratkan sama dengan A.

Mengekstrak akar kuadrat

Dari kursus aritmatika sekolah, metode perhitungan "dalam kolom" diketahui, yang membantu melakukan perhitungan apa pun menggunakan empat yang pertama operasi aritmatika. Sayangnya ... Untuk kuadrat, dan tidak hanya kuadrat, akar dari algoritma tersebut tidak ada. Dan dalam hal ini, bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat tanpa kalkulator? Berdasarkan definisi akar kuadrat, hanya ada satu kesimpulan - perlu untuk memilih nilai hasil dengan pencacahan angka berurutan, kuadrat yang mendekati nilai ekspresi akar. Hanya dan semuanya! Satu atau dua jam tidak akan punya waktu untuk berlalu, karena Anda dapat menghitung menggunakan metode terkenal mengalikan menjadi "kolom", akar kuadrat apa pun. Jika Anda memiliki keterampilan, beberapa menit sudah cukup untuk ini. Bahkan kalkulator atau pengguna PC yang tidak terlalu mahir melakukannya dalam satu gerakan - kemajuan.

Tapi serius, perhitungan akar kuadrat sering dilakukan dengan menggunakan teknik "garpu artileri": pertama, mereka mengambil angka yang kuadratnya kira-kira sesuai dengan ekspresi akar. Lebih baik jika "kotak kami" sedikit lebih kecil dari ekspresi ini. Kemudian mereka mengoreksi angka tersebut sesuai dengan pemahaman keterampilan mereka sendiri, misalnya, kalikan dengan dua, dan ... kuadratkan lagi. Jika hasilnya lebih besar dari angka di bawah root, sesuaikan angka aslinya secara berurutan, secara bertahap mendekati "rekan" di bawah root. Seperti yang Anda lihat - tidak ada kalkulator, hanya kemampuan untuk menghitung "dalam kolom". Tentu saja, ada banyak algoritma yang beralasan secara ilmiah dan dioptimalkan untuk menghitung akar kuadrat, tetapi untuk "penggunaan di rumah" teknik di atas memberikan kepercayaan 100% pada hasilnya.

Ya, saya hampir lupa, untuk mengonfirmasi peningkatan literasi kami, kami menghitung akar kuadrat dari angka 12345 yang ditunjukkan sebelumnya. Kami melakukannya langkah demi langkah:

1. Ambil, murni secara intuitif, X=100. Mari kita hitung: X * X = 10.000. Intuisi ada di atas - hasilnya kurang dari 12345.

2. Mari kita coba, juga murni secara intuitif, X = 120. Kemudian: X * X = 14400. Dan sekali lagi, dengan intuisi, urutan - hasilnya lebih dari 12345.

3. Di atas, diperoleh "garpu" 100 dan 120. Mari kita pilih angka baru - 110 dan 115. Kita mendapatkan, masing-masing, 12100 dan 13225 - garpu menyempit.

4. Kami mencoba "mungkin" X = 111. Didapatkan X * X = 12321. Angka ini sudah cukup mendekati 12345. Sesuai dengan ketelitian yang dibutuhkan, “fitting” dapat dilanjutkan atau dihentikan pada hasil yang diperoleh. Itu saja. Seperti yang dijanjikan - semuanya sangat sederhana dan tanpa kalkulator.

Sedikit sejarah...

Berpikir tentang menggunakan akar kuadrat masih Pythagoras, siswa sekolah dan pengikut Pythagoras, selama 800 tahun SM. dan di sana, "bertemu" dengan penemuan-penemuan baru di bidang angka. Dan dari mana asalnya?

1. Penyelesaian masalah dengan ekstraksi akar, memberikan hasil berupa bilangan dari kelas baru. Mereka disebut irasional, dengan kata lain, "tidak masuk akal", karena. mereka tidak ditulis sebagai angka lengkap. Contoh paling klasik dari jenis ini adalah akar kuadrat dari 2. Kasus ini sesuai dengan perhitungan diagonal persegi dengan sisi sama dengan 1 - ini dia, pengaruh aliran Pythagoras. Ternyata dalam segitiga dengan ukuran sisi yang sangat spesifik, sisi miring memiliki ukuran yang dinyatakan dengan angka yang "tidak memiliki ujung". Jadi dalam matematika muncul

2. Diketahui bahwa ternyata ini operasi matematika berisi tangkapan lain - mengekstrak akar, kita tidak tahu kuadrat angka apa, positif atau negatif, adalah ekspresi akar. Ketidakpastian ini, hasil ganda dari satu operasi, dituliskan.

Studi tentang masalah yang terkait dengan fenomena ini telah menjadi arah dalam matematika yang disebut teori variabel kompleks, yang sangat penting secara praktis dalam fisika matematika.

Sangat mengherankan bahwa sebutan akar - radikal - digunakan dalam "Aritmatika Universal" -nya oleh I. Newton yang sama di mana-mana, tetapi persisnya tampilan modern Catatan akar telah dikenal sejak 1690 dari buku Frenchman Roll "Guide to Algebra".

Matematika lahir ketika seseorang menjadi sadar akan dirinya dan mulai memposisikan dirinya sebagai unit otonom dunia. Keinginan untuk mengukur, membandingkan, menghitung apa yang mengelilingi Anda - inilah yang mendasari salah satu ilmu dasar zaman kita. Pada awalnya, ini adalah bagian dari matematika dasar, yang memungkinkan untuk mengaitkan angka dengan ekspresi fisiknya, kemudian kesimpulan mulai disajikan hanya secara teoritis (karena abstraksinya), tetapi setelah beberapa saat, seperti yang dikatakan oleh seorang ilmuwan, " matematika mencapai langit-langit kompleksitas ketika semua angka." Konsep "akar kuadrat" muncul pada saat itu dapat dengan mudah didukung oleh data empiris, melampaui bidang perhitungan.

Bagaimana semuanya dimulai

Penyebutan pertama dari akar, yang pada saat ini dilambangkan sebagai , tercatat dalam tulisan-tulisan matematikawan Babilonia, yang meletakkan dasar bagi aritmatika modern. Tentu saja, mereka terlihat sedikit seperti bentuk saat ini - para ilmuwan pada tahun-tahun itu pertama kali menggunakan tablet besar. Namun pada milenium kedua SM. e. mereka datang dengan rumus perhitungan perkiraan yang menunjukkan bagaimana mengambil akar kuadrat. Foto di bawah ini menunjukkan sebuah batu tempat para ilmuwan Babilonia mengukir proses keluaran 2, dan ternyata sangat benar sehingga perbedaan dalam jawaban hanya ditemukan di tempat desimal kesepuluh.

Selain itu, akar digunakan jika perlu untuk menemukan sisi segitiga, asalkan dua lainnya diketahui. Nah, saat menyelesaikan persamaan kuadrat, tidak ada jalan keluar untuk mengekstrak akarnya.

Seiring dengan karya Babilonia, subjek artikel juga dipelajari dalam karya Cina "Matematika dalam Sembilan Buku", dan orang Yunani kuno sampai pada kesimpulan bahwa angka apa pun yang akarnya tidak diekstraksi tanpa sisa memberikan hasil yang tidak rasional. .

Asal usul istilah ini dikaitkan dengan representasi angka dalam bahasa Arab: para ilmuwan kuno percaya bahwa kuadrat dari angka yang berubah-ubah tumbuh dari akarnya, seperti tanaman. Dalam bahasa Latin, kata ini terdengar seperti radix (seseorang dapat melacak pola - segala sesuatu yang memiliki beban semantik "akar" adalah konsonan, baik itu lobak atau linu panggul).

Para ilmuwan dari generasi berikutnya mengambil ide ini, menetapkannya sebagai Rx. Misalnya, pada abad ke-15, untuk menunjukkan bahwa akar kuadrat diambil dari bilangan arbitrer a, mereka menulis R 2 a. Biasa tampilan modern"centang" hanya muncul di abad ke-17 berkat Rene Descartes.

Hari hari kita

Secara matematis, akar kuadrat dari y adalah bilangan z yang kuadratnya adalah y. Dengan kata lain, z 2 =y setara dengan y=z. Namun, definisi ini hanya relevan untuk akar aritmatika, karena ini menyiratkan nilai ekspresi non-negatif. Dengan kata lain, y=z, di mana z lebih besar dari atau sama dengan 0.

Secara umum, yang valid untuk menentukan akar aljabar, nilai ekspresi dapat berupa positif atau negatif. Jadi, karena z 2 =y dan (-z) 2 =y, kita memiliki: y=±z atau y=|z|.

Karena fakta bahwa cinta matematika hanya meningkat dengan perkembangan ilmu pengetahuan, ada berbagai manifestasi keterikatan padanya, tidak diungkapkan dalam perhitungan kering. Misalnya, bersama dengan acara-acara lucu seperti hari Pi, hari libur akar kuadrat juga dirayakan. Mereka dirayakan sembilan kali dalam seratus tahun, dan ditentukan menurut prinsip berikut: angka-angka yang menunjukkan hari dan bulan secara berurutan harus akar kuadrat dari tahun tersebut. Ya, masuk lain waktu Liburan ini akan dirayakan pada tanggal 4 April 2016.

Sifat-sifat akar kuadrat pada bidang R

Hampir semua ekspresi matematika memiliki basis geometris, nasib ini tidak berlalu dan y, yang didefinisikan sebagai sisi persegi dengan luas y.

Bagaimana cara menemukan akar suatu bilangan?

Ada beberapa algoritma perhitungan. Yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama cukup rumit, adalah perhitungan aritmatika biasa, yaitu sebagai berikut:

1) dari angka yang akarnya kita perlukan, angka ganjil dikurangi secara bergantian - hingga sisa keluaran lebih kecil dari yang dikurangi atau genap nol. Jumlah gerakan pada akhirnya akan menjadi jumlah yang diinginkan. Misalnya, menghitung akar kuadrat dari 25:

Bilangan ganjil berikutnya adalah 11, sisanya adalah: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Untuk kasus seperti itu, ada ekspansi deret Taylor:

(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , di mana n mengambil nilai dari 0 hingga

+∞, dan |y|≤1.

Representasi grafis dari fungsi z=√y

Pertimbangkan fungsi dasar z=√y pada bidang bilangan real R, di mana y lebih besar dari atau sama dengan nol. Bagan nya terlihat seperti ini:

Kurva tumbuh dari asal dan tentu melintasi titik (1; 1).

Sifat-sifat fungsi z=√y pada bidang bilangan real R

1. Domain definisi dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga plus tak terhingga (nol disertakan).

2. Rentang nilai fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga plus tak terhingga (nol disertakan lagi).

3. Fungsi mengambil nilai minimum (0) hanya pada titik (0; 0). Tidak ada nilai maksimal.

4. Fungsi z=√y bukan genap maupun ganjil.

5. Fungsi z=√y tidak periodik.

6. Hanya ada satu titik potong dari grafik fungsi z=√y dengan sumbu koordinat: (0; 0).

7. Titik potong grafik fungsi z=√y juga merupakan nol dari fungsi ini.

8. Fungsi z=√y terus bertambah.

9. Fungsi z=√y hanya mengambil nilai positif, oleh karena itu, grafiknya menempati sudut koordinat pertama.

Opsi untuk menampilkan fungsi z=√y

Dalam matematika, untuk memudahkan perhitungan ekspresi kompleks, terkadang mereka menggunakan bentuk pangkat dari penulisan akar kuadrat: y=y 1/2. Opsi ini cocok, misalnya, dalam menaikkan fungsi ke pangkat: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Metode ini juga merupakan representasi yang baik untuk diferensiasi dengan integrasi, karena berkat itu akar kuadrat diwakili oleh fungsi pangkat biasa.

Dan dalam pemrograman, pengganti simbol adalah kombinasi huruf sqrt.

Perlu dicatat bahwa di area ini akar kuadrat sangat diminati, karena ini adalah bagian dari sebagian besar rumus geometris yang diperlukan untuk perhitungan. Algoritma penghitungan itu sendiri cukup rumit dan didasarkan pada rekursi (fungsi yang memanggil dirinya sendiri).

Akar kuadrat di bidang kompleks C

Pada umumnya, subjek artikel ini yang mendorong penemuan bidang bilangan kompleks C, karena matematikawan dihantui oleh pertanyaan untuk memperoleh akar derajat genap dari bilangan negatif. Ini adalah bagaimana unit imajiner i muncul, yang dicirikan oleh properti yang sangat menarik: kuadratnya adalah -1. Berkat ini, persamaan kuadrat dan dengan diskriminan negatif mendapat solusi. Di C, untuk akar kuadrat, properti yang sama relevan seperti di R, satu-satunya batasan pada ekspresi root dihilangkan.

Luas sebidang tanah berbentuk bujur sangkar adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah x desimeter. Maka luas petak tersebut adalah x² desimeter persegi. Karena menurut kondisinya, luas ini adalah 81 dm², maka x² = 81. Panjang sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan masalah, diperlukan untuk menemukan bilangan x, kuadratnya adalah 81, yaitu menyelesaikan persamaan x² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: x 1 = 9 dan x 2 \u003d - 9, karena 9² \u003d 81 dan (- 9)² \u003d 81. Kedua angka 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari angka 81.

Perhatikan bahwa salah satu akar kuadrat x= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dinotasikan 81, jadi 81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan sebuah.

Misalnya, angka 6 dan -6 adalah akar kuadrat dari 36. Angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah bilangan non-negatif dan 6² = 36. Angka -6 bukan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah dilambangkan sebagai berikut: tetapi.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; sebuah disebut ekspresi akar. ekspresi sebuah Baca seperti ini: akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan tetapi. Misalnya, 36 = 6, 0 = 0, 0,49 = 0,7. Dalam kasus di mana jelas bahwa kita sedang berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: "akar kuadrat dari sebuah«.

Tindakan menemukan akar kuadrat dari suatu bilangan disebut mengambil akar kuadrat. Tindakan ini adalah kebalikan dari kuadrat.

Setiap angka dapat dikuadratkan, tetapi tidak setiap angka dapat menjadi akar kuadrat. Misalnya, tidak mungkin untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka - 4. Jika akar seperti itu ada, maka, yang menunjukkannya dengan huruf x, kita akan mendapatkan persamaan yang salah x² \u003d - 4, karena ada angka non-negatif di sebelah kiri, dan angka negatif di sebelah kanan.

ekspresi sebuah hanya masuk akal ketika sebuah 0. Definisi akar kuadrat dapat ditulis secara singkat sebagai: sebuah 0, (√sebuah)² = sebuah. Kesetaraan ( sebuah)² = sebuah berlaku untuk sebuah 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari bilangan non-negatif sebuah sama dengan b, yaitu, bahwa sebuah =b, Anda perlu memeriksa bahwa dua kondisi berikut terpenuhi: b 0, b² = tetapi.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa 25 = 5, 36 = 6, dan periksa apakah persamaannya berlaku.

Karena dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika sebuah 0 dan b> 0, yaitu akar dari pecahan sama dengan akar dari pembilang dibagi dengan akar penyebut. Harus dibuktikan bahwa: dan .

Sejak sebuah 0 dan b> 0, maka .

Dengan sifat menaikkan pecahan menjadi pangkat dan menentukan akar kuadrat teorema terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung , sesuai dengan teorema terbukti .

Contoh kedua: Buktikan bahwa , jika sebuah ≤ 0, b < 0. .

Contoh lain: Hitung .

Transformasi akar kuadrat

Mengambil pengganda dari bawah tanda akar. Biarkan ekspresi diberikan. Jika sebuah 0 dan b 0, maka dengan teorema pada akar produk, kita dapat menulis:

Transformasi seperti itu disebut memfaktorkan keluar tanda akar. Pertimbangkan sebuah contoh;

Hitung di x= 2. Substitusi langsung x= 2 dalam ekspresi radikal mengarah ke perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika pertama-tama kita menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang substitusikan x = 2, kita dapatkan:.

Jadi, ketika mengambil faktor dari bawah tanda akar, ekspresi radikal direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Teorema hasil kali akar kemudian diterapkan dan akar dari setiap faktor diambil. Perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan ekspresi A = 8 + 18 - 4√2 dengan mengambil faktor-faktor dari bawah tanda akar dalam dua suku pertama, kita peroleh:. Kami menekankan bahwa kesetaraan hanya berlaku bila sebuah 0 dan b 0. jika sebuah < 0, то .

Cukup sering, ketika memecahkan masalah, kita dihadapkan dengan sejumlah besar yang perlu kita ekstrak Akar pangkat dua. Banyak siswa memutuskan bahwa ini adalah kesalahan dan mulai menyelesaikan seluruh contoh. Dalam situasi apa pun ini tidak boleh dilakukan! Ada dua alasan untuk ini:

Akar dari angka besar benar-benar terjadi dalam tugas. Terutama dalam teks;
Ada algoritma dimana akar ini dianggap hampir secara verbal.

Kami akan mempertimbangkan algoritma ini hari ini. Mungkin beberapa hal akan tampak tidak dapat dipahami oleh Anda. Tetapi jika Anda memperhatikan pelajaran ini, Anda akan mendapatkan senjata paling kuat untuk melawan akar kuadrat.

Jadi algoritmanya:

Batasi akar yang diinginkan di atas dan di bawah hingga kelipatan 10. Dengan demikian, kami akan mengurangi rentang pencarian menjadi 10 angka;
Dari 10 angka ini, singkirkan yang pasti bukan akar. Akibatnya, 1-2 angka akan tetap ada;
Kuadratkan 1-2 angka ini. Itu dari mereka, kuadrat yang sama dengan angka aslinya, akan menjadi akarnya.

Sebelum menerapkan algoritma ini bekerja dalam praktek, mari kita lihat setiap langkah individu.

Batasan akar

Pertama-tama, kita perlu mencari tahu di antara angka mana akar kita berada. Sangat diinginkan bahwa angka-angka tersebut merupakan kelipatan dari sepuluh:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Kami mendapatkan serangkaian angka:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Apa yang diberikan angka-angka ini kepada kita? Sederhana saja: kita mendapatkan batasan. Ambil contoh, angka 1296. Itu terletak antara 900 dan 1600. Oleh karena itu, akarnya tidak boleh kurang dari 30 dan lebih besar dari 40:

[Keterangan gambar]

Hal yang sama dengan nomor lain dari mana Anda dapat menemukan akar kuadrat. Misalnya, 3364:

[Keterangan gambar]

Jadi, alih-alih angka yang tidak dapat dipahami, kami mendapatkan rentang yang sangat spesifik di mana akar aslinya berada. Untuk lebih mempersempit cakupan pencarian, lanjutkan ke langkah kedua.

Penghapusan nomor yang jelas berlebihan

Jadi, kami memiliki 10 nomor - kandidat untuk root. Kami menerimanya dengan sangat cepat, tanpa pemikiran rumit dan perkalian dalam satu kolom. Saatnya untuk melanjutkan.

Percaya atau tidak, sekarang kami akan mengurangi jumlah nomor kandidat menjadi dua - dan lagi tanpa perhitungan yang rumit! cukup tahu aturan khusus. Ini dia:

Digit terakhir bujur sangkar hanya bergantung pada digit terakhir nomor asli.

Dengan kata lain, cukup dengan melihat angka terakhir bujur sangkar - dan kita akan segera mengerti di mana angka aslinya berakhir.

Hanya ada 10 digit yang bisa di tempat terakhir. Mari kita coba mencari tahu apa yang mereka ubah ketika dikuadratkan. Perhatikan tabelnya:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Tabel ini adalah langkah lain untuk menghitung akar. Seperti yang Anda lihat, angka-angka di baris kedua ternyata simetris sehubungan dengan lima. Sebagai contoh:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Seperti yang Anda lihat, angka terakhir sama dalam kedua kasus. Dan ini berarti bahwa, misalnya, akar 3364 harus berakhir dengan 2 atau 8. Di sisi lain, kita ingat batasan dari paragraf sebelumnya. Kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Kotak merah menunjukkan bahwa kita belum mengetahui angka ini. Tetapi bagaimanapun juga, akarnya terletak antara 50 dan 60, di mana hanya ada dua angka yang berakhiran 2 dan 8:

[Keterangan gambar]

Itu saja! Dari semua kemungkinan akar, kami hanya menyisakan dua pilihan! Dan ini adalah kasus yang paling sulit, karena angka terakhir bisa 5 atau 0. Dan kemudian akan ada satu-satunya kandidat untuk akarnya!

Perhitungan Akhir

Jadi, kami memiliki 2 nomor kandidat yang tersisa. Bagaimana Anda tahu mana yang merupakan akar? Jawabannya jelas: kuadratkan kedua angka. Yang dikuadratkan akan memberikan nomor aslinya, dan akan menjadi akarnya.

Misalnya, untuk nomor 3364, kami menemukan dua nomor kandidat: 52 dan 58. Mari kita kuadratkan:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Itu saja! Ternyata akarnya adalah 58! Pada saat yang sama, untuk menyederhanakan perhitungan, saya menggunakan rumus kuadrat dari jumlah dan selisih. Berkat ini, Anda bahkan tidak perlu mengalikan angka dalam satu kolom! Ini adalah tingkat optimalisasi perhitungan lainnya, tetapi, tentu saja, ini sepenuhnya opsional :)

Contoh Perhitungan Root

Teorinya bagus, tentu saja. Tapi mari kita mengujinya dalam praktik.

[Keterangan gambar]

Pertama, mari kita cari tahu di antara angka mana angka 576 terletak:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Sekarang mari kita lihat nomor terakhir. Itu sama dengan 6. Kapan ini terjadi? Hanya jika akarnya berakhiran 4 atau 6. Kami mendapatkan dua angka:

Tetap kuadratkan setiap angka dan bandingkan dengan yang asli:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Bagus! Kuadrat pertama ternyata sama dengan angka aslinya. Jadi ini adalah akarnya.

Sebuah tugas. Hitung akar kuadrat:
[Keterangan gambar]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Mari kita lihat nomor terakhir:

1369 → 9;
33; 37.

Mari kita kuadratkan:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Inilah jawabannya: 37.

Sebuah tugas. Hitung akar kuadrat:
[Keterangan gambar]

Kami membatasi jumlah:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Mari kita lihat nomor terakhir:

2704 → 4;
52; 58.

Mari kita kuadratkan:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Kami mendapat jawabannya: 52. Angka kedua tidak perlu lagi dikuadratkan.

Sebuah tugas. Hitung akar kuadrat:
[Keterangan gambar]

Kami membatasi jumlah:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Mari kita lihat nomor terakhir:

4225 → 5;
65.

Seperti yang Anda lihat, setelah langkah kedua, hanya satu opsi yang tersisa: 65. Ini adalah root yang diinginkan. Tapi mari kita tetapkan dan periksa:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Semuanya benar. Kami menuliskan jawabannya.

Kesimpulan

Sayangnya, tidak lebih baik. Mari kita lihat alasannya. Ada dua di antaranya:

Dilarang menggunakan kalkulator pada ujian matematika normal apa pun, apakah itu GIA atau Unified State Examination. Dan karena membawa kalkulator ke dalam kelas, mereka dapat dengan mudah dikeluarkan dari ujian.
Jangan seperti orang Amerika bodoh. Yang tidak seperti akar - mereka tidak dapat menambahkan dua bilangan prima. Dan saat melihat pecahan, mereka umumnya histeris.

Pada artikel ini, kami akan memperkenalkan konsep akar bilangan. Kami akan bertindak secara berurutan: kami akan mulai dengan akar kuadrat, dari situ kami akan melanjutkan ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kita generalisasikan konsep akar dengan mendefinisikan akar derajat ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar suatu bilangan, dan akar kuadrat pada khususnya, seseorang harus memiliki . Pada titik ini, kita akan sering menjumpai pangkat dua dari suatu bilangan - kuadrat suatu bilangan.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari adalah bilangan yang kuadratnya a.

Untuk membawa contoh akar kuadrat, ambil beberapa angka, misalnya, 5 , 0.3 , 0.3 , 0 , dan kuadratkan, kita mendapatkan angka masing-masing 25 , 0.09 , 0.09 dan 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 dan 0 2 =0 0=0 ). Maka dengan definisi di atas, 5 adalah akar kuadrat dari 25, 0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak untuk sembarang bilangan a ada , yang kuadratnya sama dengan a . Yaitu, untuk setiap bilangan negatif a tidak ada bilangan asli b , yang kuadrat akan sama dengan a . Memang, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk setiap a negatif , karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk b . Lewat sini, pada himpunan bilangan real tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dan tidak memiliki arti.

Ini mengarah pada pertanyaan logis: "Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a non-negatif apa pun"? Jawabannya iya. Alasan untuk fakta ini dapat dianggap sebagai metode konstruktif yang digunakan untuk menemukan nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikut: "Berapa jumlah semua akar kuadrat dari bilangan non-negatif yang diberikan a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih"? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a suatu bilangan positif, maka jumlah akar kuadrat dari bilangan a sama dengan dua, dan akar-akarnya adalah . Mari kita buktikan ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Mari kita tunjukkan bahwa nol memang akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti persamaan nyata 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari kita gunakan cara sebaliknya. Mari kita asumsikan bahwa ada beberapa bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin, karena untuk sembarang b bukan nol, nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kami telah sampai pada kontradiksi. Ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari kita beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Di atas kami mengatakan bahwa selalu ada akar kuadrat dari setiap bilangan non-negatif, misalkan b adalah akar kuadrat dari a. Katakanlah ada bilangan c , yang juga merupakan akar kuadrat dari a . Kemudian, menurut definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a valid, sehingga b 2 c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 c 2 =( b−c) ( b+c) , lalu (b−c) (b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan berlaku sifat-sifat tindakan dengan bilangan real hanya mungkin jika b−c=0 atau b+c=0 . Jadi bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita berasumsi bahwa ada suatu bilangan d, yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan penalaran yang sama dengan yang telah diberikan, terbukti bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, jumlah akar kuadrat dari bilangan positif adalah dua, dan akar kuadrat adalah bilangan yang berlawanan.

Untuk kenyamanan bekerja dengan akar kuadrat akar negatif memisahkan dari yang positif. Untuk tujuan ini, ia memperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Untuk akar kuadrat aritmatika dari angka a, notasi diterima. Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Itu juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, Anda sebagian dapat mendengar "root" dan "radikal", yang berarti objek yang sama.

Bilangan di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut nomor akar, dan ekspresi di bawah tanda akar - ekspresi radikal, sedangkan istilah "bilangan radikal" sering diganti dengan "ekspresi radikal". Misalnya, dalam notasi, angka 151 adalah bilangan radikal, dan dalam notasi, ekspresi a adalah ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya, entri dibaca sebagai "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan ratus." Kata "aritmatika" diucapkan hanya ketika mereka ingin menekankan bahwa kita berbicara tentang akar kuadrat positif dari suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, berikut dari definisi akar kuadrat aritmatika bahwa untuk setiap bilangan non-negatif a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmatika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol adalah nol, yaitu . Untuk bilangan negatif a, kami tidak akan menambahkan arti pada entri sampai kami mempelajarinya bilangan kompleks. Misalnya, ekspresi dan tidak ada artinya.

Berdasarkan definisi akar kuadrat, sifat-sifat akar kuadrat terbukti, yang sering digunakan dalam praktik.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan adalah solusi dari bentuk x 2 =a terhadap variabel x .

akar pangkat tiga dari

Definisi akar pangkat tiga dari nomor a diberikan dengan cara yang mirip dengan definisi akar kuadrat. Hanya itu didasarkan pada konsep kubus angka, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari bilangan yang kubusnya sama dengan a disebut

Ayo bawa contoh akar pangkat tiga . Untuk melakukan ini, ambil beberapa angka, misalnya, 7 , 0 , 2/3 , dan pangkat tiga: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa angka 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan 2/3 adalah akar pangkat tiga dari 8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan a, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, dan tidak hanya untuk a non-negatif, tetapi juga untuk sembarang bilangan real a. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan metode yang sama yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga dari bilangan a yang diberikan. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, pertimbangkan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0 dan a adalah bilangan negatif.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa untuk a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a , maka menurut definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a . Jelas bahwa persamaan ini tidak mungkin benar untuk b negatif dan untuk b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan menjadi bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain bilangan b ada satu akar pangkat tiga lagi dari bilangan a, mari kita nyatakan c. Maka c3 =a. Oleh karena itu, b 3 c 3 =a−a=0 , tetapi b 3 c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ini adalah rumus perkalian yang disingkat perbedaan kubus), dari mana (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b c+c 2 =0 . Dari persamaan pertama kita memiliki b=c , dan persamaan kedua tidak memiliki solusi, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c sebagai jumlah dari tiga suku positif b 2 , b c dan c 2 . Ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Untuk a=0, satu-satunya akar pangkat tiga dari a adalah nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada bilangan b , yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin jika b=0 .

Untuk a negatif , seseorang dapat berargumen serupa dengan kasus untuk a positif . Pertama, kita tunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan negatif tidak bisa sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kami berasumsi bahwa ada akar pangkat dua kedua dari angka negatif dan menunjukkan bahwa itu pasti akan bertepatan dengan yang pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari sembarang bilangan real a, dan hanya satu.

Ayo berikan definisi akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a Bilangan tak negatif yang kubusnya sama dengan a disebut

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a dilambangkan sebagai , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga, bilangan 3 dalam notasi ini disebut indikator akar. Angka di bawah tanda akar adalah nomor akar, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika didefinisikan hanya untuk bilangan non-negatif a, akan lebih mudah untuk menggunakan entri di mana bilangan negatif berada di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika. Kita akan memahaminya sebagai berikut: , di mana a adalah bilangan positif. Sebagai contoh, .

Kita akan berbicara tentang sifat-sifat akar pangkat tiga dalam artikel umum sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstrak akar pangkat tiga, tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstrak akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita katakan bahwa akar pangkat tiga dari a adalah solusi dari bentuk x 3 =a.

Akar ke-n, akar aritmatika dari n

Kami menggeneralisasi konsep akar dari angka - kami memperkenalkan penentuan akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-n sama dengan a.

Dari definisi ini jelas bahwa akar derajat pertama dari angka a adalah angka itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat dengan indikator alami, kami mengambil 1 = a.

Di atas, kami mempertimbangkan kasus khusus dari akar derajat ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar derajat kedua, dan akar pangkat tiga adalah akar pangkat tiga. Untuk mempelajari akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar derajat genap (yaitu, untuk n=4, 6 , 8, ...), kelompok kedua - akar pangkat ganjil (yaitu, untuk n=5, 7, 9, ... ). Ini disebabkan oleh fakta bahwa akar derajat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar derajat ganjil mirip dengan akar kubik. Mari kita berurusan dengan mereka secara bergantian.

Kita mulai dengan akar yang kekuatannya bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kita katakan, mereka analog dengan akar kuadrat dari a. Artinya, akar pangkat genap dari bilangan a hanya ada untuk a non-negatif. Selain itu, jika a=0, maka akar dari a adalah tunggal dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar yang berderajat genap dari bilangan a, dan keduanya merupakan bilangan yang berlawanan.

Mari kita membenarkan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar pangkat genap (kita nyatakan sebagai 2 m, di mana m adalah beberapa bilangan asli) dari nomor a. Misalkan ada sebuah bilangan c - akar lain 2 m dari a . Maka b 2 m c 2 m =a−a=0 . Tetapi kita mengetahui bentuk b 2 m c 2 m = (b c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), maka (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa b−c=0 , atau b+c=0 , atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bahwa angka b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0 , karena sisi kirinya berisi ekspresi yang non-negatif untuk b dan c apa pun sebagai jumlah dari bilangan non-negatif.

Adapun akar-akar derajat ke-n untuk n ganjil, mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar suatu derajat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a adalah unik.

Keunikan akar pangkat ganjil 2·m+1 dari bilangan a dibuktikan dengan analogi dengan pembuktian keunikan akar pangkat tiga dari a . Hanya di sini alih-alih kesetaraan a 3 b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Ekspresi dalam kurung terakhir dapat ditulis ulang sebagai b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))))). Misalnya, untuk m=2 kita memiliki b 5 c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif, hasil kali keduanya adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c , yang berada di dalam tanda kurung dengan derajat penyatuan tertinggi, adalah positif sebagai jumlah dari positif angka. Sekarang, pindah berturut-turut ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat bersarang sebelumnya, kami memastikan bahwa mereka juga positif sebagai jumlah dari bilangan positif. Sebagai hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 hanya mungkin bila b−c=0 , yaitu bila bilangan b sama dengan bilangan c .

Saatnya berurusan dengan notasi akar derajat ke-n. Untuk itu diberikan penentuan akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

Akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan non-negatif a disebut bilangan non-negatif, pangkat ke-n sama dengan a.