ANGKA NYATA II

44 Representasi geometris dari bilangan real

Bilangan real geometris, seperti bilangan rasional, diwakili oleh titik-titik pada garis lurus.

Biarlah aku - garis lurus sewenang-wenang, dan O - beberapa titiknya (Gbr. 58). Setiap bilangan real positif α masukkan korespondensi titik A, terletak di sebelah kanan O pada jarak α satuan panjang.

Jika, misalnya, α = 2.1356..., maka

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

dll. Jelas bahwa titik A dalam hal ini harus berada di garis aku di sebelah kanan titik yang sesuai dengan angka

2; 2,1; 2,13; ... ,

tetapi di sebelah kiri titik yang sesuai dengan angka

3; 2,2; 2,14; ... .

Dapat ditunjukkan bahwa kondisi ini didefinisikan pada garis aku satu-satunya titik A, yang kita anggap sebagai bayangan geometris bilangan real α = 2,1356... .

Demikian juga, setiap bilangan real negatif β hubungkan titik B yang terletak di sebelah kiri O pada jarak | β | satuan panjang. Akhirnya, kami menetapkan titik O ke angka "nol".

Jadi, angka 1 akan ditampilkan pada garis lurus aku titik A, terletak di sebelah kanan O pada jarak satu satuan panjang (Gbr. 59), angka - 2 - titik B, terletak di sebelah kiri O pada jarak 2 satuan panjang, dll.

Mari kita tunjukkan caranya pada garis lurus aku menggunakan kompas dan penggaris, Anda dapat menemukan titik-titik yang sesuai dengan bilangan real 2, 3, 4, 5, dll. Untuk melakukan ini, pertama-tama, kami akan menunjukkan cara membuat segmen yang panjangnya dinyatakan oleh angka-angka ini. Biarkan AB menjadi segmen yang diambil sebagai satuan panjang (Gbr. 60).

Di titik A, kami mengembalikan tegak lurus ke segmen ini dan menyisihkan di atasnya segmen AC, sama dengan segmen AB. Kemudian, dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC, kita dapatkan; BC \u003d AB 2 + AC 2 \u003d 1 + 1 \u003d 2

Oleh karena itu, segmen BC memiliki panjang 2. Sekarang mari kita kembalikan tegak lurus segmen BC di titik C dan pilih titik D di atasnya sehingga segmen CD adalah sama dengan satu panjang AB. Kemudian dari segitiga siku-siku BCD menemukan:

D \u003d BC 2 + CD 2 \u003d 2 + 1 \u003d 3

Oleh karena itu, segmen BD memiliki panjang 3. Melanjutkan proses yang dijelaskan lebih lanjut, kita bisa mendapatkan segmen BE, BF, ..., yang panjangnya dinyatakan dengan angka 4, 5, dll.

Sekarang di telepon aku mudah untuk menemukan titik-titik yang berfungsi sebagai representasi geometris dari angka 2, 3, 4, 5, dll.

Menempatkan, misalnya, di sebelah kanan titik O segmen BC (Gbr. 61), kita mendapatkan titik C, yang berfungsi sebagai representasi geometris dari angka 2. Dengan cara yang sama, dengan menunda ruas BD di sebelah kanan titik O, kita mendapatkan titik D", yang merupakan bayangan geometris bilangan 3, dst.

Namun, seseorang tidak boleh berpikir bahwa dengan bantuan kompas dan penggaris pada garis bilangan aku seseorang dapat menemukan titik yang sesuai dengan bilangan real tertentu. Telah terbukti, misalnya, bahwa, dengan hanya memiliki kompas dan penggaris, tidak mungkin untuk membangun segmen yang panjangnya dinyatakan dengan angka. π = 3,14 ... . Jadi pada garis bilangan aku dengan bantuan konstruksi seperti itu tidak mungkin untuk menunjukkan titik yang sesuai dengan angka ini, namun demikian, titik seperti itu ada.

Jadi untuk setiap bilangan real α adalah mungkin untuk mengaitkan beberapa titik garis yang terdefinisi dengan baik aku . Titik ini akan dipisahkan dari titik awal O pada jarak | α | satuan panjang dan berada di sebelah kanan O jika α > 0, dan di sebelah kiri O jika α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две berbagai titik lurus aku . Memang, biarkan nomor α sesuai dengan titik A, dan nomor β - titik B. Kemudian, jika α > β , maka A akan berada di sebelah kanan B (Gbr. 62, a); jika α < β , maka A akan terletak di sebelah kiri B (Gbr. 62, b).

Berbicara di 37 tentang representasi geometris bilangan rasional, kami mengajukan pertanyaan: dapatkah titik mana pun dari garis lurus dianggap sebagai gambar geometris dari beberapa rasional angka? Saat itu kami tidak bisa memberikan jawaban atas pertanyaan ini; sekarang kita bisa menjawabnya dengan pasti. Ada titik-titik pada garis lurus yang berfungsi sebagai gambar geometris bilangan irasional(misalnya 2 ). Oleh karena itu, tidak setiap titik pada garis lurus mewakili bilangan rasional. Tetapi dalam kasus ini, muncul pertanyaan lain: dapatkah titik mana pun dari garis nyata dianggap sebagai gambar geometris dari beberapa sah angka? Masalah ini telah diselesaikan secara positif.

Memang, biarkan A menjadi titik sewenang-wenang pada garis aku , terletak di sebelah kanan O (Gbr. 63).

Panjang segmen OA dinyatakan oleh beberapa bilangan real positif α (lihat 41). Oleh karena itu titik A adalah bayangan geometris bilangan tersebut α . Demikian pula, ditetapkan bahwa setiap titik B, terletak di sebelah kiri O, dapat dianggap sebagai gambar geometris bilangan real negatif - β , di mana β - panjang segmen VO. Akhirnya, titik O berfungsi sebagai representasi geometris dari angka nol. Jelas bahwa dua titik yang berbeda dari garis aku tidak bisa menjadi bayangan geometris dari bilangan real yang sama.

Untuk alasan yang disebutkan di atas, garis lurus di mana beberapa titik O ditunjukkan sebagai titik "awal" (untuk satuan panjang tertentu) disebut nomor baris.

Kesimpulan. Himpunan semua bilangan real dan himpunan semua titik dari garis real berkorespondensi satu-satu.

Ini berarti bahwa setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu titik garis bilangan yang terdefinisi dengan baik, dan, sebaliknya, ke setiap titik pada garis bilangan, dengan korespondensi seperti itu, ada satu bilangan real yang terdefinisi dengan baik.

Latihan

320. Cari tahu mana dari dua titik pada garis bilangan di sebelah kiri dan mana yang di sebelah kanan, jika titik-titik ini sesuai dengan angka:

a) 1.454545... dan 1.455454...; c) 0 dan - 1,56673...;

b) - 12.0003... dan - 12.0002...; d) 13.24... dan 13.00....

321. Cari tahu mana dari dua titik yang lebih jauh dari titik awal O pada garis bilangan, jika titik-titik ini sesuai dengan angka:

a) 5.2397... dan 4.4996...; .. c) -0,3567... dan 0,3557... .

d) - 15.0001 dan - 15.1000...;

322. Pada bagian ini ditunjukkan bahwa untuk membangun segmen dengan panjang n dengan menggunakan kompas dan penggaris, Anda dapat melakukan hal berikut: pertama buat ruas dengan panjang 2, lalu ruas dengan panjang 3, dst., hingga kita mencapai ruas dengan panjang n . Tapi untuk setiap tetap P > 3 proses ini dapat dipercepat. Bagaimana, misalnya, Anda akan mulai membangun segmen dengan panjang 10?

323*. Cara menggunakan kompas dan penggaris untuk mencari titik pada garis bilangan yang sesuai dengan angka 1 / α , jika posisi titik sesuai dengan nomor α , diketahui?

Garis bilangan, sumbu bilangan, adalah garis yang menggambarkan bilangan real. Pada garis lurus, titik asal dipilih - titik O (titik O mewakili 0) dan titik L, mewakili unit. Titik L biasanya berdiri di sebelah kanan titik O. Segmen OL disebut segmen satuan.

Titik di sebelah kanan titik O menunjukkan bilangan positif. Titik di sebelah kiri titik. Oh, gambarkan angka negatif. Jika titik X mewakili bilangan positif x, maka jarak OX = x. Jika titik X menyatakan bilangan negatif x, maka jarak OX = - x.

Bilangan yang menunjukkan posisi suatu titik pada garis lurus disebut koordinat titik tersebut.

Titik V pada gambar memiliki koordinat 2, dan titik H memiliki koordinat -2,6.

Modulus bilangan real adalah jarak dari titik asal ke titik yang bersesuaian dengan bilangan tersebut. Tentukan modulus dari bilangan x, sehingga: | x |. Jelas, | 0 | = 0.

Jika bilangan x lebih besar dari 0, maka | x | = x, dan jika x lebih kecil dari 0, maka | x | = -x. Pada properti modul ini, solusi dari banyak persamaan dan pertidaksamaan dengan modul didasarkan.

Contoh: Selesaikan Persamaan | x - 3 | = 1.

Solusi: Pertimbangkan dua kasus - kasus pertama, ketika x -3 > 0, dan kasus kedua, ketika x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

Dalam hal ini | x - 3 | = x - 3.

Persamaan mengambil bentuk x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - memenuhi kondisi pertama.

2. x -3 0, x 3.

Dalam hal ini | x - 3 | = - x + 3

Persamaan mengambil bentuk x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - memenuhi kondisi kedua.

Jawaban: x = 4, x = -2.

Ekspresi numerik.

Ekspresi numerik adalah kumpulan dari satu atau lebih angka dan fungsi yang dihubungkan oleh operator aritmatika dan tanda kurung.
Contoh ekspresi numerik:

Nilai ekspresi numerik adalah angka.
Operasi dalam ekspresi numerik dilakukan dalam urutan berikut:

1. Tindakan dalam tanda kurung.

2. Perhitungan fungsi.

3. Eksponen

4. Perkalian dan pembagian.

5. Penambahan dan pengurangan.

6. Operasi dengan tipe yang sama dilakukan dari kiri ke kanan.

Jadi nilai dari ekspresi pertama adalah bilangan itu sendiri 12,3
Untuk menghitung nilai ekspresi kedua, kami akan melakukan tindakan dalam urutan berikut:

1. Lakukan tindakan dalam tanda kurung dalam urutan berikut - pertama kita naikkan 2 ke pangkat ketiga, lalu kurangi 11 dari angka yang dihasilkan:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Kalikan 3 dengan 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Lakukan operasi secara berurutan dari kiri ke kanan:

12 + (-3) = 9.
Ekspresi dengan variabel adalah kumpulan dari satu atau lebih angka, variabel, dan fungsi yang dihubungkan oleh operator aritmatika dan tanda kurung. Nilai ekspresi dengan variabel tergantung pada nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Urutan operasi di sini sama dengan ekspresi numerik. Kadang-kadang berguna untuk menyederhanakan ekspresi dengan variabel dengan melakukan berbagai tindakan - kurung, ekspansi kurung, pengelompokan, pengurangan pecahan, pengurangan yang serupa, dll. Juga, untuk menyederhanakan ekspresi, berbagai rumus sering digunakan, misalnya, rumus perkalian yang disingkat, sifat berbagai fungsi, dll.

Ekspresi aljabar.

Ekspresi aljabar adalah satu atau lebih besaran aljabar (angka dan huruf) yang saling berhubungan dengan tanda-tanda operasi aljabar: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, serta mengekstraksi akar dan menaikkan pangkat bilangan bulat (selain itu, akar dan eksponen harus selalu menjadi bilangan bulat) dan tanda-tanda urutan tindakan ini (biasanya tanda kurung berbeda jenis). Jumlah besaran yang termasuk dalam ekspresi aljabar harus final.

Contoh ekspresi aljabar:

"Ekspresi aljabar" adalah konsep sintaksis, yaitu, sesuatu adalah ekspresi aljabar jika dan hanya jika mematuhi aturan tata bahasa tertentu (lihat Tata bahasa formal). Jika huruf-huruf dalam ekspresi aljabar dianggap variabel, maka ekspresi aljabar memperoleh arti dari fungsi aljabar.

Dari berbagai macam set kepentingan tertentu adalah apa yang disebut kumpulan angka, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa bilangan. Jelas bahwa untuk bekerja dengan nyaman dengan mereka, Anda harus bisa menuliskannya. Dengan notasi dan prinsip penulisan himpunan numerik, kita akan memulai artikel ini. Dan kemudian kita akan mempertimbangkan bagaimana himpunan numerik digambarkan pada garis koordinat.

Navigasi halaman.

Menulis Set Numerik

Mari kita mulai dengan notasi yang diterima. Seperti diketahui, huruf kapital alfabet Latin digunakan untuk menunjuk himpunan. Himpunan numerik seperti kasus spesial himpunan juga dilambangkan. Misalnya, kita dapat berbicara tentang himpunan numerik A , H , W , dll. Yang sangat penting adalah himpunan bilangan asli, bilangan bulat, rasional, nyata, bilangan kompleks, dll., yang sebutannya diadopsi:

• N adalah himpunan semua bilangan asli;
• Z adalah himpunan bilangan bulat;
• Q adalah himpunan bilangan rasional;
• J adalah himpunan bilangan irasional;
• R adalah himpunan bilangan real;
• C adalah himpunan bilangan kompleks.

Dari sini jelas bahwa tidak perlu untuk menyatakan suatu himpunan yang terdiri, misalnya, dua bilangan 5 dan 7 sebagai Q, penunjukan ini akan menyesatkan, karena huruf Q biasanya menyatakan himpunan semua bilangan rasional. Untuk menentukan himpunan numerik yang ditentukan, lebih baik menggunakan beberapa huruf "netral" lainnya, misalnya, A.

Karena kita berbicara tentang notasi, di sini kita juga mengingat notasi himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mengandung elemen. Dilambangkan dengan tanda .

Mari kita ingat juga penunjukan keanggotaan dan non-keanggotaan suatu elemen dalam suatu himpunan. Untuk melakukan ini, gunakan tanda - milik dan - bukan milik. Misalnya, entri 5∈N berarti bahwa angka 5 termasuk dalam himpunan bilangan asli, dan 5.7∉Z - pecahan desimal 5.7 bukan milik himpunan bilangan bulat.

Mari kita juga mengingat kembali notasi yang digunakan untuk memasukkan satu himpunan ke himpunan lainnya. Jelas bahwa semua elemen dari himpunan N termasuk dalam himpunan Z, dengan demikian, kumpulan nomor N termasuk dalam Z , ini dilambangkan sebagai N⊂Z . Anda juga dapat menggunakan notasi Z⊃N , yang berarti bahwa himpunan semua bilangan bulat Z termasuk himpunan N . Hubungan yang tidak termasuk dan tidak termasuk masing-masing dilambangkan dengan tanda dan . Tanda penyertaan tidak tegas dari bentuk dan juga digunakan, artinya masing-masing, termasuk atau cocok dan termasuk atau cocok.

Kami berbicara tentang notasi, mari beralih ke deskripsi himpunan numerik. Dalam hal ini, kami hanya akan menyentuh kasus-kasus utama yang paling sering digunakan dalam praktik.

Mari kita mulai dengan himpunan numerik yang berisi sejumlah elemen yang terbatas dan kecil. Himpunan numerik yang terdiri dari sejumlah elemen terbatas dapat dengan mudah dijelaskan dengan mendaftar semua elemennya. Semua elemen angka ditulis dipisahkan dengan koma dan diapit oleh , yang konsisten dengan common tetapkan aturan deskripsi. Misalnya, suatu himpunan yang terdiri dari tiga bilangan 0 , 0.25 dan 4/7 dapat digambarkan sebagai (0, 0.25, 4/7) .

Kadang-kadang, ketika jumlah elemen dari suatu himpunan numerik cukup besar, tetapi elemen-elemen tersebut mematuhi beberapa pola, elipsis digunakan untuk menggambarkannya. Misalnya, himpunan semua bilangan ganjil dari 3 sampai 99 inklusif dapat ditulis sebagai (3, 5, 7, ..., 99) .

Jadi kami dengan lancar mendekati deskripsi himpunan numerik, yang jumlah elemennya tidak terbatas. Kadang-kadang mereka dapat dijelaskan menggunakan semua elipsis yang sama. Sebagai contoh, mari kita gambarkan himpunan semua bilangan asli: N=(1, 2. 3, …) .

Mereka juga menggunakan deskripsi himpunan numerik dengan menunjukkan sifat-sifat elemennya. Dalam hal ini, notasi (x| properties) digunakan. Misalnya, notasi (n| 8 n+3, n∈N) mendefinisikan himpunan bilangan asli yang, jika dibagi 8, memberikan sisa 3 . Himpunan yang sama dapat digambarkan sebagai (11,19, 27, ...) .

Dalam kasus khusus, himpunan numerik dengan jumlah elemen tak terbatas dikenal sebagai himpunan N , Z , R , dll. atau celah angka. Dan secara umum, himpunan numerik direpresentasikan sebagai Persatuan interval numerik individu yang membentuknya dan himpunan numerik dengan jumlah elemen terbatas (yang kita bicarakan sedikit lebih tinggi).

Mari kita tunjukkan sebuah contoh. Biarkan himpunan bilangan menjadi bilangan −10 , 9 , 8.56 , 0 , semua bilangan interval [−5, 1.3] dan bilangan sinar bilangan terbuka (7, +∞) . Berdasarkan definisi persatuan himpunan, himpunan numerik yang ditunjukkan dapat ditulis sebagai: {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Notasi seperti itu sebenarnya berarti suatu himpunan yang memuat semua elemen dari himpunan tersebut (−10, 9, 8.56, 0) , [−5, 1.3] dan (7, +∞) .

Demikian pula, dengan menggabungkan berbagai rentang numerik dan himpunan bilangan individual, himpunan bilangan apa pun (terdiri dari bilangan real) dapat dijelaskan. Di sini menjadi jelas mengapa jenis interval numerik seperti interval, setengah interval, segmen, terbuka balok nomor dan sinar bilangan: semuanya, bersama dengan notasi himpunan bilangan individual, memungkinkan untuk menggambarkan himpunan bilangan apa pun melalui penyatuannya.

Harap diperhatikan bahwa saat menulis himpunan numerik, bilangan penyusunnya dan interval numeriknya diurutkan dalam urutan menaik. Ini bukan suatu keharusan, tetapi kondisi yang diinginkan, karena himpunan numerik terurut lebih mudah untuk direpresentasikan dan digambarkan pada garis koordinat. Perhatikan juga bahwa catatan tersebut tidak menggunakan interval numerik dengan elemen umum, karena entri tersebut dapat diganti dengan penyatuan interval numerik tanpa elemen umum. Misalnya, gabungan himpunan numerik dengan elemen yang sama [−10, 0] dan (−5, 3) adalah interval setengah [−10, 3) . Hal yang sama berlaku untuk penyatuan interval numerik dengan angka batas yang sama, misalnya, serikat (3, 5]∪(5, 7] adalah himpunan (3, 7] , kita akan membahas ini secara terpisah ketika kita belajar menemukan persimpangan dan serikat dari set numerik .

Gambar himpunan bilangan pada garis koordinat

Dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk menggunakan gambar geometris dari himpunan numerik - gambarnya di . Misalnya, ketika memecahkan ketidaksetaraan, di mana perlu untuk memperhitungkan ODZ, perlu untuk menggambarkan set numerik untuk menemukan persimpangan dan / atau penyatuannya. Jadi akan berguna untuk memahami dengan baik semua nuansa representasi himpunan numerik pada garis koordinat.

Diketahui bahwa antara titik-titik garis koordinat dan bilangan real terdapat korespondensi satu-satu, yang berarti bahwa garis koordinat itu sendiri merupakan model geometrik himpunan semua bilangan real R. Jadi, untuk menggambarkan himpunan semua bilangan real, perlu untuk menggambar garis koordinat dengan penetasan sepanjang seluruh panjangnya:

Dan seringkali mereka bahkan tidak menunjukkan asal dan satu segmen:

Sekarang mari kita bicara tentang gambar himpunan numerik, yang merupakan sejumlah bilangan individu yang terbatas. Sebagai contoh, mari menggambar himpunan bilangan (−2, 0.5, 1.2) . Gambar geometris himpunan ini, yang terdiri dari tiga angka -2, -0,5 dan 1,2 akan menjadi tiga titik dari garis koordinat dengan koordinat yang sesuai:

Perhatikan bahwa biasanya untuk kebutuhan latihan tidak perlu melakukan menggambar secara akurat. Seringkali gambar skema sudah cukup, yang berarti tidak perlu mempertahankan skala, sementara yang penting hanya memelihara pengaturan bersama titik relatif satu sama lain: setiap titik dengan koordinat yang lebih kecil harus berada di sebelah kiri titik dengan koordinat yang lebih besar. Gambar sebelumnya secara skematis akan terlihat seperti ini:

Secara terpisah, dari semua himpunan numerik yang mungkin, interval numerik (interval, setengah interval, sinar, dll.) dibedakan, yang mewakili gambar geometrisnya, kami memeriksa secara rinci di bagian ini. Kami tidak akan mengulangi diri kami di sini.

Dan tetap hanya memikirkan gambar set numerik, yang merupakan gabungan dari beberapa interval numerik dan set yang terdiri dari nomor individu. Tidak ada yang rumit di sini: menurut arti persatuan, dalam kasus ini, pada garis koordinat, Anda perlu menggambarkan semua komponen dari himpunan himpunan numerik yang diberikan. Sebagai contoh, mari kita tunjukkan gambar himpunan bilangan (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞):

Dan mari kita membahas kasus yang cukup umum ketika himpunan numerik yang digambarkan adalah seluruh himpunan bilangan real, dengan pengecualian satu atau lebih poin. Himpunan tersebut sering ditentukan oleh kondisi seperti x≠5 atau x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 dll. Dalam kasus ini, secara geometris, mereka mewakili seluruh garis koordinat, dengan pengecualian titik yang sesuai. Dengan kata lain, titik-titik ini harus “dilubangi” dari garis koordinat. Mereka digambarkan sebagai lingkaran dengan pusat kosong. Untuk kejelasan, mari kita menggambar set angka, sesuai dengan kondisi (set ini pada dasarnya ):

Meringkaskan. Idealnya, informasi dari paragraf sebelumnya harus membentuk tampilan yang sama dari perekaman dan representasi himpunan numerik sebagai tampilan interval numerik individu: perekaman himpunan numerik harus segera memberikan gambarnya pada garis koordinat, dan dari gambar pada garis koordinat, kita harus siap untuk dengan mudah menggambarkan himpunan numerik yang sesuai melalui penyatuan celah individu dan himpunan yang terdiri dari nomor individu.

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku siswa institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.

Bentuk Angka

Dalam perangkat digital, ada dua bentuk gambar angka: dengan tetap і koma mengambang.

Di paragraf depan, hanya beberapa angka positif yang terlihat. Rumus (1.14) memberikan kemungkinan menampilkan angka ganda dengan keseluruhan dan bagian pecahan dan koma tetap. Tanda angka dua digit dengan koma tetap diberikan oleh peringkat tambahan, yang ditempatkan di depan angka. Untuk nomor tambahan, nilai pesanan tambahan sama dengan “ 0 ”, untuk visual - “ 1 ”.

Di meja 1.3 ada tiga opsi untuk mengkodekan angka terakhir dan kedua dengan kode ganda.

Tabel 1.3.

Pada varian pertama, ternyata dari tabel, dalam urutan ganda berkode, mungkin ada tempat nol tambahan dan akhir, yang dapat menyebabkan masalah dengan penampilan operasi aritmatika.

Representasi angka yang diberikan dalam kode gerbang juga tidak menyelesaikan masalah di atas. Anda tidak akan salah hanya sekali, jika Anda melihat angka kode tambahan, yang dihitung dengan rumus:

pada gambar. 1.12 menunjukkan interpretasi grafis dari gambar bilangan positif dan negatif yang mirip dengan nol pada alternatif kode langsung dan komplementer. Seperti yang akan ditunjukkan nanti, bentuk representasi bilangan kesepuluh seperti itu akan menyederhanakan operasi aritmatika.

Contoh 1.10. Ketahui kode pelengkap bilangan kesepuluh: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannya. Kita tahu dua ekuivalen dari bilangan yang diberikan:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Kami tahu kodenya, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

Diketahui untuk melengkapi kode angka yang diberikan: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Sekarang kami menjelaskan esensi dari pencatatan angka dengan koma tetap. Apakah nomor dalam sistem digital diambil oleh perangkat memori khusus, deretan kulit dibentuk dari sejumlah elemen tetap. Koma, yang termasuk dalam jumlah tembakan bagian dari jumlah tembakan, menempati posisi tetap dalam deretan memori - di depan peringkat senior atau setelah yang muda.

Untuk tipe pertama, nilai absolut dari angka tersebut kurang dari satu - misalnya, 0,110101 2. Sebagai deretan penugasan memori untuk sepuluh pelepasan, maka angka pada yang baru harus ditulis seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.13, peringkat pungutan terakhir menunjukkan tanda nomor, dan reshta - peringkat modul. Pelepasan muda Vilni diisi dengan nol. Oskіlki dalam vipadku yang ditinjau dalam deretan memori mentransfer catatan kurang dari bagian pecahan angka, maka hasil dari semua operasi adalah karena nilai absolut kurang dari satu. Wikonnannya tsієї pastikan untuk memilih faktor skala yang sesuai, di mana data eksternal dikalikan. Jika koefisien skala getaran salah, maka mungkin ada penataan ulang pelepasan dan penampilan seluruh bagian, seolah-olah akan dihabiskan, pecahan di kisi pelepasan tidak akan ditransfer ke tampilan . Bagaimanapun, saya akan membawa Anda ke neraka dalam hasilnya, yang merupakan metode singkat.

Dalam suasana hati lain, jika koma diperbaiki setelah urutan termuda, itu bisa benar dengan bilangan bulat. Jadi, misalnya, nomor 10011 2 dalam deretan memori ditempatkan pada visibilitas gbr. 1,14, peringkat de livy adalah tanda, dan mengikutinya di sebelah kanan, angka kosong diisi dengan nol. Dengan cara ini, nilai modul adalah deretan memori yang dipagari.

Angka dengan koma mengambang mentransfer gambar angka ke belalang, yang dikalikan dengan dasar sistem angka di panggung, yang diatur secara berurutan. Misalnya, angka 200 ditulis sebagai 0,2 × 10 3, dan angka 0,000312 - sebagai 0,312 × 10 -3. Vidpovidno zapisyutsya dan nomor dvіykovі. Belalang dan ordo ditampilkan dalam kode ganda, dan dasarnya adalah dua. Misalnya, angka 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 dalam sistem kesepuluh ditampilkan sebagai 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10. Dalam deretan memori, angka-angka tersebut diambil dari dua kelompok angka: kelompok pertama - belalang - menentukan angka itu sendiri, yang lain - urutan - tempat Komi dalam angka (Gbr. 1.15).

Pada elemen nol dari baris memori, tanda angka ditampilkan (untuk angka ganda yang diberikan, yang ditulis dalam baris memori - “ 0 ”). Jarak diatur dalam urutan nomor itu sendiri (stowpts 1…8). Jika diberikan oleh jumlah baris yang lebih kecil, maka elemen memori di sisi kanan nomor diisi dengan nol. Pada urutan kesembilan, tanda urutan ditampilkan, dan di resht, dengan analogi dengan mantissa, - nomor yang menandakan urutan. Dengan catatan seperti itu, nilai angka diatur sedemikian rupa sehingga angka penting pertama belalang tidak sama dengan “ 0 ". Bentuk entri ini disebut normal.

Jumlah tambahan minimum, yang dapat ditulis dalam bentuk normal dalam baris memori, ditentukan oleh mantissa minimum 0.1000..0 2 dan urutan keluaran maksimum 111..1 2 . Dengan kuantitas k paling sedikit sepuluh, bilangan yang dapat dituliskan ditentukan dengan rumus:

. (1.15)

Jumlah maksimum matimemo pada nilai maksimum belalang (0,111 ... 1) 2 dan pesanan tambahan maksimum (111 ... 1 2) = 2 k– 1, maka

Jangkauan D angka yang direpresentasikan dalam bentuk normal, ternyata dari rumus (1.15) dan (1.16), hanya menandakan angka k. Misalnya untuk k= 6 diketahui:

; .

Keakuratan pencatatan nomor ditentukan oleh jumlah pesanan m mantici. Jika jumlah rangking bilangan tersebut berbanding terbalik dengan jumlah rangking yang dimasukkan ke dalam belalang sembah, maka bilangan tersebut dibulatkan ke atas sesuai dengan jumlah yang diminta. Aturan pembulatan dua angka dengan cara ini adalah sebagai berikut: jika urutan senior dari bagian kata yang terlihat adalah satu, maka satu ditambahkan ke urutan termuda dari belalang. Dengan angka absolut bulat seperti itu, gambar belalang tidak melebihi setengah koefisien kategori belalang muda, yang diambil, tobto:

Vrakhovuchi, bahwa dalam bentuk normal catatan belalang tidak boleh kurang dari 0,5, kesalahan yang jelas :

Misalnya, ketika m= 24 bulan:

.

Dalam sistem digital saat ini untuk menampilkan angka dengan koma mengambang, deretan byte dozhinoy chotiri digunakan. Dengan 23 pelepasan, atur belalang, dan 7 - besarnya pesanan. Rentang angka yang ditampilkan dilipat dari ± 2 127 menjadi ± 2 -127 .

Variasi angka dengan koma mengambang akan memperluas dan menyederhanakan representasi angka, tetapi keserbagunaan operasi pada angka tersebut lebih kolaboratif, lebih rendah pada angka dengan koma tetap.

Representasi geometrik ekspresif dari sistem bilangan rasional dapat diperoleh sebagai berikut.

Beras. 8. Sumbu angka

Pada beberapa garis lurus, "sumbu numerik", kami menandai segmen dari 0 hingga 1 (Gbr. 8). Ini menetapkan panjang segmen unit, yang, secara umum, dapat dipilih secara sewenang-wenang. Bilangan bulat positif dan negatif kemudian digambarkan sebagai himpunan titik-titik yang berjarak sama pada sumbu bilangan, yaitu bilangan positif ditandai di sebelah kanan, dan bilangan negatif di sebelah kiri titik 0. Untuk menggambarkan bilangan dengan penyebut, kita membagi masing-masing dari segmen yang diperoleh dari satuan panjang menjadi bagian yang sama; titik pembagian akan mewakili pecahan dengan penyebut Jika kita melakukan ini untuk nilai yang sesuai dengan semua bilangan asli, maka setiap bilangan rasional akan digambarkan oleh beberapa titik pada sumbu numerik. Kami akan setuju untuk menyebut poin-poin ini "rasional"; secara umum, istilah "bilangan rasional" dan "titik rasional" akan digunakan sebagai sinonim.

Dalam Bab I, 1, hubungan pertidaksamaan untuk bilangan asli didefinisikan. Pada sumbu bilangan, rasio ini dicerminkan sebagai berikut: jika bilangan asli A lebih kecil dari bilangan asli B, maka titik A terletak di sebelah kiri titik B. Karena hubungan geometri yang ditentukan ditetapkan untuk setiap pasangan titik rasional, wajar untuk mencoba menggeneralisasi hubungan pertidaksamaan aritmatika sedemikian rupa cara untuk melestarikan urutan geometris ini untuk titik-titik yang dipertimbangkan. Ini dimungkinkan jika kita menerima definisi berikut: kita katakan bahwa bilangan rasional A lebih kecil dari bilangan rasional atau bahwa angka B lebih besar dari angka jika selisihnya positif. Dari sini (untuk ) bahwa titik-titik (angka) di antaranya adalah yang

secara bersamaan Setiap pasangan titik tersebut, bersama dengan semua titik di antara mereka, disebut segmen (atau segmen) dan dilambangkan (dan himpunan titik-titik perantara saja disebut interval (atau interval), dilambangkan dengan

Jarak sembarang titik A dari titik asal 0, dianggap sebagai bilangan positif, disebut nilai absolut A dan dilambangkan dengan simbol

Konsep “nilai mutlak” didefinisikan sebagai berikut: jika , maka jika maka Jelaslah bahwa jika bilangan-bilangan tersebut bertanda sama, maka persamaan adalah benar jika memiliki tanda yang berbeda, kemudian . Menggabungkan kedua hasil ini bersama-sama, kita sampai pada ketidaksetaraan umum

yang sah terlepas dari tanda-tandanya

Fakta penting yang mendasar diungkapkan oleh proposisi berikut: titik-titik rasional padat di mana-mana pada garis bilangan. Arti dari pernyataan ini adalah bahwa di dalam interval apa pun, sekecil apa pun itu, ada poin-poin rasional. Untuk memverifikasi validitas pernyataan yang dinyatakan, cukup dengan mengambil angka yang sangat besar sehingga interval ( akan lebih kecil dari interval yang diberikan ; maka setidaknya salah satu titik formulir akan berada di dalam interval ini. Jadi, ada tidak ada interval seperti itu pada sumbu angka (bahkan yang terkecil, yang dapat dibayangkan), di mana tidak akan ada titik rasional. Dari sini mengikuti akibat wajar lebih lanjut: setiap interval berisi jumlah titik rasional yang tak terbatas. Memang, jika beberapa interval berisi hanya sejumlah titik rasional yang terbatas, kemudian di dalam interval yang dibentuk oleh dua titik yang berdekatan, tidak akan ada lagi titik rasional, dan ini bertentangan dengan apa yang baru saja dibuktikan.