Bagaimana mendefinisikan ekspresi identik sama. Transformasi identitas ekspresi

Sifat dasar penjumlahan dan perkalian bilangan.

Sifat komutatif penjumlahan: jika suku-sukunya disusun kembali, nilai penjumlahannya tidak berubah. Untuk sembarang bilangan a dan b, persamaannya benar

Sifat asosiatif penjumlahan: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama. Untuk setiap bilangan a, b dan c persamaannya benar

Sifat komutatif perkalian: permutasi faktor tidak mengubah nilai produk. Untuk setiap bilangan a, b, dan c, persamaannya benar

Sifat asosiatif perkalian: untuk mengalikan produk dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan angka pertama dengan produk kedua dan ketiga.

Untuk setiap bilangan a, b, dan c, persamaannya benar

Sifat distributif: Untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah, Anda dapat mengalikan bilangan tersebut dengan setiap suku dan menjumlahkan hasilnya. Untuk setiap bilangan a, b dan c persamaannya benar

Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif penjumlahan, dalam jumlah berapa pun Anda dapat mengatur ulang suku-sukunya sesuka Anda dan menggabungkannya dalam kelompok dengan cara yang sewenang-wenang.

Contoh 1 Mari kita hitung jumlah 1.23+13.5+4.27.

Untuk melakukan ini, lebih mudah untuk menggabungkan istilah pertama dengan yang ketiga. Kita mendapatkan:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Ini mengikuti dari sifat komutatif dan asosiatif perkalian: dalam produk apa pun, Anda dapat mengatur ulang faktor-faktor dengan cara apa pun dan secara sewenang-wenang menggabungkannya ke dalam kelompok.

Contoh 2 Mari kita cari nilai produk 1,8 0,25 64 0,5.

Menggabungkan faktor pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kita akan mendapatkan:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Sifat distribusi juga berlaku jika bilangan dikalikan dengan jumlah tiga suku atau lebih.

Misalnya, untuk sembarang bilangan a, b, c, dan d, persamaannya benar

a(b+c+d)=ab+ac+iklan.

Kita tahu bahwa pengurangan dapat diganti dengan penambahan dengan menambahkan ke minuend angka yang berlawanan dengan pengurangan:

Ini memungkinkan ekspresi numerik ketik a-b pertimbangkan jumlah angka a dan -b, pertimbangkan ekspresi numerik dari bentuk a + b-c-d sebagai jumlah angka a, b, -c, -d, dll. Sifat-sifat tindakan yang dipertimbangkan juga berlaku untuk jumlah tersebut.

Contoh 3 Mari kita cari nilai dari ekspresi 3.27-6.5-2.5+1.73.

Ekspresi ini adalah jumlah dari angka 3.27, -6.5, -2.5 dan 1.73. Menerapkan properti tambahan, kita mendapatkan: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Contoh 4 Mari kita hitung hasil kali 36·().

Pengganda dapat dianggap sebagai jumlah angka dan -. Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, kita peroleh:

36()=36-36=9-10=-1.

identitas

Definisi. Dua ekspresi yang nilainya bersesuaian sama untuk setiap nilai variabel dikatakan identik sama.

Definisi. Kesetaraan yang benar untuk setiap nilai variabel disebut identitas.

Mari kita cari nilai dari ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y untuk x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Kami mendapat hasil yang sama. Ini mengikuti dari sifat distributif bahwa, secara umum, untuk setiap nilai variabel, nilai yang sesuai dari ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama.

Pertimbangkan sekarang ekspresi 2x+y dan 2xy. Untuk x=1, y=2 mereka mengambil nilai yang sama:

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga nilai ekspresi ini tidak sama. Misalnya, jika x=3, y=4, maka

Ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y identik sama, tetapi ekspresi 2x+y dan 2xy tidak identik sama.

Persamaan 3(x+y)=x+3y, berlaku untuk semua nilai x dan y, adalah identitas.

Persamaan numerik yang benar juga dianggap sebagai identitas.

Jadi, identitas adalah persamaan yang mengekspresikan sifat utama tindakan pada angka:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Contoh lain dari identitas dapat diberikan:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformasi identitas ekspresi

Penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu, disebut transformasi identik atau hanya transformasi ekspresi.

Transformasi identik dari ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi pada angka.

Untuk menemukan nilai ekspresi xy-xz yang diberikan nilai x, y, z, Anda perlu melakukan tiga langkah. Misalnya, dengan x=2.3, y=0.8, z=0.2 kita mendapatkan:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Hasil ini dapat diperoleh hanya dalam dua langkah, menggunakan ekspresi x(y-z), yang identik sama dengan ekspresi xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Kami telah menyederhanakan perhitungan dengan mengganti ekspresi xy-xz dengan yang identik ekspresi yang sama x(y-z).

Transformasi identitas ekspresi banyak digunakan dalam menghitung nilai ekspresi dan memecahkan masalah lain. Beberapa transformasi identik telah dilakukan, misalnya, pengurangan istilah serupa, pembukaan tanda kurung. Ingat aturan untuk melakukan transformasi ini:

untuk membawa suku-suku serupa, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa;

jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap menggunakan tanda setiap istilah yang diapit tanda kurung;

jika ada tanda minus di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda setiap suku yang diapit tanda kurung.

Contoh 1 Mari kita tambahkan suku sejenis dalam jumlah 5x+2x-3x.

Kami menggunakan aturan untuk mengurangi suku-suku serupa:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Transformasi ini didasarkan pada sifat distributif perkalian.

Contoh 2 Mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi 2a+(b-3c).

Menerapkan aturan untuk membuka kurung didahului dengan tanda plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat asosiatif penjumlahan.

Contoh 3 Mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi a-(4b-c).

Mari kita gunakan aturan untuk memperluas tanda kurung yang didahului dengan tanda minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif penjumlahan. Mari kita tunjukkan. Mari kita nyatakan suku kedua -(4b-c) dalam ekspresi ini sebagai produk (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Menerapkan properti tindakan ini, kami mendapatkan:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

2. Ekspresi identitas, identitas. Transformasi identitas ekspresi. Bukti identitas

Mari kita cari nilai dari ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 untuk nilai variabel x yang diberikan. Kami menulis hasilnya dalam tabel:

Dapat disimpulkan bahwa nilai dari ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 untuk masing-masing nilai yang diberikan variabel x sama satu sama lain. Menurut sifat distributif perkalian terhadap pengurangan 2(x - 1) = 2x - 2. Oleh karena itu, untuk nilai lain dari variabel x, nilai ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 juga akan menjadi sama satu sama lain. Ekspresi seperti itu disebut identik sama.

Misalnya, ekspresi 2x + 3x dan 5x adalah sinonim, karena untuk setiap nilai variabel x, ekspresi ini memperoleh nilai yang sama(ini mengikuti dari sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, karena 2x + 3x = 5x).

Pertimbangkan sekarang ekspresi 3x + 2y dan 5xy. Jika x \u003d 1 dan b \u003d 1, maka nilai yang sesuai dari ekspresi ini sama satu sama lain:

3x + 2th \u003d 3 1 + 2 1 \u003d 5; 5xy = 5 1 1 = 5.

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y yang nilai ekspresinya tidak akan sama satu sama lain. Misalnya, jika x = 2; y = 0, maka

3x + 2y = 3 2 + 2 0 = 6, 5xy = 5 20 = 0.

Akibatnya, ada nilai variabel yang nilai yang sesuai dari ekspresi 3x + 2y dan 5xy tidak sama satu sama lain. Oleh karena itu, ekspresi 3x + 2y dan 5xy tidak identik sama.

Berdasarkan hal tersebut di atas, identitas khususnya adalah persamaan: 2(x - 1) = 2x - 2 dan 2x + 3x = 5x.

Identitas adalah setiap persamaan, yang tertulis properti yang diketahui tindakan pada angka. Sebagai contoh,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Ada juga persamaan seperti identitas:

a + 0 = a; a 0 = 0; a (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a 1 = a; a (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jika kita mengurangi suku serupa dalam ekspresi -5x + 2x - 9, kita mendapatkan bahwa 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa ekspresi 5x + 2x - 9 digantikan oleh ekspresi 7x - 9, yang identik dengan itu.

Transformasi identik dari ekspresi dengan variabel dilakukan dengan menerapkan sifat-sifat operasi pada angka. Secara khusus, transformasi identik dengan pembukaan tanda kurung, konstruksi istilah serupa, dan sejenisnya.

Transformasi identik harus dilakukan ketika menyederhanakan ekspresi, yaitu, mengganti beberapa ekspresi dengan ekspresi yang identik sama dengannya, yang harus lebih pendek.

Contoh 1. Sederhanakan ekspresi:

1) -0,3 m 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m 5n = -0,3 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - sebuah + 2 b + 3 b - sebuah= 3a + 5b + 2.

Untuk membuktikan bahwa kesetaraan adalah sebuah identitas (dengan kata lain, untuk membuktikan identitas, digunakan transformasi ekspresi identitas.

Anda dapat membuktikan identitas dengan salah satu cara berikut:

melakukan transformasi identik dari sisi kirinya, sehingga menguranginya menjadi bentuk sisi kanan;
melakukan transformasi identik dari sisi kanannya, sehingga menguranginya menjadi bentuk sisi kiri;
melakukan transformasi identik dari kedua bagiannya, sehingga meningkatkan kedua bagian ke ekspresi yang sama.

Contoh 2. Buktikan identitasnya:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Perkembangan

1) Mari kita ubah sisi kiri persamaan ini:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Dengan transformasi identik, ekspresi di sisi kiri persamaan direduksi menjadi bentuk sisi kanan dan dengan demikian membuktikan bahwa persamaan ini adalah sebuah identitas.

2) Mari kita ubah sisi kanan persamaan ini:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Dengan transformasi identik, sisi kanan persamaan direduksi menjadi bentuk sisi kiri dan dengan demikian membuktikan bahwa persamaan ini adalah sebuah identitas.

3) Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menyederhanakan bagian kiri dan kanan persamaan dan membandingkan hasilnya:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Dengan transformasi identik, bagian kiri dan kanan persamaan direduksi menjadi bentuk yang sama: 26x - 44. Oleh karena itu, persamaan ini adalah identitas.

Ekspresi apa yang disebut identik? Berikan contoh ekspresi yang identik. Kesetaraan apa yang disebut identitas? Berikan contoh identitas Apa yang disebut transformasi identitas ekspresi? Bagaimana cara membuktikan identitas?

(Lisan) Atau ada ungkapan yang identik sama:

1) 2a + a dan 3a;

2) 7x + 6 dan 6 + 7x;

3) x + x + x dan x 3;

4) 2(x - 2) dan 2x - 4;

5) m - n dan n - m;

6) 2a r dan 2p a?

Apakah ekspresi identik sama:

1) 7x - 2x dan 5x;

2) 5a - 4 dan 4 - 5a;

3) 4m + n dan n + 4m;

4) a + a dan a 2;

5) 3(a - 4) dan 3a - 12;

6) 5m n dan 5m + n?

(Verbal) Apakah identitas kesetaraan:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

kurung buka:

kurung buka:

Kurangi istilah suka:

Sebutkan beberapa ekspresi yang identik dengan ekspresi 2a + 3a.
Sederhanakan ekspresi menggunakan sifat permuting dan konjungtif dari perkalian:

1) -2,5 x 4;

2) 4p (-1.5);

3) 0,2 x (0,3 g);

4)- x<-7у).

Sederhanakan ekspresi:

1) -2p 3,5;

2) 7a (-1.2);

3) 0,2 x (-3y);

4) - 1 m (-3n).

(Verbal) Sederhanakan ekspresi:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a (-2b).

Kurangi istilah suka:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 detik + 1,9 g + 6,9 detik - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Buka tanda kurung dan kurangi istilah serupa:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) jika x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 jika a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), jika m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y jika x = -1, y = 1.

Sederhanakan ekspresi dan temukan nilainya:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4) jika x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, jika v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), jika a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n jika m = 1,8; n = -0,9.

Buktikan identitasnya:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).

Buktikan identitasnya:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Panjang salah satu sisi segitiga adalah cm, dan panjang masing-masing sisi lainnya 2 cm lebih dari itu. Tulis keliling segitiga sebagai ekspresi dan sederhanakan ekspresinya.
Lebar persegi panjang adalah x cm dan panjangnya 3 cm lebih dari lebarnya. Tulis keliling persegi panjang sebagai ekspresi dan sederhanakan ekspresinya.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Perluas tanda kurung dan sederhanakan ekspresinya:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 tahun - (6 tahun - (7 tahun - (8 tahun - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Buktikan identitasnya:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Buktikan identitasnya:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Buktikan bahwa nilai ekspresi

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) tidak bergantung pada nilai variabel.

Buktikan bahwa untuk setiap nilai variabel, nilai ekspresi

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

adalah nomor yang sama.

Buktikan bahwa jumlah tiga bilangan genap berurutan habis dibagi 6.
Buktikan bahwa jika n adalah bilangan asli, maka nilai ekspresi -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) adalah bilangan genap.

Latihan untuk mengulang

Sebuah paduan dengan berat 1,6 kg mengandung 15% tembaga. Berapa kg tembaga yang terkandung dalam paduan ini?
Berapa persen bilangan 20 dari :

1) persegi;

Turis tersebut berjalan kaki selama 2 jam dan mengendarai sepeda selama 3 jam. Secara total, turis menempuh 56 km. Tentukan kelajuan turis tersebut mengendarai sepeda jika kecepatannya 12 km/jam lebih cepat dari kecepatan dia berjalan.

Tugas menarik untuk siswa malas

11 tim berpartisipasi dalam kejuaraan sepak bola kota. Setiap tim memainkan satu pertandingan dengan yang lain. Buktikan bahwa setiap saat dalam kompetisi ada tim yang memainkan jumlah pertandingan genap atau belum memainkannya.

Pertimbangkan dua persamaan:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Persamaan ini akan berlaku untuk setiap nilai variabel a. Rentang nilai yang valid untuk persamaan itu adalah seluruh himpunan bilangan real.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Pertidaksamaan ini berlaku untuk semua nilai variabel a, kecuali a sama dengan nol. Rentang nilai yang dapat diterima untuk pertidaksamaan ini adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol.

Tentang masing-masing persamaan ini, dapat dikatakan bahwa itu akan benar untuk setiap nilai variabel yang dapat diterima a. Persamaan seperti itu dalam matematika disebut identitas.

Konsep identitas

Identitas adalah persamaan yang benar untuk setiap nilai variabel yang dapat diterima. Jika ada nilai yang valid disubstitusikan ke dalam persamaan ini sebagai ganti variabel, maka persamaan numerik yang benar harus diperoleh.

Perlu dicatat bahwa persamaan numerik yang benar juga merupakan identitas. Identitas, misalnya, akan menjadi properti tindakan pada angka.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Jika dua ekspresi untuk setiap variabel yang dapat diterima masing-masing sama, maka ekspresi tersebut disebut identik sama. Di bawah ini adalah beberapa contoh ekspresi yang identik sama:

1. (a 2) 4 dan a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) dan -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) dan x 10 .

Kita selalu dapat mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang sama persis dengan yang pertama. Penggantian seperti itu akan menjadi transformasi yang identik.

Contoh Identitas

Contoh 1: Apakah identitas persamaan berikut:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Tidak semua ekspresi di atas akan menjadi identitas. Dari persamaan tersebut, hanya persamaan 1,2 dan 3 yang merupakan identitas. Berapa pun angka yang kita gantikan di dalamnya, alih-alih variabel a dan b, kita masih mendapatkan persamaan numerik yang benar.

Tapi 4 kesetaraan bukan lagi sebuah identitas. Karena tidak semua nilai yang dapat diterima persamaan ini akan terpenuhi. Misalnya, dengan nilai a = 5 dan b = 2, Anda mendapatkan hasil sebagai berikut:

Persamaan ini tidak benar, karena angka 3 tidak sama dengan angka -3.

Konversi identitas adalah pekerjaan yang kami lakukan dengan ekspresi numerik dan alfabet, serta dengan ekspresi yang berisi variabel. Kami melakukan semua transformasi ini untuk membawa ekspresi asli ke bentuk yang nyaman untuk memecahkan masalah. Kami akan mempertimbangkan jenis utama transformasi identik dalam topik ini.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Transformasi identitas ekspresi. Apa itu?

Untuk pertama kalinya kita bertemu dengan konsep mentransformasikan identik kita dalam pelajaran aljabar di kelas 7. Kemudian pertama-tama kita berkenalan dengan konsep ekspresi yang identik sama. Mari kita berurusan dengan konsep dan definisi untuk memfasilitasi asimilasi topik.

Definisi 1

Transformasi identitas ekspresi adalah tindakan yang dilakukan untuk mengganti ekspresi asli dengan ekspresi yang akan sama persis dengan ekspresi aslinya.

Seringkali definisi ini digunakan dalam bentuk yang disingkat, di mana kata "identik" dihilangkan. Diasumsikan bahwa bagaimanapun kita melakukan transformasi ekspresi sedemikian rupa untuk mendapatkan ekspresi yang identik dengan yang asli, dan ini tidak perlu ditekankan secara terpisah.

Mari kita ilustrasikan definisi ini dengan contoh.

Contoh 1

Jika kita mengganti ekspresi x + 3 - 2 ke ekspresi yang identik sama x+1, maka kita melakukan transformasi identik dari ekspresi x + 3 - 2.

Contoh 2

Mengganti ekspresi 2 a 6 dengan ekspresi sebuah 3 adalah transformasi identitas, sedangkan penggantian ekspresi x ke ekspresi x2 bukanlah transformasi yang identik, karena ekspresi x dan x2 tidak identik sama.

Kami menarik perhatian Anda pada bentuk ekspresi tulisan saat melakukan transformasi yang identik. Kami biasanya menulis ekspresi asli dan ekspresi yang dihasilkan sebagai persamaan. Jadi, menulis x + 1 + 2 = x + 3 berarti ekspresi x + 1 + 2 telah direduksi menjadi bentuk x + 3 .

Eksekusi tindakan yang berurutan membawa kita ke rantai kesetaraan, yang merupakan beberapa transformasi identik yang berurutan. Jadi, kita memahami notasi x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x sebagai implementasi berurutan dari dua transformasi: pertama, ekspresi x + 1 + 2 direduksi menjadi bentuk x + 3, dan direduksi menjadi bentuk 3+x.

Transformasi identitas dan ODZ

Sejumlah ungkapan yang mulai kita pelajari di kelas 8 tidak masuk akal untuk nilai variabel apa pun. Melakukan transformasi identik dalam kasus ini mengharuskan kita untuk memperhatikan wilayah nilai variabel yang dapat diterima (ODV). Melakukan transformasi identik dapat membuat ODZ tidak berubah atau mempersempitnya.

Contoh 3

Saat melakukan transisi dari ekspresi a + (−b) ke ekspresi a-b rentang nilai variabel yang diizinkan sebuah dan b tetap sama.

Contoh 4

Transisi dari ekspresi x ke ekspresi x 2 x mengarah ke penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dari himpunan semua bilangan real ke himpunan semua bilangan real, dari mana nol telah dikecualikan.

Contoh 5

Transformasi identitas dari sebuah ekspresi x 2 x ekspresi x mengarah pada perluasan rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x dari himpunan semua bilangan real kecuali nol ke himpunan semua bilangan real.

Mempersempit atau memperluas rentang nilai variabel yang diizinkan saat melakukan transformasi identik penting dalam menyelesaikan masalah, karena dapat memengaruhi keakuratan perhitungan dan menyebabkan kesalahan.

Transformasi identitas dasar

Sekarang mari kita lihat apa itu transformasi identik dan bagaimana mereka dilakukan. Mari kita pilih jenis-jenis transformasi identik yang paling sering kita tangani ke dalam kelompok utama.

Selain transformasi identitas dasar, ada sejumlah transformasi yang berhubungan dengan ekspresi dari tipe tertentu. Untuk pecahan, ini adalah metode pengurangan dan pengurangan ke penyebut baru. Untuk ekspresi dengan akar dan pangkat, semua tindakan yang dilakukan berdasarkan sifat akar dan pangkat. Untuk ekspresi logaritma, tindakan yang dilakukan berdasarkan sifat-sifat logaritma. Untuk ekspresi trigonometri, semua tindakan menggunakan rumus trigonometri. Semua transformasi khusus ini dibahas secara rinci dalam topik terpisah yang dapat ditemukan di sumber kami. Untuk alasan ini, kami tidak akan membahasnya di artikel ini.

Mari kita lanjutkan ke pertimbangan transformasi identik utama.

Penataan ulang istilah, faktor

Mari kita mulai dengan mengatur ulang istilah. Kami paling sering berurusan dengan transformasi identik ini. Dan pernyataan berikut dapat dianggap sebagai aturan utama di sini: dalam jumlah berapa pun, penataan ulang istilah di tempat tidak mempengaruhi hasil.

Aturan ini didasarkan pada sifat komutatif dan asosiatif dari penjumlahan. Properti ini memungkinkan kita untuk mengatur ulang istilah di tempat dan pada saat yang sama mendapatkan ekspresi yang identik sama dengan yang asli. Itulah sebabnya penataan ulang istilah di tempat dalam jumlah adalah transformasi yang identik.

Contoh 6

Kami memiliki jumlah tiga istilah 3 + 5 + 7 . Jika kita menukar suku 3 dan 5, maka ekspresinya akan berbentuk 5 + 3 + 7. Ada beberapa opsi untuk mengatur ulang istilah dalam kasus ini. Semuanya mengarah pada perolehan ekspresi yang identik sama dengan yang asli.

Tidak hanya angka, tetapi juga ekspresi dapat bertindak sebagai istilah dalam jumlah. Mereka, seperti halnya angka, dapat diatur ulang tanpa mempengaruhi hasil akhir perhitungan.

Contoh 7

Dalam jumlah tiga suku 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 dan - 12 a dalam bentuk 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) suku a dapat disusun kembali, misalnya seperti ini (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Selanjutnya, Anda dapat mengatur ulang suku-suku pada penyebut pecahan 1 a + b, sedangkan pecahan akan berbentuk 1 b + a. Dan ekspresi di bawah tanda akar a2 + 2a + 5 juga merupakan jumlah di mana istilah dapat dipertukarkan.

Dengan cara yang sama seperti suku-suku, dalam ekspresi asli seseorang dapat menukar faktor-faktornya dan memperoleh persamaan yang benar secara identik. Tindakan ini diatur oleh aturan berikut:

Definisi 2

Dalam produk, mengatur ulang faktor di tempat tidak mempengaruhi hasil perhitungan.

Aturan ini didasarkan pada sifat komutatif dan asosiatif perkalian, yang mengkonfirmasi kebenaran transformasi identik.

Contoh 8

Kerja 3 5 7 permutasi faktor dapat direpresentasikan dalam salah satu bentuk berikut: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 atau 3 7 5.

Contoh 9

Permutasi faktor-faktor dalam produk x + 1 x 2 - x + 1 x akan menghasilkan x 2 - x + 1 x x + 1

Ekspansi braket

Tanda kurung dapat berisi entri ekspresi numerik dan ekspresi dengan variabel. Ekspresi ini dapat diubah menjadi ekspresi yang identik sama, di mana tidak akan ada tanda kurung sama sekali atau akan ada lebih sedikit daripada ekspresi aslinya. Cara mengubah ekspresi ini disebut ekspansi kurung.

Contoh 10

Mari kita lakukan tindakan dengan tanda kurung dalam ekspresi formulir 3 + x 1 x untuk mendapatkan ekspresi yang benar-benar identik 3 + x 1 x.

Ekspresi 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x dapat diubah menjadi persamaan yang identik tanpa tanda kurung 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Kami membahas secara rinci aturan untuk mengonversi ekspresi dengan tanda kurung dalam topik "Ekspansi braket", yang diposting di sumber daya kami.

Pengelompokan istilah, faktor

Dalam kasus di mana kita berhadapan dengan tiga suku atau lebih, kita dapat menggunakan jenis transformasi identik seperti pengelompokan suku. Yang dimaksud dengan metode transformasi ini adalah penyatuan beberapa suku ke dalam suatu kelompok dengan cara menyusunnya kembali dan menempatkannya dalam tanda kurung.

Saat mengelompokkan, istilah dipertukarkan sedemikian rupa sehingga istilah yang dikelompokkan berada dalam rekaman ekspresi di samping satu sama lain. Setelah itu, mereka dapat diapit dalam tanda kurung.

Contoh 11

Ambil ekspresinya 5 + 7 + 1 . Jika kita mengelompokkan suku pertama dengan suku ketiga, kita peroleh (5 + 1) + 7 .

Pengelompokan faktor dilakukan dengan cara yang sama seperti pengelompokan istilah.

Contoh 12

Dalam pekerjaan 2 3 4 5 adalah mungkin untuk mengelompokkan faktor pertama dengan yang ketiga, dan faktor kedua dengan yang keempat, dalam hal ini kita sampai pada ekspresi (2 4) (3 5). Dan jika kita mengelompokkan faktor pertama, kedua dan keempat, kita akan mendapatkan ekspresi (2 3 5) 4.

Suku-suku dan faktor-faktor yang dikelompokkan dapat diwakili oleh bilangan prima dan ekspresi. Aturan pengelompokan dibahas secara rinci dalam topik "Syarat dan faktor pengelompokan".

Mengganti perbedaan dengan jumlah, produk parsial dan sebaliknya

Penggantian perbedaan dengan jumlah menjadi mungkin berkat kenalan kami dengan angka yang berlawanan. Sekarang pengurangan dari angka sebuah angka b dapat dilihat sebagai tambahan nomor sebuah angka b. Persamaan a b = a + (− b) dapat dianggap adil dan, atas dasar itu, melakukan penggantian perbedaan dengan jumlah.

Contoh 13

Ambil ekspresinya 4 + 3 − 2 , di mana perbedaan angka 3 − 2 kita dapat menulis sebagai jumlah 3 + (− 2) . Mendapatkan 4 + 3 + (− 2) .

Contoh 14

Semua perbedaan ekspresi 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 dapat diganti dengan jumlah seperti 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Kami dapat melanjutkan ke jumlah dari perbedaan apa pun. Demikian pula, kita dapat membuat substitusi terbalik.

Penggantian pembagian dengan perkalian dengan kebalikan pembagi dimungkinkan oleh konsep bilangan timbal balik. Transformasi ini dapat ditulis sebagai a: b = a (b 1).

Aturan ini menjadi dasar aturan pembagian pecahan biasa.

Contoh 15

Pribadi 1 2: 3 5 dapat diganti dengan produk bentuk 1 2 5 3.

Demikian pula, dengan analogi, pembagian dapat diganti dengan perkalian.

Contoh 16

Dalam hal ekspresi 1+5:x:(x+3) ganti pembagian dengan x dapat dikalikan dengan 1x. Pembagian menurut x + 3 kita bisa mengganti dengan mengalikannya dengan 1x + 3. Transformasi memungkinkan kita untuk mendapatkan ekspresi yang identik dengan yang asli: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Mengganti perkalian dengan pembagian dilakukan sesuai dengan skema a b = a: (b 1).

Contoh 17

Dalam ekspresi 5 x x 2 + 1 - 3, perkalian dapat diganti dengan pembagian menjadi 5: x 2 + 1 x - 3.

Melakukan tindakan dengan angka

Melakukan operasi dengan angka tunduk pada aturan urutan operasi. Pertama, operasi dilakukan dengan pangkat bilangan dan akar bilangan. Setelah itu, kami mengganti logaritma, trigonometri, dan fungsi lainnya dengan nilainya. Kemudian tindakan dalam tanda kurung dilakukan. Dan kemudian Anda sudah dapat melakukan semua tindakan lainnya dari kiri ke kanan. Penting untuk diingat bahwa perkalian dan pembagian dilakukan sebelum penambahan dan pengurangan.

Operasi dengan angka memungkinkan Anda mengubah ekspresi asli menjadi ekspresi identik yang setara dengannya.

Contoh 18

Mari kita ubah ekspresi 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x dengan melakukan semua kemungkinan operasi dengan angka.

Keputusan

Pertama, mari kita lihat derajatnya 2 3 dan root 4 dan hitung nilainya: 2 3 = 8 dan 4 = 2 2 = 2 .

Substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam ekspresi asli dan dapatkan: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Sekarang mari kita lakukan tanda kurung: 8 − 1 = 7 . Dan mari kita beralih ke ekspresi 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Kita hanya perlu melakukan perkalian 3 dan 7 . Kami mendapatkan: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Menjawab: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operasi dengan bilangan dapat didahului oleh jenis transformasi identitas lainnya, seperti pengelompokan bilangan atau perluasan tanda kurung.

Contoh 19

Ambil ekspresinya 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) 2 + 11.

Keputusan

Pertama-tama, kita akan mengubah hasil bagi dalam tanda kurung 6: 3 pada artinya 2 . Didapatkan: 3 + 2 2 x (y 3 4) 2 + 11 .

Mari kita perluas tanda kurung: 3 + 2 2 x (y 3 4) 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 2 + 11.

Mari kita kelompokkan faktor numerik dalam produk, serta istilah yang berupa angka: (3 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Mari kita lakukan tanda kurung: (3 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Menjawab:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jika kita bekerja dengan ekspresi numerik, maka tujuan dari pekerjaan kita adalah menemukan nilai ekspresi. Jika kita mengubah ekspresi dengan variabel, maka tujuan dari tindakan kita adalah untuk menyederhanakan ekspresi.

Bracketing Faktor Persekutuan

Dalam kasus di mana suku-suku dalam ekspresi memiliki faktor yang sama, maka kita dapat mengeluarkan faktor persekutuan ini dari tanda kurung. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita perlu merepresentasikan ekspresi asli sebagai produk dari faktor persekutuan dan ekspresi dalam tanda kurung, yang terdiri dari suku-suku asli tanpa faktor persekutuan.

Contoh 20

Secara numerik 2 7 + 2 3 kita bisa menghilangkan faktor persekutuannya 2 di luar tanda kurung dan dapatkan ekspresi bentuk yang benar secara identik 2 (7 + 3).

Anda dapat me-refresh memori aturan untuk menempatkan faktor umum dari tanda kurung di bagian yang sesuai dari sumber daya kami. Materi membahas secara rinci aturan untuk mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung dan memberikan banyak contoh.

Pengurangan istilah serupa

Sekarang mari kita beralih ke jumlah yang mengandung suku-suku serupa. Dua opsi dimungkinkan di sini: jumlah yang mengandung suku yang sama, dan jumlah yang sukunya berbeda dengan koefisien numerik. Operasi dengan jumlah yang mengandung suku-suku serupa disebut pengurangan suku-suku serupa. Ini dilakukan sebagai berikut: kami mengeluarkan bagian huruf yang sama dari tanda kurung dan menghitung jumlah koefisien numerik dalam tanda kurung.

Contoh 21

Perhatikan ekspresi 1 + 4 x 2 x. Kita dapat mengambil bagian literal dari x dari tanda kurung dan mendapatkan ekspresi 1 + x (4 2). Mari kita hitung nilai ekspresi dalam tanda kurung dan dapatkan jumlah dari bentuk 1 + x · 2 .

Mengganti angka dan ekspresi dengan ekspresi yang sama persis

Angka dan ekspresi yang membentuk ekspresi asli dapat diganti dengan ekspresi yang identik sama dengannya. Transformasi ekspresi asli seperti itu mengarah ke ekspresi yang identik sama dengannya.

Contoh 22 Contoh 23

Perhatikan ekspresi 1 + a5, di mana kita dapat mengganti derajat a 5 dengan produk yang identik dengannya, misalnya, dari bentuk sebuah 4. Ini akan memberi kita ekspresi 1 + 4.

Transformasi yang dilakukan bersifat artifisial. Itu hanya masuk akal dalam persiapan untuk transformasi lainnya.

Contoh 24

Pertimbangkan transformasi jumlah 4x3 + 2x2. Disini istilahnya 4x3 kami dapat mewakili sebagai produk 2x2x2x. Akibatnya, ekspresi aslinya mengambil bentuk 2 x 2 2 x + 2 x 2. Sekarang kita dapat mengisolasi faktor persekutuan 2x2 dan keluarkan dari kurung: 2x2 (2x+1).

Penjumlahan dan pengurangan bilangan yang sama

Menambah dan mengurangi angka atau ekspresi yang sama pada saat yang sama adalah teknik transformasi ekspresi buatan.

Contoh 25

Perhatikan ekspresi x 2 + 2 x. Kita dapat menambah atau mengurangi satu darinya, yang akan memungkinkan kita untuk selanjutnya melakukan transformasi identik lainnya - untuk memilih kuadrat binomial: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Setelah mendapat ide tentang identitas, adalah logis untuk beralih ke kenalan. Pada artikel ini, kami akan menjawab pertanyaan tentang apa ekspresi identik yang sama, dan juga, menggunakan contoh, kami akan mencari tahu ekspresi mana yang identik sama dan mana yang tidak.

Navigasi halaman.

Apa ekspresi identik yang sama?

Definisi ekspresi identik sama diberikan secara paralel dengan definisi identitas. Ini terjadi di kelas aljabar di kelas 7. Dalam buku teks tentang aljabar untuk 7 kelas, penulis Yu. N. Makarychev memberikan kata-kata berikut:

Definisi.

adalah ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Ekspresi numerik yang sesuai dengan nilai yang sama juga disebut identik sama.

Definisi ini digunakan hingga kelas 8, ini valid untuk ekspresi integer, karena masuk akal untuk nilai variabel apa pun yang termasuk di dalamnya. Dan di kelas 8, definisi ekspresi identik sama ditentukan. Mari kita jelaskan apa hubungannya.

Di kelas 8, studi tentang jenis ekspresi lain dimulai, yang, tidak seperti ekspresi bilangan bulat, mungkin tidak masuk akal untuk beberapa nilai variabel. Ini membuatnya perlu untuk memperkenalkan definisi nilai variabel yang dapat diterima dan tidak valid, serta rentang nilai ODV yang dapat diterima dari suatu variabel, dan sebagai hasilnya, untuk mengklarifikasi definisi ekspresi yang identik sama.

Definisi.

Dua ekspresi yang nilainya sama untuk semua nilai yang dapat diterima dari variabelnya disebut ekspresi identik sama. Dua ekspresi numerik yang memiliki nilai yang sama juga dikatakan identik sama.

Dalam definisi ekspresi yang sama identik ini, ada baiknya mengklarifikasi arti dari frasa "untuk semua nilai yang dapat diterima dari variabel yang termasuk di dalamnya." Ini menyiratkan semua nilai variabel seperti itu di mana kedua ekspresi identik sama secara bersamaan masuk akal. Ide ini akan diklarifikasi di bagian selanjutnya dengan mempertimbangkan contoh.

Definisi ekspresi identik yang sama dalam buku teks A. G. Mordkovich diberikan sedikit berbeda:

Definisi.

Ekspresi setara yang identik adalah ekspresi di sisi kiri dan kanan identitas.

Dalam arti, ini dan definisi sebelumnya bertepatan.

Contoh ekspresi yang identik sama

Definisi yang diperkenalkan pada subbagian sebelumnya memungkinkan kita untuk membawa contoh ekspresi identik sama.

Mari kita mulai dengan ekspresi numerik yang identik sama. Ekspresi numerik 1+2 dan 2+1 identik sama karena sesuai dengan nilai yang sama 3 dan 3 . Ekspresi 5 dan 30:6 juga identik sama, seperti ekspresi (2 2) 3 dan 2 6 (nilai ekspresi terakhir sama karena ). Tetapi ekspresi numerik 3+2 dan 3−2 tidak identik sama, karena masing-masing sesuai dengan nilai 5 dan 1, tetapi tidak sama.

Sekarang kami memberikan contoh ekspresi yang identik sama dengan variabel. Ini adalah ekspresi a+b dan b+a . Memang, untuk setiap nilai variabel a dan b, ekspresi tertulis mengambil nilai yang sama (yang mengikuti dari angka). Misalnya, dengan a=1 dan b=2 kita memiliki a+b=1+2=3 dan b+a=2+1=3 . Untuk nilai lain dari variabel a dan b, kami juga akan mendapatkan nilai yang sama dari ekspresi ini. Ekspresi 0·x·y·z dan 0 juga identik sama untuk setiap nilai variabel x , y dan z . Tetapi ekspresi 2 x dan 3 x tidak identik sama, karena, misalnya, pada x=1 nilainya tidak sama. Memang, untuk x=1, ekspresi 2 x adalah 2 1=2 , dan ekspresi 3 x adalah 3 1=3 .

Ketika area nilai variabel yang diizinkan dalam ekspresi bertepatan, seperti, misalnya, dalam ekspresi a+1 dan 1+a , atau a b 0 dan 0 , atau dan , dan nilai ekspresi ini sama untuk semua nilai variabel dari area ini, maka di sini semuanya jelas - ekspresi ini identik sama untuk semua nilai yang dapat diterima dari variabel yang termasuk di dalamnya. Jadi a+1≡1+a untuk setiap a , ekspresi a b 0 dan 0 identik sama untuk setiap nilai variabel a dan b , dan ekspresi dan identik sama untuk semua x dari ; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.