Temukan sudut antara persamaan yang diberikan langsung. Sudut antar garis

Definisi. Jika dua garis diberikan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis-garis ini akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2 . Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar ketika koefisien A 1 \u003d A, B 1 \u003d B proporsional. Jika juga 1 = , maka garis-garisnya berimpit. Koordinat titik potong dua garis ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu

Tegak lurus dengan garis ini

Definisi. Garis yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus garis y \u003d kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis

Dalil. Jika diberikan titik M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 didefinisikan sebagai

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke garis tertentu. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 dapat ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap garis lurus tertentu. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3 x + 7; y = 2x+1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; = p/4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 tegak lurus.

Keputusan. Kami menemukan: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, oleh karena itu, garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Titik sudut dari segitiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) diberikan. Tentukan persamaan ketinggian yang ditarik dari titik C.

Keputusan. Kami menemukan persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diinginkan adalah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Maka y = . Karena ketinggian melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dimana b = 17. Jumlah: .

Jawaban: 3x + 2y - 34 = 0.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu dalam arah tertentu. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis. Menentukan titik potong dua garis

1. Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu A(x 1 , kamu 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh kemiringan k,

kamu - kamu 1 = k(x - x 1). (1)

Persamaan ini mendefinisikan sebuah pensil dari garis-garis yang melalui sebuah titik A(x 1 , kamu 1), yang disebut pusat balok.

2. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: A(x 1 , kamu 1) dan B(x 2 , kamu 2) ditulis seperti ini:

Kemiringan garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh rumus

3. Sudut antara garis lurus A dan B adalah sudut di mana garis lurus pertama harus diputar A di sekitar titik perpotongan garis-garis ini berlawanan arah jarum jam sampai bertepatan dengan garis kedua B. Jika dua garis diberikan oleh persamaan kemiringan

kamu = k 1 x + B 1 ,

kamu = k 2 x + B 2 , (4)

maka sudut di antara mereka ditentukan oleh rumus

Perlu diperhatikan bahwa dalam pembilang pecahan, kemiringan garis lurus pertama dikurangi dengan kemiringan garis lurus kedua.

Jika persamaan garis lurus diberikan dalam pandangan umum

A 1 x + B 1 kamu + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 kamu + C 2 = 0, (6)

sudut di antara mereka ditentukan oleh rumus

4. Syarat paralelisme dua garis:

a) Jika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, maka kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah persamaan kemiringannya:

k 1 = k 2 . (8)

b) Untuk kasus ketika garis diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum (6), kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah bahwa koefisien pada koordinat arus yang sesuai dalam persamaannya adalah proporsional, yaitu.

5. Syarat tegak lurus dua garis :

a) Dalam kasus ketika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus mereka adalah bahwa mereka faktor kemiringan besarnya timbal balik dan berlawanan tanda, yaitu

Kondisi ini juga dapat ditulis dalam bentuk

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jika persamaan garis lurus diberikan dalam bentuk umum (6), maka syarat tegak lurusnya (perlu dan cukup) memenuhi persamaan

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinat titik potong dua garis ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan (6). Garis (6) berpotongan jika dan hanya jika

1. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik M, salah satunya sejajar dan yang lainnya tegak lurus terhadap garis l yang diberikan.

sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan menyebut salah satu sudut yang berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sewenang-wenang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:

Jelas, sudut antara garis dapat diambil sebagai sudut antara vektor arah mereka dan . Karena , maka menurut rumus kosinus sudut antara vektor-vektor kita peroleh

Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis setara dengan kondisi paralelisme dan tegak lurus vektor arahnya dan:

Dua lurus sejajar jika dan hanya jika koefisien masing-masing sebanding, yaitu aku 1 paralel aku 2 jika dan hanya jika paralel .

Dua lurus tegak lurus jika dan hanya jika jumlah produk dari koefisien yang sesuai sama dengan nol: .

Pada tujuan antara garis dan bidang

Biarkan garis d- tidak tegak lurus terhadap bidang ;
d proyeksi garis lurus d ke pesawat ;
Sudut terkecil antara garis lurus d dan d kami akan memanggil sudut antara garis dan bidang.
Mari kita nyatakan sebagai =( d,θ)
Jika sebuah d, maka ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem koordinat persegi panjang.
Persamaan bidang:

θ: Kapak+Oleh+cz+D=0

Kami menganggap bahwa garis diberikan oleh titik dan vektor arah: d[M 0,p→]
vektor n→(A,B,C)⊥θ
Kemudian tinggal mencari sudut antara vektor n→ dan p→, nyatakan sebagai =( n→,p→).

Jika sudut<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jika sudut >π/2 , maka sudut yang dibutuhkan =γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Kemudian, sudut antara garis dan bidang dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

sinφ=∣cosγ∣=∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Pertanyaan 29. Konsep bentuk kuadrat. Kepastian tanda bentuk kuadrat.

Bentuk kuadrat j (x 1, x 2, ..., x n) n variabel real x 1, x 2, ..., x n disebut jumlah dari bentuk
, (1)

di mana aij adalah beberapa angka yang disebut koefisien. Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa aij = sebuah ji.

Bentuk kuadrat disebut sah, jika aij GR. Matriks bentuk kuadrat disebut matriks yang terdiri dari koefisien-koefisiennya. Bentuk kuadrat (1) sesuai dengan matriks simetris yang unik
yaitu A T = A. Oleh karena itu, bentuk kuadrat (1) dapat ditulis dalam bentuk matriks j ( X) = x T Ah, di mana x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Dan sebaliknya, setiap matriks simetris (2) sesuai dengan bentuk kuadrat unik hingga notasi variabel.

Pangkat dari bentuk kuadrat disebut rank matriksnya. Bentuk kuadrat disebut tidak merosot, jika matriksnya nonsingular TETAPI. (ingat bahwa matriks TETAPI disebut nondegenerate jika determinannya tidak nol). Jika tidak, bentuk kuadratnya merosot.

pasti positif(atau sangat positif) jika

j ( X) > 0 , untuk siapa saja X = (X 1 , X 2 , …, x n), Di samping itu X = (0, 0, …, 0).

Matriks TETAPI bentuk kuadrat pasti positif j ( X) disebut juga definit positif. Oleh karena itu, bentuk kuadrat definit positif sesuai dengan matriks definit positif unik dan sebaliknya.

Bentuk kuadrat (1) disebut pasti negatif(atau sangat negatif) jika

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Di samping itu X = (0, 0, …, 0).

Sama seperti di atas, matriks kuadrat berdefinisi negatif disebut juga berdefinisi negatif.

Oleh karena itu, bentuk kuadrat pasti positif (negatif) j ( X) mencapai nilai minimum (maksimum) j ( X*) = 0 untuk X* = (0, 0, …, 0).

Perhatikan bahwa sebagian besar bentuk kuadrat tidak pasti tanda, yaitu, mereka tidak positif atau negatif. Bentuk kuadrat seperti itu menghilang tidak hanya di titik asal sistem koordinat, tetapi juga di titik lain.

Kapan n> 2, diperlukan kriteria khusus untuk memeriksa ketegasan tanda suatu bentuk kuadrat. Mari kita pertimbangkan mereka.

Mayor Minor bentuk kuadrat disebut minor:

yaitu, ini adalah anak di bawah umur dari orde 1, 2, …, n matriks TETAPI terletak di kiri pojok atas, yang terakhir bertepatan dengan determinan matriks TETAPI.

Kriteria untuk kepastian positif (Kriteria Sylvester)

X) = x T Ah adalah pasti positif, maka perlu dan cukup bahwa semua minor utama dari matriks TETAPI positif, yaitu: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M N > 0. Kriteria kepastian negatif Agar bentuk kuadrat j ( X) = x T Ah definit negatif, maka perlu dan cukup bahwa minor utama dari orde genapnya positif, dan minor orde ganjilnya negatif, yaitu: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

SUDUT ANTARA BIDANG

Mari kita pertimbangkan dua pesawat 1 dan 2 diberikan masing-masing oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua pesawat kita akan memahami salah satunya sudut dihedral dibentuk oleh pesawat-pesawat ini. Jelaslah bahwa sudut antara vektor normal dan bidang 1 dan 2 sama dengan salah satu sudut dihedral yang berdekatan yang ditunjukkan atau . Jadi . Karena dan , kemudian

Contoh. Tentukan sudut antar bidang x+2kamu-3z+4=0 dan 2 x+3kamu+z+8=0.

Kondisi paralelisme dua bidang.

Dua bidang 1 dan 2 sejajar jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya dan sejajar, dan karenanya .

Jadi, dua bidang sejajar satu sama lain jika dan hanya jika koefisien pada koordinat yang bersesuaian sebanding:

atau

Kondisi tegak lurus bidang.

Jelaslah bahwa dua bidang tegak lurus jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, dan oleh karena itu, atau .

Dengan demikian, .

Contoh.

LANGSUNG DI RUANG.

PERSAMAAN VEKTOR LANGSUNG.

PERSAMAAN PARAMETRIK LANGSUNG

Posisi garis lurus dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan salah satu titik tetapnya M 1 dan vektor sejajar dengan garis ini.

Vektor yang sejajar dengan garis lurus disebut membimbing vektor garis ini.

Jadi biarkan lurus aku melewati suatu titik M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) terletak pada garis lurus sejajar dengan vektor .

Pertimbangkan titik sewenang-wenang M(x,y,z) pada garis lurus. Dapat dilihat dari gambar bahwa .

Vektor dan collinear, jadi ada angka seperti itu t, apa , di mana pengalinya t dapat mengambil nilai numerik apa pun tergantung pada posisi titik M pada garis lurus. Faktor t disebut parameter. Menunjukkan vektor jari-jari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , Kami memperoleh . Persamaan ini disebut vektor persamaan garis lurus. Ini menunjukkan bahwa setiap nilai parameter t sesuai dengan vektor radius beberapa titik M berbaring pada garis lurus.

Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan itu , dan dari sini

Persamaan yang dihasilkan disebut parametrik persamaan garis lurus.

Saat mengubah parameter t perubahan koordinat x, kamu dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANONIK LANGSUNG

Biarlah M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) - titik yang terletak pada garis lurus aku, dan adalah vektor arahnya. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang pada garis lurus M(x,y,z) dan mempertimbangkan vektor .

Jelaslah bahwa vektor dan kolinear, sehingga masing-masing koordinat harus proporsional, oleh karena itu

– resmi persamaan garis lurus.

Catatan 1. Perhatikan bahwa persamaan kanonik garis dapat diperoleh dari persamaan parametrik dengan menghilangkan parameter t. Memang, dari persamaan parametrik kita peroleh atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus secara parametrik.

Menunjukkan , karena itu x = 2 + 3t, kamu = –1 + 2t, z = 1 –t.

Catatan 2. Biarkan garis tegak lurus terhadap salah satu sumbu koordinat, misalnya sumbu Sapi. Maka vektor arah garis tegak lurus Sapi, karena itu, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik dari garis lurus mengambil bentuk

Menghilangkan parameter dari persamaan t, kita peroleh persamaan garis lurus dalam bentuk

Namun, dalam kasus ini juga, kami setuju untuk secara formal menulis persamaan kanonik garis lurus dalam bentuk . Jadi, jika penyebut salah satu pecahan adalah nol, maka ini berarti bahwa garis tersebut tegak lurus terhadap sumbu koordinat yang sesuai.

Demikian pula, persamaan kanonik sesuai dengan garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi dan Oy atau sumbu paralel Ons.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM GARIS LANGSUNG SEBAGAI GARIS PENCEGAHAN DUA BIDANG

Melalui setiap garis lurus di ruang angkasa melewati jumlah pesawat yang tak terbatas. Setiap dua dari mereka, berpotongan, mendefinisikannya dalam ruang. Oleh karena itu, persamaan dari dua bidang seperti itu, dipertimbangkan bersama, adalah persamaan garis ini.

Secara umum, setiap dua bidang tidak sejajar diberikan oleh persamaan umum

tentukan garis perpotongannya. Persamaan ini disebut persamaan umum lurus.

Contoh.

Bangun garis lurus yang diberikan oleh persamaan

Untuk membuat garis, cukup mencari dua titik saja. Cara termudah adalah dengan memilih titik potong garis dengan bidang koordinat. Misalnya, titik perpotongan dengan bidang xOy kita peroleh dari persamaan garis lurus, dengan asumsi z= 0:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan intinya M 1 (1;2;0).

Demikian pula, dengan asumsi kamu= 0, kita mendapatkan titik potong garis dengan bidang xOz:

Dari persamaan umum garis lurus, seseorang dapat melanjutkan ke persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan beberapa poin M 1 pada garis dan vektor arah garis.

Koordinat titik M 1 kita peroleh dari sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrer. Untuk mencari vektor arah, perhatikan bahwa vektor ini harus tegak lurus terhadap kedua vektor normal dan . Oleh karena itu, untuk vektor arah garis lurus aku Anda dapat mengambil produk silang dari vektor normal:

Contoh. Berikan persamaan umum garis lurus ke bentuk kanonik.

Temukan titik pada garis lurus. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang, misalnya, kamu= 0 dan selesaikan sistem persamaannya:

Vektor normal dari bidang yang mendefinisikan garis memiliki koordinat Oleh karena itu, vektor arah akan lurus

. Karena itu, aku: .

SUDUT ANTARA KANAN

sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan menyebut salah satu sudut yang berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sewenang-wenang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:

Jelas, sudut antara garis dapat diambil sebagai sudut antara vektor arah mereka dan . Karena , maka menurut rumus kosinus sudut antara vektor-vektor kita peroleh

Saya akan singkat. Sudut antara dua garis sama dengan sudut antara vektor arahnya. Jadi, jika Anda berhasil menemukan koordinat vektor arah a \u003d (x 1; y 1; z 1) dan b \u003d (x 2; y 2; z 2), Anda dapat menemukan sudutnya. Lebih tepatnya, kosinus sudut sesuai dengan rumus:

Mari kita lihat bagaimana rumus ini bekerja pada contoh spesifik:

Tugas. Titik E dan F ditandai dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - titik tengah dari tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. Tentukan sudut antara garis AE dan BF.

Karena tepi kubus tidak ditentukan, kami menetapkan AB = 1. Kami memperkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, dan sumbu x, y, z diarahkan masing-masing sepanjang AB, AD, dan AA 1 . Segmen satuan sama dengan AB = 1. Sekarang mari kita cari koordinat vektor arah untuk garis kita.

Tentukan koordinat vektor AE. Untuk melakukan ini, kita membutuhkan titik A = (0; 0; 0) dan E = (0,5; 0; 1). Karena titik E adalah tengah segmen A 1 B 1 , koordinatnya sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat ujungnya. Perhatikan bahwa asal vektor AE bertepatan dengan asal, jadi AE = (0,5; 0; 1).

Sekarang mari kita berurusan dengan vektor BF. Demikian pula, kami menganalisis titik B = (1; 0; 0) dan F = (1; 0,5; 1), karena F - tengah segmen B 1 C 1 . Kita punya:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Jadi, vektor arah sudah siap. Cosinus sudut antara garis adalah cosinus sudut antara vektor arah, jadi kita memiliki:

Tugas. Dalam prisma trihedral biasa ABCA 1 B 1 C 1 , semua tepinya sama dengan 1, titik D dan E ditandai - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. Tentukan sudut antara garis AD dan BE.

Kami memperkenalkan sistem koordinat standar: asalnya di titik A, sumbu x diarahkan sepanjang AB, z - sepanjang AA 1 . Kami mengarahkan sumbu y sehingga bidang OXY berimpit dengan bidang ABC. Segmen satuan sama dengan AB = 1. Temukan koordinat vektor arah untuk garis yang diinginkan.

Pertama, mari kita cari koordinat vektor AD. Perhatikan poin-poinnya: A = (0; 0; 0) dan D = (0,5; 0; 1), karena D - tengah segmen A 1 B 1 . Karena awal vektor AD bertepatan dengan titik asal, kita mendapatkan AD = (0,5; 0; 1).

Sekarang mari kita cari koordinat vektor BE. Titik B = (1; 0; 0) mudah dihitung. Dengan titik E - tengah segmen C 1 B 1 - sedikit lebih sulit. Kita punya:

Tetap menemukan kosinus sudut:

Tugas. Dalam prisma heksagonal beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , semua tepinya sama dengan 1, titik K dan L ditandai - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. Tentukan sudut antara garis AK dan BL.

Kami memperkenalkan sistem koordinat standar untuk prisma: kami menempatkan titik asal koordinat di pusat alas bawah, mengarahkan sumbu x sepanjang FC, sumbu y melalui titik tengah segmen AB dan DE, dan sumbu z vertikal ke atas. Segmen satuan sekali lagi sama dengan AB = 1. Mari kita tuliskan koordinat tempat-tempat menarik bagi kita:

Titik K dan L masing-masing adalah titik tengah segmen A 1 B 1 dan B 1 C 1, sehingga koordinatnya ditemukan melalui mean aritmatika. Mengetahui titik-titik, kami menemukan koordinat vektor arah AK dan BL:

Sekarang mari kita cari kosinus sudut:

Tugas. Di kanan piramida segi empat SABCD, semua tepinya sama dengan 1, titik E dan F ditandai - masing-masing titik tengah sisi SB dan SC. Tentukan sudut antara garis AE dan BF.

Kami memperkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, sumbu x dan y masing-masing diarahkan sepanjang AB dan AD, dan sumbu z diarahkan vertikal ke atas. Segmen satuan sama dengan AB = 1.

Titik E dan F masing-masing adalah titik tengah segmen SB dan SC, sehingga koordinatnya ditemukan sebagai rata-rata aritmatika dari ujung-ujungnya. Kami menuliskan koordinat tempat menarik bagi kami:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)