Menyelesaikan contoh persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri

Metode Solusi persamaan trigonometri

Pendahuluan 2

Metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri 5

Aljabar 5

Memecahkan persamaan menggunakan kondisi persamaan fungsi trigonometri dengan nama yang sama 7

Pemfaktoran 8

Reduksi ke persamaan homogen 10

Pengenalan sudut bantu 11

Ubah produk menjadi jumlah 14

Substitusi universal 14

Kesimpulan 17

pengantar

Sampai kelas sepuluh, urutan tindakan dari banyak latihan yang mengarah ke tujuan, sebagai suatu peraturan, didefinisikan dengan jelas. Misalnya, persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat, persamaan pecahan dan persamaan yang dapat direduksi menjadi kuadrat, dll. Tanpa menganalisis secara rinci prinsip penyelesaian setiap contoh yang disebutkan, kami mencatat hal umum yang diperlukan untuk solusi yang berhasil.

Dalam kebanyakan kasus, Anda perlu menentukan jenis tugas apa, mengingat urutan tindakan yang mengarah ke tujuan, dan melakukan tindakan ini. Jelas bahwa keberhasilan atau kegagalan siswa dalam menguasai metode penyelesaian persamaan terutama tergantung pada seberapa banyak ia akan dapat menentukan jenis persamaan dengan benar dan mengingat urutan semua tahap penyelesaiannya. Tentu saja, ini mengasumsikan bahwa siswa memiliki keterampilan untuk melakukan transformasi identik dan komputasi.

Situasi yang sama sekali berbeda terjadi ketika seorang siswa menghadapi persamaan trigonometri. Pada saat yang sama, tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut adalah trigonometri. Kesulitan muncul ketika menemukan tindakan yang akan mengarah pada hasil positif. Dan di sini siswa menghadapi dua masalah. Oleh penampilan persamaan sulit untuk menentukan jenisnya. Dan tanpa mengetahui jenisnya, hampir tidak mungkin untuk memilih formula yang diinginkan dari beberapa lusin yang tersedia.

Untuk membantu siswa menemukan jalan mereka melalui labirin kompleks persamaan trigonometri, mereka pertama-tama diperkenalkan dengan persamaan, yang, setelah memperkenalkan variabel baru, direduksi menjadi kuadrat. Kemudian selesaikan persamaan homogen dan direduksi menjadi persamaan tersebut. Semuanya berakhir, sebagai suatu peraturan, dengan persamaan, untuk solusi yang perlu memfaktorkan sisi kiri, kemudian menyamakan setiap faktor menjadi nol.

Menyadari bahwa satu setengah lusin persamaan yang dianalisis dalam pelajaran jelas tidak cukup untuk membiarkan siswa berlayar secara mandiri di "laut" trigonometri, guru menambahkan beberapa rekomendasi lagi dari dirinya sendiri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kita harus mencoba:

Bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke "sudut yang sama";

Bawa persamaan ke "fungsi yang sama";

Faktorkan ruas kiri persamaan, dll.

Namun, terlepas dari pengetahuan tentang jenis utama persamaan trigonometri dan beberapa prinsip untuk menemukan solusi mereka, banyak siswa masih menemukan diri mereka menemui jalan buntu di depan setiap persamaan yang sedikit berbeda dari yang diselesaikan sebelumnya. Masih belum jelas apa yang harus diperjuangkan, memiliki persamaan ini atau itu, mengapa dalam satu kasus perlu menerapkan rumus sudut ganda, di bagian lain - setengah, dan di rumus tambahan ketiga, dll.

Definisi 1. Persamaan trigonometri adalah persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung di bawah tanda fungsi trigonometri.

Definisi 2. Suatu persamaan trigonometri dikatakan memiliki sudut yang sama jika semua fungsi trigonometri yang termasuk di dalamnya memiliki argumen yang sama. Suatu persamaan trigonometri dikatakan memiliki fungsi yang sama jika persamaan tersebut hanya memuat salah satu fungsi trigonometri.

Definisi 3. Derajat suatu monomial yang mengandung fungsi trigonometri adalah jumlah pangkat dari fungsi trigonometri yang termasuk di dalamnya.

Definisi 4. Suatu persamaan disebut homogen jika semua monomial di dalamnya memiliki derajat yang sama. Derajat ini disebut orde persamaan.

Definisi 5. Persamaan trigonometri yang hanya berisi fungsi dosa dan karena, disebut homogen jika semua monomial terhadap fungsi trigonometri memiliki derajat yang sama, dan fungsi trigonometri itu sendiri memiliki sudut yang sama dan jumlah monomial lebih besar 1 dari orde persamaan.

Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap: transformasi persamaan untuk mendapatkan bentuk paling sederhana dan penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana yang dihasilkan. Ada tujuh metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

Saya. metode aljabar. Metode ini terkenal dari aljabar. (Metode penggantian variabel dan substitusi).

Memecahkan persamaan.

1)

Mari kita perkenalkan notasinya x=2 dosa3 t, kita mendapatkan

Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan:
atau

itu. dapat ditulis

Saat menulis solusi yang diperoleh karena adanya tanda derajat
tidak ada gunanya menulis.

Menjawab:

Menunjukkan

Kita mendapatkan persamaan kuadrat
. Akarnya adalah angka
dan
. Oleh karena itu, persamaan ini direduksi menjadi persamaan trigonometri paling sederhana
dan
. Memecahkannya, kami menemukan itu
atau
.

Menjawab:
;
.

Menunjukkan

tidak memenuhi syarat

Cara

Menjawab:

Mari kita ubah ruas kiri persamaan:

Dengan demikian, persamaan awal ini dapat ditulis sebagai:

, yaitu

menunjukkan
, kita mendapatkan
Memecahkan persamaan kuadrat ini, kami memiliki:

tidak memenuhi syarat

Kami menuliskan solusi dari persamaan asli:

Menjawab:

Pengganti
mengurangi persamaan ini menjadi persamaan kuadrat
. Akarnya adalah angka
dan
. Sebagai
, kemudian persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Jawaban: tidak ada akar.

II. Penyelesaian persamaan menggunakan kondisi persamaan fungsi trigonometri dengan nama yang sama.

sebuah)
, jika

b)
, jika

di)
, jika

Dengan menggunakan kondisi ini, pertimbangkan solusi persamaan berikut:

6)

Menggunakan apa yang dikatakan dalam butir a), kami menemukan bahwa persamaan memiliki solusi jika dan hanya jika
.

Memecahkan persamaan ini, kami menemukan
.

Kami memiliki dua kelompok solusi:

.

7) Selesaikan persamaan:
.

Menggunakan kondisi bagian b) kami menyimpulkan bahwa
.

Memecahkan persamaan kuadrat ini, kita mendapatkan:

.

8) Memecahkan persamaan
.

Dari persamaan ini kita menyimpulkan bahwa . Memecahkan persamaan kuadrat ini, kami menemukan bahwa

.

AKU AKU AKU. Faktorisasi.

Kami mempertimbangkan metode ini dengan contoh.

9) Selesaikan persamaannya
.

Keputusan. Mari kita pindahkan semua suku persamaan ke kiri: .

Kami mengubah dan memfaktorkan ekspresi di sisi kiri persamaan:
.

.

.

1)
2)

Karena
dan
jangan ambil nilai null

pada saat yang sama, lalu kita pisahkan kedua bagian

persamaan untuk
,

Menjawab:

10) Selesaikan persamaan:

Keputusan.

atau

Menjawab:

11) Memecahkan persamaan

Keputusan:

1)
2)
3)

,

Menjawab:

IV. Reduksi menjadi persamaan homogen.

Untuk menyelesaikan persamaan homogen, Anda perlu:

Pindahkan semua anggotanya ke sisi kiri;

Singkirkan semua faktor umum dari tanda kurung;

Samakan semua faktor dan kurung dengan nol;

Tanda kurung yang disamakan dengan nol memberikan persamaan homogen dengan derajat yang lebih rendah, yang harus dibagi dengan
(atau
) di tingkat senior;

Selesaikan diterima persamaan aljabar relatif
.

Pertimbangkan contoh:

12) Selesaikan persamaan:

Keputusan.

Bagilah kedua ruas persamaan dengan
,

Memperkenalkan notasi
, nama

akar dari persamaan ini adalah:

dari sini 1)
2)

Menjawab:

13) Selesaikan persamaan:

Keputusan. Menggunakan rumus sudut ganda dan identitas trigonometri dasar, kami mengurangi persamaan ini menjadi setengah argumen:

Setelah mengurangi suku-suku sejenis, kita memperoleh:

Membagi persamaan terakhir yang homogen dengan
, kita mendapatkan

saya akan menunjuk
, kita mendapatkan persamaan kuadrat
, yang akarnya adalah bilangan

Dengan demikian

Ekspresi
menghilang pada
, yaitu pada
,
.

Solusi kami untuk persamaan tidak termasuk angka-angka ini.

Menjawab:
, .

V. Pengenalan sudut bantu.

Pertimbangkan persamaan bentuk

Di mana a, b, c- koefisien, x- tidak dikenal.

Bagilah kedua ruas persamaan ini dengan

Sekarang koefisien persamaan memiliki sifat sinus dan cosinus, yaitu: modulus masing-masing tidak melebihi satu, dan jumlah kuadratnya sama dengan 1.

Kemudian kita bisa memberi label yang sesuai
(di sini - sudut bantu) dan persamaan kita berbentuk: .

Kemudian

Dan keputusannya

Perhatikan bahwa notasi yang diperkenalkan dapat dipertukarkan.

14) Selesaikan persamaan:

Keputusan. Di Sini
, jadi kita bagi kedua ruas persamaan dengan

Menjawab:

15) Selesaikan persamaan

Keputusan. Sebagai
, maka persamaan ini ekuivalen dengan persamaan

Sebagai
, maka ada sudut sedemikian rupa sehingga
,
(itu.
).

Kita punya

Sebagai
, maka kita akhirnya mendapatkan:

.

Perhatikan bahwa persamaan bentuk memiliki solusi jika dan hanya jika

16) Selesaikan persamaan:

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami mengelompokkan fungsi trigonometri dengan argumen yang sama

Bagilah kedua ruas persamaan dengan dua

Kami mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi produk:

Menjawab:

VI. Ubah produk menjadi jumlah.

Rumus yang sesuai digunakan di sini.

17) Selesaikan persamaan:

Keputusan. Mari kita ubah ruas kiri menjadi jumlah:

VII.Substitusi universal.

,

rumus ini berlaku untuk semua

Pengganti
disebut universal.

18) Selesaikan persamaan:

Solusi: Ganti dan
untuk ekspresi mereka melalui
dan menunjukkan
.

Kami mendapatkan persamaan rasional
, yang diubah menjadi persegi
.

Akar persamaan ini adalah bilangan
.

Oleh karena itu, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan
.

Kami menemukan bahwa
.

Lihat nilai
tidak memenuhi persamaan asli, yang diverifikasi dengan memeriksa - substitusi nilai yang diberikan t ke persamaan aslinya.

Menjawab:
.

Komentar. Persamaan 18 dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda.

Bagilah kedua ruas persamaan ini dengan 5 (yaitu dengan
):
.

Sebagai
, maka ada nomor
, Apa
dan
. Sehingga persamaannya menjadi:
atau
. Dari sini kita menemukan bahwa
di mana
.

19) Selesaikan persamaan
.

Keputusan. Karena fungsi
dan
memiliki nilai tertinggi sama dengan 1, maka jumlah mereka sama dengan 2 jika
dan
, pada saat yang sama, yaitu
.

Menjawab:
.

Saat menyelesaikan persamaan ini, batasan fungsi dan digunakan.

Kesimpulan.

Bekerja pada topik "Solusi persamaan trigonometri", berguna bagi setiap guru untuk mengikuti rekomendasi berikut:

Sistematisasi metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

Pilih sendiri langkah-langkah untuk melakukan analisis persamaan dan tanda-tanda kelayakan menggunakan satu atau lain metode solusi.

Memikirkan cara-cara pengendalian diri terhadap kegiatan pelaksanaan metode tersebut.

Belajarlah untuk membuat persamaan "Anda" untuk setiap metode yang dipelajari.

Aplikasi No. 1

Memecahkan persamaan homogen atau direduksi.

1.	Reputasi.
	Reputasi.
	Reputasi.
5.	Reputasi.
	Reputasi.
7.	Reputasi.
	Reputasi.

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang Anda perlukan pengiriman sukses GUNAKAN dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 ujian profil matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Cara Cepat solusi, jebakan dan rahasia ujian. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Masalah teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik rumit solusi, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk solusi tugas yang menantang 2 bagian ujian.

Konsep penyelesaian persamaan trigonometri.

• Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ubah menjadi satu atau lebih persamaan trigonometri dasar. Memecahkan persamaan trigonometri akhirnya bermuara pada penyelesaian empat persamaan trigonometri dasar.

Penyelesaian persamaan trigonometri dasar.

• Ada 4 jenis persamaan trigonometri dasar:
• dosa x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Memecahkan persamaan trigonometri dasar melibatkan melihat posisi x yang berbeda pada lingkaran satuan, serta menggunakan tabel konversi (atau kalkulator).
• Contoh 1. sin x = 0,866. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = /3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: 2π/3. Ingat: semua fungsi trigonometri bersifat periodik, yaitu nilainya berulang. Misalnya, periodisitas sin x dan cos x adalah 2πn, dan periodisitas tg x dan ctg x adalah n. Jadi jawabannya ditulis seperti ini:
• x1 = /3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Contoh 2 cos x = -1/2. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = 2π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Contoh 3. tg (x - /4) = 0.
• Jawaban: x \u003d / 4 + n.
• Contoh 4. ctg 2x = 1,732.
• Jawaban: x \u003d / 12 + n.

Transformasi yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.

• Untuk mentransformasi persamaan trigonometri digunakan transformasi aljabar (faktorisasi, reduksi anggota yang homogen dll.) dan identitas trigonometri.
• Contoh 5. Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan sin x + sin 2x + sin 3x = 0 diubah menjadi persamaan 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Jadi, persamaan dasar trigonometri berikut perlu dipecahkan: cos x = 0; dosa(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Mencari sudut dengan nilai yang diketahui fungsi.

  • Sebelum mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mempelajari cara menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel konversi atau kalkulator.
  • Contoh: cos x = 0,732. Kalkulator akan memberikan jawaban x = 42,95 derajat. Lingkaran satuan akan memberikan sudut tambahan, yang kosinusnya juga sama dengan 0,732.

• Sisihkan solusi pada lingkaran satuan.

  • Anda dapat menempatkan solusi untuk persamaan trigonometri pada lingkaran satuan. Penyelesaian persamaan trigonometri pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul poligon beraturan.
  • Contoh: Solusi x = /3 + n/2 pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul bujur sangkar.
  • Contoh: Solusi x = /4 + n/3 pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul segi enam beraturan.

• Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

  • Jika persamaan trigonometri yang diberikan hanya berisi satu fungsi trigonometri, selesaikan persamaan ini sebagai persamaan trigonometri dasar. Jika persamaan ini mencakup dua atau lebih fungsi trigonometri, maka ada 2 metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut (tergantung pada kemungkinan transformasinya).
    • Metode 1
  • Ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: f(x)*g(x)*h(x) = 0, di mana f(x), g(x), h(x) adalah persamaan trigonometri dasar.
  • Contoh 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Keputusan. Menggunakan rumus sudut ganda sin 2x = 2*sin x*cos x, ganti sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan trigonometri dasar: cos x = 0 dan (sin x + 1) = 0.
  • Contoh 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan berbentuk: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2cos x + 1) = 0.
  • Contoh 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2sin x + 1) = 0.
    • Metode 2
  • Ubah persamaan trigonometri yang diberikan menjadi persamaan yang hanya berisi satu fungsi trigonometri. Kemudian ganti fungsi trigonometri ini dengan beberapa yang tidak diketahui, misalnya, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, dst.).
  • Contoh 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Keputusan. PADA persamaan yang diberikan ganti (cos^2 x) dengan (1 - sin^2 x) (sesuai identitasnya). Persamaan yang diubah terlihat seperti:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Gantikan sin x dengan t. Sekarang persamaannya menjadi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat dengan dua akar: t1 = -1 dan t2 = 9/5. Akar kedua t2 tidak memenuhi rentang fungsi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Contoh 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Keputusan. Ganti tg x dengan t. Tulis ulang persamaan awalnya sebagai berikut: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sekarang cari t lalu cari x untuk t = tg x.

Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

Penyelesaian persamaan trigonometri dengan tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya bermuara pada penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. Dan dalam hal ini, lingkaran trigonometri kembali menjadi penolong terbaik.

Ingat definisi cosinus dan sinus.

Kosinus suatu sudut adalah absis (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) dari suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan rotasi oleh sudut tertentu.

Sinus suatu sudut adalah ordinat (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) dari suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan rotasi oleh sudut tertentu.

Arah gerakan positif sepanjang lingkaran trigonometri dianggap sebagai gerakan berlawanan arah jarum jam. Rotasi 0 derajat (atau 0 radian) sesuai dengan titik dengan koordinat (1; 0)

Kami menggunakan definisi ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

1. Selesaikan persamaan

Persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai sudut rotasi , yang sesuai dengan titik-titik lingkaran, yang ordinatnya sama dengan .

Mari kita tandai titik dengan ordinat pada sumbu y:

Mari kita habiskan garis horisontal sejajar dengan sumbu x sampai berpotongan dengan lingkaran. Kita akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki ordinat. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dan radian:

Jika kita, setelah meninggalkan titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian, mengelilingi lingkaran penuh, maka kita akan sampai pada titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian dan memiliki ordinat yang sama. Artinya, sudut rotasi ini juga memenuhi persamaan kita. Kita dapat membuat belokan "idle" sebanyak yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Jumlah putaran "idle" dilambangkan dengan huruf (atau). Karena kita dapat membuat revolusi ini dalam arah positif dan negatif, (atau ) dapat mengambil nilai bilangan bulat apa pun.

Artinya, deret pertama solusi persamaan asli memiliki bentuk:

, , - himpunan bilangan bulat (1)

Demikian pula, deret solusi kedua memiliki bentuk:

, di mana , . (2)

Seperti yang Anda duga, rangkaian solusi ini didasarkan pada titik lingkaran yang sesuai dengan sudut rotasi sebesar .

Dua rangkaian solusi ini dapat digabungkan menjadi satu entri:

Jika kita mengambil entri ini (yaitu, genap), maka kita akan mendapatkan rangkaian solusi pertama.

Jika kita mengambil entri ini (yaitu, ganjil), maka kita akan mendapatkan solusi seri kedua.

2. Sekarang mari kita selesaikan persamaannya

Karena absis titik lingkaran satuan diperoleh dengan memutar melalui sudut , kami menandai pada sumbu sebuah titik dengan absis :

Gambarlah garis vertikal sejajar dengan sumbu hingga berpotongan dengan lingkaran. Kami akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki absis. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dan radian. Ingatlah bahwa ketika bergerak searah jarum jam, kami mendapatkan sudut rotasi negatif:

Kami menuliskan dua seri solusi:

,

,

(Kami jatuh ke dalam titik yang diinginkan, pergi dari lingkaran penuh utama, yaitu .

Mari gabungkan kedua seri ini menjadi satu postingan:

3. Selesaikan persamaan

Garis singgung melalui titik dengan koordinat (1,0) lingkaran satuan yang sejajar dengan sumbu OY

Tandai titik di atasnya dengan ordinat yang sama dengan 1 (kami mencari garis singgung dari sudut mana adalah 1):

Hubungkan titik ini ke titik asal dengan garis lurus dan tandai titik potong garis tersebut dengan lingkaran satuan. Titik potong garis dan lingkaran sesuai dengan sudut rotasi pada dan :

Karena titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi yang memenuhi persamaan kita terletak terpisah radian, kita dapat menulis solusinya sebagai berikut:

4. Selesaikan persamaan

Garis kotangen melalui titik dengan koordinat lingkaran satuan sejajar sumbu.

Kami menandai titik dengan absis -1 pada garis kotangen:

Hubungkan titik ini ke titik asal garis lurus dan lanjutkan sampai berpotongan dengan lingkaran. Garis ini akan memotong lingkaran di titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi dan radian:

Karena titik-titik ini dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , maka keputusan bersama Kita dapat menulis persamaan ini sebagai berikut:

Dalam contoh yang diberikan, yang menggambarkan solusi persamaan trigonometri paling sederhana, nilai tabel fungsi trigonometri digunakan.

Namun, jika ada nilai non-tabel di ruas kanan persamaan, maka kita substitusikan nilai tersebut ke dalam solusi umum persamaan:

SOLUSI KHUSUS:

Tandai titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya 0:

Tandai satu titik pada lingkaran, yang ordinatnya sama dengan 1:

Tandai satu titik pada lingkaran, yang ordinatnya sama dengan -1:

Karena biasanya menunjukkan nilai yang paling dekat dengan nol, kami menulis solusinya sebagai berikut:

Tandai titik-titik pada lingkaran, yang absisnya adalah 0:

5.
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran, yang absisnya sama dengan 1:

Tandai satu titik pada lingkaran, yang absisnya sama dengan -1:

Dan beberapa contoh yang lebih kompleks:

1.

sinus sama dengan satu jika argumennya adalah

Argumen sinus kita adalah , jadi kita dapatkan:

Bagi kedua ruas persamaan dengan 3:

Menjawab:

2.

Kosinus nol jika argumen cosinus adalah

Argumen dari kosinus kami adalah , sehingga kami mendapatkan:

Kami menyatakan , untuk ini pertama-tama kami pindah ke kanan dengan tanda yang berlawanan:

Sederhanakan ruas kanan:

Bagi kedua bagian dengan -2:

Perhatikan bahwa tanda sebelum suku tidak berubah, karena k dapat mengambil sembarang nilai integer.

Menjawab:

Dan sebagai penutup, tonton video tutorial "Pemilihan akar-akar pada persamaan trigonometri menggunakan lingkaran trigonometri"

Ini menyimpulkan percakapan tentang memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana. Lain waktu kita akan berbicara tentang bagaimana untuk memecahkan.