Fungsi yang memiliki turunan disebut. Apa itu turunan?

Tanggal: 20/11/2014

Apa itu turunan?

Tabel turunan.

Turunan adalah salah satu konsep utama matematika tingkat tinggi. Dalam pelajaran ini, kami akan memperkenalkan konsep ini. Mari berkenalan, tanpa rumusan dan pembuktian matematis yang ketat.

Pengenalan ini akan memungkinkan Anda untuk:

Memahami esensi tugas sederhana dengan turunan;

Berhasil memecahkan sebagian besar ini tugas yang sulit;

Bersiaplah untuk pelajaran turunan yang lebih serius.

Pertama, kejutan yang menyenangkan.

Definisi ketat turunan didasarkan pada teori limit, dan masalahnya agak rumit. Ini menjengkelkan. Tetapi penerapan praktis dari turunan, sebagai suatu peraturan, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!

Untuk berhasil menyelesaikan sebagian besar tugas di sekolah dan universitas, cukup mengetahui hanya beberapa istilah- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa aturan- untuk menyelesaikannya. Dan itu saja. Ini membuatku senang.

Haruskah kita saling mengenal?)

Istilah dan sebutan.

Ada banyak operasi matematika dalam matematika dasar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial, logaritma, dll. Jika satu operasi lagi ditambahkan ke operasi ini, matematika dasar menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini disebut diferensiasi. Definisi dan arti dari operasi ini akan dibahas dalam pelajaran terpisah.

Di sini penting untuk dipahami bahwa diferensiasi itu sederhana operasi matematika atas fungsi. Kami mengambil fungsi apa pun dan aturan tertentu, mengubahnya. Hasilnya adalah fungsi baru. Fungsi baru ini disebut: turunan.

Diferensiasi- tindakan pada suatu fungsi.

Turunan adalah hasil dari tindakan ini.

Sama seperti, misalnya, jumlah merupakan hasil penjumlahan. Atau pribadi merupakan hasil pembagian.

Mengetahui istilah, Anda setidaknya dapat memahami tugas.) Kata-katanya adalah sebagai berikut: menemukan turunan dari suatu fungsi; ambil turunannya; membedakan fungsi; menghitung turunan dll. itu semua sama. Tentu saja, ada tugas yang lebih kompleks, di mana menemukan turunan (diferensiasi) hanyalah salah satu langkah dalam menyelesaikan tugas.

Turunan dilambangkan dengan tanda hubung di kanan atas di atas fungsi. Seperti ini: y" atau f"(x) atau S"(t) dll.

Baca y stroke, ef stroke dari x, es stroke dari te, baik Anda mengerti ...)

Sebuah prima juga dapat menunjukkan turunan dari fungsi tertentu, misalnya: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" dll. Seringkali turunan dilambangkan dengan diferensial, tetapi kita tidak akan mempertimbangkan notasi seperti itu dalam pelajaran ini.

Misalkan kita telah belajar memahami tugas. Tidak ada yang tersisa - untuk mempelajari cara menyelesaikannya.) Biarkan saya mengingatkan Anda lagi: menemukan turunannya adalah transformasi fungsi menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini sangat sedikit.

Untuk menemukan turunan suatu fungsi, Anda hanya perlu mengetahui tiga hal. Tiga pilar di mana semua diferensiasi bersandar. Berikut ketiga paus tersebut:

1. Tabel turunan (rumus diferensiasi).

3. Turunan dari fungsi kompleks.

Mari kita mulai secara berurutan. Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan tabel turunan.

Tabel turunan.

Dunia memiliki jumlah fungsi yang tak terbatas. Di antara himpunan ini ada fungsi yang paling penting untuk aplikasi praktis. Fungsi-fungsi ini duduk di semua hukum alam. Dari fungsi-fungsi ini, seperti dari batu bata, Anda dapat membangun yang lainnya. Kelas fungsi ini disebut fungsi dasar. Fungsi-fungsi inilah yang dipelajari di sekolah - linier, kuadrat, hiperbola, dll.

Diferensiasi fungsi "dari awal", mis. berdasarkan definisi turunan dan teori limit - hal yang agak memakan waktu. Dan matematikawan juga manusia, ya, ya!) Jadi mereka menyederhanakan hidup mereka (dan kita). Mereka menghitung turunan dari fungsi dasar sebelum kita. Hasilnya adalah tabel turunan, di mana semuanya sudah siap.)

Ini dia, piring ini untuk fungsi paling populer. Kiri - fungsi dasar, kanan - turunannya.

	Fungsi kamu	Turunan dari fungsi y y"
1	C (konstan)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n adalah bilangan apa saja)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	dosa x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	sebuah x
4	e x
5	catatan sebuah x
5	dalam x ( a = e)

Saya sarankan untuk memperhatikan kelompok fungsi ketiga dalam tabel turunan ini. Turunan fungsi daya- salah satu formula paling umum, jika bukan yang paling umum! Apakah petunjuknya jelas?) Ya, sebaiknya hafal tabel turunannya. Omong-omong, ini tidak sesulit kelihatannya. Cobalah untuk memutuskan lebih banyak contoh, tabel itu sendiri akan diingat!)

Menemukan nilai tabular dari turunan, seperti yang Anda pahami, bukanlah tugas yang paling sulit. Karena itu, sangat sering dalam tugas seperti itu ada chip tambahan. Baik dalam perumusan tugas, atau dalam fungsi aslinya, yang sepertinya tidak ada di meja ...

Mari kita lihat beberapa contoh:

1. Tentukan turunan dari fungsi y = x 3

Tidak ada fungsi seperti itu di tabel. Tetapi ada turunan dari fungsi daya di pandangan umum(kelompok ketiga). Dalam kasus kami, n=3. Jadi kami mengganti triple alih-alih n dan dengan hati-hati menuliskan hasilnya:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Itu saja.

Menjawab: y" = 3x 2

2. Tentukan nilai turunan dari fungsi y = sinx di titik x = 0.

Tugas ini berarti bahwa Anda harus terlebih dahulu menemukan turunan dari sinus, dan kemudian mengganti nilainya x = 0 untuk turunan yang sama ini. Itu dalam urutan itu! Jika tidak, kebetulan mereka segera mensubstitusi nol ke fungsi aslinya ... Kami diminta untuk menemukan bukan nilai fungsi aslinya, tetapi nilainya turunannya. Turunannya, izinkan saya mengingatkan Anda, sudah merupakan fungsi baru.

Di piring kami menemukan sinus dan turunan yang sesuai:

y" = (sinx)" = cosx

Substitusikan nol ke turunan:

y"(0) = cos 0 = 1

Ini akan menjadi jawabannya.

3. Bedakan fungsinya:

Apa yang menginspirasi?) Bahkan tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk membedakan suatu fungsi cukup dengan mencari turunan dari fungsi ini. Jika Anda lupa trigonometri dasar, menemukan turunan dari fungsi kami cukup merepotkan. Meja tidak membantu...

Tetapi jika kita melihat bahwa fungsi kita adalah kosinus sudut ganda , maka semuanya segera menjadi lebih baik!

Ya ya! Ingat bahwa transformasi dari fungsi aslinya sebelum diferensiasi cukup dapat diterima! Dan itu terjadi untuk membuat hidup jauh lebih mudah. Menurut rumus kosinus sudut ganda:

Itu. fungsi rumit kami tidak lain adalah y = cox. Dan ini adalah fungsi tabel. Kami segera mendapatkan:

Menjawab: y" = - sin x.

Contoh untuk lulusan dan mahasiswa tingkat lanjut:

4. Temukan turunan dari suatu fungsi:

Tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan, tentu saja. Tetapi jika Anda ingat matematika dasar, tindakan dengan kekuatan... Maka sangat mungkin untuk menyederhanakan fungsi ini. Seperti ini:

Dan x pangkat sepersepuluh sudah merupakan fungsi tabel! Kelompok ketiga, n=1/10. Langsung sesuai dengan rumus dan tulis:

Itu saja. Ini akan menjadi jawabannya.

Saya berharap bahwa dengan paus diferensiasi pertama - tabel turunan - semuanya jelas. Masih berurusan dengan dua paus yang tersisa. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan mempelajari aturan diferensiasi.

Ketika memecahkan berbagai masalah geometri, mekanika, fisika, dan cabang-cabang pengetahuan lainnya, menjadi perlu untuk menggunakan proses analitik yang sama dari fungsi yang diberikan. y=f(x) menerima fitur baru, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan) dari fungsi ini f(x) dan dilambangkan

Proses dimana fungsi tertentu f(x) dapatkan fungsi baru f"(x), ditelepon diferensiasi dan itu terdiri dari tiga langkah berikut: 1) kami memberikan argumen x kenaikan  x dan tentukan kenaikan yang sesuai dari fungsi  y = f(x+ x)-f(x); 2) membuat hubungan

3) menghitung x permanen, dan  x 0, kita temukan
, yang dilambangkan dengan f"(x), seolah-olah menekankan bahwa fungsi yang dihasilkan hanya bergantung pada nilai x, di mana kita melewati batas. Definisi: Turunan y "= f" (x) fungsi yang diberikan y=f(x) diberikan x disebut batas rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, asalkan kenaikan argumen cenderung nol, jika, tentu saja, batas ini ada, mis. terbatas. Dengan demikian,
, atau

Perhatikan bahwa jika untuk beberapa nilai x, misalnya ketika x=a, hubungan
pada  x 0 tidak cenderung ke batas yang terbatas, maka dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi f(x) pada x=a(atau pada intinya x=a) tidak memiliki turunan atau tidak dapat diturunkan di suatu titik x=a.

2. Arti geometris turunan.

Pertimbangkan grafik fungsi y \u003d f (x), terdiferensiasi di sekitar titik x 0

f(x)

Pertimbangkan garis arbitrer yang melalui titik grafik fungsi - titik A (x 0, f (x 0)) dan memotong grafik di beberapa titik B (x; f (x)). Garis lurus (AB) seperti itu disebut garis potong. Dari ABC: AC = x; SM \u003d y; tgβ=∆y/∆x .

Sejak AC || Ox, maka ALO = BAC = (sesuai paralel). Tetapi ALO adalah sudut kemiringan garis potong AB terhadap arah positif sumbu Ox. Jadi, tgβ = k - lereng langsung AB

Sekarang kita akan mengurangi x, yaitu. x→ 0. Dalam hal ini, titik B akan mendekati titik A sesuai dengan grafik, dan garis potong AB akan berputar. Posisi limit dari garis potong AB di x → 0 akan berupa garis lurus (a), yang disebut garis singgung grafik fungsi y \u003d f (x) di titik A.

Jika kita melewati limit sebagai → 0 dalam persamaan tgβ =∆y/∆x, maka kita peroleh
atau tg \u003d f "(x 0), karena
-sudut kemiringan garis singgung ke arah positif sumbu Ox
, menurut definisi turunan. Tetapi tg \u003d k adalah kemiringan garis singgung, yang berarti bahwa k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Jadi, arti geometris dari turunan adalah sebagai berikut:

Turunan suatu fungsi di titik x 0 sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi yang digambar di titik dengan absis x 0 .

3. Arti fisis turunan.

Pertimbangkan pergerakan suatu titik sepanjang garis lurus. Biarkan titik koordinat setiap waktu x(t) diberikan. Diketahui (dari pelajaran fisika) bahwa kecepatan rata-rata selama periode waktu sama dengan rasio jarak yang ditempuh selama periode waktu ini terhadap waktu, yaitu.

Vav = x/∆t. Mari kita lewati limit dalam persamaan terakhir sebagai t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kecepatan sesaat pada waktu t 0, t → 0.

dan lim = x/∆t = x "(t 0) (menurut definisi turunan).

Jadi, (t) = x"(t).

Arti fisis dari turunan adalah sebagai berikut: turunan dari fungsikamu = f(x) pada intinyax 0 adalah laju perubahan fungsif(x) pada titikx 0

Turunan ini digunakan dalam fisika untuk menemukan kecepatan dari fungsi koordinat yang diketahui dari waktu, percepatan dari fungsi kecepatan yang diketahui dari waktu.

(t) \u003d x "(t) - kecepatan,

a(f) = "(t) - percepatan, atau

Jika hukum gerak suatu titik material di sepanjang lingkaran diketahui, maka dimungkinkan untuk menemukan kecepatan sudut dan percepatan sudut selama gerak rotasi:

= (t) - perubahan sudut terhadap waktu,

\u003d "(t) - kecepatan sudut,

= "(t) - percepatan sudut, atau = "(t).

Jika hukum distribusi untuk massa batang yang tidak homogen diketahui, maka kerapatan linier batang yang tidak homogen dapat ditemukan:

m \u003d m (x) - massa,

x , l - panjang batang,

p \u003d m "(x) - kerapatan linier.

Dengan bantuan turunan, masalah dari teori elastisitas dan getaran harmonik diselesaikan. Ya, menurut hukum Hooke

F = -kx, x – koordinat variabel, k – koefisien elastisitas pegas. Menempatkan 2 \u003d k / m, kami memperoleh persamaan diferensial pendulum pegas x "(t) + 2 x (t) \u003d 0,

di mana = k/√m adalah frekuensi osilasi (l/c), k adalah laju pegas (H/m).

Persamaan bentuk y "+ 2 y \u003d 0 disebut persamaan osilasi harmonik (mekanik, listrik, elektromagnetik). Solusi dari persamaan tersebut adalah fungsi

y = Asin(ωt + 0) atau y = Acos(ωt + 0), di mana

A - amplitudo osilasi, - frekuensi siklik,

0 - fase awal.

Dalam masalah B9, diberikan grafik fungsi atau turunan, yang darinya diperlukan untuk menentukan salah satu besaran berikut:

Nilai turunan di suatu titik x 0,
Titik tinggi atau rendah (titik ekstrim),
Interval fungsi naik dan turun (interval monotonisitas).

Fungsi dan turunan yang disajikan dalam masalah ini selalu kontinu, yang sangat menyederhanakan solusinya. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas itu termasuk dalam bagian analisis matematis, itu cukup dalam kekuatan bahkan siswa yang paling lemah, karena tidak ada kedalaman yang dalam. pengetahuan teoretis tidak diperlukan di sini.

Untuk mencari nilai turunan, titik ekstrem dan interval monoton, ada algoritma sederhana dan universal - semuanya akan dibahas di bawah ini.

Baca dengan cermat kondisi masalah B9 agar tidak membuat kesalahan bodoh: terkadang teks yang cukup banyak muncul, tetapi syarat penting, yang mempengaruhi jalannya solusi, ada beberapa.

Perhitungan nilai turunan. Metode dua titik

Jika masalah diberikan grafik fungsi f(x), bersinggungan dengan grafik ini di beberapa titik x 0 , dan diperlukan untuk menemukan nilai turunan pada titik ini, algoritma berikut diterapkan:

Temukan dua titik "memadai" pada grafik singgung: koordinatnya harus bilangan bulat. Mari kita nyatakan titik-titik ini sebagai A (x 1 ; y 1) dan B (x 2 ; y 2). Tulis koordinat dengan benar - ini adalah momen kunci solusi, dan setiap kesalahan di sini mengarah ke jawaban yang salah.
Mengetahui koordinat, mudah untuk menghitung kenaikan argumen x = x 2 x 1 dan kenaikan fungsi y = y 2 y 1 .
Akhirnya, kami menemukan nilai turunan D = y/x. Dengan kata lain, Anda perlu membagi kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen - dan ini akan menjadi jawabannya.

Sekali lagi, kita perhatikan: titik A dan B harus dicari tepat pada garis singgung, dan bukan pada grafik fungsi f(x), seperti yang sering terjadi. Garis singgung harus mengandung setidaknya dua titik seperti itu, jika tidak, masalahnya dirumuskan secara tidak benar.

Pertimbangkan titik A (−3; 2) dan B (1; 6) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Mari kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 4/2 = 2.

Tugas. Gambar menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Perhatikan titik A (0; 3) dan B (3; 0), cari pertambahan:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Sekarang kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 3/3 = 1.

Tugas. Gambar menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Pertimbangkan poin A (0; 2) dan B (5; 2) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Tetap mencari nilai turunannya: D = y/x = 0/5 = 0.

Dari contoh terakhir, kita dapat merumuskan aturan: jika garis singgung sejajar dengan sumbu OX, turunan dari fungsi pada titik kontak sama dengan nol. Dalam hal ini, Anda bahkan tidak perlu menghitung apa pun - lihat saja grafiknya.

Menghitung Poin Tinggi dan Rendah

Kadang-kadang alih-alih grafik fungsi dalam masalah B9, grafik turunan diberikan dan diperlukan untuk menemukan titik maksimum atau minimum dari fungsi tersebut. Dalam skenario ini, metode dua titik tidak berguna, tetapi ada algoritma lain yang lebih sederhana. Pertama, mari kita definisikan terminologinya:

Titik x 0 disebut titik maksimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).
Titik x 0 disebut titik minimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).

Untuk menemukan titik maksimum dan minimum pada grafik turunan, cukup melakukan langkah-langkah berikut:

Gambar ulang grafik turunan, hapus semua informasi yang tidak perlu. Seperti yang ditunjukkan oleh praktik, data tambahan hanya mengganggu solusi. Oleh karena itu, kami menandai nol dari turunan pada sumbu koordinat - dan hanya itu.
Cari tahu tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Jika untuk suatu titik x 0 diketahui f'(x 0) 0, maka hanya dua pilihan yang mungkin: f'(x 0) 0 atau f'(x 0) 0. Tanda turunannya adalah mudah ditentukan dari gambar aslinya: jika graf turunan terletak di atas sumbu OX, maka f'(x) 0. Sebaliknya, jika graf turunan terletak di bawah sumbu OX, maka f'(x) 0.
Kami kembali memeriksa nol dan tanda-tanda turunannya. Di mana tanda berubah dari minus ke plus, ada titik minimum. Sebaliknya, jika tanda turunannya berubah dari plus ke minus, ini adalah titik maksimumnya. Penghitungan selalu dilakukan dari kiri ke kanan.

Skema ini hanya berfungsi untuk fungsi kontinu - tidak ada yang lain dalam masalah B9.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−5; 5]. Temukan titik minimum dari fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu - kita hanya akan meninggalkan perbatasan [−5; 5] dan nol dari turunan x = 3 dan x = 2.5. Perhatikan juga tanda-tandanya:

Jelasnya, pada titik x = 3, tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus. Ini adalah titik minimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−3; 7]. Temukan titik maksimum fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita menggambar ulang grafik, hanya menyisakan batas [−3; 7] dan nol dari turunan x = 1.7 dan x = 5. Perhatikan tanda-tanda turunan pada grafik yang dihasilkan. Kita punya:

Jelas, pada titik x = 5, tanda turunan berubah dari plus ke minus - ini adalah titik maksimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−6; 4]. Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) yang termasuk dalam interval [−4; 3].

Dari kondisi masalah, maka cukup untuk mempertimbangkan hanya bagian dari grafik yang dibatasi oleh segmen [−4; 3]. Oleh karena itu, kami membangun grafik baru, di mana kami hanya menandai batas [−4; 3] dan nol turunan di dalamnya. Yaitu, titik x = 3.5 dan x = 2. Kita peroleh:

Pada grafik ini, hanya ada satu titik maksimum x = 2. Di dalamnya tanda turunan berubah dari plus ke minus.

Catatan kecil tentang titik dengan koordinat non-bilangan bulat. Sebagai contoh, pada soal terakhir, titik x = 3.5 dipertimbangkan, tetapi dengan keberhasilan yang sama kita dapat mengambil x = 3.4. Jika masalah dirumuskan dengan benar, perubahan seperti itu seharusnya tidak mempengaruhi jawaban, karena poin "tanpa tempat tinggal tetap" tidak terlibat langsung dalam menyelesaikan masalah. Tentu saja, dengan poin integer, trik seperti itu tidak akan berhasil.

Menemukan interval kenaikan dan penurunan fungsi

Dalam masalah seperti itu, seperti titik maksimum dan minimum, diusulkan untuk menemukan area di mana fungsi itu sendiri meningkat atau menurun dari grafik turunan. Pertama, mari kita definisikan apa itu ascending dan descending:

Suatu fungsi f(x) disebut meningkat pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Dengan kata lain, semakin besar nilai argumen, semakin besar nilai fungsinya.
Suatu fungsi f(x) disebut menurun pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Itu. nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Kami merumuskan kondisi yang cukup untuk naik dan turun:

Agar fungsi kontinu f(x) meningkat pada segmen , cukup turunannya di dalam segmen menjadi positif, mis. f'(x) 0.
Agar fungsi kontinu f(x) berkurang pada segmen , cukup turunannya di dalam segmen menjadi negatif, mis. f'(x) 0.

Kami menerima pernyataan ini tanpa bukti. Dengan demikian, kami mendapatkan skema untuk menemukan interval kenaikan dan penurunan, yang dalam banyak hal mirip dengan algoritma untuk menghitung titik ekstrem:

Hapus semua informasi yang berlebihan. Pada grafik asli turunan, kami terutama tertarik pada nol dari fungsi, jadi kami hanya meninggalkannya.
Tandai tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Dimana f'(x) 0, fungsi meningkat, dan dimana f'(x) 0, fungsi menurun. Jika masalah memiliki batasan pada variabel x, kami juga menandainya pada bagan baru.
Sekarang kita mengetahui perilaku fungsi dan kendala, tinggal menghitung nilai yang diperlukan dalam masalah.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−3; 7.5]. Tentukan interval fungsi menurun f(x). Dalam jawaban Anda, tulis jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Seperti biasa, kita menggambar ulang grafik dan menandai batas [−3; 7.5], serta nol dari turunan x = 1.5 dan x = 5.3. Kemudian kita tandai tanda-tanda turunannya. Kita punya:

Karena turunannya negatif pada interval (− 1,5), ini adalah interval fungsi menurun. Tetap menjumlahkan semua bilangan bulat yang ada di dalam interval ini:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−10; 4]. Carilah interval dari peningkatan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tuliskan panjang yang terbesar.

Mari kita singkirkan informasi yang berlebihan. Kami hanya meninggalkan batas [−10; 4] dan nol dari turunannya, yang kali ini menjadi empat: x = 8, x = 6, x = 3 dan x = 2. Perhatikan tanda-tanda turunan dan dapatkan gambar berikut:

Kami tertarik pada interval fungsi yang meningkat, yaitu di mana f'(x) 0. Ada dua interval seperti itu pada grafik: (−8; 6) dan (−3; 2). Mari kita hitung panjangnya:
l 1 = 6 (−8) = 2;
l 2 = 2 (−3) = 5.

Karena diperlukan untuk menemukan panjang interval terbesar, kami menulis nilai l 2 = 5 sebagai tanggapan.

Apa itu turunan?
Definisi dan arti turunan dari suatu fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan lokasi tak terduga dari artikel ini dalam kursus penulis saya tentang turunan dari fungsi satu variabel dan aplikasinya. Lagi pula, seperti dari sekolah: buku teks standar, pertama-tama, memberikan definisi turunan, makna geometris, mekanisnya. Selanjutnya, siswa menemukan turunan fungsi menurut definisi, dan, pada kenyataannya, hanya kemudian teknik diferensiasi disempurnakan menggunakan tabel turunan.

Tapi dari sudut pandang saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas fungsi, dan terutama sangat kecil. Faktanya adalah bahwa definisi turunan didasarkan pada konsep limit, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda granit pengetahuan kurang menembus inti dari turunannya. Jadi, jika Anda kurang berorientasi pada kalkulus diferensial, atau otak yang bijaksana untuk tahun yang panjang berhasil membuang bagasi ini, silakan mulai dari batas fungsi. Pada saat yang sama menguasai / mengingat keputusan mereka.

Arti praktis yang sama menunjukkan bahwa itu menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori adalah teori, tetapi, seperti yang mereka katakan, Anda selalu ingin membedakan. Dalam hal ini, lebih baik untuk mengerjakan pelajaran dasar yang terdaftar, dan mungkin menjadi ahli diferensiasi bahkan tanpa menyadari esensi dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi itu bisa ditunda. Faktanya adalah bahwa banyak aplikasi turunan tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan bahwa pelajaran teoretis muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskan menemukan interval kenaikan/penurunan dan ekstrem fungsi. Apalagi dia berada di subjek untuk waktu yang cukup lama " Fungsi dan Grafik”, sampai saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Karena itu, teko sayang, jangan buru-buru menyerap esensi turunannya, seperti hewan lapar, karena kejenuhannya akan hambar dan tidak lengkap.

Konsep naik, turun, maksimum, minimum dari suatu fungsi

Banyak panduan belajar mengarah pada konsep turunan dengan bantuan beberapa masalah praktis, dan saya juga menemukan contoh menarik. Bayangkan kita harus melakukan perjalanan ke kota yang bisa dijangkau dengan berbagai cara. Kami segera membuang jalur berliku yang melengkung, dan kami hanya akan mempertimbangkan garis lurus. Namun, arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota dengan autobahn datar. Atau di jalan raya berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lain hanya menanjak, dan jalan lain menurun sepanjang waktu. Pencari sensasi akan memilih rute melalui ngarai dengan tebing terjal dan tanjakan yang terjal.

Tapi apa pun preferensi Anda, disarankan untuk mengetahui daerah tersebut, atau setidaknya menemukannya. peta topografi. Bagaimana jika tidak ada informasi seperti itu? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan datar, tetapi sebagai hasilnya, tersandung lereng ski dengan orang Finlandia yang lucu. Bukan fakta bahwa navigator dan bahkan citra satelit akan memberikan data yang andal. Oleh karena itu, alangkah baiknya untuk meresmikan relief jalan dengan cara matematika.

Pertimbangkan beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk jaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan itu terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsi kontinu di daerah yang dipertimbangkan.

Apa saja fitur grafik ini?

Pada interval fungsi meningkat, yaitu, masing-masing nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya berjalan turun hingga(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsi menurun- setiap nilai berikutnya lebih kecil yang sebelumnya, dan jadwal kita berjalan Perintahkan ke bawah(menuruni lereng).

Mari kita juga memperhatikan poin-poin khusus. Pada titik kita mencapai maksimum, yaitu ada bagian dari jalur di mana nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama, minimum, dan ada sedemikian rupa tetangganya, yang nilainya paling kecil (terendah).

Terminologi dan definisi yang lebih ketat akan dibahas dalam pelajaran ini. tentang ekstrem dari fungsi, tapi untuk sekarang mari kita pelajari satu fitur penting lagi: pada interval fungsinya meningkat, tetapi meningkat dengan kecepatan yang berbeda . Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya membumbung tinggi pada interval jauh lebih keren daripada pada interval. Apakah mungkin mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: ambil beberapa nilai (baca "delta x"), yang akan kita sebut penambahan argumen, dan mulai "coba" untuk titik yang berbeda jalan kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak , kita mendaki lereng ke ketinggian (garis hijau). Nilai tersebut disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari nol). Mari kita buat rasio , yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas, adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Penunjukan adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "merobek" "delta" dari "x" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja, komentar juga berlaku untuk simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan lebih bermakna. Misalkan awalnya kita berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah melewati jarak meter (kiri garis merah), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsi tersebut adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter…apakah Anda lupa peralatan pendakian Anda? =) Dengan kata lain, rasio yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) fungsi tersebut.

Catatan : Nilai numerik dari contoh yang dimaksud sesuai dengan proporsi gambar hanya kira-kira.

2) Sekarang mari kita ambil jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih lembut, sehingga kenaikannya (garis merah) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan dengan kasus sebelumnya akan cukup sederhana. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini untuk setiap meter jalan ada rata-rata setengah meter ke atas.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak di sumbu y. Mari kita asumsikan bahwa ini adalah tanda 50 meter. Sekali lagi kami mengatasi jarak, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada level 30 meter. Sejak gerakan telah dibuat Perintahkan ke bawah(dalam arah "berlawanan" dari sumbu), maka final kenaikan fungsi (tinggi) akan menjadi negatif: meter (garis coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita berbicara tentang tingkat peluruhan fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebanyak 2 meter. Jaga pakaian pada poin kelima.

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan: apa nilai terbaik dari "standar pengukuran" untuk digunakan? Jelas bahwa 10 meter sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah masuk ke dalamnya. Mengapa ada gundukan, mungkin ada ngarai yang dalam di bawah, dan setelah beberapa meter - sisi lainnya dengan pendakian yang lebih curam. Jadi, dengan yang sepuluh meter, kita tidak akan mendapatkan karakteristik yang dapat dipahami dari bagian-bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas, berikut kesimpulannya: bagaimana nilai kurang , semakin akurat kita akan menggambarkan relief jalan. Apalagi fakta-fakta berikut ini benar:

– Untuk apa saja titik angkat Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan satu atau lainnya. Dan ini berarti bahwa kenaikan tinggi yang sesuai akan dijamin positif, dan pertidaksamaan akan dengan tepat menunjukkan pertumbuhan fungsi pada setiap titik interval ini.

- Juga, untuk apa saja titik kemiringan, ada nilai yang akan cocok sepenuhnya pada kemiringan ini. Oleh karena itu, peningkatan tinggi yang sesuai benar-benar negatif, dan pertidaksamaan akan dengan benar menunjukkan penurunan fungsi pada setiap titik dari interval yang diberikan.

– Yang menarik adalah kasus ketika tingkat perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah tanda jalur genap. Dan kedua, ada situasi aneh lainnya, contohnya Anda lihat pada gambar. Bayangkan bahwa takdir telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang menjulang tinggi atau dasar jurang dengan kodok yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, maka perubahan ketinggian akan diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya nol. Pola yang sama diamati pada titik-titik.

Dengan demikian, kami telah mendekati peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Lagipula analisis matematis memungkinkan Anda untuk mengarahkan kenaikan argumen ke nol: , yaitu, membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, pertanyaan logis lain muncul: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya? fungsi lain, yang akan memberitahu kami tentang semua dataran, menanjak, menurun, puncak, dataran rendah, serta tingkat kenaikan / penurunan di setiap titik jalan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tampak tidak terlalu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikel nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara kualitatif (saran ini sangat relevan untuk siswa "teknisi" yang memiliki matematika yang lebih tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Secara alami, dalam definisi turunan pada suatu titik, kami akan menggantinya dengan:

Apa yang telah kita datangi? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk suatu fungsi menurut hukum sejajar fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan).

Sifat turunannya tingkat perubahan fungsi . Bagaimana? Pikiran itu berjalan seperti benang merah dari awal artikel. Pertimbangkan beberapa hal domain fungsi . Biarkan fungsi tersebut terdiferensialkan pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsi meningkat pada titik . Dan jelas ada selang(walaupun sangat kecil) yang berisi titik di mana fungsi tumbuh, dan grafiknya bergerak "dari bawah ke atas".

2) Jika , maka fungsi menurun di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsi menurun (grafik berjalan "dari atas ke bawah").

3) Jika , maka sangat dekat dekat titik, fungsi menjaga kecepatannya konstan. Ini terjadi, seperti dicatat, untuk konstanta fungsi dan pada titik kritis fungsi, secara khusus pada poin minimum dan maksimum.

Beberapa semantik. apa di pengertian luas Apa arti kata kerja "membedakan"? Untuk membedakan berarti memilih fitur. Membedakan fungsi , kami "memilih" laju perubahannya dalam bentuk turunan dari fungsi . Dan omong-omong, apa yang dimaksud dengan kata "turunan"? Fungsi telah terjadi dari fungsi.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil menginterpretasikan makna mekanis dari turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat benda, yang bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak benda tersebut. Fungsi mencirikan laju perubahan koordinat tubuh, oleh karena itu merupakan turunan pertama dari fungsi terhadap waktu: . Jika konsep "gerakan tubuh" tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan".

Percepatan benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep asli "gerakan tubuh" dan "kecepatan gerakan tubuh" tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep percepatan benda.

Turunan dari fungsi satu variabel.

Pengantar.

nyata perkembangan metodologi dirancang untuk mahasiswa Fakultas Teknik Industri dan Sipil. Mereka dikompilasi dalam kaitannya dengan program kursus matematika di bagian "Kalkulus diferensial fungsi satu variabel."

Perkembangan tersebut merupakan panduan metodologis tunggal, yang meliputi: informasi teoritis singkat; tugas dan latihan "khas" dengan solusi dan penjelasan terperinci untuk solusi ini; pilihan kontrol.

Latihan tambahan di akhir setiap paragraf. Struktur perkembangan seperti itu membuat mereka cocok untuk penguasaan mandiri bagian dengan bantuan paling minim dari guru.

§satu. Definisi turunan.

Arti mekanik dan geometris

turunan.

Konsep turunan adalah salah satu konsep analisis matematika yang paling penting, yang muncul pada awal abad ke-17. Pembentukan konsep turunan secara historis dikaitkan dengan dua masalah: masalah kecepatan gerak variabel dan masalah garis singgung kurva.

Tugas-tugas ini, meskipun isinya berbeda, mengarah pada operasi matematika yang sama yang harus dilakukan pada suatu fungsi.Operasi ini telah menerima nama khusus dalam matematika. Disebut operasi diferensiasi fungsi. Hasil dari operasi diferensiasi disebut turunan.

Jadi, turunan dari fungsi y=f(x) di titik x0 adalah limit (jika ada) rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen
pada
.

Derivatif biasanya dilambangkan sebagai berikut:
.

Jadi menurut definisi

Simbol juga digunakan untuk menunjukkan turunan
.

Arti mekanis dari turunan.

Jika s=s(t) adalah hukum gerak lurus suatu titik material, maka
adalah kecepatan titik ini pada waktu t.

pengertian geometris turunan.

Jika fungsi y=f(x) memiliki turunan di suatu titik , maka kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik
sama dengan
.

Contoh.

Tentukan turunan dari suatu fungsi
pada intinya =2:

1) Mari kita beri poin = 2 kenaikan
. Perhatikan itu.

2) Tentukan kenaikan fungsi di titik =2:

3) Tulis rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen:

Mari kita cari limit dari relasi di
:

Dengan demikian,
.

2. Turunan dari beberapa

fungsi yang paling sederhana.

Siswa perlu mempelajari cara menghitung turunan fungsi spesifik: y=x,y= dan secara umum y= .

Tentukan turunan dari fungsi y=x.

itu. (x)′=1.

Mari kita cari turunan dari fungsi

Turunan

Biarlah
kemudian

Sangat mudah untuk melihat pola dalam ekspresi untuk turunan dari fungsi pangkat
pada n=1,2,3.

Karena itu,

. (1)

Rumus ini berlaku untuk n real apa pun.

Secara khusus, menggunakan rumus (1), kami memiliki:

;

Contoh.

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Fungsi ini adalah kasus khusus dari fungsi bentuk

pada
.

Dengan menggunakan rumus (1), kita mendapatkan

Turunan fungsi y=sin x dan y=cos x.

Misalkan y=sinx.

Bagi dengan x, kita peroleh

Melewati limit sebagai x→0, kita peroleh

Misalkan y=cosx .

Melewati limit sebagai x→0, kita peroleh

;
. (2)

3. Aturan dasar diferensiasi.

Pertimbangkan aturan diferensiasi.

Dalil1 . Jika fungsi u=u(x) dan v=v(x) dapat diturunkan di titik x tertentu, maka jumlah mereka juga dapat diturunkan pada titik ini, dan turunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah dari suku-suku turunannya: (u+v)"=u"+v".(3 )

Bukti: perhatikan fungsi y=f(x)=u(x)+v(x).

Kenaikan x dari argumen x sesuai dengan kenaikan ∆u=u(x+∆x)-u(x), v=v(x+∆x)-v(x) dari fungsi u dan v. Maka fungsi y akan bertambah

y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Karena itu,

Jadi, (u+v)"=u"+v".

Dalil2. Jika fungsi u=u(x) dan v=v(x) terdiferensial di suatu titik x, maka hasilkalinya juga terdiferensial di titik yang sama.Dalam hal ini, turunan dari hasil kali diperoleh dengan rumus berikut : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Bukti: Misalkan y=uv, di mana u dan v adalah beberapa fungsi terdiferensiasi dari x. Misalkan x bertambah x; maka u bertambah u, v bertambah v, dan y bertambah y.

Kami memiliki y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), atau

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Oleh karena itu, y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Dari sini

Melewati limit sebagai x→0 dan dengan memperhitungkan bahwa u dan v tidak bergantung pada x, kita peroleh

Teorema 3. Turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan suatu pecahan, yang penyebutnya sama dengan kuadrat dari pembagi, dan pembilangnya adalah selisih antara hasil kali turunan dari pembagian itu oleh pembagi dan hasil kali dari dividen dengan turunan dari pembagi, yaitu

Jika sebuah
kemudian
(5)