Tumpukan rumus yang mengerikan, manual tentang matematika yang lebih tinggi yang Anda buka dan segera tutup, pencarian yang menyakitkan untuk solusi untuk masalah yang tampaknya sangat sederhana .... Situasi ini tidak jarang terjadi, terutama ketika buku teks matematika terakhir dibuka di kelas 11 yang jauh. Sementara itu, di universitas, kurikulum dari banyak spesialisasi menyediakan studi matematika tinggi favorit semua orang. Dan dalam situasi ini, Anda sering merasa seperti teko penuh di depan tumpukan omong kosong matematika yang mengerikan. Selain itu, situasi serupa dapat muncul dalam studi mata pelajaran apa pun, terutama dari siklus ilmu alam.

Apa yang harus dilakukan? Untuk siswa penuh waktu, semuanya jauh lebih sederhana, kecuali, tentu saja, subjeknya tidak terlalu diabaikan. Anda dapat berkonsultasi dengan guru, teman sekelas, dan hanya menulis dari tetangga di meja. Bahkan teko penuh dalam matematika yang lebih tinggi akan bertahan sesi dalam skenario seperti itu.

Dan jika seseorang belajar di departemen korespondensi universitas, dan matematika yang lebih tinggi, secara halus, tidak mungkin diperlukan di masa depan? Selain itu, tidak ada waktu untuk kelas. Begitulah, dalam banyak kasus, begitu, tetapi tidak ada yang membatalkan kinerja tes dan lulus ujian (paling sering, tertulis). Dengan tes dalam matematika yang lebih tinggi, semuanya menjadi lebih mudah, apakah Anda seorang teko atau bukan teko - tes matematika dapat dipesan. Misalnya, saya punya. Barang lain juga bisa dipesan. Tidak di sini lagi. Tetapi pelaksanaan dan penyerahan makalah ujian untuk ditinjau belum akan mengarah pada entri yang didambakan di buku nilai. Sering terjadi bahwa sebuah karya seni, dibuat sesuai pesanan, perlu dipertahankan, dan perlu dijelaskan mengapa rumus itu mengikuti dari surat-surat ini. Selain itu, ujian akan datang, dan di sana Anda harus menyelesaikan determinan, limit, dan turunannya secara MANDIRI. Kecuali, tentu saja, guru tidak menerima hadiah yang berharga, atau tidak ada pemberi selamat yang disewa di luar kelas.

Izinkan saya memberi Anda beberapa saran yang sangat penting. Pada ujian, ujian eksakta dan ilmu alam, SANGAT PENTING UNTUK MEMAHAMI SESUATU. Ingat, SETIDAKNYA SESUATU. Tidak adanya proses berpikir sama sekali hanya membuat guru marah, saya tahu kasus-kasus ketika siswa paruh waktu dibungkus 5-6 kali. Saya ingat bahwa seorang pemuda lulus ujian 4 kali, dan setelah setiap pengambilan ulang, dia meminta saya untuk konsultasi garansi gratis. Pada akhirnya, saya perhatikan bahwa dalam jawaban dia menulis huruf "pe" bukan huruf "pi", yang diikuti dengan sanksi berat dari pengulas. Siswa itu BAHKAN TIDAK INGIN MELIHAT tugas, yang dengan santai dia tulis ulang

Anda bisa menjadi bodoh dalam matematika yang lebih tinggi, tetapi sangat diinginkan untuk mengetahui bahwa turunan dari sebuah konstanta sama dengan nol. Karena jika Anda menjawab beberapa kebodohan untuk pertanyaan dasar, maka ada kemungkinan besar bahwa studi Anda di universitas akan berakhir untuk Anda. Guru jauh lebih menyukai siswa yang SETIDAKNYA BERUSAHA memahami subjek, kepada siswa yang, meskipun keliru, tetapi mencoba memecahkan, menjelaskan, atau membuktikan sesuatu. Dan pernyataan ini berlaku untuk semua disiplin ilmu. Oleh karena itu, posisi "Saya tidak tahu apa-apa, saya tidak mengerti apa-apa" harus ditolak dengan tegas.

Nasihat penting kedua adalah MENGHADIRI KULIAH, meskipun jumlahnya tidak banyak. Saya sudah menyebutkan ini di halaman utama situs. Matematika untuk siswa korespondensi. Tidak masuk akal untuk mengulangi mengapa SANGAT penting, baca di sana.

Jadi, apa yang harus dilakukan jika ada ujian di hidung, ujian matematika tingkat tinggi, dan hal-hal yang menyedihkan - keadaan teko penuh, atau lebih tepatnya, kosong?

Salah satu pilihannya adalah menyewa tutor. Database tutor terbesar dapat ditemukan (terutama Moskow) atau (terutama St. Petersburg). Menggunakan mesin pencari, sangat mungkin untuk menemukan tutor di kota Anda, atau melihat koran iklan lokal. Harga untuk layanan tutor dapat bervariasi dari 400 rubel atau lebih per jam, tergantung pada kualifikasi guru. Perlu dicatat bahwa murah tidak berarti buruk, terutama jika Anda memiliki latar belakang matematika yang baik. Pada saat yang sama, untuk 2-3 ribu rubel Anda akan mendapatkan BANYAK. Sia-sia tidak ada yang mengambil uang seperti itu, dan sia-sia tidak ada yang membayar uang seperti itu ;-). Satu-satunya poin penting - cobalah untuk memilih tutor dengan pendidikan pedagogis khusus. Dan pada kenyataannya, kami tidak pergi ke dokter gigi untuk mendapatkan bantuan hukum.

Baru-baru ini, layanan bimbingan belajar online semakin populer. Sangat nyaman ketika Anda perlu segera menyelesaikan satu atau dua masalah, memahami suatu topik atau mempersiapkan ujian. Keuntungan yang tidak diragukan adalah harga, yang beberapa kali lebih rendah daripada tutor offline + menghemat waktu perjalanan, yang sangat penting bagi penduduk kota besar.

Dalam pelajaran matematika yang lebih tinggi, sangat sulit untuk menguasai beberapa hal tanpa tutor, Anda hanya perlu penjelasan yang “langsung”.

Namun demikian, sangat mungkin untuk memahami banyak jenis masalah sendiri, dan tujuan dari bagian situs ini adalah untuk mengajari Anda cara memecahkan contoh dan masalah umum yang hampir selalu ditemukan dalam ujian. Selain itu, untuk sejumlah tugas ada algoritma "keras", di mana tidak ada jalan keluar dari solusi yang benar. Dan, sejauh pengetahuan saya, saya akan mencoba membantu Anda, terutama karena saya memiliki pendidikan pedagogis dan pengalaman kerja dalam spesialisasi saya.

Mari kita mulai menggali omong kosong matematika. Tidak apa-apa, bahkan jika Anda seorang teko, matematika yang lebih tinggi benar-benar sederhana dan sangat mudah diakses.

Dan Anda harus mulai dengan mengulang pelajaran matematika di sekolah. Pengulangan adalah ibu dari rasa sakit.

Sebelum Anda mulai mempelajari materi metodologi saya, dan secara umum mulai mempelajari materi apa pun dalam matematika tingkat tinggi, SAYA SANGAT MEREKOMENDASIKAN Anda membaca yang berikut ini.

Agar berhasil memecahkan masalah dalam matematika yang lebih tinggi, Anda HARUS:

DAPATKAN MIKROKALKULATOR.

Dari program - Excel (pilihan yang sangat baik!). Saya mengunggah manual untuk "boneka" ke perpustakaan.

Ada? Sudah bagus.

– Dari penataan ulang istilah - jumlahnya tidak berubah: .
Tetapi ini adalah hal yang sama sekali berbeda:

Sangat tidak mungkin untuk mengatur ulang "x" dan "empat". Pada saat yang sama, kita mengingat huruf ikonik "x", yang dalam matematika berarti nilai yang tidak diketahui atau variabel.

– Dengan mengatur ulang faktor - produk tidak berubah: .
Dengan pembagian, trik seperti itu tidak akan berhasil, dan ini adalah dua pecahan yang sama sekali berbeda, dan mengatur ulang pembilang dengan penyebut tidak dilakukan tanpa konsekuensi.
Kami juga ingat bahwa tanda perkalian ("titik") paling sering tidak ditulis :,

– Ingat aturan untuk memperluas tanda kurung:
- di sini tanda-tanda persyaratan tidak berubah
- dan di sini mereka terbalik.
Dan untuk perkalian:

Secara umum, cukup untuk diingat bahwa DUA MINUS MEMBERI PLUS, sebuah MINUS TIGA - BERIKAN MINUS. Dan, cobalah untuk tidak bingung dalam hal ini ketika memecahkan masalah dalam matematika yang lebih tinggi (kesalahan yang sangat sering dan menjengkelkan).

– Ingat pengurangan suku serupa, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang operasi berikut:

– Ingat apa itu gelar:

, , , .

Gelar hanyalah perkalian biasa.

–Ingat bahwa pecahan dapat dikurangi: (dikurangi 2), (dikurangi lima), (dikurangi ).

– Ingat tindakan dengan pecahan:

dan juga, aturan yang sangat penting untuk mengurangi pecahan ke penyebut yang sama:

Jika contoh-contoh ini tidak jelas, lihat buku pelajaran sekolah.
Tanpa ini, itu akan SULIT.

NASIHAT: semua kalkulasi MENENGAH dalam matematika yang lebih tinggi paling baik dilakukan dalam PECAHAN BIASA DAN TIDAK BERATURAN, bahkan jika pecahan menakutkan seperti . Pecahan ini TIDAK HARUS dinyatakan sebagai , dan, apalagi, JANGAN membagi pembilang dengan penyebut pada kalkulator, sehingga diperoleh 4.334552102 ....

PENGECUALIAN untuk aturan adalah jawaban akhir dari tugas, maka lebih baik menulis atau.

– persamaan. Ini memiliki sisi kiri dan sisi kanan. Sebagai contoh:

Anda dapat mentransfer istilah apa pun ke bagian lain dengan mengubah tandanya:
Mari kita pindahkan, misalnya, semua suku ke ruas kiri:

Atau ke kanan:

Halaman Baru 1

Analisis matematika untuk boneka. Pelajaran 1. Set.

Konsep himpunan

Sekelompok adalah kumpulan dari beberapa objek. Apa yang bisa menjadi set? Pertama, terbatas atau tak terbatas. Misalnya, himpunan korek api dalam sebuah kotak adalah himpunan berhingga, dapat diambil dan dihitung. Jumlah butiran pasir di pantai jauh lebih sulit untuk dihitung, tetapi pada prinsipnya mungkin. Dan besaran ini dinyatakan dengan suatu bilangan berhingga. Begitu banyak butiran pasir di pantai tentunya. Tetapi himpunan titik-titik pada garis lurus adalah himpunan tak berhingga. Karena, pertama, garis itu sendiri tidak terbatas dan Anda dapat meletakkan titik sebanyak yang Anda suka. Himpunan titik pada ruas garis juga tak terhingga. Karena secara teoritis suatu titik dapat menjadi kecil secara sewenang-wenang. Tentu saja, kita tidak dapat secara fisik menggambar sebuah titik, misalnya, lebih kecil dari ukuran atom, tetapi, dari sudut pandang matematika, sebuah titik tidak memiliki ukuran. Ukurannya nol. Apa yang terjadi ketika Anda membagi angka dengan nol? Itu benar, tak terhingga. Dan meskipun himpunan titik pada garis lurus dan pada segmen cenderung tak terhingga, ini bukan hal yang sama. Himpunan bukanlah kuantitas sesuatu di sana, tetapi kumpulan dari objek apa pun. Dan hanya himpunan yang berisi objek yang sama persis yang dianggap sama. Jika satu set berisi objek yang sama dengan set lain, tetapi ditambah satu objek "kiri", maka ini bukan lagi set yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh. Katakanlah kita memiliki dua set. Yang pertama adalah kumpulan semua titik pada garis. Yang kedua adalah himpunan semua titik pada segmen garis lurus. Mengapa mereka tidak setara? Pertama, segmen garis dan garis lurus mungkin tidak berpotongan. Maka mereka tentu tidak sama, karena mengandung poin yang sama sekali berbeda. Jika mereka berpotongan, maka mereka hanya memiliki satu titik yang sama. Semua sisanya sama berbeda. Bagaimana jika segmen terletak pada garis lurus? Maka semua titik segmen juga merupakan titik garis. Tetapi tidak semua titik pada suatu garis adalah titik pada ruas garis. Jadi dalam hal ini, himpunan tidak dapat dianggap sama (identik).

Setiap set didefinisikan oleh aturan yang secara unik menentukan apakah suatu elemen termasuk dalam set ini atau tidak. Apa yang mungkin menjadi aturan ini? Misalnya, jika himpunannya berhingga, Anda dapat dengan bodohnya menghitung semua objeknya. Anda dapat mengatur rentang. Misalnya, semua bilangan bulat dari 1 hingga 10. Ini juga akan menjadi himpunan hingga, tetapi di sini kita tidak mencantumkan elemen-elemennya, tetapi merumuskan aturan. Atau ketidaksetaraan, misalnya, semua angka lebih besar dari 10. Ini sudah menjadi himpunan tak terbatas, karena tidak mungkin menyebutkan angka terbesar - tidak peduli nomor apa yang kita panggil, selalu ada angka ini ditambah 1.

Sebagai aturan, himpunan dilambangkan dengan huruf kapital dari alfabet Latin A, B, C, dan seterusnya. Jika himpunan terdiri dari elemen-elemen tertentu dan kita ingin mendefinisikannya sebagai daftar elemen-elemen ini, maka kita dapat menyertakan daftar ini dalam kurung kurawal, misalnya A=(a, b, c, d). Jika a adalah anggota dari himpunan A, maka dituliskan sebagai berikut: sebuah Î A. Jika a bukan anggota himpunan A, tuliskan a Ï A. Salah satu himpunan penting adalah himpunan N dari semua bilangan asli N=(1,2,3,...,) . Ada juga yang khusus, yang disebut himpunan kosong, yang tidak mengandung satu elemen pun. Himpunan kosong dilambangkan dengan simbol Æ .

Definisi 1 (definisi persamaan himpunan). Set TETAPI dan B sama jika terdiri dari unsur-unsur yang sama, yaitu jika dari x A mengikuti x B dan sebaliknya, dari x B mengikuti x A.

Secara formal, persamaan dua himpunan ditulis sebagai berikut:

(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

Ini berarti bahwa untuk setiap objek x hubungan xÎ A dan x B setara.

Di Sini " adalah kuantor universal (" xberbunyi "untuk masing-masing x").

Definisi 2 (definisi subset). Sekelompok TETAPI adalah himpunan bagian dari himpunan PADA jika ada X milik himpunan TETAPI, milik himpunan PADA. Secara formal, ini dapat dinyatakan sebagai ekspresi:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Jika sebuah Ì B tapi A ¹ B, maka A adalah himpunan bagian sejati dari himpunan tersebut PADA. Sebagai contoh, sekali lagi, garis lurus dan segmen dapat dikutip. Jika suatu segmen terletak pada suatu garis, maka himpunan titik-titiknya adalah himpunan bagian dari titik-titik garis tersebut. Atau, contoh lain. Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat.

Komentar. Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari himpunan apa pun.

Operasi pada set

Operasi berikut dimungkinkan pada set:

Persatuan. Inti dari operasi ini adalah menggabungkan dua himpunan menjadi satu yang mengandung elemen dari masing-masing himpunan gabungan. Secara formal, terlihat seperti ini:

C=AÈ B:= {x:x Î A atau xÎ B}

Contoh. Mari selesaikan pertidaksamaan | 2 x+ 3 | > 7.

Ini menyiratkan pertidaksamaan 2x+3 >7, untuk 2x+3 0, lalu x>2

atau ketidaksetaraan 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Himpunan solusi pertidaksamaan ini adalah gabungan dari himpunan (-∞,-5) (2, ).

Mari kita periksa. Mari kita hitung nilai ekspresinya | 2 x+ 3 | untuk beberapa poin, berbohong dan tidak berbohong dalam kisaran yang diberikan:

x	| 2 x+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Seperti yang Anda lihat, semuanya diputuskan dengan benar (rentang perbatasan ditandai dengan warna merah).

persimpangan. Persimpangan adalah operasi membuat himpunan baru dari dua elemen yang mengandung yang termasuk dalam kedua himpunan ini. Untuk memvisualisasikannya, mari kita bayangkan bahwa kita memiliki dua himpunan titik pada bidang, yaitu gambar A dan gambar B. Perpotongannya menunjukkan gambar C - ini adalah hasil operasi dari perpotongan himpunan:

Secara formal, operasi irisan himpunan ditulis sebagai berikut:

C=A B:= (x: x Î A dan x B )

Contoh. Mari kita memiliki satu set Kemudian C=A B = {5,6,7}

Pengurangan. Pengurangan himpunan adalah pengecualian dari himpunan yang dikurangi dari elemen-elemen yang terkandung dalam pengurangan dan pengurang:

Secara formal, pengurangan suatu himpunan ditulis sebagai berikut:

A\B:={x:x Î A dan xÏ B}

Contoh. Semoga kita memiliki banyak A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Kemudian C=A\ B = { 1,2,3,4}

Tambahan. Komplemen adalah operasi unary (operasi bukan pada dua, tetapi pada satu himpunan). Operasi ini adalah hasil pengurangan himpunan yang diberikan dari himpunan universal lengkap (set yang mencakup semua himpunan lainnya).

A := (x:x U dan x A) = U \ A

Secara grafis, ini dapat direpresentasikan sebagai:

perbedaan simetris. Berbeda dengan perbedaan biasa, dengan perbedaan simetris dari set, hanya elemen-elemen yang ada di satu atau di set lain yang tersisa. Atau, dalam istilah sederhana, itu dibuat dari dua set, tetapi elemen-elemen yang ada di kedua set dikecualikan darinya:

Secara matematis, hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

Sifat-sifat operasi pada himpunan.

Dari definisi serikat dan persimpangan himpunan, berikut bahwa operasi persimpangan dan serikat memiliki sifat-sifat berikut:

1. Komutatif.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

1. Asosiatif.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C = AÇ ( B Ç C)

Tumpukan rumus yang mengerikan, manual tentang matematika yang lebih tinggi yang Anda buka dan segera tutup, pencarian yang menyakitkan untuk solusi untuk masalah yang tampaknya sangat sederhana .... Situasi ini tidak jarang terjadi, terutama ketika buku teks matematika terakhir dibuka di kelas 11 yang jauh. Sementara itu, di universitas, kurikulum dari banyak spesialisasi menyediakan studi matematika tinggi favorit semua orang. Dan dalam situasi ini, Anda sering merasa seperti teko penuh di depan tumpukan omong kosong matematika yang mengerikan. Selain itu, situasi serupa dapat muncul dalam studi mata pelajaran apa pun, terutama dari siklus ilmu alam.

Apa yang harus dilakukan? Untuk siswa penuh waktu, semuanya jauh lebih sederhana, kecuali, tentu saja, subjeknya tidak terlalu diabaikan. Anda dapat berkonsultasi dengan guru, teman sekelas, dan hanya menulis dari tetangga di meja. Bahkan teko penuh dalam matematika yang lebih tinggi akan bertahan sesi dalam skenario seperti itu.

Dan jika seseorang belajar di departemen korespondensi universitas, dan matematika yang lebih tinggi, secara halus, tidak mungkin diperlukan di masa depan? Selain itu, tidak ada waktu untuk kelas. Begitulah, dalam banyak kasus, begitu, tetapi tidak ada yang membatalkan kinerja tes dan lulus ujian (paling sering, tertulis). Dengan tes dalam matematika yang lebih tinggi, semuanya menjadi lebih mudah, apakah Anda seorang teko atau bukan teko - tes matematika dapat dipesan. Misalnya, saya punya. Barang lain juga bisa dipesan. Tidak di sini lagi. Tetapi pelaksanaan dan penyerahan makalah ujian untuk ditinjau belum akan mengarah pada entri yang didambakan di buku nilai. Sering terjadi bahwa sebuah karya seni, dibuat sesuai pesanan, perlu dipertahankan, dan perlu dijelaskan mengapa rumus itu mengikuti dari surat-surat ini. Selain itu, ujian akan datang, dan di sana Anda harus menyelesaikan determinan, limit, dan turunannya secara MANDIRI. Kecuali, tentu saja, guru tidak menerima hadiah yang berharga, atau tidak ada pemberi selamat yang disewa di luar kelas.

Izinkan saya memberi Anda beberapa saran yang sangat penting. Pada ujian, ujian eksakta dan ilmu alam, SANGAT PENTING UNTUK MEMAHAMI SESUATU. Ingat, SETIDAKNYA SESUATU. Tidak adanya proses berpikir sama sekali hanya membuat guru marah, saya tahu kasus-kasus ketika siswa paruh waktu dibungkus 5-6 kali. Saya ingat bahwa seorang pemuda lulus ujian 4 kali, dan setelah setiap pengambilan ulang, dia meminta saya untuk konsultasi garansi gratis. Pada akhirnya, saya perhatikan bahwa dalam jawaban dia menulis huruf "pe" bukan huruf "pi", yang diikuti dengan sanksi berat dari pengulas. Siswa itu BAHKAN TIDAK INGIN MELIHAT tugas, yang dengan santai dia tulis ulang

Anda bisa menjadi bodoh dalam matematika yang lebih tinggi, tetapi sangat diinginkan untuk mengetahui bahwa turunan dari sebuah konstanta sama dengan nol. Karena jika Anda menjawab beberapa kebodohan untuk pertanyaan dasar, maka ada kemungkinan besar bahwa studi Anda di universitas akan berakhir untuk Anda. Guru jauh lebih menyukai siswa yang SETIDAKNYA BERUSAHA memahami subjek, kepada siswa yang, meskipun keliru, tetapi mencoba memecahkan, menjelaskan, atau membuktikan sesuatu. Dan pernyataan ini berlaku untuk semua disiplin ilmu. Oleh karena itu, posisi "Saya tidak tahu apa-apa, saya tidak mengerti apa-apa" harus ditolak dengan tegas.

Nasihat penting kedua adalah MENGHADIRI KULIAH, meskipun jumlahnya tidak banyak. Saya sudah menyebutkan ini di halaman utama situs. Matematika untuk siswa korespondensi. Tidak masuk akal untuk mengulangi mengapa SANGAT penting, baca di sana.

Jadi, apa yang harus dilakukan jika ada ujian di hidung, ujian matematika tingkat tinggi, dan hal-hal yang menyedihkan - keadaan teko penuh, atau lebih tepatnya, kosong?

Salah satu pilihannya adalah menyewa tutor. Database tutor terbesar dapat ditemukan (terutama Moskow) atau (terutama St. Petersburg). Menggunakan mesin pencari, sangat mungkin untuk menemukan tutor di kota Anda, atau melihat koran iklan lokal. Harga untuk layanan tutor dapat bervariasi dari 400 rubel atau lebih per jam, tergantung pada kualifikasi guru. Perlu dicatat bahwa murah tidak berarti buruk, terutama jika Anda memiliki latar belakang matematika yang baik. Pada saat yang sama, untuk 2-3 ribu rubel Anda akan mendapatkan BANYAK. Sia-sia tidak ada yang mengambil uang seperti itu, dan sia-sia tidak ada yang membayar uang seperti itu ;-). Satu-satunya poin penting - cobalah untuk memilih tutor dengan pendidikan pedagogis khusus. Dan pada kenyataannya, kami tidak pergi ke dokter gigi untuk mendapatkan bantuan hukum.

Baru-baru ini, layanan bimbingan belajar online semakin populer. Sangat nyaman ketika Anda perlu segera menyelesaikan satu atau dua masalah, memahami suatu topik atau mempersiapkan ujian. Keuntungan yang tidak diragukan adalah harga, yang beberapa kali lebih rendah daripada tutor offline + menghemat waktu perjalanan, yang sangat penting bagi penduduk kota besar.

Dalam pelajaran matematika yang lebih tinggi, sangat sulit untuk menguasai beberapa hal tanpa tutor, Anda hanya perlu penjelasan yang “langsung”.

Namun demikian, sangat mungkin untuk memahami banyak jenis masalah sendiri, dan tujuan dari bagian situs ini adalah untuk mengajari Anda cara memecahkan contoh dan masalah umum yang hampir selalu ditemukan dalam ujian. Selain itu, untuk sejumlah tugas ada algoritma "keras", di mana tidak ada jalan keluar dari solusi yang benar. Dan, sejauh pengetahuan saya, saya akan mencoba membantu Anda, terutama karena saya memiliki pendidikan pedagogis dan pengalaman kerja dalam spesialisasi saya.

Mari kita mulai menggali omong kosong matematika. Tidak apa-apa, bahkan jika Anda seorang teko, matematika yang lebih tinggi benar-benar sederhana dan sangat mudah diakses.

Dan Anda harus mulai dengan mengulang pelajaran matematika di sekolah. Pengulangan adalah ibu dari rasa sakit.

Sebelum Anda mulai mempelajari materi metodologi saya, dan secara umum mulai mempelajari materi apa pun dalam matematika tingkat tinggi, SAYA SANGAT MEREKOMENDASIKAN Anda membaca yang berikut ini.

Agar berhasil memecahkan masalah dalam matematika yang lebih tinggi, Anda HARUS:

DAPATKAN MIKROKALKULATOR.

Dari program - Excel (pilihan yang sangat baik!). Saya mengunggah manual untuk "boneka" ke perpustakaan.

Ada? Sudah bagus.

– Dari penataan ulang istilah - jumlahnya tidak berubah: .
Tetapi ini adalah hal yang sama sekali berbeda:

Sangat tidak mungkin untuk mengatur ulang "x" dan "empat". Pada saat yang sama, kita mengingat huruf ikonik "x", yang dalam matematika berarti nilai yang tidak diketahui atau variabel.

– Dengan mengatur ulang faktor - produk tidak berubah: .
Dengan pembagian, trik seperti itu tidak akan berhasil, dan ini adalah dua pecahan yang sama sekali berbeda, dan mengatur ulang pembilang dengan penyebut tidak dilakukan tanpa konsekuensi.
Kami juga ingat bahwa tanda perkalian ("titik") paling sering tidak ditulis :,

– Ingat aturan untuk memperluas tanda kurung:
- di sini tanda-tanda persyaratan tidak berubah
- dan di sini mereka terbalik.
Dan untuk perkalian:

Secara umum, cukup untuk diingat bahwa DUA MINUS MEMBERI PLUS, sebuah MINUS TIGA - BERIKAN MINUS. Dan, cobalah untuk tidak bingung dalam hal ini ketika memecahkan masalah dalam matematika yang lebih tinggi (kesalahan yang sangat sering dan menjengkelkan).

– Ingat pengurangan suku serupa, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang operasi berikut:

– Ingat apa itu gelar:

, , , .

Gelar hanyalah perkalian biasa.

–Ingat bahwa pecahan dapat dikurangi: (dikurangi 2), (dikurangi lima), (dikurangi ).

– Ingat tindakan dengan pecahan:

dan juga, aturan yang sangat penting untuk mengurangi pecahan ke penyebut yang sama:

Jika contoh-contoh ini tidak jelas, lihat buku pelajaran sekolah.
Tanpa ini, itu akan SULIT.

NASIHAT: semua kalkulasi MENENGAH dalam matematika yang lebih tinggi paling baik dilakukan dalam PECAHAN BIASA DAN TIDAK BERATURAN, bahkan jika pecahan menakutkan seperti . Pecahan ini TIDAK HARUS dinyatakan sebagai , dan, apalagi, JANGAN membagi pembilang dengan penyebut pada kalkulator, sehingga diperoleh 4.334552102 ....

PENGECUALIAN untuk aturan adalah jawaban akhir dari tugas, maka lebih baik menulis atau.

– persamaan. Ini memiliki sisi kiri dan sisi kanan. Sebagai contoh:

Anda dapat mentransfer istilah apa pun ke bagian lain dengan mengubah tandanya:
Mari kita pindahkan, misalnya, semua suku ke ruas kiri:

Atau ke kanan:

Batas memberikan semua siswa matematika banyak masalah. Untuk mengatasi limit, terkadang Anda harus menggunakan banyak trik dan memilih dari berbagai solusi tepat yang cocok untuk contoh tertentu.

Dalam artikel ini, kami tidak akan membantu Anda memahami batas kemampuan Anda atau memahami batas kendali, tetapi kami akan mencoba menjawab pertanyaan: bagaimana memahami batas dalam matematika tingkat tinggi? Pemahaman datang dengan pengalaman, jadi pada saat yang sama kami akan memberikan beberapa contoh rinci tentang pemecahan batas dengan penjelasan.

Konsep limit dalam matematika

Pertanyaan pertama adalah: apa batas dan batas apa? Kita dapat berbicara tentang batas-batas barisan numerik dan fungsi. Kami tertarik dengan konsep limit suatu fungsi, karena dengan merekalah yang paling sering ditemui siswa. Tapi pertama-tama, definisi limit yang paling umum:

Katakanlah ada beberapa variabel. Jika nilai ini dalam proses perubahan tanpa batas mendekati angka tertentu sebuah , kemudian sebuah adalah batas dari nilai ini.

Untuk suatu fungsi yang didefinisikan dalam beberapa interval f(x)=y batasnya adalah angka A , dimana fungsi cenderung ketika X cenderung ke titik tertentu sebuah . Dot sebuah termasuk dalam interval di mana fungsi didefinisikan.

Kedengarannya rumit, tetapi ditulis dengan sangat sederhana:

Lim- dari bahasa Inggris membatasi- membatasi.

Ada juga penjelasan geometris untuk definisi limit, tetapi di sini kita tidak akan membahas teori, karena kita lebih tertarik pada sisi praktis daripada sisi teoretis dari masalah ini. Ketika kita mengatakan itu X cenderung ke suatu nilai, ini berarti bahwa variabel tidak mengambil nilai suatu bilangan, tetapi mendekatinya sangat dekat.

Mari kita ambil contoh konkrit. Tantangannya adalah menemukan batasnya.

Untuk menyelesaikan contoh ini, kita substitusikan nilai x=3 menjadi sebuah fungsi. Kita mendapatkan:

Omong-omong, jika Anda tertarik dengan operasi dasar matriks, baca artikel terpisah tentang topik ini.

Dalam contoh X dapat cenderung ke nilai apa pun. Ini bisa berupa angka atau tak terhingga. Berikut adalah contoh ketika X cenderung tak terhingga:

Secara intuitif jelas bahwa semakin besar angka dalam penyebut, semakin kecil nilai yang akan diambil oleh fungsi tersebut. Jadi, dengan pertumbuhan tak terbatas X berarti 1/x akan berkurang dan mendekati nol.

Seperti yang Anda lihat, untuk menyelesaikan limit, Anda hanya perlu mengganti nilai yang akan diperjuangkan ke dalam fungsi X . Namun, ini adalah kasus yang paling sederhana. Seringkali menemukan batasnya tidak begitu jelas. Dalam batas ada ketidakpastian jenis 0/0 atau tak terhingga/tak terhingga . Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Gunakan trik!

Ketidakpastian dalam

Ketidakpastian bentuk infinity/infinity

Biarkan ada batas:

Jika kita mencoba mensubstitusikan infinity ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan infinity baik dalam pembilang maupun penyebutnya. Secara umum, perlu dikatakan bahwa ada elemen seni tertentu dalam menyelesaikan ketidakpastian seperti itu: Anda perlu memperhatikan bagaimana Anda dapat mengubah fungsi sedemikian rupa sehingga ketidakpastiannya hilang. Dalam kasus kami, kami membagi pembilang dan penyebut dengan X di tingkat senior. Apa yang akan terjadi?

Dari contoh yang telah dibahas di atas, kita mengetahui bahwa suku-suku yang memiliki penyebut x akan cenderung nol. Maka solusi limitnya adalah:

Untuk mengungkap ambiguitas tipe tak terhingga/tak terhingga bagilah pembilang dan penyebutnya dengan X ke derajat tertinggi.

Omong-omong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10% untuk pekerjaan apapun

Jenis ketidakpastian lain: 0/0

Seperti biasa, substitusi ke fungsi nilai x=-1 memberi 0 pada pembilang dan penyebutnya. Perhatikan sedikit lebih dekat dan Anda akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat di pembilangnya. Mari kita cari akarnya dan tulis:

Mari kita kurangi dan dapatkan:

Jadi, jika Anda menemukan ambiguitas tipe 0/0 - faktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk memudahkan Anda dalam menyelesaikan contoh, berikut adalah tabel dengan limit dari beberapa fungsi:

Aturan L'Hopital di dalam

Cara ampuh lainnya untuk menghilangkan kedua jenis ketidakpastian. Apa inti dari metode?

Jika terdapat ketidakpastian pada limit, kita ambil turunan dari pembilang dan penyebutnya sampai ketidakpastian tersebut hilang.

Secara visual, aturan L'Hopital terlihat seperti ini:

Poin penting : limit yang harus ada turunan pembilang dan penyebutnya, bukan pembilang dan penyebutnya.

Dan sekarang contoh nyata:

Ada ketidakpastian khas 0/0 . Tentukan turunan pembilang dan penyebutnya:

Voila, ketidakpastian dihilangkan dengan cepat dan elegan.

Kami berharap Anda dapat menerapkan informasi ini dengan baik dalam praktik dan menemukan jawaban atas pertanyaan "bagaimana memecahkan batas dalam matematika yang lebih tinggi". Jika Anda perlu menghitung limit barisan atau limit fungsi pada suatu titik, dan tidak ada waktu untuk pekerjaan ini dari kata "mutlak", hubungi layanan siswa profesional untuk solusi cepat dan terperinci.

Kategori Kalkulus berisi pelajaran video online gratis tentang topik ini. Analisis matematika adalah sekumpulan cabang matematika yang mempelajari fungsi dan generalisasinya dengan menggunakan metode kalkulus diferensial dan integral. Ini termasuk: analisis fungsional, termasuk teori integral Lebesgue, analisis kompleks (TFKP), yang mempelajari fungsi yang didefinisikan pada bidang kompleks, teori integral seri dan multidimensi, analisis non-standar, yang mempelajari bilangan sangat kecil dan besar tak hingga, analisis vektor, dan kalkulus variasi. Mempelajari kalkulus dari pelajaran video akan berguna baik bagi pemula maupun ahli matematika yang lebih berpengalaman. Anda dapat menonton video pelajaran dari bagian Analisis matematika secara gratis kapan saja. Beberapa video pelajaran analisis matematika memiliki materi tambahan yang dapat diunduh. Selamat belajar!

Jumlah bahan: 12
Materi yang Ditampilkan: 1-10

Apa turunan dari suatu fungsi

Apakah Anda ingin tahu apa turunan dari suatu fungsi dalam matematika? Tentu saja, Anda telah mendengar tentang turunan berkali-kali dan bahkan, mungkin, mengambil turunan ini di sekolah, sama sekali tidak memahami arti dari tindakan Anda. Di video kali ini saya tidak akan mengajarkan rumus, tapi saya akan menjelaskan arti dari turunan pada jari tangan agar teko bulat pun bisa mengerti. Tapi pertama-tama, Anda sebaiknya menonton video saya sebelumnya, di mana saya juga berbicara tentang fungsinya dengan cara yang mudah diakses. Dalam video tutorial ini, kami adalah contoh kehidupan yang sederhana, jelas dan ilustratif ...

Pengantar analisis. Kekuatan himpunan

Pelajaran online “Pengantar analisis. Kekuatan himpunan” dikhususkan untuk pertanyaan tentang konsep seperti kekuatan himpunan. Pertanyaan ini menyangkut karakterisasi kuantitatif himpunan. Jika himpunan berhingga, maka kita dapat membicarakan jumlah elemennya. Tapi bagaimana dengan set tak terbatas? Memang dalam hal ini tidak akan ada konsep kurang lebih. Untuk mengatasi masalah ini, konsep seperti kekuasaan diperkenalkan. Daya adalah alat untuk membandingkan himpunan tak terhingga secara kuantitatif. Pelajaran ini memberikan...

Batas fungsi pada suatu titik - definisi, contoh

Pelajaran online ini berbicara tentang konsep seperti batas fungsi pada suatu titik - definisi, contoh. Sebagian besar unsur studi fungsi didasarkan pada konsep dasar limit suatu fungsi. Di sini, limit fungsi pada suatu titik akan dipertimbangkan menggunakan contoh sederhana, setelah itu definisi ketat limit fungsi pada suatu titik akan diberikan dengan ilustrasi mendetail pada grafik untuk asimilasi materi yang lebih baik. Pelajaran ini juga melihat contoh-contoh lain dan memberikan definisi yang ketat dari satu sisi...

Konvergensi deret pangkat - contoh cara menemukan area konvergensi, penelitian

Video tutorial ini membahas tentang konsep seperti kekonvergenan deret pangkat, contoh cara mencari luas daerah konvergensi, penelitian. Deret pangkat adalah kasus khusus dari deret fungsional ketika anggotanya adalah fungsi pangkat dari argumen x. Area konvergensi adalah semua nilai variabel x yang deret numeriknya konvergen. Untuk penelitian, Anda dapat menggunakan uji d'Alembert dan menggunakannya untuk menunjukkan bahwa deret pangkat konvergen atau divergen, dan ketika ...

Apa itu primitif?

Di video kali ini saya akan menceritakan tentang antiturunan yang merupakan kerabat dekat dari turunan. Bahkan, Anda sudah tahu hampir segalanya tentang dia jika Anda menonton video saya sebelumnya, dan kita hanya perlu menandai saya. Antiturunan adalah fungsi "induk" untuk turunan. Menemukan antiturunan berarti menjawab pertanyaan: anak siapa itu? Jika putrinya diketahui, maka kita harus menemukan ibunya. Sebelumnya, sebaliknya, kami mencari anak perempuan untuk ibu yang diberikan. Sekarang kita sedang melakukan transisi dari...

Arti geometris dari turunan

Di video kali ini saya akan membahas tentang arti geometris turunan. Anda akan belajar bahwa arti geometris dari turunan adalah bahwa turunan dan kemiringan garis singgung adalah hal yang hampir sama. Saya katakan "hampir" karena turunannya sama dengan garis singgung dari kemiringan garis singgung. Kita dapat mengasumsikan bahwa turunan dan kemiringan garis singgung berhubungan erat. Jika kemiringannya besar, maka turunannya juga besar, dan fungsi pada titik ini meningkat tajam. Jika sudut kemiringannya kecil, maka turunannya juga kecil...

Apa yang dimaksud dengan fungsi dalam matematika?

Ingin tahu apa itu fungsi dalam matematika? Dalam tutorial video ini, kita akan dengan sederhana dan jelas, dengan menggunakan ilustrasi grafik dan contoh kehidupan ilustratif, memberi tahu Anda apa itu fungsi, apa argumennya, apa fungsinya (naik, turun, campur), bagaimana Anda bisa menyetel fungsi (menggunakan grafik, tabel, rumus). Anda akan melihat bahwa hubungan yang menunjukkan bagaimana satu kuantitas terkait dengan kuantitas lain disebut fungsi. Setiap fungsi adalah hubungan antara besaran...

Batas fungsi di tak terhingga - definisi, contoh

Pelajaran "Batas suatu fungsi di tak hingga - definisi, contoh" dikhususkan untuk pertanyaan tentang apa yang merupakan batas di tak hingga. Sebagian besar fungsi dasar didefinisikan untuk nilai argumen yang besar. Dalam hal ini, penting untuk mengetahui perilaku fungsi di tak hingga. Salah satu elemen dari studi perilaku tersebut adalah menemukan limit fungsi di tak hingga. Meskipun tak terhingga bukanlah suatu bilangan, dan tidak ada titik pada garis bilangan yang sesuai dengannya, definisi limit pada ...