Sifat-sifat fungsi daya bergantung pada apa? Fungsi daya

Dalam pelajaran ini, kita akan melanjutkan studi tentang fungsi daya dengan indikator rasional, pertimbangkan fungsi dengan eksponen rasional negatif.

1. Konsep dan definisi dasar

Ingat properti dan grafik fungsi daya dengan eksponen bilangan bulat negatif.

Untuk n genap, :

Contoh fungsi:

Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;1). Fitur dari fungsi jenis ini adalah paritasnya, grafiknya simetris terhadap sumbu op-y.

Beras. 1. Grafik suatu fungsi

Untuk n ganjil, :

Contoh fungsi:

Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;-1). Fitur dari fungsi jenis ini adalah keanehannya, grafiknya simetris terhadap asalnya.

Beras. 2. Grafik Fungsi

2. Fungsi dengan eksponen rasional negatif, grafik, sifat

Mari kita ingat definisi utama.

Derajat bilangan non-negatif a dengan eksponen positif rasional disebut bilangan.

Derajat bilangan positif a dengan pangkat negatif rasional disebut bilangan.

Untuk persamaan berikut berlaku:

Sebagai contoh: ; - ekspresi tidak ada menurut definisi gelar dengan eksponen rasional negatif; ada, karena eksponen adalah bilangan bulat,

Mari kita beralih ke pertimbangan fungsi kekuasaan dengan eksponen negatif rasional.

Sebagai contoh:

Untuk memplot fungsi ini, Anda dapat membuat tabel. Kami akan melakukan sebaliknya: pertama, kami akan membangun dan mempelajari grafik penyebut - kami mengetahuinya (Gambar 3).

Beras. 3. Grafik suatu fungsi

Grafik fungsi penyebut melewati titik tetap (1;1). Saat membangun grafik fungsi asli, titik ini tetap, ketika akar juga cenderung nol, fungsi cenderung tak terhingga. Dan, sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, fungsi cenderung nol (Gambar 4).

Beras. 4. Grafik Fungsi

Pertimbangkan satu fungsi lagi dari keluarga fungsi yang sedang dipelajari.

Adalah penting bahwa menurut definisi

Perhatikan grafik fungsi penyebut: , kita tahu grafik fungsi ini, itu meningkat dalam domain definisinya dan melewati titik (1; 1) (Gambar 5).

Beras. 5. Grafik Fungsi

Ketika membangun grafik fungsi asli, titik (1; 1) tetap, ketika akar juga cenderung nol, fungsi cenderung tak terhingga. Dan, sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, fungsi cenderung nol (Gambar 6).

Beras. 6. Grafik Fungsi

Contoh-contoh yang dipertimbangkan membantu untuk memahami bagaimana grafik berjalan dan apa sifat-sifat fungsi yang dipelajari - fungsi dengan eksponen rasional negatif.

Grafik fungsi dari keluarga ini melewati titik (1;1), fungsi menurun di seluruh domain definisi.

Lingkup fungsi:

Fungsinya tidak dibatasi dari atas, tetapi dibatasi dari bawah. Fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum maupun nilai terkecil.

Fungsinya kontinu, mengambil semua nilai positif dari nol hingga plus tak terhingga.

Fungsi Cembung Bawah (Gambar 15.7)

Titik A dan B diambil pada kurva, sebuah segmen ditarik melalui mereka, seluruh kurva berada di bawah segmen, kondisi ini dipenuhi untuk dua titik sewenang-wenang pada kurva, oleh karena itu fungsinya cembung ke bawah. Beras. 7.

Beras. 7. Kecembungan suatu fungsi

3. Solusi dari masalah tipikal

Penting untuk dipahami bahwa fungsi dari keluarga ini dibatasi dari bawah oleh nol, tetapi mereka tidak memiliki nilai terkecil.

Contoh 1 - temukan fungsi maksimum dan minimum pada interval \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafik (Gbr. 2).

Gambar 2. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami

Domain definisi adalah semua bilangan real.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ adalah fungsi ganjil.

$f(x)$ kontinu pada seluruh domain definisi.

Rentangnya adalah semua bilangan real.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Fungsi meningkat di seluruh domain definisi.

$f\kiri(x\kanan)0$, untuk $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Fungsinya cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0,+\infty)$.

Grafik (Gbr. 3).

Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fungsi daya dengan eksponen bilangan bulat

Untuk memulainya, kami memperkenalkan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat.

Definisi 3

Derajat bilangan asli$a$ dengan indeks bilangan bulat $n$ ditentukan oleh rumus:

Gambar 4

Pertimbangkan sekarang fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, properti dan grafiknya.

Definisi 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat.

Jika derajat lebih besar dari nol, maka kita sampai pada kasus fungsi pangkat dengan eksponen alami. Kami sudah mempertimbangkannya di atas. Untuk $n=0$ kita mendapatkan fungsi linier $y=1$. Kami menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Tetap mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Cakupannya adalah $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jika pangkatnya genap, maka fungsinya genap; jika eksponennya genap, maka fungsinya ganjil.

$f(x)$ kontinu pada seluruh domain definisi.

Rentang nilai:

Jika pangkatnya genap, maka $(0,+\infty)$, jika ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jika eksponennya ganjil, fungsi berkurang sebagai $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Untuk eksponen genap, fungsi berkurang sebagai $x\in (0,+\infty)$. dan meningkat sebagai $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ di seluruh domain

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi daya. Properti. Grafik"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"

Fungsi daya, domain definisi.

Kawan, dalam pelajaran terakhir kita belajar bagaimana bekerja dengan angka dengan eksponen rasional. Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan fungsi pangkat dan membatasi diri pada kasus ketika eksponennya rasional.
Kami akan mempertimbangkan fungsi dari bentuk: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Mari kita pertimbangkan dulu fungsi yang eksponennya $\frac(m)(n)>1$.
Mari kita diberikan fungsi spesifik $y=x^2*5$.
Menurut definisi yang kita berikan dalam pelajaran terakhir: jika $x≥0$, maka domain dari fungsi kita adalah sinar $(x)$. Mari kita gambarkan grafik fungsi kita secara skematis.

Sifat-sifat fungsi $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Bukan genap maupun ganjil.
3. Meningkat sebesar $$,
b) $(2,10)$,
c) pada sinar $$.
Larutan.
Teman-teman, apakah Anda ingat bagaimana kami menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen di kelas 10?
Itu benar, kami menggunakan turunannya. Mari selesaikan contoh kita dan ulangi algoritme untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar.
1. Temukan turunan dari fungsi yang diberikan:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Derivatif ada pada seluruh domain fungsi asal, maka tidak ada titik kritis. Mari kita cari titik stasioner:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ dan $x_2=\sqrt(64)=4$.
Hanya satu solusi $x_2=4$ yang termasuk dalam segmen yang diberikan.
Mari kita buat tabel nilai fungsi kita di ujung segmen dan di titik ekstrem:
Jawaban: $y_(name)=-862.65$ dengan $x=9$; $y_(maks)=38,4$ untuk $x=4$.

Contoh. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Larutan. Grafik fungsi $y=x^(\frac(4)(3))$ naik, sedangkan grafik fungsi $y=24-x$ menurun. Kawan, Anda dan saya tahu: jika satu fungsi meningkat dan yang lainnya berkurang, maka mereka berpotongan hanya pada satu titik, yaitu, kita hanya memiliki satu solusi.
Catatan:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Artinya, untuk $х=8$ kita mendapatkan persamaan yang benar $16=16$, ini adalah solusi dari persamaan kita.
Jawaban: $x=8$.

Contoh.
Plot fungsinya: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Larutan.
Grafik fungsi kita diperoleh dari grafik fungsi $y=x^(\frac(3)(4))$, menggesernya 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas.

Contoh. Tulis persamaan garis singgung garis $y=x^(-\frac(4)(5))$ di titik $x=1$.
Larutan. Persamaan tangen ditentukan oleh rumus yang kita ketahui:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Dalam kasus kami $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Mari kita cari turunannya:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Mari kita hitung:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Tentukan persamaan tangen:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Jawaban: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Tugas untuk solusi independen

1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: $y=x^\frac(4)(3)$ pada segmen:
a) $$.
b) $(4.50)$.
c) pada sinar $$.
3. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Buat grafik fungsi: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Tulis persamaan garis singgung garis $y=x^(-\frac(3)(7))$ di titik $x=1$.

Ingat properti dan grafik fungsi daya dengan eksponen bilangan bulat negatif.

Untuk n genap, :

Contoh fungsi:

Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;1). Fitur dari fungsi jenis ini adalah paritasnya, grafiknya simetris terhadap sumbu op-y.

Beras. 1. Grafik suatu fungsi

Untuk n ganjil, :

Contoh fungsi:

Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;-1). Fitur dari fungsi jenis ini adalah keanehannya, grafiknya simetris terhadap asalnya.

Beras. 2. Grafik Fungsi

Mari kita ingat definisi utama.

Derajat bilangan non-negatif a dengan eksponen positif rasional disebut bilangan.

Derajat bilangan positif a dengan pangkat negatif rasional disebut bilangan.

Untuk persamaan berikut berlaku:

Sebagai contoh: ; - ekspresi tidak ada menurut definisi gelar dengan eksponen rasional negatif; ada, karena eksponen adalah bilangan bulat,

Mari kita beralih ke pertimbangan fungsi kekuasaan dengan eksponen negatif rasional.

Sebagai contoh:

Untuk memplot fungsi ini, Anda dapat membuat tabel. Kami akan melakukan sebaliknya: pertama, kami akan membangun dan mempelajari grafik penyebut - kami mengetahuinya (Gambar 3).

Beras. 3. Grafik suatu fungsi

Grafik fungsi penyebut melewati titik tetap (1;1). Saat membangun grafik fungsi asli, titik ini tetap, ketika akar juga cenderung nol, fungsi cenderung tak terhingga. Dan, sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, fungsi cenderung nol (Gambar 4).

Beras. 4. Grafik Fungsi

Pertimbangkan satu fungsi lagi dari keluarga fungsi yang sedang dipelajari.

Adalah penting bahwa menurut definisi

Perhatikan grafik fungsi penyebut: , kita tahu grafik fungsi ini, itu meningkat dalam domain definisinya dan melewati titik (1; 1) (Gambar 5).

Beras. 5. Grafik Fungsi

Ketika membangun grafik fungsi asli, titik (1; 1) tetap, ketika akar juga cenderung nol, fungsi cenderung tak terhingga. Dan, sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, fungsi cenderung nol (Gambar 6).

Beras. 6. Grafik Fungsi

Contoh-contoh yang dipertimbangkan membantu untuk memahami bagaimana grafik berjalan dan apa sifat-sifat fungsi yang dipelajari - fungsi dengan eksponen rasional negatif.

Grafik fungsi dari keluarga ini melewati titik (1;1), fungsi menurun di seluruh domain definisi.

Lingkup fungsi:

Fungsinya tidak dibatasi dari atas, tetapi dibatasi dari bawah. Fungsi tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.

Fungsinya kontinu, mengambil semua nilai positif dari nol hingga plus tak terhingga.

Fungsi Cembung Bawah (Gambar 15.7)

Titik A dan B diambil pada kurva, sebuah segmen ditarik melalui mereka, seluruh kurva berada di bawah segmen, kondisi ini dipenuhi untuk dua titik sewenang-wenang pada kurva, oleh karena itu fungsinya cembung ke bawah. Beras. 7.

Beras. 7. Kecembungan suatu fungsi

Penting untuk dipahami bahwa fungsi dari keluarga ini dibatasi dari bawah oleh nol, tetapi mereka tidak memiliki nilai terkecil.

Contoh 1 - temukan fungsi maksimum dan minimum pada interval )