Solusi grafik persegi. Cara Menghitung Minimum atau Maksimum Menggunakan Operasi Matematika

Semua orang tahu apa itu parabola. Tetapi bagaimana menggunakannya dengan benar, kompeten dalam memecahkan berbagai masalah praktis, kita akan mengerti di bawah ini.

Pertama, mari kita tunjukkan konsep dasar yang diberikan aljabar dan geometri pada istilah ini. Pertimbangkan semuanya kemungkinan jenis grafik ini.

Kami mempelajari semua karakteristik utama dari fungsi ini. Mari kita memahami dasar-dasar membangun kurva (geometri). Mari kita pelajari cara menemukan puncak, nilai dasar lain dari grafik jenis ini.

Kami akan mencari tahu: bagaimana kurva yang diperlukan dibangun dengan benar sesuai dengan persamaan, apa yang perlu Anda perhatikan. Mari kita lihat yang utama penggunaan praktis nilai unik ini dalam kehidupan manusia.

Apa itu parabola dan seperti apa bentuknya

Aljabar: istilah ini mengacu pada grafik fungsi kuadrat.

Geometri: Ini adalah kurva orde kedua yang memiliki sejumlah fitur khusus:

Persamaan parabola kanonik

Gambar tersebut menunjukkan sistem koordinat persegi panjang (XOY), sebuah ekstrem, arah cabang menggambar fungsi sepanjang sumbu absis.

Persamaan kanoniknya adalah:

y 2 \u003d 2 * p * x,

di mana koefisien p adalah parameter fokus parabola (AF).

Dalam aljabar, ditulis berbeda:

y = a x 2 + b x + c (pola yang dapat dikenali: y = x 2).

Sifat dan Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi memiliki sumbu simetri dan pusat (ekstrim). Domain definisi adalah semua nilai sumbu x.

Rentang nilai fungsi - (-∞, M) atau (M, +∞) tergantung pada arah cabang kurva. Parameter M di sini berarti nilai fungsi di bagian atas baris.

Cara menentukan arah cabang parabola

Untuk menemukan arah jenis kurva ini dari ekspresi, Anda perlu menentukan tanda di depan parameter pertama ekspresi aljabar. Jika a 0, maka arahnya ke atas. Jika tidak, turun.

Cara mencari titik sudut parabola menggunakan rumus

Menemukan ekstrem adalah langkah utama dalam memecahkan banyak masalah praktis. Tentu saja, Anda dapat membuka spesial kalkulator online tapi lebih baik untuk bisa melakukannya sendiri.

Bagaimana mendefinisikannya? Ada rumus khusus. Ketika b tidak sama dengan 0, kita harus mencari koordinat titik ini.

Rumus untuk menemukan puncak:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Contoh.

Ada fungsi y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Mari kita cari simpul dari fungsi ini.

Untuk baris seperti itu:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Kami mendapatkan koordinat titik (-2, -41).

Offset parabola

Kasus klasik adalah ketika dalam fungsi kuadrat y = a x 2 + b x + c, parameter kedua dan ketiga adalah 0, dan = 1 - titik berada di titik (0; 0).

Gerakan sepanjang sumbu absis atau ordinat disebabkan oleh perubahan parameter b dan c, masing-masing. Pergeseran garis pada bidang akan dilakukan persis dengan jumlah unit, yang sama dengan nilai parameter.

Contoh.

Kami memiliki: b = 2, c = 3.

Ini berarti bahwa pandangan klasik kurva akan bergeser sebanyak 2 unit segmen sepanjang sumbu absis dan 3 unit sepanjang sumbu ordinat.

Cara membuat parabola menggunakan persamaan kuadrat

Penting bagi anak sekolah untuk belajar cara menggambar parabola dengan benar sesuai dengan parameter yang diberikan.

Dengan menganalisis ekspresi dan persamaan, Anda dapat melihat hal berikut:

Titik perpotongan garis yang diinginkan dengan vektor ordinat akan memiliki nilai sama dengan c.
Semua titik grafik (sepanjang sumbu x) akan simetris terhadap ekstrem utama fungsi.

Selain itu, perpotongan dengan OX dapat ditemukan dengan mengetahui diskriminan (D) dari fungsi tersebut:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Untuk melakukan ini, Anda perlu menyamakan ekspresi menjadi nol.

Kehadiran akar parabola tergantung pada hasil:

D 0, maka x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, lalu x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D 0, maka tidak ada titik potong dengan vektor OX.

Kami mendapatkan algoritma untuk membangun parabola:

menentukan arah cabang;
temukan koordinat titiknya;
temukan perpotongan dengan sumbu y;
tentukan perpotongan dengan sumbu x.

Contoh 1

Diberikan fungsi y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Hal ini diperlukan untuk membangun parabola. Kami bertindak sesuai dengan algoritma:

a \u003d 1, oleh karena itu, cabang-cabang diarahkan ke atas;
koordinat ekstrem: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
berpotongan dengan sumbu y pada nilai y = 4;
cari diskriminannya: D = 25 - 16 = 9;
mencari akar

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (sepuluh).

Contoh 2

Untuk fungsi y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, Anda perlu membuat parabola. Kami bertindak sesuai dengan algoritma di atas:

a \u003d 3, oleh karena itu, cabang-cabang diarahkan ke atas;
koordinat ekstrem: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
dengan sumbu y akan berpotongan pada nilai y \u003d -1;
cari diskriminannya: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Jadi akarnya:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Dari poin yang diperoleh, Anda dapat membangun parabola.

Direktriks, eksentrisitas, fokus parabola

Berdasarkan persamaan kanonik, fokus F memiliki koordinat (p/2, 0).

Garis lurus AB adalah direktriks (semacam tali parabola dengan panjang tertentu). Persamaannya adalah x = -p/2.

Eksentrisitas (konstanta) = 1.

Kesimpulan

Kami mempertimbangkan topik yang dipelajari siswa SMA. Sekarang Anda tahu, melihat fungsi kuadrat dari parabola, cara menemukan titik puncaknya, ke arah mana cabang akan diarahkan, apakah ada offset di sepanjang sumbu, dan, dengan algoritme konstruksi, Anda dapat menggambar grafiknya.