Vektor arah garis lurus l semua orang dipanggil vektor bukan nol (M, n) sejajar dengan garis ini.

Biar intinya M 1 (x 1 , kamu 1) dan vektor arah ( M, n), maka persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dalam arah vektor memiliki bentuk: . Persamaan ini disebut persamaan kanonik garis.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Kapak+Oleh+C= 0. Mari kita tulis persamaan kanonik garis , ubahlah. Mendapatkan x + y - 3 = 0

Persamaan garis yang melalui dua titik

Biarkan dua poin diberikan di pesawat M 1 (x 1 , kamu 1) dan M 2 (x 2, kamu 2), maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik tersebut berbentuk: . Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilangnya harus sama dengan nol.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan lereng

Jika persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C= 0 bawa ke bentuk: dan dinotasikan , maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus dalam segmen

Jika dalam persamaan umum garis Ah + Wu + C= 0 koefisien DARI 0, maka, bagi dengan C, kita mendapatkan: atau dimana

pengertian geometris koefisien di mana koefisien tetapi adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu Oh, tetapi B- koordinat titik potong garis dengan sumbu OU.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x – pada+ 1 = 0. Temukan persamaan garis lurus ini dalam segmen. A = -1, B = 1, C = 1, maka tetapi = -1, B= 1. Persamaan garis lurus dalam segmen akan berbentuk .

Contoh. Titik sudut dari segitiga A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) diberikan. Tentukan persamaan ketinggian yang ditarik dari titik C.

Kami menemukan persamaan sisi AB: ;

4x = 6kamu– 6; 2x – 3kamu + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diinginkan memiliki bentuk: Kapak+Oleh+C= 0 atau y = kx + b.

k= . Kemudian kamu= . Karena ketinggian melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: di mana B= 17. Jumlah: .

Jawaban: 3 x + 2kamu – 34 = 0.

Latihan #7

Nama kelas: Kurva orde kedua.

Tujuan pelajaran: Pelajari cara membuat kurva orde ke-2, buatlah.

Persiapan untuk pelajaran: Mengulang bahan teoretis pada topik "Kurva orde ke-2"

Literatur:

1. Dadayan A.A. "Matematika", 2004

Tugas untuk pelajaran:

Urutan pelajarannya:

1. Dapatkan izin untuk bekerja
2. Selesaikan tugas
3. Jawab pertanyaan keamanan.

1. Nama, tujuan pelajaran, tugas;
2. Tugas selesai;
3. Jawaban untuk mengontrol pertanyaan.

pertanyaan tes untuk offset:

1. Tentukan kurva orde kedua (lingkaran, elips, hiperbola, parabola), tuliskan persamaan kanoniknya.
2. Disebut apakah eksentrisitas elips atau hiperbola? Bagaimana menemukannya?
3. Tuliskan persamaan hiperbola sama sisi

LAMPIRAN

lingkar adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari satu titik, yang disebut pusat.

Biarkan pusat lingkaran menjadi titik TENTANG(Sebuah; B), dan jarak ke sembarang titik M(x;y) lingkaran sama dengan R. Kemudian ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – persamaan kanonik lingkaran dengan pusat TENTANG(Sebuah; B) dan radius R.

Contoh. Tentukan koordinat pusat dan jari-jari lingkaran jika persamaannya diberikan sebagai: 2 x 2 + 2kamu 2 - 8x + 5 kamu – 4 = 0.

Untuk menemukan koordinat pusat dan jari-jari lingkaran persamaan yang diberikan harus direduksi menjadi bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, pilih kotak penuh:

x 2 + kamu 2 – 4x + 2,5kamu – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + kamu 2 + 2,5kamu + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (kamu + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (kamu + 5/4) 2 = 121/16

Dari sini kita menemukan koordinat pusat TENTANG(2; -5/4); radius R = 11/4.

Elips himpunan titik pada bidang disebut, jumlah jarak dari masing-masing ke dua titik tertentu (disebut fokus) adalah nilai konstan yang lebih besar dari jarak antara fokus.

Fokus ditunjukkan dengan huruf F 1 , F dari, jumlah jarak dari setiap titik elips ke fokus adalah 2 tetapi (2tetapi > 2C), Sebuah- semi-sumbu besar; B- semi-sumbu kecil.

Persamaan kanonik elips adalah: , di mana Sebuah, B Dan C terkait satu sama lain dengan persamaan: a 2 - b 2 \u003d c 2 (atau b 2 - a 2 \u003d c 2).

Bentuk elips ditentukan oleh suatu sifat yaitu perbandingan antara panjang fokus dengan panjang sumbu utama dan disebut eksentrisitas. atau .

Karena menurut definisi 2 tetapi> 2C, maka eksentrisitas selalu dinyatakan sebagai pecahan biasa, yaitu .

Contoh. Tulis persamaan untuk elips jika fokusnya adalah F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), sumbu utama adalah 2.

Persamaan elips memiliki bentuk: .

Jarak antara fokus: 2 C= , dengan demikian, Sebuah 2 – B 2 = C 2 = . Dengan kondisi 2 tetapi= 2, jadi tetapi = 1, B= Persamaan elips yang diinginkan akan berbentuk: .

hiperbola disebut himpunan titik-titik pada bidang, perbedaan jarak dari masing-masing ke dua titik tertentu, yang disebut fokus, adalah nilai konstan, kurang dari jarak antara fokus.

Persamaan kanonik hiperbola memiliki bentuk: atau , di mana Sebuah, B Dan C dihubungkan oleh kesetaraan a2 + b2 = c2 . Hiperbola adalah simetris terhadap bagian tengah segmen yang menghubungkan fokus dan terhadap sumbu koordinat. Fokus ditunjukkan dengan huruf F 1 , F 2 , jarak antara fokus - 2 dari, perbedaan jarak dari sembarang titik hiperbola ke fokus adalah 2 tetapi (2tetapi < 2C). sumbu 2 tetapi disebut sumbu nyata hiperbola, sumbu 2 B adalah sumbu imajiner hiperbola. Hiperbola memiliki dua asimtot yang persamaannya adalah

Eksentrisitas hiperbola adalah rasio jarak antara fokus dengan panjang sumbu nyata: atau. Karena menurut definisi 2 tetapi < 2C, maka eksentrisitas hiperbola selalu dinyatakan sebagai pecahan biasa, yaitu .

Jika panjang sumbu nyata sama dengan panjang sumbu imajiner, mis. a = b, ε = , maka hiperbola disebut sama sisi.

Contoh. Tulis persamaan kanonik hiperbola jika eksentrisitasnya adalah 2 dan fokusnya bertepatan dengan fokus elips dengan persamaan

Kami menemukan Focal length C 2 = 25 – 9 = 16.

Untuk hiperbola: C 2 = Sebuah 2 + B 2 = 16, = c/a = 2; C = 2Sebuah; C 2 = 4Sebuah 2 ; Sebuah 2 = 4; B 2 = 16 – 4 = 12.

Kemudian - persamaan hiperbola yang diinginkan.

parabola adalah himpunan titik-titik pada bidang yang berjarak sama dari poin yang diberikan, yang disebut fokus, dan garis lurus tertentu, yang disebut direktriks.

Titik fokus parabola dilambangkan dengan huruf F, Direktur - D, jarak fokus ke direktriks adalah R.

Persamaan kanonik parabola, yang fokusnya terletak pada sumbu x, adalah:

kamu 2 = 2px atau kamu 2 = -2px

x = -P/2, x = P/2

Persamaan kanonik parabola yang fokusnya pada sumbu y adalah:

x 2 = 2py atau x 2 = -2py

persamaan directrix, masing-masing pada = -P/2, pada = P/2

Contoh. Pada sebuah parabola pada 2 = 8x cari titik yang jaraknya dari direktriks adalah 4.

Dari persamaan parabola diperoleh R = 4. r=x + P/2 = 4; Akibatnya:

x = 2; kamu 2 = 16; kamu= ±4. Cari poin: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Latihan #8

Nama kelas: Tindakan pada bilangan kompleks dalam bentuk aljabar. Interpretasi geometris bilangan kompleks.

Tujuan pelajaran: Pelajari cara mengoperasikan bilangan kompleks.

Persiapan untuk pelajaran: Ulangi materi teori pada topik "Bilangan kompleks".

Literatur:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "Elemen matematika yang lebih tinggi", 2008

Tugas untuk pelajaran:

1. Menghitung:

1) saya 145 + saya 147 + saya 264 + saya 345 + saya 117 ;

2) (saya 64 + saya 17 + saya 13 + saya 82)( saya 72 – saya 34);

Biarkan garis lurus melalui titik M 1 (x 1; y 1) dan M 2 (x 2; y 2). Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berbentuk y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

di mana k - koefisien masih belum diketahui.

Karena garis lurus melewati titik M 2 (x 2 y 2), maka koordinat titik ini harus memenuhi persamaan (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Dari sini kami menemukan Mengganti nilai yang ditemukan k ke dalam persamaan (10.6), kita memperoleh persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dan M 2:

Diasumsikan bahwa dalam persamaan ini x 1 x 2, y 1 y 2

Jika x 1 \u003d x 2, maka garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y I) dan M 2 (x 2, y 2) sejajar dengan sumbu y. persamaannya adalah x = x 1 .

Jika y 2 \u003d y I, maka persamaan garis lurus dapat ditulis sebagai y \u003d y 1, garis lurus M 1 M 2 sejajar dengan sumbu x.

Persamaan garis lurus dalam segmen

Biarkan garis lurus memotong sumbu Ox di titik M 1 (a; 0), dan sumbu Oy - di titik M 2 (0; b). Persamaan tersebut akan berbentuk:
itu.
. Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dalam segmen, karena angka a dan b menunjukkan segmen mana yang dipotong garis lurus pada sumbu koordinat.

Persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor tertentu

Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu Mo (x O; y o) tegak lurus terhadap vektor bukan-nol yang diberikan n = (A; B).

Ambil titik sembarang M(x; y) pada garis lurus dan perhatikan vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (lihat Gambar 1). Karena vektor n dan M o M tegak lurus, produk skalarnya sama dengan nol: yaitu,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Persamaan (10.8) disebut persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu .

Vektor n = (A; B) yang tegak lurus garis disebut normal vektor normal dari garis ini .

Persamaan (10.8) dapat ditulis ulang sebagai Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

di mana A dan B adalah koordinat vektor normal, C \u003d -Ax o - Vu o - anggota bebas. Persamaan (10.9) adalah persamaan umum garis lurus(lihat Gbr.2).

Gbr.1 Gbr.2

Persamaan kanonik garis lurus

,

Di mana
adalah koordinat titik yang dilalui garis, dan
- vektor arah.

Kurva lingkaran orde kedua

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Persamaan kanonik lingkaran dengan jari-jari R berpusat pada satu titik
:

Secara khusus, jika pusat pasak bertepatan dengan titik asal, maka persamaannya akan terlihat seperti:

Elips

Elips adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang, jumlah jarak masing-masing titik tersebut ke dua titik tertentu Dan , yang disebut fokus, adalah nilai konstan
, lebih besar dari jarak antara fokus
.

Persamaan kanonik elips yang fokusnya terletak pada sumbu Ox dan asalnya di tengah antara fokus memiliki bentuk
G de Sebuah panjang semiaxis utama; B adalah panjang semiaxis minor (Gbr. 2).

Persamaan garis lurus yang melalui t.u A (ha; wah) dan memiliki kemiringan k, ditulis dalam bentuk

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Persamaan garis yang melalui dua titik T. A (x 1; y 1) dll. B (x 2; y 2), memiliki bentuk

Jika poin TETAPI Dan DI DALAM tentukan garis lurus sejajar dengan sumbu Ox (y 1 \u003d y 2) atau sumbu y (x 1 = x 2), maka persamaan garis lurus tersebut masing-masing ditulis dalam bentuk:

y = y 1 atau x = x 1(7)

Persamaan normal garis lurus

Misalkan sebuah garis lurus C diberikan melalui suatu titik tertentu Mo(Xo; V0) dan tegak lurus terhadap vektor (A; B). Setiap vektor yang tegak lurus terhadap suatu garis disebut dengan vektor biasa. Mari kita pilih titik M sewenang-wenang pada garis (x; y). Lalu , yang berarti mereka produk skalar. Persamaan ini dapat ditulis dalam koordinat

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Persamaan (8) disebut persamaan normal garis lurus .

Persamaan parametrik dan kanonik dari garis lurus

Biarkan garis aku diberikan oleh titik awal M 0 (x 0; y 0) dan vektor arah ( sebuah 1; sebuah 2),. Biarkan t. M(x; y)- titik mana pun pada garis aku Maka vektor tersebut kolinear terhadap vektor . Oleh karena itu, = . Menulis persamaan ini dalam koordinat, kita memperoleh persamaan parametrik dari garis lurus

Mari kita mengecualikan parameter t dari Persamaan (9). Hal ini dimungkinkan karena vektor , dan oleh karena itu setidaknya salah satu koordinatnya berbeda dari nol.

Membiarkan dan , maka , dan, oleh karena itu,

Persamaan (10) disebut persamaan kanonik garis dengan vektor panduan

\u003d (a 1; a 2). Jika a 1 = 0 dan , maka persamaan (9) berbentuk

Persamaan ini mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, OU dan melewati titik

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Jika , , maka persamaan (9) berbentuk

Persamaan ini mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu O x dan melewati titik

M 0 (x 0; y 0). Persamaan kanonik dari garis lurus tersebut memiliki bentuk

y=y 0(12)

Sudut antar garis. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua

langsung

Biarkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan umum diberikan:

Dan

Maka sudut φ antara mereka ditentukan oleh rumus:

(13)

Kondisi paralel 2 garis lurus: (14)

Kondisi tegak lurus 2 garis lurus: (15)

Kondisi paralel dalam hal ini berbentuk: (17)

Kondisi tegak lurus lurus: (18)

Jika dua garis diberikan oleh persamaan kanonik:

Dan

maka sudut antara garis-garis ini ditentukan oleh rumus:

(19)

Kondisi paralel lurus: (20)

Kondisi tegak lurus langsung: (21)

Jarak dari titik ke garis

Jarak D dari titik M (x 1; y 1) lurus Kapak+Oleh+C=0 dihitung dengan rumus

(22)

Contoh implementasi kerja praktek

Contoh 1 Buat garis 3 X- 2pada+6=0.

Solusi: Untuk membuat garis, cukup mengetahui dua titik saja, misalnya titik perpotongannya dengan sumbu koordinat. Titik A dari perpotongan garis dengan sumbu Ox dapat diperoleh jika kita mengambil y \u003d 0 dalam persamaan garis Maka kita memiliki 3 x+6=0, mis. x=-2. Lewat sini, TETAPI(–2;0).

Kemudian DI DALAM perpotongan garis dengan sumbu OU memiliki absis x=0; maka ordinat titiknya DI DALAM ditemukan dari persamaan -2 y+ 6=0, yaitu y=3. Lewat sini, DI DALAM(0;3).

Contoh 2 Tulis persamaan garis lurus yang memotong setengah bidang negatif! OU segmen sama dengan 2 unit, dan membentuk dengan sumbu Oh sudut = 30˚.

Solusi: Garis memotong sumbu OU pada intinya DI DALAM(0;–2) dan memiliki kemiringan k=tg = = . Asumsikan pada persamaan (2) k= dan B= -2, kita mendapatkan persamaan yang diinginkan

Atau .

Contoh 3 TETAPI(-1; 2) dan

DI DALAM(0;–3). (pada kesaksian: kemiringan garis lurus ditemukan dengan rumus (3))

Larutan: .Dari sini kita punya . Substitusikan koordinat ke persamaan ini televisi, kita mendapatkan: , yaitu ordinat awal B= -3 . Kemudian kita dapatkan persamaannya.

Contoh 4 Persamaan umum garis lurus 2 x – 3pada– 6 = 0 mengarah ke persamaan dalam segmen.

Solusi: kami menulis persamaan ini dalam bentuk 2 x– 3pada=6 dan bagi kedua bagiannya dengan suku bebas: . Ini adalah persamaan garis lurus ini dalam segmen.

Contoh 5 Melalui titik TETAPI(1;2) gambar garis lurus yang memotong segmen yang sama pada semi-sumbu positif koordinat.

Solusi: Biarkan persamaan garis lurus yang diinginkan memiliki bentuk Dengan kondisi tetapi=B. Oleh karena itu, persamaannya menjadi x+ pada= tetapi. Karena titik A (1; 2) termasuk ke dalam garis ini, maka koordinatnya memenuhi persamaan x + pada= tetapi; itu. 1 + 2 = tetapi, di mana tetapi= 3. Jadi, persamaan yang diinginkan ditulis sebagai berikut: x + y = 3, atau x + y - 3 = 0.

Contoh 6 Untuk lurus tuliskan persamaannya menjadi segmen-segmen. Hitung luas segitiga yang dibentuk oleh garis ini dan sumbu koordinat.

Solusi: Mari kita ubah persamaan ini sebagai berikut: , atau .

Akibatnya, kita memperoleh persamaan , yang merupakan persamaan garis lurus yang diberikan dalam segmen. Segitiga yang dibentuk oleh garis yang diberikan dan sumbu koordinat adalah segitiga siku-siku dengan kaki sama dengan 4 dan 3, jadi luasnya sama dengan S= (satuan persegi)

Contoh 7 Tulis persamaan garis lurus yang melalui titik (–2; 5) dan generatriks dengan sumbu Oh sudut 45º.

Solusi: Kemiringan garis lurus yang diinginkan k= tg 45º = 1. Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan (5), diperoleh y - 5 = x- (-2), atau x - y + 7 = 0.

Contoh 8 Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik TETAPI(–3; 5) dan DI DALAM( 7; –2).

Solusi: Mari kita gunakan persamaan (6):

, atau , dari mana 7 x + 10pada – 29 = 0.

Contoh 9 Periksa apakah poin berbohong TETAPI(5; 2), DI DALAM(3; 1) dan DARI(-1; –1) pada satu garis lurus.

Solusi: Buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik-titik TETAPI Dan DARI:

, atau

Substitusi ke persamaan ini koordinat titik DI DALAM (xB= 3 dan y B = 1), kita mendapatkan (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), mis. kita mendapatkan persamaan yang benar. Jadi, koordinat titik DI DALAM memenuhi persamaan garis lurus ( AC), yaitu .

Contoh 10: Tulis persamaan garis lurus yang melalui t.A (2; -3).

tegak lurus =(-1;5)

Solusi: Menggunakan rumus (8), kami menemukan persamaan garis ini -1(x-2)+5(y+3)=0,

atau akhirnya, x - 5 y - 17 \u003d 0.

Contoh 11: Poin yang diberikan M 1(2;-1) dan M 2(4; 5). Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 1 tegak lurus terhadap vektor Solusi: Vektor normal dari garis yang diinginkan memiliki koordinat (2; 6), oleh karena itu, sesuai dengan rumus (8), kami memperoleh persamaan 2(x-2)+6(y+1)=0 atau x+3y +1=0.

Contoh 12: Dan .

Solusi: ; .

Contoh 13:

Solusi: a) ;

Contoh 14: Hitung sudut antar garis

Larutan:

Contoh 15: Untuk mengetahui pengaturan bersama langsung:

Larutan:

Contoh 16: tentukan sudut antara garis dan .

Solusi: .

Contoh 17: cari tahu posisi relatif garis:

Solusi: a ) - garis sejajar;

b) berarti garis-garisnya tegak lurus.

Contoh 18: Hitung jarak dari titik M(6; 8) ke garis lurus

Solusi: menurut rumus (22) kita mendapatkan: .

Tugas untuk sesi praktik:

Pilihan 1

1. Bawa persamaan umum garis lurus 2x+3y-6=0 ke persamaan dalam segmen dan hitung luas segitiga yang dipotong oleh garis lurus ini dari sudut koordinat yang sesuai;

2. Pada ABC, titik-titik tersebut memiliki koordinat titik A (-3;4), titik B (-4;-3), titik C (8;1). Buatlah persamaan sisi (AB), tinggi (VC) dan median (CM);

3. Hitung kemiringan garis lurus yang melalui titik M 0 (-2; 4) dan sejajar dengan vektor (6; -1);

4. Hitung sudut antar garis

4. Hitung sudut antara garis:

a) 2x - 3y + 7 = 0 dan 3x - y + 5 = 0; b) dan y = 2x – 4;

5. Tentukan posisi relatif dari 2 garis lurus dan;

, jika koordinat ujung segmen t.A (18; 8) dan t.B (-2; -6) diketahui.

Opsi 3

1. Bawa persamaan umum garis lurus 4x-5y+20=0 ke persamaan dalam segmen dan hitung luas segitiga yang dipotong oleh garis lurus ini dari sudut koordinat yang sesuai;

2. Pada ABC, titik-titik tersebut memiliki koordinat titik A (3;-2), titik B (7;3), titik

C(0;8). Buatlah persamaan sisi (AB), tinggi (VC) dan median (CM);

3. Hitung kemiringan garis lurus yang melalui titik M 0 (-1;-2) dan

sejajar dengan vektor (3;-5);

4. Hitung sudut antar garis

a) 3x + y - 7 = 0 dan x - y + 4 = 0; pita;

5. Tentukan posisi relatif dari 2 garis dan y = 5x + 3;

6. Hitung jarak dari tengah ruas AB ke garis lurus , jika koordinat ujung segmen t.A (4; -3) dan t.B (-6; 5) diketahui.

Opsi 4

1. Bawa persamaan umum garis lurus 12x-5y+60=0 ke persamaan dalam segmen dan hitung panjang segmen yang dipotong dari garis lurus ini oleh sudut koordinat yang sesuai;

2. Pada ABC, titik-titik tersebut memiliki koordinat titik A (0;-2), titik B (3;6), titik C (1;-4). Buatlah persamaan sisi (AB), tinggi (VC) dan median (CM);

3. Hitung kemiringan garis lurus yang melalui titik M 0 (4;4) dan sejajar dengan vektor (-2;7);

4. Hitung sudut antar garis

a) x +4 y + 8 = 0 dan 7x - 3y + 5 = 0; pita;

5. Tentukan posisi relatif dari 2 garis lurus dan;

6. Hitung jarak dari tengah ruas AB ke garis lurus , jika koordinat ujung segmen t.A (-4; 8) dan t.B (0; 4) diketahui.

pertanyaan tes

1. Sebutkan persamaan garis lurus pada bidang jika titik yang dilaluinya dan vektor pengarahnya diketahui;

2. Apa persamaan umum normal dari garis lurus pada bidang;

3. Sebutkan persamaan garis lurus yang melalui dua titik, persamaan garis lurus berpotongan, persamaan garis lurus dengan kemiringan;

4. Sebutkan rumus untuk menghitung sudut antar garis, persamaan yang diberikan dengan faktor sudut. Rumuskan syarat paralelisme dan tegak lurus dua garis.

5. Bagaimana cara mencari jarak dari titik ke garis?

Biarkan dua poin diberikan M(x 1 ,Pada 1) dan n(x 2,kamu 2). Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini.

Karena garis ini melewati titik M, maka menurut rumus (1.13) persamaannya berbentuk

Pada – kamu 1 = K(X-x 1),

Di mana K adalah kemiringan yang tidak diketahui.

Nilai koefisien ini ditentukan dari kondisi garis lurus yang diinginkan melewati titik n, yang berarti koordinatnya memenuhi persamaan (1.13)

kamu 2 – kamu 1 = K(x 2 – x 1),

Dari sini Anda dapat menemukan kemiringan garis ini:

,

Atau setelah konversi

(1.14)

Rumus (1.14) mendefinisikan Persamaan garis yang melalui dua titik M(x 1, kamu 1) dan n(x 2, kamu 2).

Dalam kasus tertentu ketika poin M(SEBUAH, 0), n(0, B), TETAPI ¹ 0, B 0, terletak pada sumbu koordinat, persamaan (1.14) mengambil bentuk yang lebih sederhana

Persamaan (1.15) ditelepon Persamaan garis lurus dalam segmen, di sini TETAPI Dan B menunjukkan segmen dipotong oleh garis lurus pada sumbu (Gambar 1.6).

Gambar 1.6

Contoh 1.10. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik M(1, 2) dan B(3, –1).

. Menurut (1.14), persamaan garis lurus yang diinginkan memiliki bentuk

2(kamu – 2) = -3(x – 1).

Mentransfer semua istilah ke sisi kiri, kami akhirnya mendapatkan persamaan yang diinginkan

3x + 2kamu – 7 = 0.

Contoh 1.11. Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik M(2, 1) dan titik potong garis x+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Kami menemukan koordinat titik perpotongan garis dengan menyelesaikan persamaan ini bersama-sama

Jika kita menambahkan persamaan ini istilah demi istilah, kita mendapatkan 2 x+ 1 = 0, dari mana . Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan apa pun, kami menemukan nilai ordinatnya Pada:

Sekarang mari kita tulis persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 1) dan :

atau .

Oleh karena itu atau -5( kamu – 1) = x – 2.

Akhirnya, kami memperoleh persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk x + 5kamu – 7 = 0.

Contoh 1.12. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik M(2.1) dan n(2,3).

Menggunakan rumus (1.14), kita memperoleh persamaan

Tidak masuk akal karena penyebut kedua adalah nol. Dapat dilihat dari kondisi soal bahwa absis kedua titik memiliki nilai yang sama. Oleh karena itu, garis yang diperlukan sejajar dengan sumbu OY dan persamaannya adalah: x = 2.

Komentar . Jika, ketika menulis persamaan garis lurus menurut rumus (1.14), salah satu penyebutnya adalah nol, maka persamaan yang diinginkan dapat diperoleh dengan menyamakan pembilang yang sesuai dengan nol.

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mengatur garis lurus pada pesawat.

1. Biarkan vektor bukan nol tegak lurus terhadap garis yang diberikan L, dan titik M 0(x 0, kamu 0) terletak pada garis ini (Gambar 1.7).

Gambar 1.7

Menunjukkan M(x, kamu) titik sembarang pada garis L. Vektor dan Ortogonal. Menggunakan kondisi ortogonalitas untuk vektor-vektor ini, kita memperoleh or TETAPI(x – x 0) + B(kamu – kamu 0) = 0.

Kami telah memperoleh persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0 tegak lurus terhadap vektor . Vektor ini disebut vektor normal ke garis lurus L. Persamaan yang dihasilkan dapat ditulis ulang sebagai

Oh + Wu + DARI= 0, dimana DARI = –(TETAPIx 0 + Oleh 0), (1.16),

Di mana TETAPI Dan DI DALAM adalah koordinat vektor normal.

Kami memperoleh persamaan umum garis lurus dalam bentuk parametrik.

2. Sebuah garis pada bidang dapat didefinisikan sebagai berikut: biarkan vektor bukan nol sejajar dengan garis yang diberikan L dan titik M 0(x 0, kamu 0) terletak pada baris ini. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang M(x, y) pada garis lurus (Gambar 1.8).

Gambar 1.8

Vektor dan kolinear.

Mari kita tuliskan kondisi kolinearitas dari vektor-vektor ini: , dimana T adalah bilangan arbitrer yang disebut parameter. Mari kita tulis persamaan ini dalam koordinat:

Persamaan ini disebut Persamaan parametrik Lurus. Mari kita keluarkan dari persamaan ini parameter T:

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk

. (1.18)

Persamaan yang dihasilkan disebut Persamaan kanonik garis lurus. Panggilan vektor Arah vektor lurus .

Komentar . Sangat mudah untuk melihat bahwa jika adalah vektor normal ke garis L, maka vektor arahnya dapat berupa vektor , karena , yaitu .

Contoh 1.13. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0(1, 1) sejajar dengan garis 3 x + 2Pada– 8 = 0.

Larutan . Vektor adalah vektor normal untuk garis yang diberikan dan yang diinginkan. Mari kita gunakan persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0 dengan vektor normal yang diberikan 3( x –1) + 2(Pada– 1) = 0 atau 3 x + 2 tahun- 5 \u003d 0. Kami mendapat persamaan garis lurus yang diinginkan.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu dalam arah tertentu. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis. Menentukan titik potong dua garis

1. Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu SEBUAH(x 1 , kamu 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh kemiringan k,

kamu - kamu 1 = k(x - x 1). (1)

Persamaan ini mendefinisikan sebuah pensil dari garis-garis yang melalui sebuah titik SEBUAH(x 1 , kamu 1), yang disebut pusat balok.

2. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: SEBUAH(x 1 , kamu 1) dan B(x 2 , kamu 2) ditulis seperti ini:

Kemiringan garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh rumus

3. Sudut antara garis lurus SEBUAH Dan B adalah sudut di mana garis lurus pertama harus diputar SEBUAH di sekitar titik perpotongan garis-garis ini berlawanan arah jarum jam sampai bertepatan dengan garis kedua B. Jika dua garis diberikan oleh persamaan kemiringan

kamu = k 1 x + B 1 ,