Teori fungsi satu variabel. Analisis matematis

Biarkan variabel x n mengambil urutan nilai yang tak terbatas

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

dan hukum perubahan variabel diketahui x n, yaitu untuk setiap bilangan asli n anda dapat menentukan nilai yang sesuai x n. Dengan demikian diasumsikan bahwa variabel x n adalah fungsi dari n:

x n = f(n)

Mari kita definisikan salah satu konsep analisis matematika yang paling penting - batas barisan, atau, yang sama, batas variabel x n urutan lari x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definisi. bilangan konstan sebuah ditelepon batas urutan x 1 , x 2 , ..., x n , ... . atau batas variabel x n, jika untuk bilangan positif kecil sembarang e terdapat bilangan asli N(yaitu nomor N) bahwa semua nilai variabel x n, dimulai dengan x N, berbeda dari sebuah kurang dalam nilai absolut dari e. Definisi ini secara singkat ditulis sebagai berikut:

| x n -sebuah |< (2)

untuk semua n  N, atau, yang sama,

Definisi batas Cauchy. Suatu bilangan A disebut limit suatu fungsi f (x) di suatu titik a jika fungsi ini didefinisikan pada suatu lingkungan dari titik a, kecuali mungkin untuk titik a itu sendiri, dan untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk semua x memenuhi syarat |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definisi batas Heine. Suatu bilangan A disebut limit suatu fungsi f (x) di suatu titik a jika fungsi ini didefinisikan pada suatu lingkungan dari titik a, kecuali mungkin untuk titik a itu sendiri, dan untuk sembarang barisan sedemikian sehingga konvergen ke angka a, urutan nilai fungsi yang sesuai konvergen ke angka A.

Jika fungsi f(x) memiliki limit di titik a, maka limit ini unik.

Bilangan A 1 disebut limit kiri fungsi f (x) di titik a jika untuk setiap > 0 terdapat >

Bilangan A 2 disebut limit kanan fungsi f (x) di titik a jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sehingga pertidaksamaan

Batas di sebelah kiri dilambangkan sebagai batas di sebelah kanan - Batas ini mencirikan perilaku fungsi ke kiri dan kanan titik a. Mereka sering disebut sebagai batas satu arah. Dalam notasi batas satu sisi sebagai x → 0, nol pertama biasanya dihilangkan: dan . Jadi, untuk fungsi

Jika untuk setiap > 0 terdapat -tetangga dari suatu titik sedemikian sehingga untuk semua x yang memenuhi syarat |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >, maka kita katakan bahwa fungsi f (x) memiliki limit tak hingga di titik a:

Jadi, fungsi tersebut memiliki limit tak hingga pada titik x = 0. Limit sama dengan +∞ dan –∞ sering dibedakan. Jadi,

Jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sehingga untuk setiap x > pertidaksamaan |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema keberadaan untuk batas atas terkecil

Definisi: AR mR, m - muka atas (bawah) A, jika аА аm (аm).

Definisi: Himpunan A dibatasi dari atas (dari bawah), jika terdapat m sedemikian sehingga аА, maka аm (аm) terpenuhi.

Definisi: SupA=m, jika 1) m - batas atas A

2) m': m' m' bukan sisi atas dari A

InfA = n jika 1) n adalah infimum dari A

2) n’: n’>n => n’ bukan infimum dari A

Definisi: SupA=m adalah bilangan sehingga: 1) aA am

2) >0 a A, sehingga a a-

InfA = n disebut bilangan sedemikian sehingga:

2) >0 a A, sehingga a E a+

Dalil: Setiap himpunan tak kosong R yang dibatasi dari atas memiliki batas atas paling sedikit, dan satu batas unik pada itu.

Bukti:

Kami membangun angka m pada garis nyata dan membuktikan bahwa ini adalah batas atas terkecil dari A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - bagian atas A

Segmen [[m],[m]+1] - dibagi menjadi 10 bagian

m 1 =maks:aA)]

m 2 =maks,m 1:aA)]

m ke =maks,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - wajah atas A

Mari kita buktikan bahwa m=[m],m 1 ...m K adalah batas atas terkecil dan unik:

untuk: .

Beras. 11. Grafik fungsi y arcsin x.

Mari kita sekarang memperkenalkan konsep fungsi kompleks ( menampilkan komposisi). Misalkan tiga himpunan D, E, M diberikan dan misalkan f: D→E, g: E→M. Jelas, dimungkinkan untuk membuat pemetaan baru h: D→M, yang disebut komposisi pemetaan f dan g atau fungsi kompleks (Gbr. 12).

Fungsi kompleks dilambangkan sebagai berikut: z =h(x)=g(f(x)) atau h = f o g.

Beras. 12. Ilustrasi untuk konsep fungsi kompleks.

Fungsi f(x) disebut fungsi internal, dan fungsi g ( y ) - fungsi eksternal.

1. Fungsi internal f (x) = x², eksternal g (y) sin y. Fungsi kompleks z= g(f(x))=sin(x²)

2. Sekarang sebaliknya. Fungsi dalam f (x)= sinx, luar g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)