Ուսումնասիրվում են նաև քառակուսի հավասարման խնդիրները դպրոցական ծրագիրև համալսարաններում։ Դրանք հասկացվում են որպես a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ x-փոփոխական, a,b,c – հաստատուններ; ա<>0 . Խնդիրը հավասարման արմատները գտնելն է։

Քառակուսի հավասարման երկրաչափական նշանակությունը

Ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը ներկայացված է քառակուսի հավասարմամբ, պարաբոլա է: Քառակուսային հավասարման լուծումները (արմատները) պարաբոլայի հատման կետերն են x առանցքի հետ։ Հետևում է, որ հնարավոր է երեք դեպք.
1) պարաբոլան չունի x առանցքի հետ հատման կետեր: Սա նշանակում է, որ այն գտնվում է վերին հարթության վրա՝ ճյուղերով վեր, կամ ներքևում՝ ճյուղերով: Նման դեպքերում քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ (ունի երկու բարդ արմատ):

2) պարաբոլան ունի Ox առանցքի հետ հատման մեկ կետ: Նման կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ, և դրանում գտնվող քառակուսի հավասարումը ստանում է իր նվազագույն կամ առավելագույն արժեքը։ Այս դեպքում քառակուսի հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ (կամ երկու նույնական արմատ):

3) Գործնականում առավել հետաքրքիր է վերջին դեպքը. կան պարաբոլայի հատման երկու կետ աբսցիսայի առանցքի հետ: Սա նշանակում է, որ կան հավասարման երկու իրական արմատներ։

Փոփոխականների հզորության գործակիցների վերլուծության հիման վրա կարելի է հետաքրքիր եզրակացություններ անել պարաբոլայի տեղադրման վերաբերյալ։

1) Եթե a գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլան ուղղված է դեպի վեր, եթե բացասական է, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։

2) Եթե b գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլայի գագաթն ընկած է ձախ կիսահարթության մեջ, եթե բացասական արժեք է ընդունում, ապա աջում։

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում

Փոխանցենք հաստատունը քառակուսի հավասարումից

հավասար նշանի համար ստանում ենք արտահայտությունը

Երկու կողմերը բազմապատկեք 4 ա-ով

Ձախ կողմում լրիվ քառակուսի ստանալու համար երկու մասում ավելացրեք b ^ 2 և կատարեք փոխակերպումը

Այստեղից մենք գտնում ենք

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը

Տարբերիչը արմատական ​​արտահայտության արժեքն է, եթե այն դրական է, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ՝ հաշվարկված բանաձևով. Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ լուծում (երկու համընկնող արմատ), որը հեշտ է ստանալ D=0-ի վերը նշված բանաձևից: Երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, իրական արմատներ չկան: Այնուամենայնիվ, բարդ հարթությունում քառակուսի հավասարման լուծումները ուսումնասիրելու համար և դրանց արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Վիետայի թեորեմա

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման երկու արմատ և դրանց հիման վրա կառուցեք քառակուսային հավասարում: Վիետայի թեորեմն ինքնին հեշտությամբ հետևում է նշումից. եթե մենք ունենք ձևի քառակուսային հավասարում. ապա նրա արմատների գումարը հավասար է p գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով, իսկ հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է q ազատ անդամին։ Վերոնշյալի բանաձևը նման կլինի. Եթե դասական հավասարման մեջ a հաստատունը զրոյական չէ, ապա պետք է դրա վրա բաժանել ամբողջ հավասարումը, այնուհետև կիրառել Վիետայի թեորեմը:

Գործոնների վրա քառակուսի հավասարման ժամանակացույց

Թող դրվի խնդիր՝ քառակուսի հավասարումը բաժանել գործոնների։ Այն իրականացնելու համար նախ լուծում ենք հավասարումը (գտնում ենք արմատները): Այնուհետև գտնված արմատները փոխարինում ենք քառակուսի հավասարման ընդլայնման բանաձևով: Այս խնդիրը կլուծվի:

Առաջադրանքներ քառակուսի հավասարման համար

Առաջադրանք 1. Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները

x^2-26x+120=0 .

Լուծում. Գրի՛ր գործակիցները և փոխարինի՛ր տարբերակիչ բանաձևով

արմատը տրված արժեքըհավասար է 14-ի, այն հեշտ է գտնել հաշվիչով կամ հիշել այն հաճախակի օգտագործմամբ, այնուամենայնիվ, հարմարության համար հոդվածի վերջում ես ձեզ կտամ թվերի քառակուսիների ցանկ, որոնք հաճախ կարելի է գտնել նման առաջադրանքներում: .
Գտնված արժեքը փոխարինվում է արմատային բանաձևով

և մենք ստանում ենք

Առաջադրանք 2. լուծել հավասարումը

2x2+x-3=0.

Լուծում. Ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում, դուրս գրենք գործակիցները և գտնենք տարբերակիչը


Ըստ հայտնի բանաձևերգտնել քառակուսի հավասարման արմատները

Առաջադրանք 3. լուծել հավասարումը

9x2 -12x+4=0.

Լուծում. Մենք ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում: Որոշեք դիսկրիմինատորը

Մենք ստացանք այն դեպքը, երբ արմատները համընկնում են. Արմատների արժեքները մենք գտնում ենք բանաձևով

Առաջադրանք 4. լուծել հավասարումը

x^2+x-6=0 .

Լուծում. Այն դեպքերում, երբ x-ի համար կան փոքր գործակիցներ, նպատակահարմար է կիրառել Վիետայի թեորեմը։ Նրա պայմանով մենք ստանում ենք երկու հավասարում

Երկրորդ պայմանից ստանում ենք, որ արտադրյալը պետք է հավասար լինի -6-ի։ Սա նշանակում է, որ արմատներից մեկը բացասական է: Մենք ունենք լուծումների հետևյալ հնարավոր զույգը(-3;2), (3;-2) . Հաշվի առնելով առաջին պայմանը՝ մենք մերժում ենք լուծումների երկրորդ զույգը։
Հավասարման արմատներն են

Առաջադրանք 5. Գտե՛ք ուղղանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա պարագիծը 18 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 77 սմ 2։

Լուծում. Ուղղանկյան պարագծի կեսը հավասար է կողքի կողմերի գումարին: Նշանակենք x - մեծ կողմը, ապա 18-x-ը նրա փոքր կողմն է: Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է այս երկարությունների արտադրյալին.
x(18x)=77;
կամ
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Գտե՛ք հավասարման դիսկրիմինանտը

Մենք հաշվարկում ենք հավասարման արմատները

Եթե x=11,ապա 18x=7,ճիշտ է նաև հակառակը (եթե x=7, ապա 21-x=9):

Խնդիր 6. Գործոնացնել քառակուսի 10x 2 -11x+3=0 հավասարումը:

Լուծում. Հաշվե՛ք հավասարման արմատները, դրա համար մենք գտնում ենք դիսկրիմինանտը

Գտնված արժեքը փոխարինում ենք արմատների բանաձևով և հաշվարկում

Մենք կիրառում ենք քառակուսի հավասարումը արմատներով ընդլայնելու բանաձևը

Ընդլայնելով փակագծերը՝ ստանում ենք ինքնությունը։

Քառակուսային հավասարում պարամետրով

Օրինակ 1. Պարամետրի ինչ արժեքների համար բայց,(a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 հավասարումը մեկ արմատ ունի՞:

Լուծում. a=3 արժեքի ուղղակի փոխարինմամբ տեսնում ենք, որ այն լուծում չունի։ Այնուհետև մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ զրոյական դիսկրիմինանտի դեպքում հավասարումն ունի 2-ի բազմապատկության մեկ արմատ: Դուրս գրենք խտրականությունը

պարզեցնել այն և հավասարեցնել զրոյի

Ա պարամետրի նկատմամբ ստացել ենք քառակուսային հավասարում, որի լուծումը հեշտ է ստանալ Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Արմատների գումարը 7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ 12։ Պարզ թվարկումով մենք հաստատում ենք, որ 3.4 թվերը կլինեն հավասարման արմատները: Քանի որ հաշվարկների սկզբում մենք արդեն մերժել ենք a=3 լուծումը, միակ ճիշտը կլինի. a=4.Այսպիսով, a = 4-ի համար հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Օրինակ 2. Պարամետրի ինչ արժեքների համար բայց,հավասարումը a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ունի մեկից ավելի արմատ.

Լուծում. Նախ դիտարկենք եզակի կետերը, դրանք կլինեն a=0 և a=-3 արժեքները: Երբ a=0, հավասարումը կպարզեցվի 6x-9=0 ձևով; x=3/2 և կլինի մեկ արմատ: a= -3-ի համար մենք ստանում ենք նույնականությունը 0=0:
Հաշվիր դիսկրիմինատորը

և գտե՛ք a-ի արժեքները, որոնց համար այն դրական է

Առաջին պայմանից ստանում ենք a>3. Երկրորդի համար մենք գտնում ենք տարբերակիչն ու հավասարման արմատները


Եկեք սահմանենք այն միջակայքերը, որտեղ ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներ: a=0 կետը փոխարինելով՝ ստանում ենք 3>0 . Այսպիսով, միջակայքից դուրս (-3; 1/3) ֆունկցիան բացասական է: Մի մոռացեք կետը a=0ինչը պետք է բացառվի, քանի որ սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ:
Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու միջակայք, որոնք բավարարում են խնդրի պայմանը

Գործնականում նմանատիպ շատ առաջադրանքներ կլինեն, փորձեք ինքներդ լուծել առաջադրանքները և մի մոռացեք հաշվի առնել միմյանց բացառող պայմանները։ Լավ ուսումնասիրեք քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը, դրանք բավականին հաճախ անհրաժեշտ են տարբեր խնդիրների և գիտությունների հաշվարկներում:

IN ժամանակակից հասարակությունքառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումներով գործողություններ կատարելու ունակությունը կարող է օգտակար լինել գործունեության բազմաթիվ ոլորտներում և լայնորեն կիրառվում է պրակտիկայում գիտական ​​և տեխնիկական զարգացումներ. Դրա մասին կարող են վկայել ծովային և գետային նավերի, ինքնաթիռների և հրթիռների նախագծումը։ Նման հաշվարկների օգնությամբ որոշվում են տարբեր մարմինների, այդ թվում՝ տիեզերական օբյեկտների շարժման հետագիծը։ Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները օգտագործվում են ոչ միայն տնտեսական կանխատեսումների, շենքերի նախագծման և կառուցման մեջ, այլև առավել սովորական առօրյա հանգամանքներում: Նրանք կարող են անհրաժեշտ լինել ներսում արշավներ, սպորտում, խանութներում գնումներ կատարելիս և շատ սովորական իրավիճակներում:

Բաժանենք արտահայտությունը բաղադրիչ գործոնների

Հավասարման աստիճանը որոշվում է տվյալ արտահայտությունը պարունակող փոփոխականի աստիճանի առավելագույն արժեքով։ Եթե ​​այն հավասար է 2-ի, ապա նման հավասարումը կոչվում է քառակուսի հավասարում։

Եթե ​​խոսենք բանաձևերի լեզվով, ապա այս արտահայտությունները, անկախ նրանից, թե ինչ տեսք ունեն, միշտ կարելի է հասցնել այն ձևի, երբ արտահայտության ձախ կողմը բաղկացած է երեք տերմիններից։ Դրանցից՝ ax 2 (այսինքն՝ փոփոխական քառակուսի իր գործակցով), bx (անհայտ առանց քառակուսու իր գործակցով) և c (ազատ բաղադրիչ, այսինքն՝ սովորական թիվ)։ Այս ամենը աջ կողմում հավասար է 0-ի: Այն դեպքում, երբ նման բազմանդամը չունի իր բաղկացուցիչ անդամներից մեկը, բացառությամբ կացին 2-ի, այն կոչվում է ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում: Նախ պետք է դիտարկել այնպիսի խնդիրների լուծման օրինակներ, որոնցում դժվար չէ գտնել փոփոխականների արժեքը:

Եթե ​​արտահայտությունը կարծես երկու տերմին ունի արտահայտության աջ կողմում, ավելի ճիշտ՝ ax 2 և bx, ապա ամենահեշտ է գտնել x՝ փոփոխականը փակցնելով: Այժմ մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x(ax+b): Այնուհետև ակնհայտ է դառնում, որ կամ x=0, կամ խնդիրը կրճատվում է հետևյալ արտահայտությունից փոփոխական գտնելով՝ ax+b=0: Սա թելադրված է բազմապատկման հատկություններից մեկով։ Կանոնն ասում է, որ երկու գործոնի արտադրյալը ստանում է 0 միայն նրանցից մեկի դեպքում զրո.

Օրինակ

x=0 կամ 8x - 3 = 0

Արդյունքում ստանում ենք հավասարման երկու արմատ՝ 0 և 0,375։

Այս կարգի հավասարումները կարող են նկարագրել ծանրության գործողության տակ գտնվող մարմինների շարժումը, որոնք սկսել են շարժվել որոշակի կետից՝ որպես սկզբնաղբյուր: Այստեղ մաթեմատիկական նշումստանում է հետևյալ ձևը՝ y = v 0 t + gt 2 /2: Փոխարինելով անհրաժեշտ արժեքները, աջ կողմը հավասարեցնելով 0-ին և գտնելով հնարավոր անհայտները, կարող եք պարզել մարմնի բարձրանալու պահից մինչև ընկնելու պահն անցած ժամանակը, ինչպես նաև շատ այլ մեծություններ: Բայց այս մասին կխոսենք ավելի ուշ։

Արտահայտության ֆակտորինգ

Վերը նկարագրված կանոնը հնարավորություն է տալիս լուծել այս խնդիրները և ավելին դժվար դեպքեր. Դիտարկենք այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

X2 - 33x + 200 = 0

Սա քառակուսի եռանկյունամբողջական է. Նախ, մենք փոխակերպում ենք արտահայտությունը և այն տարրալուծում գործոնների: Դրանցից երկուսը կա՝ (x-8) և (x-25) = 0: Արդյունքում մենք ունենք երկու արմատ 8 և 25:

9-րդ դասարանի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակները թույլ են տալիս այս մեթոդին գտնել փոփոխական ոչ միայն երկրորդ, այլ նույնիսկ երրորդ և չորրորդ կարգի արտահայտություններում:

Օրինակ՝ 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0: Աջ կողմը փոփոխականով գործոնների վերածելիս կան երեքը, այսինքն՝ (x + 1), (x-3) և (x +): 3).

Արդյունքում ակնհայտ է դառնում, որ տրված հավասարումըունի երեք արմատ՝ -3; - մեկ; 3.

Քառակուսի արմատի հանում

Թերի երկրորդ կարգի հավասարման մեկ այլ դեպք տառերի լեզվով գրված արտահայտությունն է այնպես, որ աջ կողմը կառուցված է կացին 2 և c բաղադրիչներից։ Այստեղ փոփոխականի արժեքը ստանալու համար ազատ տերմինը փոխանցվում է աջ կողմև դրանից հետո հավասարության երկու մասերից էլ. Քառակուսի արմատ. Պետք է նշել, որ այս դեպքում սովորաբար հավասարման երկու արմատ կա. Բացառություն են կազմում այն ​​հավասարությունները, որոնք ընդհանրապես չեն պարունակում c տերմինը, որտեղ փոփոխականը հավասար է զրոյի, ինչպես նաև արտահայտությունների տարբերակները, երբ աջ կողմը բացասական է ստացվում։ Վերջին դեպքում ընդհանրապես լուծումներ չկան, քանի որ վերը նշված գործողությունները չեն կարող կատարվել արմատներով։ Պետք է դիտարկել այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումների օրինակներ:

Այս դեպքում հավասարման արմատները կլինեն -4 և 4 թվերը։

Հողամասի մակերեսի հաշվարկ

Այս տեսակի հաշվարկների անհրաժեշտությունը ի հայտ է եկել դեռևս հին ժամանակներում, քանի որ մաթեմատիկայի զարգացումը մեծապես դրանցում է. հեռավոր ժամանակներպայմանավորված էր հողամասերի մակերեսներն ու պարագծերը առավելագույն ճշգրտությամբ որոշելու անհրաժեշտությամբ։

Պետք է դիտարկել նաև այս կարգի խնդիրների հիման վրա կազմված քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ։

Այսպիսով, ենթադրենք, որ կա ուղղանկյուն տարածքհողատարածք, որի երկարությունը լայնությունից 16 մետրով ավելի է։ Դուք պետք է գտնեք տեղանքի երկարությունը, լայնությունը և պարագիծը, եթե հայտնի է, որ դրա մակերեսը 612 մ 2 է։

Անցնելով գործին, սկզբում մենք կկատարենք անհրաժեշտ հավասարումը. Հատվածի լայնությունը նշանակենք x, ապա դրա երկարությունը կլինի (x + 16): Գրվածից հետևում է, որ տարածքը որոշվում է x (x + 16) արտահայտությամբ, որը, ըստ մեր խնդրի պայմանի, 612 է։ Սա նշանակում է, որ x (x + 16) \u003d 612։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը, և այս արտահայտությունը հենց դա է, չի կարող նույն կերպ անել։ Ինչո՞ւ։ Թեև դրա ձախ կողմը դեռևս երկու գործոն է պարունակում, սակայն դրանց արտադրյալը բոլորովին հավասար չէ 0-ի, ուստի այստեղ օգտագործվում են այլ մեթոդներ։

Խտրական

Առաջին հերթին մենք կատարում ենք անհրաժեշտ վերափոխումները, հետո տեսքըայս արտահայտությունը կունենա հետևյալ տեսքը. x 2 + 16x - 612 = 0: Սա նշանակում է, որ մենք ստացել ենք նախկինում նշված ստանդարտին համապատասխան արտահայտություն, որտեղ a=1, b=16, c=-612:

Սա կարող է լինել տարբերակիչի միջոցով քառակուսի հավասարումներ լուծելու օրինակ: Այստեղ անհրաժեշտ հաշվարկներարտադրված ըստ սխեմայի՝ D = b 2 - 4ac: Այս օժանդակ արժեքը ոչ միայն հնարավորություն է տալիս գտնել ցանկալի արժեքները երկրորդ կարգի հավասարման մեջ, այն որոշում է թիվը. տարբերակները. D>0 դեպքում դրանք երկուսն են. D=0-ի համար կա մեկ արմատ: Այն դեպքում, երբ Դ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Արմատների և դրանց բանաձևի մասին

Մեր դեպքում տարբերակիչն է՝ 256 - 4(-612) = 2704: Սա ցույց է տալիս, որ մեր խնդիրն ունի պատասխան: Եթե ​​գիտեք, ապա քառակուսի հավասարումների լուծումը պետք է շարունակվի ստորև բերված բանաձևով: Այն թույլ է տալիս հաշվարկել արմատները:

Սա նշանակում է, որ ներկայացված դեպքում՝ x 1 =18, x 2 =-34: Այս երկընտրանքի երկրորդ տարբերակը լուծում չի կարող լինել, քանի որ հողամասի չափը հնարավոր չէ չափել բացասական արժեքներով, ինչը նշանակում է, որ x-ը (այսինքն՝ հողամասի լայնությունը) 18 մ է: Այստեղից մենք հաշվարկում ենք երկարությունը. 18+16=34, իսկ պարագիծը 2(34+ 18) = 104 (մ 2):

Օրինակներ և առաջադրանքներ

Շարունակում ենք քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը։ Օրինակներ և դրանցից մի քանիսի մանրամասն լուծումը կտրվի ստորև։

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ամեն ինչ տեղափոխենք հավասարության ձախ կողմը, կատարենք փոխակերպում, այսինքն՝ ստանում ենք հավասարման ձևը, որը սովորաբար կոչվում է ստանդարտ, և հավասարեցնում ենք զրոյի։

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Նմանատիպերը ավելացնելով՝ մենք որոշում ենք դիսկրիմինատորը՝ D \u003d 49 - 48 \u003d 1: Այսպիսով, մեր հավասարումը կունենա երկու արմատ: Մենք դրանք հաշվում ենք վերը նշված բանաձեւով, ինչը նշանակում է, որ դրանցից առաջինը հավասար կլինի 4/3-ի, իսկ երկրորդը՝ 1-ի։

2) Այժմ մենք կբացահայտենք այլ տեսակի հանելուկներ:

Եկեք պարզենք, արդյոք այստեղ ընդհանրապես արմատներ կան x 2 - 4x + 5 = 1: Սպառիչ պատասխան ստանալու համար բազմանդամը բերում ենք համապատասխան ծանոթ ձևին և հաշվում դիսկրիմինանտը։ Այս օրինակում պետք չէ լուծել քառակուսի հավասարումը, քանի որ խնդրի էությունը ամենևին էլ սրանում չէ։ Այս դեպքում D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ինչը նշանակում է, որ իսկապես արմատներ չկան:

Վիետայի թեորեմա

Հարմար է քառակուսի հավասարումները լուծել վերը նշված բանաձևերի և դիսկրիմինանտի միջոցով, երբ վերջինիս արժեքից հանվում է քառակուսի արմատը։ Բայց դա միշտ չէ, որ տեղի է ունենում: Այնուամենայնիվ, այս դեպքում փոփոխականների արժեքները ստանալու բազմաթիվ եղանակներ կան: Օրինակ՝ քառակուսի հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով: Այն անվանվել է մի մարդու անունով, ով ապրել է 16-րդ դարում Ֆրանսիայում և փայլուն կարիերա է ունեցել իր մաթեմատիկական տաղանդի և դատարանում ունեցած կապերի շնորհիվ: Նրա դիմանկարը կարելի է տեսնել հոդվածում։

Նախշը, որը նկատել է հայտնի ֆրանսիացին, հետևյալն էր. Նա ապացուցեց, որ հավասարման արմատների գումարը հավասար է -p=b/a, իսկ դրանց արտադրյալը համապատասխանում է q=c/a:

Հիմա եկեք նայենք կոնկրետ առաջադրանքներին:

3x2 + 21x - 54 = 0

Պարզության համար եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը.

x 2 + 7x - 18 = 0

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը՝ սա մեզ հետևյալը կտա՝ արմատների գումարը -7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ -18։ Այստեղից մենք ստանում ենք, որ հավասարման արմատները -9 և 2 թվերն են: Ստուգելով՝ մենք կհամոզվենք, որ փոփոխականների այս արժեքները իսկապես տեղավորվում են արտահայտության մեջ:

Պարաբոլայի գրաֆիկ և հավասարում

Քառակուսային ֆունկցիայի հասկացությունները և քառակուսի հավասարումներսերտորեն կապված. Դրա օրինակներն արդեն տրվել են նախկինում: Հիմա եկեք մի փոքր ավելի մանրամասն նայենք մի քանի մաթեմատիկական հանելուկների: Նկարագրված տիպի ցանկացած հավասարում կարող է ներկայացվել տեսողականորեն: Նման կախվածությունը, որը գծված է գրաֆիկի տեսքով, կոչվում է պարաբոլա։ Դրա տարբեր տեսակները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:

Ցանկացած պարաբոլա ունի գագաթ, այսինքն՝ կետ, որտեղից դուրս են գալիս նրա ճյուղերը։ Եթե ​​a>0, ապա դրանք բարձրանում են դեպի անսահմանություն, իսկ երբ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ֆունկցիաների տեսողական ներկայացումները օգնում են լուծել ցանկացած հավասարումներ, այդ թվում՝ քառակուսային: Այս մեթոդը կոչվում է գրաֆիկական: Իսկ x փոփոխականի արժեքը աբսցիսային կոորդինատն է այն կետերում, որտեղ գրաֆիկի գիծը հատվում է 0x-ի հետ։ Գագաթի կոորդինատները կարելի է գտնել x 0 = -b / 2a բանաձեւով: Եվ արդյունքում ստացված արժեքը ֆունկցիայի սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելով՝ կարող եք պարզել y 0, այսինքն՝ y առանցքին պատկանող պարաբոլայի գագաթի երկրորդ կոորդինատը։

Պարաբոլայի ճյուղերի հատումը աբսցիսայի առանցքի հետ

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները շատ են, բայց կան նաև ընդհանուր օրինաչափություններ։ Դիտարկենք դրանք։ Հասկանալի է, որ գրաֆիկի հատումը 0x առանցքի հետ a>0-ի համար հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե y 0-ն ընդունում է բացասական արժեքներ։ Իսկ համար ա<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Հակառակ դեպքում Դ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Պարաբոլայի գրաֆիկից կարող եք որոշել նաև արմատները: Ճիշտ է նաև հակառակը. Այսինքն, եթե քառակուսի ֆունկցիայի տեսողական պատկեր ստանալը հեշտ չէ, կարող եք արտահայտության աջ կողմը հավասարեցնել 0-ի և լուծել ստացված հավասարումը։ Իսկ իմանալով 0x առանցքի հետ հատման կետերը՝ ավելի հեշտ է գծագրել։

Պատմությունից

Քառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումների օգնությամբ հին ժամանակներում ոչ միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ էին անում և որոշում երկրաչափական ձևերի տարածքը: Հիններին նման հաշվարկներ էին պետք ֆիզիկայի և աստղագիտության բնագավառում մեծ հայտնագործությունների, ինչպես նաև աստղագիտական ​​կանխատեսումներ անելու համար։

Ինչպես ենթադրում են ժամանակակից գիտնականները, Բաբելոնի բնակիչներն առաջիններից են, ովքեր լուծել են քառակուսի հավասարումներ։ Դա տեղի է ունեցել մեր դարաշրջանի գալուստից չորս դար առաջ: Իհարկե, նրանց հաշվարկները սկզբունքորեն տարբերվում էին ներկայումս ընդունվածներից և շատ ավելի պարզունակ էին։ Օրինակ, միջագետքի մաթեմատիկոսները գաղափար չունեին բացասական թվերի գոյության մասին։ Նրանց անծանոթ էին նաև մեր ժամանակների որևէ ուսանողի ծանոթ այլ նրբություններ։

Թերևս նույնիսկ ավելի վաղ, քան Բաբելոնի գիտնականները, Հնդկաստանից եկած իմաստուն Բաուդայաման ձեռնամուխ եղավ քառակուսի հավասարումների լուծմանը: Դա տեղի է ունեցել Քրիստոսի դարաշրջանի գալուստից մոտ ութ դար առաջ: Ճիշտ է, երկրորդ կարգի հավասարումները, լուծման մեթոդները, որոնք նա տվեց, ամենապարզն էին։ Նրանից բացի, հին ժամանակներում նմանատիպ հարցեր հետաքրքրում էին նաեւ չինացի մաթեմատիկոսներին։ Եվրոպայում քառակուսի հավասարումները սկսեցին լուծվել միայն 13-րդ դարի սկզբին, բայց հետագայում դրանք օգտագործվեցին իրենց աշխատանքում այնպիսի մեծ գիտնականների կողմից, ինչպիսիք են Նյուտոնը, Դեկարտը և շատ ուրիշներ:

Քառակուսային հավասարումները ուսումնասիրվում են 8-րդ դասարանում, ուստի այստեղ բարդ բան չկա: Դրանք լուծելու կարողությունը էական է:

Քառակուսային հավասարումը ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a , b և c գործակիցները կամայական թվեր են, իսկ a ≠ 0:

Նախքան լուծման կոնկրետ մեթոդներ ուսումնասիրելը, մենք նշում ենք, որ բոլոր քառակուսի հավասարումները կարելի է բաժանել երեք դասի.

1. Արմատներ չունենալ;
2. Նրանք ունեն ուղիղ մեկ արմատ;
3. Նրանք ունեն երկու տարբեր արմատներ:

Սա կարևոր տարբերություն է քառակուսի և գծային հավասարումների միջև, որտեղ արմատը միշտ գոյություն ունի և եզակի է: Ինչպե՞ս որոշել, թե քանի արմատ ունի հավասարումը: Դրա համար մի հրաշալի բան կա. խտրական.

Խտրական

Թող տրվի ax 2 + bx + c = 0 քառակուսային հավասարումը, ապա տարբերակիչը պարզապես D = b 2 − 4ac թիվն է:

Այս բանաձեւը պետք է անգիր իմանալ։ Թե որտեղից է այն գալիս, այժմ կարևոր չէ։ Կարևոր է ևս մեկ բան. դիսկրիմինանտի նշանով կարելի է որոշել, թե քանի արմատ ունի քառակուսի հավասարումը։ Այսինքն:

1. Եթե ​​Դ< 0, корней нет;
2. Եթե ​​D = 0, կա ուղիղ մեկ արմատ;
3. Եթե ​​D > 0, կլինի երկու արմատ:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դիսկրիմինատորը ցույց է տալիս արմատների քանակը, և ամենևին էլ դրանց նշանները, ինչպես չգիտես ինչու կարծում են շատերը: Նայեք օրինակներին և ինքներդ ամեն ինչ կհասկանաք.

Առաջադրանք. Քանի՞ արմատ ունեն քառակուսի հավասարումները.

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0:

Մենք գրում ենք առաջին հավասարման գործակիցները և գտնում ենք դիսկրիմինատորը.
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Այսպիսով, դիսկրիմինանտը դրական է, ուստի հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ: Մենք վերլուծում ենք երկրորդ հավասարումը նույն կերպ.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131:

Խտրականը բացասական է, արմատներ չկան։ Վերջին հավասարումը մնում է.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0։

Տարբերիչը հավասար է զրոյի - արմատը կլինի մեկ:

Նշենք, որ յուրաքանչյուր հավասարման համար դուրս են գրվել գործակիցներ: Այո, երկար է, այո, հոգնեցուցիչ է, բայց դուք չեք խառնի հավանականությունը և մի թույլ սխալներ թույլ չտաք: Ընտրեք ինքներդ՝ արագություն կամ որակ:

Ի դեպ, եթե «ձեռքդ լցնես», որոշ ժամանակ անց այլևս կարիք չի լինի դուրս գրել բոլոր գործակիցները։ Ձեր գլխում նման վիրահատություններ կանեք։ Մարդկանց մեծամասնությունը սկսում է դա անել ինչ-որ տեղ այն բանից հետո, երբ լուծվել են 50-70 հավասարումներ, ընդհանուր առմամբ, ոչ այնքան շատ:

Քառակուսային հավասարման արմատները

Հիմա անցնենք լուծմանը։ Եթե ​​տարբերակիչ D > 0, արմատները կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Քառակուսային հավասարման արմատների հիմնական բանաձևը

Երբ D = 0, կարող եք օգտագործել այս բանաձևերից որևէ մեկը. դուք ստանում եք նույն թիվը, որը կլինի պատասխանը: Ի վերջո, եթե Դ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0:

Առաջին հավասարումը.
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16։

D > 0 ⇒ հավասարումն ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք.

Երկրորդ հավասարումը.
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; գ = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64։

D > 0 ⇒ հավասարումը կրկին ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \ձախ (-1 \աջ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \աջ))=3. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ի վերջո, երրորդ հավասարումը.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0:

D = 0 ⇒ հավասարումն ունի մեկ արմատ: Ցանկացած բանաձև կարող է օգտագործվել. Օրինակ՝ առաջինը.

Ինչպես տեսնում եք օրինակներից, ամեն ինչ շատ պարզ է: Եթե ​​իմանաք բանաձևերը և կարողանաք հաշվել, խնդիրներ չեն լինի։ Ամենից հաճախ սխալները տեղի են ունենում, երբ բացասական գործակիցները փոխարինվում են բանաձևով: Այստեղ, կրկին, կօգնի վերը նկարագրված տեխնիկան. բառացիորեն նայեք բանաձևին, նկարեք յուրաքանչյուր քայլը և շատ շուտով ազատվեք սխալներից:

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ

Պատահում է, որ քառակուսի հավասարումը որոշ չափով տարբերվում է սահմանման մեջ տրվածից: Օրինակ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0:

Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարումների մեջ բացակայում է տերմիններից մեկը: Նման քառակուսի հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են լուծել, քան ստանդարտները. նրանք նույնիսկ կարիք չունեն հաշվարկելու դիսկրիմինանտը: Այսպիսով, եկեք ներկայացնենք նոր հայեցակարգ.

ax 2 + bx + c = 0 հավասարումը կոչվում է թերի քառակուսի հավասարում, եթե b = 0 կամ c = 0, այսինքն. x փոփոխականի կամ ազատ տարրի գործակիցը հավասար է զրոյի։

Իհարկե, հնարավոր է շատ բարդ դեպք, երբ այս երկու գործակիցներն էլ հավասար են զրոյի. արմատը՝ x \u003d 0.

Դիտարկենք այլ դեպքեր։ Թող b \u003d 0, ապա մենք ստանում ենք ax 2 + c \u003d 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարում: Եկեք մի փոքր փոխակերպենք այն.

Քանի որ թվաբանական քառակուսի արմատը գոյություն ունի միայն ոչ բացասական թվից, վերջին հավասարությունն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ (−c / a ) ≥ 0: Եզրակացություն.

1. Եթե ​​ax 2 + c = 0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսային հավասարումը բավարարում է (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը, ապա կլինի երկու արմատ։ Բանաձևը տրված է վերևում.
2. Եթե ​​(−c/a)< 0, корней нет.

Ինչպես տեսնում եք, դիսկրիմինատորը չի պահանջվել. թերի քառակուսի հավասարումների մեջ ընդհանրապես բարդ հաշվարկներ չկան: Իրականում նույնիսկ անհրաժեշտ չէ հիշել (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը։ Բավական է արտահայտել x 2-ի արժեքը և տեսնել, թե ինչ կա հավասարության նշանի մյուս կողմում։ Եթե ​​կա դրական թիվ, կլինի երկու արմատ: Եթե ​​բացասական լինի, արմատներ ընդհանրապես չեն լինի։

Այժմ անդրադառնանք ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումների, որոնցում ազատ տարրը հավասար է զրոյի։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է՝ միշտ կլինի երկու արմատ։ Բավական է ֆակտորիզացնել բազմանդամը.

Ընդհանուր գործոնը փակագծից հանելը

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Այստեղից են գալիս արմատները: Եզրափակելով, մենք կվերլուծենք այս հավասարումներից մի քանիսը.

Առաջադրանք. Լուծեք քառակուսի հավասարումներ.

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0:

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7։

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6: Չկան արմատներ, քանի որ քառակուսին չի կարող հավասար լինել բացասական թվի։

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Քառակուսային հավասարումներ. Խտրական. Լուծում, օրինակներ.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Քառակուսային հավասարումների տեսակները

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը: Ինչպիսի տեսք ունի? Ժամկետում քառակուսի հավասարումհիմնաբառ է «քառակուսի».Դա նշանակում է, որ հավասարման մեջ անպայմանպետք է լինի x քառակուսի: Բացի դրանից, հավասարման մեջ կարող է լինել (կամ չի կարող լինել) ընդամենը x (առաջին աստիճանի) և ընդամենը մի թիվ (անվճար անդամ):Եվ երկուսից մեծ աստիճանով x-եր չպետք է լինեն:

Մաթեմատիկական առումով քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է.

Այստեղ ա, բ և գ- որոշ թվեր. բ և գ- բացարձակապես ցանկացած, բայց բայց- ամեն ինչ, բացի զրոյից: Օրինակ:

Այստեղ բայց =1; բ = 3; գ = -4

Այստեղ բայց =2; բ = -0,5; գ = 2,2

Այստեղ բայց =-3; բ = 6; գ = -18

Դե, դուք հասկացաք ...

Այս քառակուսի հավասարումների ձախ կողմում կա ամբողջական հավաքածուանդամներ։ x քառակուսի գործակցով բայց, x գործակցով առաջին հզորությանը բԵվ ազատ անդամ

Նման քառակուսի հավասարումներ կոչվում են ամբողջական.

Եւ եթե բ= 0, ի՞նչ կստանանք: Մենք ունենք X-ը կվերանա առաջին աստիճանում։Սա տեղի է ունենում զրոյով բազմապատկելուց։) Ստացվում է, օրինակ.

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

և այլն: Իսկ եթե երկու գործակիցն էլ բԵվ գհավասար են զրոյի, ապա ավելի պարզ է.

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Նման հավասարումներ, որտեղ ինչ-որ բան բացակայում է, կոչվում են թերի քառակուսի հավասարումներ.Ինչը միանգամայն տրամաբանական է:) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ x քառակուսին առկա է բոլոր հավասարումների մեջ:

Ի դեպ, ինչու բայցչի կարող լինել զրո? Եվ փոխարենը դուք փոխարինում եք բայցզրո:) Քառակուսի X-ը կվերանա: Հավասարումը կդառնա գծային։ Եվ դա արվում է այլ կերպ ...

Դա քառակուսի հավասարումների բոլոր հիմնական տեսակներն են: Ամբողջական և թերի.

Քառակուսային հավասարումների լուծում.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծում.

Քառակուսային հավասարումները հեշտ է լուծել: Բանաձևերով և պարզ պարզ կանոններ. Առաջին փուլում ձեզ հարկավոր է տրված հավասարումըտանել դեպի ստանդարտ տեսք, այսինքն. դեպի տեսարան.

Եթե ​​հավասարումն արդեն տրված է ձեզ այս ձևով, ապա ձեզ հարկավոր չէ անել առաջին փուլը:) Գլխավորը բոլոր գործակիցները ճիշտ որոշելն է, բայց, բԵվ գ.

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է խտրական. Բայց նրա մասին ավելին ստորև: Ինչպես տեսնում եք, x-ը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c. Նրանք. գործակիցները քառակուսի հավասարումից. Պարզապես զգուշորեն փոխարինեք արժեքները ա, բ և գայս բանաձևի մեջ և հաշվել: Փոխարինող ձեր նշաններով! Օրինակ, հավասարման մեջ.

բայց =1; բ = 3; գ= -4. Այստեղ մենք գրում ենք.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Սա է պատասխանը։

Ամեն ինչ շատ պարզ է. Իսկ ի՞նչ եք կարծում, չե՞ք կարող սխալվել։ Դե, այո, ինչպես ...

Ամենատարածված սխալները արժեքների նշանների հետ շփոթությունն են ա, բ և գ. Ավելի ճիշտ՝ ոչ իրենց նշաններով (որտե՞ղ կա շփոթվելու), այլ՝ փոխարինմամբ բացասական արժեքներարմատները հաշվարկելու բանաձևի մեջ: Այստեղ պահվում է բանաձևի մանրամասն գրառումը հատուկ թվերով: Եթե ​​հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ կան, այնպես որ դա արեք!

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ ա = -6; բ = -5; գ = -1

Ենթադրենք, դուք գիտեք, որ հազվադեպ եք պատասխաններ ստանում առաջին անգամ:

Դե, մի ծույլ մի եղիր։ Լրացուցիչ տող գրելու համար կպահանջվի 30 վայրկյան Եվ սխալների քանակը կտրուկ կնվազի. Այսպիսով, մենք մանրամասն գրում ենք բոլոր փակագծերով և նշաններով.

Թվում է, թե աներևակայելի դժվար է այդքան ուշադիր նկարել: Բայց դա միայն թվում է. Փորձիր. Դե, կամ ընտրեք: Ո՞րն է ավելի լավ, արագ, թե ճիշտ: Բացի այդ, ես ձեզ կուրախացնեմ։ Որոշ ժամանակ անց ամեն ինչ այդքան խնամքով նկարելու կարիք չի լինի։ Պարզապես ճիշտ կստացվի։ Հատկապես, եթե դուք կիրառում եք գործնական տեխնիկա, որոնք նկարագրված են ստորև: Այս չար օրինակը մի շարք մինուսներով կլուծվի հեշտությամբ և առանց սխալների:

Բայց, հաճախ, քառակուսի հավասարումները մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Գիտեի՞ք։) Այո՛։ Սա թերի քառակուսի հավասարումներ.

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում.

Դրանք կարելի է լուծել նաև ընդհանուր բանաձևով. Պարզապես պետք է ճիշտ պարզել, թե ինչն է այստեղ հավասար ա, բ և գ.

Հասկացա? Առաջին օրինակում a = 1; b = -4;բայց գ? Այն ընդհանրապես գոյություն չունի։ Դե, այո, այդպես է: Մաթեմատիկայի մեջ սա նշանակում է, որ c = 0 ! Այսքանը: Փոխարինեք զրո բանաձևի փոխարեն գ,և մեզ մոտ ամեն ինչ կստացվի: Նմանապես երկրորդ օրինակով. Միայն զրո մենք այստեղ չունենք -ից, բայց բ !

Բայց թերի քառակուսի հավասարումները շատ ավելի հեշտ են լուծվում։ Առանց որևէ բանաձևի. Դիտարկենք առաջինը թերի հավասարում. Ինչ կարելի է անել ձախ կողմում: Դուք կարող եք հանել X-ը փակագծերից: Եկեք հանենք այն:

Իսկ ի՞նչ: Եվ այն, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործոններից որևէ մեկը հավասար է զրոյի: Չե՞ք հավատում: Դե, ուրեմն եկեք երկու ոչ զրոյական թվեր, որոնք բազմապատկելուց զրո կտան։
Չի աշխատում? Ինչ - որ բան...
Այսպիսով, մենք կարող ենք վստահորեն գրել. x 1 = 0, x 2 = 4.

Ամեն ինչ. Սրանք կլինեն մեր հավասարման արմատները: Երկուսն էլ տեղավորվում են: Դրանցից որևէ մեկը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք ճիշտ նույնականությունը 0 = 0: Ինչպես տեսնում եք, լուծումը շատ ավելի պարզ է, քան ընդհանուր բանաձևը: Նշում եմ, ի դեպ, որ X-ը կլինի առաջինը, իսկ որը՝ երկրորդը, բացարձակ անտարբեր է։ Հեշտ է գրել հերթականությամբ x 1- որն ավելի քիչ է x 2- այն, ինչ ավելին է:

Երկրորդ հավասարումը նույնպես հեշտությամբ կարելի է լուծել. Մենք 9-ը տեղափոխում ենք աջ կողմ: Մենք ստանում ենք.

Մնում է արմատը հանել 9-ից, և վերջ։ Ստանալ:

նաև երկու արմատ . x 1 = -3, x 2 = 3.

Այսպես են լուծվում բոլոր թերի քառակուսի հավասարումները։ Կամ փակագծերից հանելով x, կամ պարզ փոխանցումթվերը դեպի աջ, որին հաջորդում է արմատի արդյունահանումը:
Չափազանց դժվար է շփոթել այս մեթոդները։ Պարզապես այն պատճառով, որ առաջին դեպքում պետք է արմատը հանել X-ից, ինչը ինչ-որ կերպ անհասկանալի է, իսկ երկրորդ դեպքում փակագծերից հանելու բան չկա…

Խտրական. Խտրական բանաձեւ.

Կախարդական բառ խտրական ! Ավագ դպրոցի հազվագյուտ աշակերտ այս բառը չի լսել: «Որոշիր խտրականի միջոցով» արտահայտությունը հուսադրող և հուսադրող է: Որովհետև խտրականի կողմից հնարքների սպասել պետք չէ։ Կառավարման մեջ պարզ է և անփորձանք։) Ամենաշատը հիշեցնում եմ ընդհանուր բանաձեւլուծումների համար ցանկացածքառակուսի հավասարումներ.

Արմատային նշանի տակ եղած արտահայտությունը կոչվում է դիսկրիմինանտ։ Տարբերիչը սովորաբար նշվում է տառով Դ. Խտրական բանաձեւ.

D = b 2 - 4ac

Իսկ ինչո՞վ է առանձնահատուկ այս արտահայտությունը։ Ինչու է այն արժանի հատուկ անունի: Ինչ խտրականի իմաստը.Ամենից հետո -բ,կամ 2 աայս բանաձեւում նրանք կոնկրետ չեն անվանում ... Նամակներ և տառեր:

Բանն այս է. Այս բանաձեւով քառակուսի հավասարումը լուծելիս հնարավոր է ընդամենը երեք դեպք.

1. Խտրականը դրական է.Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք արմատը հանել դրանից: Արմատը լավ է հանվում, թե վատ, այլ հարց է։ Կարեւոր է, թե ինչ է արդյունահանվում սկզբունքորեն։ Այսպիսով, ձեր քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի: Երկու տարբեր լուծումներ.

2. Խտրականը զրո է։Ապա դուք ունեք մեկ լուծում. Քանի որ համարիչում զրո գումարելը կամ հանելը ոչինչ չի փոխում։ Խիստ ասած՝ սա մեկ արմատ չէ, այլ երկու նույնական. Բայց, պարզեցված տարբերակով, ընդունված է խոսել մեկ լուծում.

3. Խտրականը բացասական է.Բացասական թիվը չի վերցնում քառակուսի արմատը: Դե, լավ: Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Ճիշտն ասած, ժամը պարզ լուծումքառակուսի հավասարումներ, դիսկրիմինանտ հասկացությունը առանձնապես պարտադիր չէ: Բանաձևում փոխարինում ենք գործակիցների արժեքները և համարում ենք. Այնտեղ ամեն ինչ ինքն իրեն է ստացվում, և երկու արմատ, և մեկ, և ոչ մեկ: Սակայն ավելին լուծելիս դժվար առաջադրանքներ, առանց իմանալու իմաստը և տարբերակիչ բանաձևըբավարար չէ. Հատկապես - պարամետրերով հավասարումների մեջ: Նման հավասարումները օդաչուական են GIA-ի և միասնական պետական ​​քննության համար):

Այսպիսով, ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներքո հիշած խտրականի միջոցով: Կամ սովորել, որը նույնպես վատ չէ։) Դուք գիտեք, թե ինչպես ճիշտ նույնականացնել ա, բ և գ. Գիտե՞ք ինչպես ուշադիրդրանք փոխարինել արմատային բանաձևով և ուշադիրհաշվել արդյունքը. Հասկացա՞ք, որ այստեղ հիմնական բառն է. ուշադիր?

Այժմ ուշադրություն դարձրեք գործնական մեթոդներին, որոնք կտրուկ նվազեցնում են սխալների թիվը: Հենց նրանք, որոնք անուշադրության պատճառով են… որոնց համար հետո ցավալի է և վիրավորական…

Առաջին ընդունելություն . Մի ծուլացեք քառակուսի հավասարումը լուծելուց առաջ՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար: Ինչ է սա նշանակում?
Ենթադրենք, ցանկացած փոխակերպումից հետո դուք ստանում եք հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատների բանաձեւը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունները ա, բ և գ.Ճիշտ կառուցիր օրինակը։ Նախ՝ x քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ անդամ։ Սրա նման:

Եվ կրկին, մի շտապեք: X-ի քառակուսի առաջ մինուսը կարող է ձեզ շատ տխրեցնել: Մոռանալը հեշտ է... Ազատվեք մինուսից։ Ինչպե՞ս: Այո, ինչպես ուսուցանվեց նախորդ թեմայում: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Եվ այժմ դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և լրացնել օրինակը: Որոշեք ինքներդ: Դուք պետք է ավարտեք 2-րդ և -1 արմատներով:

Երկրորդ ընդունելություն. Ստուգեք ձեր արմատները: Վիետայի թեորեմի համաձայն. Մի անհանգստացեք, ես ամեն ինչ կբացատրեմ: Ստուգում վերջին բանըհավասարումը։ Նրանք. այն, որով մենք գրեցինք արմատների բանաձևը. Եթե ​​(ինչպես այս օրինակում) գործակիցը a = 1, հեշտությամբ ստուգեք արմատները: Բավական է դրանք բազմապատկել։ Դուք պետք է ստանաք անվճար ժամկետ, այսինքն. մեր դեպքում -2. Ուշադրություն դարձրեք, ոչ թե 2, այլ -2: ազատ անդամ ձեր նշանով . Եթե ​​դա չի ստացվել, նշանակում է, որ նրանք արդեն ինչ-որ տեղ խառնվել են: Փնտրեք սխալ:

Եթե ​​ստացվեց, պետք է արմատները ծալել։ Վերջին և վերջնական ստուգում. Պետք է լինի հարաբերակցություն բ-ից հակառակը նշան. Մեր դեպքում -1+2 = +1: Գործակից բ, որը x-ից առաջ է, հավասար է -1-ի: Այսպիսով, ամեն ինչ ճիշտ է:
Ափսոս, որ այդքան պարզ է միայն այն օրինակների համար, որտեղ x քառակուսին մաքուր է, գործակիցով a = 1.Բայց գոնե ստուգեք նման հավասարումների մեջ։ Ամեն ինչ ավելի քիչ սխալներկամք.

Ընդունելություն երրորդ . Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկե՛ք հավասարումը ընդհանուր հայտարարով, ինչպես նկարագրված է «Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ. ինքնության փոխակերպումներ» դասում։ Կոտորակների, սխալների հետ աշխատելիս, չգիտես ինչու, բարձրանալ ...

Ի դեպ, ես խոստացա մի չար օրինակ՝ մի շարք մինուսներով պարզեցնելու համար։ Խնդրում եմ։ Ահա նա։

Մինուսների մեջ չշփոթվելու համար հավասարումը բազմապատկում ենք -1-ով։ Մենք ստանում ենք.

Այսքանը: Որոշում կայացնելը զվարճալի է:

Այսպիսով, եկեք ամփոփենք թեման:

Գործնական խորհուրդներ:

1. Մինչ լուծելը քառակուսային հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի, կառուցում ճիշտ.

2. Եթե քառակուսիում x-ի դիմաց բացասական գործակից կա, այն վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով -1-ով:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը համապատասխան գործակցով բազմապատկելով։

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը մեկին հավասար, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել Վիետայի թեորեմով։ Արա!

Այժմ դուք կարող եք որոշել:)

Լուծել հավասարումներ.

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Պատասխաններ (խառնաշփոթ).

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - ցանկացած թիվ

x 1 = -3
x 2 = 3

լուծումներ չկան

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0.5

Արդյո՞ք ամեն ինչ տեղավորվում է: Լավ! Քառակուսի հավասարումները ձերը չեն գլխացավանք. Առաջին երեքը ստացվեցին, իսկ մնացածը՝ ոչ։ Ապա խնդիրը քառակուսի հավասարումների մեջ չէ։ Խնդիրը հավասարումների նույնական փոխակերպումների մեջ է։ Նայեք հղումը, այն օգտակար է:

Միանգամայն չի աշխատում: Կամ ընդհանրապես չի ստացվում? Այնուհետև ձեզ կօգնի 555-րդ բաժինը, որտեղ այս բոլոր օրինակները դասավորված են ըստ ոսկորների: Ցուցադրվում է հիմնականլուծման սխալներ. Իհարկե, դա խոսում է նաև օգտագործման մասին նույնական փոխակերպումներտարբեր հավասարումներ լուծելիս։ Օգնում է շատ!

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

», այսինքն՝ առաջին աստիճանի հավասարումներ։ Այս դասում մենք կուսումնասիրենք ինչ է քառակուսային հավասարումըև ինչպես լուծել այն:

Ինչ է քառակուսի հավասարումը

Կարևոր!

Հավասարման աստիճանը որոշվում է անհայտի ամենաբարձր աստիճանով:

Եթե ​​անհայտի առավելագույն աստիճանը «2» է, ապա դուք ունեք քառակուսի հավասարում:

Քառակուսային հավասարումների օրինակներ

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Կարևոր! Քառակուսային հավասարման ընդհանուր ձևն ունի հետևյալ տեսքը.

A x 2 + b x + c = 0

«ա», «բ» և «գ» - տրված թվեր:

• «ա» - առաջին կամ ավագ գործակիցը.
• «բ» - երկրորդ գործակիցը;
• «c»-ն ազատ անդամ է։

«a», «b» և «c» գտնելու համար հարկավոր է ձեր հավասարումը համեմատել «ax 2 + bx + c \u003d 0» քառակուսի հավասարման ընդհանուր ձևի հետ:

Փորձենք որոշել «a», «b» և «c» գործակիցները քառակուսի հավասարումներում։

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Հավասարումը	Հնարավորություններ
a=5 b = −14 գ = 17
a = −7 b = −13 գ = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• գ =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ

Ի տարբերություն գծային հավասարումներքառակուսի հավասարումներ լուծելու համար, հատուկ արմատներ գտնելու բանաձև.

Հիշիր.

Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

• բերել քառակուսի հավասարումը ընդհանուր տեսարան«կացին 2 + bx + c = 0»: Այսինքն՝ աջ կողմում պետք է մնա միայն «0»-ը;
• օգտագործել արմատների բանաձեւը.

Եկեք օրինակ օգտագործենք՝ պարզելու համար, թե ինչպես կիրառել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը: Լուծենք քառակուսի հավասարումը.

X 2 - 3x - 4 = 0

«x 2 - 3x - 4 = 0» հավասարումը արդեն կրճատվել է «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևի և լրացուցիչ պարզեցումներ չի պահանջում։ Այն լուծելու համար մեզ միայն անհրաժեշտ է դիմել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Այս հավասարման համար սահմանենք «ա», «բ» և «գ» գործակիցները։

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Նրա օգնությամբ լուծվում է ցանկացած քառակուսի հավասարում։

«x 1; 2 \u003d» բանաձևում արմատային արտահայտությունը հաճախ փոխարինվում է
«b 2 − 4ac» «D» տառին և անվանել դիսկրիմինանտ: Խտրականացնող հասկացությունն առավել մանրամասն քննարկվում է «Ի՞նչ է դիսկրիմինանտը» դասում։

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման մեկ այլ օրինակ:

x 2 + 9 + x = 7x

Այս ձևով բավականին դժվար է որոշել «ա», «բ», «գ» գործակիցները։ Եկեք նախ հավասարումը բերենք «ax 2 + bx + c \u003d 0» ընդհանուր ձևին:

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել արմատների բանաձեւը.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x=

6

2

x=3
Պատասխան՝ x = 3

Լինում են դեպքեր, երբ քառակուսի հավասարումների մեջ արմատներ չկան: Այս իրավիճակն առաջանում է, երբ արմատի տակ բանաձեւում բացասական թիվ է հայտնվում։