Գտե՛ք ուղիղ տրված հավասարումների անկյունը: Անկյուն գծերի միջև

Սահմանում.Եթե երկու ուղիղ տրվի y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , ապա այս ուղիղների միջև սուր անկյունը կսահմանվի որպես.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2 : Երկու ուղիղ ուղղահայաց են, եթե k 1 = -1/ k 2:

Թեորեմ. Ax + Vy + C \u003d 0 և A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ուղիղները զուգահեռ են, երբ A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB գործակիցները համաչափ են: Եթե նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը

Այս գծին ուղղահայաց

Սահմանում. M 1 (x 1, y 1) կետով անցնող և y \u003d kx + b ուղիղին ուղղահայաց ուղիղը ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող

Թեորեմ.Եթե տրված է M(x 0, y 0) կետ, ապա Ax + Vy + C \u003d 0 գծի հեռավորությունը սահմանվում է որպես

Ապացույց.Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղղին իջած ուղղահայաց հիմքը։ Այնուհետև M և M 1 կետերի միջև հեռավորությունը.

(1)

x 1 և y 1 կոորդինատները կարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։ Եթե համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ. Որոշե՛ք տողերի միջև եղած անկյունը՝ y = -3 x + 7; y = 2 x + 1:

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Օրինակ. Ցույց տվեք, որ 3x - 5y + 7 = 0 և 10x + 6y - 3 = 0 ուղիղները ուղղահայաց են:

Որոշում. Մենք գտնում ենք՝ k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, հետևաբար, գծերն ուղղահայաց են:

Օրինակ. Տրված են A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) եռանկյան գագաթները։ Գտեք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը:

Որոշում. Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը. ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Բարձրության ցանկալի հավասարումն է` Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b: k =. Այնուհետև y =: Որովհետեւ բարձրությունը անցնում է C կետով, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը: որտեղից b = 17. Ընդհանուր՝ .

Պատասխան՝ 3x + 2y - 34 = 0:

Տրված կետով տվյալ ուղղությամբ անցնող ուղիղի հավասարումը. Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Անկյուն երկու գծերի միջև: Երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայման. Երկու ուղիղների հատման կետի որոշում

1. Տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը Ա(x 1 , y 1) տվյալ ուղղությամբ, որը որոշվում է թեքությամբ կ,

y - y 1 = կ(x - x 1). (1)

Այս հավասարումը սահմանում է կետի միջով անցնող գծերի մատիտ Ա(x 1 , y 1), որը կոչվում է ճառագայթի կենտրոն:

2. Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Ա(x 1 , y 1) և Բ(x 2 , y 2) գրված է այսպես.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի թեքությունը որոշվում է բանաձևով

3. Անկյուն ուղիղ գծերի միջև Աև Բայն անկյունն է, որով պետք է պտտվի առաջին ուղիղ գիծը Աայս գծերի հատման կետի շուրջը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, մինչև այն համընկնի երկրորդ գծի հետ Բ. Եթե թեքության հավասարումներով տրված են երկու ուղիղ

y = կ 1 x + Բ 1 ,

y = կ 2 x + Բ 2 , (4)

ապա նրանց միջև անկյունը որոշվում է բանաձևով

Հարկ է նշել, որ կոտորակի համարիչում առաջին ուղիղ գծի թեքությունը հանվում է երկրորդ ուղիղ գծի թեքությունից։

Եթե տրված են ուղիղ գծի հավասարումները ընդհանուր տեսարան

Ա 1 x + Բ 1 y + Գ 1 = 0,

Ա 2 x + Բ 2 y + Գ 2 = 0, (6)

նրանց միջև անկյունը որոշվում է բանաձևով

4. Երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանները.

ա) Եթե ուղիղները տրված են (4) հավասարումներով թեքությամբ, ապա դրանց զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը նրանց թեքությունների հավասարությունն է.

կ 1 = կ 2 . (8)

բ) Այն դեպքում, երբ ուղիղները տրված են ընդհանուր (6) ձևով հավասարումներով, դրանց զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանն այն է, որ դրանց հավասարումների համապատասխան ընթացիկ կոորդինատների գործակիցները համաչափ լինեն, այսինքն.

5. Երկու ուղիղների ուղղահայացության պայմանները.

ա) Այն դեպքում, երբ գծերը տրված են (4) հավասարումներով թեքությամբ, դրանց ուղղահայացության անհրաժեշտ և բավարար պայմանն այն է, որ դրանք. թեքության գործոններմեծությամբ փոխադարձ են, իսկ նշանով՝ հակառակ, այսինքն.

Այս պայմանը կարող է գրվել նաև ձևով

կ 1 կ 2 = -1. (11)

բ) Եթե ուղիղ գծերի հավասարումները տրված են ընդհանուր տեսքով (6), ապա դրանց ուղղահայացության (անհրաժեշտ և բավարար) պայմանը հավասարության կատարումն է.

Ա 1 Ա 2 + Բ 1 Բ 2 = 0. (12)

6. Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնում ենք (6) հավասարումների համակարգը լուծելով։ (6) ուղիղները հատվում են, եթե և միայն եթե

1. Գրի՛ր M կետով անցնող ուղիղների հավասարումները, որոնցից մեկը զուգահեռ է, իսկ մյուսը ուղղահայաց է տրված l ուղղին։

անկյունՏիեզերքում ուղիղ գծերի միջև մենք կանվանենք հարակից անկյուններից որևէ մեկը, որը կազմված է տվյալներին զուգահեռ կամայական կետով գծված երկու ուղիղ գծերով:

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու ուղիղ.

Ակնհայտորեն, գծերի միջև φ անկյունը կարող է ընդունվել որպես նրանց ուղղության վեկտորների և . Քանի որ , ապա ըստ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևի մենք ստանում ենք

Երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանները համարժեք են դրանց ուղղության վեկտորների զուգահեռության և ուղղահայացության պայմաններին և.

Երկու ուղիղ զուգահեռ ենեթե և միայն եթե դրանց համապատասխան գործակիցները համամասնական են, այսինքն. լ 1 զուգահեռ լ 2 եթե և միայն զուգահեռ .

Երկու ուղիղ ուղղահայացեթե և միայն այն դեպքում, եթե համապատասխան գործակիցների արտադրյալների գումարը հավասար է զրոյի.

ժամը նպատակը գծի և հարթության միջև

Թող գիծը դ- θ հարթությանը ուղղահայաց չէ;
դ― ուղիղ գծի պրոյեկցիա դդեպի ինքնաթիռ θ;
Ուղիղ գծերի միջև եղած անկյուններից ամենափոքրը դև դ«Մենք կկանչենք անկյունը գծի և հարթության միջև.
Նշենք որպես φ=( դ,θ)
Եթե դ⊥θ, ապա ( դ,θ)=π/2

Օի→ժ→կ→− ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ.
Հարթության հավասարում.

θ: Կացին+Ըստ+cz+Դ=0

Մենք համարում ենք, որ ուղիղը տրված է կետով և ուղղության վեկտորով. դ[Մ 0,էջ→]
Վեկտոր n→(Ա,Բ,Գ)⊥θ
Այնուհետև մնում է պարզել վեկտորների միջև եղած անկյունը n→ և էջ→ նշանակեք այն որպես γ=( n→,էջ→).

Եթե անկյունը γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Եթե անկյունը γ>π/2 , ապա պահանջվող անկյուն φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Հետո, անկյունը գծի և հարթության միջևկարելի է հաշվարկել բանաձևով.

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ապ 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √Ա 2+Բ 2+Գ 2√էջ 21+էջ 22+էջ 23

Հարց 29. Քառակուսային ձևի հայեցակարգը. Քառակուսային ձևերի նշան-որոշությունը.

Քառակուսային ձև j (x 1, x 2, ..., x n) n իրական փոփոխականներ x 1, x 2, ..., x nկոչվում է ձևի գումար
, (1)

որտեղ այժ որոշ թվեր են կոչվում գործակիցներ: Առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել, որ այժ = ա ջի.

Քառակուսի ձևը կոչվում է վավեր,եթե այժ О GR. Քառակուսային ձևի մատրիցակոչվում է մատրիցա՝ կազմված իր գործակիցներից։ Քառակուսային ձևը (1) համապատասխանում է եզակի սիմետրիկ մատրիցային
այսինքն. A T = A. Հետևաբար, քառակուսի ձևը (1) կարելի է գրել մատրիցային j ձևով ( X) = x Տ Ահ, որտեղ x Տ = (X 1 X 2 … x n). (2)

Եվ հակառակը, ցանկացած սիմետրիկ մատրից (2) համապատասխանում է եզակի քառակուսի ձևի՝ մինչև փոփոխականների նշումը։

Քառակուսի ձևի աստիճանըկոչվում է իր մատրիցայի աստիճան: Քառակուսի ձևը կոչվում է ոչ այլասերված,եթե դրա մատրիցը ոչ եզակի է ԲԱՅՑ. (հիշենք, որ մատրիցը ԲԱՅՑկոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա որոշիչը չէ զրո): Հակառակ դեպքում, քառակուսի ձևը այլասերված է:

դրական որոշակի(կամ խիստ դրական), եթե

ժ ( X) > 0 , ցանկացածի համար X = (X 1 , X 2 , …, x n), Բացի այդ X = (0, 0, …, 0).

Մատրիցա ԲԱՅՑդրական որոշակի քառակուսի ձև j ( X) կոչվում է նաև դրական որոշիչ։ Հետևաբար, դրական հստակ քառակուսի ձևը համապատասխանում է եզակի դրական որոշակի մատրիցին և հակառակը:

Քառակուսային ձևը (1) կոչվում է բացասական որոշակի(կամ խիստ բացասական), եթե

ժ ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Բացի այդ X = (0, 0, …, 0).

Նմանապես, ինչպես վերևում, բացասական-որոշակի քառակուսի մատրիցը կոչվում է նաև բացասական-որոշակի:

Հետևաբար, դրական (բացասական) որոշակի քառակուսի ձև j ( X) հասնում է նվազագույն (առավելագույն) արժեքին j ( X*) = 0 համար X* = (0, 0, …, 0).

Նկատենք, որ քառակուսի ձևերի մեծ մասը նշան-որոշ չեն, այսինքն՝ ոչ դրական են, ոչ բացասական։ Նման քառակուսի ձևերը անհետանում են ոչ միայն կոորդինատային համակարգի սկզբում, այլև այլ կետերում։

Երբ n> 2, քառակուսի ձևի նշանի որոշակիությունը ստուգելու համար պահանջվում են հատուկ չափանիշներ: Դիտարկենք դրանք։

Խոշոր անչափահասներքառակուսի ձևերը կոչվում են անչափահասներ.

այսինքն՝ սրանք 1, 2,… կարգի անչափահասներ են, nմատրիցներ ԲԱՅՑգտնվում է ձախ կողմում վերին անկյուն, դրանցից վերջինը համընկնում է մատրիցայի որոշիչի հետ ԲԱՅՑ.

Դրական որոշակիության չափանիշ (Սիլվեստրի չափանիշ)

X) = x Տ Ահդրական որոշակի է, անհրաժեշտ է և բավարար, որ մատրիցայի բոլոր հիմնական անչափահասները ԲԱՅՑդրական էին, այսինքն. Մ 1 > 0, Մ 2 > 0, …, Մ ն > 0. Բացասական որոշակիության չափանիշ Որպեսզի քառակուսի ձևը j ( X) = x Տ Ահբացասական որոշիչ է, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա զույգ կարգի հիմնական փոքրերը լինեն դրական, իսկ կենտ կարգիները՝ բացասական, այսինքն. Մ 1 < 0, Մ 2 > 0, Մ 3 < 0, …, (–1)n

ԱՆԿՅՈՒՆԻ ՄԻՋԵՎ ԻՆՔՆԱԹԻՐՆԵՐԻ

Դիտարկենք α 1 և α 2 երկու հարթություններ, որոնք տրված են համապատասխանաբար հավասարումներով.

Տակ անկյուներկու հարթությունների միջև մենք կհասկանանք դրանցից մեկը dihedral անկյուններձևավորվել են այս ինքնաթիռներով: Ակնհայտ է, որ նորմալ վեկտորների և α 1 և α 2 հարթությունների միջև անկյունը հավասար է նշված հարակից երկփեղկ անկյուններից մեկին կամ . Այսպիսով . Որովհետեւ և , ապա

Օրինակ.Որոշեք հարթությունների միջև եղած անկյունը x+2y-3զ+4=0 և 2 x+3y+զ+8=0.

Երկու հարթությունների զուգահեռության պայման.

Երկու հարթություններ α 1 և α 2 զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները և զուգահեռ են, և հետևաբար .

Այսպիսով, երկու հարթություններ միմյանց զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համապատասխան կոորդինատների գործակիցները համաչափ են.

կամ

Հարթությունների ուղղահայացության պայմանը.

Հասկանալի է, որ երկու հարթություններ ուղղահայաց են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները ուղղահայաց են, և, հետևաբար, կամ .

Այսպիսով, .

Օրինակներ.

ՈՒՂԻՂ Տիեզերքում.

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ ՈՒՂԻՂ.

ՊԱՐԱՄԵՏՐԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ՈՒՂԻՂ

Ուղիղ գծի դիրքը տարածության մեջ ամբողջությամբ որոշվում է՝ նշելով դրա ֆիքսված կետերից որևէ մեկը Մ 1 և այս ուղիղին զուգահեռ վեկտոր:

Ուղիղ գծին զուգահեռ վեկտորը կոչվում է ուղղորդողայս գծի վեկտորը.

Այնպես որ, թող ուղիղ լանցնում է մի կետով Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) ընկած է վեկտորին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա:

Դիտարկենք մի կամայական կետ M(x,y,z)ուղիղ գծի վրա. Նկարից երևում է, որ .

Վեկտորները և համագիծ են, ուստի կա այդպիսի թիվ տ, ինչ , որտեղ է բազմապատկիչը տկարող է վերցնել ցանկացած թվային արժեք՝ կախված կետի դիրքից Մուղիղ գծի վրա. Գործոն տկոչվում է պարամետր: Նշելով կետերի շառավղային վեկտորները Մ 1 և Մհամապատասխանաբար, միջոցով և , մենք ստանում ենք . Այս հավասարումը կոչվում է վեկտորուղիղ գծի հավասարում. Այն ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր պարամետրի արժեքը տհամապատասխանում է ինչ-որ կետի շառավիղի վեկտորին Մուղիղ գծի վրա պառկած.

Այս հավասարումը գրում ենք կոորդինատային տեսքով։ Ուշադրություն դարձրեք, որ, և այստեղից

Ստացված հավասարումները կոչվում են պարամետրայինուղիղ գծերի հավասարումներ.

Պարամետրը փոխելիս տկոորդինատները փոխվում են x, yև զև կետ Մշարժվում է ուղիղ գծով.

ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ՈՒՂԻՂ

Թող լինի Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) - ուղիղ գծի վրա ընկած կետ լ, և նրա ուղղության վեկտորն է: Կրկին վերցրեք կամայական կետ ուղիղ գծի վրա M(x,y,z)և հաշվի առեք վեկտորը:

Հասկանալի է, որ վեկտորները և վեկտորները համակողմանի են, ուստի դրանց համապատասխան կոորդինատները պետք է լինեն համաչափ, հետևաբար.

– կանոնականուղիղ գծերի հավասարումներ.

Դիտողություն 1.Նշենք, որ գծի կանոնական հավասարումները կարելի է ստանալ պարամետրային հավասարումներից՝ վերացնելով պարամետրը տ. Իրոք, պարամետրային հավասարումներից մենք ստանում ենք կամ .

Օրինակ.Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը պարամետրային եղանակով։

Նշանակել , հետևաբար x = 2 + 3տ, y = –1 + 2տ, զ = 1 –տ.

Դիտողություն 2.Թող ուղիղը ուղղահայաց լինի կոորդինատային առանցքներից մեկին, օրինակ՝ առանցքին Եզ. Այնուհետև ուղղի ուղղության վեկտորը ուղղահայաց է Եզ, հետևաբար, մ=0. Հետևաբար, ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները ձև են ստանում

Պարամետրը հավասարումներից հեռացնելը տ, ձևով ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումները

Այնուամենայնիվ, այս դեպքում ևս համաձայն ենք ձևով գրել ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները . Այսպիսով, եթե կոտորակներից մեկի հայտարարը զրո է, ապա դա նշանակում է, որ ուղիղը ուղղահայաց է համապատասխան կոորդինատային առանցքին։

Նմանապես, կանոնական հավասարումները համապատասխանում է առանցքներին ուղղահայաց ուղիղ գծի Եզև Օյկամ զուգահեռ առանցք Օզ.

Օրինակներ.

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ՈՒՂԻՂ ԳԻԾ ՈՐՊԵՍ ԵՐԿՈՒ ՀԱՍԱՐԱԿՆԵՐԻ ԿԱՏԱՐՄԱՆ ԳԻԾ.

Տիեզերքում յուրաքանչյուր ուղիղ գծի միջով անցնում է անսահման թվով հարթություններ: Նրանցից ցանկացած երկուսը, հատվելով, սահմանում են այն տարածության մեջ: Հետևաբար, ցանկացած երկու նման հարթությունների հավասարումները, միասին դիտարկված, այս ուղիղի հավասարումներ են:

Ընդհանուր առմամբ, ընդհանուր հավասարումներով տրված ցանկացած երկու ոչ զուգահեռ հարթություններ

որոշել դրանց հատման գիծը. Այս հավասարումները կոչվում են ընդհանուր հավասարումներուղիղ.

Օրինակներ.

Կառուցեք ուղիղ գիծ, որը տրված է հավասարումներով

Գիծ կառուցելու համար բավական է գտնել դրա ցանկացած երկու կետ։ Ամենահեշտ ձևը կոորդինատային հարթությունների հետ գծի հատման կետերն ընտրելն է։ Օրինակ՝ հարթության հետ հատման կետը xOyմենք ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումներից՝ ենթադրելով զ= 0:

Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք կետը Մ 1 (1;2;0).

Նմանապես, ենթադրելով y= 0, մենք ստանում ենք գծի հատման կետը հարթության հետ xOz:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներից կարելի է անցնել նրա կանոնական կամ պարամետրային հավասարումներին։ Դա անելու համար հարկավոր է ինչ-որ կետ գտնել Մ 1 գծի վրա և գծի ուղղության վեկտորը:

Կետերի կոորդինատները Մ 1 մենք ստանում ենք այս հավասարումների համակարգից՝ կոորդինատներից մեկին տալով կամայական արժեք: Ուղղության վեկտորը գտնելու համար նշենք, որ այս վեկտորը պետք է ուղղահայաց լինի երկու նորմալ վեկտորներին և . Հետևաբար, ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի համար լԴուք կարող եք վերցնել նորմալ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը.

Օրինակ.Տրե՛ք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումները կանոնական ձևին.

Գտեք մի կետ ուղիղ գծի վրա: Դա անելու համար մենք կամայականորեն ընտրում ենք կոորդինատներից մեկը, օրինակ. y= 0 և լուծել հավասարումների համակարգը.

Ուղի սահմանող հարթությունների նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ Հետեւաբար, ուղղության վեկտորը կլինի ուղիղ

. Հետևաբար, լ: .

ԱՆԿՅՈՒՆ ԻՐԱՎՈՒՆՔՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու ուղիղ.

Ես հակիրճ կլինեմ. Երկու տողերի միջև ընկած անկյունը հավասար է նրանց ուղղության վեկտորների միջև եղած անկյունին: Այսպիսով, եթե ձեզ հաջողվի գտնել a \u003d (x 1; y 1; z 1) և b \u003d (x 2; y 2; z 2) ուղղության վեկտորների կոորդինատները, ապա կարող եք գտնել անկյունը: Ավելի ճիշտ, անկյան կոսինուսն ըստ բանաձևի.

Տեսնենք, թե ինչպես է այս բանաձևը աշխատում կոնկրետ օրինակների վրա.

Առաջադրանք. E և F կետերը նշված են ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդի մեջ՝ համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը: Գտե՛ք անկյունը AE և BF ուղիղների միջև։

Քանի որ խորանարդի եզրը նշված չէ, մենք սահմանում ենք AB = 1: Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ. սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, իսկ x, y, z առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 երկայնքով: . Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1-ի: Այժմ եկեք գտնենք մեր տողերի ուղղության վեկտորների կոորդինատները:

Գտե՛ք AE վեկտորի կոորդինատները: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ են միավորներ A = (0; 0; 0) և E = (0.5; 0; 1): Քանի որ E կետը A 1 B 1 հատվածի միջինն է, դրա կոորդինատները հավասար են ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականին: Նկատի ունեցեք, որ AE վեկտորի ծագումը համընկնում է ծագման հետ, ուստի AE = (0.5; 0; 1):

Այժմ անդրադառնանք BF վեկտորին: Նմանապես, մենք վերլուծում ենք B = (1; 0; 0) և F = (1; 0.5; 1) կետերը, քանի որ. F - B 1 C 1 հատվածի կեսը: Մենք ունենք:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1):

Այսպիսով, ուղղության վեկտորները պատրաստ են: Գծերի միջև անկյան կոսինուսը ուղղության վեկտորների միջև անկյան կոսինուսն է, ուստի մենք ունենք.

Առաջադրանք. Կանոնավոր եռանկյուն ABCA 1 B 1 C 1 պրիզմայում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են D և E կետերը՝ համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը: Գտեք անկյունը AD և BE տողերի միջև:

Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ. սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, x-առանցքը ուղղված է AB երկայնքով, z-ը AA 1 երկայնքով: Մենք ուղղում ենք y առանցքը, որպեսզի OXY հարթությունը համընկնի ABC հարթության հետ: Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1-ի: Գտե՛ք ցանկալի գծերի ուղղության վեկտորների կոորդինատները:

Նախ, եկեք գտնենք AD վեկտորի կոորդինատները: Հաշվի առեք կետերը. A = (0; 0; 0) և D = (0.5; 0; 1), քանի որ D - A 1 B 1 հատվածի կեսը: Քանի որ AD վեկտորի սկիզբը համընկնում է ծագման հետ, մենք ստանում ենք AD = (0.5; 0; 1):

Այժմ եկեք գտնենք BE վեկտորի կոորդինատները։ Բ կետը = (1; 0; 0) հեշտ է հաշվարկել: E կետով - C 1 B 1 հատվածի կեսը - մի փոքր ավելի դժվար: Մենք ունենք:

Մնում է գտնել անկյան կոսինուսը.

Առաջադրանք. Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայում ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են K և L կետերը՝ A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը, համապատասխանաբար. Գտեք անկյունը AK և BL ուղիղների միջև:

Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ պրիզմայի համար. կոորդինատների սկզբնաղբյուրը տեղադրում ենք ստորին հիմքի կենտրոնում, x առանցքը ուղղում ենք FC երկայնքով, y առանցքը AB և DE հատվածների միջնակետերի միջով, իսկ z առանցքը: ուղղահայաց դեպի վեր: Միավոր հատվածը կրկին հավասար է AB = 1-ի: Եկեք գրենք մեզ հետաքրքրող կետերի կոորդինատները.

K և L կետերը համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 հատվածների միջնակետերն են, ուստի դրանց կոորդինատները հայտնաբերվում են միջին թվաբանականի միջոցով: Իմանալով կետերը՝ մենք գտնում ենք AK և BL ուղղության վեկտորների կոորդինատները.

Հիմա եկեք գտնենք անկյան կոսինուսը.

Առաջադրանք. Աջ կողմում քառանկյուն բուրգ SABCD, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են E և F կետերը՝ համապատասխանաբար SB և SC կողմերի միջնակետերը։ Գտե՛ք անկյունը AE և BF ուղիղների միջև։

Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ. սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, x և y առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB և AD երկայնքով, իսկ z առանցքը ուղղահայաց դեպի վեր: Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1:

E և F կետերը համապատասխանաբար SB և SC հատվածների միջնակետերն են, ուստի դրանց կոորդինատները հայտնաբերվում են որպես ծայրերի միջին թվաբանական: Մենք գրում ենք մեզ հետաքրքրող կետերի կոորդինատները.
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)