C 14 թվաբանական քառակուսի արմատ: Ինչպես ձեռքով գտնել թվի քառակուսի արմատը

Մաթեմատիկան ծնվել է այն ժամանակ, երբ մարդը գիտակցել է իր մասին և սկսել իրեն դիրքավորել որպես աշխարհի ինքնավար միավոր: Մեր օրերի հիմնարար գիտություններից մեկի հիմքում ընկած է այն, ինչ ձեզ շրջապատում է չափելու, համեմատելու, հաշվարկելու ցանկությունը: Սկզբում սրանք տարրական մաթեմատիկայի կտորներ էին, որոնք հնարավորություն էին տալիս թվերը կապել նրանց ֆիզիկական արտահայտությունների հետ, հետագայում եզրակացությունները սկսեցին ներկայացվել միայն տեսականորեն (դրանց վերացականության պատճառով), բայց որոշ ժամանակ անց, ինչպես ասում էր մի գիտնական. մաթեմատիկան հասավ բարդության առաստաղին, երբ բոլոր թվերը »: Հայեցակարգ» Քառակուսի արմատ«հայտնվել է այն ժամանակ, երբ այն հեշտությամբ կարող էր կրկնօրինակվել էմպիրիկ տվյալների հետ՝ դուրս գալով հաշվարկների հարթությունից:

Ինչպես ամեն ինչ սկսվեց

Արմատի առաջին հիշատակումը, որը վրա այս պահիննշվում է որպես √, գրանցվել է բաբելոնացի մաթեմատիկոսների գրվածքներում, որոնք հիմք են դրել ժամանակակից թվաբանությանը։ Իհարկե, դրանք մի փոքր նման էին ներկայիս ձևին՝ այն տարիների գիտնականներն առաջին անգամ օգտագործեցին մեծածավալ հաբեր։ Սակայն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում։ ե. նրանք եկան մոտավոր հաշվարկման բանաձև, որը ցույց էր տալիս, թե ինչպես կարելի է վերցնել քառակուսի արմատը: Ստորև բերված լուսանկարը ցույց է տալիս մի քար, որի վրա բաբելոնացի գիտնականները փորագրել են ելքային գործընթացը √2, և այն այնքան ճիշտ է պարզվել, որ պատասխանի անհամապատասխանությունը հայտնաբերվել է միայն տասներորդ տասնորդական տեղում:

Բացի այդ, արմատն օգտագործվում էր, եթե անհրաժեշտ էր գտնել եռանկյան կողմը, պայմանով, որ մյուս երկուսը հայտնի լինեն: Դե, քառակուսի հավասարումներ լուծելիս արմատը հանելուց փախուստ չկա։

Բաբելոնյան աշխատությունների հետ մեկտեղ հոդվածի առարկան ուսումնասիրվել է նաև չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքում» աշխատությունում, և հին հույները եկել են այն եզրակացության, որ ցանկացած թիվ, որից արմատը չի հանվում առանց մնացորդի, տալիս է իռացիոնալ արդյունք։ .

Այս տերմինի ծագումը կապված է թվի արաբական ներկայացման հետ. հին գիտնականները կարծում էին, որ կամայական թվի քառակուսին աճում է արմատից, ինչպես բույսը: Լատիներեն այս բառը հնչում է որպես radix (կարելի է հետևել օրինաչափությանը. այն ամենը, ինչ ունի «արմատ» իմաստային բեռ, համահունչ է, լինի դա բողկ, թե ռադիկուլիտ):

Հետագա սերունդների գիտնականներն ընդունեցին այս գաղափարը՝ այն անվանելով Rx: Օրինակ՝ 15-րդ դարում, որպեսզի նշեն, որ քառակուսի արմատը վերցված է կամայական ա թվից, գրել են Ռ 2 ա։ Սովորական ժամանակակից տեսք«տիզը» √ հայտնվել է միայն 17-րդ դարում Ռենե Դեկարտի շնորհիվ։

Մեր օրերը

Մաթեմատիկորեն y-ի քառակուսի արմատը այն z թիվն է, որի քառակուսին y է: Այլ կերպ ասած, z 2 =y-ը համարժեք է √y=z-ին: Այնուամենայնիվ, այս սահմանումը տեղին է միայն թվաբանական արմատի համար, քանի որ այն ենթադրում է արտահայտության ոչ բացասական արժեք: Այլ կերպ ասած, √y=z, որտեղ z-ը մեծ է կամ հավասար է 0-ի:

Ընդհանուր առմամբ, որը վավեր է հանրահաշվական արմատը որոշելու համար, արտահայտության արժեքը կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական: Այսպիսով, շնորհիվ z 2 =y և (-z) 2 =y, մենք ունենք՝ √y=±z կամ √y=|z|:

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկայի հանդեպ սերը միայն աճել է գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, կան դրա հանդեպ սիրո տարբեր դրսևորումներ, որոնք արտահայտված չեն չոր հաշվարկներով: Օրինակ, այնպիսի հետաքրքիր իրադարձությունների հետ, ինչպիսին է Պի օրը, նշվում են նաև քառակուսի արմատի տոները։ Հարյուր տարում դրանք նշվում են ինը անգամ և որոշվում են հետևյալ սկզբունքով՝ այն թվերը, որոնք հերթականությամբ նշում են օրն ու ամիսը, պետք է լինեն տարվա քառակուսի արմատը։ Այո, ներս հաջորդ անգամԱյս տոնը կնշվի 2016 թվականի ապրիլի 4-ին։

Քառակուսի արմատի հատկությունները դաշտի վրա Ռ

Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական արտահայտություններն ունեն երկրաչափական հիմք, այս ճակատագիրը չի անցել և √y, որը սահմանվում է որպես y մակերեսով քառակուսի կողմ:

Ինչպե՞ս գտնել թվի արմատը:

Կան մի քանի հաշվարկային ալգորիթմներ. Ամենապարզը, բայց միևնույն ժամանակ բավականին ծանրաբեռնված, սովորական թվաբանական հաշվարկն է, որը հետևյալն է.

1) այն թվից, որի արմատը մեզ անհրաժեշտ է, կենտ թվերը հերթով հանվում են, մինչև ելքի մնացորդը պակասի հանվածից կամ զույգ. զրո. Շարժումների քանակը ի վերջո կդառնա ցանկալի թիվը: Օրինակ՝ 25-ի քառակուսի արմատը հաշվարկելը.

Հետևելով կենտ թիվ 11 է, ունենք հետևյալ մնացորդը՝ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Նման դեպքերի համար կա Taylor շարքի ընդլայնում.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, որտեղ n-ը արժեքներ է ընդունում 0-ից մինչև

+∞, և |y|≤1.

z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Դիտարկենք տարրական z=√y ֆունկցիա R իրական թվերի դաշտում, որտեղ y-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Նրա աղյուսակն ունի հետևյալ տեսքը.

Կորը աճում է սկզբից և անպայման անցնում է կետը (1; 1):

R իրական թվերի դաշտում z=√y ֆունկցիայի հատկությունները

1. Դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն ներառված է):

2. Դիտարկվող ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն կրկին ներառված է):

3. Ֆունկցիան ընդունում է նվազագույն արժեքը (0) միայն (0; 0) կետում։ Առավելագույն արժեք չկա:

4. Z=√y ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

5. Z=√y ֆունկցիան պարբերական չէ։

6. Կա z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ՝ (0; 0):

7. z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը նույնպես այս ֆունկցիայի զրո է։

8. Z=√y ֆունկցիան անընդհատ աճում է։

9. Z=√y ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, հետևաբար, նրա գրաֆիկը զբաղեցնում է առաջին կոորդինատային անկյունը։

z=√y ֆունկցիան ցուցադրելու տարբերակներ

Մաթեմատիկայի մեջ բարդ արտահայտությունների հաշվարկը հեշտացնելու համար երբեմն օգտագործվում է քառակուսի արմատ գրելու ուժային ձևը՝ √y=y 1/2։ Այս տարբերակը հարմար է, օրինակ, ֆունկցիան հզորության հասցնելու համար՝ (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2: Այս մեթոդը նաև լավ ներկայացում է ինտեգրման հետ տարբերակման համար, քանի որ դրա շնորհիվ քառակուսի արմատը ներկայացված է սովորական հզորության ֆունկցիայով:

Իսկ ծրագրավորման մեջ √ նշանի փոխարինումը sqrt տառերի համակցությունն է։

Հարկ է նշել, որ այս տարածքում քառակուսի արմատը մեծ պահանջարկ ունի, քանի որ այն հաշվարկների համար անհրաժեշտ երկրաչափական բանաձևերի մեծ մասի մաս է կազմում։ Հաշվիչ ալգորիթմն ինքնին բավականին բարդ է և հիմնված է ռեկուրսիայի վրա (գործառույթ, որն իրեն կանչում է):

Քառակուսի արմատը բարդ դաշտում C

Մեծ հաշվով, հենց այս հոդվածի թեման խթանեց C բարդ թվերի դաշտի հայտնաբերումը, քանի որ մաթեմատիկոսներին հետապնդում էր բացասական թվից զույգ աստիճանի արմատ ստանալու հարցը: Այսպես հայտնվեց i երևակայական միավորը, որը բնութագրվում է մի շատ հետաքրքիր հատկությամբ՝ նրա քառակուսին -1 է։ Դրա շնորհիվ քառակուսի հավասարումները և բացասական դիսկրիմինանտով լուծում ստացան։ C-ում քառակուսի արմատի համար համապատասխան են նույն հատկությունները, ինչ R-ում, միակ բանն այն է, որ արմատական ​​արտահայտության սահմանափակումները հանվում են։

Այս հոդվածում մենք կներկայացնենք թվի արմատի հասկացությունը. Գործելու ենք հաջորդաբար՝ կսկսենք քառակուսի արմատից, դրանից կանցնենք նկարագրությանը խորանարդի արմատ, դրանից հետո ընդհանրացնում ենք արմատ հասկացությունը՝ սահմանելով n-րդ աստիճանի արմատը։ Միաժամանակ կներկայացնենք սահմանումներ, նշումներ, կտանք արմատների օրինակներ և կտանք անհրաժեշտ բացատրություններ և մեկնաբանություններ։

Քառակուսի արմատ, թվաբանական քառակուսի արմատ

Թվի արմատի և մասնավորապես քառակուսի արմատի սահմանումը հասկանալու համար պետք է ունենալ . Այս պահին մենք հաճախ կհանդիպենք թվի երկրորդ հզորության՝ թվի քառակուսու:

Սկսենք նրանից քառակուսի արմատների սահմանումներ.

Սահմանում

ա–ի քառակուսի արմատըայն թիվն է, որի քառակուսին a է:

Բերելու համար օրինակներ քառակուսի արմատներ Վերցրեք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 5, −0.3, 0.3, 0 և քառակուսիացրեք դրանք, ստանում ենք համապատասխանաբար 25, 0.09, 0.09 և 0 թվերը (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 և 0 2 =0 0=0): Այնուհետև, ըստ վերը նշված սահմանման, 5-ը 25-ի քառակուսի արմատն է, −0.3-ը և 0.3-ը 0.09-ի քառակուսի արմատներն են, իսկ 0-ը զրոյի քառակուսի արմատն է:

Հարկ է նշել, որ ոչ մի թվի համար գոյություն չունի a, որի քառակուսին հավասար է a-ի: Մասնավորապես, ցանկացած բացասական թվի համար չկա իրական թիվ b, որի քառակուսին հավասար կլինի a-ի: Իրոք, a=b 2 հավասարությունն անհնար է որևէ բացասական a-ի համար, քանի որ b 2-ը ոչ բացասական թիվ է ցանկացած b-ի համար: Այս կերպ, Իրական թվերի բազմության վրա բացասական թվի քառակուսի արմատ չկա. Այսինքն՝ իրական թվերի բազմության վրա բացասական թվի քառակուսի արմատը սահմանված չէ և իմաստ չունի։

Սա հանգեցնում է տրամաբանական հարցի. «Արդյո՞ք a-ի քառակուսի արմատ կա որևէ ոչ բացասական a-ի համար»: Պատասխանը այո է: Այս փաստի հիմնավորումը կարելի է համարել կառուցողական մեթոդ, որն օգտագործվում է քառակուսի արմատի արժեքը գտնելու համար:

Այնուհետև առաջանում է հետևյալ տրամաբանական հարցը՝ «Որքա՞ն է տրված ոչ բացասական a թվի բոլոր քառակուսի արմատների թիվը՝ մեկ, երկու, երեք, կամ նույնիսկ ավելի»։ Ահա դրա պատասխանը. եթե a-ն զրո է, ապա զրոյի միակ քառակուսի արմատը զրո է. եթե a-ն ինչ-որ դրական թիվ է, ապա a թվից քառակուսի արմատների թիվը հավասար է երկուսի, իսկ արմատները՝ . Սա հիմնավորենք.

Սկսենք a=0 դեպքից: Նախ ցույց տանք, որ զրոն իսկապես զրոյի քառակուսի արմատն է: Սա բխում է 0 2 =0·0=0 ակնհայտ հավասարությունից և քառակուսի արմատի սահմանումից։

Հիմա ապացուցենք, որ 0-ը զրոյի միակ քառակուսի արմատն է։ Եկեք օգտագործենք հակառակ մեթոդը. Ենթադրենք, որ կա b ոչ զրոյական թիվ, որը զրոյի քառակուսի արմատն է: Այնուհետև b 2 =0 պայմանը պետք է բավարարվի, ինչը անհնար է, քանի որ ցանկացած ոչ զրոյական b-ի համար b 2 արտահայտության արժեքը դրական է։ Մենք եկել ենք հակասության. Սա ապացուցում է, որ 0-ն զրոյի միակ քառակուսի արմատն է:

Անցնենք այն դեպքերին, երբ a-ն դրական թիվ է։ Վերևում ասացինք, որ ցանկացած ոչ բացասական թվի մեջ միշտ կա քառակուսի արմատ, թող b լինի a-ի քառակուսի արմատը: Ասենք, որ կա c թիվ, որը նույնպես a-ի քառակուսի արմատն է: Այնուհետև քառակուսի արմատի սահմանմամբ վավեր են b 2 =a և c 2 =a հավասարությունները, որից հետևում է, որ b 2 −c 2 =a−a=0, բայց քանի որ b 2 −c 2 =( b−c) (b+c) , ապա (b−c) (b+c)=0 . Ստացված հավասարությունը ուժի մեջ Իրական թվերով գործողությունների հատկություններըհնարավոր է միայն, երբ b−c=0 կամ b+c=0 . Այսպիսով, b և c թվերը հավասար են կամ հակադիր:

Եթե ​​ենթադրենք, որ կա d թիվ, որը a թվի մեկ այլ քառակուսի արմատն է, ապա արդեն տրվածներին նման պատճառաբանությամբ ապացուցվում է, որ d-ն հավասար է b թվին կամ c թվին։ Այսպիսով, դրական թվի քառակուսի արմատների թիվը երկու է, իսկ քառակուսի արմատները հակադիր թվեր են։

Քառակուսի արմատներով աշխատելու հարմարության համար բացասական արմատը «առանձնացվում» է դրականից։ Այդ նպատակով այն ներկայացնում է թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի թվաբանական քառակուսի արմատ աոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է a-ի:

a թվի թվաբանական քառակուսի արմատի համար նշումն ընդունված է։ Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան։ Այն նաև կոչվում է ռադիկալի նշան։ Հետևաբար, մասամբ կարող եք լսել և՛ «արմատ», և՛ «արմատական», ինչը նշանակում է նույն օբյեկտը:

Թվաբանական քառակուսի արմատի նշանի տակ գտնվող թիվը կոչվում է արմատային համարը, և արտահայտությունը արմատային նշանի տակ - արմատական ​​արտահայտություն, մինչդեռ «արմատական ​​թիվ» տերմինը հաճախ փոխարինվում է «արմատական ​​արտահայտությամբ»։ Օրինակ՝ նշման մեջ 151 թիվը արմատական ​​թիվ է, իսկ նշումում՝ a արտահայտությունը արմատական ​​արտահայտություն է։

Ընթերցանության ժամանակ «թվաբանություն» բառը հաճախ բաց է թողնվում, օրինակ՝ մուտքն ընթերցվում է որպես «Յոթ կետի քսանինը հարյուրերորդականի քառակուսի արմատ»։ «Թվաբանություն» բառն արտասանվում է միայն այն ժամանակ, երբ ուզում են ընդգծել, որ խոսքը թվի դրական քառակուսի արմատի մասին է։

Ներածված նշումի լույսի ներքո թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանումից հետևում է, որ ցանկացած ոչ բացասական թվի համար a .

Դրական a թվի քառակուսի արմատները գրվում են՝ օգտագործելով քառակուսի արմատի թվաբանական նշանը և . Օրինակ, 13-ի քառակուսի արմատներն են և . Զրոյի թվաբանական քառակուսի արմատը զրո է, այսինքն՝ . Բացասական ա թվերի համար մենք գրառումներին նշանակություն չենք տա, քանի դեռ չենք ուսումնասիրել կոմպլեքս թվեր. Օրինակ, արտահայտությունները եւ անիմաստ են։

Քառակուսի արմատի սահմանման հիման վրա ապացուցված են քառակուսի արմատների հատկությունները, որոնք հաճախ օգտագործվում են գործնականում։

Այս ենթաբաժինը եզրափակելու համար մենք նշում ենք, որ թվի քառակուսի արմատները x 2 =a ձևի լուծումներ են x փոփոխականի նկատմամբ:

խորանարդի արմատը

Խորանարդի արմատի սահմանումը a թիվը տրված է քառակուսի արմատի սահմանման նման ձևով: Միայն այն հիմնված է ոչ թե քառակուսի, այլ թվի խորանարդի գաղափարի վրա:

Սահմանում

ա–ի խորանարդ արմատըկոչվում է այն թիվը, որի խորանարդը հավասար է a-ի:

Եկեք բերենք խորանարդի արմատների օրինակներ. Դա անելու համար վերցրեք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 7 , 0 , −2/3 , և դրանք խորանարդեք՝ 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Այնուհետև, հիմնվելով խորանարդի արմատի սահմանման վրա, կարող ենք ասել, որ 7 թիվը 343-ի խորանարդային արմատն է, 0-ը զրոյի խորանարդային արմատն է, իսկ −2/3-ը −8/27-ի խորանարդի արմատն է։

Կարելի է ցույց տալ, որ a թվի խորանարդ արմատը, ի տարբերություն քառակուսի արմատի, միշտ գոյություն ունի, և ոչ միայն ոչ բացասական a, այլ նաև ցանկացած իրական թվի համար։ Դա անելու համար կարող եք օգտագործել նույն մեթոդը, որը մենք նշեցինք քառակուսի արմատն ուսումնասիրելիս:

Ընդ որում, տրված a թվի միայն մեկ խորանարդ արմատ կա։ Փաստենք վերջին պնդումը. Դա անելու համար հաշվի առեք երեք դեպք առանձին՝ a-ն դրական թիվ է, a=0, իսկ a-ն՝ բացասական թիվ։

Հեշտ է ցույց տալ, որ դրական a-ի համար a-ի խորանարդ արմատը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ էլ զրո: Իսկապես, թող b լինի a-ի խորանարդային արմատը, ապա ըստ սահմանման մենք կարող ենք գրել b 3 =a հավասարությունը: Պարզ է, որ այս հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել b-ի և b=0-ի համար, քանի որ այս դեպքերում b 3 =b·b·b կլինի համապատասխանաբար բացասական թիվ կամ զրո: Այսպիսով, a դրական թվի խորանարդային արմատը դրական թիվ է:

Հիմա ենթադրենք, որ b թվից բացի a թվից կա ևս մեկ խորանարդ արմատ, նշանակենք այն c։ Այնուհետև c 3 =a: Հետևաբար, b 3 −c 3 =a−a=0, բայց b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է խորանարդների տարբերությունը), որտեղից (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Ստացված հավասարությունը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ b−c=0 կամ b 2 +b c+c 2 =0: Առաջին հավասարությունից ունենք b=c, իսկ երկրորդ հավասարությունը լուծումներ չունի, քանի որ նրա ձախ կողմը դրական թիվ է ցանկացած դրական b և c թվերի համար՝ որպես b 2, b c և c 2 երեք դրական անդամների գումար: Սա ապացուցում է դրական a թվի խորանարդային արմատի եզակիությունը։

a=0-ի համար a-ի միակ խորանարդ արմատը զրո է: Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ կա b թիվը, որը զրոյի ոչ զրոյական խորանարդ արմատ է, ապա պետք է պահպանվի b 3 =0 հավասարությունը, որը հնարավոր է միայն b=0 .

Բացասական a-ի համար կարելի է վիճարկել դրական a-ի դեպքի նման: Նախ, մենք ցույց ենք տալիս, որ բացասական թվի խորանարդային արմատը չի կարող հավասար լինել ոչ դրական թվի, ոչ էլ զրոյի: Երկրորդ, մենք ենթադրում ենք, որ կա բացասական թվի երկրորդ խորանարդային արմատ և ցույց ենք տալիս, որ այն անպայման կհամընկնի առաջինի հետ:

Այսպիսով, ցանկացած իրական a թվի խորանարդ արմատը միշտ կա և միայն մեկը:

Եկեք տանք թվաբանական խորանարդի արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի թվաբանական խորանարդ արմատը aկոչվում է ոչ բացասական թիվը, որի խորանարդը հավասար է a-ի:

Ոչ բացասական a թվի թվաբանական խորանարդի արմատը նշվում է որպես , նշանը կոչվում է թվաբանական խորանարդ արմատի նշան, այս նշման մեջ 3 թիվը կոչվում է. արմատային ցուցիչ. Արմատային նշանի տակ թիվն է արմատային համարը, արմատային նշանի տակ արտահայտությունն է արմատական ​​արտահայտություն.

Թեև թվաբանական խորանարդի արմատը սահմանվում է միայն ոչ բացասական a թվերի համար, սակայն հարմար է նաև օգտագործել այն գրառումները, որոնցում բացասական թվերը գտնվում են թվաբանական խորանարդի արմատի նշանի տակ։ Մենք դրանք կհասկանանք հետևյալ կերպ՝ , որտեղ a-ն դրական թիվ է։ Օրինակ, .

Արմատների հատկությունների ընդհանուր հոդվածում կխոսենք խորանարդի արմատների հատկությունների մասին։

Խորանարդային արմատի արժեքը հաշվարկելը կոչվում է խորանարդի արմատ հանելը, այս գործողությունը քննարկվում է արմատներ հանող հոդվածում՝ մեթոդներ, օրինակներ, լուծումներ։

Այս ենթաբաժինը եզրափակելու համար ասում ենք, որ a-ի խորանարդ արմատը x 3 =a ձևի լուծումն է:

N-րդ արմատ, n-ի թվաբանական արմատ

Մենք ընդհանրացնում ենք թվից արմատ հասկացությունը՝ ներկայացնում ենք n-րդ արմատի որոշումհամար n.

Սահմանում

ա-ի n-րդ արմատըթիվ է, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a-ի։

Այս սահմանումից պարզ է դառնում, որ a թվից առաջին աստիճանի արմատը հենց a թիվն է, քանի որ աստիճանը բնական ցուցիչով ուսումնասիրելիս վերցրել ենք 1 = ա։

Վերևում դիտարկել ենք n-րդ աստիճանի արմատի հատուկ դեպքեր n=2 և n=3-ի համար՝ քառակուսի և խորանարդ արմատ: Այսինքն՝ քառակուսի արմատը երկրորդ աստիճանի արմատն է, իսկ խորանարդը՝ երրորդ աստիճանի արմատը։ n=4, 5, 6, ... n-րդ աստիճանի արմատներն ուսումնասիրելու համար հարմար է դրանք բաժանել երկու խմբի՝ առաջին խումբ՝ զույգ աստիճանների արմատներ (այսինքն՝ n=4, 6-ի համար։ , 8, ...), երկրորդ խումբը՝ արմատները կենտ հզորություններ (այսինքն՝ n=5, 7, 9, ... ի համար)։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ զույգ աստիճանների արմատները նման են քառակուսի արմատին, իսկ կենտ աստիճանի արմատները՝ խորանարդ արմատին։ Եկեք հերթով զբաղվենք դրանցով:

Սկսենք արմատներից, որոնց ուժերն են 4, 6, 8, 8 զույգ թվերը... Ինչպես արդեն ասացինք, դրանք նման են a թվի քառակուսի արմատին։ Այսինքն՝ a թվից ցանկացած զույգ աստիճանի արմատ գոյություն ունի միայն ոչ բացասական a-ի համար։ Ընդ որում, եթե a=0, ապա a-ի արմատը եզակի է և հավասար է զրոյի, իսկ եթե a>0, ապա a թվից զույգ աստիճանի երկու արմատ կա, և դրանք հակադիր թվեր են։

Արդարացնենք վերջին պնդումը. Թող b լինի զույգ աստիճանի արմատ (մենք այն նշում ենք 2 մ, որտեղ m-ը որոշ է բնական թիվ) ա թվից. Ենթադրենք, որ կա c թիվը, ևս 2 մ արմատ a-ի: Ապա b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Բայց մենք գիտենք b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) ձևը: (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), ապա (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Այս հավասարությունից հետևում է, որ b−c=0 , կամ b+c=0 , կամ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Առաջին երկու հավասարությունները նշանակում են, որ b և c թվերը հավասար են, կամ b և c թվերը հակառակ են: Իսկ վերջին հավասարությունը վավեր է միայն b=c=0-ի համար, քանի որ նրա ձախ կողմը պարունակում է արտահայտություն, որը ոչ բացասական է ցանկացած b-ի և c-ի համար՝ որպես ոչ բացասական թվերի գումար։

Ինչ վերաբերում է կենտ n-ի n-րդ աստիճանի արմատներին, ապա դրանք նման են խորանարդի արմատին։ Այսինքն՝ a թվից ցանկացած կենտ աստիճանի արմատ գոյություն ունի a ցանկացած իրական թվի համար, իսկ տրված a թվի համար այն եզակի է։

a թվից 2·m+1 կենտ աստիճանի արմատի եզակիությունն ապացուցվում է a-ից խորանարդ արմատի եզակիության ապացույցի անալոգիայով։ Միայն այստեղ՝ հավասարության փոխարեն a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = ձևի հավասարություն (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Վերջին փակագծում արտահայտությունը կարելի է վերաշարադրել այսպես b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Օրինակ m=2-ի համար ունենք b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Երբ a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են կամ երկուսն էլ բացասական, նրանց արտադրյալը դրական թիվ է, ապա b 2 +c 2 +b·c արտահայտությունը, որը գտնվում է բնադրման ամենաբարձր աստիճանի փակագծերում, դրական է որպես դրականի գումար: թվեր։ Այժմ, հաջորդաբար անցնելով նախորդ բնադրման աստիճանների փակագծերի արտահայտություններին, համոզվում ենք, որ դրանք նույնպես դրական են որպես դրական թվերի գումարներ։ Արդյունքում մենք ստանում ենք, որ հավասարությունը b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0հնարավոր է միայն, երբ b−c=0 , այսինքն՝ երբ b թիվը հավասար է c թվին:

Ժամանակն է զբաղվել n-րդ աստիճանի արմատների նշումով։ Դրա համար տրված է n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատի որոշում.

Սահմանում

թվաբանական արմատՈչ բացասական թվի n-րդ աստիճանը ակոչվում է ոչ բացասական թիվ, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a-ի։

Ի՞նչ է քառակուսի արմատը:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Այս հայեցակարգը շատ պարզ է. Բնական, ես կասեի։ Մաթեմատիկոսները փորձում են արձագանք գտնել յուրաքանչյուր գործողության համար: Կա գումարում և կա հանում: Կա բազմապատկում և կա բաժանում: Կա քառակուսի ... Այսպիսով, կա նաև հանելով քառակուսի արմատը!Այսքանը: Այս գործողությունը ( վերցնելով քառակուսի արմատը) մաթեմատիկայում նշվում է այս պատկերակով.

Սրբապատկերն ինքնին կոչվում է գեղեցիկ բառ "արմատական".

Ինչպե՞ս հանել արմատը:Ավելի լավ է հաշվի առնել օրինակներ.

Որքա՞ն է 9-ի քառակուսի արմատը: Իսկ քառակուսի ո՞ր թիվը մեզ կտա 9: 3 քառակուսին տալիս է 9: Դրանք.

Որքա՞ն է զրոյի քառակուսի արմատը: Ոչ մի խնդիր! Ի՞նչ է տալիս զրոյի քառակուսի թիվը: Այո, նա ինքն է զրո տալիս: Նշանակում է.

Բռնված ինչ է քառակուսի արմատըԱյնուհետև մենք համարում ենք օրինակներ:

Պատասխաններ (խառնաշփոթ)՝ 6; մեկ; 4; ինը; հինգ.

Որոշե՞լ եք: Իրոք, դա շատ ավելի հեշտ է:

Բայց... Ի՞նչ է անում մարդը, երբ արմատներով ինչ-որ առաջադրանք է տեսնում։

Մարդը սկսում է տենչալ... Նա չի հավատում արմատների պարզությանը և թեթևությանը: Չնայած կարծես թե գիտի ինչ է քառակուսի արմատը...

Դա պայմանավորված է նրանով, որ մարդը արմատներն ուսումնասիրելիս անտեսել է մի քանի կարևոր կետ. Հետո այս մոդայիկները դաժանորեն վրեժ են լուծում թեստերից և քննություններից…

Կետ մեկ. Արմատները պետք է ճանաչվեն տեսողությամբ:

Որքա՞ն է 49-ի քառակուսի արմատը: Յոթ? Ճիշտ! Ինչպե՞ս իմացար, որ յոթն էին: Քառակուսի յոթը և ստացվեց 49: Ճիշտ! Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ հանել արմատը 49-ից մենք պետք է անեինք հակառակ գործողությունը՝ քառակուսի 7: Եվ համոզվեք, որ մենք բաց չենք թողնում: Կամ նրանք կարող են բաց թողնել ...

Դրանում է դժվարությունը արմատների արդյունահանում. Քառակուսիացումցանկացած թիվ հնարավոր է առանց խնդիրների։ Բազմապատկեք թիվը ինքն իրեն սյունակում, և վերջ: Բայց համար արմատների արդյունահանումչկա այդպիսի պարզ և անփորձանք տեխնոլոգիա: հաշվի համար վերցնելպատասխանեք և ստուգեք այն քառակուսու վրա հարվածելու համար:

Ստեղծագործական այս բարդ գործընթացը՝ պատասխանի ընտրությունը, մեծապես պարզեցված է, եթե դուք հիշիրհանրաճանաչ թվերի քառակուսիներ: Բազմապատկման աղյուսակի նման: Եթե, ասենք, պետք է 4-ը բազմապատկել 6-ով, չէ՞ որ չորսը 6 անգամ ավելացնեք: Պատասխանը անմիջապես հայտնվում է 24: Թեև ոչ բոլորն ունեն դա, այո ...

Արմատների հետ ազատ և հաջող աշխատանքի համար բավական է իմանալ 1-ից 20 թվերի քառակուսիները: Ավելին. այնտեղԵվ ետ.Նրանք. դուք պետք է կարողանաք հեշտությամբ անվանել երկուսն էլ, ասենք, 11-ի քառակուսի և քառակուսի արմատը 121-ի համար: Այս մտապահմանը հասնելու համար կա երկու ճանապարհ: Առաջինը քառակուսիների աղյուսակը սովորելն է: Սա շատ կօգնի օրինակներով: Երկրորդ՝ որոշիր ավելի շատ օրինակներ. Հրաշալի է հիշել քառակուսիների աղյուսակը:

Եվ ոչ հաշվիչներ: Միայն ստուգման համար: Հակառակ դեպքում քննության ժամանակ անխնա կդանդաղեցնեք...

Այսպիսով, ինչ է քառակուսի արմատըԵվ ինչպես արդյունահանել արմատները-Կարծում եմ՝ հասկանալի է։ Հիմա եկեք պարզենք, թե ԻՆՉԻՑ կարող եք դրանք հանել:

Կետ երկու. Արմատ, ես քեզ չեմ ճանաչում։

Ո՞ր թվերից կարող եք քառակուսի արմատներ վերցնել: Այո, գրեթե ցանկացած: Ավելի հեշտ է հասկանալ, թե ինչ դա արգելված էհանել դրանք:

Փորձենք հաշվարկել այս արմատը.

Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել մի թիվ, որը քառակուսիով մեզ կտա -4: Մենք ընտրում ենք.

Ինչը ընտրված չէ: 2 2-ը տալիս է +4: (-2) 2-ը նորից +4 է տալիս: Վերջ... Չկան թվեր, որոնք քառակուսի դնելով մեզ բացասական թիվ կտան: Չնայած թվերը գիտեմ։ Բայց ես ձեզ չեմ ասի:) Գնացեք քոլեջ և ինքներդ պարզեք:

Նույն պատմությունը կլինի ցանկացած բացասական թվի դեպքում։ Այստեղից էլ եզրակացությունը.

Արտահայտություն, որում բացասական թիվը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ. իմաստ չունի! Սա արգելված գործողություն է։ Արգելված է, ինչպես զրոյի բաժանումը։ Հաշվի առեք այս փաստը:Կամ, այլ կերպ ասած.

Չի կարելի բացասական թվերից քառակուսի արմատներ հանել:

Բայց մնացած բոլորից՝ դու կարող ես: Օրինակ, հնարավոր է հաշվարկել

Առաջին հայացքից սա շատ դժվար է։ Վերցրեք կոտորակները, բայց քառակուսի դարձրեք ... Մի անհանգստացեք: Երբ մենք գործ ունենք արմատների հատկությունների հետ, նման օրինակները կվերածվեն քառակուսիների նույն աղյուսակին: Կյանքը կդառնա ավելի հեշտ!

Լավ կոտորակներ: Բայց մենք դեռ հանդիպում ենք այնպիսի արտահայտությունների, ինչպիսիք են.

Ամեն ինչ կարգին է. Ամեն ինչ նույնն է. Երկուի քառակուսի արմատը այն թիվն է, որը քառակուսի դնելով մեզ դյուզ է տալիս: Միայն թիվն է բոլորովին անհավասար ... Ահա այն.

Հետաքրքիր է, որ այս կոտորակը երբեք չի ավարտվում... Նման թվերը կոչվում են իռացիոնալ: Քառակուսի արմատներով սա ամենատարածված բանն է: Ի դեպ, հենց դրա համար էլ կոչվում են արմատներով արտահայտությունները իռացիոնալ. Հասկանալի է, որ նման անսահման կոտորակ անընդհատ գրելն անհարմար է։ Ուստի անսահման կոտորակի փոխարեն թողնում են այսպես.

Եթե ​​օրինակը լուծելիս դուք ստանում եք մի բան, որը հանելի չէ, օրինակ.

հետո թողնում ենք այդպես։ Սա կլինի պատասխանը։

Դուք պետք է հստակ հասկանաք, թե ինչ կա պատկերակների տակ

Իհարկե, եթե վերցվի թվի արմատը հարթ, դուք պետք է դա անեք: Առաջադրանքի պատասխանը ձևով, օրինակ

բավականին ամբողջական պատասխան.

Եվ, իհարկե, դուք պետք է իմանաք մոտավոր արժեքները հիշողությունից.

Այս գիտելիքները շատ են օգնում գնահատել իրավիճակը բարդ առաջադրանքներում:

Կետ երեք. Ամենախորամանկը.

Արմատների հետ աշխատանքում հիմնական շփոթությունը հենց այս մոդայով է բերում։ Նա է, ով վստահություն է տալիս սեփական ուժերը... Եկեք այս քմահաճույքին պատշաճ կերպով զբաղվենք:

Սկսելու համար մենք կրկին հանում ենք նրանց չորսի քառակուսի արմատը: Ինչ է, ես արդեն ստացել եմ ձեզ այս արմատով:) Ոչինչ, հիմա հետաքրքիր կլինի:

Ի՞նչ թիվը կտա 4-ի քառակուսին: Դե, երկու, երկու - ես դժգոհ պատասխաններ եմ լսում ...

Ճիշտ. Երկու. Ինչպես նաեւ մինուս երկուկտա 4 քառակուսի ... Մինչդեռ պատասխանը

ճիշտ և պատասխան

ամենամեծ սխալը. Սրա նման.

Այսպիսով, ինչ է գործարքը:

Իսկապես, (-2) 2 = 4. Եվ քառակուսի արմատի սահմանման տակ մինուս երկուբավականին հարմար ... Սա նույնպես քառակուսի արմատն է:

Բայց! Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ընդունված է դիտարկել քառակուսի արմատները միայն ոչ բացասական թվեր!Այսինքն՝ զրո և բոլորը դրական։ Նույնիսկ հատուկ տերմին է հորինվել. համարից բայց- սա ոչ բացասականթիվ, որի քառակուսին է բայց. Թվաբանական քառակուսի արմատը հանելիս բացասական արդյունքները պարզապես անտեսվում են: Դպրոցում բոլոր քառակուսի արմատները - թվաբանություն. Թեև դա հատուկ չի նշվում:

Լավ, դա հասկանալի է: Նույնիսկ ավելի լավ է չխառնվել բացասական արդյունքների հետ... Դեռ շփոթություն չէ:

Շփոթմունքը սկսվում է քառակուսի հավասարումներ լուծելիս։ Օրինակ, դուք պետք է լուծեք հետևյալ հավասարումը.

Հավասարումը պարզ է, պատասխանը գրում ենք (ինչպես ուսուցանվում է).

Այս պատասխանը (ի դեպ, բավականին ճիշտ) ընդամենը կրճատ նշում է երկուպատասխանները:

Stop stop! Մի քիչ բարձր գրեցի, որ քառակուսի արմատը թիվ է միշտոչ բացասական! Եվ ահա պատասխաններից մեկը. բացասական! Խանգարում. Սա առաջին (բայց ոչ վերջին) խնդիրն է, որն արմատների նկատմամբ անվստահություն է առաջացնում... Եկեք լուծենք այս խնդիրը։ Եկեք գրենք պատասխանները (զուտ հասկանալու համար) այսպես.

Փակագծերը չեն փոխում պատասխանի էությունը. Ուղղակի փակագծերով առանձնացրի նշաններ-ից արմատ. Այժմ պարզ երևում է, որ արմատն ինքը (փակագծերում) դեռևս ոչ բացասական թիվ է։ Իսկ նշաններն են հավասարման լուծման արդյունքը. Ի վերջո, ցանկացած հավասարում լուծելիս պետք է գրել բոլորը x, որը, երբ փոխարինվի սկզբնական հավասարման մեջ, կտա ճիշտ արդյունք: Հինգի (դրական!) արմատը հարմար է և՛ գումարած, և՛ մինուսով մեր հավասարմանը:

Սրա նման. Եթե ​​դու պարզապես վերցրեք քառակուսի արմատըքո ցանկացած բանից միշտստանալ մեկ ոչ բացասականարդյունք. Օրինակ:

Որովհետև դա - թվաբանական քառակուսի արմատ.

Բայց եթե որոշեք քառակուսային հավասարում, տիպ:

ապա միշտպարզվում է երկուպատասխանել (պլյուսով և մինուսով).

Քանի որ դա հավասարման լուծումն է:

Հույս, ինչ է քառակուսի արմատըդուք ճիշտ հասկացաք ձեր միավորներով: Այժմ մնում է պարզել, թե ինչ կարելի է անել արմատների հետ, ինչ հատկություններ ունեն դրանք։ Իսկ որո՞նք են մոդայիկները և ստորջրյա արկղերը ... կներեք ինձ, քարեր:)

Այս ամենը` հաջորդ դասերին:

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Գրագիտության նշան հանդիսացող բազմաթիվ գիտելիքների մեջ առաջին տեղում այբուբենն է։ Հաջորդ՝ նույն «նշան» տարրը գումարում-բազմապատկման հմտություններն են և դրանց կից, բայց իմաստով հակադարձ՝ հանում-բաժանման թվաբանական գործողությունները։ Հեռավոր դպրոցական մանկության մեջ սովորած հմտությունները հավատարմորեն ծառայում են գիշեր-ցերեկ՝ հեռուստացույց, թերթ, SMS, Եվ ամենուր, որտեղ մենք կարդում ենք, գրում, հաշվում, ավելացնում, հանում, բազմապատկում: Եվ, ասա, հաճա՞խ եք ստիպված եղել արմատներ գցել կյանքում, բացի երկրից։ Օրինակ, այնպիսի զվարճալի խնդիր, ինչպիսին է 12345 թվի քառակուսի արմատը… Կարո՞ղ ենք դա անել: Այո, ավելի հեշտ բան չկա: Որտե՞ղ է իմ հաշվիչը... Իսկ առանց դրա՝ ձեռք-ձեռքի, թույլ։

Նախ պարզաբանենք, թե դա ինչ է՝ թվի քառակուսի արմատը։ Ընդհանրապես, «արմատ հանել թվից» նշանակում է կատարել թվաբանական գործողություն, որը հակառակ է հզորության բարձրացմանը. այստեղ դուք ունեք հակադրությունների միասնությունը կյանքի կիրառման մեջ: ասենք քառակուսին ինքն իրենով թվի բազմապատկումն է, այսինքն՝ ինչպես սովորեցնում էին դպրոցում՝ X * X = A կամ մեկ այլ նշումով X2 = A, իսկ բառերով՝ «X քառակուսի հավասար է A»: Այնուհետև հակադարձ խնդիրը հնչում է այսպես՝ A թվի քառակուսի արմատը X թիվն է, որը քառակուսու դեպքում հավասար է A-ին:

Քառակուսի արմատի հանում

Թվաբանության դպրոցական դասընթացից հայտնի են «սյունակում» հաշվարկների մեթոդներ, որոնք օգնում են կատարել ցանկացած հաշվարկ՝ օգտագործելով առաջին չորսը. թվաբանական գործողություններ. Ավաղ... Քառակուսու, և ոչ միայն քառակուսու համար, նման ալգորիթմների արմատներ գոյություն չունեն: Իսկ այս դեպքում ինչպե՞ս հանել քառակուսի արմատն առանց հաշվիչի։ Ելնելով քառակուսի արմատի սահմանումից՝ կա միայն մեկ եզրակացություն՝ անհրաժեշտ է ընտրել արդյունքի արժեքը թվերի հաջորդական թվարկումով, որոնց քառակուսին մոտենում է արմատային արտահայտության արժեքին։ Միայն և ամեն ինչ։ Մեկ-երկու ժամ ժամանակ չի ունենա անցնելու, քանի որ դուք կարող եք հաշվարկել «սյունակի» բազմապատկման հայտնի մեթոդով, ցանկացած քառակուսի արմատ: Եթե ​​ունեք հմտություններ, դրա համար մի քանի րոպեն բավական է։ Նույնիսկ ոչ այնքան առաջադեմ հաշվիչը կամ համակարգչի օգտագործողը դա անում է մեկ հարվածով` առաջընթաց:

Բայց եթե լուրջ, ապա քառակուսի արմատի հաշվարկը հաճախ կատարվում է «հրետանային պատառաքաղ» տեխնիկայի միջոցով. նախ վերցնում են մի թիվ, որի քառակուսին մոտավորապես համապատասխանում է արմատային արտահայտությանը: Ավելի լավ է «մեր հրապարակը» այս արտահայտությունից մի փոքր պակաս լինի։ Հետո ըստ իրենց հմտության-ըմբռնման ուղղում են թիվը, օրինակ՝ բազմապատկում են երկուսով, և ... նորից քառակուսի են տալիս։ Եթե ​​արդյունքը ավելի շատ համարարմատի տակ, հաջորդաբար կարգավորելով սկզբնական թիվը, աստիճանաբար մոտենալով իր «գործընկերոջը» արմատի տակ: Ինչպես տեսնում եք, հաշվիչ չկա, միայն «սյունակում» հաշվելու հնարավորություն: Իհարկե, կան բազմաթիվ գիտականորեն հիմնավորված և օպտիմիզացված ալգորիթմներ քառակուսի արմատը հաշվարկելու համար, սակայն «տնային օգտագործման» համար վերը նշված տեխնիկան արդյունքի նկատմամբ 100% վստահություն է տալիս:

Այո, ես գրեթե մոռացել էի, որպեսզի հաստատենք մեր բարձրացված գրագիտությունը, մենք հաշվարկում ենք նախկինում նշված 12345 թվի քառակուսի արմատը: Դա անում ենք քայլ առ քայլ.

1. Վերցրեք, զուտ ինտուիտիվ, X=100: Եկեք հաշվարկենք՝ X * X = 10000: Ինտուիցիան վերևում է՝ արդյունքը 12345-ից փոքր է:

2. Փորձենք, նաև զուտ ինտուիտիվ, X = 120. Հետո՝ X * X = 14400. Եվ նորից ինտուիցիայով հերթականությունը՝ արդյունքը 12345-ից ավելի է։

3. Վերևում ստացվում է 100 և 120 թվերի «պատառաքաղ», ընտրենք նոր թվեր՝ 110 և 115։ Ստանում ենք համապատասխանաբար 12100 և 13225՝ պատառաքաղը նեղանում է։

4. Փորձում ենք «գուցե» X = 111-ի վրա: Մենք ստանում ենք X * X = 12321: Այս թիվն արդեն բավականին մոտ է 12345-ին: Պահանջվող ճշգրտության համաձայն, «կցումը» կարելի է շարունակել կամ դադարեցնել ստացված արդյունքը: Այսքանը: Ինչպես խոստացել էր, ամեն ինչ շատ պարզ է և առանց հաշվիչի:

Բավականին պատմություն...

Նույնիսկ պյութագորացիները՝ դպրոցի աշակերտները և Պյութագորասի հետևորդները, մտածել են քառակուսի արմատներ օգտագործելու մասին, մ.թ.ա. 800թ. և հենց այնտեղ «բախվեց» թվերի ոլորտում նոր բացահայտումների։ Իսկ որտեղի՞ց է այն առաջացել։

1. Արմատի արդյունահանմամբ խնդրի լուծումը, արդյունքը տալիս է նոր դասի թվերի տեսքով։ Նրանց անվանել են իռացիոնալ, այլ կերպ ասած՝ «անհիմն», քանի որ. դրանք որպես ամբողջական թիվ չեն գրվում։ Այս տեսակի ամենադասական օրինակը 2-ի քառակուսի արմատն է: Այս դեպքը համապատասխանում է 1-ին հավասար կողմ ունեցող քառակուսու անկյունագծի հաշվարկին. ահա, Պյութագորասի դպրոցի ազդեցությունը: Պարզվեց, որ կողմերի շատ կոնկրետ միավորի չափով եռանկյունու մեջ հիպոթենուսն ունի չափ, որն արտահայտվում է «վերջ չունեցող» թվով։ Այսպիսով, մաթեմատիկայի մեջ հայտնվեց

2. Հայտնի է, որ պարզվել է, որ սա մաթեմատիկական գործողությունպարունակում է ևս մեկ բռնում՝ արմատ հանելը, մենք չգիտենք, թե թվի որ քառակուսին, դրական թե բացասական, արմատային արտահայտությունն է: Այս անորոշությունը՝ մեկ գործողության կրկնակի արդյունքը, գրված է:

Այս երեւույթի հետ կապված խնդիրների ուսումնասիրությունը մաթեմատիկայում դարձել է ուղղություն, որը կոչվում է բարդ փոփոխականի տեսություն, որը մեծ գործնական նշանակություն ունի մաթեմատիկական ֆիզիկայում։

Հետաքրքիր է, որ արմատային նշանակումը՝ արմատական, օգտագործվել է իր «Համընդհանուր թվաբանությունում» նույն ամենուրեք տարածված Ի. Նյուտոնի կողմից, բայց հենց ժամանակակից տեսքԱրմատային գրառումը հայտնի է 1690 թվականից ֆրանսիացի Ռոլլի «Հանրահաշվի ուղեցույց» գրքից։