Քառակուսային հավասարման առաջատար գործակիցը. Անավարտ քառակուսի հավասարումներ

Քառակուսային հավասարում - հեշտ է լուծել: *Հետագայում «KU» տեքստում:Ընկերներ, թվում է, թե մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է ավելի հեշտ լինել, քան նման հավասարումը լուծելը: Բայց ինչ-որ բան ինձ ասում էր, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն։ Ես որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի տպավորություն է թողնում Yandex-ը մեկ հարցում: Ահա թե ինչ եղավ, նայեք.

Ինչ է դա նշանակում? Սա նշանակում է, որ ամսական մոտ 70000 մարդ է փնտրում այս տեղեկությունը, ի՞նչ կապ ունի այս ամառը, և ի՞նչ է լինելու դրա հետ ուսումնական տարի- հարցումները կրկնակի մեծ կլինեն: Սա զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց ավարտել են դպրոցը և պատրաստվում են քննությանը, փնտրում են այս տեղեկությունը, իսկ դպրոցականները նույնպես փորձում են թարմացնել հիշողությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որոնք պատմում են, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի նաև ներդրում ունենալ և հրապարակել նյութը: Նախ, ես ցանկանում եմ, որ այցելուները գան իմ կայք այս խնդրանքով. երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ հնչի «KU» ելույթը, ես կտամ այս հոդվածի հղումը. երրորդ, ես ձեզ մի փոքր ավելին կասեմ նրա լուծման մասին, քան սովորաբար նշվում է այլ կայքերում: Եկեք սկսենք!Հոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է.

որտեղ գործակիցները a,բիսկ կամայական թվերով՝ a≠0-ով։

Դպրոցական դասընթացում նյութը տրվում է հետևյալ ձևով՝ հավասարումների բաժանումը երեք դասի պայմանականորեն կատարվում է.

1. Ունենալ երկու արմատ.

2. * Միայն մեկ արմատ ունեցեք.

3. Արմատներ չունենալ։ Այստեղ հարկ է նշել, որ դրանք իրական արմատներ չունեն

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես!

Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը։ Այս «սարսափելի» բառի տակ շատ պարզ բանաձեւ է.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են.

*Այս բանաձեւերը պետք է անգիր իմանալ։

Դուք կարող եք անմիջապես գրել և որոշել.

Օրինակ:

1. Եթե D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ:

2. Եթե D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Ըստ այս առիթովերբ խտրականը զրո, դպրոցի դասընթացում ասվում է, որ մեկ արմատ է ստացվում, այստեղ հավասար է ինը։ Ճիշտ է, այդպես է, բայց...

Այս ներկայացումը որոշ չափով սխալ է: Իրականում երկու արմատ կա. Այո, այո, մի զարմացեք, ստացվում է երկու հավասար արմատ, և մաթեմատիկորեն ճշգրիտ լինելու համար պատասխանում պետք է գրել երկու արմատ.

x 1 = 3 x 2 = 3

Բայց սա այդպես է՝ մի փոքր շեղում: Դպրոցում կարելի է գրել ու ասել, որ արմատը մեկն է։

Այժմ հետևյալ օրինակը.

Ինչպես գիտենք, բացասական թվի արմատը չի հանվում, ուստի այս դեպքում լուծում չկա։

Սա է որոշումների ամբողջ գործընթացը:

Քառակուսի ֆունկցիա.

Ահա թե ինչպես է լուծումը երկրաչափական տեսք. Սա չափազանց կարևոր է հասկանալու համար (ապագայում հոդվածներից մեկում մանրամասն կվերլուծենք քառակուսի անհավասարության լուծումը)։

Սա ձևի ֆունկցիան է.

որտեղ x և y փոփոխականներ են

ա, բ, գ - տրված թվեր, որտեղ a ≠ 0

Գրաֆիկը պարաբոլա է.

Այսինքն՝ ստացվում է, որ լուծելով «y»-ով քառակուսի հավասարում, որը հավասար է զրոյի, մենք գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ։ Այս կետերից կարող է լինել երկուսը (տարբերիչը դրական է), մեկը (տարբերիչը զրոյական է) կամ ոչ մեկը (տարբերիչը բացասական է): Մանրամասների մասին քառակուսի ֆունկցիա Դուք կարող եք դիտելԻննա Ֆելդմանի հոդվածը։

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Որոշել 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = բ 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Պատասխան՝ x 1 = 8 x 2 = -12

* Դուք կարող եք անմիջապես հավասարման ձախ և աջ կողմերը բաժանել 2-ի, այսինքն՝ պարզեցնել այն։ Հաշվարկներն ավելի հեշտ կլինեն։

Օրինակ 2: Որոշեք x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Մենք ստացանք, որ x 1 \u003d 11 և x 2 \u003d 11

Պատասխանում թույլատրելի է գրել x = 11:

Պատասխան՝ x = 11

Օրինակ 3: Որոշեք x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Տարբերիչը բացասական է, իրական թվերով լուծում չկա։

Պատասխան՝ լուծում չկա

Խտրականը բացասական է. Կա լուծում!

Այստեղ կխոսենք հավասարումը լուծելու մասին այն դեպքում, երբ ստացվում է բացասական դիսկրիմինանտ։ Կոմպլեքս թվերի մասին որևէ բան գիտե՞ք: Ես այստեղ չեմ մանրամասնի, թե ինչու և որտեղ են դրանք առաջացել, և որն է դրանց հատուկ դերն ու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկայի մեջ, սա մեծ առանձին հոդվածի թեմա է:

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը.

Մի քիչ տեսություն.

Z կոմպլեքս թիվը ձևի թիվ է

z = a + bi

որտեղ a և b են իրական թվեր, ես այսպես կոչված երևակայական միավորն է։

ա+բի ՄԵԿ ԹԻՎ է, ոչ թե գումարում։

Երևակայական միավորը հավասար է մինուս մեկի արմատին.

Այժմ հաշվի առեք հավասարումը.

Ստացեք երկու զուգակցված արմատներ:

Անավարտ քառակուսի հավասարում.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, երբ «b» կամ «c» գործակիցը հավասար է զրոյի (կամ երկուսն էլ հավասար են զրոյի): Դրանք հեշտությամբ լուծվում են առանց որևէ խտրականության:

Դեպք 1. Գործակից b = 0:

Հավասարումը ստանում է ձև.

Եկեք փոխակերպենք.

Օրինակ:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Դեպք 2. Գործակից c = 0:

Հավասարումը ստանում է ձև.

Փոխակերպել, ֆակտորիզացնել.

*Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 կամ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Դեպք 3. b = 0 եւ c = 0 գործակիցները:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:

Օգտակար հատկություններ և գործակիցների օրինաչափություններ.

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս մեծ գործակիցներով հավասարումներ լուծել։

աx 2 + bx+ գ=0 հավասարություն

ա + բ+ c = 0,ապա

- եթե հավասարման գործակիցների համար աx 2 + bx+ գ=0 հավասարություն

ա+ հետ =բ, ապա

Այս հատկությունները օգնում են լուծել որոշակի տեսակի հավասարումներ:

Օրինակ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ուրեմն

Օրինակ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Հավասարություն ա+ հետ =բ, նշանակում է

Գործակիցների օրինաչափություններ.

1. Եթե ax 2 + bx + c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը (a 2 +1) է, իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 +37x+6 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6:

2. Եթե ax 2 - bx + c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը (a 2 +1) է, իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 15x 2 –226x +15 = 0 հավասարումը:

x 1 = 15 x 2 = 1/15:

3. Եթե հավասարման մեջ ax 2 + bx - c = 0 գործակից «b» հավասար է (a 2 – 1), իսկ «գ» գործակիցը. թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 + 288x - 17 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17:

4. Եթե ax 2 - bx - c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 - 1), իսկ c գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 10x2 - 99x -10 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Վիետայի թեորեմա.

Վիետայի թեորեմն անվանվել է հայտնի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով։ Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կարելի է կամայական KU-ի արմատների գումարը և արտադրյալը արտահայտել իր գործակիցներով։

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ընդհանուր առմամբ, 14 թիվը տալիս է միայն 5 և 9: Սրանք արմատներն են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով ներկայացված թեորեմը, կարող եք շատ քառակուսի հավասարումներ լուծել անմիջապես բանավոր:

Վիետայի թեորեմը, ընդ որում. հարմար է, քանի որ քառակուսի հավասարումը սովորական եղանակով լուծելուց հետո (դիսկրիմինանտի միջոցով) կարելի է ստուգել ստացված արմատները։ Ես խորհուրդ եմ տալիս դա անել անընդհատ:

ՏՐԱՆՍՖԵՐՏԻ ՄԵԹՈԴ

Այս մեթոդով «ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «փոխանցվում է» դրան, ինչի պատճառով էլ կոչվում է. փոխանցման եղանակը.Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը և, որ ամենակարևորն է, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Եթե ա± բ+գ≠ 0, ապա օգտագործվում է փոխանցման տեխնիկան, օրինակ.

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Համաձայն Վիետայի թեորեմի (2) հավասարման, հեշտ է որոշել, որ x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Հավասարման ստացված արմատները պետք է բաժանել 2-ի (քանի որ երկուսը «գցվել» են x 2-ից), ստանում ենք.

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ո՞րն է հիմնավորումը: Տեսեք, թե ինչ է կատարվում.

(1) և (2) հավասարումների տարբերակիչներն են.

Եթե ​​նայեք հավասարումների արմատներին, ապա ստացվում են միայն տարբեր հայտարարներ, և արդյունքը կախված է հենց x 2 գործակիցից.

Երկրորդ (փոփոխված) արմատները 2 անգամ ավելի մեծ են։

Այսպիսով, մենք արդյունքը բաժանում ենք 2-ի:

*Եթե երեքը գրտնակում ենք, ապա ստացվածը բաժանում ենք 3-ի և այլն։

Պատասխան՝ x 1 = 5 x 2 = 0,5

քառ. ur-ie և քննությունը:

Համառոտ կասեմ դրա կարևորության մասին - ՊԵՏՔ Է ԿԱՐՈՂԱՆԱԼ ՈՐՈՇԵԼ արագ և առանց մտածելու, պետք է անգիր իմանալ արմատների և զանազանողի բանաձևերը։ USE առաջադրանքների մաս կազմող առաջադրանքներից շատերը հանգում են քառակուսի հավասարումների լուծմանը (ներառյալ երկրաչափականները):

Այն, ինչ արժե ուշադրություն դարձնել.

1. Հավասարման ձևը կարող է լինել «ներածական»: Օրինակ, հնարավոր է հետևյալ գրառումը.

15+ 9x 2 - 45x = 0 կամ 15x+42+9x 2 - 45x=0 կամ 15 -5x+10x 2 = 0:

Դուք պետք է այն հասցնեք ստանդարտ ձևի (որպեսզի չշփոթվեք լուծելիս):

2. Հիշեք, որ x-ը անհայտ արժեք է, և այն կարելի է նշանակել ցանկացած այլ տառով՝ t, q, p, h և այլն:

Անավարտ քառակուսի հավասարումը տարբերվում է դասական (ամբողջական) հավասարումներից նրանով, որ դրա գործակիցները կամ ազատ անդամը հավասար են զրոյի։ Նման ֆունկցիաների գրաֆիկը պարաբոլներ են։ Կախված ընդհանուր տեսքից՝ դրանք բաժանվում են 3 խմբի. Բոլոր տեսակի հավասարումների լուծման սկզբունքները նույնն են.

Անավարտ բազմանդամի տեսակը որոշելու մեջ դժվար բան չկա։ Ավելի լավ է հաշվի առնել հիմնական տարբերությունները պատկերազարդ օրինակներում.

1. Եթե ​​b = 0, ապա հավասարումը ax 2 + c = 0 է:
2. Եթե ​​c = 0, ապա պետք է լուծվի ax 2 + bx = 0 արտահայտությունը:
3. Եթե ​​b = 0 և c = 0, ապա բազմանդամը դառնում է ax 2 = 0 տիպի հավասարություն:

Վերջին դեպքն ավելի շատ տեսական հնարավորություն է և երբեք չի լինում գիտելիքների թեստերում, քանի որ x-ի միակ իրական արժեքը արտահայտության մեջ զրո է: Հետագայում կդիտարկվեն թերի խնդիրների լուծման մեթոդներն ու օրինակները։ քառակուսի հավասարումներ 1) և 2) տեսակներ.

Լուծմամբ փոփոխականներ և օրինակներ գտնելու ընդհանուր ալգորիթմ

Անկախ հավասարման տեսակից, լուծման ալգորիթմը կրճատվում է հետևյալ քայլերով.

1. Արտահայտությունը բերեք արմատներ գտնելու համար հարմար ձևի:
2. Կատարեք հաշվարկներ.
3. Պատասխանը գրի՛ր։

Անավարտ հավասարումները լուծելն ամենահեշտն է՝ ձախ կողմը գործակցելով և աջ կողմում զրո թողնելով: Այսպիսով, արմատները գտնելու թերի քառակուսային հավասարման բանաձևը կրճատվում է մինչև x-ի արժեքը յուրաքանչյուր գործոնի համար:

Դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես լուծել միայն գործնականում, այնպես որ հաշվի առեք կոնկրետ օրինակգտնել ոչ լրիվ հավասարման արմատները.

Ինչպես տեսնում եք, այս դեպքում b = 0: Մենք գործոնացնում ենք ձախ կողմը և ստանում արտահայտությունը.

4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0:

Ակնհայտ է, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի: Նմանատիպ պահանջները բավարարվում են x1 = 0,5 և (կամ) x2 = -0,5 փոփոխականի արժեքներով:

Որպեսզի հեշտությամբ և արագ հաղթահարել տարրալուծման խնդիրը քառակուսի եռանկյունբազմապատկիչներ, դուք պետք է հիշեք հետևյալ բանաձևը.

Եթե ​​արտահայտության մեջ չկա ազատ եզրույթ, ապա խնդիրը մեծապես պարզեցվում է։ Բավական է միայն գտնել ու հանել ընդհանուր հայտարարը։ Պարզության համար դիտարկենք օրինակ, թե ինչպես լուծել ax2 + bx = 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարումները:

Փակագծերից հանենք x փոփոխականը և ստանանք հետևյալ արտահայտությունը.

x ⋅ (x + 3) = 0:

Հիմնվելով տրամաբանության վրա՝ եզրակացնում ենք, որ x1 = 0 և x2 = -3:

Ավանդական եղանակը լուծելու և թերի քառակուսի հավասարումներ

Ի՞նչ կլինի, եթե կիրառենք տարբերակիչ բանաձևը և փորձենք գտնել բազմանդամի արմատները՝ զրոյի հավասար գործակիցներով։ Եկեք օրինակ վերցնենք 2017 թվականի մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության համար նախատեսված տիպիկ առաջադրանքների հավաքածուից, մենք այն կլուծենք ստանդարտ բանաձևերի և ֆակտորացման մեթոդի միջոցով:

7x 2 - 3x = 0:

Հաշվի՛ր դիսկրիմինանտի արժեքը՝ D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Ստացվում է, որ բազմանդամն ունի երկու արմատ.

Այժմ լուծեք հավասարումը ֆակտորինգով և համեմատեք արդյունքները:

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Ինչպես տեսնում եք, երկու մեթոդներն էլ տալիս են նույն արդյունքը, բայց հավասարումը լուծելու երկրորդ եղանակը շատ ավելի հեշտ և արագ ստացվեց։

Վիետայի թեորեմա

Բայց ի՞նչ անել սիրելի Վիետայի թեորեմի հետ: Կարո՞ղ է այս մեթոդը կիրառել թերի եռանդամի դեպքում: Փորձենք հասկանալ թերի հավասարումները ax2 + bx + c = 0 դասական ձևի վերածելու ասպեկտները:

Փաստորեն, այս դեպքում հնարավոր է կիրառել Վիետայի թեորեմը։ Միայն անհրաժեշտ է արտահայտությունը բերել ընդհանուր ձևի` բաց թողնված տերմինները փոխարինելով զրոյով։

Օրինակ՝ b = 0 և a = 1-ով, շփոթության հավանականությունը վերացնելու համար առաջադրանքը պետք է գրել ax2 + 0 + c = 0 ձևով: Այնուհետև պետք է սահմանվի արմատների գումարի և արտադրյալի հարաբերությունը և Բազմանդամի գործակիցները կարող են արտահայտվել հետևյալ կերպ.

Տեսական հաշվարկները օգնում են ծանոթանալ հարցի էությանը, և լուծելիս միշտ պահանջում են հմտությունների զարգացում. կոնկրետ առաջադրանքներ. Եկեք կրկին դիմենք քննության համար բնորոշ առաջադրանքների տեղեկատուին և գտնենք համապատասխան օրինակ.

Մենք գրում ենք արտահայտությունը Վիետայի թեորեմը կիրառելու համար հարմար ձևով.

x2 + 0 - 16 = 0:

Հաջորդ քայլը պայմանների համակարգի ստեղծումն է.

Ակնհայտ է, որ քառակուսի բազմանդամի արմատները կլինեն x 1 \u003d 4 և x 2 \u003d -4:

Այժմ փորձենք հավասարումը բերել ընդհանուր ձևի: Վերցրեք հետևյալ օրինակը՝ 1/4× x 2 – 1 = 0

Վիետայի թեորեմը արտահայտության վրա կիրառելու համար պետք է ազատվել կոտորակից։ Ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք 4-ով և նայեք արդյունքին. x2 - 4 = 0: Ստացված հավասարությունը պատրաստ է լուծելու Վիետայի թեորեմով, բայց շատ ավելի հեշտ և արագ է պատասխանը ստանալ պարզապես c = փոխանցելով: 4 հավասարման աջ կողմում՝ x2 = 4:

Ամփոփելով՝ պետք է ասել, որ լավագույն միջոցըթերի հավասարումների լուծումը ֆակտորիզացիա է, ամենապարզն է և արագ մեթոդ. Եթե ​​դուք դժվարությունների եք հանդիպում արմատներ գտնելու գործընթացում, կարող եք դիմել դիսկրիմինանտի միջոցով արմատներ գտնելու ավանդական մեթոդին:

Քառակուսային հավասարումը a*x^2 +b*x+c=0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a,b,c-ն որոշ կամայական իրական (իրական) թվեր են, իսկ x-ը փոփոխական է։ Իսկ a թիվը հավասար չէ 0-ի։

a,b,c թվերը կոչվում են գործակիցներ։ a - թիվը կոչվում է առաջատար գործակից, b թիվը x-ի գործակիցն է, իսկ c թիվը կոչվում է ազատ անդամ: Որոշ գրականության մեջ հանդիպում են նաև այլ անուններ։ a թիվը կոչվում է առաջին գործակից, իսկ b թիվը՝ երկրորդ գործակից։

Քառակուսային հավասարումների դասակարգում

Քառակուսային հավասարումներն ունեն իրենց դասակարգումը։

Գործակիցների առկայությամբ.

1. Լրիվ

2. Անավարտ

Անհայտի ամենաբարձր աստիճանի գործակցի արժեքով(առաջատար գործակցի արժեքին).

1. Տրված է

2. Չի կրճատվել

Քառակուսային հավասարում կոչվում է ամբողջականեթե այն պարունակում է բոլոր երեք գործակիցները, և դրանք զրոյական չեն: Ընդհանուր ձևամբողջական քառակուսի հավասարում. a*x^2 +b*x+c=0;

Քառակուսային հավասարում կոչվում է թերիեթե a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 հավասարման մեջ b կամ c գործակիցներից մեկը հավասար է զրոյի (b \u003d 0 կամ c \u003d 0), այնուամենայնիվ, կլինի նաև թերի քառակուսի հավասարում. հավասարում, որում և՛ b գործակիցը, և՛ c գործակիցը միաժամանակ հավասար են զրոյի (երկուսն էլ b=0 և c=0):

Հարկ է նշել, որ այստեղ առաջատար գործակցի մասին ոչինչ չի ասվում, քանի որ քառակուսի հավասարման սահմանմամբ այն պետք է տարբերվի զրոյից։

տրվածեթե դրա առաջատար գործակիցը մեկին հավասար(a=1): Տրված քառակուսային հավասարման ընդհանուր տեսքը՝ x^2 +d*x+e=0.

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է չկրճատված,եթե հավասարման մեջ առաջատար գործակիցը զրոյական չէ. Չկրճատված քառակուսի հավասարման ընդհանուր տեսք՝ a*x^2 +b*x+c=0:

Հարկ է նշել, որ ցանկացած ոչ կրճատված քառակուսի հավասարում կարող է կրճատվել մինչև կրճատված: Դրա համար անհրաժեշտ է քառակուսի հավասարման գործակիցները բաժանել առաջատար գործակցի վրա։

Քառակուսի օրինակներ

Դիտարկենք մի օրինակ.ունենք 2*x^2 - 6*x+7 =0 հավասարումը;

Վերափոխենք այն վերը նշված հավասարման։ Առաջատար գործակիցը 2-ն է։ Եկեք նրա վրա բաժանենք մեր հավասարման գործակիցները և գրենք պատասխանը։

x^2 - 3*x+3.5 =0;

Ինչպես նկատեցիք, քառակուսի հավասարման աջ կողմում կա a * x ^ 2 + b * x + c երկրորդ աստիճանի բազմանդամ: Այն նաև կոչվում է քառակուսի եռանկյուն։

Այս թեման սկզբում կարող է բարդ թվալ՝ բազմաթիվ ոչ այնքան պարզ բանաձեւերի պատճառով: Ոչ միայն քառակուսի հավասարումներն իրենք ունեն երկար մուտքեր, այլև արմատները հայտնաբերվում են տարբերակիչի միջոցով: Ընդհանուր առմամբ կան երեք նոր բանաձեւեր. Հիշելը շատ հեշտ չէ: Դա հնարավոր է միայն նման հավասարումների հաճախակի լուծումից հետո։ Այնուհետև բոլոր բանաձևերը կհիշվեն ինքնուրույն:

Քառակուսային հավասարման ընդհանուր տեսք

Այստեղ առաջարկվում է դրանց բացահայտ նշումը, երբ նախ գրվում է ամենամեծ աստիճանը, իսկ հետո՝ նվազման կարգով։ Հաճախ լինում են իրավիճակներ, երբ տերմինները միմյանցից տարբերվում են: Այնուհետև ավելի լավ է վերաշարադրել հավասարումը փոփոխականի աստիճանի նվազման կարգով։

Ներկայացնենք նշումը. Դրանք ներկայացված են ստորև բերված աղյուսակում:

Եթե ​​ընդունենք այս նշումները, ապա բոլոր քառակուսի հավասարումները կրճատվում են հետևյալ նշումով.

Ընդ որում, գործակիցը a ≠ 0. Թող այս բանաձևը նշանակվի թիվ մեկով:

Երբ տրված է հավասարումը, պարզ չէ, թե քանի արմատ կլինի պատասխանում։ Քանի որ երեք տարբերակներից մեկը միշտ հնարավոր է.

• լուծումը կունենա երկու արմատ.
• պատասխանը կլինի մեկ թիվ;
• Հավասարումն ընդհանրապես արմատներ չունի։

Ու թեև որոշումն ավարտին չի հասցվել, դժվար է հասկանալ, թե կոնկրետ դեպքում տարբերակներից որն է դուրս գալու։

Քառակուսային հավասարումների գրառումների տեսակները

Առաջադրանքները կարող են ունենալ տարբեր գրառումներ: Նրանք միշտ չէ, որ նման են ընդհանուր բանաձեւքառակուսային հավասարում. Երբեմն այն կբացակայի որոշ պայմաններից: Վերևում գրվածն այն է ամբողջական հավասարում. Եթե ​​դուք հանեք դրա մեջ երկրորդ կամ երրորդ տերմինը, ապա կստանաք այլ բան: Այս գրառումները կոչվում են նաև քառակուսային հավասարումներ՝ միայն թերի։

Ընդ որում, միայն այն տերմինները, որոնց դեպքում «b» և «c» գործակիցները կարող են անհետանալ։ «ա» թիվը ոչ մի դեպքում չի կարող հավասար լինել զրոյի։ Քանի որ այս դեպքում բանաձեւը վերածվում է գծային հավասարման։ Հավասարումների թերի ձևի բանաձևերը կլինեն հետևյալը.

Այսպիսով, կա միայն երկու տեսակ, բացի ամբողջականներից, կան նաև թերի քառակուսի հավասարումներ։ Թող առաջին բանաձևը լինի թիվ երկու, իսկ երկրորդը՝ երեքը։

Խտրականությունը և արմատների քանակի կախվածությունը դրա արժեքից

Այս թիվը պետք է հայտնի լինի հավասարման արմատները հաշվարկելու համար։ Այն միշտ կարելի է հաշվարկել՝ անկախ նրանից, թե ինչպիսին է քառակուսի հավասարման բանաձեւը։ Խտրականությունը հաշվարկելու համար հարկավոր է օգտագործել ստորև գրված հավասարությունը, որը կունենա չորս թիվը։

Այս բանաձևի մեջ գործակիցների արժեքները փոխարինելուց հետո կարող եք թվեր ստանալ տարբեր նշաններ. Եթե ​​պատասխանը դրական է, ապա հավասարման պատասխանը կլինի երկու տարբեր արմատներ: Բացասական թվի դեպքում կբացակայեն քառակուսի հավասարման արմատները: Եթե ​​այն հավասար է զրոյի, ապա պատասխանը կլինի մեկ։

Ինչպե՞ս է լուծվում ամբողջական քառակուսի հավասարումը:

Փաստորեն, այս հարցի քննարկումն արդեն սկսվել է։ Որովհետև նախ պետք է գտնել խտրականին: Այն բանից հետո, երբ պարզվում է, որ կան քառակուսի հավասարման արմատներ, և դրանց թիվը հայտնի է, դուք պետք է օգտագործեք փոփոխականների բանաձևերը: Եթե ​​կա երկու արմատ, ապա անհրաժեշտ է կիրառել նման բանաձեւ.

Քանի որ այն պարունակում է «±» նշանը, կլինի երկու արժեք: Ստորագրված արտահայտություն քառակուսի արմատխտրականն է. Հետևաբար, բանաձևը կարելի է այլ կերպ վերաշարադրել։

Ֆորմուլա հինգ. Նույն գրառումից երևում է, որ եթե դիսկրիմինանտը զրո է, ապա երկու արմատներն էլ նույն արժեքները կունենան։

Եթե ​​քառակուսի հավասարումների լուծումը դեռ մշակված չէ, ապա ավելի լավ է գրել բոլոր գործակիցների արժեքները նախքան տարբերակիչ և փոփոխական բանաձևերը կիրառելը: Հետագայում այս պահը դժվարություններ չի առաջացնի։ Բայց հենց սկզբում շփոթություն է առաջանում.

Ինչպե՞ս է լուծվում ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը:

Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է. Նույնիսկ լրացուցիչ բանաձեւերի կարիք չկա։ Իսկ նրանք, որոնք արդեն գրված են խտրականի ու անհայտի համար, ձեզ պետք չեն։

Նախ հաշվի առեք թերի հավասարումթիվ երկու հասցեում: Այս հավասարության դեպքում ենթադրվում է փակագծից հանել անհայտ արժեքը և լուծել գծային հավասարումը, որը կմնա փակագծերում։ Պատասխանը կունենա երկու արմատ. Առաջինն անպայման հավասար է զրոյի, քանի որ կա գործոն, որը բաղկացած է հենց փոփոխականից։ Երկրորդը ստացվում է գծային հավասարում լուծելով։

Երրորդ համարի թերի հավասարումը լուծվում է՝ թիվը հավասարման ձախ կողմից աջ տեղափոխելով։ Այնուհետև պետք է բաժանել գործակիցը անհայտի դիմաց: Մնում է միայն քառակուսի արմատը հանել և չմոռանալ այն երկու անգամ գրել հակառակ նշաններով։

Ստորև բերված են մի քանի գործողություններ, որոնք օգնում են ձեզ սովորել, թե ինչպես լուծել բոլոր տեսակի հավասարումները, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների: Դրանք կօգնեն աշակերտին խուսափել անուշադրության պատճառով սխալներից։ Այս թերություններն են «Քառյակային հավասարումներ (8-րդ դասարան)» ծավալուն թեման ուսումնասիրելիս վատ գնահատականների պատճառ։ Հետագայում այդ գործողությունները անընդհատ կատարելու կարիք չեն ունենա։ Որովհետև կայուն սովորություն կլինի.

• Նախ պետք է հավասարումը գրել ստանդարտ ձևով: Այսինքն՝ սկզբում փոփոխականի ամենամեծ աստիճան ունեցող տերմինը, իսկ հետո՝ առանց աստիճանի և վերջինը՝ ընդամենը թիվ։

• Եթե ​​«ա» գործակիցից առաջ մինուս է հայտնվում, ապա դա կարող է բարդացնել սկսնակին քառակուսի հավասարումներ ուսումնասիրելու աշխատանքը։ Ավելի լավ է ազատվել դրանից։ Այդ նպատակով բոլոր հավասարությունները պետք է բազմապատկվեն «-1»-ով: Սա նշանակում է, որ բոլոր տերմինները կփոխեն հակառակ նշանը:

• Նույն կերպ խորհուրդ է տրվում ազատվել ֆրակցիաներից։ Պարզապես հավասարումը բազմապատկեք համապատասխան գործակցով, որպեսզի հայտարարները չեղարկվեն:

Օրինակներ

Պահանջվում է լուծել հետևյալ քառակուսի հավասարումները.

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2):

Առաջին հավասարումը` x 2 - 7x \u003d 0: Այն թերի է, հետևաբար այն լուծվում է այնպես, ինչպես նկարագրված է թիվ երկու բանաձևի համար:

Փակագծելուց հետո ստացվում է՝ x (x - 7) \u003d 0:

Առաջին արմատը վերցնում է արժեքը՝ x 1 = 0: Երկրորդը կգտնվի այստեղից գծային հավասարում x - 7 = 0: Հեշտ է տեսնել, որ x 2 = 7:

Երկրորդ հավասարումը` 5x2 + 30 = 0. Կրկին թերի: Միայն այն լուծվում է, ինչպես նկարագրված է երրորդ բանաձեւի համար:

30-ը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո՝ 5x 2 = 30: Այժմ պետք է բաժանել 5-ի: Ստացվում է՝ x 2 = 6: Պատասխանները կլինեն թվեր՝ x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Երրորդ հավասարումը. 15 - 2x - x 2 \u003d 0: Այստեղ և ներքևում քառակուսի հավասարումների լուծումը կսկսվի դրանք վերաշարադրելով. ստանդարտ տեսք: - x 2 - 2x + 15 = 0: Այժմ ժամանակն է օգտագործել երկրորդը օգտակար խորհուրդև ամեն ինչ բազմապատկել մինուս մեկով: Ստացվում է x 2 + 2x - 15 \u003d 0: Ըստ չորրորդ բանաձևի, դուք պետք է հաշվարկեք դիսկրիմինատորը. D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64: Դա մի դրական թիվ. Վերևում ասվածից պարզվում է, որ հավասարումն ունի երկու արմատ. Նրանք պետք է հաշվարկվեն հինգերորդ բանաձեւով. Ըստ դրա՝ պարզվում է, որ x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2: Այնուհետև x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5:

Չորրորդ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 հավասարումը վերածվում է սրան՝ x 2 + 3x + 8 \u003d 0: Դրա դիսկրիմինատորը հավասար է այս արժեքին. -23: Քանի որ այս թիվը բացասական է, այս առաջադրանքի պատասխանը կլինի հետևյալ գրառումը՝ «Արմատներ չկան»։

Հինգերորդ 12x + x 2 + 36 = 0 հավասարումը պետք է վերաշարադրվի հետևյալ կերպ. x 2 + 12x + 36 = 0: Տարբերիչի բանաձևը կիրառելուց հետո ստացվում է զրո թիվը: Սա նշանակում է, որ այն կունենա մեկ արմատ, այն է՝ x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6:

Վեցերորդ հավասարումը (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) պահանջում է փոխակերպումներ, որոնք բաղկացած են նրանից, որ փակագծերը բացելուց առաջ անհրաժեշտ է բերել նմանատիպ տերմիններ: Առաջինի փոխարեն կլինի այսպիսի արտահայտություն. - x \u003d 0. Այն դարձել է թերի: Դրա նմանը արդեն համարվում է մի փոքր ավելի բարձր: Սրա արմատները կլինեն 0 և 1 թվերը:

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 կամ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Սովորելով լուծել առաջին աստիճանի հավասարումներ, իհարկե, ուզում եմ աշխատել ուրիշների հետ, մասնավորապես, երկրորդ աստիճանի հավասարումների հետ, որոնք այլ կերպ կոչվում են քառակուսի։

Քառակուսային հավասարումները ax² + bx + c = 0 տիպի հավասարումներ են, որտեղ փոփոխականը x է, թվերը կլինեն - a, b, c, որտեղ a-ն հավասար չէ զրոյի:

Եթե ​​քառակուսի հավասարման մեջ այս կամ այն ​​գործակիցը (c կամ b) հավասար է զրոյի, ապա այս հավասարումը վերաբերում է թերի քառակուսային հավասարմանը:

Ինչպե՞ս լուծել թերի քառակուսի հավասարումը, եթե ուսանողները մինչ այժմ կարողացել են լուծել միայն առաջին աստիճանի հավասարումներ: Դիտարկենք ոչ ամբողջական քառակուսի հավասարումներ տարբեր տեսակներև պարզ ուղիներնրանց որոշումները։

ա) Եթե c գործակիցը հավասար է 0-ի, իսկ b գործակիցը հավասար չէ զրոյի, ապա ax ² + bx + 0 = 0 կրճատվում է ax ² + bx = 0 ձևի հավասարման:

Նման հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ թերի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևը, որը բաղկացած է դրա ձախ կողմը գործակիցների բաժանելուց և հետագայում այն ​​պայմանից, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի:

Օրինակ, 5x ² - 20x \u003d 0: Մենք հավասարման ձախ կողմը բաժանում ենք գործոնների, մինչդեռ անում ենք սովորականը մաթեմատիկական գործողությունփակագծերից հանելով ընդհանուր գործոնը

5x (x - 4) = 0

Մենք օգտագործում ենք այն պայմանը, որ ապրանքները հավասար են զրոյի:

5 x = 0 կամ x - 4 = 0

Պատասխանը կլինի. առաջին արմատը 0 է; երկրորդ արմատը 4 է:

բ) Եթե b \u003d 0, իսկ ազատ անդամը հավասար չէ զրոյի, ապա ax ² + 0x + c \u003d 0 հավասարումը վերածվում է ax ² + c \u003d 0 ձևի հավասարման: Լուծեք հավասարումները երկուսով: եղանակներ. ա) ձախ կողմի հավասարման բազմանդամի տարրալուծումը գործակիցների. բ) օգտագործելով թվաբանական քառակուսի արմատի հատկությունները. Նման հավասարումը լուծվում է մեթոդներից մեկով, օրինակ.

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Պատասխանն է՝ առաջին արմատը 5/2 է; երկրորդ արմատը - 5/2:

գ) Եթե b-ը հավասար է 0-ի, իսկ c-ն հավասար է 0-ի, ապա ax² + 0 + 0 = 0 վերածվում է ax² = 0 ձևի հավասարման: Նման հավասարման դեպքում x-ը հավասար կլինի 0-ի:

Ինչպես տեսնում եք, անավարտ քառակուսի հավասարումները կարող են ունենալ առավելագույնը երկու արմատ: