Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ. Քառակուսային հավասարումներ

Խնդիրը քաջ հայտնի է մաթեմատիկայից։ Այստեղ նախնական տվյալները a, b, c գործակիցներն են։ Լուծումը ընդհանուր դեպքում երկու արմատներն են x 1 և x 2, որոնք հաշվարկվում են բանաձևերով.

Այս ծրագրում օգտագործվող բոլոր արժեքները իրական տիպի են:

ալգքառակուսի հավասարման արմատները

բան a, b, c, x1, x2, d

վաղմուտքագրում a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

ելք x1, x2

Նման ալգորիթմի թուլությունը տեսանելի է անզեն աչքով։ Նա չի տիրապետում ամենակարեւոր գույքըկիրառվում է որակական ալգորիթմների նկատմամբ. ունիվերսալություն նախնական տվյալների նկատմամբ: Ինչ էլ որ լինեն նախնական տվյալների արժեքները, ալգորիթմը պետք է հանգեցնի որոշակի արդյունքի և հասնի ավարտին:Արդյունքը կարող է թվային պատասխան լինել, բայց կարող է նաև հաղորդագրություն լինել, որ նման տվյալներով խնդիրը լուծում չունի։ Ալգորիթմի մեջտեղում կանգառներ՝ ինչ-որ գործողություն կատարելու անհնարինության պատճառով, անթույլատրելի են։ Ծրագրավորման վերաբերյալ գրականության մեջ նույն հատկությունը կոչվում է ալգորիթմի արդյունավետություն (ամեն դեպքում պետք է ինչ-որ արդյունք ստանալ)։

Ունիվերսալ ալգորիթմ կառուցելու համար նախ անհրաժեշտ է ուշադիր վերլուծել խնդրի մաթեմատիկական բովանդակությունը։

Հավասարման լուծումը կախված է a, b, c գործակիցների արժեքներից: Ահա այս խնդրի վերլուծությունը (մենք սահմանափակվում ենք իրական արմատներ գտնելով).

եթե a=0, b=0, c=0, ապա ցանկացած x հավասարման լուծում է.

եթե a=0, b=0, c¹0, ապա հավասարումը լուծումներ չունի.

եթե a=0, b¹0, ապա սա գծային հավասարում, որն ունի մեկ լուծում՝ x=–c/b;

եթե a¹0 և d=b 2 -4ac³0, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ (բանաձևերը տրված են վերևում);

եթե a¹0 և d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Ալգորիթմի բլոկային դիագրամ.

Նույն ալգորիթմը ալգորիթմական լեզվով.

ալգքառակուսի հավասարման արմատները

բան a, b, c, d, x1, x2

վաղմուտքագրում a, b, c

եթե a=0

ապա եթե b=0

ապա եթե c=0

ապաելք «ցանկացած x լուծում է»

հակառակ դեպքումելք «լուծումներ չկան»

հակառակ դեպքում x:= -c/b

հակառակ դեպքումդ:=b2–4ac

եթեև դ<0

ապաելք «առանց իրական արմատների»

հակառակ դեպքում e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

ելք «x1 =», x1, «x2 =», x2

Այս ալգորիթմը վերաօգտագործվում է մասնաճյուղի կառուցվածքի հրաման.Ճյուղի հրամանի ընդհանուր տեսքը հոսքային գծապատկերներում և ալգորիթմական լեզվով հետևյալն է.

Նախ ստուգվում է «պայմանը» (հաշվարկվում է կապը, տրամաբանական արտահայտությունը)։ Եթե պայմանը ճիշտ է, ապա կատարվում է «սերիա 1»՝ «այո» մակագրությամբ (դրական ճյուղ) սլաքով նշված հրամանների հաջորդականությունը: Հակառակ դեպքում կատարվում է «սերիա 2» (բացասական ճյուղ): ԵԼ-ում պայմանը գրվում է «եթե» ծառայողական բառից հետո, դրական ճյուղը՝ «ապա» բառից հետո, բացասական ճյուղը՝ «այլապես» բառից հետո։ «kv» տառերը ցույց են տալիս ճյուղի վերջը:

Եթե մի ճյուղի ճյուղերը պարունակում են այլ ճյուղեր, ապա նման ալգորիթմն ունի կառուցվածքը բնադրված ճյուղեր. Հենց այս կառուցվածքն ունի «քառակուսային հավասարման արմատներ» ալգորիթմը։ Դրանում, հակիրճ լինելու համար, «այո» և «ոչ» բառերի փոխարեն համապատասխանաբար օգտագործվում են «+» և «-»:

Դիտարկենք հետևյալ խնդիրը. տրված է դրական ամբողջ թիվ n. Պահանջվում է հաշվարկել n! (n-գործոնային): Հիշեք ֆակտորիալ սահմանումը:

Ստորև ներկայացված է ալգորիթմի բլոկային դիագրամ: Այն օգտագործում է երեք ամբողջ թվի տիպի փոփոխականներ. n-ն արգումենտ է; i-ը միջանկյալ փոփոխական է; F-ն արդյունքն է: Ալգորիթմի ճիշտությունը ստուգելու համար ստեղծվել է հետքի աղյուսակ: Նման աղյուսակում նախնական տվյալների հատուկ արժեքների համար ալգորիթմում ներառված փոփոխականների փոփոխությունները հետևվում են քայլերով: Այս աղյուսակը կազմված է n=3 դեպքի համար։

Հետքը ապացուցում է ալգորիթմի ճիշտությունը։ Հիմա այս ալգորիթմը գրենք ալգորիթմական լեզվով։

ալգԳործոնային

ամբողջ n, i, Ֆ

վաղմուտքագրում n

F:=1; i:=1

Ցտեսությունես £n, կրկնել

նկ F:=F´i

Այս ալգորիթմն ունի ցիկլային կառուցվածք։ Ալգորիթմն օգտագործում է «loop-while» կամ «loop with preconditioning» կառուցվածքային հրամանը։ «loop-bye» հրամանի ընդհանուր տեսքը սխեմաներում և EL-ում հետևյալն է.

Մի շարք հրամանների կատարումը (loop body) կրկնվում է, մինչդեռ հանգույցի պայմանը ճշմարիտ է: Երբ պայմանը դառնում է կեղծ, հանգույցն ավարտվում է: Ծառայողական «nts» և «kts» բառերը համապատասխանաբար նշանակում են ցիկլի սկիզբը և ավարտը:

Նախապայմանով օղակը ցիկլային ալգորիթմների կազմակերպման հիմնական, բայց ոչ միակ ձևն է։ Մեկ այլ տարբերակ է հանգույց հետպայմանով.Վերադառնանք քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմին։ Դրան կարելի է մոտենալ այս դիրքից. եթե a=0, ապա սա այլևս քառակուսի հավասարում չէ և այն կարելի է անտեսել: Այս դեպքում մենք կենթադրենք, որ օգտատերը սխալ է թույլ տվել տվյալներ մուտքագրելիս և պետք է նրան հուշել կրկնել մուտքը: Այլ կերպ ասած, ալգորիթմը նախատեսում է նախնական տվյալների հուսալիության վերահսկում, օգտվողին հնարավորություն տալով շտկել սխալը։ Նման հսկողության առկայությունը ծրագրի լավ որակի ևս մեկ նշան է:

Ընդհանուր առմամբ, «loop with postcondition» կամ «loop-fore» կառուցվածքային հրամանը ներկայացված է հետևյալ կերպ.

Այստեղ օգտագործվում է հանգույցի ավարտման պայմանը: Երբ այն դառնում է ճշմարիտ, հանգույցն ավարտվում է:

Կազմենք հետևյալ խնդիրը լուծելու ալգորիթմ. տրված են երկու բնական M և N թվեր: Պահանջվում է հաշվարկել նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ gcd(M,N):

Այս խնդիրը լուծվում է մեթոդով, որը հայտնի է որպես Էվկլիդեսի ալգորիթմը. Նրա գաղափարը հիմնված է այն հատկության վրա, որ եթե M>N, ապա gcd(M

1) եթե թվերը հավասար են, ապա որպես պատասխան վերցրեք դրանց ընդհանուր արժեքը. հակառակ դեպքում շարունակեք ալգորիթմի կատարումը.

2) որոշել թվերից ավելի մեծը.

3) ավելի մեծ թիվը փոխարինել ավելի մեծ և փոքր արժեքների տարբերությամբ.

4) վերադառնալ 1-ին կետի կատարմանը.

Բլոկային դիագրամը և ալգորիթմը AL-ում կլինեն հետևյալը.

Ալգորիթմն ունի ցիկլային կառուցվածք՝ բնադրված ճյուղավորմամբ։ Կատարեք այս ալգորիթմի ձեր սեփական հետագծումը M=18, N=12 դեպքի համար: Արդյունքը gcd=6 է, որն ակնհայտորեն ճիշտ է։

Մատենագիտական նկարագրություն. Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Solutions քառակուսի հավասարումներ// Երիտասարդ գիտնական. - 2016. - Թիվ 6.1. - Ս. 17-20..04.2019).

Մեր նախագիծը նվիրված է քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակներին։ Նախագծի նպատակը՝ սովորել, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ դպրոցական ծրագրում չներառված եղանակներով: Առաջադրանք՝ գտե՛ք քառակուսի հավասարումներ լուծելու բոլոր հնարավոր ուղիները և սովորե՛ք, թե ինչպես օգտագործել դրանք ինքներդ և դասընկերներին ծանոթացնել այդ մեթոդներին:

Որո՞նք են «քառակուսային հավասարումները»:

Քառակուսային հավասարում- ձևի հավասարումը կացին2 + bx + c = 0, որտեղ ա, բ, գ- որոշ թվեր ( a ≠ 0), x- անհայտ:

a, b, c թվերը կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցներ։

ա կոչվում է առաջին գործակից;
b կոչվում է երկրորդ գործակից;
գ - ազատ անդամ:

Իսկ ո՞վ է առաջինը «հնարել» քառակուսի հավասարումներ։

Գծային և քառակուսի հավասարումների լուծման հանրահաշվական որոշ մեթոդներ հայտնի են եղել դեռևս 4000 տարի առաջ Հին Բաբելոնում: Հայտնաբերված հնագույն բաբելոնյան կավե տախտակները, որոնք թվագրվել են մ.թ.ա. 1800-ից 1600 թվականներին, քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրության ամենավաղ վկայությունն են: Նույն հաբերը պարունակում է քառակուսի հավասարումների որոշ տեսակների լուծման մեթոդներ։

Հնում ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծման անհրաժեշտությունը առաջացել է ռազմական բնույթի հողատարածքների և հողային աշխատանքների հայտնաբերման, ինչպես նաև աստղագիտության և զարգացման հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ։ հենց մաթեմատիկան։

Այս հավասարումների լուծման կանոնը, որը նշված է բաբելոնյան տեքստերում, ըստ էության համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները եկել այս կանոնին։ Առայժմ հայտնաբերված գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը տալիս են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ, որոնք նշված են բաղադրատոմսերի ձևով, առանց որևէ նշման, թե ինչպես են դրանք հայտնաբերվել: Չնայած Բաբելոնում հանրահաշվի զարգացման բարձր մակարդակին, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հայեցակարգը և քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր մեթոդները։

Բաբելոնացի մաթեմատիկոսները մոտ 4-րդ դարից մ.թ.ա. դրական արմատներով հավասարումներ լուծելու համար օգտագործել է քառակուսի լրացման մեթոդը: Մոտ 300 մ.թ.ա. Էվկլիդեսը հանդես եկավ երկրաչափական լուծման ավելի ընդհանուր մեթոդով։ Առաջին մաթեմատիկոսը, ով հանրահաշվական բանաձեւի տեսքով բացասական արմատներով հավասարման լուծումներ գտավ, հնդիկ գիտնական էր։ Բրահմագուպտա(Հնդկաստան, մ.թ. 7-րդ դար):

Բրահմագուպտան ուրվագծեց մեկ կանոնական ձևով կրճատված քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոն.

ax2 + bx = c, a>0

Այս հավասարման դեպքում գործակիցները կարող են բացասական լինել: Բրահմագուպտայի կանոնը ըստ էության համընկնում է մերի հետ։

Հնդկաստանում դժվարին խնդիրների լուծման հասարակական մրցույթները սովորական էին։ Հին հնդկական գրքերից մեկում այսպիսի մրցույթների մասին ասվում է հետևյալը. «Ինչպես արևն իր փայլով գերազանցում է աստղերին, այնպես էլ գիտուն մարդն իր փառքը կգերազանցի հանրային ժողովներում՝ առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»: Առաջադրանքները հաճախ դրված էին բանաստեղծական ձևով:

Հանրահաշվական տրակտատում Ալ-Խվարիզմիտրված է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը թվարկում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.

1) «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն՝ ax2 = bx:

2) «Քառակուսիները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 = c.

3) «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 = c.

4) «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն՝ ax2 + c = bx:

5) «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 + bx = c.

6) «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն՝ bx + c == ax2:

Ալ-Խվարեզմիի համար, ով խուսափում էր բացասական թվերի օգտագործումից, այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի անդամները հավելումներ են, ոչ թե հանումներ։ Այս դեպքում ակնհայտորեն հաշվի չեն առնվում այն հավասարումները, որոնք չունեն դրական լուծումներ։ Հեղինակը ուրվագծում է այս հավասարումների լուծման մեթոդները՝ օգտագործելով ալ-ջաբր և ալ-մուկաբալա մեթոդները։ Նրա որոշումը, իհարկե, լիովին չի համընկնում մեր որոշման հետ։ Էլ չենք խոսում այն մասին, որ այն զուտ հռետորական է, պետք է նշել, օրինակ, որ առաջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումը լուծելիս Ալ-Խվարեզմին, ինչպես և բոլոր մաթեմատիկոսները մինչև 17-րդ դարը, հաշվի չեն առնում զրոն. լուծում, հավանաբար այն պատճառով, որ կոնկրետ գործնական առաջադրանքներում դա նշանակություն չունի: Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելիս Ալ-Խվարեզմին սահմանում է դրանց լուծման կանոնները՝ օգտագործելով որոշակի թվային օրինակներ, այնուհետև դրանց երկրաչափական ապացույցները։

Եվրոպայում Ալ-Խավարիզմի մոդելով քառակուսի հավասարումների լուծման ձևերն առաջին անգամ նկարագրվել են «Աբակուսի գրքում», որը գրվել է 1202 թվականին։ Իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Ֆիբոնաչի. Հեղինակն ինքնուրույն մշակեց խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն էր Եվրոպայում, ով մոտեցավ բացասական թվերի ներդրմանը։

Այս գիրքը նպաստեց հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլև Գերմանիայում, Ֆրանսիայում և եվրոպական այլ երկրներում։ Այս գրքից շատ առաջադրանքներ փոխանցվել են 14-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերին։ Քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը, որը կրճատվել է մեկ կանոնական ձևով x2 + bx = c նշանների և b, c գործակիցների բոլոր հնարավոր համակցություններով, ձևակերպվել է Եվրոպայում 1544 թվականին։ Մ.Շտիֆել.

Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց Վիետան ճանաչեց միայն դրական արմատներ: Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալյա, Կարդանո, Բոմբելիառաջիններից է 16-րդ դարում։ հաշվի առնել, բացի դրականից, և բացասական արմատներից: Միայն XVII դ. աշխատանքի շնորհիվ Ժիրար, Դեկարտ, Նյուտոնև այլ գիտնականներ, քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակը ստանում է ժամանակակից ձև:

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումների լուծման մի քանի եղանակներ:

Դպրոցական ուսումնական պլանից քառակուսի հավասարումներ լուծելու ստանդարտ եղանակներ.

Հավասարման ձախ կողմի գործոնացում.
Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ.
Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով.
Քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծում.
Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ հավասարումների լուծում.

Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումների լուծմանը։

Հիշեցնենք, որ տրված քառակուսային հավասարումները լուծելու համար բավական է գտնել երկու այնպիսի թիվ, որոնց արտադրյալը հավասար լինի ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար լինի հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին։

Օրինակ.x 2 -5x+6=0

Պետք է գտնել թվեր, որոնց արտադրյալը 6 է, իսկ գումարը՝ 5։ Այս թվերը կլինեն 3 և 2։

Պատասխան՝ x 1 = 2, x 2 =3.

Բայց դուք կարող եք օգտագործել այս մեթոդը հավասարումների համար, որոնց առաջին գործակիցը հավասար չէ մեկին:

Օրինակ.3x 2 +2x-5=0

Վերցնում ենք առաջին գործակիցը և այն բազմապատկում ազատ անդամով՝ x 2 +2x-15=0.

Այս հավասարման արմատները կլինեն այն թվերը, որոնց արտադրյալը 15 է, իսկ գումարը՝ 2։ Այս թվերն են 5 և 3։ Բնօրինակի հավասարման արմատները գտնելու համար ստացված արմատները բաժանում ենք առաջին գործակցի վրա։

Պատասխան՝ x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Հավասարումների լուծում «փոխանցման» մեթոդով։

Դիտարկենք ax 2 + bx + c = 0 քառակուսային հավասարումը, որտեղ a≠0:

Նրա երկու մասերը բազմապատկելով a-ով, ստանում ենք a 2 x 2 + abx + ac = 0 հավասարումը:

Թող ax = y, որտեղից x = y/a; ապա հանգում ենք y 2 + ըստ + ac = 0 հավասարմանը, որը համարժեք է տրվածին։ Մենք գտնում ենք նրա արմատները 1-ում և 2-ում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը:

Վերջապես մենք ստանում ենք x 1 = y 1 /a և x 2 = y 2 /a:

Այս մեթոդով a գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «փոխանցվում» է դրան, ուստի այն կոչվում է «փոխանցման» մեթոդ։ Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը և, որ ամենակարևորն է, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Օրինակ.2x 2 - 11x + 15 = 0:

2 գործակիցը «փոխանցենք» ազատ տերմինին և փոխարինումը կատարելով՝ ստանում ենք y 2 - 11y + 30 = 0 հավասարումը։

Վիետայի հակադարձ թեորեմի համաձայն

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3:

Պատասխան՝ x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները.

Թող տրվի ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 քառակուսային հավասարումը:

1. Եթե a + b + c \u003d 0 (այսինքն, հավասարման գործակիցների գումարը զրո է), ապա x 1 \u003d 1:

2. Եթե a - b + c \u003d 0, կամ b \u003d a + c, ապա x 1 \u003d - 1:

Օրինակ.345x 2 - 137x - 208 = 0:

Քանի որ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), ապա x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345:

Պատասխան՝ x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Օրինակ.132 x 2 + 247x + 115 = 0

Որովհետեւ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), ապա x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Պատասխան՝ x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Կան քառակուսի հավասարման գործակիցների այլ հատկություններ: բայց դրանց օգտագործումն ավելի բարդ է:

8. Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով:

Նկ 1. Նոմոգրամ

Սա քառակուսի հավասարումների լուծման հին և ներկայումս մոռացված մեթոդ է՝ տեղադրված ժողովածուի 83-րդ էջում՝ Bradis V.M. Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ. - Մ., Կրթություն, 1990:

Աղյուսակ XXII. Նոմոգրամ՝ հավասարումների լուծման համար z2 + pz + q = 0. Այս նոմոգրամը թույլ է տալիս, առանց քառակուսի հավասարումը լուծելու, իր գործակիցներով որոշել հավասարման արմատները։

Նոմոգրամի կորագիծ սանդղակը կառուցված է ըստ բանաձևերի (նկ. 1).

Ենթադրելով OS = p, ED = q, OE = a(բոլորը սմ-ով), 1-ին եռանկյունների նմանությունից ՍԱՆև CDFմենք ստանում ենք համամասնությունը

որտեղից փոխարինումներից և պարզեցումներից հետո հետևում է հավասարումը z 2 + pz + q = 0,և նամակը զնշանակում է կոր սանդղակի ցանկացած կետի պիտակ:

Բրինձ. 2 Քառակուսային հավասարման լուծում նոմոգրամի միջոցով

Օրինակներ.

1) հավասարման համար զ 2 - 9z + 8 = 0նոմոգրամը տալիս է z 1 = 8,0 և z 2 = 1,0 արմատները

Պատասխան՝ 8.0; 1.0.

2) Լուծե՛ք հավասարումը նոմոգրամի միջոցով

2զ 2 - 9z + 2 = 0:

Այս հավասարման գործակիցները բաժանեք 2-ի, ստանում ենք z 2 - 4,5z + 1 = 0 հավասարումը։

Նոմոգրամը տալիս է z 1 = 4 արմատները և z 2 = 0,5:

Պատասխան՝ 4; 0.5.

9. Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական մեթոդ.

Օրինակ.X 2 + 10x = 39:

Բնագրում այս խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ՝ «Քառակուսին և տասը արմատը հավասար են 39-ի»։

Դիտարկենք x կողմով քառակուսի, որի կողքերում ուղղանկյուններ են կառուցված, որպեսզի նրանցից յուրաքանչյուրի մյուս կողմը լինի 2,5, հետևաբար, յուրաքանչյուրի մակերեսը 2,5x է: Ստացված պատկերն այնուհետև լրացվում է նոր ABCD քառակուսու վրա՝ անկյուններում լրացնելով չորս հավասար քառակուսի, որոնցից յուրաքանչյուրի կողմը 2,5 է, իսկ մակերեսը՝ 6,25։

Բրինձ. 3 x 2 + 10x = 39 հավասարումը լուծելու գրաֆիկական եղանակ

ABCD քառակուսու S տարածքը կարող է ներկայացվել որպես տարածքների գումար՝ սկզբնական քառակուսի x 2, չորս ուղղանկյուն (4∙2.5x = 10x) և չորս կցված քառակուսի (6.25∙4 = 25), այսինքն. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25: Փոխարինելով x 2 + 10x 39 թվով, մենք ստանում ենք, որ S \u003d 39 + 25 \u003d 64, ինչը ենթադրում է, որ ABCD քառակուսու կողմը, այսինքն. հատված AB \u003d 8. Բնօրինակ քառակուսի x ցանկալի կողմի համար մենք ստանում ենք

10. Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով Բեզութի թեորեմը։

Բեզութի թեորեմը. P(x) բազմանդամը x - α երկանդամին բաժանելուց հետո մնացածը հավասար է P(α)-ի (այսինքն՝ P(x)-ի արժեքը x = α-ում):

Եթե α թիվը P(x) բազմանդամի արմատն է, ապա այս բազմանդամը առանց մնացորդի բաժանվում է x -α-ի։

Օրինակ.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α՝ ±1,±3, α=1, 1-4+3=0: Բաժանել P(x)-ի (x-1)՝ (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, կամ x-3=0, x=3; Պատասխան՝ x1 =2, x2 =3.

Եզրակացություն:Քառակուսային հավասարումներ արագ և ռացիոնալ լուծելու ունակությունը պարզապես անհրաժեշտ է ավելի բարդ հավասարումներ լուծելու համար, օրինակ՝ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ, բարձր հզորությունների հավասարումներ, երկքառակուսի հավասարումներ, իսկ ավագ դպրոցում՝ եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումներ: Ուսումնասիրելով քառակուսի հավասարումների լուծման բոլոր մեթոդները, մենք կարող ենք դասընկերներին խորհուրդ տալ, բացի ստանդարտ մեթոդներից, լուծել փոխանցման մեթոդով (6) և լուծել հավասարումները գործակիցների հատկությամբ (7), քանի որ դրանք ավելի մատչելի են հասկանալու համար: .

Գրականություն:

Բրեդիս Վ.Մ. Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ. - Մ., Կրթություն, 1990:
Հանրահաշիվ 8 դասարան: Դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S.A.Telyakovsky 15-րդ հրատ., վերանայված. - Մ.: Լուսավորություն, 2015 թ
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Գլեյզեր Գ.Ի. Մաթեմատիկայի պատմություն դպրոցում. Ուղեցույց ուսուցիչների համար. / Էդ. Վ.Ն. Ավելի երիտասարդ. - Մ.: Լուսավորություն, 1964:

սլայդ 2

Հանրահաշվի դասերի քառակուսի հավասարումների ցիկլը 8-րդ դասարանում ըստ դասագրքի Ա.Գ. Մորդկովիչ

Ուսուցիչ MBOU Grushevskaya միջնակարգ դպրոց Kireeva T.A.

սլայդ 3

Նպատակները՝ ներկայացնել քառակուսի հավասարման հասկացությունները, քառակուսի հավասարման արմատը; ցույց տալ քառակուսի հավասարումների լուծումները; ձևավորել քառակուսի հավասարումներ լուծելու ունակություն; ցույց տալ ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելու միջոց՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը:

սլայդ 4

սլայդ 5

Մի քիչ պատմություն Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում. Ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծման անհրաժեշտությունը նույնիսկ հնությունում առաջացել է ռազմական բնույթի հողատարածքների և հողային աշխատանքների հայտնաբերման, ինչպես նաև աստղագիտության զարգացման հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ։ և հենց մաթեմատիկան։ Բաբելոնացիները գիտեին, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ մեր հավատքից մոտ 2000 տարի առաջ: Կիրառելով ժամանակակից հանրահաշվական նշումը, կարելի է ասել, որ նրանց սեպագիր տեքստերում, ի լրումն թերի, կան, օրինակ, ամբողջական քառակուսի հավասարումներ։

սլայդ 6

Բաբելոնյան տեքստերում ամրագրված այս հավասարումների լուծման կանոնը համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները եկել այս կանոնին։ Գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը, որոնք մինչ այժմ գտնվել են, տալիս են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ, որոնք ներկայացված են բաղադրատոմսերի ձևով, առանց որևէ նշման, թե ինչպես են դրանք հայտնաբերվել: Չնայած Բաբելոնում հանրահաշվի զարգացման բարձր մակարդակին, սեպագիր տեքստերում բացակայում են բացասական թվի հայեցակարգը և քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր մեթոդները։

Սլայդ 7

Սահմանում 1. Քառակուսի հավասարումը այն ձևի հավասարումն է, որտեղ a, b, c գործակիցները ցանկացած իրական թվեր են, իսկ Բազմանդամը կոչվում է քառակուսի եռանդամ: a-ն առաջին կամ ամենաբարձր գործակիցն է c-ն երկրորդ գործակիցը c-ն ազատ անդամ է

Սլայդ 8

Սահմանում 2. Քառակուսային հավասարումը կոչվում է կրճատված, եթե նրա առաջատար գործակիցը հավասար է 1-ի; քառակուսային հավասարումը կոչվում է չկրճատված, եթե առաջատար գործակիցը տարբերվում է 1-ից: Օրինակ. 2 - 5 + 3 = 0 - չկրճատված քառակուսի հավասարում - կրճատված քառակուսի հավասարում

Սլայդ 9

Սահմանում 3. Ամբողջական քառակուսի հավասարումը այն քառակուսային հավասարումն է, որում առկա են բոլոր երեք անդամները: a + in + c \u003d 0 Թերի քառակուսի հավասարումը այն հավասարումն է, որում ոչ բոլոր երեք անդամներն են առկա. հավասարում է, որի գործակիցներից առնվազն մեկը՝ հետ զրո.

Սլայդ 10

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

սլայդ 11

Լուծե՛ք թիվ 24.16 առաջադրանքները (ա, բ) Լուծե՛ք հավասարումը կամ Պատասխանե՛ք. կամ Պատասխանել.

սլայդ 12

Սահմանում 4 Քառակուսային հավասարման արմատը x փոփոխականի ցանկացած արժեք է, որի դեպքում քառակուսի եռանկյունը անհետանում է. x փոփոխականի նման արժեքը կոչվում է նաև քառակուսի եռանդամի արմատ։Քառակուսի հավասարումը լուծել նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները կամ հաստատել, որ արմատներ չկան։

սլայդ 13

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը D 0 D=0 Հավասարումը արմատներ չունի Հավասարումն ունի երկու արմատ Հավասարումն ունի մեկ արմատ Քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը.

Սլայդ 14

D>0 քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ, որոնք հայտնաբերվում են բանաձևերով Օրինակ. Լուծիր հավասարումը Լուծում. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, պատասխան՝ 1; -3

սլայդ 15

Քառակուսային հավասարման լուծման ալգորիթմ 1. Հաշվե՛ք D դիսկրիմինանտը D = 2 բանաձևով: Եթե D 0, ապա քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ:

Քառակուսային հավասարումները ուսումնասիրվում են 8-րդ դասարանում, ուստի այստեղ բարդ բան չկա: Դրանք լուծելու կարողությունը էական է:

Քառակուսային հավասարումը ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a , b և c գործակիցները կամայական թվեր են, իսկ a ≠ 0:

Նախքան լուծման կոնկրետ մեթոդները ուսումնասիրելը, մենք նշում ենք, որ բոլոր քառակուսի հավասարումները կարելի է բաժանել երեք դասի.

Արմատներ չունենալ;
Նրանք ունեն ուղիղ մեկ արմատ;
Նրանք ունեն երկու տարբեր արմատներ:

Սա կարևոր տարբերություն է քառակուսի և գծային հավասարումների միջև, որտեղ արմատը միշտ գոյություն ունի և եզակի է: Ինչպե՞ս որոշել, թե քանի արմատ ունի հավասարումը: Դրա համար մի հրաշալի բան կա. խտրական.

Խտրական

Թող տրվի ax 2 + bx + c = 0 քառակուսային հավասարումը, ապա տարբերակիչը պարզապես D = b 2 − 4ac թիվն է:

Այս բանաձեւը պետք է անգիր իմանալ։ Թե որտեղից է այն գալիս, այժմ կարևոր չէ։ Կարևոր է ևս մեկ բան. դիսկրիմինանտի նշանով կարելի է որոշել, թե քանի արմատ ունի քառակուսի հավասարումը։ Այսինքն:

Եթե Դ< 0, корней нет;
Եթե D = 0, կա ուղիղ մեկ արմատ;
Եթե D > 0, կլինի երկու արմատ:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դիսկրիմինատորը ցույց է տալիս արմատների քանակը, և ամենևին էլ դրանց նշանները, ինչպես չգիտես ինչու կարծում են շատերը: Նայեք օրինակներին և ինքներդ ամեն ինչ կհասկանաք.

Առաջադրանք. Քանի՞ արմատ ունեն քառակուսի հավասարումները.

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 - 6x + 9 = 0:

Մենք գրում ենք առաջին հավասարման գործակիցները և գտնում ենք դիսկրիմինատորը.
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Այսպիսով, դիսկրիմինանտը դրական է, ուստի հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ: Մենք վերլուծում ենք երկրորդ հավասարումը նույն կերպ.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131:

Խտրականը բացասական է, արմատներ չկան։ Վերջին հավասարումը մնում է.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0։

Տարբերիչը հավասար է զրոյի - արմատը կլինի մեկ:

Նշենք, որ յուրաքանչյուր հավասարման համար դուրս են գրվել գործակիցներ: Այո, երկար է, այո, հոգնեցուցիչ է, բայց դուք չեք խառնի հավանականությունը և մի թույլ սխալներ թույլ չտաք: Ընտրեք ինքներդ՝ արագություն կամ որակ:

Ի դեպ, եթե «ձեռքդ լցնես», որոշ ժամանակ անց այլևս կարիք չի լինի դուրս գրել բոլոր գործակիցները։ Ձեր գլխում նման վիրահատություններ կանեք։ Մարդկանց մեծամասնությունը սկսում է դա անել ինչ-որ տեղ 50-70 լուծված հավասարումներից հետո - ընդհանուր առմամբ, ոչ այնքան:

Քառակուսային հավասարման արմատները

Հիմա անցնենք լուծմանը։ Եթե տարբերակիչ D > 0, արմատները կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Քառակուսային հավասարման արմատների հիմնական բանաձևը

Երբ D = 0, կարող եք օգտագործել այս բանաձևերից որևէ մեկը. դուք ստանում եք նույն թիվը, որը կլինի պատասխանը: Ի վերջո, եթե Դ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0:

Առաջին հավասարումը.
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16։

D > 0 ⇒ հավասարումն ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք.

Երկրորդ հավասարումը.
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; գ = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64։

D > 0 ⇒ հավասարումը կրկին ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \ձախ (-1 \աջ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \աջ))=3. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ի վերջո, երրորդ հավասարումը.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0:

D = 0 ⇒ հավասարումն ունի մեկ արմատ: Ցանկացած բանաձև կարող է օգտագործվել. Օրինակ՝ առաջինը.

Ինչպես տեսնում եք օրինակներից, ամեն ինչ շատ պարզ է: Եթե իմանաք բանաձևերը և կարողանաք հաշվել, խնդիրներ չեն լինի։ Ամենից հաճախ սխալները տեղի են ունենում, երբ բացասական գործակիցները փոխարինվում են բանաձևով: Այստեղ, կրկին, կօգնի վերը նկարագրված տեխնիկան. բառացիորեն նայեք բանաձևին, նկարեք յուրաքանչյուր քայլը և շատ շուտով ազատվեք սխալներից:

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ

Պատահում է, որ քառակուսի հավասարումը որոշ չափով տարբերվում է սահմանման մեջ տրվածից: Օրինակ:

x2 + 9x = 0;
x2 - 16 = 0:

Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարումների մեջ բացակայում է տերմիններից մեկը: Նման քառակուսի հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են լուծել, քան ստանդարտները. նրանք նույնիսկ կարիք չունեն հաշվարկելու դիսկրիմինանտը: Այսպիսով, եկեք ներկայացնենք նոր հայեցակարգ.

ax 2 + bx + c = 0 հավասարումը կոչվում է թերի քառակուսի հավասարում, եթե b = 0 կամ c = 0, այսինքն. x փոփոխականի կամ ազատ տարրի գործակիցը հավասար է զրոյի։

Իհարկե, հնարավոր է շատ բարդ դեպք, երբ այս երկու գործակիցներն էլ հավասար են զրոյի. արմատը՝ x \u003d 0.

Դիտարկենք այլ դեպքեր։ Թող b \u003d 0, ապա մենք ստանում ենք ax 2 + c \u003d 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարում: Եկեք մի փոքր փոխակերպենք այն.

Քանի որ թվաբանությունը Քառակուսի արմատգոյություն ունի միայն ոչ բացասական թվից, վերջին հավասարությունը իմաստ ունի միայն (−c /a ) ≥ 0-ի համար։ Եզրակացություն.

Եթե ax 2 + c = 0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսային հավասարումը բավարարում է (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը, ապա կլինի երկու արմատ։ Բանաձևը տրված է վերևում.
Եթե (−c/a)< 0, корней нет.

Ինչպես տեսնում եք, դիսկրիմինատորը չի պահանջվել. թերի քառակուսի հավասարումների մեջ ընդհանրապես բարդ հաշվարկներ չկան: Իրականում նույնիսկ անհրաժեշտ չէ հիշել (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը։ Բավական է արտահայտել x 2-ի արժեքը և տեսնել, թե ինչ կա հավասարության նշանի մյուս կողմում։ Եթե կա դրական թիվ, կլինի երկու արմատ: Եթե բացասական լինի, արմատներ ընդհանրապես չեն լինի։

Այժմ անդրադառնանք ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումների, որոնցում ազատ տարրը հավասար է զրոյի։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է՝ միշտ կլինի երկու արմատ։ Բավական է ֆակտորիզացնել բազմանդամը.

Ընդհանուր գործոնը փակագծից հանելը

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Այստեղից են գալիս արմատները: Եզրափակելով, մենք կվերլուծենք այս հավասարումներից մի քանիսը.