Ինչպես սահմանել նույնական հավասար արտահայտություն: Արտահայտությունների ինքնության փոխակերպումներ

Թվերի գումարման և բազմապատկման հիմնական հատկությունները.

Գումարի փոխադարձ հատկություն. երբ տերմինները վերադասավորվում են, գումարի արժեքը չի փոխվում: Ցանկացած a և b թվերի համար հավասարությունը ճիշտ է

Գումարի ասոցիատիվ հատկություն. երկու թվերի գումարին երրորդ թիվ ավելացնելու համար կարող եք առաջին թվին ավելացնել երկրորդի և երրորդի գումարը։ Ցանկացած a, b և c թվերի համար հավասարությունը ճիշտ է

Բազմապատկման կոմուտատիվ հատկություն. գործոնների փոխարկումը չի փոխում արտադրյալի արժեքը: Ցանկացած a, b և c թվերի համար հավասարությունը ճիշտ է

Բազմապատկման ասոցիատիվ հատկություն. երկու թվերի արտադրյալը երրորդ թվով բազմապատկելու համար կարելի է առաջին թիվը բազմապատկել երկրորդի և երրորդի արտադրյալով:

Ցանկացած a, b և c թվերի համար հավասարությունը ճիշտ է

Բաշխիչ հատկություն. Թիվը գումարով բազմապատկելու համար կարող եք այդ թիվը բազմապատկել յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել արդյունքները: Ցանկացած a, b և c թվերի համար հավասարությունը ճիշտ է

Գումարների փոխատեղելի և ասոցիատիվ հատկություններից հետևում է, որ ցանկացած գումարի դեպքում կարող եք վերադասավորել տերմինները, ինչպես ցանկանում եք և կամայական ձևով դրանք միավորել խմբերում:

Օրինակ 1 Հաշվենք 1,23+13,5+4,27 գումարը։

Դա անելու համար հարմար է առաջին տերմինը համատեղել երրորդի հետ: Մենք ստանում ենք.

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Դա բխում է բազմապատկման կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկություններից՝ ցանկացած արտադրյալում կարող ես ամեն կերպ վերադասավորել գործոնները և կամայականորեն միավորել դրանք խմբերի։

Օրինակ 2 Գտնենք արտադրյալի արժեքը 1,8 0,25 64 0,5։

Առաջին գործոնը չորրորդ, իսկ երկրորդը երրորդի հետ համատեղելով՝ կունենանք.

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4.

Բաշխման հատկությունը վավեր է նաև, երբ թիվը բազմապատկվում է երեք և ավելի անդամների գումարով:

Օրինակ՝ a, b, c և d ցանկացած թվերի համար հավասարությունը ճիշտ է

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Մենք գիտենք, որ հանումը կարելի է փոխարինել գումարումով՝ մինուենդին ավելացնելով հակադիր թիվը ենթակետին.

Սա թույլ է տալիս թվային արտահայտություն տեսակ a-bհամարել a և -b թվերի գումարը, a + b-c-d ձևի թվային արտահայտությունը դիտարկել որպես a, b, -c, -d և այլն թվերի գումար: Գործողությունների դիտարկված հատկությունները նույնպես վավեր են նման գումարների համար:

Օրինակ 3 Գտնենք 3.27-6.5-2.5+1.73 արտահայտության արժեքը։

Այս արտահայտությունը 3.27, -6.5, -2.5 և 1.73 թվերի գումարն է։ Կիրառելով գումարման հատկությունները՝ ստանում ենք՝ 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4։

Օրինակ 4 Հաշվենք 36·() արտադրյալը։

Բազմապատկիչը կարելի է համարել որպես թվերի գումար և -: Օգտագործելով բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը՝ ստանում ենք.

36()=36-36=9-10=-1։

Ինքնություններ

Սահմանում. Երկու արտահայտություններ, որոնց համապատասխան արժեքները հավասար են փոփոխականների ցանկացած արժեքի, ասում են, որ նույնական հավասար են:

Սահմանում. Հավասարությունը, որը ճշմարիտ է փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար, կոչվում է ինքնություն:

Գտնենք 3(x+y) և 3x+3y արտահայտությունների արժեքները x=5, y=4 համար:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Մենք ստացանք նույն արդյունքը. Բաշխիչ հատկությունից հետևում է, որ, ընդհանուր առմամբ, փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար 3(x+y) և 3x+3y արտահայտությունների համապատասխան արժեքները հավասար են:

Այժմ դիտարկենք 2x+y և 2xy արտահայտությունները: x=1, y=2-ի համար նրանք հավասար արժեքներ են վերցնում.

Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք նշել x և y արժեքները, որպեսզի այս արտահայտությունների արժեքները հավասար չլինեն: Օրինակ, եթե x=3, y=4, ապա

3(x+y) և 3x+3y արտահայտությունները նույնականորեն հավասար են, բայց 2x+y և 2xy արտահայտությունները նույնականորեն հավասար չեն։

3(x+y)=x+3y հավասարությունը, որը ճիշտ է x-ի և y-ի ցանկացած արժեքի համար, ինքնություն է:

Ճշմարիտ թվային հավասարությունները նույնպես համարվում են ինքնություն:

Այսպիսով, ինքնությունները հավասարություններ են, որոնք արտահայտում են թվերի վրա գործողությունների հիմնական հատկությունները.

ա+բ=բ+ա, (ա+բ)+գ=ա+(բ+գ),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Ինքնության այլ օրինակներ կարելի է բերել.

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Արտահայտությունների ինքնության փոխակերպումներ

Մի արտահայտության փոխարինումը մյուսով, դրան նույնականորեն հավասար, կոչվում է նույնական փոխակերպում կամ պարզապես արտահայտության փոխակերպում։

Փոփոխականներով արտահայտությունների նույնական փոխակերպումները կատարվում են թվերի վրա կատարվող գործողությունների հատկությունների հիման վրա։

X, y, z արժեքներով xy-xz արտահայտության արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է կատարել երեք քայլ: Օրինակ՝ x=2.3, y=0.8, z=0.2-ով ստանում ենք.

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

Այս արդյունքը կարելի է ստանալ միայն երկու քայլով՝ օգտագործելով x(y-z) արտահայտությունը, որը նույնականորեն հավասար է xy-xz արտահայտությանը.

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

Մենք պարզեցրել ենք հաշվարկները՝ փոխարինելով xy-xz արտահայտությունը նույնականով հավասար արտահայտություն x(y-z).

Արտահայտությունների ինքնության փոխակերպումները լայնորեն օգտագործվում են արտահայտությունների արժեքները հաշվարկելու և այլ խնդիրներ լուծելիս: Որոշ նույնական փոխակերպումներ արդեն կատարվել են, օրինակ՝ համանման տերմինների կրճատում, փակագծերի բացում։ Հիշեք այս փոխակերպումների կատարման կանոնները.

նման տերմիններ բերելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց գործակիցները և արդյունքը բազմապատկել ընդհանուր տառի մասով.

եթե փակագծերի առջև կա գումարած նշան, ապա փակագծերը կարող են բաց թողնել՝ պահպանելով փակագծերում փակցված յուրաքանչյուր տերմինի նշանը.

եթե փակագծերից առաջ մինուս նշան կա, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել՝ փոխելով փակագծերում փակցված յուրաքանչյուր տերմինի նշանը:

Օրինակ 1 Եկեք գումարենք նման անդամներ 5x+2x-3x գումարում:

Նման տերմինները կրճատելու համար մենք օգտագործում ենք կանոնը.

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Այս փոխակերպումը հիմնված է բազմապատկման բաշխիչ հատկության վրա։

Օրինակ 2 Ընդարձակենք 2a+(b-3c) արտահայտության փակագծերը։

Փակագծերի բացման կանոնի կիրառում, որոնց նախորդում է գումարած նշանը.

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Կատարված փոխակերպումը հիմնված է գումարման ասոցիատիվ հատկության վրա։

Օրինակ 3 Ընդարձակենք a-(4b-c) արտահայտության փակագծերը։

Եկեք օգտագործենք մինուս նշանով նախորդող փակագծերի ընդլայնման կանոնը.

a-(4b-c)=a-4b+c.

Կատարված փոխակերպումը հիմնված է բազմապատկման բաշխիչ հատկության և գումարման ասոցիատիվ հատկության վրա։ Եկեք ցույց տանք: Ներկայացնենք -(4b-c) երկրորդ անդամը այս արտահայտության մեջ որպես արտադրյալ (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Կիրառելով գործողությունների այս հատկությունները, մենք ստանում ենք.

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Ինքնության արտահայտություններ, ինքնություն. Արտահայտության ինքնության փոխակերպում. Ինքնության ապացույցներ

Գտնենք 2(x - 1) 2x - 2 արտահայտությունների արժեքները x փոփոխականի տրված արժեքների համար։ Արդյունքները գրում ենք աղյուսակում.

Կարելի է եզրակացնել, որ յուրաքանչյուրի համար 2(x - 1) 2x - 2 արտահայտությունների արժեքները տրված արժեքը x փոփոխականը հավասար են միմյանց: Ըստ 2(x - 1) = 2x - 2 հանման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ հատկության: Հետևաբար, x փոփոխականի ցանկացած այլ արժեքի դեպքում 2(x - 1) 2x - 2 արտահայտության արժեքը նույնպես կլինի. իրար հավասար. Նման արտահայտությունները կոչվում են նույնական հավասար:

Օրինակ, 2x + 3x և 5x արտահայտությունները հոմանիշներ են, քանի որ x փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքի համար այս արտահայտությունները ձեռք են բերում նույն արժեքները(սա բխում է գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ հատկությունից, քանի որ 2x + 3x = 5x):

Դիտարկենք հիմա 3x + 2y և 5xy արտահայտությունները: Եթե ​​x \u003d 1 և b \u003d 1, ապա այս արտահայտությունների համապատասխան արժեքները հավասար են միմյանց.

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5:

Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք նշել x և y արժեքները, որոնց համար այս արտահայտությունների արժեքները հավասար չեն լինի միմյանց: Օրինակ, եթե x = 2; y = 0, ապա

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0:

Հետևաբար, կան փոփոխականների այնպիսի արժեքներ, որոնց համար 3x + 2y և 5xy արտահայտությունների համապատասխան արժեքները միմյանց հավասար չեն: Հետևաբար, 3x + 2y և 5xy արտահայտությունները նույնականորեն հավասար չեն:

Ելնելով վերոգրյալից, ինքնությունները, մասնավորապես, հավասարություններ են՝ 2(x - 1) = 2x - 2 և 2x + 3x = 5x:

Ինքնությունը յուրաքանչյուր հավասարություն է, որը գրված է հայտնի հատկություններգործողություններ թվերի վրա. Օրինակ,

a + b = b + a; (ա + բ) + գ = ա + (բ + գ); a (b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Կան նաև այնպիսի հավասարություններ, ինչպիսիք են ինքնությունը.

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Եթե ​​կրճատենք նմանատիպ տերմինները -5x + 2x - 9 արտահայտության մեջ, ապա կստանանք, որ 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9: Այս դեպքում ասում են, որ 5x + 2x - 9 արտահայտությունը փոխարինվել է 7x - արտահայտությամբ: 9, որը նույնական է դրան:

Փոփոխականներով արտահայտությունների նույնական փոխակերպումները կատարվում են թվերի վրա գործողությունների հատկությունների կիրառմամբ։ Մասնավորապես՝ նույնական փոխակերպումներ՝ փակագծերի բացմամբ, նմանատիպ տերմինների կառուցմամբ և այլն։

Արտահայտությունը պարզեցնելիս պետք է կատարվեն նույնական փոխակերպումներ, այսինքն՝ որոշ արտահայտություն փոխարինել դրան նույնական հավասար արտահայտությամբ, որը պետք է լինի ավելի կարճ։

Օրինակ 1. Պարզեցնել արտահայտությունը.

1) -0.3 մ ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 մ ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 մն;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5 ա - ա + 2 բ + 3 բ - ա= 3a + 5b + 2:

Ապացուցելու համար, որ հավասարությունը ինքնություն է (այլ կերպ ասած, ինքնությունն ապացուցելու համար օգտագործվում են արտահայտությունների ինքնության փոխակերպումները։

Դուք կարող եք հաստատել ինքնությունը հետևյալ եղանակներից մեկով.

• կատարել իր ձախ կողմի նույնական վերափոխումները, դրանով իսկ այն հասցնելով աջ կողմի ձևին.
• կատարել իր աջ կողմի նույնական վերափոխումները, դրանով իսկ այն հասցնելով ձախ կողմի ձևին.
• կատարել իր երկու մասերի նույնական փոխակերպումներ՝ դրանով իսկ երկու մասերը հասցնելով նույն արտահայտություններին։

Օրինակ 2. Ապացուցեք ինքնությունը.

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21:

Զարգացում

1) Փոխակերպենք այս հավասարության ձախ կողմը.

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16:

Նույնական փոխակերպումներով հավասարության ձախ կողմի արտահայտությունը վերածվեց աջ կողմի ձևի և դրանով իսկ ապացուցվեց, որ այս հավասարությունը ինքնություն է:

2) Փոխակերպենք այս հավասարության աջ կողմը.

5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b) = 10 ա - 15 բ - 14 ա + 35 բ= 20b - 4a:

Նույնական փոխակերպումներով հավասարության աջ կողմը վերածվեց ձախ կողմի ձևի և դրանով իսկ ապացուցվեց, որ այս հավասարությունը ինքնություն է:

3) Այս դեպքում հարմար է պարզեցնել հավասարության և ձախ և աջ մասերը և համեմատել արդյունքները.

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44:

Նույնական փոխակերպումներով հավասարության ձախ և աջ մասերը վերածվեցին նույն ձևի՝ 26x - 44։ Հետևաբար, այս հավասարությունը ինքնություն է։

Ո՞ր արտահայտություններն են կոչվում նույնական: Բերեք միանման արտահայտությունների օրինակ: Ի՞նչ հավասարություն է կոչվում ինքնություն: Բերեք ինքնության օրինակ: Ի՞նչ է կոչվում արտահայտության ինքնության փոխակերպում: Ինչպե՞ս ապացուցել ինքնությունը:

1. (Բանավոր) Կամ կան միանման հավասար արտահայտություններ.

1) 2a + a և 3a;

2) 7x + 6 և 6 + 7x;

3) x + x + x և x 3;

4) 2 (x - 2) և 2x - 4;

5) m - n և n - m;

6) 2a ∙ r և 2p ∙ a?

1. Արդյո՞ք արտահայտությունները նույնական են.

1) 7x - 2x և 5x;

2) 5ա - 4 և 4 - 5ա;

3) 4m + n և n + 4m;

4) a + a և a 2;

5) 3(a - 4) և 3a - 12;

6) 5m ∙ n և 5m + n?

1. (Բանավոր) Հավասարության ինքնությունն է.

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Բաց փակագիծ.

1. Բաց փակագիծ.

1. Կրճատել նման տերմինները.

1. Անվանեք մի քանի արտահայտություններ, որոնք նույնական են 2a + 3a արտահայտություններին:
2. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ օգտագործելով բազմապատկման փոխադարձ և կապակցական հատկությունները.

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 գ);

4)- x ∙<-7у).

1. Պարզեցրեք արտահայտությունը.

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0.2 x ∙ (-3y);

4) - 1 մ ∙ (-3n):

1. (Բանավոր) Պարզեցրեք արտահայտությունը.

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Կրճատել նման տերմինները.

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 ա + 1,9 բ + 2,8 ա - 2,9 բ;

4) 5 - 7ս + 1,9 գ + 6,9 ս - 1,7 գ.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9ա) - (4 - 18ա);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3մ - 5) + 2(3մ - 7):

1. Բացեք փակագծերը և կրճատեք նման տերմինները.

1) 3 (8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3(5մ - 7) - (15մ - 2).

1) 0.6x + 0.4 (x - 20), եթե x = 2.4;

2) 1.3 (2a - 1) - 16.4, եթե a = 10;

3) 1.2 (մ - 5) - 1.8 (10 - մ), եթե մ = -3.7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, եթե x = -1, y = 1:

1. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և գտե՛ք դրա արժեքը.

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), եթե x = -0,7;

2) 1.7 (y - 11) - 16.3, եթե v \u003d 20;

3) 0.6 (2a - 14) - 0.4 (5a - 1), եթե a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, եթե m = 1,8; n = -0.9:

1. Ապացուցեք ինքնությունը.

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3):

1. Ապացուցեք ինքնությունը.

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (մ - 3) + 3 (մ + 3) = 7 մ - 3:

1. Եռանկյան կողմերից մեկի երկարությունը մեկ սմ է, իսկ մյուս երկու կողմերից յուրաքանչյուրի երկարությունը նրանից 2 սմ-ով ավելի է։ Եռանկյան պարագիծը գրի՛ր որպես արտահայտություն և պարզի՛ր արտահայտությունը։
2. Ուղղանկյան լայնությունը x սմ է, իսկ երկարությունը 3 սմ-ով ավելի է լայնությունից։ Ուղղանկյան պարագիծը գրի՛ր որպես արտահայտություն և պարզի՛ր արտահայտությունը։

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - բ) - (4 ա - 33բ);

6) - (2,7 մ - 1,5 ն) + (2n - 0,48 մ):

1. Ընդարձակեք փակագծերը և պարզեցրեք արտահայտությունը.

1) ա - (ա - (3ա - 1));

2) 12 մ - ((ա - մ) + 12ա);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 ա - 2.8 բ) - (1ա - 1բ):

1. Ապացուցեք ինքնությունը.

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - գ);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Ապացուցեք ինքնությունը.

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Ապացուցեք, որ արտահայտության արժեքը

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) կախված չէ փոփոխականի արժեքից:

1. Ապացուցեք, որ փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար արտահայտության արժեքը

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

նույն թիվն է։

1. Ապացուցեք, որ երեք հաջորդական զույգ թվերի գումարը բաժանվում է 6-ի։
2. Ապացուցեք, որ եթե n-ը բնական թիվ է, ապա -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) արտահայտության արժեքը զույգ թիվ է։

Կրկնելու վարժություններ

1. 1,6 կգ քաշով համաձուլվածքը պարունակում է 15% պղինձ։ Քանի կգ պղինձ կա այս համաձուլվածքում:
2. Քանի՞ տոկոս է կազմում դրա 20 թիվը.

1) քառակուսի;

1. Զբոսաշրջիկը քայլել է 2 ժամ, իսկ 3 ժամ հեծանիվ վարել։ Ընդհանուր առմամբ զբոսաշրջիկը հաղթահարել է 56 կմ։ Գտե՛ք այն արագությունը, որով զբոսաշրջիկը վարել է հեծանիվ, եթե այն 12 կմ/ժ-ով ավելի է, քան նա քայլել է։

Հետաքրքիր առաջադրանքներ ծույլ ուսանողների համար

1. Ֆուտբոլի քաղաքային առաջնությանը մասնակցում է 11 թիմ։ Յուրաքանչյուր թիմ խաղում է մեկ հանդիպում մյուսների հետ: Ապացուցեք, որ մրցումների ցանկացած պահի կա թիմ, որն անցկացրել է զույգ հանդիպումներ կամ դեռ չի անցկացրել:

Դիտարկենք երկու հավասարություն.

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Այս հավասարությունը կպահպանվի a փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար: Այդ հավասարության համար վավեր արժեքների միջակայքը կլինի իրական թվերի ամբողջությունը:

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7:

Այս անհավասարությունը կպահպանվի a փոփոխականի բոլոր արժեքների համար, բացառությամբ զրոյի: Այս անհավասարության համար թույլատրելի արժեքների միջակայքը կլինի իրական թվերի ամբողջությունը, բացառությամբ զրոյի:

Այս հավասարություններից յուրաքանչյուրի մասին կարելի է պնդել, որ դա ճիշտ կլինի փոփոխականների ցանկացած թույլատրելի արժեքների համար: Նման հավասարումները մաթեմատիկայի մեջ կոչվում են ինքնությունները.

Ինքնության հայեցակարգը

Ինքնությունը հավասարություն է, որը ճշմարիտ է փոփոխականների ցանկացած թույլատրելի արժեքների համար: Եթե ​​որևէ վավեր արժեք փոխարինվում է այս հավասարության մեջ փոփոխականների փոխարեն, ապա պետք է ճիշտ թվային հավասարություն ստանալ:

Հարկ է նշել, որ իսկական թվային հավասարությունները նույնպես ինքնություններ են: Ինքնությունները, օրինակ, կլինեն թվերի վրա գործողությունների հատկություններ:

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Եթե ​​որևէ թույլատրելի փոփոխականի երկու արտահայտություն համապատասխանաբար հավասար են, ապա այդպիսի արտահայտությունները կոչվում են նույնական հավասար. Ստորև բերված են նույնական հավասար արտահայտությունների մի քանի օրինակ.

1. (a 2) 4 և a 8;

2. a*b*(-a^2*b) and -a 3 *b 2;

3. ((x 3 *x 8)/x) և x 10:

Մենք միշտ կարող ենք փոխարինել մեկ արտահայտությունը ցանկացած այլ արտահայտությամբ, որը նույնական է առաջինին: Նման փոխարինումը կլինի նույնական փոխակերպում:

Ինքնության օրինակներ

Օրինակ 1. Արդյո՞ք հետևյալ հավասարությունները նույնական են.

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Վերոհիշյալ արտահայտություններից ոչ բոլորն են լինելու ինքնություն: Այս հավասարություններից միայն 1,2 և 3 հավասարություններն են ինքնություն։ Ինչ թվեր էլ փոխարինենք դրանցում, a և b փոփոխականների փոխարեն, այնուամենայնիվ, ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարումներ։

Բայց 4 հավասարությունն արդեն ինքնություն չէ։ Որովհետև ոչ բոլոր թույլատրելի արժեքների համար այս հավասարությունը կկատարվի։ Օրինակ, a = 5 և b = 2 արժեքներով դուք ստանում եք հետևյալ արդյունքը.

Այս հավասարությունը ճիշտ չէ, քանի որ 3 թիվը չի հավասարվում -3 թվին:

Ինքնության փոխարկումներն այն աշխատանքն է, որը մենք կատարում ենք թվային և այբբենական արտահայտությունների, ինչպես նաև փոփոխականներ պարունակող արտահայտությունների հետ: Մենք այս բոլոր փոխակերպումները կատարում ենք, որպեսզի բնօրինակ արտահայտությունը հասցնենք այն ձևի, որը հարմար կլինի խնդրի լուծման համար։ Այս թեմայում մենք կքննարկենք նույնական փոխակերպումների հիմնական տեսակները:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Արտահայտության ինքնության փոխակերպում. Ինչ է դա?

Առաջին անգամ մենք հանդիպում ենք նույնական փոխակերպված մենք հասկացությանը 7-րդ դասարանի հանրահաշվի դասերին: Այնուհետև մենք նախ ծանոթանում ենք նույնական հավասար արտահայտությունների հասկացությանը։ Եկեք զբաղվենք հասկացություններով և սահմանումներով, որպեսզի հեշտացնենք թեմայի յուրացումը:

Սահմանում 1

Արտահայտության ինքնության փոխակերպումգործողություններ են, որոնք կատարվում են սկզբնական արտահայտությունը փոխարինելու համար, որը նույնականորեն հավասար կլինի սկզբնականին:

Հաճախ այս սահմանումը օգտագործվում է կրճատ ձևով, որտեղ «նույնական» բառը բաց է թողնվում: Ենթադրվում է, որ ամեն դեպքում մենք արտահայտության փոխակերպումն իրականացնում ենք այնպես, որ ստացվի սկզբնականին նույնական արտահայտություն, և դա առանձին ընդգծելու կարիք չունի։

Եկեք նկարագրենք այս սահմանումը օրինակներով:

Օրինակ 1

Եթե ​​փոխարինենք արտահայտությունը x + 3 - 2նույնական հավասար արտահայտությանը x+1, ապա իրականացնում ենք արտահայտության նույնական փոխակերպումը x + 3 - 2.

Օրինակ 2

2 ա 6 արտահայտությունը փոխարինել արտահայտությամբ ա 3ինքնության փոխակերպումն է, մինչդեռ արտահայտության փոխարինումը xարտահայտությանը x2նույնական փոխակերպում չէ, քանի որ արտահայտությունները xև x2նույնական հավասար չեն.

Ձեր ուշադրությունն ենք հրավիրում նույնական փոխակերպումներ կատարելիս արտահայտությունների գրելու ձևին։ Սովորաբար սկզբնական արտահայտությունը և ստացված արտահայտությունը գրում ենք որպես հավասարություն: Այսպիսով, x + 1 + 2 = x + 3 գրելը նշանակում է, որ x + 1 + 2 արտահայտությունը վերածվել է x + 3 ձևի:

Գործողությունների հաջորդական կատարումը մեզ տանում է դեպի հավասարությունների շղթա, որը մի քանի անընդմեջ նույնական փոխակերպումներ է։ Այսպիսով, մենք հասկանում ենք x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x նշումը որպես երկու փոխակերպումների հաջորդական իրականացում. ձևը 3 + x.

Ինքնության փոխակերպումներ և ՕՁ

Մի շարք արտահայտություններ, որոնք մենք սկսում ենք ուսումնասիրել 8-րդ դասարանում, իմաստ չունեն փոփոխականների որևէ արժեքի համար: Այս դեպքերում նույնական փոխակերպումների իրականացումը պահանջում է ուշադրություն դարձնել փոփոխականների թույլատրելի արժեքների շրջանին (ODV): Նույնական փոխակերպումներ կատարելը կարող է թողնել ODZ-ն անփոփոխ կամ նեղացնել այն:

Օրինակ 3

Արտահայտությունից անցում կատարելիս a + (−b)արտահայտությանը ա-բփոփոխականների թույլատրելի արժեքների միջակայք աև բմնում է նույնը:

Օրինակ 4

Անցում x արտահայտությունից արտահայտություն x 2 xհանգեցնում է x փոփոխականի ընդունելի արժեքների միջակայքի նեղացմանը բոլոր իրական թվերի բազմությունից մինչև բոլոր իրական թվերի բազմությունը, որից զրոն բացառված է:

Օրինակ 5

Արտահայտության ինքնության փոխակերպում x 2 x x արտահայտությունը հանգեցնում է x փոփոխականի ընդունելի արժեքների տիրույթի ընդլայնմանը բոլոր իրական թվերի բազմությունից, բացառությամբ զրոյի, բոլոր իրական թվերի բազմությանը:

Նույնական փոխակերպումներ իրականացնելիս փոփոխականների թույլատրելի արժեքների շրջանակի նեղացումը կամ ընդլայնումը կարևոր է խնդիրների լուծման համար, քանի որ դա կարող է ազդել հաշվարկների ճշգրտության վրա և հանգեցնել սխալների:

Ինքնության հիմնական փոխակերպումներ

Հիմա տեսնենք, թե ինչ են նույնական փոխակերպումները և ինչպես են դրանք կատարվում: Եկեք առանձնացնենք նույնական փոխակերպումների այն տեսակները, որոնց հետ մենք ամենից հաճախ պետք է գործ ունենանք հիմնական խմբի մեջ:

Ինքնության հիմնական փոխակերպումներից բացի, կան մի շարք փոխակերպումներ, որոնք վերաբերում են որոշակի տեսակի արտահայտություններին: Կոտորակների համար սրանք կրճատման և նոր հայտարարի կրճատման մեթոդներ են: Արմատներով և հզորություններով արտահայտությունների համար բոլոր գործողությունները, որոնք կատարվում են արմատների և հզորությունների հատկությունների հիման վրա: Լոգարիթմական արտահայտությունների համար՝ գործողություններ, որոնք կատարվում են լոգարիթմների հատկությունների հիման վրա։ Եռանկյունաչափական արտահայտությունների համար՝ եռանկյունաչափական բանաձևերի օգտագործմամբ բոլոր գործողությունները: Այս բոլոր փոխակերպումները մանրամասնորեն քննարկվում են առանձին թեմաներում, որոնք կարելի է գտնել մեր ռեսուրսում: Այդ իսկ պատճառով, մենք այս հոդվածում չենք անդրադառնա դրանց վրա:

Եկեք անցնենք հիմնական նույնական փոխակերպումների դիտարկմանը:

Տերմինների, գործոնների վերադասավորում

Սկսենք պայմանները վերադասավորելուց։ Մենք ամենից հաճախ գործ ունենք այս նույնական փոխակերպման հետ: Եվ այստեղ հիմնական կանոն կարելի է համարել հետևյալ պնդումը՝ ցանկացած գումարի դեպքում տերմինների վերադասավորումը չի ազդում արդյունքի վրա։

Այս կանոնը հիմնված է գումարման կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկությունների վրա։ Այս հատկությունները մեզ թույլ են տալիս վերադասավորել տերմինները տեղերում և միևնույն ժամանակ ստանալ արտահայտություններ, որոնք նույնականորեն հավասար են սկզբնականներին: Այդ իսկ պատճառով տերմինների վերադասավորումը գումարի տեղերում նույնական փոխակերպում է։

Օրինակ 6

Մենք ունենք 3 + 5 + 7 անդամի գումարը: Եթե ​​փոխենք 3-ը և 5-ը, արտահայտությունը կստանա 5 + 3 + 7 ձև: Այս դեպքում տերմինները վերադասավորելու մի քանի տարբերակ կա։ Դրանք բոլորը հանգեցնում են սկզբնականին նույնական հավասար արտահայտությունների ստացմանը։

Գումարի մեջ որպես տերմիններ կարող են հանդես գալ ոչ միայն թվերը, այլև արտահայտությունները։ Դրանք, ինչպես և թվերը, կարող են վերադասավորվել՝ չազդելով հաշվարկների վերջնական արդյունքի վրա։

Օրինակ 7

Երեք անդամներ 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 և - 12 a ձևի 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) տերմինները կարող են վերադասավորվել, օրինակ, այսպես (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3: Իր հերթին, դուք կարող եք վերադասավորել տերմինները 1 a + b կոտորակի հայտարարի մեջ, մինչդեռ կոտորակը կստանա 1 b + a ձևը: Եվ արտահայտությունը արմատային նշանի տակ ա 2 + 2 ա + 5նաև գումար է, որում տերմինները կարող են փոխանակվել:

Նույն կերպ, ինչպես տերմինները, սկզբնական արտահայտություններում կարելի է փոխանակել գործոնները և ստանալ նույնական ճիշտ հավասարումներ։ Այս գործողությունը կարգավորվում է հետևյալ կանոնով.

Սահմանում 2

Արտադրանքի մեջ գործոնների տեղ-տեղ վերադասավորումը չի ազդում հաշվարկի արդյունքի վրա։

Այս կանոնը հիմնված է բազմապատկման կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկությունների վրա, որոնք հաստատում են նույնական փոխակերպման ճիշտությունը։

Օրինակ 8

Աշխատանք 3 5 7գործոնների փոխակերպումը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևերից մեկով՝ 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 կամ 3 7 5.

Օրինակ 9

x + 1 x 2 - x + 1 x արտադրյալի գործակիցները փոխելը կտա x 2 - x + 1 x x + 1

Բրա ընդլայնում

Փակագծերը կարող են պարունակել թվային արտահայտությունների և փոփոխականներով արտահայտությունների գրառումներ: Այս արտահայտությունները կարող են վերածվել նույնական հավասար արտահայտությունների, որոնցում ընդհանրապես փակագծեր չեն լինի կամ կլինեն ավելի քիչ, քան սկզբնական արտահայտություններում։ Արտահայտությունների փոխակերպման այս եղանակը կոչվում է փակագծերի ընդլայնում։

Օրինակ 10

Կատարենք գործողություններ փակագծերով՝ ձևի արտահայտությամբ 3 + x − 1 xմիանման ճշմարիտ արտահայտությունը ստանալու համար 3 + x − 1 x.

3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x արտահայտությունը կարող է վերածվել նույնական հավասար արտահայտության առանց 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x փակագծերի:

«Փակագծերի ընդլայնում» թեմայում, որը տեղադրված է մեր ռեսուրսում, մանրամասն քննարկել ենք փակագծերով արտահայտությունների փոխակերպման կանոնները։

Խմբավորման տերմիններ, գործոններ

Այն դեպքերում, երբ մենք գործ ունենք երեք կամ ավելի տերմինների հետ, մենք կարող ենք դիմել այնպիսի միանման փոխակերպումների, ինչպիսին է տերմինների խմբավորումը։ Փոխակերպման այս մեթոդով նկատի ունի մի քանի տերմինների միավորումը խմբի մեջ՝ դրանք վերադասավորելով և փակագծերում դնելով։

Խմբավորման ժամանակ տերմինները փոխանակվում են այնպես, որ խմբավորված տերմինները գտնվում են արտահայտության գրառման մեջ՝ կողք կողքի։ Դրանից հետո դրանք կարող են փակվել փակագծերում։

Օրինակ 11

Վերցրեք արտահայտությունը 5 + 7 + 1 . Եթե ​​առաջին անդամը խմբավորենք երրորդի հետ, ապա կստանանք (5 + 1) + 7 .

Գործոնների խմբավորումն իրականացվում է այնպես, ինչպես տերմինների խմբավորումը։

Օրինակ 12

Աշխատանքի մեջ 2 3 4 5կարելի է առաջին գործոնը խմբավորել երրորդի հետ, իսկ երկրորդը՝ չորրորդին, այս դեպքում հանգում ենք արտահայտությանը. (2 4) (3 5). Իսկ եթե խմբավորեինք առաջին, երկրորդ և չորրորդ գործոնները, ապա կստանայինք արտահայտությունը (2 3 5) 4.

Խմբավորված տերմիններն ու գործոնները կարող են ներկայացվել ինչպես պարզ թվերով, այնպես էլ արտահայտություններով։ Խմբավորման կանոնները մանրամասն քննարկվել են «Խմբավորման պայմաններն ու գործոնները» թեմայում։

Տարբերությունների փոխարինում գումարներով, մասնակի ապրանքներով և հակառակը

Տարբերությունների փոխարինումը գումարներով հնարավոր դարձավ մեր հակադիր թվերի հետ ծանոթության շնորհիվ։ Հիմա հանում թվից աթվեր բկարող է դիտվել որպես թվի հավելում աթվեր −բ. Հավասարություն a − b = a + (− b)կարելի է արդարացի համարել և դրա հիման վրա կատարել տարբերությունների փոխարինում գումարներով։

Օրինակ 13

Վերցրեք արտահայտությունը 4 + 3 − 2 , որում թվերի տարբերությունը 3 − 2 մենք կարող ենք գրել որպես գումար 3 + (− 2) . Ստացեք 4 + 3 + (− 2) .

Օրինակ 14

Արտահայտության բոլոր տարբերությունները 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2կարող է փոխարինվել նման գումարներով 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Ցանկացած տարբերությունից կարող ենք գնալ գումարների: Նմանապես, մենք կարող ենք կատարել հակադարձ փոխարինում:

Բաժանման փոխարինումը բազմապատկմամբ բաժանարարի փոխադարձով հնարավոր է դառնում փոխադարձ թվերի հայեցակարգով։ Այս փոխակերպումը կարելի է գրել այսպես a: b = a (b - 1).

Այս կանոնը եղել է սովորական կոտորակների բաժանման կանոնի հիմքում։

Օրինակ 15

Մասնավոր 1 2: 3 5 կարող է փոխարինվել ձևի արտադրանքով 1 2 5 3.

Նմանապես, անալոգիայի միջոցով բաժանումը կարող է փոխարինվել բազմապատկմամբ:

Օրինակ 16

Արտահայտության դեպքում 1+5:x:(x+3)փոխարինել բաժանումը xկարելի է բազմապատկել 1 x. Բաժանում ըստ x + 3մենք կարող ենք փոխարինել բազմապատկելով 1 x + 3. Փոխակերպումը թույլ է տալիս մեզ ստանալ սկզբնականին նույնական արտահայտություն՝ 1 + 5 1 x 1 x + 3:

Բաժանման միջոցով բազմապատկման փոխարինումն իրականացվում է ըստ սխեմայի a b = a: (b - 1).

Օրինակ 17

5 x x 2 + 1 - 3 արտահայտության մեջ բազմապատկումը կարելի է փոխարինել 5-ով բաժանելով՝ x 2 + 1 x - 3:

Թվերով գործողություններ կատարելը

Թվերով գործողություններ կատարելը ենթակա է գործողությունների հերթականության կանոնին։ Նախ, գործողությունները կատարվում են թվերի հզորություններով և թվերի արմատներով: Դրանից հետո լոգարիթմները, եռանկյունաչափական և այլ ֆունկցիաները փոխարինում ենք իրենց արժեքներով։ Այնուհետև կատարվում են փակագծերում տրված գործողությունները։ Եվ հետո դուք արդեն կարող եք կատարել մնացած բոլոր գործողությունները ձախից աջ: Կարևոր է հիշել, որ բազմապատկումն ու բաժանումն իրականացվում է գումարումից և հանումից առաջ:

Թվերի հետ գործողությունները թույլ են տալիս վերափոխել սկզբնական արտահայտությունը դրան հավասար արտահայտության:

Օրինակ 18

Փոխակերպենք 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x արտահայտությունը՝ կատարելով թվերի հետ բոլոր հնարավոր գործողությունները:

Որոշում

Նախ, եկեք նայենք աստիճանին 2 3 և արմատ 4 և հաշվարկիր դրանց արժեքները. 2 3 = 8 և 4 = 2 2 = 2:

Ստացված արժեքները փոխարինեք սկզբնական արտահայտությամբ և ստացեք՝ 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) :

Այժմ անենք փակագծերը. 8 − 1 = 7 . Եվ եկեք անցնենք 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) արտահայտությանը:

Մենք պարզապես պետք է կատարենք բազմապատկումը 3 և 7 . Մենք ստանում ենք՝ 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Պատասխան. 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Թվերով գործողություններին կարող են նախորդել այլ տեսակի նույնական փոխակերպումներ, ինչպիսիք են թվերի խմբավորումը կամ ընդլայնվող փակագծերը:

Օրինակ 19

Վերցրեք արտահայտությունը 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Որոշում

Նախ կփոխենք փակագծերում տրված գործակիցը 6: 3 դրա նշանակության վրա 2 . Ստանում ենք՝ 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 ։

Ընդլայնենք փակագծերը. 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Եկեք խմբավորենք արտադրյալի թվային գործակիցները, ինչպես նաև այն տերմինները, որոնք թվեր են. (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Անցնենք փակագծերը. (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Պատասխան.3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Եթե ​​աշխատենք թվային արտահայտությունների հետ, ապա մեր աշխատանքի նպատակը կլինի արտահայտության արժեքը գտնելը։ Եթե ​​արտահայտությունները փոխակերպենք փոփոխականներով, ապա մեր գործողությունների նպատակը կլինի պարզեցնել արտահայտությունը։

Ընդհանուր գործոնի փակագծում

Այն դեպքերում, երբ արտահայտության մեջ տերմիններն ունեն նույն գործոնը, ապա մենք կարող ենք փակագծերից հանել այս ընդհանուր գործոնը։ Դա անելու համար նախ պետք է սկզբնական արտահայտությունը ներկայացնել որպես ընդհանուր գործոնի արտադրյալ և փակագծերում դրված արտահայտություն, որը բաղկացած է սկզբնական տերմիններից՝ առանց ընդհանուր գործոնի։

Օրինակ 20

Թվային առումով 2 7 + 2 3մենք կարող ենք հանել ընդհանուր գործոնը 2 փակագծերից դուրս և ստացիր ձևի նույնական ճիշտ արտահայտություն 2 (7 + 3).

Ընդհանուր գործոնը փակագծերից դուրս դնելու կանոնների հիշողությունը կարող եք թարմացնել մեր ռեսուրսի համապատասխան բաժնում։ Նյութում մանրամասն քննարկվում են ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելու կանոնները և բերված բազմաթիվ օրինակներ։

Նմանատիպ տերմինների կրճատում

Այժմ անցնենք նման տերմիններ պարունակող գումարներին։ Այստեղ հնարավոր է երկու տարբերակ՝ միևնույն անդամներ պարունակող գումարներ և թվային գործակիցով տարբերվող գումարներ։ Նման տերմիններ պարունակող գումարներով գործողությունները կոչվում են համանման տերմինների կրճատում: Այն իրականացվում է հետևյալ կերպ՝ փակագծերից դուրս ենք դնում ընդհանուր տառային մասը և հաշվում ենք փակագծերում թվային գործակիցների գումարը։

Օրինակ 21

Դիտարկենք արտահայտությունը 1 + 4 x − 2 x. Մենք կարող ենք x-ի բառացի մասը հանել փակագծերից և ստանալ արտահայտությունը 1 + x (4 − 2). Հաշվենք փակագծերում դրված արտահայտության արժեքը և ստացենք 1 + x · 2 ձևի գումարը։

Թվերի և արտահայտությունների փոխարինում նույնական հավասար արտահայտություններով

Բնօրինակ արտահայտությունը կազմող թվերն ու արտահայտությունները կարող են փոխարինվել դրանց նույնական հավասար արտահայտություններով։ Բնօրինակ արտահայտության նման փոխակերպումը հանգեցնում է մի արտահայտության, որը նույնականորեն հավասար է դրան:

Օրինակ 22 Օրինակ 23

Դիտարկենք արտահայտությունը 1 + a5, որտեղ մենք կարող ենք փոխարինել a 5 աստիճանը դրան նույնական հավասար արտադրյալով, օրինակ՝ ձևի. ա 4. Սա մեզ կտա արտահայտությունը 1 + ա 4.

Կատարված կերպարանափոխությունն արհեստական ​​է։ Դա միայն իմաստ ունի նախապատրաստվել այլ փոխակերպումների:

Օրինակ 24

Դիտարկենք գումարի փոխակերպումը 4 x 3 + 2 x 2. Ահա տերմինը 4x3մենք կարող ենք ներկայացնել որպես ապրանք 2 x 2 x 2 x. Արդյունքում բնօրինակ արտահայտությունը ձև է ընդունում 2 x 2 2 x + 2 x 2. Այժմ մենք կարող ենք մեկուսացնել ընդհանուր գործոնը 2x2և հանիր այն փակագծերից. 2 x 2 (2 x + 1).

Նույն թվի գումարում և հանում

Միևնույն թվի կամ արտահայտությունը միաժամանակ գումարելը և հանելը արտահայտությունների փոխակերպման արհեստական ​​տեխնիկա է:

Օրինակ 25

Դիտարկենք արտահայտությունը x 2 + 2 x. Դրանից մենք կարող ենք ավելացնել կամ հանել մեկը, ինչը թույլ կտա մեզ հետագայում իրականացնել ևս մեկ նույնական փոխակերպում՝ ընտրել երկանդամության քառակուսին. x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ինքնությունների մասին պատկերացում ունենալով՝ տրամաբանական է անցնել ծանոթությանը։ Այս հոդվածում մենք կպատասխանենք այն հարցին, թե որոնք են նույնական հավասար արտահայտությունները, ինչպես նաև օրինակներ օգտագործելով կպարզենք, թե որ արտահայտություններն են նույնական հավասար, իսկ որոնք՝ ոչ:

Էջի նավարկություն.

Որո՞նք են նույնական հավասար արտահայտությունները:

Նույնականության սահմանմանը զուգահեռ տրված է նույնական հավասար արտահայտությունների սահմանումը։ Դա տեղի է ունենում հանրահաշվի դասին 7-րդ դասարանում: Հանրահաշվի 7 դասի դասագրքում հեղինակ Յու.Ն.Մակարիչևը տալիս է հետևյալ ձևակերպումը.

Սահմանում.

արտահայտություններ են, որոնց արժեքները հավասար են դրանցում ներառված փոփոխականների ցանկացած արժեքի: Նույն արժեքներին համապատասխանող թվային արտահայտությունները նույնպես կոչվում են նույնական հավասար:

Այս սահմանումը օգտագործվում է մինչև 8-րդ դասը, այն վավեր է ամբողջ թվային արտահայտությունների համար, քանի որ դրանք իմաստ ունեն դրանցում ներառված փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար: Իսկ 8-րդ դասարանում նշվում է նույնական հավասար արտահայտությունների սահմանումը։ Բացատրենք, թե դա ինչի հետ է կապված։

8-րդ դասարանում սկսվում է այլ տեսակի արտահայտությունների ուսումնասիրությունը, որոնք, ի տարբերություն ամբողջ թվային արտահայտությունների, կարող են իմաստ չունենալ փոփոխականների որոշ արժեքների համար: Սա անհրաժեշտ է դարձնում փոփոխականների թույլատրելի և անվավեր արժեքների սահմանումները, ինչպես նաև փոփոխականի ODV-ի թույլատրելի արժեքների տիրույթը և արդյունքում պարզաբանել նույնական հավասար արտահայտությունների սահմանումը:

Սահմանում.

Կոչվում են երկու արտահայտություններ, որոնց արժեքները հավասար են իրենց փոփոխականների բոլոր թույլատրելի արժեքներին նույնական հավասար արտահայտություններ. Երկու թվային արտահայտություններ, որոնք ունեն նույն արժեքը, նույնպես ասում են, որ նույնական հավասար են:

Նույնական հավասար արտահայտությունների այս սահմանման մեջ արժե պարզաբանել «դրանց մեջ ներառված փոփոխականների բոլոր թույլատրելի արժեքների համար» արտահայտության իմաստը: Այն ենթադրում է փոփոխականների բոլոր այն արժեքները, որոնց համար երկու նույնական հավասար արտահայտությունները միաժամանակ իմաստ ունեն: Այս միտքը կպարզաբանվի հաջորդ բաժնում՝ դիտարկելով օրինակներ։

Ա. Գ. Մորդկովիչի դասագրքում նույնական հավասար արտահայտությունների սահմանումը մի փոքր այլ կերպ է տրված.

Սահմանում.

Նույնական հավասար արտահայտություններինքնության ձախ և աջ կողմերում արտահայտություններ են:

Իմաստով այս և նախորդ սահմանումները համընկնում են։

Նույնական հավասար արտահայտությունների օրինակներ

Նախորդ ենթաբաժնում ներկայացված սահմանումները թույլ են տալիս բերել նույնական հավասար արտահայտությունների օրինակներ.

Սկսենք նույնական հավասար թվային արտահայտություններից։ 1+2 և 2+1 թվային արտահայտությունները նույնականորեն հավասար են, քանի որ դրանք համապատասխանում են 3 և 3 հավասար արժեքներին: 5 և 30:6 արտահայտությունները նույնպես նույնական հավասար են, ինչպես և (2 2) 3 և 2 6 արտահայտությունները (վերջին արտահայտությունների արժեքները հավասար են ի շնորհիվ): Բայց 3+2 և 3−2 թվային արտահայտությունները նույնականորեն հավասար չեն, քանի որ դրանք համապատասխանում են համապատասխանաբար 5 և 1 արժեքներին, բայց դրանք հավասար չեն:

Այժմ մենք տալիս ենք փոփոխականներով նույնական հավասար արտահայտությունների օրինակներ: Սրանք a+b և b+a արտահայտություններն են: Իրոք, a և b փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար գրավոր արտահայտությունները վերցնում են նույն արժեքները (որը բխում է թվերից): Օրինակ՝ a=1-ով և b=2-ով ունենք a+b=1+2=3 և b+a=2+1=3: a և b փոփոխականների ցանկացած այլ արժեքների համար մենք նույնպես կստանանք այս արտահայտությունների հավասար արժեքներ: 0·x·y·z և 0 արտահայտությունները նույնպես նույնականորեն հավասար են x, y և z փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար: Բայց 2 x և 3 x արտահայտությունները նույնականորեն հավասար չեն, քանի որ, օրինակ, x=1-ում դրանց արժեքները հավասար չեն: Իսկապես, x=1-ի համար 2 x արտահայտությունը 2 1=2 է, իսկ 3 x արտահայտությունը՝ 3 1=3:

Երբ արտահայտություններում փոփոխականների թույլատրելի արժեքների տարածքները համընկնում են, ինչպես, օրինակ, a+1 և 1+a, կամ a b 0 և 0, կամ և, արտահայտություններում, և այդ արտահայտությունների արժեքները հավասար են. այս տարածքների փոփոխականների բոլոր արժեքները, ապա այստեղ ամեն ինչ պարզ է. այս արտահայտությունները նույնականորեն հավասար են դրանցում ներառված փոփոխականների բոլոր թույլատրելի արժեքներին: Այսպիսով, a+1≡1+a ցանկացած a-ի համար, a b 0 և 0 արտահայտությունները նույնականորեն հավասար են a և b փոփոխականների ցանկացած արժեքների համար, իսկ արտահայտությունները և նույնականորեն հավասար են բոլոր x-ի համար: խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 17-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 240 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019315-3 ։

Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։

Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 7-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 17-րդ հրատ., ավելացնել. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-02432-3 ։