Համատեղ համակարգի կացինը կոչվում է անորոշ, եթե. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում, լուծման մեթոդներ, օրինակներ

Համակարգը կոչվում է համատեղ,կամ լուծելիեթե այն ունի գոնե մեկ լուծում. Համակարգը կոչվում է անհամատեղելի,կամ անլուծելիեթե լուծումներ չունի։

Որոշակի, անորոշ SLAE.

Եթե ​​SLAE-ն ունի լուծում և եզակի է, ապա այն կոչվում է որոշակիիսկ եթե լուծումը եզակի չէ, ապա անորոշ.

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Մատրիցները հնարավորություն են տալիս համառոտ գրել գծային հավասարումների համակարգը: Թող տրվի երեք անհայտ ունեցող 3 հավասարումների համակարգ.

Դիտարկենք համակարգի մատրիցը և անհայտ և ազատ անդամների մատրիցային սյունակներ

Եկեք գտնենք ապրանքը

դրանք. Արտադրանքի արդյունքում մենք ստանում ենք այս համակարգի հավասարումների ձախ կողմերը: Այնուհետև, օգտագործելով մատրիցային հավասարության սահմանումը, այս համակարգը կարելի է գրել այսպես

կամ ավելի կարճ Ա∙X=B.

Այստեղ մատրիցներ Աև Բհայտնի են, իսկ մատրիցը Xանհայտ. Նրան պետք է գտնել, քանի որ. դրա տարրերն այս համակարգի լուծումն են: Այս հավասարումը կոչվում է մատրիցային հավասարում.

Թող մատրիցային որոշիչը տարբերվի զրոյից | Ա| ≠ 0. Այնուհետև մատրիցային հավասարումը լուծվում է հետևյալ կերպ. Ձախ կողմում գտնվող հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք մատրիցով Ա-1, մատրիցայի հակադարձ Ա: Քանի որ A -1 A = Eև Ե∙X=X, ապա ստանում ենք մատրիցային հավասարման լուծումը ձևով X = A -1 B .

Նկատի ունեցեք, որ քանի որ հակադարձ մատրիցը կարելի է գտնել միայն քառակուսի մատրիցների համար, մատրիցային մեթոդը կարող է լուծել միայն այն համակարգերը, որոնցում հավասարումների թիվը նույնն է, ինչ անհայտների թիվը.

Կրամերի բանաձեւերը

Կրամերի մեթոդն այն է, որ մենք հաջորդաբար գտնում ենք հիմնական համակարգի նույնացուցիչը, այսինքն. A մատրիցի որոշիչ՝ D = det (a i j) և n օժանդակ որոշիչներ D i (i= ), որոնք ստացվում են D որոշիչից՝ i-րդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամների սյունակով։

Կրամերի բանաձևերը նման են՝ D × x i = D i (i = ):

Սա ենթադրում է Կրամերի կանոնը, որը սպառիչ պատասխան է տալիս համակարգի համատեղելիության հարցին. եթե համակարգի հիմնական որոշիչը տարբերվում է զրոյից, ապա համակարգն ունի եզակի լուծում, որը որոշվում է x i = D i / D բանաձևերով:

Եթե ​​D համակարգի և բոլոր օժանդակ որոշիչները D i = 0 (i= ), ապա համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։ Եթե ​​համակարգի հիմնական որոշիչը D = 0, և առնվազն մեկ օժանդակ որոշիչը տարբերվում է զրոյից, ապա համակարգը անհամապատասխան է:

Թեորեմ (Կրամերի կանոն). Եթե համակարգի որոշիչը Δ ≠ 0 է, ապա դիտարկվող համակարգը ունի մեկ և միայն մեկ լուծում, և

Ապացույց. Այսպիսով, դիտարկենք 3 հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով: Համակարգի 1-ին հավասարումը բազմապատկեք հանրահաշվական լրացումով Ա 11տարր ա 11, 2-րդ հավասարում - միացված A21իսկ 3-րդը՝ միացված Ա 31:

Ավելացնենք այս հավասարումները.

Դիտարկենք այս հավասարման փակագծերից յուրաքանչյուրը և աջ կողմը: 1-ին սյունակի տարրերով որոշիչի ընդլայնման թեորեմի համաձայն.

Նմանապես, կարելի է ցույց տալ, որ և .

Ի վերջո, դա հեշտ է տեսնել

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարություն. Հետևաբար, .

Հավասարությունները և ստացվում են նույն կերպ, որտեղից հետևում է թեորեմի պնդումը։

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ.

Գծային հավասարումների համակարգը հետևողական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համակարգի մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին:

Ապացույց:Այն բաժանվում է երկու փուլի.

1. Թող համակարգը լուծում ունենա. Եկեք դա ցույց տանք.

Թող թվերի բազմությունը համակարգի լուծումն է: Նշեք մատրիցայի --րդ սյունակով, . Այնուհետև, այսինքն՝ ազատ տերմինների սյունակը մատրիցայի սյունակների գծային համակցությունն է։ Թող . Եկեք այդպես ձևացնենք . Հետո ըստ . Մենք ընտրում ենք հիմնական մինորում: Նա կարգ ու կանոն ունի. Ազատ անդամների սյունակը պետք է անցնի այս մինորի միջով, հակառակ դեպքում այն ​​կլինի մատրիցայի հիմնական մինորը։ Ազատ տերմինների սյունակը մատրիցայի սյունակների գծային համակցությունն է: Ըստ որոշիչի հատկությունների, որտեղ է այն որոշիչը, որը ստացվում է մինորից՝ ազատ տերմինների սյունակը սյունակով փոխարինելով: Եթե ​​սյունակն անցել է փոքր M-ի միջով, ապա ,-ում կլինեն երկու նույնական սյունակներ և, հետևաբար, . Եթե ​​սյունակը չի անցել մինորի միջով, ապա այն մատրիցի r + 1 կարգի մինորից կտարբերվի միայն սյունակների հերթականությամբ։ Այդ ժամանակվանից . Այսպիսով, ինչը հակասում է հիմնական անչափահասի սահմանմանը: Հետևաբար, ենթադրությունը, որ , կեղծ է:

2. Թող . Եկեք ցույց տանք, որ համակարգն ունի լուծում. Քանի որ, ուրեմն, մատրիցայի հիմնական մինորը մատրիցայի հիմնական մինորն է: Թող սյունակները անցնեն անչափահասի միջով . Այնուհետև, մատրիցում հիմնված փոքր թեորեմի համաձայն, ազատ տերմինների սյունակը նշված սյունակների գծային համակցությունն է.

(1)

Մենք սահմանում ենք , , , , և վերցնում մնացած անհայտները հավասար զրոյի: Այնուհետև այս արժեքների համար մենք ստանում ենք

Հավասարության ուժով (1) . Վերջին հավասարությունը նշանակում է, որ թվերի բազմությունը համակարգի լուծումն է: Լուծման գոյությունն ապացուցված է։

Վերը քննարկված համակարգում , և համակարգը հետևողական է։ Համակարգում , , և համակարգը անհամապատասխան է:

Նշում. Թեև Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը հնարավորություն է տալիս որոշել, թե արդյոք համակարգը հետևողական է, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ, հիմնականում տեսական ուսումնասիրություններ. Պատճառն այն է, որ մատրիցայի աստիճանը գտնելիս կատարվող հաշվարկները հիմնականում նույնն են, ինչ համակարգի լուծում գտնելիս: Հետևաբար, սովորաբար, փոխանակ գտնելու և գտնելու փոխարեն, մարդը լուծում է փնտրում համակարգի համար։ Եթե ​​այն կարելի է գտնել, ապա մենք իմանում ենք, որ համակարգը հետևողական է և միաժամանակ ստանում է դրա լուծումը: Եթե ​​լուծում հնարավոր չէ գտնել, ապա մենք եզրակացնում ենք, որ համակարգը անհամապատասխան է:

Գծային հավասարումների կամայական համակարգի լուծումներ գտնելու ալգորիթմ (Գաուսի մեթոդ)

Թող տրվի անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ: Պահանջվում է գտնել դրա ընդհանուր լուծումը, եթե այն հետևողական է, կամ հաստատել դրա անհամապատասխանությունը: Մեթոդը, որը կներկայացվի այս բաժնում, մոտ է որոշիչի հաշվարկման մեթոդին և մատրիցայի աստիճանը գտնելու մեթոդին: Առաջարկվող ալգորիթմը կոչվում է Գաուսի մեթոդկամ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդ.

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը

Մատրիցներով հետևյալ գործողությունները մենք անվանում ենք տարրական գործողություններ.

1. գծերի փոխակերպում;

2. տողը բազմապատկել ոչ զրոյական թվով;

3. տողի գումարում մեկ այլ տողի հետ՝ բազմապատկված թվով։

Նկատի ունեցեք, որ հավասարումների համակարգ լուծելիս, ի տարբերություն որոշիչի հաշվարկի և աստիճանը գտնելու, չի կարելի գործել սյունակներով։ Եթե ​​տարրական գործողությունից ստացված մատրիցից վերականգնվում է հավասարումների համակարգը, ապա նոր համակարգկհավասարվի բնօրինակին.

Ալգորիթմի նպատակն է, կիրառելով տարրական գործողությունների հաջորդականություն մատրիցայում, ապահովել, որ յուրաքանչյուր տող, բացառությամբ առաջինի, սկսվի զրոներով, և զրոների թիվը մինչև առաջին ոչ զրոյական տարրը յուրաքանչյուր հաջորդում: շարքը ավելի մեծ է, քան նախորդում:

Ալգորիթմի քայլը հետևյալն է. Գտեք մատրիցի առաջին ոչ զրոյական սյունակը: Թող դա լինի թվով սյունակ: Մենք դրա մեջ գտնում ենք ոչ զրոյական տարր և տողը փոխում ենք այս տարրի հետ առաջին տողով։ Որպեսզի հավելյալ նշումներ չհավաքենք, մենք կենթադրենք, որ մատրիցայում տողերի նման փոփոխություն արդեն կատարվել է, այսինքն՝ . Այնուհետև երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջինը` բազմապատկված թվով, երրորդ տողին ավելացնում ենք առաջինը` բազմապատկված թվով և այլն: Արդյունքում մենք ստանում ենք մատրիցա

(Առաջին զրոյական սյունակները սովորաբար բացակայում են:)

Եթե ​​մատրիցում կա k թվով տող, որում բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի և , ապա դադարեցնում ենք ալգորիթմի կատարումը և եզրակացնում, որ համակարգը անհամապատասխան է։ Իրոք, ընդլայնված մատրիցից վերականգնելով հավասարումների համակարգը, մենք ստանում ենք, որ --րդ հավասարումը կունենա ձև.

Այս հավասարումը չի բավարարում թվերի ոչ մի շարք .

Մատրիցը կարելի է գրել այսպես

Ինչ վերաբերում է մատրիցին, մենք կատարում ենք ալգորիթմի նկարագրված քայլը: Ստացեք մատրիցը

որտեղ, . Այս մատրիցը կրկին կարելի է գրել այսպես

և ալգորիթմի վերը նշված քայլը կրկին կիրառվում է մատրիցայի վրա:

Գործընթացը դադարում է, եթե հաջորդ քայլի կատարումից հետո նոր կրճատված մատրիցը բաղկացած է միայն զրոներից կամ եթե բոլոր տողերը սպառված են: Նկատենք, որ համակարգի անհամատեղելիության մասին եզրակացությունը կարող է ավելի վաղ դադարեցնել գործընթացը։

Եթե ​​մենք չկրճատեինք մատրիցը, ապա վերջում կհասնեինք ձևի մատրիցային

Հաջորդը կատարվում է Գաուսի մեթոդի այսպես կոչված հակադարձ անցումը։ Մատրիցի հիման վրա մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ։ Ձախ կողմում անհայտներին թողնում ենք յուրաքանչյուր տողի առաջին ոչ զրոյական տարրերին համապատասխան թվեր, այսինքն՝ . Ուշադրություն դարձրեք, որ. Մնացած անհայտները տեղափոխվում են աջ կողմ: Աջ կողմի անհայտները համարելով որոշ ֆիքսված մեծություններ, հեշտ է ձախ կողմի անհայտներն արտահայտել դրանցով:

Այժմ, կամայական արժեքներ տալով աջ կողմում գտնվող անհայտներին և հաշվարկելով ձախ կողմում գտնվող փոփոխականների արժեքները, մենք կգտնենք. տարբեր լուծումներսկզբնական համակարգ Ax=b. Ընդհանուր լուծումը գրելու համար անհրաժեշտ է աջ կողմի անհայտները ցանկացած հերթականությամբ նշել տառերով , ներառյալ այն անհայտները, որոնք զրոյական գործակիցների պատճառով բացահայտորեն գրված չեն աջ կողմում, իսկ հետո անհայտների սյունակը կարող է գրվել որպես սյունակ, որտեղ յուրաքանչյուր տարր կամայական արժեքների գծային համակցություն է։ (մասնավորապես, պարզապես կամայական արժեք): Այս մուտքը կլինի համակարգի ընդհանուր լուծումը։

Եթե ​​համակարգը միատարր էր, ապա ստանում ենք համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումը։ Ընդհանուր լուծման սյունակի յուրաքանչյուր տարրում վերցված գործակիցները կկազմեն լուծումների հիմնարար համակարգից առաջին լուծումը, գործակիցները՝ երկրորդ լուծումը և այլն:

Մեթոդ 2. Միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգը կարելի է ձեռք բերել այլ կերպ: Դա անելու համար մեկ փոփոխականին, որը փոխանցվում է աջ կողմ, պետք է վերագրվի 1 արժեքը, իսկ մնացածին` զրո: Հաշվելով ձախ կողմում գտնվող փոփոխականների արժեքները, մենք ստանում ենք մեկ լուծում հիմնարար համակարգից: Աջ կողմի մյուս փոփոխականին վերագրելով 1 արժեքը, մյուսներին՝ զրո, մենք ստանում ենք երկրորդ լուծումը հիմնարար համակարգից և այլն։

Սահմանում: համակարգը կոչվում է համատեղրդ, եթե այն ունի գոնե մեկ լուծում, իսկ անհետևողական՝ հակառակ դեպքում, այսինքն՝ այն դեպքում, երբ համակարգը լուծումներ չունի։ Հարցը, թե համակարգը լուծում ունի, թե ոչ, կապված է ոչ միայն հավասարումների քանակի և անհայտների թվի հարաբերակցության հետ։ Օրինակ, երեք հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով

ունի լուծում և նույնիսկ ունի անսահման շատ լուծումներ, բայց երեք անհայտ ունեցող երկու հավասարումների համակարգ:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Այս համակարգը միշտ հետևողական է, քանի որ այն ունի չնչին լուծում x 1 =…=x n =0

Որպեսզի ոչ տրիվիալ լուծումներ լինեն, դա անհրաժեշտ և բավարար է

պայմաններ r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Թ SLAE լուծումների բազմությունը կազմում է չափման գծային տարածություն (n-r): Սա նշանակում է, որ դրա լուծման արտադրյալը թվով, ինչպես նաև դրա վերջավոր թվի լուծումների գումարը և գծային համակցությունը այս համակարգի լուծումներն են։ Ցանկացած SLAE-ի գծային լուծման տարածությունը R n տարածության ենթատարածությունն է:

SLAE-ի (n-r) գծային անկախ լուծումների ցանկացած բազմություն (որը լուծման տարածության հիմքն է) կոչվում է. Լուծումների հիմնարար հավաքածու (FSR):

Թող х 1 ,…,х r լինեն հիմնական անհայտներ, х r +1 ,…,х n ազատ անհայտներ: Մենք հերթով տալիս ենք անվճար փոփոխականները հետեւյալ արժեքները:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Կազմում է գծային S տարածություն (լուծումների տարածություն), որը R n-ում ենթատարածություն է (n-ը անհայտների թիվն է) և dims=k=n-r, որտեղ r-ը համակարգի աստիճանն է։ Լուծումների տարածության հիմքը (x (1),…, x (k) ) կոչվում է լուծումների հիմնարար համակարգ, և ընդհանուր լուծումն ունի ձև:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? Ռ

Բարձրագույն մաթեմատիկա » Գծային համակարգեր հանրահաշվական հավասարումներ» Հիմնական տերմիններ. Մատրիցային նշում.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ. Հիմնական տերմիններ. Մատրիցային նշում.

1. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի սահմանում. Համակարգային լուծում. Համակարգերի դասակարգում.
2. Գծային հանրահաշվական հավասարումների գրային համակարգերի մատրիցային ձևը.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի սահմանում. Համակարգային լուծում. Համակարգերի դասակարգում.

Տակ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ(SLAE) ենթադրում է համակարգ

\սկիզբ (հավասարում) \ձախ \( \սկիզբ (հավասարեցված) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end (հավասարեցված) \աջ.\վերջ (հավասարում)

$a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) պարամետրերը կոչվում են. գործակիցները, և $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - ազատ անդամներՍԼԱՈՒ. Երբեմն, հավասարումների և անհայտների թիվը ընդգծելու համար նրանք ասում են «$m\times n$ գծային հավասարումների համակարգ»՝ դրանով իսկ ցույց տալով, որ SLAE-ը պարունակում է $m$ հավասարումներ և $n$ անհայտներ։

Եթե ​​բոլոր անվճար պայմանները $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), ապա SLAE կոչվում է միատարր. Եթե ​​ազատ անդամների մեջ կա առնվազն մեկ այլ, քան զրոյից, SLAE կոչվում է տարասեռ.

SLAU որոշումը(1) թվերի ցանկացած դասավորված հավաքածու ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) կանչվում է, եթե այս հավաքածուի տարրերը փոխարինվում են որոշակի հերթականությամբ $x_1,x_2,\ldots,x_n$ անհայտներով: , շրջեք յուրաքանչյուր SLAE հավասարումը նույնության մեջ:

Ցանկացած համասեռ SLAE ունի առնվազն մեկ լուծում. զրո(այլ տերմինաբանությամբ՝ չնչին), այսինքն. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$:

Եթե ​​SLAE (1) ունի առնվազն մեկ լուծում, այն կոչվում է համատեղեթե լուծումներ չկան, անհամատեղելի. Եթե ​​համատեղ SLAE-ն ունի ճիշտ մեկ լուծում, այն կոչվում է որոշակի, եթե անսահման թվով լուծումներ - անորոշ.

Օրինակ #1

Դիտարկենք SLAE-ն

\սկիզբ (հավասարում) \ձախ \( \սկիզբ (հավասարեցված) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5 0.\\ \վերջ (հավասարեցված)\աջ.\վերջ (հավասարում)

Մենք ունենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ, որը պարունակում է $3$ հավասարումներ և $5$ անհայտներ՝ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$: Կարելի է ասել, որ տրված է $3\ անգամ 5$ գծային հավասարումների համակարգ։

Համակարգի գործակիցները (2) անհայտների դիմաց գտնվող թվերն են: Օրինակ՝ առաջին հավասարման մեջ այս թվերն են՝ $3,-4,1,7,-1$։ Համակարգի անվճար անդամները ներկայացված են $11,-65,0$ թվերով։ Քանի որ ազատ անդամների մեջ կա գոնե մեկը, դա այդպես չէ զրո, ապա SLAE (2) անհամասեռ է։

Պատվիրված $(4;-11;5;-7;1)$ հավաքածուն այս SLAE-ի լուծումն է: Սա հեշտ է ստուգել, ​​եթե դուք փոխարինում եք $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ տվյալ համակարգի հավասարումների մեջ.

\սկիզբ (հավասարեցված) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \վերջ (հավասարեցված)

Բնականաբար, հարց է առաջանում՝ արդյոք ճշտված լուծումը միակն է։ SLAE լուծումների քանակի հարցը կքննարկվի համապատասխան թեմայում։

Օրինակ #2

Դիտարկենք SLAE-ն

\սկիզբ(հավասարում) \ձախ \( \սկիզբ (հավասարեցված) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0։\վերջ (հավասարեցված) \աջ։\վերջ (հավասարում)

Համակարգը (3) SLAE է, որը պարունակում է $5$ հավասարումներ և $3$ անհայտներ՝ $x_1,x_2,x_3$: Քանի որ այս համակարգի բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի, ապա SLAE (3) միատարր է: Հեշտ է ստուգել, ​​որ $(0;0;0)$ հավաքածուն տվյալ SLAE-ի լուծումն է: Փոխարինելով $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, օրինակ, (3) համակարգի առաջին հավասարումը, մենք ստանում ենք ճիշտ հավասարություն՝ $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0: -0=0$ . Այլ հավասարումների փոխարինումը կատարվում է նույն կերպ:

Գծային հանրահաշվական հավասարումների գրային համակարգերի մատրիցային ձևը.

Մի քանի մատրիցներ կարող են կապված լինել յուրաքանչյուր SLAE-ի հետ; Ավելին, SLAE-ն ինքնին կարող է գրվել որպես մատրիցային հավասարում: SLAE (1) համար հաշվի առեք հետևյալ մատրիցները.

$A$ մատրիցը կոչվում է համակարգի մատրիցա. Այս մատրիցայի տարրերը տվյալ SLAE-ի գործակիցներն են։

Կանչվում է $\widetilde(A)$ մատրիցը ընդլայնված մատրիցային համակարգ. Այն ստացվում է համակարգի մատրիցին ավելացնելով $b_1,b_2,…,b_m$ անվճար անդամներ պարունակող սյունակ: Սովորաբար այս սյունակը բաժանված է ուղղահայաց գծով `պարզության համար:

Կոչվում է $B$ սյունակի մատրիցը ազատ անդամների մատրիցաև սյունակի մատրիցը $X$ - անհայտների մատրիցա.

Օգտագործելով վերը ներկայացված նշումը՝ SLAE (1) կարելի է գրել մատրիցային հավասարման տեսքով՝ $A\cdot X=B$։

Նշում

Համակարգի հետ կապված մատրիցները կարող են գրվել տարբեր ճանապարհներԱմեն ինչ կախված է դիտարկվող SLAE-ի փոփոխականների և հավասարումների հերթականությունից: Բայց ամեն դեպքում, տրված SLAE-ի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ անհայտների հերթականությունը պետք է լինի նույնը (տե՛ս օրինակ թիվ 4):

Օրինակ #3

Գրեք SLAE $ \ձախ \( \սկիզբ (հավասարեցված) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \վերջ (հավասարեցված) \right.$ մատրիցային ձևով և նշեք համակարգի ընդլայնված մատրիցը:

Մենք ունենք չորս անհայտ, որոնք յուրաքանչյուր հավասարման մեջ հետևում են հետևյալ հաջորդականությանը. $x_1,x_2,x_3,x_4$: Անհայտների մատրիցը կլինի՝ $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$:

Այս համակարգի ազատ անդամներն արտահայտվում են $-5,0,-11$ թվերով, հետևաբար ազատ անդամների մատրիցն ունի ձև՝ $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(զանգված)\աջ)$:

Անցնենք համակարգի մատրիցայի կազմմանը։ Այս մատրիցայի առաջին շարքը կպարունակի առաջին հավասարման գործակիցները՝ $2.3,-5.1$։

Երկրորդ տողում գրում ենք երկրորդ հավասարման գործակիցները՝ $4.0,-1.0$։ Այս դեպքում պետք է հաշվի առնել, որ երկրորդ հավասարման մեջ $x_2$ և $x_4$ փոփոխականներով համակարգի գործակիցները հավասար են զրոյի (քանի որ երկրորդ հավասարման մեջ այդ փոփոխականները բացակայում են)։

Համակարգի մատրիցայի երրորդ շարքում գրում ենք երրորդ հավասարման գործակիցները՝ $0.14.8.1$։ Հաշվի ենք առնում $x_1$ փոփոխականի գործակցի զրոյի հավասարությունը (երրորդ հավասարման մեջ այս փոփոխականը բացակայում է)։ Համակարգի մատրիցը կունենա հետևյալ տեսքը.

$$ A=\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ) $$

Համակարգի մատրիցայի և ինքնին համակարգի միջև կապն ավելի պարզ դարձնելու համար ես կողք կողքի կգրեմ տվյալ SLAE-ն և դրա համակարգի մատրիցը.

Մատրիցային ձևով տրված SLAE-ը կունենա $A\cdot X=B$: Ընդլայնված մուտքագրում.

$$ \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ) \cdot \ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (գ) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \վերջ (զանգված) \աջ) = \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \վերջ (զանգված) \աջ) $$

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը: Դա անելու համար համակարգային մատրիցին $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ ավելացրեք անվճար տերմինների սյունակ (այսինքն՝ $-5,0,-11$): Մենք ստանում ենք՝ $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \վերջ (զանգված) \աջ) $:

Օրինակ #4

Գրեք SLAE $ \ձախ \(\սկիզբ (հավասարեցված) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ մատրիցային ձևով և նշեք համակարգի ընդլայնված մատրիցը:

Ինչպես տեսնում եք, այս SLAE-ի հավասարումների անհայտների հերթականությունը տարբեր է: Օրինակ, երկրորդ հավասարման մեջ հաջորդականությունը հետևյալն է՝ $a,y,c$, իսկ երրորդ հավասարման դեպքում՝ $c,y,a$: Նախքան SLAE-ը մատրիցային ձևով գրելը, բոլոր հավասարումների մեջ փոփոխականների հերթականությունը պետք է լինի նույնը:

Դուք կարող եք պատվիրել փոփոխականները տվյալ SLAE-ի հավասարումների մեջ տարբեր ճանապարհներ(Երեք փոփոխական դասավորելու եղանակների թիվը $3!=6$ է): Ես կքննարկեմ անհայտները պատվիրելու երկու եղանակ.

Մեթոդ թիվ 1

Ներկայացնենք հետևյալ հերթականությունը՝ $c,y,a$։ Եկեք վերաշարադրենք համակարգը՝ տեղադրելով անհայտները անհրաժեշտ պատվեր$\ձախ \(\սկիզբ (հավասարեցված) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(հավասարեցված)\right.$

Պարզության համար SLAE-ն կգրեմ հետևյալ կերպ. $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4: \ վերջ (հավասարեցված)\աջ.$

Համակարգի մատրիցը հետևյալն է. զանգված) \աջ) $. Անդամների անվճար մատրիցա՝ $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$: Անհայտների մատրիցը գրելիս հիշեք անհայտների հերթականությունը՝ $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$: Այսպիսով, տրված SLAE-ի մատրիցային ձևը հետևյալն է՝ $A\cdot X=B$։ Ընդլայնված:

$$ \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \վերջ (զանգված) \աջ) \ cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (c) c \\ y \\ a \վերջ (զանգված) \աջ) = \left(\սկիզբ(զանգված) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \վերջ (զանգված) \աջ) $$

Ընդլայնված համակարգի մատրիցը հետևյալն է. & 0 & 5 & -4 \վերջ (զանգված) \աջ) $:

Մեթոդ թիվ 2

Ներկայացնենք հետևյալ հերթականությունը՝ $a,c,y$։ Եկեք վերաշարադրենք համակարգը՝ անհայտները դնելով պահանջվող հերթականությամբ՝ $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(հավասարեցված)\աջ.$

Պարզության համար ես SLAE-ն կգրեմ հետևյալ կերպ. $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4: \ վերջ (հավասարեցված)\աջ.$

Համակարգի մատրիցը հետևյալն է. զանգված)\աջ)$. Անդամների անվճար մատրիցա՝ $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$: Անհայտների մատրիցը գրելիս հիշեք անհայտների հերթականությունը՝ $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$: Այսպիսով, տրված SLAE-ի մատրիցային ձևը հետևյալն է՝ $A\cdot X=B$։ Ընդլայնված:

$$ \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ) \ cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (c) a \\ c \\ y \վերջ (զանգված) \աջ) = \left(\սկիզբ(զանգված) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \վերջ (զանգված) \աջ) $$

Ընդլայնված համակարգի մատրիցը հետևյալն է. - 1 & 0 & -4 \վերջ (զանգված) \աջ) $:

Ինչպես տեսնում եք, անհայտների հերթականությունը փոխելը համարժեք է համակարգի մատրիցայի սյունակների վերադասավորմանը: Բայց ինչպիսին էլ որ լինի անհայտների այս դասավորությունը, այն պետք է համապատասխանի տվյալ SLAE-ի բոլոր հավասարումներին:

Գծային հավասարումներ

Գծային հավասարումներ- համեմատաբար պարզ մաթեմատիկական թեմա, որը բավականին հաճախ հանդիպում է հանրահաշվի առաջադրանքներում:

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր՝ հիմնական հասկացություններ, տեսակներ

Եկեք պարզենք, թե ինչ է դա և ինչպես են լուծվում գծային հավասարումները:

Սովորաբար, գծային հավասարում ax + c = 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a-ն և c-ն կամայական թվեր կամ գործակիցներ են, իսկ x-ը անհայտ թիվ է:

Օրինակ, գծային հավասարումը կլինի.

Գծային հավասարումների լուծում.

Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումներ:

Գծային հավասարումների լուծումը բավականին հեշտ է։ Դրա համար օգտագործվում է մաթեմատիկական տեխնիկա, ինչպես, օրինակ ինքնության վերափոխում. Եկեք պարզենք, թե ինչ է դա:

Գծային հավասարման և դրա լուծման օրինակ:

Թող կացին + c = 10, որտեղ a = 4, c = 2:

Այսպիսով, մենք ստանում ենք 4x + 2 = 10 հավասարումը:

Որպեսզի այն ավելի հեշտ և արագ լուծվի, մենք կօգտագործենք առաջին մեթոդը ինքնության վերափոխում- այսինքն՝ բոլոր թվերը փոխանցում ենք հավասարման աջ կողմ, իսկ ձախ կողմում թողնում ենք անհայտ 4x-ը։

Ստանալ:

Այսպիսով, հավասարումը վերածվում է սկսնակների համար շատ պարզ խնդրի: Մնում է միայն օգտագործել նույնական փոխակերպման երկրորդ մեթոդը՝ x-ը թողնելով հավասարման ձախ կողմում, թվերը փոխանցել աջ կողմ: Մենք ստանում ենք.

Փորձաքննություն:

4x + 2 = 10, որտեղ x = 2:

Պատասխանը ճիշտ է։

Գծային հավասարումների գրաֆիկ.

Երկու փոփոխականներով գծային հավասարումներ լուծելիս հաճախ օգտագործվում է նաև գծագրման մեթոդը։ Փաստն այն է, որ ax + wy + c \u003d 0 ձևի հավասարումը, որպես կանոն, ունի բազմաթիվ լուծումներ, քանի որ շատ թվեր տեղավորվում են փոփոխականների տեղում, և բոլոր դեպքերում հավասարումը մնում է ճշմարիտ:

Հետևաբար, առաջադրանքը հեշտացնելու համար կառուցվում է գծային հավասարման գրաֆիկ:

Այն կառուցելու համար բավական է վերցնել մեկ զույգ փոփոխական արժեքներ, և դրանք կոորդինատային հարթության վրա կետերով նշելով, դրանց միջով ուղիղ գիծ գծեք: Այս գծի բոլոր կետերը կլինեն մեր հավասարման փոփոխականների տարբերակները:

Արտահայտություններ, արտահայտությունների փոխակերպում

Գործողությունների կարգը, կանոնները, օրինակները:

Թվային, բառացի և փոփոխականներով արտահայտություններն իրենց գրառման մեջ կարող են պարունակել տարբեր նիշեր թվաբանական գործողություններ. Արտահայտությունները փոխարկելիս և արտահայտությունների արժեքները հաշվարկելիս գործողությունները կատարվում են որոշակի հերթականությամբ, այլ կերպ ասած՝ պետք է հետևել. գործողությունների կարգը.

Այս հոդվածում մենք կպարզենք, թե որ գործողությունները պետք է կատարվեն առաջինը, և որոնք՝ դրանցից հետո: Սկսենք ամենաշատից պարզ դեպքերերբ արտահայտությունը պարունակում է միայն թվեր կամ փոփոխականներ, որոնք կապված են գումարած, մինուս նշաններով, բազմապատկել և բաժանել: Հաջորդիվ կբացատրենք, թե ինչ կարգով պետք է կատարվեն գործողությունները փակագծերով արտահայտություններում։ Վերջապես, հաշվի առեք այն հաջորդականությունը, որով գործողությունները կատարվում են ուժեր, արմատներ և այլ գործառույթներ պարունակող արտահայտություններում:

Նախ բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում

Դպրոցը տրամադրում է հետևյալը կանոն, որը որոշում է առանց փակագծերի արտահայտություններում գործողությունների կատարման հերթականությունը:

• գործողությունները կատարվում են ձախից աջ հերթականությամբ,
• որտեղ նախ կատարվում են բազմապատկում և բաժանում, իսկ հետո գումարում և հանում:

Նշված կանոնը միանգամայն բնական է ընկալվում։ Ձախից աջ հերթականությամբ գործողությունների կատարումը բացատրվում է նրանով, որ մեզ մոտ ընդունված է գրանցումներ պահել ձախից աջ։ Իսկ այն, որ բազմապատկումն ու բաժանումը կատարվում է գումարումից ու հանումից առաջ, բացատրվում է այն իմաստով, որ կրում են այդ գործողություններն իրենց մեջ։

Դիտարկենք այս կանոնի կիրառման մի քանի օրինակ։ Օրինակների համար մենք կվերցնենք ամենապարզ թվային արտահայտությունները, որպեսզի չշեղվենք հաշվարկներով, այլ կենտրոնանանք գործողությունների կատարման հերթականության վրա:

Հետևեք 7−3+6 քայլերին:

Բնօրինակ արտահայտությունը չի պարունակում փակագծեր, չի պարունակում բազմապատկում և բաժանում։ Ուստի բոլոր գործողությունները պետք է կատարենք հերթականությամբ ձախից աջ, այսինքն՝ նախ 7-ից հանում ենք 3, ստանում ենք 4, որից հետո ստացված 4 տարբերությանը գումարում ենք 6, ստանում ենք 10։

Համառոտ լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ 7−3+6=4+6=10։

Նշեք գործողությունների հաջորդականությունը 6:2·8:3 արտահայտության մեջ:

Խնդրի հարցին պատասխանելու համար անդրադառնանք այն կանոնին, որը ցույց է տալիս գործողությունների հաջորդականությունը առանց փակագծերի արտահայտություններում։ Բնօրինակ արտահայտությունը պարունակում է միայն բազմապատկման և բաժանման գործողություններ, և ըստ կանոնի՝ դրանք պետք է կատարվեն ձախից աջ հերթականությամբ։

Նախ 6-ը բաժանեք 2-ի, այս գործակիցը բազմապատկեք 8-ով և վերջում ստացվածը բաժանեք 3-ի:

Հիմնական հասկացություններ. Գծային հավասարումների համակարգեր

Հաշվի՛ր 17−5 6:3−2+4:2 արտահայտության արժեքը։

Նախ, եկեք որոշենք, թե ինչ հերթականությամբ պետք է կատարվեն սկզբնական արտահայտության գործողությունները: Այն ներառում է և՛ բազմապատկում, և՛ բաժանում, և՛ գումարում և հանում:

Նախ, ձախից աջ, դուք պետք է կատարեք բազմապատկում և բաժանում: Այսպիսով, մենք 5-ը բազմապատկում ենք 6-ով, ստանում ենք 30, այս թիվը բաժանում ենք 3-ի, ստանում ենք 10: Այժմ 4-ը բաժանում ենք 2-ի, ստանում ենք 2: Բնօրինակ արտահայտության 5 6:3-ի փոխարեն գտնված արժեքը փոխարինում ենք 10-ով, իսկ 2 արժեքը 4:2-ի փոխարեն ունենք 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2։

Ստացված արտահայտության մեջ այլևս չկա բազմապատկում և բաժանում, ուստի մնում է մնացած գործողությունները կատարել ձախից աջ հերթականությամբ՝ 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7։

17−5 6:3−2+4:2=7։

Սկզբում արտահայտությունների արժեքը հաշվարկելիս գործողությունների կատարման կարգը չշփոթելու համար հարմար է թվերը տեղադրել դրանց կատարման հերթականությանը համապատասխանող գործողությունների նշաններից վեր։ Նախորդ օրինակի համար այն կունենա հետևյալ տեսքը. .

Բառացի արտահայտությունների հետ աշխատելիս պետք է պահպանել գործողությունների նույն հերթականությունը՝ սկզբում բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում:

Էջի վերևում

Քայլեր 1 և 2

Մաթեմատիկայի որոշ դասագրքերում թվաբանական գործողությունները բաժանվում են առաջին և երկրորդ քայլերի գործողությունների։ Եկեք զբաղվենք սրանով:

Այս տերմիններում նախորդ պարբերության կանոնը, որը սահմանում է գործողությունների կատարման հերթականությունը, կգրվի հետևյալ կերպ. եթե արտահայտությունը փակագծեր չի պարունակում, ապա ձախից աջ հերթականությամբ, երկրորդ փուլի գործողությունները ( սկզբում կատարվում են բազմապատկում և բաժանում, ապա առաջին փուլի (գումարում և հանում) գործողությունները։

Էջի վերևում

Փակագծերով արտահայտություններում թվաբանական գործողությունների կատարման կարգը

Արտահայտությունները հաճախ պարունակում են փակագծեր՝ ցույց տալու գործողությունների կատարման հերթականությունը: Այս դեպքում կանոն, որը սահմանում է այն հաջորդականությունը, որով գործողությունները կատարվում են փակագծերով արտահայտություններում, ձևակերպված է հետևյալ կերպ՝ նախ կատարվում են փակագծերի գործողությունները, իսկ ձախից աջ հերթականությամբ կատարվում են նաև բազմապատկումն ու բաժանումը, հետո գումարում և հանում։

Այսպիսով, փակագծերում դրված արտահայտությունները համարվում են սկզբնական արտահայտության բաղադրիչներ, և դրանցում պահպանվում է մեզ արդեն հայտնի գործողությունների կարգը։ Դիտարկենք օրինակների լուծումները ավելի հստակության համար:

Կատարեք նշված քայլերը 5+(7−2 3) (6−4):2.

Արտահայտությունը պարունակում է փակագծեր, ուստի նախ կատարենք այս փակագծերում կցված արտահայտությունների գործողությունները։ Սկսենք 7−2 3 արտահայտությունից։ Դրանում նախ պետք է կատարես բազմապատկումը, իսկ հետո միայն հանումը, ունենք 7−2 3=7−6=1։ Անցնում ենք 6−4 փակագծերի երկրորդ արտահայտությանը։ Այստեղ միայն մեկ գործողություն կա՝ հանում, կատարում ենք 6−4=2։

Ստացված արժեքները փոխարինում ենք սկզբնական արտահայտությամբ՝ 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2։ Ստացված արտահայտության մեջ նախ կատարում ենք ձախից աջ բազմապատկում և բաժանում, հետո հանում, ստանում ենք 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6։ Սրա վրա բոլոր գործողությունները ավարտված են, մենք հավատարիմ ենք մնացել դրանց կատարման հետևյալ հաջորդականությանը. 5+(7−2 3) (6−4):2.

Եկեք գրենք կարճ լուծում 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6։

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

Պատահում է, որ արտահայտությունը փակագծերում պարունակում է փակագծեր: Պետք չէ վախենալ դրանից, պարզապես անհրաժեշտ է հետևողականորեն կիրառել փակագծերով արտահայտություններում գործողություններ կատարելու հնչեցված կանոնը։ Եկեք ցույց տանք լուծման օրինակ:

Կատարե՛ք գործողություններ 4+(3+1+4 (2+3)) արտահայտության մեջ:

Սա փակագծերով արտահայտություն է, ինչը նշանակում է, որ գործողությունների կատարումը պետք է սկսվի փակագծերում արտահայտված արտահայտությամբ, այսինքն՝ 3 + 1 + 4 (2 + 3):

Այս արտահայտությունը պարունակում է նաև փակագծեր, ուստի նախ պետք է դրանցում գործողություններ կատարել: Եկեք այսպես անենք՝ 2+3=5: Գտնված արժեքը փոխարինելով՝ ստանում ենք 3+1+4 5։ Այս արտահայտության մեջ նախ կատարում ենք բազմապատկում, հետո գումարում, ունենք 3+1+4 5=3+1+20=24։ Սկզբնական արժեքը, այս արժեքը փոխարինելուց հետո, ստանում է 4+24 ձևը, և ​​մնում է միայն կատարել գործողությունները՝ 4+24=28։

4+(3+1+4 (2+3))=28.

Ընդհանրապես, երբ փակագծերի մեջ դրված են արտահայտության մեջ, հաճախ հարմար է սկսել ներքին փակագծերից և գնալ դեպի արտաքին:

Օրինակ, ասենք, որ պետք է գործողություններ կատարենք (4+(4+(4−6:2))−1)−1 արտահայտությամբ։ Նախ կատարում ենք գործողություններ ներքին փակագծերում, քանի որ 4−6:2=4−3=1, ապա դրանից հետո սկզբնական արտահայտությունը կստանա (4+(4+1)−1)−1 ձևը։ Կրկին կատարում ենք գործողությունը ներքին փակագծերում, քանի որ 4+1=5, հանգում ենք հետևյալ արտահայտությանը (4+5−1)−1. Կրկին կատարում ենք փակագծերում տրված գործողությունները՝ 4+5−1=8, մինչդեռ հասնում ենք 8−1 տարբերությանը, որը հավասար է 7-ի։

Էջի վերևում

Արմատներով, հզորություններով, լոգարիթմներով և այլ ֆունկցիաներով արտահայտություններում գործողությունների կատարման հերթականությունը

Եթե ​​արտահայտությունը ներառում է ուժեր, արմատներ, լոգարիթմներ, սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս, ինչպես նաև այլ գործառույթներ, ապա դրանց արժեքները հաշվարկվում են մինչև մյուս գործողությունները կատարելը, մինչդեռ նախորդ պարբերությունների կանոնները, որոնք նշում են կարգը. հաշվի են առնվում նաև այն գործողությունները, որոնք կատարվում են։ Այսինքն՝ թվարկված բաները, կոպիտ ասած, կարելի է փակագծերում փակված համարել, և մենք գիտենք, որ առաջինը կատարվում են փակագծերի գործողությունները։

Դիտարկենք օրինակներ։

Կատարե՛ք (3+1) 2+6 2:3−7 արտահայտության գործողությունները:

Այս արտահայտությունը պարունակում է 6 2 հզորություն, դրա արժեքը պետք է հաշվարկվի մինչև մնացած քայլերը կատարելը: Այսպիսով, մենք կատարում ենք հզորացում՝ 6 2 \u003d 36: Մենք այս արժեքը փոխարինում ենք սկզբնական արտահայտությամբ, այն կունենա (3+1) 2+36:3−7 ձևը։

Հետո ամեն ինչ պարզ է՝ փակագծերում կատարում ենք գործողություններ, որից հետո մնում է առանց փակագծերի արտահայտություն, որում ձախից աջ հերթականությամբ նախ կատարում ենք բազմապատկում և բաժանում, իսկ հետո գումարում և հանում։ Ունենք (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13։

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

Մյուսները, ներառյալ ավելին բարդ օրինակներԱրմատներով, աստիճաններով և այլն արտահայտություններով գործողություններ կատարելով, հոդվածում կարող եք տեսնել արտահայտության արժեքների հաշվարկը:

Էջի վերևում

Առաջին քայլի գործողություններկոչվում են գումարում և հանում, իսկ բազմապատկումն ու բաժանումը երկրորդ քայլի գործողությունները.

• Մաթեմատիկա: ուսումնասիրություններ. 5 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-րդ հրատ., ջնջվել է։ - M.: Mnemozina, 2007. - 280 p.: հիվանդ. ISBN 5-346-00699-0.

Գրի՛ր գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը ընդհանուր տեսքով

Ի՞նչ է SLAE լուծումը:

Հավասարումների համակարգի լուծումը n թվերի բազմություն է,

Երբ որը փոխարինվում է համակարգում, յուրաքանչյուր հավասարում դառնում է ինքնություն:

Ո՞ր համակարգն է կոչվում հոդ (ոչ համատեղ):

Հավասարումների համակարգը կոչվում է հետևողական, եթե այն ունի առնվազն մեկ լուծում:

Համակարգը կոչվում է անհետևողական, եթե լուծումներ չունի:

Ո՞ր համակարգն է կոչվում որոշակի (անորոշ):

Համատեղ համակարգը կոչվում է որոշակի, եթե այն ունի յուրահատուկ լուծում:

Համատեղ համակարգը կոչվում է անորոշ, եթե այն ունի մեկից ավելի լուծումներ:

Հավասարումների համակարգ գրելու մատրիցային ձև

Վեկտորային համակարգի աստիճան

Վեկտորների համակարգի աստիճանը գծային անկախ վեկտորների առավելագույն քանակն է:

Մատրիցային դասակարգումը և այն գտնելու ուղիները

Մատրիցային աստիճան- այս մատրիցայի անչափահասների կարգերից ամենաբարձրը, որի որոշիչը տարբերվում է զրոյից:

Առաջին մեթոդը՝ եզրագծման մեթոդը, հետևյալն է.

Եթե ​​բոլոր անչափահասները 1-ին կարգի են, այսինքն. մատրիցային տարրերը հավասար են զրոյի, ապա r=0:

Եթե ​​1-ին կարգի մինորներից գոնե մեկը հավասար չէ զրոյի, իսկ 2-րդ կարգի բոլոր մինորները հավասար են զրոյի, ապա r=1։

Եթե ​​2-րդ կարգի փոքրերը զրոյական չեն, ապա մենք ուսումնասիրում ենք 3-րդ կարգի փոքրերը: Այսպիսով գտնվում է k-րդ կարգի մինորը և ստուգվում, թե արդյոք k+1-րդ կարգի մինորները հավասար չեն զրոյի։

Եթե ​​բոլոր k+1 կարգի փոքրերը հավասար են զրոյի, ապա մատրիցայի աստիճանը հավասար է k թվին: Նման k+1 կարգի մինորները սովորաբար հանդիպում են k-րդ կարգի մինորը «եզրավորելով»։

Մատրիցայի աստիճանը որոշելու երկրորդ մեթոդը մատրիցայի տարրական փոխակերպումների կիրառումն է, երբ այն բարձրացվում է անկյունագծային ձևի: Նման մատրիցայի աստիճանը հավասար է ոչ զրոյական անկյունագծային տարրերի թվին:

Գծային հավասարումների անհամասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումը, նրա հատկությունները:

Գույք 1.Գծային հավասարումների համակարգի ցանկացած լուծման և համապատասխան համասեռ համակարգի ցանկացած լուծման գումարը գծային հավասարումների համակարգի լուծումն է:

Գույք 2.

Գծային հավասարումների համակարգեր. հիմնական հասկացություններ

Գծային հավասարումների անհամասեռ համակարգի ցանկացած երկու լուծումների տարբերությունը համապատասխան միատարր համակարգի լուծումն է։

SLAE-ի լուծման Գաուսի մեթոդ

Հաջորդականություն:

1) կազմվում է հավասարումների համակարգի ընդլայնված մատրիցա

2) տարրական փոխակերպումների օգնությամբ մատրիցը վերածվում է քայլային ձևի

3) որոշվում է համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը և համակարգի մատրիցայի աստիճանը և սահմանվում է համակարգի համատեղելիության կամ անհամատեղելիության պայմանագիր.

4) համատեղելիության դեպքում գրվում է հավասարումների համարժեք համակարգը

5) համակարգի լուծումը գտնված է. Հիմնական փոփոխականներն արտահայտվում են ազատության առումով

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ

Կրոնեկեր - Կապելի թեորեմ- գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի համատեղելիության չափանիշ.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը հետևողական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է իր ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, և համակարգը ունի եզակի լուծում, եթե աստիճանը հավասար է անհայտների թվին, և լուծումների անսահման հավաքածու, եթե աստիճանը թվից պակասանհայտ.

Որպեսզի գծային համակարգը հետևողական լինի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այս համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի նրա հիմնական մատրիցայի աստիճանին:

Ե՞րբ է համակարգը լուծում չունի, ե՞րբ ունի մեկ լուծում, ունի՞ շատ լուծումներ։

Եթե ​​համակարգի հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, իսկ դրա հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա հավասարումների նման համակարգերն ունեն եզակի լուծում, իսկ միատարր համակարգի դեպքում՝ բոլորը անհայտ են։ փոփոխականները հավասար են զրոյի:

Գծային հավասարումների համակարգը, որն ունի առնվազն մեկ լուծում, կոչվում է հետևողական: Հակառակ դեպքում, այսինքն. եթե համակարգը լուծումներ չունի, ապա այն կոչվում է անհետևողական:

Գծային հավասարումները կոչվում են հետևողական, եթե այն ունի առնվազն մեկ լուծում և անհամապատասխան, եթե լուծումներ չկան: Օրինակ 14-ում համակարգը համատեղելի է, սյունակը դրա լուծումն է.

Այս լուծումը կարելի է գրել նաև առանց մատրիցների՝ x = 2, y = 1:

Հավասարումների համակարգը կկոչվի անորոշ, եթե այն ունի մեկից ավելի լուծում, և որոշակի, եթե լուծումը եզակի է:

Օրինակ 15. Համակարգն անորոշ է: Օրինակ՝ ... դրա լուծումներն են։ Ընթերցողը կարող է գտնել այս համակարգի բազմաթիվ այլ լուծումներ:

Հին և նոր հիմքերում վեկտորների կոորդինատները կապող բանաձևեր

Եկեք սովորենք, թե ինչպես լուծել գծային հավասարումների համակարգերը նախ կոնկրետ դեպքում: AX = B հավասարումների համակարգը կկոչվի Կրամերի, եթե նրա հիմնական մատրիցը А քառակուսի է և ոչ դեգեներատիվ: Այլ կերպ ասած, Կրամերյան համակարգում անհայտների թիվը համընկնում է հավասարումների թվի և |Ա| = 0.

Թեորեմ 6 (Կրամերի կանոն). Գծային հավասարումների Cramer համակարգը ունի եզակի լուծում, որը տրված է բանաձևերով.

որտեղ Δ = |A| հիմնական մատրիցի որոշիչն է, Δi-ն այն որոշիչն է, որը ստացվում է A-ից՝ i-րդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամներով սյունակով։

Մենք կիրականացնենք n = 3-ի ապացույցը, քանի որ ընդհանուր դեպքում արգումենտները նման են:

Այսպիսով, կա Cramer համակարգ.

Նախ ենթադրենք, որ համակարգի լուծում կա, այսինքն՝ կան

Բազմապատկենք առաջինը։ հավասարություն aii տարրի հանրահաշվական լրացման վրա, երկրորդ հավասարությունը՝ A2i, երրորդը՝ A3i և ավելացրեք ստացված հավասարությունները.

Գծային հավասարումների համակարգ ~ Համակարգի լուծում ~ Հետևողական և անհետևողական համակարգեր ~ Միատարր համակարգ ~ Միատարր համակարգի համատեղելիություն ~ Համակարգի մատրիցայի աստիճան ~ Ոչ տրիվիալ համատեղելիության պայման ~ Լուծումների հիմնարար համակարգ։ General solution ~ Միատարր համակարգի ուսումնասիրություն

Հաշվի առեք համակարգը մգծային հանրահաշվական հավասարումների նկատմամբ nանհայտ
x 1, x 2, …, x n :

Որոշումհամակարգը կոչվում է ամբողջություն nանհայտ արժեքներ

x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,

որի փոխարինմամբ համակարգի բոլոր հավասարումները վերածվում են ինքնության։

Գծային հավասարումների համակարգը կարելի է գրել մատրիցային ձևով.

որտեղ Ա- համակարգի մատրիցա, բ- աջ մաս, x- ցանկալի լուծում Ապ - ընդլայնված մատրիցահամակարգեր:

.

Համակարգը, որն ունի առնվազն մեկ լուծում, կոչվում է համատեղ; համակարգ, որը լուծում չունի անհամատեղելի.

Գծային հավասարումների միատարր համակարգ է կոչվում այն ​​համակարգ, որի աջ կողմը հավասար է զրոյի.

Միատարր համակարգի մատրիցային տեսք. կացին=0.

Միատարր համակարգը միշտ հետևողական է, քանի որ ցանկացած միատարր գծային համակարգ ունի առնվազն մեկ լուծում.

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0:

Եթե ​​միատարր համակարգն ունի եզակի լուծում, ապա այս եզակի լուծումը զրո է, և համակարգը կոչվում է տրիվիալ համատեղ:Եթե ​​միատարր համակարգն ունի մեկից ավելի լուծումներ, ապա դրանց մեջ կան ոչ զրոյական լուծումներ, և այս դեպքում համակարգը կոչվում է. ոչ տրիվիալ համատեղ:

Ապացուցված է, որ ժամը m=nոչ տրիվիալ համակարգի համատեղելիության համար անհրաժեշտ և բավարարայնպես, որ համակարգի մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի:

ՕՐԻՆԱԿ 1. Գծային հավասարումների միատարր համակարգի ոչ տրիվիալ համատեղելիությունը քառակուսի մատրիցով:

Կիրառելով Գաուսի վերացման ալգորիթմը համակարգի մատրիցին, մենք կրճատում ենք համակարգի մատրիցը դեպի քայլային ձև

.

Թիվ rՈչ զրոյական տողերը մատրիցայի քայլային ձևով կոչվում են մատրիցային դասակարգում,նշանակել
r=rg(A)կամ r=Rg(A):

Ճիշտ է հետեւյալ պնդումը.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ

Որպեսզի միատարր համակարգը լինի ոչ տրիվիալորեն հետևողական, անհրաժեշտ և բավարար է, որ դասակարգումը rհամակարգի մատրիցը պակաս էր անհայտների թվից n.

ՕՐԻՆԱԿ 2. Չորս անհայտներով երեք գծային հավասարումների միատարր համակարգի ոչ տրիվիալ համատեղելիություն:

Եթե ​​միատարր համակարգը ոչ տրիվիալորեն հետևողական է, ապա այն ունի անսահման թվով լուծումներ, և համակարգի ցանկացած լուծումների գծային համակցությունը նաև դրա լուծումն է:
Ապացուցված է, որ միատարր համակարգի լուծումների անսահման բազմության մեջ հենց n-rգծային անկախ լուծումներ.
Ագրեգատ n-rՄիատարր համակարգի գծային անկախ լուծումները կոչվում են հիմնարար որոշումների համակարգ.Համակարգի ցանկացած լուծում գծային կերպով արտահայտվում է հիմնարար համակարգի տեսքով: Այսպիսով, եթե աստիճան rմատրիցներ Ամիատարր գծային համակարգ կացին=0ավելի քիչ անհայտներ nև վեկտորներ
e 1, e 2, …, e n-rձևավորել իր հիմնարար լուծումների համակարգը ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), ապա ցանկացած լուծում xհամակարգեր կացին=0կարելի է գրել ձևով

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

որտեղ c 1 , c 2 , …, c n-rկամայական հաստատուններ են: Գրավոր արտահայտությունը կոչվում է ընդհանուր լուծումմիատարր համակարգ .

Հետազոտություն

միատարր համակարգ նշանակում է պարզել, թե արդյոք այն աննշանորեն հետևողական է, և եթե այդպես է, ապա գտեք լուծումների հիմնարար համակարգը և գրեք համակարգի ընդհանուր լուծման արտահայտությունը:

Մենք ուսումնասիրում ենք միատարր համակարգ Գաուսի մեթոդով։

Ուսումնասիրվող միատարր համակարգի մատրիցը, որի աստիճանն է r< n .

Նման մատրիցը նվազեցվում է Գաուսի վերացման միջոցով մինչև աստիճանական ձև

.

Համապատասխան համարժեք համակարգն ունի ձևը

Այստեղից հեշտ է ստանալ փոփոխականների արտահայտություններ x 1, x 2, …, x rմիջոցով x r+1, x r+2, …, x n. Փոփոխականներ
x 1, x 2, …, x rկանչեց հիմնական փոփոխականներև փոփոխականներ x r+1, x r+2, …, x n - ազատ փոփոխականներ.

Ազատ փոփոխականները տեղափոխելով աջ կողմ՝ ստանում ենք բանաձևերը

որոնք որոշում են համակարգի ընդհանուր լուծումը:

Եկեք հաջորդաբար սահմանենք ազատ փոփոխականների արժեքները հավասար

և հաշվարկել հիմնական փոփոխականների համապատասխան արժեքները: Ստացել է n-rլուծումները գծայինորեն անկախ են և, հետևաբար, կազմում են ուսումնասիրվող միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ.

Համատեղելիության համասեռ համակարգի հետազոտություն Գաուսի մեթոդով:

Այնուամենայնիվ, գործնականում տարածված է ևս երկու դեպք.

– Համակարգը անհամապատասխան է (լուծումներ չունի);
Համակարգը հետևողական է և ունի անսահման շատ լուծումներ։

Նշում «Հետևողականություն» տերմինը ենթադրում է, որ համակարգը գոնե ինչ-որ լուծում ունի։ Մի շարք առաջադրանքներում պահանջվում է նախապես ուսումնասիրել համակարգը համատեղելիության համար, ինչպես դա անել. տե՛ս հոդվածը մատրիցային աստիճան.

Այս համակարգերի համար օգտագործվում է լուծման բոլոր մեթոդներից ամենաունիվերսալը. Գաուսի մեթոդ. Փաստորեն, «դպրոցական» ճանապարհը նույնպես կբերի պատասխանին, բայց ներս բարձրագույն մաթեմատիկաԸնդունված է օգտագործել անհայտների հաջորդական վերացման Գաուսի մեթոդը։ Նրանք, ովքեր ծանոթ չեն Գաուսի մեթոդի ալգորիթմին, խնդրում ենք նախ ուսումնասիրել դասը Գաուսի մեթոդը խաբեբաների համար.

Տարրական մատրիցային փոխակերպումները հենց նույնն են, տարբերությունը կլինի լուծման վերջում։ Նախ, հաշվի առեք մի քանի օրինակ, որտեղ համակարգը լուծումներ չունի (անհետևողական):

Օրինակ 1

Ի՞նչն է անմիջապես գրավում ձեր աչքը այս համակարգում: Հավասարումների թիվը փոքր է փոփոխականների թվից։ Եթե ​​հավասարումների թիվը փոքր է փոփոխականների թվից, ապա անմիջապես կարող ենք ասել, որ համակարգը կա՛մ անհետեւողական է, կա՛մ անսահման շատ լուծումներ ունի։ Եվ մնում է միայն պարզել։

Լուծման սկիզբը բավականին սովորական է. մենք գրում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն բերում ենք փուլային ձևի.

(1) Վերին ձախ քայլում մենք պետք է ստանանք +1 կամ -1: Առաջին սյունակում նման թվեր չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը չի աշխատի: Միավորը պետք է կազմակերպվի ինքնուրույն, և դա կարելի է անել մի քանի ձևով։ Ես արեցի սա՝ առաջին տողին ավելացրո՛ւ երրորդ տողը, բազմապատկած -1-ով:

(2) Այժմ մենք ստանում ենք երկու զրո առաջին սյունակում: Երկրորդ տողին ավելացնում ենք 3-ով բազմապատկած առաջին տողը, երրորդ տողին՝ 5-ով բազմապատկած առաջին տողը։

(3) Փոխակերպումը կատարելուց հետո միշտ խորհուրդ է տրվում տեսնել, թե արդյոք հնարավոր է պարզեցնել ստացված տողերը: Կարող է. Երկրորդ տողը բաժանում ենք 2-ի, միաժամանակ երկրորդ քայլին ստանալով ցանկալի -1։ Երրորդ տողը բաժանեք -3-ի:

(4) Երկրորդ տողը ավելացրեք երրորդ տողին:

Հավանաբար բոլորը ուշադրություն են դարձրել վատ գծի վրա, որը պարզվել է տարրական փոխակերպումների արդյունքում. . Հասկանալի է, որ այդպես չի կարող լինել։ Իսկապես, մենք վերագրում ենք ստացված մատրիցը վերադառնալ գծային հավասարումների համակարգ.

Եթե ​​տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է ձևի տող, որտեղ ոչ զրոյական թիվ է, ապա համակարգը անհամապատասխան է (լուծումներ չունի):

Ինչպե՞ս գրանցել առաջադրանքի ավարտը: Սպիտակ կավիճով նկարենք՝ «տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է ձևի գիծ, ​​որտեղ» և պատասխանում ենք՝ համակարգը լուծումներ չունի (անհետևողական)։

Եթե, ըստ պայմանի, պահանջվում է ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐԵԼ համակարգը համատեղելիության համար, ապա անհրաժեշտ է լուծում տալ ավելի կոշտ ոճով, որը ներառում է հայեցակարգը. մատրիցային աստիճանը և Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմը.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ Գաուսի ալգորիթմի հակադարձ շարժում չկա. լուծումներ չկան և պարզապես գտնելու ոչինչ չկա:

Օրինակ 2

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։ Կրկին հիշեցնում եմ ձեզ, որ ձեր լուծման ճանապարհը կարող է տարբերվել իմ լուծման ճանապարհից, Գաուսի ալգորիթմը չունի ուժեղ «կոշտություն»:

Ուրիշ մեկը տեխնիկական հատկանիշլուծումներ. տարրական փոխակերպումները կարող են դադարեցվել Միանգամից, հենց որ մի տող նման , որտեղ . Հաշվի առեք պայմանական օրինակենթադրենք, որ առաջին փոխակերպումից հետո ստանում ենք մատրիցա . Մատրիցը դեռ չի վերածվել աստիճանական ձևի, բայց հետագա տարրական փոխակերպումների կարիք չկա, քանի որ հայտնվել է ձևի մի տող, որտեղ . Անմիջապես պետք է պատասխանել, որ համակարգը անհամատեղելի է։

Երբ գծային հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի, սա գրեթե նվեր է, քանի որ կարճ լուծում է ստացվում, երբեմն բառացիորեն 2-3 քայլով:

Բայց այս աշխարհում ամեն ինչ հավասարակշռված է, և խնդիրը, որի դեպքում համակարգը անսահման շատ լուծումներ ունի, պարզապես ավելի երկար է:

Օրինակ 3

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

Կան 4 հավասարումներ և 4 անհայտներ, ուստի համակարգը կարող է կամ ունենալ մեկ լուծում, կամ չունենալ լուծումներ, կամ ունենալ անսահման շատ լուծումներ: Ինչ էլ որ լիներ, բայց Գաուսի մեթոդը ամեն դեպքում մեզ կտանի պատասխանի։ Դրանում է նրա բազմակողմանիությունը:

Սկիզբը կրկին ստանդարտ է: Մենք գրում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն բերում ենք քայլային ձևի.

Այսքանը, և դու վախենում էիր։

(1) Նկատի ունեցեք, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը բաժանվում են 2-ի, ուստի 2-ը լավ է վերին ձախ մասում: Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը` բազմապատկելով -4-ով: Երրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը` բազմապատկելով -2-ով: Չորրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը` բազմապատկելով -1-ով:

Ուշադրություն.Շատերը կարող են գայթակղվել չորրորդ տողից հանելառաջին գիծ. Դա կարելի է անել, բայց պարտադիր չէ, փորձը ցույց է տալիս, որ հաշվարկներում սխալվելու հավանականությունը մի քանի անգամ մեծանում է։ Պարզապես գումարեք: Չորրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը, բազմապատկելով -1 - ճիշտ!

(2) Վերջին երեք տողերը համաչափ են, որոնցից երկուսը կարող են ջնջվել:

Այստեղ կրկին անհրաժեշտ է ցույց տալ ավելացել է ուշադրությունը, բայց տողերն իսկապե՞ս համամասնական են։ Վերաապահովագրության համար (հատկապես թեյնիկի համար) ավելորդ չէր լինի երկրորդ շարքը բազմապատկել -1-ով, իսկ չորրորդ շարքը բաժանել 2-ի, արդյունքում երեք միանման տողեր: Եվ միայն դրանից հետո հեռացրեք դրանցից երկուսը:

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում համակարգի ընդլայնված մատրիցը վերածվում է աստիճանական ձևի.

Նոթատետրում առաջադրանք կատարելիս խորհուրդ է տրվում նույն գրառումները կատարել մատիտով՝ պարզության համար:

Մենք վերագրում ենք հավասարումների համապատասխան համակարգը.

Համակարգի «սովորական» միակ լուծումն այստեղ հոտ չի գալիս։ Վատ գիծ էլ չկա։ Սա նշանակում է, որ սա մնացած երրորդ դեպքն է՝ համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ։ Երբեմն, պայմանով, անհրաժեշտ է ուսումնասիրել համակարգի համատեղելիությունը (այսինքն ապացուցել, որ լուծում ընդհանրապես գոյություն ունի), այս մասին կարող եք կարդալ հոդվածի վերջին պարբերությունում: Ինչպե՞ս գտնել մատրիցայի աստիճանը:Բայց առայժմ եկեք բաժանենք հիմունքները.

Համակարգի լուծումների անսահման բազմությունը համառոտ գրված է այսպես կոչվածի տեսքով ընդհանուր համակարգի լուծում .

Մենք կգտնենք համակարգի ընդհանուր լուծումը՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդի հակադարձ շարժումը։

Նախ պետք է որոշենք, թե ինչ փոփոխականներ ունենք հիմնական, և որ փոփոխականները անվճար. Պետք չէ անհանգստանալ գծային հանրահաշվի տերմիններով, բավական է հիշել, որ այդպիսիք կան հիմք փոփոխականներև ազատ փոփոխականներ.

Հիմնական փոփոխականները միշտ «նստում» են խիստ մատրիցայի աստիճանների վրա.
AT այս օրինակըհիմնական փոփոխականներն են և

Ազատ փոփոխականները ամեն ինչ են մնացածըփոփոխականներ, որոնք քայլ չեն ստացել: Մեր դեպքում դրանք երկուսն են. – ազատ փոփոխականներ:

Այժմ ձեզ հարկավոր է բոլորը հիմք փոփոխականներարտահայտել միայն միջոցով ազատ փոփոխականներ.

Գաուսի ալգորիթմի հակադարձ շարժումը ավանդաբար աշխատում է ներքևից վեր:
Համակարգի երկրորդ հավասարումից մենք արտահայտում ենք հիմնական փոփոխականը.

Այժմ նայեք առաջին հավասարմանը. . Նախ, մենք դրա մեջ փոխարինում ենք գտնված արտահայտությունը.

Մնում է հիմնական փոփոխականն արտահայտել ազատ փոփոխականներով.

Արդյունքն այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է - բոլորըարտահայտված են բազային փոփոխականները ( և ): միայն միջոցովանվճար փոփոխականներ.

Փաստորեն, ընդհանուր լուծումը պատրաստ է.

Ինչպե՞ս գրել ընդհանուր լուծումը:
Ազատ փոփոխականները գրվում են ընդհանուր լուծման մեջ «ինքնուրույն» և խիստ իրենց տեղերում։ Այս դեպքում ազատ փոփոխականները պետք է գրվեն երկրորդ և չորրորդ դիրքերում.
.

Ստացված արտահայտությունները հիմնական փոփոխականների համար և ակնհայտորեն անհրաժեշտ է գրել առաջին և երրորդ հորիզոնականներում.

Անվճար փոփոխականներ տալը կամայական արժեքներ, անսահման շատ են մասնավոր որոշումներ. Ամենահայտնի արժեքները զրոներն են, քանի որ կոնկրետ լուծումը ամենահեշտն է ստացվում: Փոխարինող ընդհանուր լուծման մեջ.

մասնավոր որոշում է։

Նրանք ևս մեկ քաղցր զույգ են, եկեք փոխարինենք ընդհանուր լուծմանը.

մեկ այլ կոնկրետ լուծում է:

Հեշտ է տեսնել, որ հավասարումների համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ(քանի որ մենք կարող ենք տալ անվճար փոփոխականներ ցանկացածարժեքներ)

Յուրաքանչյուրըկոնկրետ լուծումը պետք է բավարարի յուրաքանչյուրինհամակարգի հավասարումը. Սա լուծման ճիշտության «արագ» ստուգման հիմքն է։ Վերցրեք, օրինակ, որոշակի լուծում և այն փոխարինեք սկզբնական համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում.

Ամեն ինչ պետք է հավաքվի: Եվ ցանկացած կոնկրետ լուծում, որը դուք ստանում եք, ամեն ինչ նույնպես պետք է համընկնի:

Բայց, խստորեն ասած, որոշակի լուծման ստուգումը երբեմն խաբում է. ինչ-որ կոնկրետ լուծում կարող է բավարարել համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը, իսկ ընդհանուր լուծումը իրականում սխալ է գտնվել:

Հետևաբար, ընդհանուր լուծման ստուգումն ավելի մանրակրկիտ և հուսալի է: Ինչպես ստուգել ստացված ընդհանուր լուծումը ?

Դա հեշտ է, բայց բավականին հոգնեցուցիչ: Պետք է արտահայտություններ ընդունել հիմնականփոփոխականներ, այս դեպքում և , և դրանք փոխարինեք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում:

Համակարգի առաջին հավասարման ձախ կողմում.

Համակարգի երկրորդ հավասարման ձախ կողմում.


Ստացվում է սկզբնական հավասարման աջ կողմը:

Օրինակ 4

Լուծեք համակարգը Գաուսի մեթոդով: Գտեք ընդհանուր լուծում և երկու մասնավոր: Ստուգեք ընդհանուր լուծումը:

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Այստեղ, ի դեպ, դարձյալ հավասարումների թիվը պակաս է անհայտների թվից, ինչը նշանակում է, որ անմիջապես պարզ է դառնում, որ համակարգը կա՛մ կլինի անհետևողական, կա՛մ կունենա անսահման թվով լուծումներ։ Ի՞նչն է կարևոր բուն որոշման գործընթացում: Ուշադրություն և կրկին ուշադրություն. Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Եվ ևս մի երկու օրինակ՝ նյութն ամրապնդելու համար

Օրինակ 5

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ. Եթե ​​համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ, գտեք երկու կոնկրետ լուծում և ստուգեք ընդհանուր լուծումը

ԼուծումԳրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և տարրական փոխակերպումների օգնությամբ այն հասցնենք քայլային ձևի.

(1) Առաջին տողը ավելացրեք երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացնում ենք 2-ով բազմապատկած առաջին տողը, չորրորդ տողին՝ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը։
(2) Երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը` բազմապատկած -5-ով: Չորրորդ տողին ավելացնում ենք երկրորդ տողը` բազմապատկելով -7-ով:
(3) Երրորդ և չորրորդ տողերը նույնն են, մենք ջնջում ենք դրանցից մեկը:

Ահա այսպիսի գեղեցկություն.

Հիմնական փոփոխականները նստած են աստիճանների վրա, ուստի դրանք բազային փոփոխականներ են:
Կա միայն մեկ անվճար փոփոխական, որը քայլ չի ստացել.

Հակադարձ շարժում.
Մենք արտահայտում ենք հիմնական փոփոխականները ազատ փոփոխականի առումով.
Երրորդ հավասարումից.

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը և դրանում փոխարինեք գտնված արտահայտությունը.

Դիտարկենք առաջին հավասարումը և փոխարինե՛ք գտնված արտահայտությունները և դրանում.

Այո, սովորական կոտորակները հաշվող հաշվիչը դեռ հարմար է։

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Եվս մեկ անգամ ինչպե՞ս եղավ։ Ազատ փոփոխականը միայնակ է իր օրինական չորրորդ տեղում: Ստացված արտահայտությունները հիմնական փոփոխականների համար նույնպես գրավեցին իրենց հերթական տեղերը:

Եկեք անմիջապես ստուգենք ընդհանուր լուծումը: Աշխատեք սևամորթների համար, բայց ես դա արդեն արել եմ, այնպես որ բռնեք =)

Մենք երեք հերոսի փոխարինում ենք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում.

Ստացված են հավասարումների համապատասխան աջ կողմերը, ուստի ընդհանուր լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Հիմա գտնված ընդհանուր լուծումից մենք ստանում ենք երկու կոնկրետ լուծում. Այստեղ խոհարարը միակ անվճար փոփոխականն է: Պետք չէ գլուխդ կոտրել։

Թող ուրեմն մասնավոր որոշում է։
Թող, ապա լինի մեկ այլ կոնկրետ լուծում:

ՊատասխանելԸնդհանուր որոշում. , առանձնահատուկ լուծումներ. , .

Ես չպետք է հիշեի այստեղ սևամորթների մասին ... ... որովհետև գլխումս ամեն տեսակ սադիստական ​​դրդապատճառներ եկան, և ես հիշեցի հայտնի ֆոտոժաբանը, որտեղ սպիտակ կոմբինիզոնով Կու Կլյուքս Կլանսմենները սև ֆուտբոլից հետո վազում են դաշտով մեկ: խաղացող. Նստում եմ ու լուռ ժպտում. Դուք գիտեք, թե որքան շեղում է ուշադրությունը…

Շատ մաթեմատիկան վնասակար է, ուստի նման վերջնական օրինակ անկախ լուծման համար:

Օրինակ 6

Գտե՛ք գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը.

Ես արդեն ստուգել եմ ընդհանուր լուծումը, պատասխանին կարելի է վստահել։ Ձեր լուծումը կարող է տարբերվել իմ լուծումից, գլխավորն այն է, որ ընդհանուր լուծումները համընկնեն։

Հավանաբար շատերը լուծումների մեջ տհաճ պահ են նկատել. սովորական կոտորակներ. Գործնականում դա ճիշտ է, դեպքերը, երբ կոտորակներ չկան, շատ ավելի քիչ են տարածված: Պատրաստ եղեք հոգեպես, և ամենակարևորը՝ տեխնիկապես։

Կանդրադառնամ լուծման որոշ առանձնահատկությունների վրա, որոնք չգտնվեցին լուծված օրինակներում։

Համակարգի ընդհանուր լուծումը երբեմն կարող է ներառել հաստատուն (կամ հաստատուններ), օրինակ՝ . Այստեղ հիմնական փոփոխականներից մեկը հավասար է հաստատուն թվի. Սրա մեջ էկզոտիկ բան չկա, դա լինում է։ Ակնհայտ է, որ այս դեպքում ցանկացած կոնկրետ լուծում առաջին դիրքում կպարունակի հնգյակ:

Հազվադեպ, բայց կան համակարգեր, որոնցում հավասարումների քանակը ավելի շատ քանակությունփոփոխականներ. Գաուսի մեթոդն աշխատում է ամենադժվար պայմաններում, պետք է հանգիստ կերպով համակարգի ընդլայնված մատրիցը հասցնել աստիճանական ձևի՝ ստանդարտ ալգորիթմի համաձայն: Նման համակարգը կարող է լինել անհետևողական, կարող է ունենալ անսահման շատ լուծումներ և, որքան էլ տարօրինակ է, կարող է ունենալ եզակի լուծում:

Ծառայության հանձնարարություն. Առցանց հաշվիչը նախատեսված է գծային հավասարումների համակարգը ուսումնասիրելու համար: Սովորաբար խնդրի վիճակում պահանջվում է գտնել համակարգի ընդհանուր և առանձնահատուկ լուծում. Գծային հավասարումների համակարգերն ուսումնասիրելիս լուծվում են հետևյալ խնդիրները.

1. արդյոք համակարգը համագործակցային է.
2. եթե համակարգը հետևողական է, ապա այն որոշակի է կամ անորոշ (համակարգի համատեղելիության չափանիշը որոշվում է թեորեմով);
3. եթե համակարգը սահմանված է, ապա ինչպես գտնել դրա եզակի լուծումը (օգտագործվում է Կրամերի մեթոդը, հակադարձ մատրիցային մեթոդը կամ Ջորդան-Գաուսի մեթոդը);
4. եթե համակարգը անորոշ է, ապա ինչպես նկարագրել դրա լուծումների ամբողջությունը:

Գծային հավասարումների համակարգերի դասակարգում

Գծային հավասարումների կամայական համակարգը ունի ձև.
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. Գծային անհամասեռ հավասարումների համակարգեր (փոփոխականների թիվը հավասար է հավասարումների թվին, m = n):
2. Գծային անհամասեռ հավասարումների կամայական համակարգեր (m > n կամ m< n).

Սահմանում. Համակարգի լուծում է c 1 ,c 2 ,...,c n թվերի ցանկացած բազմություն, որոնց փոխարինումը համակարգով համապատասխան անհայտների փոխարեն համակարգի յուրաքանչյուր հավասարում վերածում է ինքնության։

Սահմանում. Երկու համակարգերը համարվում են համարժեք, եթե առաջինի լուծումը երկրորդի լուծումն է և հակառակը:

Սահմանում. Համակարգը, որն ունի առնվազն մեկ լուծում, կոչվում է համատեղ. Այն համակարգը, որը լուծում չունի, կոչվում է անհետևողական:

Սահմանում. Եզակի լուծում ունեցող համակարգը կոչվում է որոշակի, իսկ մեկից ավելի լուծումներ ունենալն անորոշ է։

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ալգորիթմ

1. Գտեք հիմնական և ընդլայնված մատրիցների շարքերը: Եթե ​​դրանք հավասար չեն, ապա, ըստ Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի, համակարգը անհամապատասխան է, և այստեղ ավարտվում է ուսումնասիրությունը:
2. Թող rank(A) = rank(B) . Մենք ընտրում ենք հիմնական անչափահասը: Այս դեպքում գծային հավասարումների բոլոր անհայտ համակարգերը բաժանվում են երկու դասի. Անհայտները, որոնց գործակիցները ներառված են հիմնական մինորում, կոչվում են կախված, իսկ անհայտները, որոնց գործակիցները ներառված չեն հիմնական մինորում, կոչվում են ազատ։ Նկատի ունեցեք, որ կախյալ և ազատ անհայտների ընտրությունը միշտ չէ, որ եզակի է:
3. Մենք խաչում ենք համակարգի այն հավասարումները, որոնց գործակիցները ներառված չեն հիմնական մինորում, քանի որ դրանք մնացածի հետևանք են (ըստ հիմնական մինոր թեորեմի):
4. Ազատ անհայտներ պարունակող հավասարումների պայմանները կտեղափոխվեն աջ կողմ: Արդյունքում ստանում ենք r անհայտներով r հավասարումների համակարգ, որը համարժեք է տվյալին, որի որոշիչը տարբերվում է զրոյից։
5. Ստացված համակարգը լուծվում է հետևյալ եղանակներից մեկով՝ Կրամերի մեթոդով, հակադարձ մատրիցային մեթոդով կամ Ջորդան-Գաուսի մեթոդով։ Գտնվում են հարաբերություններ, որոնք արտահայտում են կախյալ փոփոխականները ազատների առումով։

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումը (SLAE) անկասկած գծային հանրահաշվի դասընթացի ամենակարևոր թեման է: Մաթեմատիկայի բոլոր ճյուղերից հսկայական թվով խնդիրներ վերցվում են գծային հավասարումների համակարգերի լուծմանը: Այս գործոնները բացատրում են այս հոդվածի ստեղծման պատճառը։ Հոդվածի նյութն ընտրված և կառուցված է այնպես, որ դրա օգնությամբ կարողանաք

• ընտրեք ձեր գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը լուծելու օպտիմալ մեթոդը,
• ուսումնասիրել ընտրված մեթոդի տեսությունը,
• լուծել ձեր գծային հավասարումների համակարգը՝ մանրամասն դիտարկելով բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումները։

Հոդվածի նյութի համառոտ նկարագրությունը.

Եկեք նախ տանք այդ ամենը անհրաժեշտ սահմանումներ, հասկացություններ և ներմուծել նշում:

Այնուհետև մենք դիտարկում ենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ, որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին և որոնք ունեն եզակի լուծում: Նախ՝ կենտրոնանանք Կրամերի մեթոդի վրա, երկրորդ՝ ցույց կտանք նման հավասարումների համակարգերի լուծման մատրիցային մեթոդը, երրորդը՝ կվերլուծենք Գաուսի մեթոդը (անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ)։ Տեսությունը համախմբելու համար մենք անպայման կլուծենք մի քանի SLAE տարբեր ձևերով:

Դրանից հետո մենք անցնում ենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծմանը ընդհանուր տեսարան, որտեղ հավասարումների թիվը չի համընկնում անհայտ փոփոխականների թվի հետ կամ համակարգի հիմնական մատրիցը այլասերված է։ Մենք ձևակերպում ենք Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմը, որը թույլ է տալիս հաստատել SLAE-ների համատեղելիությունը։ Եկեք վերլուծենք համակարգերի լուծումը (դրանց համատեղելիության դեպքում)՝ օգտագործելով մատրիցայի հիմնական մինոր հասկացությունը։ Կդիտարկենք նաև Գաուսի մեթոդը և մանրամասն նկարագրելու ենք օրինակների լուծումները։

Անպայման կանգ առեք գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ և անհամասեռ համակարգերի ընդհանուր լուծման կառուցվածքի վրա: Եկեք տանք լուծումների հիմնարար համակարգի հայեցակարգը և ցույց տանք, թե ինչպես է SLAE-ի ընդհանուր լուծումը գրվում՝ օգտագործելով լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորները: Ավելի լավ հասկանալու համար տեսնենք մի քանի օրինակ։

Եզրափակելով, մենք դիտարկում ենք հավասարումների համակարգեր, որոնք կրճատվում են մինչև գծային, ինչպես նաև տարբեր խնդիրներ, որոնց լուծման ժամանակ առաջանում են SLAE-ներ:

Էջի նավարկություն.

Սահմանումներ, հասկացություններ, նշանակումներ:

Մենք կդիտարկենք p գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր n անհայտ փոփոխականներով (p-ն կարող է հավասար լինել n-ի) ձևի

Անհայտ փոփոխականներ, - գործակիցներ (որոշ իրական կամ բարդ թվեր), - ազատ անդամներ (նաև իրական կամ բարդ թվեր):

SLAE-ի այս ձևը կոչվում է համակարգել.

AT մատրիցային ձևԱյս հավասարումների համակարգը ունի ձև.
որտեղ - համակարգի հիմնական մատրիցան, - անհայտ փոփոխականների մատրիցա-սյունակ, - ազատ անդամների մատրիցա-սյունակ:

Եթե ​​A մատրիցին որպես (n + 1)-րդ սյունակ ավելացնենք ազատ անդամների մատրից-սյունակը, ապա կստանանք այսպես կոչված. ընդլայնված մատրիցագծային հավասարումների համակարգեր։ Սովորաբար, ընդլայնված մատրիցը նշվում է T տառով, իսկ ազատ անդամների սյունակը մնացած սյուներից բաժանվում է ուղղահայաց գծով, այսինքն.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ լուծելովկոչվում է անհայտ փոփոխականների արժեքների մի շարք, որը համակարգի բոլոր հավասարումները վերածում է նույնականության: Անհայտ փոփոխականների տրված արժեքների մատրիցային հավասարումը նույնպես վերածվում է ինքնության:

Եթե ​​հավասարումների համակարգն ունի առնվազն մեկ լուծում, ապա այն կոչվում է համատեղ.

Եթե ​​հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի, ապա այն կոչվում է անհամատեղելի.

Եթե ​​SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, ապա այն կոչվում է որոշակի; եթե կան մեկից ավելի լուծումներ, ապա. անորոշ.

Եթե ​​համակարգի բոլոր հավասարումների ազատ անդամները հավասար են զրոյի , ապա համակարգը կոչվում է միատարրհակառակ դեպքում - տարասեռ.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների տարրական համակարգերի լուծում.

Եթե ​​համակարգի հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, իսկ նրա հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա մենք այդպիսի SLAE-ներ կանվանենք. տարրական. Հավասարումների նման համակարգերն ունեն եզակի լուծում, իսկ միատարր համակարգի դեպքում բոլոր անհայտ փոփոխականները հավասար են զրոյի։

Մենք սկսեցինք ուսումնասիրել նման SLAE-ները ավագ դպրոց. Դրանք լուծելիս վերցրինք մեկ հավասարում, մեկ անհայտ փոփոխական արտահայտեցինք մյուսներով և փոխարինեցինք մնացած հավասարումներով, այնուհետև վերցրեցինք հաջորդ հավասարումը, արտահայտեցինք հաջորդ անհայտ փոփոխականը և այն փոխարինեցինք այլ հավասարումներով և այլն։ Կամ օգտագործում էին գումարման մեթոդը, այսինքն՝ ավելացնում էին երկու կամ ավելի հավասարումներ՝ որոշ անհայտ փոփոխականներ վերացնելու համար։ Մենք մանրամասնորեն չենք անդրադառնա այս մեթոդներին, քանի որ դրանք ըստ էության Գաուսի մեթոդի փոփոխություններն են:

Գծային հավասարումների տարրական համակարգերի լուծման հիմնական մեթոդներն են Կրամերի մեթոդը, մատրիցային մեթոդը և Գաուսի մեթոդը։ Եկեք դասավորենք դրանք:

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Քրամերի մեթոդով.

Եկեք լուծենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ

որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, իսկ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից, այսինքն՝ .

Թող լինի համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը, և մատրիցների որոշիչներ են, որոնք ստացվում են A-ից՝ փոխարինելով 1-ին, 2-րդ, ..., n-րդսյունակ՝ համապատասխանաբար ազատ անդամների սյունակին.

Նման նշումով անհայտ փոփոխականները հաշվարկվում են Քրամերի մեթոդի բանաձևերով՝ որպես . Այսպես է գտնում գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծումը Կրամերի մեթոդով։

Օրինակ.

Կրամերի մեթոդ .

Լուծում.

Համակարգի հիմնական մատրիցն ունի ձև . Հաշվեք դրա որոշիչը (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը).

Քանի որ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից, համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում, որը կարելի է գտնել Քրամերի մեթոդով։

Կազմել և հաշվարկել անհրաժեշտ որոշիչները (որոշիչը ստացվում է A մատրիցի առաջին սյունակը փոխարինելով ազատ անդամների սյունակով, որոշիչը՝ երկրորդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամների սյունակով, - Ա մատրիցի երրորդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամների սյունակով. ):

Բանաձևերի միջոցով գտնել անհայտ փոփոխականներ :

Պատասխան.

Քրամերի մեթոդի հիմնական թերությունը (եթե այն կարելի է անվանել թերություն) որոշիչները հաշվարկելու բարդությունն է, երբ համակարգի հավասարումների թիվը երեքից ավելի է։

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային մեթոդով (օգտագործելով հակադարձ մատրիցը):

Թող գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը տրվի մատրիցային ձևով, որտեղ A մատրիցը ունի n չափս n-ով, և դրա որոշիչը զրոյական չէ:

Քանի որ , ուրեմն A մատրիցը շրջելի է, այսինքն՝ կա հակադարձ մատրիցա։ Եթե ​​հավասարության երկու մասերը բազմապատկենք ձախ կողմում, ապա կստանանք անհայտ փոփոխականների սյունակային մատրիցը գտնելու բանաձև։ Այսպիսով, մենք ստացանք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծումը մատրիցային մեթոդով:

Օրինակ.

Լուծել գծային հավասարումների համակարգը մատրիցային մեթոդ.

Լուծում.

Եկեք վերագրենք հավասարումների համակարգը մատրիցային ձևով.

Որովհետեւ

ապա SLAE-ը կարող է լուծվել մատրիցային մեթոդով: Օգտագործելով հակադարձ մատրիցը, այս համակարգի լուծումը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ .

Եկեք կառուցենք հակադարձ մատրիցա՝ օգտագործելով A մատրիցի տարրերի հանրահաշվական լրացումների մատրիցը (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը).

Մնում է հաշվարկել՝ անհայտ փոփոխականների մատրիցը՝ հակադարձ մատրիցը բազմապատկելով ազատ անդամների մատրիցա-սյունակի վրա (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը).

Պատասխան.

կամ մեկ այլ նշումով x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1:

Մատրիցային մեթոդով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումներ գտնելու հիմնական խնդիրը հակադարձ մատրիցը գտնելու բարդությունն է, հատկապես երրորդից բարձր կարգի քառակուսի մատրիցների համար։

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Գաուսի մեթոդով։

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծում գտնենք n անհայտ փոփոխականներով n գծային հավասարումների համակարգի համար
որի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից։

Գաուսի մեթոդի էությունըբաղկացած է անհայտ փոփոխականների հաջորդական բացառումից. նախ x 1-ը բացառվում է համակարգի բոլոր հավասարումներից, սկսած երկրորդից, ապա x 2-ը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից և այլն, մինչև միայն անհայտ փոփոխականը: x n-ը մնում է վերջին հավասարման մեջ: Անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման համար համակարգի հավասարումների վերափոխման նման գործընթացը կոչվում է ուղղակի Գաուսի մեթոդ. Գաուսի մեթոդի առաջընթացի ավարտից հետո x n-ը գտնվում է վերջին հավասարումից, x n-1-ը հաշվարկվում է նախավերջին հավասարումից՝ օգտագործելով այս արժեքը, և այսպես շարունակ, x 1-ը՝ առաջին հավասարումից: Անհայտ փոփոխականների հաշվարկման գործընթացը համակարգի վերջին հավասարումից առաջինին անցնելիս կոչվում է հակադարձ Գաուսի մեթոդ.

Եկեք համառոտ նկարագրենք անհայտ փոփոխականների վերացման ալգորիթմը:

Մենք կենթադրենք, որ, քանի որ մենք միշտ կարող ենք հասնել դրան՝ վերադասավորելով համակարգի հավասարումները: x 1 անհայտ փոփոխականը բացառում ենք համակարգի բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից։ Դա անելու համար համակարգի երկրորդ հավասարմանը ավելացրեք առաջին բազմապատկած հավասարումը, երրորդին բազմապատկած առաջինը և այսպես շարունակ, առաջինը բազմապատկածը ավելացրեք n-րդ հավասարմանը: Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը կընդունի ձևը

որտեղ, ա .

Մենք նույն արդյունքին կհասնեինք, եթե համակարգի առաջին հավասարման այլ անհայտ փոփոխականներով արտահայտեինք x 1 և ստացված արտահայտությունը փոխարինեինք մնացած բոլոր հավասարումներով։ Այսպիսով, x 1 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից։

Հաջորդը, մենք գործում ենք նույն կերպ, բայց միայն արդյունքում ստացված համակարգի մի մասով, որը նշված է նկարում

Դա անելու համար համակարգի երրորդ հավասարմանը ավելացրե՛ք երկրորդ բազմապատկած հավասարումը, չորրորդին ավելացրե՛ք երկրորդը բազմապատկած, և այսպես շարունակ, n-րդ հավասարմանը ավելացրե՛ք երկրորդը բազմապատկած։ Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը կընդունի ձևը

որտեղ, ա . Այսպիսով, x 2 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից։

Հաջորդը, մենք անցնում ենք անհայտ x 3-ի վերացմանը, մինչդեռ նույն կերպ վարվում ենք նկարում նշված համակարգի մասի հետ:

Այսպիսով, մենք շարունակում ենք Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքը, մինչև համակարգը ձևավորվի

Այս պահից մենք սկսում ենք Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքը. վերջին հավասարումից մենք հաշվում ենք x n, քանի որ, օգտագործելով x n-ի ստացված արժեքը, մենք գտնում ենք x n-1 նախավերջին հավասարումից, և այսպես շարունակ, մենք գտնում ենք x 1-ը: առաջին հավասարումը.

Օրինակ.

Լուծել գծային հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդ.

Լուծում.

Համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից բացառենք x 1 անհայտ փոփոխականը։ Դա անելու համար երկրորդ և երրորդ հավասարումների երկու մասերին ավելացնում ենք առաջին հավասարման համապատասխան մասերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով և բազմապատկելով.

Այժմ մենք երրորդ հավասարումից բացառում ենք x 2-ը` դրա ձախ և աջ մասերին ավելացնելով երկրորդ հավասարման ձախ և աջ մասերը` բազմապատկելով.

Դրա վրա ավարտվում է Գաուսի մեթոդի առաջընթացը, մենք սկսում ենք հակառակ ընթացքը:

Ստացված հավասարումների համակարգի վերջին հավասարումից մենք գտնում ենք x 3.

Երկրորդ հավասարումից մենք ստանում ենք.

Առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք մնացած անհայտ փոփոխականը և սա ավարտում է Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքը:

Պատասխան.

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1:

Ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում.

Ընդհանուր դեպքում p համակարգի հավասարումների թիվը չի համընկնում n անհայտ փոփոխականների թվի հետ.

Նման SLAE-ները կարող են չունենալ լուծումներ, ունենալ մեկ լուծում կամ ունենալ անսահման շատ լուծումներ: Այս պնդումը վերաբերում է նաև հավասարումների համակարգերին, որոնց հիմնական մատրիցը քառակուսի և այլասերված է:

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ.

Նախքան գծային հավասարումների համակարգի լուծում գտնելը, անհրաժեշտ է հաստատել դրա համատեղելիությունը: Հարցի պատասխանը, թե երբ է SLAE-ն համատեղելի, իսկ երբ՝ անհամատեղելի, տալիս է Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ:
Որպեսզի n անհայտ ունեցող p հավասարումների համակարգը (p-ը կարող է հավասար լինել n-ին) հետևողական լինի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, այսինքն՝ Rank( Ա)=Վարկանիշ (T) .

Որպես օրինակ դիտարկենք Կրոնեկեր-Կապելլի թեորեմի կիրառումը գծային հավասարումների համակարգի համատեղելիությունը որոշելու համար։

Օրինակ.

Պարզեք, արդյոք գծային հավասարումների համակարգը ունի լուծումներ։

Լուծում.

. Եկեք օգտագործենք անչափահասներին սահմանազատելու մեթոդը։ Երկրորդ կարգի անչափահաս տարբերվում է զրոյից: Եկեք անդրադառնանք դրա շուրջ երրորդ կարգի անչափահասներին.

Քանի որ բոլոր սահմանակից երրորդ կարգի անչափահասները հավասար են զրոյի, հիմնական մատրիցայի աստիճանը երկու է:

Իր հերթին, ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը հավասար է երեքի, քանի որ երրորդ կարգի անչափահաս է

տարբերվում է զրոյից:

Այս կերպ, Rang(A) , հետևաբար, ըստ Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ գծային հավասարումների սկզբնական համակարգը անհամապատասխան է:

Պատասխան.

Լուծման համակարգ չկա.

Այսպիսով, մենք սովորեցինք հաստատել համակարգի անհամապատասխանությունը՝ օգտագործելով Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը:

Բայց ինչպե՞ս գտնել SLAE-ի լուծումը, եթե հաստատվի դրա համատեղելիությունը:

Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է մատրիցի հիմնական մինորի հայեցակարգը և մատրիցի աստիճանի թեորեմը:

A մատրիցի ամենաբարձր կարգի մինորը, բացի զրոյից, կոչվում է հիմնական.

Հիմնական մինորի սահմանումից բխում է, որ դրա կարգը հավասար է մատրիցայի աստիճանին։ Ոչ զրոյական A մատրիցի համար կարող են լինել մի քանի հիմնական մինորներ, միշտ կա մեկ հիմնական փոքր:

Օրինակ, հաշվի առեք մատրիցը .

Այս մատրիցայի բոլոր երրորդ կարգի մինորները հավասար են զրոյի, քանի որ այս մատրիցայի երրորդ շարքի տարրերը առաջին և երկրորդ շարքերի համապատասխան տարրերի գումարն են։

Երկրորդ կարգի հետևյալ անչափահասները հիմնական են, քանի որ դրանք զրոյական չեն

Անչափահասներ հիմնական չեն, քանի որ հավասար են զրոյի։

Մատրիցային աստիճանի թեորեմ.

Եթե ​​p-ի n-ով կարգի մատրիցայի աստիճանը r է, ապա մատրիցի տողերի (և սյունակների) բոլոր տարրերը, որոնք չեն կազմում ընտրված հիմնական մինորը, գծային կերպով արտահայտվում են տողերի (և սյունակների) համապատասխան տարրերով: ) որոնք հիմք են հանդիսանում անչափահաս:

Ի՞նչ է մեզ տալիս մատրիցային աստիճանի թեորեմը:

Եթե ​​Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմով մենք հաստատել ենք համակարգի համատեղելիությունը, ապա մենք ընտրում ենք համակարգի հիմնական մատրիցայի ցանկացած հիմնական մինոր (նրա կարգը հավասար է r-ի), և համակարգից բացառում ենք բոլոր հավասարումները, որոնք չեն ձևավորել ընտրված հիմնական փոքրը: Այս կերպ ստացված SLAE-ը համարժեք կլինի սկզբնականին, քանի որ հեռացված հավասարումները դեռ ավելորդ են (ըստ մատրիցային աստիճանի թեորեմի՝ դրանք մնացած հավասարումների գծային համակցությունն են)։

Արդյունքում, համակարգի չափից դուրս հավասարումները դեն նետելուց հետո հնարավոր է երկու դեպք.

Եթե ​​ստացված համակարգում r հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, ապա այն կլինի որոշակի, և միակ լուծումը կարելի է գտնել Կրամերի մեթոդով, մատրիցային մեթոդով կամ Գաուսի մեթոդով։

Օրինակ.

.

Լուծում.

Համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է երկուսի, քանի որ երկրորդ կարգի անչափահաս է տարբերվում է զրոյից: Ընդլայնված մատրիցային աստիճան նույնպես հավասար է երկուսի, քանի որ երրորդ կարգի միակ մինորը հավասար է զրոյի

իսկ վերը դիտարկված երկրորդ կարգի մինորը տարբերվում է զրոյից: Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմի հիման վրա կարելի է պնդել գծային հավասարումների սկզբնական համակարգի համատեղելիությունը, քանի որ Rank(A)=Rank(T)=2:

Որպես հիմք անչափահաս, մենք վերցնում ենք . Այն ձևավորվում է առաջին և երկրորդ հավասարումների գործակիցներով.


Համակարգի երրորդ հավասարումը չի մասնակցում հիմնական մինորի ձևավորմանը, ուստի մենք այն բացառում ենք համակարգից՝ հիմնված մատրիցային աստիճանի թեորեմի վրա.


Այսպիսով, մենք ստացանք տարրական համակարգգծային հանրահաշվական հավասարումներ. Եկեք լուծենք այն Քրամերի մեթոդով.


Պատասխան.

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Եթե ​​ստացված SLAE-ում r հավասարումների թիվը փոքր է n անհայտ փոփոխականների թվից, ապա մենք թողնում ենք հիմնական մինորը կազմող անդամները հավասարումների ձախ մասերում, իսկ մնացած անդամները փոխանցում հավասարումների աջ մասերին։ համակարգի հակառակ նշանով.

Հավասարումների ձախ կողմում մնացած անհայտ փոփոխականները (կան r) կոչվում են. հիմնական.

Անհայտ փոփոխականները (կան n - r), որոնք ավարտվել են աջ կողմում, կոչվում են անվճար.

Այժմ մենք ենթադրում ենք, որ ազատ անհայտ փոփոխականները կարող են ընդունել կամայական արժեքներ, մինչդեռ r հիմնական անհայտ փոփոխականները կարտահայտվեն ազատ անհայտ փոփոխականների տեսքով յուրովի։ Նրանց արտահայտությունը կարելի է գտնել՝ լուծելով ստացված SLAE-ը Քրամերի մեթոդով, մատրիցային մեթոդով կամ Գաուսի մեթոդով։

Օրինակ բերենք.

Օրինակ.

Լուծել գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը .

Լուծում.

Գտեք համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը սահմանամերձ անչափահասների մեթոդով։ Եկեք վերցնենք 1 1 = 1 որպես ոչ զրոյական առաջին կարգի մինոր: Եկեք սկսենք որոնել ոչ զրոյական երկրորդ կարգի մինոր, որը շրջապատում է այս փոքրը.


Այսպիսով, մենք գտանք երկրորդ կարգի ոչ զրոյական մինոր: Սկսենք որոնել երրորդ կարգի ոչ զրոյական սահմանային փոքր.


Այսպիսով, հիմնական մատրիցայի աստիճանը երեքն է: Ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը նույնպես հավասար է երեքի, այսինքն՝ համակարգը հետևողական է:

Երրորդ կարգի հայտնաբերված ոչ զրոյական մինորը կընդունվի որպես հիմնական։

Հստակության համար մենք ցույց ենք տալիս այն տարրերը, որոնք կազմում են աննշան հիմքը.


Հիմնական մինորին մասնակցող տերմինները թողնում ենք համակարգի հավասարումների ձախ կողմում, իսկ մնացածը հակառակ նշաններով տեղափոխում ենք աջ կողմեր.


Ազատ անհայտ փոփոխականներին տալիս ենք x 2 և x 5 կամայական արժեքներ, այսինքն՝ վերցնում ենք , որտեղ կան կամայական թվեր։ Այս դեպքում SLAE-ն ընդունում է ձևը


Գծային հանրահաշվական հավասարումների ստացված տարրական համակարգը լուծում ենք Քրամերի մեթոդով.


Հետևաբար, .

Պատասխանում մի մոռացեք նշել անվճար անհայտ փոփոխականներ։

Պատասխան.

Որտեղ են կամայական թվերը:

Ամփոփել.

Ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը լուծելու համար մենք նախ պարզում ենք դրա համատեղելիությունը՝ օգտագործելով Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը: Եթե ​​հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար չէ ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, ապա մենք եզրակացնում ենք, որ համակարգը անհամապատասխան է:

Եթե ​​հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, ապա մենք ընտրում ենք հիմնական մինորը և մերժում ենք համակարգի հավասարումները, որոնք չեն մասնակցում ընտրված հիմնական փոքրի ձևավորմանը:

Եթե ​​հիմնական մինորի կարգը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, ապա SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, որը կարելի է գտնել մեզ հայտնի ցանկացած մեթոդով։

Եթե ​​հիմնական մինորի կարգը փոքր է անհայտ փոփոխականների թվից, ապա համակարգի հավասարումների ձախ կողմում մենք տերմինները թողնում ենք հիմնական անհայտ փոփոխականների հետ, մնացած անդամները տեղափոխում աջ կողմեր ​​և նշանակում կամայական արժեքներ։ ազատ անհայտ փոփոխականներին: Ստացված գծային հավասարումների համակարգից մենք գտնում ենք հիմնական անհայտ փոփոխականները Կրամերի մեթոդով, մատրիցային մեթոդով կամ Գաուսի մեթոդով։

Ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդ.

Օգտագործելով Գաուսի մեթոդը՝ կարելի է լուծել ցանկացած տեսակի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր՝ առանց դրանց համատեղելիության նախնական հետազոտության: Անհայտ փոփոխականների հաջորդական բացառման գործընթացը հնարավորություն է տալիս եզրակացություն անել SLAE-ի և՛ համատեղելիության, և՛ անհամապատասխանության մասին, իսկ լուծման առկայության դեպքում այն ​​հնարավոր է դարձնում գտնել այն:

Հաշվողական աշխատանքի տեսանկյունից նախընտրելի է Գաուսի մեթոդը։

Դիտեք այն մանրամասն նկարագրությունև վերլուծել օրինակներ հոդվածում Գաուսի մեթոդ ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման համար։

Միատարր և անհամասեռ գծային հանրահաշվական համակարգերի ընդհանուր լուծումների գրանցում լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորների միջոցով:

Այս բաժնում մենք կկենտրոնանանք գծային հանրահաշվական հավասարումների համատեղ միատարր և անհամասեռ համակարգերի վրա, որոնք ունեն անսահման թվով լուծումներ:

Նախ անդրադառնանք միատարր համակարգերին:

Հիմնարար որոշումների համակարգ n անհայտ փոփոխականներով p գծային հանրահաշվական հավասարումների միատարր համակարգը այս համակարգի (n – r) գծային անկախ լուծումների բազմությունն է, որտեղ r-ը համակարգի հիմնական մատրիցայի բազիս-մինորի կարգն է։

Եթե ​​միատարր SLAE-ի գծային անկախ լուծումները նշանակենք որպես X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) n չափման մատրիցային սյունակներ են: 1-ով), ապա այս միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը ներկայացված է որպես լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորների գծային համակցություն С 1 , С 2 , …, С (n-r) կամայական հաստատուն գործակիցներով, այսինքն՝ .

Ի՞նչ է նշանակում գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ համակարգի (օրոսլաու) ընդհանուր լուծում տերմինը:

Իմաստը պարզ է՝ բանաձևը սահմանում է ամեն ինչ հնարավոր լուծումներսկզբնական SLAE-ն, այլ կերպ ասած՝ վերցնելով С 1 , С 2 , …, С (n-r) կամայական հաստատունների արժեքների ցանկացած հավաքածու, ըստ բանաձևի՝ ստանում ենք սկզբնական միատարր SLAE լուծումներից մեկը։

Այսպիսով, եթե մենք գտնենք լուծումների հիմնարար համակարգ, ապա մենք կարող ենք այս միատարր SLAE-ի բոլոր լուծումները սահմանել որպես .

Եկեք ցույց տանք համասեռ SLAE-ի համար լուծումների հիմնարար համակարգի կառուցման գործընթացը:

Մենք ընտրում ենք գծային հավասարումների սկզբնական համակարգի հիմնական մինորը, համակարգից բացառում ենք մնացած բոլոր հավասարումները և հակառակ նշաններով համակարգի հավասարումների աջ կողմ ենք փոխանցում անվճար անհայտ փոփոխականներ պարունակող բոլոր տերմինները: Եկեք անվճար անհայտ փոփոխականներին տանք 1,0,0,…,0 արժեքները և հաշվարկենք հիմնական անհայտները՝ լուծելով ստացված գծային հավասարումների տարրական համակարգը ցանկացած ձևով, օրինակ՝ Cramer մեթոդով։ Այսպիսով, կստացվի X (1)՝ հիմնարար համակարգի առաջին լուծումը։ Եթե ​​անվճար անհայտներին տանք 0,1,0,0,…,0 արժեքները և հաշվարկենք հիմնական անհայտները, ապա կստանանք X (2): Եվ այսպես շարունակ։ Եթե ​​ազատ անհայտ փոփոխականներին տանք 0,0,…,0,1 արժեքները և հաշվարկենք հիմնական անհայտները, ապա կստանանք X (n-r): Այսպես կկառուցվի համասեռ SLAE-ի լուծումների հիմնարար համակարգը և դրա ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել ձևով.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների անհամասեռ համակարգերի համար ընդհանուր լուծումը ներկայացված է որպես

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ.

Գտե՛ք լուծումների հիմնարար համակարգը և գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումը .

Լուծում.

Գծային հավասարումների միատարր համակարգերի հիմնական մատրիցայի աստիճանը միշտ հավասար է ընդլայնված մատրիցի աստիճանին։ Եկեք գտնենք հիմնական մատրիցայի դասակարգումը անչափահասների ֆրինգինգի մեթոդով: Որպես առաջին կարգի ոչ զրոյական մինոր, մենք վերցնում ենք համակարգի հիմնական մատրիցայի a 1 1 = 9 տարրը: Գտե՛ք երկրորդ կարգի սահմանակից ոչ զրոյական մինորը.

Գտնվում է երկրորդ կարգի մինոր՝ զրոյից տարբեր: Եկեք անցնենք երրորդ կարգի անչափահասների միջով, որոնք սահմանակից են դրան՝ փնտրելով ոչ զրոյական մեկը.

Երրորդ կարգի բոլոր սահմանակից անչափահասները հավասար են զրոյի, հետևաբար, հիմնական և ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը երկու է: Վերցնենք հիմնական մինորը. Պարզության համար մենք նշում ենք համակարգի այն տարրերը, որոնք կազմում են այն.

Բնօրինակ SLAE-ի երրորդ հավասարումը չի մասնակցում հիմնական փոքրի ձևավորմանը, հետևաբար, այն կարելի է բացառել.

Հիմնական անհայտները պարունակող անդամները թողնում ենք հավասարումների աջ կողմերում, իսկ ազատ անհայտներով տերմինները տեղափոխում ենք աջ կողմեր.

Եկեք կառուցենք գծային հավասարումների սկզբնական միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ: Այս SLAE-ի լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է երկու լուծումից, քանի որ սկզբնական SLAE-ը պարունակում է չորս անհայտ փոփոխականներ, և նրա հիմնական փոքրերի կարգը երկու է: X (1) գտնելու համար մենք ազատ անհայտ փոփոխականներին տալիս ենք արժեքներ x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, այնուհետև մենք գտնում ենք հիմնական անհայտները հավասարումների համակարգից:
.