», այսինքն՝ առաջին աստիճանի հավասարումներ։ Այս դասում մենք կուսումնասիրենք ինչ է քառակուսային հավասարումըև ինչպես լուծել այն:

Ինչ է քառակուսի հավասարումը

Կարևոր!

Հավասարման աստիճանը որոշվում է անհայտի ամենաբարձր աստիճանով:

Եթե ​​անհայտի առավելագույն աստիճանը «2» է, ապա դուք ունեք քառակուսի հավասարում:

Քառակուսային հավասարումների օրինակներ

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Կարևոր! Քառակուսային հավասարման ընդհանուր ձևն ունի հետևյալ տեսքը.

A x 2 + b x + c = 0

«ա», «բ» և «գ» - տրված թվեր:

• «ա» - առաջին կամ ավագ գործակիցը.
• «բ» - երկրորդ գործակիցը;
• «c»-ն ազատ անդամ է։

«a», «b» և «c» գտնելու համար հարկավոր է ձեր հավասարումը համեմատել «ax 2 + bx + c \u003d 0» քառակուսի հավասարման ընդհանուր ձևի հետ:

Փորձենք որոշել «a», «b» և «c» գործակիցները քառակուսի հավասարումներում։

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Հավասարումը	Հնարավորություններ
a=5 b = −14 գ = 17
a = −7 b = −13 գ = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• գ =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ

Ի տարբերություն լուծման գծային հավասարումների քառակուսի հավասարումներհատուկ արմատներ գտնելու բանաձև.

Հիշիր.

Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

• քառակուսի հավասարումը բերեք «կացին 2 + bx + c \u003d 0» ընդհանուր ձևին: Այսինքն՝ աջ կողմում պետք է մնա միայն «0»-ը;
• օգտագործել արմատների բանաձեւը.

Եկեք օրինակ օգտագործենք՝ պարզելու համար, թե ինչպես կիրառել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը: Լուծենք քառակուսի հավասարումը.

X 2 - 3x - 4 = 0

«x 2 - 3x - 4 = 0» հավասարումը արդեն կրճատվել է «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևի և լրացուցիչ պարզեցումներ չի պահանջում։ Այն լուծելու համար մեզ միայն անհրաժեշտ է դիմել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Այս հավասարման համար սահմանենք «ա», «բ» և «գ» գործակիցները։

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Նրա օգնությամբ լուծվում է ցանկացած քառակուսի հավասարում։

«x 1; 2 \u003d» բանաձևում արմատային արտահայտությունը հաճախ փոխարինվում է
«b 2 − 4ac» «D» տառին և անվանել դիսկրիմինանտ: Խտրականացնող հասկացությունն առավել մանրամասն քննարկվում է «Ի՞նչ է դիսկրիմինանտը» դասում։

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման մեկ այլ օրինակ:

x 2 + 9 + x = 7x

Այս ձևով բավականին դժվար է որոշել «ա», «բ», «գ» գործակիցները։ Եկեք նախ հավասարումը բերենք «ax 2 + bx + c \u003d 0» ընդհանուր ձևին:

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել արմատների բանաձեւը.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x=

6

2

x=3
Պատասխան՝ x = 3

Լինում են դեպքեր, երբ քառակուսի հավասարումների մեջ արմատներ չկան: Այս իրավիճակն առաջանում է, երբ արմատի տակ բանաձեւում բացասական թիվ է հայտնվում։

Շարունակում ենք ուսումնասիրել թեման հավասարումների լուծում«. Մենք արդեն ծանոթացել ենք գծային հավասարումների հետ և այժմ պատրաստվում ենք ծանոթանալ քառակուսի հավասարումներ.

Նախ, մենք կվերլուծենք, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը, ինչպես է այն գրված ընդհանուր տեսարանև տալ համապատասխան սահմանումներ։ Դրանից հետո, օրինակներով, մանրամասն կվերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները։ Հաջորդիվ անցնենք ամբողջական հավասարումների լուծմանը, ստանանք արմատների բանաձևը, ծանոթանանք քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին և դիտարկենք բնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք հետևում ենք արմատների և գործակիցների միջև կապերին:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը: Նրանց տեսակները

Նախ պետք է հստակ հասկանալ, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը: Ուստի տրամաբանական է քառակուսի հավասարումների մասին խոսել քառակուսի հավասարման, ինչպես նաև դրա հետ կապված սահմանումներով։ Դրանից հետո կարող եք դիտարկել քառակուսի հավասարումների հիմնական տեսակները՝ կրճատված և չկրճատված, ինչպես նաև ամբողջական և թերի հավասարումներ։

Քառակուսային հավասարումների սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Քառակուսային հավասարումձևի հավասարումն է a x 2 +b x+c=0, որտեղ x-ը փոփոխական է, a-ն, b-ը և c-ն որոշ թվեր են, իսկ a-ն տարբերվում է զրոյից:

Անմիջապես ասենք, որ քառակուսի հավասարումները հաճախ կոչվում են երկրորդ աստիճանի հավասարումներ։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ քառակուսի հավասարումը հանրահաշվական հավասարում երկրորդ աստիճան.

Հնչած սահմանումը թույլ է տալիս մեզ բերել քառակուսի հավասարումների օրինակներ: Այսպիսով, 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 և այլն: քառակուսի հավասարումներ են։

Սահմանում.

Թվեր a , b և c կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցները a x 2 + b x + c \u003d 0, իսկ a գործակիցը կոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2-ում, b-ը երկրորդ գործակիցն է, կամ գործակիցը x-ում, իսկ c-ն ազատ անդամ է:

Օրինակ՝ վերցնենք 5 x 2 −2 x−3=0 ձևի քառակուսային հավասարումը, այստեղ առաջատար գործակիցը 5 է, երկրորդը՝ −2, իսկ ազատ անդամը՝ −3։ Նկատի ունեցեք, որ երբ b և/կամ c գործակիցները բացասական են, ինչպես հենց բերված օրինակում, ապա կարճ ձևգրել 5 x 2 −2 x−3=0 ձևի քառակուսային հավասարում, և ոչ թե 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0:

Հարկ է նշել, որ երբ a և/կամ b գործակիցները հավասար են 1-ի կամ −1-ի, ապա դրանք սովորաբար հստակորեն առկա չեն քառակուսի հավասարման նշման մեջ, ինչը պայմանավորված է այդպիսի նիշի առանձնահատկություններով: Օրինակ՝ y 2 −y+3=0 քառակուսի հավասարման մեջ առաջատար գործակիցը մեկն է, իսկ y-ի գործակիցը −1 է։

Կրճատված և ոչ կրճատված քառակուսի հավասարումներ

Կախված առաջատար գործակցի արժեքից՝ առանձնանում են կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ։ Տանք համապատասխան սահմանումները։

Սահմանում.

Կոչվում է քառակուսի հավասարումը, որի առաջատար գործակիցը 1 է կրճատված քառակուսի հավասարում. Հակառակ դեպքում, քառակուսի հավասարումը չկրճատված.

Ըստ այս սահմանման՝ քառակուսի հավասարումները x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 և այլն։ - նվազեցված, յուրաքանչյուրում առաջին գործակիցը մեկին հավասար. Եվ 5 x 2 −x−1=0 և այլն: - չկրճատված քառակուսի հավասարումներ, դրանց առաջատար գործակիցները տարբերվում են 1-ից:

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարումից, նրա երկու մասերը բաժանելով առաջատար գործակցի վրա, կարող եք անցնել կրճատվածին։ Այս գործողությունը համարժեք փոխակերպում է, այսինքն՝ այս կերպ ստացված կրճատված քառակուսի հավասարումն ունի նույն արմատները, ինչ սկզբնական չկրճատված քառակուսային հավասարումը, կամ, ինչպես դա, չունի արմատներ։

Բերենք օրինակ, թե ինչպես է կատարվում անցումը չկրճատված քառակուսային հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ.

3 x 2 +12 x−7=0 հավասարումից անցեք համապատասխան կրճատված քառակուսային հավասարմանը։

Լուծում.

Բավական է, որ կատարենք սկզբնական հավասարման երկու մասերի բաժանումը առաջատար 3 գործակցով, այն զրոյական չէ, ուստի կարող ենք կատարել այս գործողությունը։ Մենք ունենք (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , որը նույնն է, ինչ (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, և այլն (3): :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, որտեղից . Այսպիսով, մենք ստացանք կրճատված քառակուսի հավասարումը, որը համարժեք է սկզբնականին:

Պատասխան.

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Քառակուսային հավասարման սահմանման մեջ կա a≠0 պայման. Այս պայմանն անհրաժեշտ է, որպեսզի a x 2 +b x+c=0 հավասարումը լինի ճիշտ քառակուսի, քանի որ a=0-ով այն փաստացի դառնում է b x+c=0 ձևի գծային հավասարում:

Ինչ վերաբերում է b և c գործակիցներին, ապա դրանք կարող են հավասար լինել զրոյի և՛ առանձին, և՛ միասին։ Այս դեպքերում քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի:

Սահմանում.

Կոչվում է a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարումը թերի, եթե b , c գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։

Իր հերթին

Սահմանում.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումհավասարում է, որտեղ բոլոր գործակիցները տարբերվում են զրոյից:

Այս անունները պատահական չեն տրված։ Սա պարզ կդառնա հաջորդ քննարկումից։

Եթե ​​b գործակիցը հավասար է զրոյի, ապա քառակուսի հավասարումը ստանում է a x 2 +0 x+c=0 ձևը, և ​​այն համարժեք է a x 2 +c=0 հավասարմանը: Եթե ​​c=0, այսինքն՝ քառակուսի հավասարումը ունի a x 2 +b x+0=0 ձևը, ապա այն կարելի է վերագրել x 2 +b x=0 ձևով։ Իսկ b=0-ով և c=0-ով ստանում ենք a·x 2 =0 քառակուսային հավասարումը: Ստացված հավասարումները տարբերվում են լրիվ քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ո՛չ x փոփոխականով անդամ, ո՛չ ազատ անդամ, ո՛չ էլ երկուսն էլ։ Այստեղից էլ նրանց անվանումը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումներ։

Այսպիսով, x 2 +x+1=0 և −2 x 2 −5 x+0,2=0 հավասարումները ամբողջական քառակուսի հավասարումների օրինակներ են, և x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3: =0 , −x 2 −5 x=0 թերի քառակուսի հավասարումներ են։

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախորդ պարբերության տեղեկատվությունից բխում է, որ կա երեք տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ:

• a x 2 =0 , դրան համապատասխանում են b=0 և c=0 գործակիցները;
• a x 2 +c=0 երբ b=0 ;
• և a x 2 +b x=0 երբ c=0 .

Եկեք հերթականությամբ վերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում այս տեսակներից յուրաքանչյուրի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումները:

a x 2 \u003d 0

Սկսենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծումից, որոնցում b և c գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն՝ a x 2 =0 ձևի հավասարումներով։ a·x 2 =0 հավասարումը համարժեք է x 2 =0 հավասարմանը, որը ստացվում է բնագրից՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական a թվի վրա։ Ակնհայտ է, որ x 2 \u003d 0 հավասարման արմատը զրո է, քանի որ 0 2 \u003d 0: Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը բացատրվում է, որ, իրոք, ցանկացած ոչ զրոյական p թվի համար տեղի է ունենում p 2 >0 անհավասարությունը, ինչը ենթադրում է, որ p≠0-ի համար p 2 =0 հավասարությունը երբեք չի ստացվում:

Այսպիսով, թերի քառակուսային հավասարումը a x 2 \u003d 0 ունի մեկ արմատ x \u003d 0:

Որպես օրինակ՝ տալիս ենք −4·x 2 =0 թերի քառակուսային հավասարման լուծումը։ Այն համարժեք է x 2 \u003d 0 հավասարմանը, դրա միակ արմատը x \u003d 0 է, հետևաբար, սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ զրո:

Կարճ լուծում այս դեպքում կարող է տրվել հետևյալ կերպ.
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Այժմ դիտարկենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները, որոնցում b գործակիցը հավասար է զրոյի, իսկ c≠0, այսինքն՝ a x 2 +c=0 ձևի հավասարումներ։ Մենք գիտենք, որ հավասարման մի կողմից մյուս կողմը հակառակ նշանով տերմինի տեղափոխումը, ինչպես նաև հավասարման երկու կողմերի բաժանումը ոչ զրոյական թվի վրա տալիս են համարժեք հավասարում։ Հետևաբար, թերի քառակուսի հավասարման հետևյալ համարժեք փոխակերպումները կարող են կատարվել a x 2 +c=0.

• տեղափոխեք c-ն աջ կողմ, որը տալիս է x 2 =−c հավասարումը,
• և նրա երկու մասերը բաժանում ենք a-ի, ստանում ենք.

Ստացված հավասարումը թույլ է տալիս եզրակացություններ անել դրա արմատների մասին: Կախված a-ի և c-ի արժեքներից՝ արտահայտության արժեքը կարող է լինել բացասական (օրինակ, եթե a=1 և c=2, ապա ) կամ դրական, (օրինակ՝ a=−2 և c=6. , ապա ), այն հավասար չէ զրոյի, քանի որ c≠0 պայմանով։ Առանձին-առանձին կվերլուծենք դեպքերը և .

Եթե ​​, ապա հավասարումն արմատներ չունի։ Այս պնդումը բխում է այն փաստից, որ ցանկացած թվի քառակուսին ոչ բացասական թիվ է։ Այստեղից հետևում է, որ երբ , ապա ցանկացած p թվի համար հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել։

Եթե ​​, ապա հավասարման արմատների հետ կապված իրավիճակը տարբեր է: Այս դեպքում, եթե հիշենք, ապա հավասարման արմատը անմիջապես ակնհայտ է դառնում, դա թիվն է, քանի որ. Հեշտ է կռահել, որ թիվը նույնպես հավասարման արմատն է, իսկապես, . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, որոնք կարելի է ցույց տալ, օրինակ, հակասությամբ։ Եկեք անենք դա.

Հավասարման հենց հնչեցված արմատները նշանակենք x 1 և −x 1: Ենթադրենք, որ հավասարումն ունի մեկ այլ արմատ x 2, որը տարբերվում է նշված x 1 և −x 1 արմատներից: Հայտնի է, որ դրա արմատների x-ի փոխարեն հավասարման մեջ փոխարինելը հավասարումը վերածում է իրական թվային հավասարության։ x 1-ի և −x 1-ի համար մենք ունենք , իսկ x 2-ի համար ունենք . Թվային հավասարումների հատկությունները մեզ թույլ են տալիս կատարել իրական թվային հավասարումների տերմին առ անդամ հանում, ուստի հավասարումների համապատասխան մասերը հանելուց ստացվում է x 1 2 − x 2 2 =0: Թվերով գործողությունների հատկությունները թույլ են տալիս ստացված հավասարությունը վերաշարադրել որպես (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0: Մենք գիտենք, որ երկու թվերի արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Ուստի ստացված հավասարությունից բխում է, որ x 1 −x 2 =0 և/կամ x 1 +x 2 =0 , որը նույնն է, x 2 =x 1 և/կամ x 2 = −x 1։ Այսպիսով, մենք եկել ենք հակասության, քանի որ սկզբում մենք ասում էինք, որ x 2 հավասարման արմատը տարբերվում է x 1-ից և −x 1-ից: Սա ապացուցում է, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան և .

Եկեք ամփոփենք այս պարբերության տեղեկատվությունը: Թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 +c=0 համարժեք է այն հավասարմանը, որը

• արմատներ չունի, եթե,
• ունի երկու արմատ և եթե .

Դիտարկենք a·x 2 +c=0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ:

Սկսենք քառակուսի հավասարումից 9 x 2 +7=0 . Ազատ անդամը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո այն կստանա 9·x 2 =−7 ձև: Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 9-ի, մենք հասնում ենք. Քանի որ աջ կողմում ստացվում է բացասական թիվ, այս հավասարումն արմատներ չունի, հետևաբար, սկզբնական թերի քառակուսի 9 x 2 +7=0 հավասարումն արմատներ չունի։

Լուծենք ևս մեկ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում −x 2 +9=0։ Մենք ինը տեղափոխում ենք աջ կողմը՝ -x 2 \u003d -9: Այժմ երկու մասերը բաժանում ենք −1-ի, ստանում ենք x 2 =9։ Աջ կողմը պարունակում է դրական թիվ, որից մենք եզրակացնում ենք, որ կամ . Վերջնական պատասխանը գրելուց հետո. −x 2 +9=0 թերի քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ x=3 կամ x=−3:

a x 2 +b x=0

Մնում է զբաղվել վերջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումների լուծումով c=0-ի համար: a x 2 +b x=0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումները թույլ են տալիս լուծել ֆակտորացման մեթոդ. Ակնհայտ է, որ մենք կարող ենք, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում, որի համար բավական է փակագծերից հանել x ընդհանուր գործակիցը: Սա թույլ է տալիս սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումից անցնել x·(a·x+b)=0 ձևի համարժեք հավասարման: Եվ այս հավասարումը համարժեք է x=0 և a x+b=0 երկու հավասարումների բազմությանը, որոնցից վերջինը գծային է և ունի x=−b/a արմատ։

Այսպիսով, a x 2 +b x=0 թերի քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ x=0 և x=−b/a:

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք կոնկրետ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

Փակագծերից հանում ենք x-ը, սա տալիս է հավասարումը. Այն համարժեք է երկու հավասարումների x=0 և . Ստացված գծային հավասարումը լուծում ենք՝ , և խառը թիվը բաժանելով ընդհանուր կոտորակ, գտնում ենք. Հետևաբար, սկզբնական հավասարման արմատներն են x=0 և .

Անհրաժեշտ պրակտիկա ստանալուց հետո նման հավասարումների լուծումները կարելի է հակիրճ գրել.

Պատասխան.

x=0, .

Խտրական, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու համար կա արմատային բանաձև. Եկեք գրենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձեւը, որտեղ D=b 2 −4 a գ- այսպես կոչված քառակուսի հավասարման տարբերակիչ. Նշումն ըստ էության նշանակում է, որ.

Օգտակար է իմանալ, թե ինչպես է ստացվել արմատային բանաձևը և ինչպես է այն կիրառվում քառակուսի հավասարումների արմատները գտնելիս: Եկեք զբաղվենք սրանով:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարումը a·x 2 +b·x+c=0: Եկեք կատարենք մի քանի համարժեք փոխակերպումներ.

• Այս հավասարման երկու մասերը կարող ենք բաժանել ոչ զրոյական a թվի, արդյունքում ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը։
• Հիմա ընտրեք ամբողջական քառակուսիիր ձախ կողմում. Դրանից հետո հավասարումը կվերցնի ձևը.
• Այս փուլում հնարավոր է հակառակ նշանով վերջին երկու տերմինների փոխանցումը դեպի աջ, ունենք .
• Եվ նաև փոխակերպենք աջ կողմի արտահայտությունը՝ .

Արդյունքում մենք հասնում ենք հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական քառակուսային հավասարմանը a·x 2 +b·x+c=0:

Մենք արդեն լուծել ենք ձևով նման հավասարումներ նախորդ պարբերություններում, երբ վերլուծեցինք: Սա թույլ է տալիս մեզ անել հետևյալ եզրակացությունները հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• եթե , ապա հավասարումը չունի իրական լուծումներ.
• եթե , ապա հավասարումը ունի ձև, հետևաբար, , որից երևում է նրա միակ արմատը.
• եթե , ապա կամ , որը նույնն է կամ , այսինքն՝ հավասարումն ունի երկու արմատ։

Այսպիսով, հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը, հետևաբար՝ սկզբնական քառակուսային հավասարումը, կախված է աջ կողմի արտահայտության նշանից։ Իր հերթին, այս արտահայտության նշանը որոշվում է համարիչի նշանով, քանի որ 4 a 2 հայտարարը միշտ դրական է, այսինքն՝ b 2 −4 a c արտահայտության նշանը։ Այս b 2 −4 a c արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի հավասարման տարբերակիչև նշվում է տառով Դ. Այստեղից պարզ է դիսկրիմինանտի էությունը՝ իր արժեքով և նշանով եզրակացվում է, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ ունի, և եթե այո, ապա ո՞րն է դրանց թիվը՝ մեկ կամ երկու։

Մենք վերադառնում ենք հավասարմանը, այն վերագրում ենք՝ օգտագործելով տարբերակիչի նշումը. Եվ մենք եզրակացնում ենք.

• եթե Դ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• եթե D=0, ապա այս հավասարումն ունի մեկ արմատ.
• վերջապես, եթե D>0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ կամ , որոնք կարելի է վերաշարադրել կամ ձևով և կոտորակները ընդլայնելուց և ընդհանուր հայտարարի հասցնելուց հետո ստանում ենք .

Այսպիսով, մենք ստացանք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը, դրանք նման են , որտեղ դիսկրիմինանտ D-ը հաշվարկվում է D=b 2 −4 a c բանաձևով:

Դրանց օգնությամբ, դրական տարբերակիչով, կարող եք հաշվարկել քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, երկու բանաձևերն էլ տալիս են նույն արմատային արժեքը, որը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման միակ լուծմանը: Իսկ բացասական տարբերակիչով, երբ փորձում ենք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, մենք բախվում ենք բացասական թվից քառակուսի արմատ հանելուն, ինչը մեզ դուրս է բերում դպրոցական ուսումնական ծրագրի շրջանակներից: Բացասական տարբերակիչով քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, բայց ունի զույգ բարդ կոնյուգատարմատներ, որոնք կարելի է գտնել օգտագործելով նույն արմատային բանաձևերը, որոնք մենք ստացել ենք:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Գործնականում քառակուսի հավասարումը լուծելիս կարող եք անմիջապես օգտագործել արմատային բանաձևը, որով կարելի է հաշվարկել դրանց արժեքները։ Բայց սա ավելի շատ բարդ արմատներ գտնելու մասին է:

Այնուամենայնիվ, դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում դա սովորաբար լինում է մենք խոսում ենքոչ թե բարդ, այլ քառակուսի հավասարման իրական արմատների մասին: Այս դեպքում խորհուրդ է տրվում նախ գտնել դիսկրիմինատորը, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, համոզվեք, որ այն ոչ բացասական է (հակառակ դեպքում կարող ենք եզրակացնել, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), և դրանից հետո. հաշվարկել արմատների արժեքները.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը մեզ թույլ է տալիս գրել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ. a x 2 + b x + c \u003d 0 քառակուսային հավասարումը լուծելու համար ձեզ հարկավոր է.

• օգտագործելով տարբերակիչ բանաձեւը D=b 2 −4 a c հաշվարկել դրա արժեքը;
• եզրակացնել, որ քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, եթե դիսկրիմինանտը բացասական է.
• հաշվարկել հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով D=0 ;
• Գտեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով արմատային բանաձևը, եթե դիսկրիմինանտը դրական է:

Այստեղ մենք միայն նշում ենք, որ եթե դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, կարող է օգտագործվել նաև բանաձևը, այն կտա նույն արժեքը, ինչ .

Կարող եք անցնել քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմի կիրառման օրինակներին։

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Դիտարկենք երեք քառակուսի հավասարումների լուծումներ դրական, բացասական և զրոխտրական. Անդրադառնալով դրանց լուծմանը՝ անալոգիայի միջոցով հնարավոր կլինի լուծել ցանկացած այլ քառակուսի հավասարում: Եկ սկսենք.

Օրինակ.

Գտե՛ք x 2 +2 x−6=0 հավասարման արմատները:

Լուծում.

Այս դեպքում ունենք քառակուսային հավասարման հետևյալ գործակիցները՝ a=1 , b=2 և c=−6: Ըստ ալգորիթմի, նախ պետք է հաշվարկել դիսկրիմինանտը, դրա համար մենք նշված a, b և c-ն փոխարինում ենք տարբերակիչ բանաձևի մեջ, ունենք. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Քանի որ 28>0, այսինքն՝ դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, քառակուսի հավասարումն ունի երկու իրական արմատ։ Գտնենք դրանք արմատների բանաձևով, ստանում ենք, այստեղ կարող ենք պարզեցնել անելով ստացված արտահայտությունները. հաշվի առնելով արմատի նշանըորին հաջորդում է կոտորակի կրճատումը.

Պատասխան.

Անցնենք հաջորդ բնորոշ օրինակին.

Օրինակ.

Լուծե՛ք −4 x 2 +28 x−49=0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում.

Մենք սկսում ենք գտնելով տարբերակիչ. D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ, որը մենք գտնում ենք որպես, այսինքն.

Պատասխան.

x=3,5 .

Մնում է դիտարկել քառակուսի հավասարումների լուծումը բացասական դիսկրիմինանտով։

Օրինակ.

Լուծե՛ք 5 y 2 +6 y+2=0 հավասարումը։

Լուծում.

Ահա քառակուսի հավասարման գործակիցները՝ a=5 , b=6 և c=2: Փոխարինելով այս արժեքները տարբերակիչ բանաձևի մեջ՝ մենք ունենք D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Տարբերիչը բացասական է, հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է նշել բարդ արմատներ, ապա մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարման արմատների հայտնի բանաձևը և կատարում ենք. գործողություններ բարդ թվերով:

Պատասխան.

իրական արմատներ չկան, բարդ արմատներն են.

Եվս մեկ անգամ նշում ենք, որ եթե քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա դպրոցը սովորաբար անմիջապես գրում է պատասխանը, որում նշում են, որ իրական արմատներ չկան, և բարդ արմատներ չեն գտնում։

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևը, որտեղ D=b 2 −4 ac թույլ է տալիս ստանալ ավելի կոմպակտ բանաձև, որը թույլ է տալիս լուծել քառակուսի հավասարումներ x-ի հավասար գործակցով (կամ պարզապես 2 n-ի նման գործակցով։ , օրինակ, կամ 14 ln5=2 7 ln5 ): Եկեք նրան դուրս հանենք:

Ենթադրենք, պետք է լուծել a x 2 +2 n x + c=0 ձևի քառակուսային հավասարումը: Եկեք գտնենք դրա արմատները՝ օգտագործելով մեզ հայտնի բանաձեւը. Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), և այնուհետև մենք օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

Նշեք n 2 −a c արտահայտությունը որպես D 1 (երբեմն այն նշվում է D "): Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով ստանում է ձև. , որտեղ D 1 =n 2 −a c .

Հեշտ է տեսնել, որ D=4·D 1, կամ D 1 =D/4: Այսինքն Դ 1-ը խտրականի չորրորդ մասն է։ Հասկանալի է, որ Դ 1-ի նշանը նույնն է, ինչ Դ-ի նշանը։ Այսինքն՝ D 1 նշանը նույնպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ է։

Այսպիսով, երկրորդ 2 n գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է

• Հաշվել D 1 =n 2 −a·c ;
• Եթե ​​D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Եթե ​​D 1 =0, ապա հաշվարկեք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով բանաձևը.
• Եթե ​​D 1 >0, ապա բանաձևով գտե՛ք երկու իրական արմատ.

Դիտարկենք օրինակի լուծումը՝ օգտագործելով այս պարբերությունում ստացված արմատային բանաձևը:

Օրինակ.

Լուծե՛ք քառակուսի հավասարումը 5 x 2 −6 x−32=0 .

Լուծում.

Այս հավասարման երկրորդ գործակիցը կարելի է ներկայացնել որպես 2·(−3) ։ Այսինքն, դուք կարող եք վերաշարադրել բնօրինակ քառակուսի հավասարումը 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 ձևով, այստեղ a=5, n=−3 և c=−32, և հաշվարկել չորրորդ մասը։ տարբերակիչ: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Քանի որ դրա արժեքը դրական է, հավասարումը ունի երկու իրական արմատ: Մենք դրանք գտնում ենք՝ օգտագործելով համապատասխան արմատային բանաձևը.

Նկատի ունեցեք, որ հնարավոր էր օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, սակայն այս դեպքում ավելի շատ հաշվողական աշխատանք պետք է կատարվեր:

Պատասխան.

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն, նախքան բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարման արմատների հաշվարկը սկսելը, չի խանգարում տալ հարցը. «Հնարավո՞ր է պարզեցնել այս հավասարման ձևը»: Համաձայնեք, որ հաշվարկների առումով ավելի հեշտ կլինի լուծել 11 x 2 −4 x −6=0 քառակուսի հավասարումը, քան 1100 x 2 −400 x−600=0:

Սովորաբար, քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու կողմերը բազմապատկելով կամ բաժանելով ինչ-որ թվով: Օրինակ, նախորդ պարբերությունում մեզ հաջողվեց հասնել 1100 x 2 −400 x −600=0 հավասարման պարզեցման՝ երկու կողմերը բաժանելով 100-ի:

Նմանատիպ փոխակերպումն իրականացվում է քառակուսի հավասարումներով, որոնց գործակիցները չեն . Այս դեպքում հավասարման երկու մասերը սովորաբար բաժանվում են նրա գործակիցների բացարձակ արժեքներով: Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 −42 x+48=0։ նրա գործակիցների բացարձակ արժեքները՝ gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6: Բնօրինակ քառակուսային հավասարման երկու մասերը բաժանելով 6-ի` հասնում ենք համարժեք քառակուսային հավասարմանը 2 x 2 −7 x+8=0:

Իսկ քառակուսի հավասարման երկու մասերի բազմապատկումը սովորաբար կատարվում է կոտորակային գործակիցներից ազատվելու համար։ Այս դեպքում բազմապատկումն իրականացվում է նրա գործակիցների հայտարարների վրա։ Օրինակ, եթե քառակուսի հավասարման երկու մասերը բազմապատկվեն LCM(6, 3, 1)=6-ով, ապա այն կստանա ավելի պարզ ձև x 2 +4 x−18=0:

Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ մենք նշում ենք, որ գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման ամենաբարձր գործակցի մինուսից՝ փոխելով բոլոր անդամների նշանները, ինչը համապատասխանում է երկու մասերը −1-ով բազմապատկելու (կամ բաժանելուն): Օրինակ, սովորաբար −2·x 2 −3·x+7=0 քառակուսի հավասարումից անցնում ենք 2·x 2 +3·x−7=0 լուծույթին:

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների կապը

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևն արտահայտում է հավասարման արմատները նրա գործակիցներով: Արմատների բանաձևի հիման վրա կարող եք ստանալ այլ հարաբերություններ արմատների և գործակիցների միջև:

Ձևի Վիետայի թեորեմից ամենահայտնի և կիրառելի բանաձևերը և . Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամն է։ Օրինակ՝ 3 x 2 −7 x+22=0 քառակուսի հավասարման տեսքով անմիջապես կարող ենք ասել, որ նրա արմատների գումարը 7/3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22/3։

Օգտագործելով արդեն գրված բանաձևերը՝ կարող եք ստանալ մի շարք այլ հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։ Օրինակ՝ քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող եք արտահայտել նրա գործակիցներով.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Ուսանողի դասագիրք ուսումնական հաստատություններ/ A. G. Mordkovich. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։

Ուսումնասիրվում են նաև քառակուսի հավասարման խնդիրները դպրոցական ծրագիրև համալսարաններում։ Դրանք հասկացվում են որպես a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ x-փոփոխական, a,b,c – հաստատուններ; ա<>0 . Խնդիրը հավասարման արմատները գտնելն է։

Քառակուսի հավասարման երկրաչափական նշանակությունը

Ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը ներկայացված է քառակուսի հավասարմամբ, պարաբոլա է: Քառակուսային հավասարման լուծումները (արմատները) պարաբոլայի հատման կետերն են x առանցքի հետ։ Հետևում է, որ հնարավոր է երեք դեպք.
1) պարաբոլան չունի x առանցքի հետ հատման կետեր: Սա նշանակում է, որ այն գտնվում է վերին հարթության վրա՝ ճյուղերով վեր, կամ ներքևում՝ ճյուղերով: Նման դեպքերում քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ (ունի երկու բարդ արմատ):

2) պարաբոլան ունի Ox առանցքի հետ հատման մեկ կետ: Նման կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ, և դրանում գտնվող քառակուսի հավասարումը ստանում է իր նվազագույն կամ առավելագույն արժեքը։ Այս դեպքում քառակուսի հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ (կամ երկու նույնական արմատ):

3) Գործնականում առավել հետաքրքիր է վերջին դեպքը. կան պարաբոլայի հատման երկու կետ աբսցիսայի առանցքի հետ: Սա նշանակում է, որ կան հավասարման երկու իրական արմատներ։

Փոփոխականների հզորության գործակիցների վերլուծության հիման վրա կարելի է հետաքրքիր եզրակացություններ անել պարաբոլայի տեղադրման վերաբերյալ։

1) Եթե a գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլան ուղղված է դեպի վեր, եթե բացասական է, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։

2) Եթե b գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլայի գագաթն ընկած է ձախ կիսահարթության մեջ, եթե բացասական արժեք է ընդունում, ապա աջում։

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում

Փոխանցենք հաստատունը քառակուսի հավասարումից

հավասար նշանի համար ստանում ենք արտահայտությունը

Երկու կողմերը բազմապատկեք 4 ա-ով

Ձախ կողմում լրիվ քառակուսի ստանալու համար երկու մասում ավելացրեք b ^ 2 և կատարեք փոխակերպումը

Այստեղից մենք գտնում ենք

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը

Տարբերիչը արմատական ​​արտահայտության արժեքն է, եթե այն դրական է, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ՝ հաշվարկված բանաձևով. Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ լուծում (երկու համընկնող արմատ), որը հեշտ է ստանալ D=0-ի վերը նշված բանաձևից: Երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, իրական արմատներ չկան: Այնուամենայնիվ, բարդ հարթությունում քառակուսի հավասարման լուծումները ուսումնասիրելու համար և դրանց արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Վիետայի թեորեմա

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման երկու արմատ և դրանց հիման վրա կառուցեք քառակուսային հավասարում: Վիետայի թեորեմն ինքնին հեշտությամբ հետևում է նշումից. եթե մենք ունենք ձևի քառակուսային հավասարում. ապա նրա արմատների գումարը հավասար է p գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով, իսկ հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է q ազատ անդամին։ Վերոնշյալի բանաձևը նման կլինի. Եթե դասական հավասարման մեջ a հաստատունը զրոյական չէ, ապա պետք է դրա վրա բաժանել ամբողջ հավասարումը, այնուհետև կիրառել Վիետայի թեորեմը:

Գործոնների վրա քառակուսի հավասարման ժամանակացույց

Թող դրվի խնդիր՝ քառակուսի հավասարումը բաժանել գործոնների։ Այն իրականացնելու համար նախ լուծում ենք հավասարումը (գտնում ենք արմատները): Այնուհետև գտնված արմատները փոխարինում ենք քառակուսի հավասարման ընդլայնման բանաձևով: Այս խնդիրը կլուծվի:

Առաջադրանքներ քառակուսի հավասարման համար

Առաջադրանք 1. Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները

x^2-26x+120=0 .

Լուծում. Գրի՛ր գործակիցները և փոխարինի՛ր տարբերակիչ բանաձևով

արմատը տրված արժեքըհավասար է 14-ի, այն հեշտ է գտնել հաշվիչով կամ հիշել այն հաճախակի օգտագործմամբ, այնուամենայնիվ, հարմարության համար հոդվածի վերջում ես ձեզ կտամ թվերի քառակուսիների ցանկ, որոնք հաճախ կարելի է գտնել նման առաջադրանքներում: .
Գտնված արժեքը փոխարինվում է արմատային բանաձևով

և մենք ստանում ենք

Առաջադրանք 2. լուծել հավասարումը

2x2+x-3=0.

Լուծում. Ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում, դուրս գրենք գործակիցները և գտնենք տարբերակիչը


Ըստ հայտնի բանաձևերգտնել քառակուսի հավասարման արմատները

Առաջադրանք 3. լուծել հավասարումը

9x2 -12x+4=0.

Լուծում. Մենք ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում: Որոշեք դիսկրիմինատորը

Մենք ստացանք այն դեպքը, երբ արմատները համընկնում են. Արմատների արժեքները մենք գտնում ենք բանաձևով

Առաջադրանք 4. լուծել հավասարումը

x^2+x-6=0 .

Լուծում. Այն դեպքերում, երբ x-ի համար կան փոքր գործակիցներ, նպատակահարմար է կիրառել Վիետայի թեորեմը։ Նրա պայմանով մենք ստանում ենք երկու հավասարում

Երկրորդ պայմանից ստանում ենք, որ արտադրյալը պետք է հավասար լինի -6-ի։ Սա նշանակում է, որ արմատներից մեկը բացասական է: Մենք ունենք լուծումների հետևյալ հնարավոր զույգը(-3;2), (3;-2) . Հաշվի առնելով առաջին պայմանը՝ մենք մերժում ենք լուծումների երկրորդ զույգը։
Հավասարման արմատներն են

Առաջադրանք 5. Գտե՛ք ուղղանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա պարագիծը 18 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 77 սմ 2։

Լուծում. Ուղղանկյան պարագծի կեսը հավասար է կողքի կողմերի գումարին: Նշանակենք x - մեծ կողմը, ապա 18-x-ը նրա փոքր կողմն է: Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է այս երկարությունների արտադրյալին.
x(18x)=77;
կամ
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Գտե՛ք հավասարման դիսկրիմինանտը

Մենք հաշվարկում ենք հավասարման արմատները

Եթե x=11,ապա 18x=7,ճիշտ է նաև հակառակը (եթե x=7, ապա 21-x=9):

Խնդիր 6. Գործոնացնել քառակուսի 10x 2 -11x+3=0 հավասարումը:

Լուծում. Հաշվե՛ք հավասարման արմատները, դրա համար մենք գտնում ենք դիսկրիմինանտը

Գտնված արժեքը փոխարինում ենք արմատների բանաձևով և հաշվարկում

Մենք կիրառում ենք քառակուսի հավասարումը արմատներով ընդլայնելու բանաձևը

Ընդլայնելով փակագծերը՝ ստանում ենք ինքնությունը։

Քառակուսային հավասարում պարամետրով

Օրինակ 1. Պարամետրի ինչ արժեքների համար բայց,(a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 հավասարումը մեկ արմատ ունի՞:

Լուծում. a=3 արժեքի ուղղակի փոխարինմամբ տեսնում ենք, որ այն լուծում չունի։ Այնուհետև մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ զրոյական դիսկրիմինանտի դեպքում հավասարումն ունի 2-ի բազմապատկության մեկ արմատ: Դուրս գրենք խտրականությունը

պարզեցնել այն և հավասարեցնել զրոյի

Ա պարամետրի նկատմամբ ստացել ենք քառակուսային հավասարում, որի լուծումը հեշտ է ստանալ Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Արմատների գումարը 7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ 12։ Պարզ թվարկումով մենք հաստատում ենք, որ 3.4 թվերը կլինեն հավասարման արմատները: Քանի որ հաշվարկների սկզբում մենք արդեն մերժել ենք a=3 լուծումը, միակ ճիշտը կլինի. a=4.Այսպիսով, a = 4-ի համար հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Օրինակ 2. Պարամետրի ինչ արժեքների համար բայց,հավասարումը a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ունի մեկից ավելի արմատ.

Լուծում. Նախ դիտարկենք եզակի կետերը, դրանք կլինեն a=0 և a=-3 արժեքները: Երբ a=0, հավասարումը կպարզեցվի 6x-9=0 ձևով; x=3/2 և կլինի մեկ արմատ: a= -3-ի համար մենք ստանում ենք նույնականությունը 0=0:
Հաշվիր դիսկրիմինատորը

և գտե՛ք a-ի արժեքները, որոնց համար այն դրական է

Առաջին պայմանից ստանում ենք a>3. Երկրորդի համար մենք գտնում ենք տարբերակիչն ու հավասարման արմատները


Եկեք սահմանենք այն միջակայքերը, որտեղ ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներ: a=0 կետը փոխարինելով՝ ստանում ենք 3>0 . Այսպիսով, միջակայքից դուրս (-3; 1/3) ֆունկցիան բացասական է: Մի մոռացեք կետը a=0ինչը պետք է բացառվի, քանի որ սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ:
Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու միջակայք, որոնք բավարարում են խնդրի պայմանը

Գործնականում նմանատիպ շատ առաջադրանքներ կլինեն, փորձեք ինքներդ լուծել առաջադրանքները և մի մոռացեք հաշվի առնել միմյանց բացառող պայմանները։ Լավ ուսումնասիրեք քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը, դրանք բավականին հաճախ անհրաժեշտ են տարբեր խնդիրների և գիտությունների հաշվարկներում:

Այս թեման սկզբում կարող է բարդ թվալ՝ բազմաթիվ ոչ այնքան պարզ բանաձեւերի պատճառով: Ոչ միայն քառակուսի հավասարումներն իրենք ունեն երկար մուտքեր, այլև արմատները հայտնաբերվում են տարբերակիչի միջոցով: Ընդհանուր առմամբ կան երեք նոր բանաձեւեր. Հիշելը շատ հեշտ չէ: Դա հնարավոր է միայն նման հավասարումների հաճախակի լուծումից հետո։ Այնուհետև բոլոր բանաձևերը կհիշվեն ինքնուրույն:

Քառակուսային հավասարման ընդհանուր տեսք

Այստեղ առաջարկվում է դրանց բացահայտ նշումը, երբ նախ գրվում է ամենամեծ աստիճանը, իսկ հետո՝ նվազման կարգով։ Հաճախ լինում են իրավիճակներ, երբ տերմինները միմյանցից տարբերվում են: Այնուհետև ավելի լավ է վերաշարադրել հավասարումը փոփոխականի աստիճանի նվազման կարգով։

Ներկայացնենք նշումը. Դրանք ներկայացված են ստորև բերված աղյուսակում:

Եթե ​​ընդունենք այս նշումները, ապա բոլոր քառակուսի հավասարումները կրճատվում են հետևյալ նշումով.

Ընդ որում, գործակիցը a ≠ 0. Թող այս բանաձևը նշանակվի թիվ մեկով:

Երբ տրված է հավասարումը, պարզ չէ, թե քանի արմատ կլինի պատասխանում։ Քանի որ երեք տարբերակներից մեկը միշտ հնարավոր է.

• լուծումը կունենա երկու արմատ.
• պատասխանը կլինի մեկ թիվ;
• Հավասարումն ընդհանրապես արմատներ չունի։

Ու թեև որոշումն ավարտին չի հասցվել, դժվար է հասկանալ, թե կոնկրետ դեպքում տարբերակներից որն է դուրս գալու։

Քառակուսային հավասարումների գրառումների տեսակները

Առաջադրանքները կարող են ունենալ տարբեր գրառումներ: Նրանք միշտ չէ, որ նման կլինեն քառակուսի հավասարման ընդհանուր բանաձևին: Երբեմն այն կբացակայի որոշ պայմաններից: Վերևում գրվածն այն է ամբողջական հավասարում. Եթե ​​դուք հանեք դրա մեջ երկրորդ կամ երրորդ տերմինը, ապա կստանաք այլ բան: Այս գրառումները կոչվում են նաև քառակուսային հավասարումներ՝ միայն թերի։

Ընդ որում, միայն այն տերմինները, որոնց դեպքում «b» և «c» գործակիցները կարող են անհետանալ։ «ա» թիվը ոչ մի դեպքում չի կարող հավասար լինել զրոյի։ Քանի որ այս դեպքում բանաձեւը վերածվում է գծային հավասարման։ Հավասարումների թերի ձևի բանաձևերը կլինեն հետևյալը.

Այսպիսով, կա միայն երկու տեսակ, բացի ամբողջականներից, կան նաև թերի քառակուսի հավասարումներ։ Թող առաջին բանաձևը լինի թիվ երկու, իսկ երկրորդը՝ երեքը։

Խտրականությունը և արմատների քանակի կախվածությունը դրա արժեքից

Այս թիվը պետք է հայտնի լինի հավասարման արմատները հաշվարկելու համար։ Այն միշտ կարելի է հաշվարկել՝ անկախ նրանից, թե ինչպիսին է քառակուսի հավասարման բանաձեւը։ Խտրականությունը հաշվարկելու համար հարկավոր է օգտագործել ստորև գրված հավասարությունը, որը կունենա չորս թիվը։

Այս բանաձևի մեջ գործակիցների արժեքները փոխարինելուց հետո կարող եք թվեր ստանալ տարբեր նշաններ. Եթե ​​պատասխանը դրական է, ապա հավասարման պատասխանը կլինի երկու տարբեր արմատներ: Բացասական թվի դեպքում կբացակայեն քառակուսի հավասարման արմատները: Եթե ​​այն հավասար է զրոյի, ապա պատասխանը կլինի մեկ։

Ինչպե՞ս է լուծվում ամբողջական քառակուսի հավասարումը:

Փաստորեն, այս հարցի քննարկումն արդեն սկսվել է։ Որովհետև նախ պետք է գտնել խտրականին: Այն բանից հետո, երբ պարզվում է, որ կան քառակուսի հավասարման արմատներ, և դրանց թիվը հայտնի է, դուք պետք է օգտագործեք փոփոխականների բանաձևերը: Եթե ​​կա երկու արմատ, ապա անհրաժեշտ է կիրառել նման բանաձեւ.

Քանի որ այն պարունակում է «±» նշանը, կլինի երկու արժեք: Քառակուսի արմատի նշանի տակ արտահայտությունը տարբերակիչն է: Հետևաբար, բանաձևը կարելի է այլ կերպ վերաշարադրել։

Ֆորմուլա հինգ. Նույն գրառումից երևում է, որ եթե դիսկրիմինանտը զրո է, ապա երկու արմատներն էլ նույն արժեքները կունենան։

Եթե ​​քառակուսի հավասարումների լուծումը դեռ մշակված չէ, ապա ավելի լավ է գրել բոլոր գործակիցների արժեքները նախքան տարբերակիչ և փոփոխական բանաձևերը կիրառելը: Հետագայում այս պահը դժվարություններ չի առաջացնի։ Բայց հենց սկզբում շփոթություն է առաջանում.

Ինչպե՞ս է լուծվում ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը:

Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է. Նույնիսկ լրացուցիչ բանաձեւերի կարիք չկա։ Իսկ նրանք, որոնք արդեն գրված են խտրականի ու անհայտի համար, ձեզ պետք չեն։

Նախ հաշվի առեք թերի հավասարումթիվ երկու: Այս հավասարության դեպքում ենթադրվում է փակագծից հանել անհայտ արժեքը և լուծել գծային հավասարումը, որը կմնա փակագծերում։ Պատասխանը կունենա երկու արմատ. Առաջինն անպայման հավասար է զրոյի, քանի որ կա գործոն, որը բաղկացած է հենց փոփոխականից։ Երկրորդը ստացվում է գծային հավասարում լուծելով։

Երրորդ համարի թերի հավասարումը լուծվում է՝ թիվը հավասարման ձախ կողմից աջ տեղափոխելով։ Այնուհետև պետք է բաժանել գործակիցը անհայտի դիմաց: Մնում է միայն քառակուսի արմատը հանել և չմոռանալ այն երկու անգամ գրել հակառակ նշաններով։

Ստորև բերված են մի քանի գործողություններ, որոնք օգնում են ձեզ սովորել, թե ինչպես լուծել բոլոր տեսակի հավասարումները, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների: Դրանք կօգնեն աշակերտին խուսափել անուշադրության պատճառով սխալներից։ Այս թերություններն են «Քառյակային հավասարումներ (8-րդ դասարան)» ծավալուն թեման ուսումնասիրելիս վատ գնահատականների պատճառ։ Հետագայում այդ գործողությունները անընդհատ կատարելու կարիք չեն ունենա։ Որովհետև կայուն սովորություն կլինի.

• Նախ պետք է հավասարումը գրել ստանդարտ ձևով: Այսինքն՝ սկզբում փոփոխականի ամենամեծ աստիճան ունեցող տերմինը, իսկ հետո՝ առանց աստիճանի և վերջինը՝ ընդամենը թիվ։

• Եթե ​​«ա» գործակիցից առաջ մինուս է հայտնվում, ապա դա կարող է բարդացնել սկսնակին քառակուսի հավասարումներ ուսումնասիրելու աշխատանքը։ Ավելի լավ է ազատվել դրանից։ Այդ նպատակով բոլոր հավասարությունները պետք է բազմապատկվեն «-1»-ով: Սա նշանակում է, որ բոլոր տերմինները կփոխեն հակառակ նշանը:

• Նույն կերպ խորհուրդ է տրվում ազատվել ֆրակցիաներից։ Պարզապես հավասարումը բազմապատկեք համապատասխան գործակցով, որպեսզի հայտարարները չեղարկվեն:

Օրինակներ

Պահանջվում է լուծել հետևյալ քառակուսի հավասարումները.

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2):

Առաջին հավասարումը` x 2 - 7x \u003d 0: Այն թերի է, հետևաբար այն լուծվում է այնպես, ինչպես նկարագրված է թիվ երկու բանաձևի համար:

Փակագծելուց հետո ստացվում է՝ x (x - 7) \u003d 0:

Առաջին արմատը ստանում է արժեքը՝ x 1 \u003d 0: Երկրորդը կգտնվի գծային հավասարումից՝ x - 7 \u003d 0: Հեշտ է տեսնել, որ x 2 \u003d 7:

Երկրորդ հավասարումը` 5x2 + 30 = 0. Կրկին թերի: Միայն այն լուծվում է, ինչպես նկարագրված է երրորդ բանաձեւի համար:

30-ը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո՝ 5x 2 = 30: Այժմ պետք է բաժանել 5-ի: Ստացվում է՝ x 2 = 6: Պատասխանները կլինեն թվեր՝ x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Երրորդ հավասարումը. 15 - 2x - x 2 \u003d 0: Այստեղ և ներքևում քառակուսի հավասարումների լուծումը կսկսվի դրանք վերաշարադրելով ստանդարտ ձևով. - x 2 - 2x + 15 \u003d 0: Այժմ ժամանակն է օգտագործել երկրորդը: օգտակար խորհուրդև ամեն ինչ բազմապատկել մինուս մեկով: Ստացվում է x 2 + 2x - 15 \u003d 0: Չորրորդ բանաձևի համաձայն, դուք պետք է հաշվարկեք դիսկրիմինատորը. D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64: դրական թիվ. Վերևում ասվածից պարզվում է, որ հավասարումն ունի երկու արմատ. Նրանք պետք է հաշվարկվեն հինգերորդ բանաձեւով. Ըստ դրա՝ պարզվում է, որ x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2: Այնուհետև x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5:

Չորրորդ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 հավասարումը վերածվում է սրան՝ x 2 + 3x + 8 \u003d 0: Դրա դիսկրիմինատորը հավասար է այս արժեքին. -23: Քանի որ այս թիվը բացասական է, այս առաջադրանքի պատասխանը կլինի հետևյալ գրառումը՝ «Արմատներ չկան»։

Հինգերորդ 12x + x 2 + 36 = 0 հավասարումը պետք է վերաշարադրվի հետևյալ կերպ. x 2 + 12x + 36 = 0: Տարբերիչի բանաձևը կիրառելուց հետո ստացվում է զրո թիվը: Սա նշանակում է, որ այն կունենա մեկ արմատ, այն է՝ x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6:

Վեցերորդ հավասարումը (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) պահանջում է փոխակերպումներ, որոնք բաղկացած են նրանից, որ փակագծերը բացելուց առաջ անհրաժեշտ է բերել նմանատիպ տերմիններ: Առաջինի փոխարեն կլինի այսպիսի արտահայտություն. - x \u003d 0. Այն դարձել է թերի: Դրա նմանը արդեն համարվում է մի փոքր ավելի բարձր: Սրա արմատները կլինեն 0 և 1 թվերը:

Քառակուսային հավասարումներ. Խտրական. Լուծում, օրինակներ.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Քառակուսային հավասարումների տեսակները

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը: Ինչպիսի տեսք ունի? Ժամկետում քառակուսի հավասարումհիմնաբառ է «քառակուսի».Դա նշանակում է, որ հավասարման մեջ անպայմանպետք է լինի x քառակուսի: Բացի դրանից, հավասարման մեջ կարող է լինել (կամ չի կարող լինել) ընդամենը x (առաջին աստիճանի) և ընդամենը մի թիվ (անվճար անդամ):Եվ երկուսից մեծ աստիճանով x-եր չպետք է լինեն:

Մաթեմատիկական առումով քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է.

Այստեղ ա, բ և գ- որոշ թվեր. բ և գ- բացարձակապես ցանկացած, բայց բայց- ամեն ինչ, բացի զրոյից: Օրինակ:

Այստեղ բայց =1; բ = 3; գ = -4

Այստեղ բայց =2; բ = -0,5; գ = 2,2

Այստեղ բայց =-3; բ = 6; գ = -18

Դե, դուք հասկացաք ...

Այս քառակուսի հավասարումների ձախ կողմում կա ամբողջական հավաքածուանդամներ։ x քառակուսի գործակցով բայց, x գործակցով առաջին հզորությանը բԵվ ազատ անդամ

Նման քառակուսի հավասարումներ կոչվում են ամբողջական.

Եւ եթե բ= 0, ի՞նչ կստանանք: Մենք ունենք X-ը կվերանա առաջին աստիճանում։Սա տեղի է ունենում զրոյով բազմապատկելուց։) Ստացվում է, օրինակ.

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

և այլն: Իսկ եթե երկու գործակիցն էլ բԵվ գհավասար են զրոյի, ապա ավելի պարզ է.

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Նման հավասարումներ, որտեղ ինչ-որ բան բացակայում է, կոչվում են թերի քառակուսի հավասարումներ.Ինչը միանգամայն տրամաբանական է:) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ x քառակուսին առկա է բոլոր հավասարումների մեջ:

Ի դեպ, ինչու բայցչի կարող լինել զրո? Եվ փոխարենը դուք փոխարինում եք բայցզրո:) Քառակուսի X-ը կվերանա: Հավասարումը կդառնա գծային։ Եվ դա արվում է այլ կերպ ...

Դա քառակուսի հավասարումների բոլոր հիմնական տեսակներն են: Ամբողջական և թերի.

Քառակուսային հավասարումների լուծում.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծում.

Քառակուսային հավասարումները հեշտ է լուծել: Բանաձևերով և պարզ պարզ կանոններ. Առաջին փուլում ձեզ հարկավոր է տրված հավասարումըտանել դեպի ստանդարտ տեսք, այսինքն. դեպի տեսարան.

Եթե ​​հավասարումն արդեն տրված է ձեզ այս ձևով, ապա ձեզ հարկավոր չէ անել առաջին փուլը:) Գլխավորը բոլոր գործակիցները ճիշտ որոշելն է, բայց, բԵվ գ.

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է խտրական. Բայց նրա մասին ավելին ստորև: Ինչպես տեսնում եք, x-ը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c. Նրանք. գործակիցները քառակուսի հավասարումից. Պարզապես զգուշորեն փոխարինեք արժեքները ա, բ և գայս բանաձևի մեջ և հաշվել: Փոխարինող ձեր նշաններով! Օրինակ, հավասարման մեջ.

բայց =1; բ = 3; գ= -4. Այստեղ մենք գրում ենք.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Սա է պատասխանը։

Ամեն ինչ շատ պարզ է. Իսկ ի՞նչ եք կարծում, չե՞ք կարող սխալվել։ Դե, այո, ինչպես ...

Ամենատարածված սխալները արժեքների նշանների հետ շփոթությունն են ա, բ և գ. Ավելի ճիշտ՝ ոչ իրենց նշաններով (որտե՞ղ կա շփոթվելու), այլ՝ փոխարինմամբ բացասական արժեքներարմատները հաշվարկելու բանաձևի մեջ: Այստեղ պահվում է բանաձևի մանրամասն գրառումը հատուկ թվերով: Եթե ​​հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ կան, այնպես որ դա արեք!

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ ա = -6; բ = -5; գ = -1

Ենթադրենք, դուք գիտեք, որ հազվադեպ եք պատասխաններ ստանում առաջին անգամ:

Դե, մի ծույլ մի եղիր։ Լրացուցիչ տող գրելու համար կպահանջվի 30 վայրկյան Եվ սխալների քանակը կտրուկ կնվազի. Այսպիսով, մենք մանրամասն գրում ենք բոլոր փակագծերով և նշաններով.

Թվում է, թե աներևակայելի դժվար է այդքան ուշադիր նկարել: Բայց դա միայն թվում է. Փորձիր. Դե, կամ ընտրեք: Ո՞րն է ավելի լավ, արագ, թե ճիշտ: Բացի այդ, ես ձեզ կուրախացնեմ։ Որոշ ժամանակ անց ամեն ինչ այդքան խնամքով նկարելու կարիք չի լինի։ Պարզապես ճիշտ կստացվի։ Հատկապես, եթե դուք կիրառում եք գործնական տեխնիկա, որոնք նկարագրված են ստորև: Այս չար օրինակը մի շարք մինուսներով կլուծվի հեշտությամբ և առանց սխալների:

Բայց, հաճախ, քառակուսի հավասարումները մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Գիտեի՞ք։) Այո՛։ Սա թերի քառակուսի հավասարումներ.

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում.

Դրանք կարելի է լուծել նաև ընդհանուր բանաձևով. Պարզապես պետք է ճիշտ պարզել, թե ինչն է այստեղ հավասար ա, բ և գ.

Հասկացա? Առաջին օրինակում a = 1; b = -4;բայց գ? Այն ընդհանրապես գոյություն չունի։ Դե, այո, այդպես է: Մաթեմատիկայի մեջ սա նշանակում է, որ c = 0 ! Այսքանը: Փոխարինեք զրո բանաձևի փոխարեն գ,և մեզ մոտ ամեն ինչ կստացվի: Նմանապես երկրորդ օրինակով. Միայն զրո մենք այստեղ չունենք -ից, բայց բ !

Բայց թերի քառակուսի հավասարումները շատ ավելի հեշտ են լուծվում։ Առանց որևէ բանաձևի. Դիտարկենք առաջին թերի հավասարումը: Ինչ կարելի է անել ձախ կողմում: Դուք կարող եք հանել X-ը փակագծերից: Եկեք հանենք այն:

Իսկ ի՞նչ: Եվ այն, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործոններից որևէ մեկը հավասար է զրոյի: Չե՞ք հավատում: Դե, ուրեմն եկեք երկու ոչ զրոյական թվեր, որոնք բազմապատկելուց զրո կտան։
Չի աշխատում? Ինչ - որ բան...
Այսպիսով, մենք կարող ենք վստահորեն գրել. x 1 = 0, x 2 = 4.

Ամեն ինչ. Սրանք կլինեն մեր հավասարման արմատները: Երկուսն էլ տեղավորվում են: Դրանցից որևէ մեկը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք ճիշտ նույնականությունը 0 = 0: Ինչպես տեսնում եք, լուծումը շատ ավելի պարզ է, քան ընդհանուր բանաձևը: Նշում եմ, ի դեպ, որ X-ը կլինի առաջինը, իսկ որը՝ երկրորդը, բացարձակ անտարբեր է։ Հեշտ է գրել հերթականությամբ x 1- որն ավելի քիչ է x 2- այն, ինչ ավելին է:

Երկրորդ հավասարումը նույնպես հեշտությամբ կարելի է լուծել. Մենք 9-ը տեղափոխում ենք աջ կողմ: Մենք ստանում ենք.

Մնում է արմատը հանել 9-ից, և վերջ։ Ստանալ:

նաև երկու արմատ . x 1 = -3, x 2 = 3.

Այսպես են լուծվում բոլոր թերի քառակուսի հավասարումները։ Կամ փակագծերից հանելով x, կամ պարզ փոխանցումթվերը դեպի աջ, որին հաջորդում է արմատի արդյունահանումը:
Չափազանց դժվար է շփոթել այս մեթոդները։ Պարզապես այն պատճառով, որ առաջին դեպքում պետք է արմատը հանել X-ից, ինչը ինչ-որ կերպ անհասկանալի է, իսկ երկրորդ դեպքում փակագծերից հանելու բան չկա…

Խտրական. Խտրական բանաձեւ.

Կախարդական բառ խտրական ! Ավագ դպրոցի հազվագյուտ աշակերտ այս բառը չի լսել: «Որոշիր խտրականի միջոցով» արտահայտությունը հուսադրող և հուսադրող է: Որովհետև խտրականի կողմից հնարքների սպասել պետք չէ։ Կառավարման մեջ պարզ է և անփորձանք։) Ամենաշատը հիշեցնում եմ ընդհանուր բանաձեւլուծումների համար ցանկացածքառակուսի հավասարումներ.

Արմատային նշանի տակ եղած արտահայտությունը կոչվում է դիսկրիմինանտ։ Տարբերիչը սովորաբար նշվում է տառով Դ. Խտրական բանաձեւ.

D = b 2 - 4ac

Իսկ ինչո՞վ է առանձնահատուկ այս արտահայտությունը։ Ինչու է այն արժանի հատուկ անունի: Ինչ խտրականի իմաստը.Ամենից հետո -բ,կամ 2 աայս բանաձեւում նրանք կոնկրետ չեն անվանում ... Նամակներ և տառեր:

Բանն այս է. Այս բանաձեւով քառակուսի հավասարումը լուծելիս հնարավոր է ընդամենը երեք դեպք.

1. Խտրականը դրական է.Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք արմատը հանել դրանից: Արմատը լավ է հանվում, թե վատ, այլ հարց է։ Կարեւոր է, թե ինչ է արդյունահանվում սկզբունքորեն։ Այսպիսով, ձեր քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի: Երկու տարբեր լուծումներ.

2. Խտրականը զրո է։Ապա դուք ունեք մեկ լուծում. Քանի որ համարիչում զրո գումարելը կամ հանելը ոչինչ չի փոխում։ Խիստ ասած՝ սա մեկ արմատ չէ, այլ երկու նույնական. Բայց, պարզեցված տարբերակով, ընդունված է խոսել մեկ լուծում.

3. Խտրականը բացասական է.Բացասական թիվը չի վերցնում քառակուսի արմատը: Դե, լավ: Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Ճիշտն ասած, ժամը պարզ լուծումքառակուսի հավասարումներ, դիսկրիմինանտ հասկացությունը առանձնապես պարտադիր չէ: Բանաձևում փոխարինում ենք գործակիցների արժեքները և համարում ենք. Այնտեղ ամեն ինչ ինքն իրեն է ստացվում, և երկու արմատ, և մեկ, և ոչ մեկ: Սակայն ավելին լուծելիս դժվար առաջադրանքներ, առանց իմանալու իմաստը և տարբերակիչ բանաձևըբավարար չէ. Հատկապես - պարամետրերով հավասարումների մեջ: Նման հավասարումները օդաչուական են GIA-ի և միասնական պետական ​​քննության համար):

Այսպիսով, ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներքո հիշած խտրականի միջոցով: Կամ սովորել, որը նույնպես վատ չէ։) Դուք գիտեք, թե ինչպես ճիշտ նույնականացնել ա, բ և գ. Գիտե՞ք ինչպես ուշադիրդրանք փոխարինել արմատային բանաձևով և ուշադիրհաշվել արդյունքը. Հասկացա՞ք, որ այստեղ հիմնական բառն է. ուշադիր?

Այժմ ուշադրություն դարձրեք գործնական մեթոդներին, որոնք կտրուկ նվազեցնում են սխալների թիվը: Հենց նրանք, որոնք անուշադրության պատճառով են… որոնց համար հետո ցավալի է և վիրավորական…

Առաջին ընդունելություն . Մի ծուլացեք քառակուսի հավասարումը լուծելուց առաջ՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար: Ինչ է սա նշանակում?
Ենթադրենք, ցանկացած փոխակերպումից հետո դուք ստանում եք հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատների բանաձեւը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունները ա, բ և գ.Ճիշտ կառուցիր օրինակը։ Նախ՝ x քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ անդամ։ Սրա նման:

Եվ կրկին, մի շտապեք: X-ի քառակուսի առաջ մինուսը կարող է ձեզ շատ տխրեցնել: Մոռանալը հեշտ է... Ազատվեք մինուսից։ Ինչպե՞ս: Այո, ինչպես ուսուցանվեց նախորդ թեմայում: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Եվ այժմ դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և լրացնել օրինակը: Որոշեք ինքներդ: Դուք պետք է ավարտեք 2-րդ և -1 արմատներով:

Երկրորդ ընդունելություն. Ստուգեք ձեր արմատները: Վիետայի թեորեմի համաձայն. Մի անհանգստացեք, ես ամեն ինչ կբացատրեմ: Ստուգում վերջին բանըհավասարումը։ Նրանք. այն, որով մենք գրեցինք արմատների բանաձևը. Եթե ​​(ինչպես այս օրինակում) գործակիցը a = 1, հեշտությամբ ստուգեք արմատները: Բավական է դրանք բազմապատկել։ Դուք պետք է ստանաք անվճար ժամկետ, այսինքն. մեր դեպքում -2. Ուշադրություն դարձրեք, ոչ թե 2, այլ -2: ազատ անդամ ձեր նշանով . Եթե ​​դա չի ստացվել, նշանակում է, որ նրանք արդեն ինչ-որ տեղ խառնվել են: Փնտրեք սխալ:

Եթե ​​ստացվեց, պետք է արմատները ծալել։ Վերջին և վերջնական ստուգում. Պետք է լինի հարաբերակցություն բ-ից հակառակը նշան. Մեր դեպքում -1+2 = +1: Գործակից բ, որը x-ից առաջ է, հավասար է -1-ի: Այսպիսով, ամեն ինչ ճիշտ է:
Ափսոս, որ այդքան պարզ է միայն այն օրինակների համար, որտեղ x քառակուսին մաքուր է, գործակիցով a = 1.Բայց գոնե ստուգեք նման հավասարումների մեջ։ Ամեն ինչ ավելի քիչ սխալներկամք.

Ընդունելություն երրորդ . Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկե՛ք հավասարումը ընդհանուր հայտարարով, ինչպես նկարագրված է «Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ. ինքնության փոխակերպումներ» դասում։ Կոտորակների, սխալների հետ աշխատելիս, չգիտես ինչու, բարձրանալ ...

Ի դեպ, ես խոստացա մի չար օրինակ՝ մի շարք մինուսներով պարզեցնելու համար։ Խնդրում եմ։ Ահա նա։

Մինուսների մեջ չշփոթվելու համար հավասարումը բազմապատկում ենք -1-ով։ Մենք ստանում ենք.

Այսքանը: Որոշում կայացնելը զվարճալի է:

Այսպիսով, եկեք ամփոփենք թեման:

Գործնական խորհուրդներ:

1. Մինչ լուծելը քառակուսային հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի, կառուցում ճիշտ.

2. Եթե քառակուսիում x-ի դիմաց բացասական գործակից կա, այն վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով -1-ով:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը համապատասխան գործակցով բազմապատկելով։

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը հավասար է մեկի, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել Վիետայի թեորեմով։ Արա!

Այժմ դուք կարող եք որոշել:)

Լուծել հավասարումներ.

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Պատասխաններ (խառնաշփոթ).

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - ցանկացած թիվ

x 1 = -3
x 2 = 3

լուծումներ չկան

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0.5

Արդյո՞ք ամեն ինչ տեղավորվում է: Լավ! Քառակուսի հավասարումները ձերը չեն գլխացավանք. Առաջին երեքը ստացվեցին, իսկ մնացածը՝ ոչ։ Ապա խնդիրը քառակուսի հավասարումների մեջ չէ։ Խնդիրը հավասարումների նույնական փոխակերպումների մեջ է։ Նայեք հղումը, այն օգտակար է:

Միանգամայն չի աշխատում: Կամ ընդհանրապես չի ստացվում? Այնուհետև ձեզ կօգնի 555-րդ բաժինը, որտեղ այս բոլոր օրինակները դասավորված են ըստ ոսկորների: Ցուցադրվում է հիմնականլուծման սխալներ. Իհարկե, դա խոսում է նաև օգտագործման մասին նույնական փոխակերպումներտարբեր հավասարումներ լուծելիս։ Օգնում է շատ!

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։