ऑनलाइन कैलकुलेटर बीजगणितीय अंशों को सरल बनाना। बीजीय व्यंजकों को सरल कैसे करें
एक बीजीय व्यंजक जिसमें योग, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के साथ-साथ भाग का भी प्रयोग किया जाता है शाब्दिक भाव, को भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक कहते हैं। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, भाव
हम एक बीजीय भिन्न को एक बीजीय व्यंजक कहते हैं जिसमें दो पूर्णांक बीजीय व्यंजकों (उदाहरण के लिए, एकपदी या बहुपद) के विभाजन के भागफल का रूप होता है। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, भाव
भावों का तीसरा)।
भिन्नात्मक बीजगणितीय व्यंजकों के पहचान रूपांतरण अधिकांश भाग के लिए उन्हें बीजगणितीय अंश के रूप में दर्शाने के लिए होते हैं। एक सामान्य हर को खोजने के लिए, भिन्नों के हरों के गुणनखंडन - शब्दों का उपयोग उनके कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए किया जाता है। कम करते समय बीजीय भिन्नअभिव्यक्तियों की सख्त पहचान का उल्लंघन किया जा सकता है: मात्राओं के मूल्यों को बाहर करना आवश्यक है जिस पर वह कारक गायब हो जाता है जिसके द्वारा कमी की जाती है।
यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं समान परिवर्तनभिन्नात्मक बीजीय व्यंजक।
उदाहरण 1: एक व्यंजक को सरल कीजिए
सभी पदों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है (अंतिम पद के हर में चिन्ह और उसके सामने के चिन्ह को बदलना सुविधाजनक है):
हमारी अभिव्यक्ति इन मूल्यों को छोड़कर सभी मूल्यों के लिए एक के बराबर है, यह परिभाषित नहीं है और अंश में कमी अवैध है)।
उदाहरण 2. व्यंजक को बीजीय भिन्न के रूप में निरूपित करें
समाधान। अभिव्यक्ति को एक सामान्य भाजक के रूप में लिया जा सकता है। हम क्रमिक रूप से पाते हैं:
अभ्यास
1. मापदंडों के निर्दिष्ट मूल्यों के लिए बीजीय व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए:
2. कारक बनाना।
गणित-कैलकुलेटर-ऑनलाइन v.1.0
कैलकुलेटर निम्नलिखित ऑपरेशन करता है: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, दशमलव के साथ काम करना, जड़ निकालना, घात लगाना, प्रतिशत की गणना करना और अन्य ऑपरेशन।
समाधान:
गणित कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
चाभी | पद | व्याख्या |
---|---|---|
5 | संख्या 0-9 | अरबी अंक। प्राकृतिक पूर्णांक दर्ज करें, शून्य। ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त करने के लिए, +/- कुंजी दबाएं |
. | अर्धविराम) | एक दशमलव विभाजक। यदि बिंदु (अल्पविराम) से पहले कोई अंक नहीं है, तो कैलकुलेटर स्वचालित रूप से बिंदु से पहले एक शून्य स्थानापन्न कर देगा। उदाहरण के लिए: .5 - 0.5 लिखा जाएगा |
+ | पलस हसताक्षर | संख्याओं का जोड़ (संपूर्ण, दशमलव भिन्न) |
- | घटाव का चिन्ह | संख्याओं का घटाव (संपूर्ण, दशमलव भिन्न) |
÷ | विभाजन चिह्न | संख्याओं का विभाजन (संपूर्ण, दशमलव भिन्न) |
एक्स | गुणन चिह्न | संख्याओं का गुणन (पूर्णांक, दशमलव) |
√ | जड़ | किसी संख्या से जड़ निकालना। जब आप "रूट" बटन को फिर से दबाते हैं, तो परिणाम से रूट की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए: 16 = 4 का वर्गमूल; 4 = 2 . का वर्गमूल |
x2 | बराबरी | एक संख्या का वर्ग करना। जब आप "वर्ग" बटन को फिर से दबाते हैं, तो परिणाम चुकता हो जाता है। उदाहरण के लिए: वर्ग 2 = 4; वर्ग 4 = 16 |
1/x | अंश | दशमलव के लिए आउटपुट। अंश 1 में, हर में इनपुट संख्या |
% | प्रतिशत | किसी संख्या का प्रतिशत प्राप्त करें। काम करने के लिए, आपको दर्ज करना होगा: जिस संख्या से प्रतिशत की गणना की जाएगी, चिह्न (प्लस, माइनस, डिवाइड, गुणा), संख्यात्मक रूप में कितने प्रतिशत, "%" बटन |
( | खुला ब्रैकेट | मूल्यांकन प्राथमिकता निर्धारित करने के लिए एक खुला कोष्ठक। एक बंद कोष्ठक की आवश्यकता है। उदाहरण: (2+3)*2=10 |
) | बंद ब्रैकेट | मूल्यांकन प्राथमिकता निर्धारित करने के लिए एक बंद कोष्ठक। उपलब्धता आवश्यक खुला ब्रैकेट |
± | धन ऋण | संकेत को विपरीत में बदलता है |
= | बराबरी | समाधान का परिणाम प्रदर्शित करता है। साथ ही, मध्यवर्ती गणना और परिणाम "समाधान" फ़ील्ड में कैलकुलेटर के ऊपर प्रदर्शित होते हैं। |
← | एक चरित्र हटाना | अंतिम वर्ण हटाता है |
से | रीसेट | रीसेट बटन। कैलकुलेटर को पूरी तरह से "0" पर रीसेट कर देता है |
उदाहरण के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर का एल्गोरिदम
योग।
पूर्णांक जोड़ प्राकृतिक संख्याएं { 5 + 7 = 12 }
पूर्ण प्राकृत और ऋणात्मक संख्याओं का योग ( 5 + (-2) = 3 )
दशमलव जोड़ भिन्नात्मक संख्या { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
घटाव।
पूर्ण प्राकृत संख्याओं का घटाव ( 7 - 5 = 2 )
पूर्ण प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का घटाव ( 5 - (-2) = 7)
दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का घटाव ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )
गुणन।
पूर्ण प्राकृत संख्याओं का गुणनफल ( 3 * 7 = 21 )
पूर्ण प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल ( 5 * (-3) = -15 )
दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का गुणनफल ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )
विभाजन।
पूर्ण प्राकृत संख्याओं का विभाजन ( 27/3 = 9 )
पूर्ण प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन ( 15 / (-3) = -5 )
दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का विभाजन ( 6.2/2 = 3.1 )
किसी संख्या से जड़ निकालना।
एक पूर्णांक का मूल निकालना ( root(9) = 3 )
दशमलव के मूल को निकालना ( root(2.5) = 1.58 )
संख्याओं के योग से मूल निकालना ( root(56 + 25) = 9 )
संख्याओं में अंतर का मूल निकालना (मूल (32 - 7) = 5 )
एक संख्या का वर्ग करना।
एक पूर्णांक का वर्ग करना ( (3) 2 = 9 )
दशमलव का वर्ग करना ( (2.2) 2 = 4.84 )
दशमलव अंशों में बदलें।
किसी संख्या के प्रतिशत की गणना
230 को 15% बढ़ाएँ (230 + 230 * 0.15 = 264.5 )
संख्या 510 को 35% घटाएं ( 510 - 510 * 0.35 = 331.5 )
140 की संख्या का 18% है (140*0.18 = 25.2)
कुछ बीजीय उदाहरणएक प्रकार स्कूली बच्चों को डराने में सक्षम है। लंबी अभिव्यक्ति न केवल डराती है, बल्कि गणना करना भी बहुत मुश्किल है। आगे क्या होता है और क्या होता है, इसे तुरंत समझने की कोशिश करना, लंबे समय तक भ्रमित न होना। यही कारण है कि गणितज्ञ हमेशा "भयानक" कार्य को यथासंभव सरल बनाने का प्रयास करते हैं और उसके बाद ही इसे हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। अजीब तरह से, इस तरह की चाल प्रक्रिया को बहुत तेज करती है।
सरलीकरण बीजगणित के मूलभूत बिंदुओं में से एक है। मैं फ़िन सरल कार्यआप अभी भी इसके बिना कर सकते हैं, तो अधिक कठिन-से-गणना उदाहरण "बहुत कठिन" हो सकते हैं। यह वह जगह है जहाँ ये कौशल काम आते हैं! इसके अलावा, जटिल गणितीय ज्ञान की आवश्यकता नहीं है: यह केवल कुछ बुनियादी तकनीकों और सूत्रों को याद रखने और अभ्यास में लाने के लिए सीखने के लिए पर्याप्त होगा।
गणनाओं की जटिलता के बावजूद, किसी भी व्यंजक को हल करते समय, यह महत्वपूर्ण है संख्याओं के साथ संचालन के क्रम का पालन करें:
- कोष्ठक;
- घातांक;
- गुणन;
- विभाजन;
- योग;
- घटाव
अंतिम दो बिंदुओं को सुरक्षित रूप से बदला जा सकता है और यह किसी भी तरह से परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा। लेकिन दो पड़ोसी संख्याओं को जोड़ना, जब उनमें से एक के आगे एक गुणन चिह्न होता है, बिल्कुल असंभव है! उत्तर, यदि कोई हो, गलत है। इसलिए, आपको अनुक्रम याद रखने की आवश्यकता है।
ऐसे का उपयोग
ऐसे तत्वों में एक ही क्रम या समान डिग्री के चर के साथ संख्याएं शामिल होती हैं। तथाकथित मुक्त सदस्य भी हैं जिनके पास अज्ञात का पत्र पदनाम नहीं है।
लब्बोलुआब यह है कि कोष्ठक के अभाव में आप जैसे . को जोड़कर या घटाकर व्यंजक को सरल बना सकते हैं.
कुछ उदाहरण उदाहरण:
- 8x 2 और 3x 2 - दोनों संख्याओं का दूसरा क्रम चर समान है, इसलिए वे समान हैं और जब जोड़ा जाता है, तो वे सरल (8+3)x 2 =11x 2 हो जाते हैं, जबकि घटाते समय, यह (8-3)x निकलता है। 2 = 5x 2;
- 4x 3 और 6x - और यहाँ "x" की एक अलग डिग्री है;
- 2y 7 और 33x 7 - में अलग-अलग चर होते हैं, इसलिए, जैसा कि पिछले मामले में था, वे समान चर से संबंधित नहीं हैं।
एक संख्या फैक्टरिंग
यह छोटी सी गणितीय तरकीब, यदि आप इसका सही तरीके से उपयोग करना सीखते हैं, तो आपको भविष्य में एक से अधिक बार एक कठिन समस्या से निपटने में मदद मिलेगी। और यह समझना आसान है कि "सिस्टम" कैसे काम करता है: एक अपघटन कई तत्वों का एक उत्पाद है, जिसकी गणना मूल मान देती है. इस प्रकार, 20 को 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, या किसी अन्य तरीके से दर्शाया जा सकता है।
एक नोट पर: गुणक हमेशा भाजक के समान होते हैं। इसलिए आपको उन संख्याओं के बीच विस्तार के लिए एक कार्यशील "जोड़ी" की तलाश करने की आवश्यकता है जिससे मूल शेष के बिना विभाज्य हो।
आप इस तरह के ऑपरेशन को मुक्त सदस्यों के साथ और एक चर से जुड़े अंकों के साथ कर सकते हैं। मुख्य बात यह है कि गणना के दौरान उत्तरार्द्ध को खोना नहीं है - यहां तक कि अपघटन के बाद, अज्ञात नहीं ले सकता और "कहीं नहीं जाना।" यह कारकों में से एक पर रहता है:
- 15x=3(5x);
- 60y 2 \u003d (15y 2) 4.
अभाज्य संख्याएँ जिन्हें केवल स्वयं से विभाजित किया जा सकता है या 1 कभी भी कारक नहीं है - इसका कोई मतलब नहीं है।.
बुनियादी सरलीकरण के तरीके
पहली चीज जो आंख को पकड़ती है:
- कोष्ठक की उपस्थिति;
- भिन्न;
- जड़ें
बीजीय उदाहरण स्कूल के पाठ्यक्रमअक्सर इस धारणा के साथ संकलित किया जाता है कि उन्हें खूबसूरती से सरल बनाया जा सकता है।
ब्रैकेट गणना
कोष्ठक के सामने चिन्ह पर पूरा ध्यान दें!गुणन या विभाजन प्रत्येक तत्व के अंदर लागू होता है, और ऋण - मौजूदा "+" या "-" संकेतों को उलट देता है।
कोष्ठक की गणना नियमों के अनुसार या संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के अनुसार की जाती है, जिसके बाद समान दिए जाते हैं।
अंश में कमी
भिन्नों को कम करेंआसान भी है। वे खुद कभी-कभी "स्वेच्छा से भाग जाते हैं", ऐसे सदस्यों को लाने के साथ संचालन करने लायक है। लेकिन आप इससे पहले भी उदाहरण को सरल बना सकते हैं: अंश और हर पर ध्यान दें. उनमें अक्सर स्पष्ट या छिपे हुए तत्व होते हैं जिन्हें पारस्परिक रूप से कम किया जा सकता है। सच है, अगर पहले मामले में आपको केवल अनावश्यक को हटाने की जरूरत है, तो दूसरे में आपको सरलीकरण के लिए अभिव्यक्ति का हिस्सा लाने के बारे में सोचना होगा। उपयोग की जाने वाली विधियाँ:
- अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक की खोज और ब्रैकेटिंग;
- प्रत्येक शीर्ष तत्व को हर से विभाजित करना।
जब कोई व्यंजक या उसका भाग जड़ के नीचे हो, प्राथमिक सरलीकरण समस्या लगभग वैसी ही है जैसी भिन्नों के मामले में होती है। इससे पूरी तरह से छुटकारा पाने के तरीकों की तलाश करना आवश्यक है या यदि यह संभव नहीं है, तो गणना में हस्तक्षेप करने वाले संकेत को कम करने के लिए। उदाहरण के लिए, विनीत √(3) या √(7) के लिए।
सही तरीकाकट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं - इसे कारक बनाने का प्रयास करें, जिनमें से कुछ संकेत के बाहर हैं। एक उदाहरण उदाहरण: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10)।
अन्य छोटी-छोटी तरकीबें और बारीकियाँ:
- यह सरलीकरण ऑपरेशन अंशों के साथ किया जा सकता है, इसे पूरे और अलग-अलग अंश या हर के रूप में संकेत से निकालकर किया जा सकता है;
- योग या अंतर के एक हिस्से को जड़ से परे तोड़ना और निकालना असंभव है;
- चर के साथ काम करते समय, इसकी डिग्री को ध्यान में रखना सुनिश्चित करें, यह प्रतिपादन की संभावना के लिए रूट के बराबर या एक से अधिक होना चाहिए: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= (x 2 ×x)=x√( x);
- कभी-कभी इसे एक भिन्नात्मक शक्ति तक बढ़ाकर कट्टरपंथी चर से छुटकारा पाने की अनुमति दी जाती है: (y 3)=y 3/2।
शक्ति अभिव्यक्ति सरलीकरण
यदि माइनस या प्लस द्वारा सरल गणना के मामले में, समान लोगों को लाकर उदाहरणों को सरल बनाया जाता है, तो चर को गुणा या विभाजित करते समय क्या होता है बदलती डिग्रियां? दो मुख्य बिंदुओं को याद करके उन्हें आसानी से सरल बनाया जा सकता है:
- यदि चरों के बीच गुणन चिह्न है, तो घातांक जोड़े जाते हैं।
- जब वे एक-दूसरे से विभाजित होते हैं, तो अंश के अंश से समान हर घटाया जाता है।
ऐसे सरलीकरण के लिए एकमात्र शर्त है एक ही आधारदोनों सदस्यों के लिए। स्पष्टता के उदाहरण:
- 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.
हम ध्यान दें कि चर के सामने संख्यात्मक मानों के साथ संचालन सामान्य गणितीय नियमों के अनुसार होता है। और यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि "काम" अभिव्यक्ति के शक्ति तत्व समान हैं:
- किसी सदस्य को किसी शक्ति में बढ़ाने का अर्थ है उसे एक निश्चित संख्या से गुणा करना, अर्थात x 2 \u003d x × x;
- विभाजन समान है: यदि आप अंश और हर की डिग्री का विस्तार करते हैं, तो कुछ चर कम हो जाएंगे, जबकि बाकी "इकट्ठे" हो जाएंगे, जो घटाव के बराबर है।
जैसा कि किसी भी व्यवसाय में होता है, बीजीय व्यंजकों को सरल करते समय, न केवल मूल बातों का ज्ञान आवश्यक होता है, बल्कि अभ्यास भी होता है। कुछ पाठों के बाद, उदाहरण जो कभी जटिल लगते थे, बिना कम किए जाएंगे विशेष कार्य, संक्षिप्त में बदलना और आसानी से हल हो जाना।
वीडियो
यह वीडियो आपको यह समझने और याद रखने में मदद करेगा कि भावों को कैसे सरल बनाया जाता है।
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