पाठ विषय: स्थितीय संख्या प्रणालियों में अंकगणितीय संचालन।

श्रेणी 9

पाठ मकसद:

उपदेशात्मक: छात्रों को बाइनरी सिस्टम में जोड़, घटाव, गुणा और भाग से परिचित कराना और इन क्रियाओं को करने के कौशल का प्राथमिक अभ्यास करना।

शैक्षिक: गणना के लिए एक गैर-मानक दृष्टिकोण की संभावना दिखाने के लिए, नई चीजें सीखने में छात्रों की रुचि विकसित करने के लिए।

विकसित होना: ध्यान, सोचने की कठोरता, तर्क करने की क्षमता विकसित करें।

पाठ संरचना।

ऑर्गमोमेंट -1 मिनट।

मौखिक परीक्षा से गृहकार्य की जाँच करना -15 मिनटों।

गृहकार्य -दो मिनट।

सामग्री के एक साथ विश्लेषण और स्वतंत्र विकास के साथ समस्याओं का समाधान -25 मि.

पाठ को सारांशित करना -दो मिनट।

कक्षाओं के दौरान

संगठनात्मक क्षण।

होमवर्क की जाँच (मौखिक परीक्षण) .

शिक्षक प्रश्नों को क्रम से पढ़ता है। छात्र प्रश्न को बिना लिखे उसे ध्यान से सुनते हैं। केवल उत्तर दर्ज किया गया है, और बहुत संक्षेप में। (यदि एक शब्द से उत्तर देना संभव हो तो केवल इस शब्द को दर्ज किया जाता है)।

एक संख्या प्रणाली क्या है? (-यह एक संकेत प्रणाली है जिसमें कुछ नियमों के अनुसार संख्याएं लिखी जाती हैं जिनमें कुछ वर्णमाला के वर्णों का उपयोग किया जाता है जिन्हें संख्या कहा जाता है )

आप कौन सी संख्या प्रणाली जानते हैं?( गैर-स्थितीय और स्थितीय )

किस प्रणाली को गैर-स्थितीय कहा जाता है? (SCH को गैर-स्थितीय कहा जाता है यदि किसी संख्या में किसी अंक का मात्रात्मक समतुल्य (मात्रात्मक मान) संख्या के अंकन में उसकी स्थिति पर निर्भर नहीं करता है ).

स्थितीय एसएससी का आधार क्या है। (अंकों की संख्या के बराबर जो इसकी वर्णमाला बनाते हैं )

किसी पूर्णांक को दशमलव NSC से किसी अन्य में बदलने के लिए किस गणितीय क्रिया का उपयोग किया जाना चाहिए? (विभाजन )

किसी संख्या को दशमलव से बाइनरी में बदलने के लिए क्या करना होगा? (लगातार 2 . से विभाजित करें )

संख्या 11.1 कितनी बार घटेगी 2 अल्पविराम को एक वर्ण बाईं ओर ले जाने पर? (2 बार )

आइए अब एक असाधारण लड़की के बारे में एक श्लोक सुनें और सवालों के जवाब दें। (एक श्लोक लगता है )

असाधारण लड़की

वह एक हजार सौ साल की थी
वह एक सौ प्रथम श्रेणी में गई,
मैंने अपने पोर्टफोलियो में सौ किताबें रखीं।
यह सब सच है, बकवास नहीं।

जब, एक दर्जन फीट से धूल फांकते हुए,
वह सड़क के किनारे चली गई।
वह हमेशा एक पिल्ला द्वारा पीछा किया गया था
एक पूंछ के साथ, लेकिन सौ पैरों वाला।

उसने हर आवाज पकड़ी
दस कानों से
और दस टैन्ड हाथ
उनके पास एक ब्रीफकेस और एक पट्टा था।

और दस गहरी नीली आँखें
दुनिया को आदतन माना,
लेकिन सब कुछ सामान्य हो जाएगा,
जब तुम मेरी कहानी समझोगे।

/ एन. स्टारिकोव /

और लड़की की उम्र कितनी थी? (बारह साल ) वह किस कक्षा में गई थी? (पाँचवी श्रेणी ) उसके कितने हाथ और पैर थे? (2 हाथ, 2 पैर ) एक पिल्ला के 100 पैर कैसे होते हैं? (4 पंजे )

परीक्षण पूरा करने के बाद, छात्रों द्वारा स्वयं उत्तर का उच्चारण किया जाता है, एक आत्म-परीक्षा की जाती है और छात्र खुद को अंक देते हैं।

मानदंड:

10 सही उत्तर (शायद एक छोटी सी खामी) - "5";

9 या 8 - "4";

7, 6 – “3”;

बाकी "2" हैं।

द्वितीय. गृहकार्य (दो मिनट)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. नई सामग्री के साथ काम करना

बाइनरी सिस्टम में अंकगणितीय संचालन।

बाइनरी नंबर सिस्टम का अंकगणित अंकों के जोड़, घटाव और गुणा की तालिकाओं के उपयोग पर आधारित है। अंकगणित ऑपरेंड शीर्ष पंक्ति में और तालिकाओं के पहले कॉलम में स्थित होते हैं, और परिणाम कॉलम और पंक्तियों के चौराहे पर होते हैं:

0

1

1

1

योग।

बाइनरी जोड़ तालिका अत्यंत सरल है। केवल एक मामले में, जब जोड़ 1 + 1 किया जाता है, तो क्या सबसे महत्वपूर्ण बिट में स्थानांतरण होता है।

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

घटाव।

घटाव ऑपरेशन करते समय, एक छोटी संख्या को हमेशा बड़ी संख्या से पूर्ण मूल्य में घटाया जाता है, और संबंधित चिह्न लगाया जाता है। घटाव तालिका में, बार के साथ 1 का अर्थ है उच्च ऑर्डर ऋण। 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

गुणा

गुणक के अगले अंक से गुणक के क्रमिक गुणन के साथ दशमलव संख्या प्रणाली में उपयोग की जाने वाली सामान्य योजना के अनुसार गुणन तालिका का उपयोग करके गुणन संचालन किया जाता है। 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

गुणन और जोड़ की पाली में गुणा घटाया जाता है।

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. पाठ को सारांशित करना

छात्रों के अतिरिक्त कार्य के लिए कार्ड।

अंकगणितीय संचालन करें:

ए) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

बी) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

योग। बाइनरी नंबर सिस्टम में संख्याओं का जोड़ सिंगल-डिजिट बाइनरी नंबर (तालिका 6) की जोड़ तालिका पर आधारित है।

इस तथ्य पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि दो इकाइयों को जोड़ते समय, उच्चतम अंक में स्थानांतरण किया जाता है। यह तब होता है जब किसी संख्या का मान संख्या प्रणाली के आधार के बराबर या उससे अधिक हो जाता है।

मल्टी-डिजिट बाइनरी नंबरों का जोड़ उपरोक्त जोड़ तालिका के अनुसार किया जाता है, निचले अंकों से उच्च अंकों में संभावित स्थानान्तरण को ध्यान में रखते हुए। एक उदाहरण के रूप में, चलिए एक कॉलम में बाइनरी नंबर जोड़ते हैं:

आइए दशमलव संख्या प्रणाली में जोड़कर गणना की शुद्धता की जांच करें। आइए बाइनरी नंबरों को दशमलव संख्या प्रणाली में बदलें और उन्हें जोड़ें:

घटाव। बाइनरी नंबरों का घटाव सिंगल-डिजिट बाइनरी नंबर (तालिका 7) के घटाव की तालिका पर आधारित है।

छोटी संख्या (0) से बड़ी संख्या (1) घटाने पर, उच्चतम क्रम से ऋण लिया जाता है। तालिका में, ऋण को बार के साथ 1 से दर्शाया गया है।

उच्च-क्रम अंकों में संभावित ऋणों को ध्यान में रखते हुए, इस तालिका के अनुसार बहु-अंकीय बाइनरी संख्याओं का घटाव लागू किया जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए बाइनरी नंबर घटाएं:

गुणन। गुणन एकल-अंकीय बाइनरी संख्याओं (तालिका 8) की गुणन तालिका पर आधारित है।

मल्टी-डिजिट बाइनरी नंबरों का गुणन इस गुणन तालिका के अनुसार दशमलव संख्या प्रणाली में उपयोग की जाने वाली सामान्य योजना के अनुसार गुणक के अगले अंक से गुणक के क्रमिक गुणन के साथ किया जाता है। द्विआधारी गुणन के एक उदाहरण पर विचार करें

नोट: 1 के बराबर दो संख्याओं को जोड़ने पर इस अंक में 0 प्राप्त होता है, और 1 को सबसे महत्वपूर्ण अंक में स्थानांतरित किया जाता है।

उदाहरण_21: संख्या 101 (2) और 11 (2) दी गई है। इन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

जहां 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 1000 (2) = 8 (10)

जाँच करें: 5+3=8.

0 में से एक को घटाने पर, उच्चतम निकटतम अंक से एक इकाई ली जाती है, जो 0 से भिन्न होती है। साथ ही, उच्चतम अंक में व्याप्त एक इकाई कम से कम महत्वपूर्ण अंक में 2 इकाई और उच्चतम के बीच सभी अंकों में से एक देती है। और सबसे कम।

उदाहरण_22: संख्या 101 (2) और 11 (2) दी गई है। इन संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

जहां 101 (2) =5 (10), 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) ।

जाँच करें: 5-3 = 2।

गुणन संक्रिया को बार-बार पारी और जोड़ में घटाया जाता है।

उदाहरण_23: संख्याएँ 11 (2) और 10 (2) दी गई हैं। इन संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

जहां 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) ।

जाँच करें: 3*2=6.

अष्टक संख्या प्रणाली में अंकगणितीय संचालन

दो संख्याओं को जोड़ने पर, जिनका योग 8 के बराबर होता है, इस श्रेणी में 0 प्राप्त होता है, और 1 को उच्चतम क्रम में स्थानांतरित किया जाता है।

उदाहरण_24: संख्याएं 165 (8) और 13 (8) दी गई हैं। इन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

जहाँ 165 (8) = 117 (10), 13 (8) = 11 (10), 200 (8) = 128 (10) है।

छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को घटाते समय, उच्चतम निकटतम अंक से एक इकाई ली जाती है, जो 0 से भिन्न होती है। साथ ही, उच्चतम अंक में व्याप्त एक इकाई कम से कम महत्वपूर्ण अंक में 8 देती है।

उदाहरण_25: संख्या 114 (8) और 15 (8) दी गई है। इन संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

जहां 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) ।

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में अंकगणितीय संचालन

दो संख्याओं को जोड़ने पर, इस श्रेणी में कुल 16, 0 लिखा जाता है, और 1 को उच्चतम क्रम में स्थानांतरित किया जाता है।

उदाहरण_26: नंबर 1बी5 (16) और 53 (16) दिए गए हैं। इन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

जहां 1बी5 (16) = 437 (10), 53 (16) = 83 (10), 208 (16) = 520 (10) है।

जब छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को घटाया जाता है, तो एक इकाई उच्चतम निकटतम अंक से आच्छादित हो जाती है, जो 0 से भिन्न होती है। साथ ही, उच्चतम अंक में व्याप्त एक इकाई कम से कम महत्वपूर्ण अंक में 16 देती है।

उदाहरण_27: संख्याएँ 11A (16) और 2C (16) दी गई हैं। इन संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

जहां 11ए (16) =282 (10), 2सी (16) =44 (10), ईई (16) =238 (10) है।

कंप्यूटर डेटा एन्कोडिंग

कंप्यूटर में डेटा को एक कोड के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें अलग-अलग क्रम में एक और शून्य होते हैं।

कोड- सूचना प्रस्तुत करने के लिए प्रतीकों का एक सेट। एन्कोडिंग एक कोड के रूप में जानकारी प्रस्तुत करने की प्रक्रिया है।

संख्या कोड

कंप्यूटर में अंकगणितीय संचालन करते समय, वे उपयोग करते हैं प्रत्यक्ष, उल्टा और अतिरिक्त संख्या कोड।

सीधा कोड

सीधाएक द्विआधारी संख्या का कोड (एक चिह्न के साथ एक पूर्ण मूल्य के रूप में प्रतिनिधित्व) बाइनरी संख्या ही है, जिसमें इसके मूल्य का प्रतिनिधित्व करने वाले सभी अंक गणितीय संकेतन के रूप में लिखे जाते हैं, और संख्या का संकेत एक के रूप में लिखा जाता है दहाई अंक।

कंप्यूटर में पूर्णांकों को चिन्ह के साथ या बिना प्रदर्शित किया जा सकता है।

अहस्ताक्षरित पूर्णांक आमतौर पर स्मृति के एक या दो बाइट्स पर कब्जा कर लेते हैं। हस्ताक्षरित पूर्णांकों को संग्रहीत करने के लिए, एक, दो या चार बाइट्स आवंटित किए जाते हैं, जबकि सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाईं ओर) बिट को संख्या के संकेत के तहत आवंटित किया जाता है। यदि संख्या धनात्मक है, तो इस बिट पर 0 लिखा जाता है, यदि ऋणात्मक है, तो 1.

उदाहरण_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

कंप्यूटर में धनात्मक संख्याओं को हमेशा प्रत्यक्ष कोड का उपयोग करके दर्शाया जाता है। नंबर का सीधा कोड मशीन के सेल में नंबर की एंट्री से पूरी तरह मेल खाता है। एक ऋणात्मक संख्या का प्रत्यक्ष कोड केवल साइन बिट की सामग्री में संबंधित सकारात्मक संख्या के प्रत्यक्ष कोड से भिन्न होता है।

कंप्यूटर मेमोरी में संख्याओं को संग्रहीत करते समय, साथ ही गुणा और भाग संचालन करते समय प्रत्यक्ष कोड का उपयोग किया जाता है, लेकिन प्रत्यक्ष कोड में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का प्रारूप गणना में उपयोग के लिए असुविधाजनक है, क्योंकि सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का जोड़ और घटाव किया जाता है। अलग तरह से, और इसलिए साइन ऑपरेंड बिट्स का विश्लेषण करना आवश्यक है। इसलिए, एएलयू में पूर्णांकों पर अंकगणितीय संचालन को लागू करते समय प्रत्यक्ष कोड का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। लेकिन ऋणात्मक पूर्णांकों को कंप्यूटर में प्रत्यक्ष कोड के साथ प्रदर्शित नहीं किया जाता है। इस प्रारूप के बजाय, संख्याओं को उल्टे और अतिरिक्त कोड में दर्शाने के प्रारूप व्यापक हो गए हैं।

रिवर्स कोड

रिवर्स कोडएक सकारात्मक संख्या एक प्रत्यक्ष के साथ मेल खाती है, और जब एक ऋणात्मक संख्या लिखते हैं, तो इसके सभी अंक, संख्या के संकेत का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक को छोड़कर, विपरीत लोगों द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं (0 को 1 से प्रतिस्थापित किया जाता है, और 1 को 0 से बदल दिया जाता है। )

उदाहरण_29:

उदाहरण_30:

रिवर्स कोड से ऋणात्मक संख्या के प्रत्यक्ष कोड को पुनर्स्थापित करने के लिए, संख्या के चिह्न का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक को छोड़कर, सभी अंकों को विपरीत अंक से बदला जाना चाहिए।

अतिरिक्त कोड

अतिरिक्त कोडएक धनात्मक संख्या का प्रत्यक्ष एक के साथ मेल खाता है, और एक ऋणात्मक संख्या का कोड प्रतिलोम कोड में 1 जोड़कर बनता है।

उदाहरण_31:

उदाहरण_32:

उदाहरण_33:

एक पूर्णांक -32 (10) के लिए, एक अतिरिक्त कोड लिखें।

1. संख्या 32 (10) को बाइनरी नंबर सिस्टम में बदलने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

32 (10) =100000 (2) .

2. धनात्मक संख्या 32 (10) का सीधा कोड 0010 0000 है।

3. एक ऋणात्मक संख्या -32 (10) के लिए, सीधा कोड 1010 0000 है।

4. संख्या -32 (10) का उल्टा कोड 1101 1111 है।

5. संख्या -32 (10) का अतिरिक्त कोड 1110 0000 है।

उदाहरण_34:

संख्या का अतिरिक्त कोड 0011 1011 है। दशमलव संकेतन में संख्या का मान ज्ञात कीजिए।

1. संख्या का पहला (चिह्न) अंक 0 011 1011 0 है, इसलिए संख्या धनात्मक है।

2. एक धनात्मक संख्या के लिए, अतिरिक्त, प्रतिलोम और प्रत्यक्ष कोड समान होते हैं।

3. बाइनरी सिस्टम में नंबर डायरेक्ट कोड के रिकॉर्ड से प्राप्त होता है - 111011 (2) (हम उच्चतम अंकों से शून्य को हटाते हैं)।

4. दशमलव संख्या प्रणाली में परिवर्तित होने के बाद संख्या 111011 (2) 59 (10) है।

उदाहरण_35:

संख्या का अतिरिक्त कोड 1011 1011 है। दशमलव संकेतन में संख्या का मान ज्ञात कीजिए।

1. किसी संख्या का चिह्न अंक 1 011 1011 1 है, इसलिए संख्या ऋणात्मक है।

2. संख्या का उल्टा कोड निर्धारित करने के लिए, अतिरिक्त कोड में से एक घटाएं। रिवर्स कोड है 1 011 1010.

3. संख्या के सभी बाइनरी अंकों को विपरीत अंकों (1 के लिए 0, 1 के लिए 0) के साथ बदलकर रिवर्स से सीधा कोड प्राप्त किया जाता है। संख्या का सीधा कोड है 1 100 0101 (साइन बिट में हम 1 लिखते हैं)।

4. बाइनरी सिस्टम में नंबर डायरेक्ट कोड के रिकॉर्ड से प्राप्त होता है - -100 0101 (2)।

4. दशमलव में बदलने के बाद संख्या -1000101 (2) -69 (10) के बराबर है।

इसी तरह की जानकारी।

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बाइनरी अंकगणित

हम जिन संख्याओं का उपयोग करने के आदी हैं, उन्हें दशमलव कहा जाता है और हम जिस अंकगणित का उपयोग करते हैं उसे दशमलव भी कहा जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक संख्या 10 वर्णों वाले अंकों के समूह से बनी हो सकती है - अंक - "0123456789"।

गणित का विकास इस तरह हुआ कि यही समुच्चय मुख्य बन गया, लेकिन दशमलव अंकगणित अकेला नहीं है। यदि हम केवल पाँच अंक लेते हैं, तो उनके आधार पर हम सात अंकों से - सात-गुना से पाँच गुना अंकगणित बना सकते हैं। कंप्यूटर प्रौद्योगिकी से संबंधित ज्ञान के क्षेत्रों में अक्सर अंकगणित का उपयोग किया जाता है जिसमें संख्याएँ क्रमशः सोलह अंकों से बनी होती हैं, इस अंकगणित को हेक्साडेसिमल कहा जाता है। यह समझने के लिए कि गैर-दशमलव अंकगणित में कोई संख्या क्या है, हम पहले यह पता लगाते हैं कि दशमलव अंकगणित में कोई संख्या क्या है।

उदाहरण के लिए, संख्या 246 लें। इस प्रविष्टि का अर्थ है कि संख्या में दो सौ, चार दहाई और छह हैं। इसलिए, हम निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

यहां, समान चिह्न समान संख्या लिखने के तीन तरीकों को अलग करते हैं। अब हमारे लिए सबसे दिलचस्प लेखन का तीसरा रूप है: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0। यह निम्नानुसार आयोजित किया जाता है:

हमारे पास तीन नंबर हैं। उच्चतम अंक "2" में संख्या 3 है। इसलिए इसे 10 से दूसरी शक्ति से गुणा किया जाता है। अगले अंक "4" में क्रम संख्या 2 है और इसे पहले वाले में 10 से गुणा किया जाता है। यह पहले से ही देखा जा सकता है कि अंकों को अंक की क्रमिक संख्या से एक कम की शक्ति से दस से गुणा किया जाता है। जो कहा गया है उसे समझने के बाद, हम दशमलव संख्या को निरूपित करने के लिए सामान्य सूत्र लिख सकते हैं। मान लीजिए कि N अंकों वाली कोई संख्या है। हम i-वें अंक को i से निरूपित करेंगे। फिर संख्या को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: a n a n-1….a 2 a 1 । यह पहला फॉर्म है, और तीसरा एंट्री फॉर्म इस तरह दिखेगा:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + ए 2 * 10 1 + ए 1 * 10 0

जहां मैं "0123456789" सेट से एक चरित्र है

इस एंट्री में दस की भूमिका बहुत साफ दिखाई दे रही है। दस संख्या के गठन का आधार है। और वैसे, इसे "संख्या प्रणाली का आधार" और स्वयं संख्या प्रणाली कहा जाता है, इसलिए इसे "दशमलव" कहा जाता है। बेशक, संख्या दस में कोई विशेष गुण नहीं है। हम दस को आसानी से किसी अन्य संख्या से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, पाँच अंकों की संख्या प्रणाली में एक संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + ए 2 * 5 1 + ए 1 * 5 0

जहां मैं सेट "01234" से एक चरित्र है

सामान्य तौर पर, हम 10 को किसी अन्य संख्या से बदलते हैं और एक पूरी तरह से अलग संख्या प्रणाली और अलग अंकगणित प्राप्त करते हैं। सबसे सरल अंकगणित प्राप्त होता है यदि 10 को 2 से बदल दिया जाता है। परिणामी संख्या प्रणाली को बाइनरी कहा जाता है और इसमें संख्या को निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + ए 2 * 2 1 + ए 1 * 2 0

जहां मैं "01" सेट से एक चरित्र है

यह प्रणाली सभी संभव में सबसे सरल है, क्योंकि इसमें कोई भी संख्या केवल दो अंकों 0 और 1 से बनती है। यह स्पष्ट है कि कहीं भी सरल नहीं है। बाइनरी नंबरों के उदाहरण: 10, 111, 101।

बहुत महत्वपूर्ण प्रश्न। क्या एक बाइनरी संख्या को दशमलव संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है और इसके विपरीत, क्या एक दशमलव संख्या को बाइनरी संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है।

दशमलव के लिए द्विआधारी। यह बहुत सरल है। इस तरह के अनुवाद की विधि हमें संख्या लिखने का तरीका देती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बाइनरी संख्या 1011 लें। आइए इसे दो की शक्तियों में विस्तारित करें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

हम सभी रिकॉर्ड की गई क्रियाएं करते हैं और प्राप्त करते हैं:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. इस प्रकार, हम पाते हैं कि 1011 (बाइनरी) = 11 (दशमलव)। आप तुरंत बाइनरी सिस्टम की थोड़ी सी असुविधा देख सकते हैं। वही संख्या, जो दशमलव प्रणाली में, बाइनरी सिस्टम में एक वर्ण के साथ लिखी जाती है, इसकी रिकॉर्डिंग के लिए चार वर्णों की आवश्यकता होती है। लेकिन यह सादगी की कीमत है (मुफ्त में कुछ नहीं होता)। लेकिन बाइनरी सिस्टम अंकगणितीय संक्रियाओं में बहुत बड़ा लाभ देता है। और फिर हम इसे देखेंगे।

निम्नलिखित बाइनरी संख्याओं को दशमलव संख्या के रूप में व्यक्त करें।

ए) 10010 बी) 11101 सी) 1010 सी) 1110 डी) 100011 ई) 1100111 एफ) 1001110

बाइनरी नंबरों का जोड़।

एक कॉलम द्वारा जोड़ने की विधि सामान्य रूप से दशमलव संख्या के समान ही होती है। यही है, जोड़ को थोड़ा-थोड़ा करके किया जाता है, जो कम से कम महत्वपूर्ण अंक से शुरू होता है। यदि दो अंकों के योग से योग नौ से अधिक हो जाता है, तो संख्या = SUM-10 लिखा जाता है, और पूरे भाग (SUM / 10) को उच्चतम अंक में जोड़ा जाता है। (एक कॉलम में कुछ संख्याएँ जोड़ें, याद रखें कि यह कैसे किया जाता है।) तो यह एक द्विआधारी संख्या के साथ है। सबसे कम अंक से शुरू करते हुए, थोड़ा-थोड़ा करके जोड़ें। यदि यह 1 से अधिक निकलता है, तो 1 लिखा जाता है और 1 को सबसे महत्वपूर्ण अंक में जोड़ा जाता है (वे कहते हैं "यह पागल है")।

आइए एक उदाहरण चलाते हैं: 10011 + 10001।

पहला रैंक: 1+1 = 2. हम 0 लिखते हैं और 1 दिमाग में आया।

दूसरी रैंक: 1+0+1 (स्मृत इकाई) =2। हम 0 लिखते हैं और 1 दिमाग में चला जाता है।

तीसरी रैंक: 0+0+1(याद की गई इकाई) = 1. लिखो 1.

चौथी रैंक 0+0=0. हम 0 लिखते हैं।

पांचवी रैंक 1+1=2. हम 0 लिखते हैं और छठे बिट में 1 जोड़ते हैं।

आइए तीनों संख्याओं को दशमलव प्रणाली में बदलें और जोड़ की शुद्धता की जाँच करें।

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 सही समानता

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण:

ए) 11001 +101 =

बी) 11001 +11001 =

सी) 1001 + 111 =

ई) 10011 + 101 =

च) 11011 + 1111 =

ई) 11111 + 10011 =

दशमलव को बाइनरी में कैसे बदलें। अगला ऑपरेशन घटाव है। लेकिन हम इस ऑपरेशन से थोड़ी देर बाद निपटेंगे, और अब हम एक दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने की एक विधि पर विचार करेंगे।

दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए, इसे दो की शक्तियों में विस्तारित किया जाना चाहिए। लेकिन अगर दहाई की शक्तियों में विस्तार तुरंत प्राप्त हो जाता है, तो दो की शक्तियों में विस्तार कैसे किया जाए, इसके लिए थोड़ा विचार करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए देखें कि चयन विधि द्वारा इसे कैसे किया जाए। आइए दशमलव संख्या 12 लेते हैं।

पहला कदम। 2 2 \u003d 4, यह पर्याप्त नहीं है। यह भी छोटा है और 2 3 \u003d 8, और 2 4 \u003d 16 पहले से ही बहुत है। तो चलिए 2 3 =8 छोड़ते हैं। 12 - 8 = 4। अब आपको 4 को दो के घात के रूप में निरूपित करने की आवश्यकता है।

दूसरा चरण। 4 = 2 2।

तब हमारी संख्या 12 = 2 3 + 2 2। उच्चतम अंक में संख्या 4 है, उच्चतम डिग्री = 3, इसलिए, दो 1 और 0 की शक्तियों के साथ शब्द होना चाहिए। लेकिन हमें उनकी आवश्यकता नहीं है, इसलिए अनावश्यक डिग्री से छुटकारा पाने के लिए, और आवश्यक छोड़ दें वाले, हम संख्या को इस प्रकार लिखते हैं: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - यह संख्या 12 का द्विआधारी प्रतिनिधित्व है। यह देखना आसान है कि प्रत्येक अगली शक्ति दो की सबसे बड़ी शक्ति है, जो कि विस्तारित की जाने वाली संख्या से कम है। विधि को ठीक करने के लिए, आइए एक और उदाहरण देखें। संख्या 23.

चरण 1. दो की निकटतम घात 2 4 = 16 है। 23 -16 = 7।

चरण 2. दो की निकटतम घात 2 2 = 4 है। 7 - 4 = 3

चरण 3. दो की निकटतम घात 2 1 = 2 है। 3 - 2 = 1

चरण 4. दो की निकटतम घात 2 0 = 1 1 - 1 = 0

हमें निम्नलिखित अपघटन मिलता है: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

और हमारा वांछित बाइनरी नंबर 10111 . है

ऊपर दी गई विधि पहले से निर्धारित समस्या को अच्छी तरह से हल करती है, लेकिन एक ऐसी विधि है जो बहुत बेहतर तरीके से एल्गोरिथम है। इस विधि के लिए एल्गोरिथ्म नीचे लिखा गया है:

जब तक NUMBER शून्य से अधिक है तब तक करें

अगला अंक \u003d NUMBER को 2 . से विभाजित करने पर शेष

NUMBER = NUMBER का पूर्णांक भाग 2 . से विभाजित

जब यह एल्गोरिथम अपना काम पूरा कर लेता है, तो परिकलित नियमित अंकों का क्रम एक बाइनरी संख्या का प्रतिनिधित्व करेगा। उदाहरण के लिए, आइए 19 नंबर के साथ काम करें।

एल्गोरिथम प्रारंभ NUMBER = 19

अगला अंक = 1

अगला अंक = 1

अगला अंक = 0

अगला अंक = 0

अगला अंक = 1

तो, परिणामस्वरूप, हमारे पास निम्नलिखित संख्या 10011 है। ध्यान दें कि दो मानी जाने वाली विधियां उस क्रम में भिन्न होती हैं जिसमें अगले अंक प्राप्त होते हैं। पहली विधि में, प्राप्त पहला अंक द्विआधारी संख्या का उच्चतम अंक है, और दूसरी विधि में, इसके विपरीत, प्राप्त पहला अंक सबसे कम है।

दशमलव को बाइनरी में दो तरह से बदलें

ए) 14 बी) 29 सी) 134 डी) 158 एफ) 1190 ग्राम) 2019

भिन्नात्मक भाग को दशमलव में कैसे बदलें।

यह ज्ञात है कि किसी भी परिमेय संख्या को दशमलव और साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक साधारण भिन्न, जो कि A/B के रूप का भिन्न है, नियमित और अनुचित हो सकता है। एक भिन्न को उचित कहा जाता है यदि A<В и неправильной если А>पर।

यदि एक परिमेय संख्या को एक अनुचित भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है, और उसी समय भिन्न के अंश को हर द्वारा पूरी तरह से विभाजित किया जाता है, तो यह परिमेय संख्या एक पूर्णांक है, अन्य सभी मामलों में एक भिन्नात्मक भाग दिखाई देता है। भिन्नात्मक भाग अक्सर एक बहुत लंबी संख्या और यहां तक ​​कि अनंत (एक अनंत आवधिक अंश, उदाहरण के लिए, 20/6) होता है, इसलिए भिन्नात्मक भाग के मामले में, हमारे पास केवल एक प्रतिनिधित्व को दूसरे में अनुवाद करने का कार्य नहीं है, बल्कि अनुवाद करना है एक निश्चित सटीकता के साथ।

शुद्धता नियम। मान लीजिए कि आपको एक दशमलव संख्या दी गई है जिसे एन अंकों तक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। संबंधित बाइनरी संख्या के समान सटीकता के लिए, इसमें M - अक्षर लिखना आवश्यक है, ताकि

और अब आइए अनुवाद नियम प्राप्त करने का प्रयास करें, और पहले उदाहरण 5,401 . पर विचार करें

फेसला:

हम पहले से ज्ञात नियमों के अनुसार पूर्णांक भाग प्राप्त करेंगे, और यह द्विआधारी संख्या 101 के बराबर है। और हम 2 की शक्तियों में भिन्नात्मक भाग का विस्तार करते हैं।

स्टेप 1: 2 -2 = 0.25; 0.401 - 0.25 = 0.151. शेष है।

चरण 2:अब हमें दो की शक्ति के रूप में 0.151 का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता है। चलो यह करते हैं: 2 -3 = 0.125; 0.151 - 0.125 = 0.026

इस प्रकार, मूल भिन्नात्मक भाग को 2 -2 +2 -3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसे ऐसी बाइनरी संख्या: 0.011 में लिखा जा सकता है। पहला भिन्नात्मक अंक शून्य है, ऐसा इसलिए है क्योंकि हमारे विस्तार में डिग्री 2 -1 अनुपस्थित है।

पहले और दूसरे चरण से यह स्पष्ट है कि यह प्रतिनिधित्व सटीक नहीं है और विस्तार को जारी रखना वांछनीय हो सकता है। आइए वापस नियम पर चलते हैं। यह कहता है कि हमें M के इतने चिन्ह चाहिए कि 10 3 2 M से कम हो। यानी 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

चरण 3:अब हम 0.026 नंबर के साथ काम कर रहे हैं। इस संख्या से दो की निकटतम शक्ति 2 -6 \u003d 0.015625 है; 0.026 - 0.015625 = 0.010375 अब हमारी अधिक सटीक बाइनरी संख्या 0.011001 है। दशमलव बिंदु के बाद पहले से ही छह दशमलव स्थान हैं, लेकिन यह अभी तक पर्याप्त नहीं है, इसलिए हम एक और चरण करते हैं।

चरण 4:अब हम 0.010375 नंबर के साथ काम कर रहे हैं। इस संख्या से दो की निकटतम शक्ति 2 -7 \u003d 0.0078125 है;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

चरण 5:अब हम 0.0025625 नंबर के साथ काम कर रहे हैं। इस संख्या से दो की निकटतम शक्ति 2 -9 \u003d 0.001953125 है;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

अंतिम परिणामी शेष 2 -10 से कम है और यदि हम मूल संख्या तक पहुंचना जारी रखना चाहते हैं, तो हमें 2 -11 की आवश्यकता होगी, लेकिन यह पहले से ही आवश्यक सटीकता से अधिक है, और इसलिए गणना को रोका जा सकता है और अंतिम बाइनरी प्रतिनिधित्व भिन्नात्मक भाग को लिखा जा सकता है।

0,401 = 0,011001101

जैसा कि आप देख सकते हैं, दशमलव संख्या के भिन्नात्मक भाग को द्विआधारी प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करना पूर्णांक भाग को परिवर्तित करने की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है। व्याख्यान के अंत में दो की शक्तियों की तालिका।

और अब हम परिवर्तन एल्गोरिथ्म लिखते हैं:

एल्गोरिथम का प्रारंभिक डेटा: ए के माध्यम से हम दशमलव रूप में लिखे गए मूल उचित दशमलव अंश को निरूपित करेंगे। मान लीजिए कि इस भिन्न में N चिह्न हैं।

कलन विधि

क्रिया 1. असमानता 10 N . से आवश्यक बाइनरी वर्णों M की संख्या निर्धारित करें< 2 M

चरण 2: द्विआधारी प्रतिनिधित्व के अंकों की गणना करें (शून्य के बाद के अंक)। अंकों की संख्या को प्रतीक के द्वारा दर्शाया जाएगा।

1. अंक संख्या = 1
2. अगर 2-के> ए

फिर हम बाइनरी नंबर के अंकन में शून्य जोड़ते हैं

• बाइनरी नंबर में 1 जोड़ें
• ए \u003d ए - 2 -के

1. के = के + 1
2. अगर कश्मीर > एम

• तो एल्गोरिथ्म समाप्त हो गया है।
• अन्यथा, बिंदु 2 पर जाएं।

दशमलव को बाइनरी में बदलें

ए) 3.6 बी) 12.0112 सी) 0.231 डी) 0.121 ई) 23.0091

बाइनरी नंबरों का घटाव। हम संख्याओं को भी घटाएंगे, हम एक कॉलम का भी उपयोग करेंगे और सामान्य नियम दशमलव संख्याओं के समान है, घटाव थोड़ा-थोड़ा करके किया जाता है और यदि बिट में पर्याप्त इकाई नहीं है, तो यह पुराने में लगा हुआ है। आइए निम्नलिखित उदाहरण को हल करें:

पहला रैंक। 1 - 0 = 1। हम 1 लिखते हैं।

दूसरी रैंक 0-1. यूनिट गायब है। हम इसे वरिष्ठ श्रेणी में लेते हैं। उच्चतम अंक में से एक निम्नतम तक जाता है, दो इकाइयों के रूप में (क्योंकि उच्चतम अंक को दो से अधिक डिग्री द्वारा दर्शाया जाता है) 2-1 \u003d 1. हम 1 लिखते हैं।

तीसरी रैंक. हमने इस अंक की इकाई पर कब्जा कर लिया है, इसलिए अब अंक 0 में सबसे महत्वपूर्ण अंक की इकाई पर कब्जा करने की आवश्यकता है। 2-1 = 1। हम 1 लिखते हैं।

आइए परिणाम को दशमलव प्रणाली में देखें

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) सच्ची समानता।

घटाव करने का एक और दिलचस्प तरीका दो के पूरक की अवधारणा से संबंधित है, जो आपको घटाव को जोड़ में कम करने की अनुमति देता है। यह पता चला है कि अतिरिक्त कोड में संख्या बेहद सरल है, हम संख्या लेते हैं, शून्य को एक के साथ बदलते हैं, इसके विपरीत, हम शून्य से बदलते हैं और कम से कम महत्वपूर्ण अंक में एक जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, 10010 दो के पूरक कोड में 011011 होगा।

दो के पूरक घटाव नियम में कहा गया है कि घटाव को जोड़ से बदला जा सकता है यदि घटाव को दो के पूरक कोड में एक संख्या से बदल दिया जाता है।

उदाहरण: 34 - 22 = 12

आइए इस उदाहरण को बाइनरी फॉर्म में लिखते हैं। 100010 - 10110 = 1100

10110 नंबर के लिए अतिरिक्त कोड इस प्रकार होगा

01001 + 00001 = 01010। फिर मूल उदाहरण को इस तरह से जोड़ा जा सकता है 100010 + 01010 = 101100 अगला, आपको उच्चतम क्रम में एक इकाई को त्यागने की आवश्यकता है। यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें 001100 मिलता है। हम महत्वहीन शून्य को छोड़ देते हैं और 1100 प्राप्त करते हैं, अर्थात उदाहरण सही ढंग से हल किया गया था

अपने घटाव करें। सामान्य तरीके से और अतिरिक्त कोड में, पहले दशमलव संख्याओं को बाइनरी में परिवर्तित करना:

द्विआधारी परिणाम को दशमलव में परिवर्तित करके जांचें।

बाइनरी नंबर सिस्टम में गुणन।

आइए निम्नलिखित दिलचस्प तथ्य से शुरू करते हैं। एक बाइनरी संख्या को 2 से गुणा करने के लिए (दशमलव दो बाइनरी में 10 है), यह बाईं ओर गुणा संख्या में एक शून्य जोड़ने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण। 10101 * 10 = 101010

इंतिहान।

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

यदि हम याद रखें कि किसी भी द्विआधारी संख्या को दो के घात में विस्तारित किया जा सकता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि द्विआधारी संख्या प्रणाली में गुणा को 10 से गुणा (अर्थात दशमलव 2 से) तक घटा दिया जाता है, और इसलिए, गुणा क्रमिक की एक श्रृंखला है। बदलाव सामान्य नियम यह है कि, दशमलव संख्याओं की तरह, द्विआधारी गुणन को थोड़ा-थोड़ा करके किया जाता है। और दूसरे गुणक के प्रत्येक अंक के लिए पहले गुणक के दायीं ओर एक शून्य जोड़ा जाता है। उदाहरण (अभी तक एक कॉलम नहीं):

1011 * 101 इस गुणन को तीन बिटवाइज़ गुणाओं के योग में घटाया जा सकता है:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 इसी बात को एक कॉलम में इस तरह लिखा जा सकता है:

इंतिहान:

101 = 5 (दशमलव)

1011 = 11 (दशमलव)

110111 = 55 (दशमलव)

5*11 = 55 सही समानता

अपने लिए तय करें

क) 1101 * 1110 =

बी) 1010 * 110 =

ई) 101011 * 1101 =

च) 10010 * 1001 =

नोट: वैसे, बाइनरी सिस्टम में गुणन तालिका में केवल एक आइटम 1 * 1 = 1 . होता है

बाइनरी सिस्टम में विभाजन।

हम पहले से ही तीन क्रियाओं पर विचार कर चुके हैं और मुझे लगता है कि यह पहले से ही स्पष्ट है कि, सामान्य तौर पर, द्विआधारी संख्याओं पर कार्रवाई दशमलव संख्याओं पर क्रियाओं से बहुत कम होती है। अंतर केवल इस तथ्य में प्रकट होता है कि दो अंक हैं और दस नहीं हैं, लेकिन यह केवल अंकगणितीय संचालन को सरल करता है। विभाजन के साथ भी ऐसा ही है, लेकिन विभाजन एल्गोरिथ्म की बेहतर समझ के लिए, हम और अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे। मान लीजिए हमें दो दशमलव संख्याओं को विभाजित करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए 234 को 7 से विभाजित करना। हम इसे कैसे करते हैं।

हम दाईं ओर (सबसे महत्वपूर्ण अंक से) इतनी संख्या में अंक आवंटित करते हैं कि परिणामी संख्या यथासंभव छोटी हो और साथ ही भाजक से अधिक हो। 2 भाजक से कम है, इसलिए, हमें जिस संख्या की आवश्यकता है वह 23 है। फिर हम परिणामी संख्या को भाजक द्वारा शेषफल से विभाजित करते हैं। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

वर्णित ऑपरेशन तब तक दोहराया जाता है जब तक कि परिणामी शेष भाजक से कम न हो। जब ऐसा होता है, तो बार के नीचे प्राप्त संख्या भागफल होती है, और अंतिम शेष ऑपरेशन का शेष होता है। तो एक बाइनरी नंबर को विभाजित करने की क्रिया ठीक उसी तरह से की जाती है। कोशिश करते हैं

उदाहरण: 10010111 / 101

हम एक ऐसी संख्या की तलाश कर रहे हैं, जिसके उच्चतम क्रम से पहला भाजक से बड़ा हो। यह चार अंकों की संख्या 1001 है। इसे बोल्ड में दिखाया गया है। अब आपको चयनित संख्या के लिए एक भाजक खोजने की जरूरत है। और यहाँ हम दशमलव प्रणाली की तुलना में फिर से जीतते हैं। तथ्य यह है कि चयनित भाजक अनिवार्य रूप से एक अंक है, और हमारे पास केवल दो अंक हैं। चूँकि 1001 स्पष्ट रूप से 101 से बड़ा है, भाजक के साथ सब कुछ स्पष्ट है, यह 1 है। चलो ऑपरेशन चरण करते हैं।

तो, शेष संक्रिया 100 है। यह 101 से कम है, इसलिए द्वितीय श्रेणी के चरण को करने के लिए, आपको अगले अंक को 100 में जोड़ना होगा, यह संख्या 0 है। अब हमारे पास निम्नलिखित संख्या है:

1000 101 से बड़ा है, इसलिए दूसरे चरण में हम फिर से निजी अंक में 1 जोड़ते हैं और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं (स्थान बचाने के लिए, हम तुरंत अगले अंक को छोड़ देते हैं)।

तीसरा चरण। परिणामी संख्या 110 101 से बड़ी है, इसलिए इस चरण में हम इसे भागफल 1 में लिखेंगे। यह इस तरह निकलेगा:

परिणामी संख्या 11 101 से कम है, इसलिए हम इसे निजी अंक 0 में लिखते हैं और अगले अंक को नीचे करते हैं। यह इस तरह निकलता है:

परिणामी संख्या 101 से अधिक है, इसलिए हम संख्या 1 को भागफल में लिखते हैं और फिर से क्रिया करते हैं। यह चित्र निकलता है:

1

0

परिणामी शेष 10 101 से कम है, लेकिन हमारे पास लाभांश में अंक नहीं हैं, इसलिए 10 अंतिम शेषफल है, और 1110 वांछित भागफल है।

दशमलव में चेक करें

यह सबसे सरल अंकगणितीय संक्रियाओं के विवरण को समाप्त करता है जिसे आपको द्विआधारी अंकगणित का उपयोग करने के लिए जानने की आवश्यकता है, और अब हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे "हमें द्विआधारी अंकगणित की आवश्यकता क्यों है।" बेशक, यह पहले ही ऊपर दिखाया जा चुका है कि बाइनरी सिस्टम में एक संख्या लिखना अंकगणितीय संचालन को बहुत सरल करता है, लेकिन साथ ही, रिकॉर्ड स्वयं बहुत लंबा हो जाता है, जो प्राप्त सरलीकरण के मूल्य को कम कर देता है, इसलिए यह देखना आवश्यक है ऐसी समस्याओं के लिए जिनका समाधान बाइनरी नंबरों में बहुत आसान है।

कार्य 1: सभी नमूने प्राप्त करना

बहुत बार ऐसे कार्य होते हैं जिनमें आपको दिए गए आइटमों के सेट से सभी संभावित संयोजन बनाने में सक्षम होने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, ऐसा कार्य:

पत्थरों के एक बड़े ढेर को देखते हुए, पत्थरों को दो ढेरों में इस तरह व्यवस्थित करें कि इन दोनों ढेरों का द्रव्यमान जितना संभव हो उतना समान हो।

यह कार्य निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

एक बड़े ढेर से पत्थरों का एक नमूना इस तरह से खोजें कि इसका कुल द्रव्यमान बड़े ढेर के आधे द्रव्यमान से जितना संभव हो उतना कम हो।

इस तरह के काफी कुछ कार्य हैं। और वे सभी नीचे आते हैं, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, तत्वों के दिए गए सेट से सभी संभावित संयोजन (हम उन्हें नीचे चयन कहेंगे) प्राप्त करने की क्षमता के लिए नीचे आते हैं। और अब हम बाइनरी एडिशन ऑपरेशन का उपयोग करके सभी संभावित नमूने प्राप्त करने के लिए एक सामान्य विधि पर विचार करेंगे। आइए एक उदाहरण से शुरू करते हैं। तीन वस्तुओं का एक सेट होने दें। हम सभी संभावित नमूनों का निर्माण करते हैं। वस्तुओं को क्रम संख्या द्वारा निरूपित किया जाएगा। अर्थात्, निम्नलिखित मदें हैं: 1, 2, 3।

नमूने: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

यदि अगली संख्या के साथ स्थिति में कोई है, तो इसका मतलब है कि इस स्थिति के बराबर संख्या वाला तत्व चयन में मौजूद है, और यदि शून्य है, तो तत्व मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिए, नमूना (0, 1, 0); संख्या 2 के साथ एक तत्व होता है, और नमूना (1, 1, 0) है; संख्या 1 और 2 वाले दो तत्वों से मिलकर बनता है।

यह उदाहरण स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि नमूने को एक द्विआधारी संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, यह देखना आसान है कि सभी संभव एक, दो और तीन अंकों की बाइनरी संख्या ऊपर लिखी गई है। आइए उन्हें इस प्रकार फिर से लिखें:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

हमें लगातार बाइनरी नंबरों की एक श्रृंखला प्राप्त हुई है, जिनमें से प्रत्येक को पिछले एक से जोड़कर प्राप्त किया जाता है। आप इसकी जांच कर सकते हैं। इस देखी गई नियमितता का उपयोग करके, हम नमूने प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित एल्गोरिथम का निर्माण कर सकते हैं।

एल्गोरिथम का प्रारंभिक डेटा

मदों के एक सेट को देखते हुए N - टुकड़े। इस प्रकार, हम इस समुच्चय को प्रारंभिक तत्वों के समुच्चय के रूप में संदर्भित करेंगे। आइए मूल समुच्चय के सभी तत्वों को 1 से N तक संख्या दें। आइए N नगण्य शून्य से एक द्विआधारी संख्या बनाते हैं। 0000… 0 N यह शून्य बाइनरी संख्या उस शून्य नमूने को दर्शाती है जिससे नमूना लेने की प्रक्रिया शुरू होगी। किसी संख्या के अंक दाएं से बाएं ओर गिने जाते हैं, अर्थात सबसे बाईं ओर का अंक सबसे महत्वपूर्ण होता है।

आइए इस द्विआधारी संख्या को बड़े अक्षरों BINARY के साथ निरूपित करने के लिए सहमत हों

कलन विधि

यदि एक बाइनरी संख्या में पूरी तरह से होते हैं

फिर हम एल्गोरिथम को रोकते हैं

• हम बाइनरी अंकगणित के नियमों के अनुसार BINARY संख्या में एक जोड़ते हैं।
• प्राप्त बाइनरी नंबर से हम अगले नमूने की रचना करते हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है।

टास्क 2: बड़े प्राइम ढूँढना

सबसे पहले, याद रखें कि एक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है। अभाज्य संख्याओं के उदाहरण: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

बड़े अभाज्य संख्या ज्ञात करना एक बहुत ही महत्वपूर्ण गणितीय समस्या है। कुछ एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम के साथ संदेशों को सुरक्षित रूप से एन्क्रिप्ट करने के लिए बड़ी अभाज्य संख्याओं की आवश्यकता होती है। और न केवल बड़ी संख्या की जरूरत है, बल्कि बहुत बड़ी संख्या में हैं। संख्या जितनी बड़ी होगी, उस संख्या के आधार पर सिफर उतना ही सुरक्षित होगा।

टिप्पणी। एक मजबूत सिफर एक सिफर होता है जिसे डिक्रिप्ट करने में बहुत लंबा समय लगता है।

क्यों? एक अभाज्य संख्या एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन में एक कुंजी की भूमिका निभाती है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ बहुत बार नहीं आती हैं। पहले हजार में इनकी संख्या काफी होती है, फिर इनकी संख्या तेजी से घटने लगती है। इसलिए, यदि हम एक कुंजी के रूप में बहुत बड़ी संख्या नहीं लेते हैं, तो डिक्रिप्टर, एक बहुत तेज़ कंप्यूटर का उपयोग करके, सीमित समय में इसे प्राप्त करने में सक्षम होगा (एक के बाद एक सभी प्राइम्स को एक के बाद एक कुंजी के रूप में सॉर्ट करके)।

एक काफी विश्वसनीय कोड प्राप्त किया जा सकता है यदि आप एक साधारण कोड लेते हैं, उदाहरण के लिए, 150 वर्ण। हालांकि, इतना आसान खोजना इतना आसान नहीं है। आइए मान लें कि कुछ संख्या ए (बहुत बड़ी) को प्रधानता के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है। यह इसके भाजक की तलाश के समान है। यदि हम 2 और A के वर्गमूल के बीच भाजक ज्ञात कर सकते हैं, तो यह अभाज्य नहीं है। आइए उन संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाएं जिन्हें संख्या A को विभाजित करने की क्षमता के लिए जाँचने की आवश्यकता है।

मान लीजिए कि संख्या A में 150 अंक हैं। इसके वर्गमूल में कम से कम 75 अक्षर होंगे। इतने सारे संभावित विभाजकों को छाँटने के लिए, हमें एक बहुत शक्तिशाली कंप्यूटर और बहुत समय चाहिए, जिसका अर्थ है कि समस्या व्यावहारिक रूप से अनसुलझी है।

इसका सामना कैसे करें।

सबसे पहले, आप जल्दी से एक संख्या की दूसरे से विभाज्यता की जांच करना सीख सकते हैं, और दूसरी बात, आप संख्या ए को इस तरह से चुनने का प्रयास कर सकते हैं कि यह उच्च स्तर की संभावना के साथ सरल हो। यह पता चला है कि यह संभव है। गणितज्ञ मेर्सन ने निम्नलिखित रूपों की संख्याओं की खोज की:

उच्च स्तर की संभावना के साथ सरल हैं।

ऊपर लिखे वाक्यांश को समझने के लिए, आइए गिनें कि पहले हज़ार में कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं और एक ही हज़ार में कितनी Mersenne संख्याएँ अभाज्य हैं। तो पहले हज़ार में Mersen संख्याएँ इस प्रकार हैं:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

अभाज्य संख्याओं को बोल्ड में चिह्नित किया गया है। कुल मिलाकर 9 Mersenne संख्याओं के लिए 5 अभाज्य संख्याएँ हैं। प्रतिशत के रूप में, यह 5/9 * 100 \u003d 55.6% है। वहीं, पहले 1000 प्राकृत संख्याओं के लिए केवल 169 अभाज्य हैं। प्रतिशत के रूप में, यह 169/1000 * 100 = 16.9% है। अर्थात्, पहले हजार में, प्रतिशत के संदर्भ में, मेर्सन संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याएं केवल प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में लगभग 4 गुना अधिक पाई जाती हैं।

___________________________________________________________

और अब एक विशिष्ट Mersen संख्या लेते हैं, उदाहरण के लिए 2 4 - 1. आइए इसे एक बाइनरी संख्या के रूप में लिखते हैं।

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

आइए अगला Mersen नंबर 2 5 -1 लें और इसे बाइनरी नंबर के रूप में लिखें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

यह पहले से ही स्पष्ट है कि सभी Mersenne संख्याएँ एक क्रम हैं, और यह तथ्य अकेले एक बड़ा लाभ देता है। सबसे पहले, बाइनरी सिस्टम में अगला Mersenne नंबर प्राप्त करना बहुत आसान है, यह एक को अगले नंबर में जोड़ने के लिए पर्याप्त है, और दूसरी बात यह है कि बाइनरी सिस्टम में डिविज़र्स को दशमलव एक की तुलना में देखना बहुत आसान है।

बाइनरी रूपांतरण के लिए तेज़ दशमलव

बाइनरी नंबर सिस्टम का उपयोग करने में मुख्य समस्याओं में से एक दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने में कठिनाई है। यह काफी श्रमसाध्य कार्य है। बेशक, तीन या चार अंकों की छोटी संख्याओं का अनुवाद करना बहुत मुश्किल नहीं है, लेकिन दशमलव संख्याओं के लिए जिनमें 5 या अधिक अंक हैं, यह पहले से ही मुश्किल है। यही है, हमें बड़ी दशमलव संख्याओं को जल्दी से द्विआधारी प्रतिनिधित्व में बदलने का एक तरीका चाहिए।

इस पद्धति का आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ लेजेन्ड्रे ने किया था। उदाहरण के लिए, संख्या 11183445 दी गई है। हम इसे 64 से विभाजित करते हैं, हमें शेष 21 और भागफल 174741 प्राप्त होता है। हम इस संख्या को फिर से 64 से विभाजित करते हैं, हमें शेष 21 और भागफल 2730 मिलता है। अंत में, 2730 से विभाजित 64 शेष 42 देता है और भागफल 42 लेकिन बाइनरी में 64 1000000 है, बाइनरी में 21 10101 है, और 42 101010 है, इसलिए मूल संख्या बाइनरी में इस प्रकार लिखी जाएगी:

101010 101010 010101 010101

इसे स्पष्ट करने के लिए, छोटी संख्या के साथ एक और उदाहरण। आइए संख्या 235 के द्विआधारी प्रतिनिधित्व का अनुवाद करें। शेष के साथ 235 को 64 से विभाजित करें। हम पाते हैं:

निजी = 3, बाइनरी 11 या 000011

संकल्प = 43, बाइनरी 101011

फिर 235 = 11101011, इस परिणाम की जाँच करें:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

टिप्पणियाँ:

1. यह देखना आसान है कि अंतिम बाइनरी संख्या में सभी शेष और अंतिम चरण में, शेष और भागफल दोनों शामिल हैं।
2. भागफल को शेष से पहले लिखा जाता है।
3. यदि परिणामी भागफल या शेषफल में द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 6 अंकों से कम है (6 शून्य में संख्या 64 = 1000000 का द्विआधारी प्रतिनिधित्व होता है), तो इसमें महत्वहीन शून्य जोड़ दिए जाते हैं।

और एक और कठिन उदाहरण। संख्या 25678425।

चरण 1: 25678425 64 . से विभाजित

निजी = 401225

शेष = 25 = 011001

चरण 2: 401225 64 . से विभाजित

निजी = 6269

शेष = 9 = 001001

चरण 3: 6269 64 . से विभाजित

निजी = 97

शेष = 61 = 111101

चरण 4: 97 को 64 . से विभाजित किया गया

निजी = 1 = 000001

शेष = 33 = 100001

संख्या परिणाम = 1.1000001.11101.001001.011001

इस संख्या में एक बिंदु इसमें शामिल मध्यवर्ती परिणामों को अलग करता है।

किसी संख्या के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में कनवर्ट करें:

परिशिष्ट: तालिका 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. पाठ का स्थान: अध्ययन किए गए खंड का 9वीं कक्षा-3 का पाठ
2. पाठ विषय: बाइनरी सिस्टम में अंकगणितीय संचालन।

कक्षा का प्रकार: व्याख्यान, बातचीत, स्वतंत्र कार्य।

पाठ मकसद:

उपदेशात्मक: बाइनरी नंबर सिस्टम में अंकगणितीय संचालन (जोड़, गुणा, घटाव) करने के नियमों का परिचय दें।

शैक्षिक: काम में स्वतंत्रता के कौशल का समावेश, सटीकता की शिक्षा, अनुशासन।

विकसित होना: ध्यान का विकास, छात्रों की स्मृति, प्राप्त जानकारी की तुलना करने की क्षमता का विकास।

अंतःविषय कनेक्शन:गणित:

शैक्षिक उपकरण (उपकरण) कक्षाएं:प्रोजेक्टर, टेबल, टास्क कार्ड।

पाठ का पद्धतिगत समर्थन:PowerPoint में प्रस्तुति।

शिक्षण योजना

1. संगठनात्मक क्षण (2 मिनट)।
2. दोहराव (10)
3. नई सामग्री की व्याख्या करना (15 मिनट)
4. कवर की गई सामग्री का समेकन (10 मिनट)
5. ग्रिह कार्य
6. प्रतिबिंब (2 मिनट)
7. संक्षेप (2 मिनट)

कक्षाओं के दौरान

1. आयोजन का समय
2. ज्ञान अद्यतन।हम संख्या प्रणाली के विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं और हमारे आज के पाठ का लक्ष्य द्विआधारी संख्या प्रणाली में अंकगणितीय संचालन करना सीखना होगा, अर्थात्, हम आपके साथ जोड़, घटाव जैसे संचालन करने के नियम पर विचार करेंगे। गुणा, भाग।
3. ज्ञान की जांच (सामने का सर्वेक्षण)।

चलो याद करते हैं:

1. संख्या प्रणाली क्या है?
2. संख्या प्रणाली का आधार क्या है?
3. बाइनरी नंबर सिस्टम का आधार क्या है?
4. इंगित करें कि कौन सी संख्याएँ त्रुटियों के साथ लिखी गई हैं और अपने उत्तर की पुष्टि करें:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. यदि संख्याएँ लिखी जा सकती हैं तो संख्या प्रणाली का न्यूनतम आधार क्या होना चाहिए: 10, 21, 201, 1201
6. सम बाइनरी नंबर का अंत क्या होता है?
   एक विषम बाइनरी संख्या के साथ कौन सा अंक समाप्त होता है?

4 . नई सामग्री का अध्ययन एक प्रस्तुति के साथ है

/ परिशिष्ट 1/

शिक्षक प्रस्तुति की स्लाइड्स पर नए विषय की व्याख्या करता है, छात्र नोट्स लेते हैं और शिक्षक द्वारा प्रस्तावित कार्यों को नोटबुक में पूरा करते हैं।

सभी स्थितीय प्रणालियों में से, द्विआधारी संख्या प्रणाली विशेष रूप से सरल है। बाइनरी नंबरों पर बुनियादी अंकगणितीय संचालन करने पर विचार करें।

सभी स्थितीय संख्या प्रणालियाँ "समान" हैं, अर्थात्, उन सभी में अंकगणितीय संक्रियाएँ समान नियमों के अनुसार की जाती हैं:

एक । अंकगणित के वही नियम मान्य हैं: क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरणात्मक;

2. एक कॉलम द्वारा जोड़, घटाव और गुणा के नियम उचित हैं;

3. अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के नियम जोड़ और गुणन सारणी पर आधारित होते हैं।

योग

अतिरिक्त उदाहरणों पर विचार करें।

बाइनरी नंबर सिस्टम में दाएं से बाएं दो अंकों का कॉलम जोड़ते समय, जैसा कि किसी भी स्थिति प्रणाली में होता है, केवल एक ही अगले बिट पर जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ने के परिणाम में या तो दो पदों के अधिकतम अंक के समान अंक होते हैं, या एक अंक अधिक होता है, लेकिन यह अंक केवल एक ही हो सकता है।

1011022+111112=?

1110112+110112=?

घटाव

सामग्री को समेकित करने के लिए एक नोटबुक में छात्रों का स्वतंत्र कार्य

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
गुणा
गुणन के उदाहरणों पर विचार करें।

गुणक के अगले अंक से गुणक के क्रमिक गुणन के साथ सामान्य योजना (दशमलव संख्या प्रणाली में प्रयुक्त) के अनुसार गुणन तालिका का उपयोग करके गुणन संक्रिया की जाती है।
गुणन के उदाहरणों पर विचार करें
उदाहरण 2 में गुणन करते समय, तीन इकाइयों को 1+1+1=11 संबंधित अंक में जोड़ा जाता है, 1 लिखा जाता है, और दूसरी इकाई को उच्चतम अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।
द्विआधारी संख्या प्रणाली में, गुणन के संचालन को गुणक की पाली और मध्यवर्ती परिणामों के जोड़ तक कम कर दिया जाता है।
विभाजन

डिवीजन ऑपरेशन दशमलव संख्या प्रणाली में डिवीजन ऑपरेशन एल्गोरिदम के समान एल्गोरिदम के अनुसार किया जाता है।

विभाजन उदाहरण पर विचार करें

समेकन (कार्ड पर छात्रों का स्वतंत्र कार्य एक नोटबुक में किया जाता है) / परिशिष्ट 2 /

कम समय में स्वतंत्र कार्य पूरा करने वाले छात्रों के लिए, एक अतिरिक्त कार्य की पेशकश की जाती है।

5. गृहकार्य

2. द्विआधारी संख्या प्रणाली में अंकगणितीय संचालन करने के नियमों को जानें, जोड़, घटाव, गुणा की तालिकाएं सीखें।

3. इन चरणों का पालन करें:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 परावर्तन

आज के पाठ में मेरे लिए सबसे अधिक जानकारीपूर्ण था...

मुझे आश्चर्य हुआ कि…

मैंने आज कक्षा में जो सीखा उसे लागू कर सकता हूँ...

7. पाठ सारांश

आज हमने सीखा कि बाइनरी नंबर सिस्टम (पाठ के लिए ग्रेडिंग) में अंकगणितीय संचालन कैसे करें।

स्लाइड कैप्शन:

पाठ का विषय: "स्थितीय संख्या प्रणालियों में अंकगणितीय संचालन" कंप्यूटर विज्ञान शिक्षक मरीना वैलेंटिनोव्ना फेडोरचेंको एमओयू बेरेज़ोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय बेरेज़ोव्का ताइशेट जिले, इरकुत्स्क क्षेत्र के साथ आइए याद रखें: संख्या प्रणाली क्या है? संख्या प्रणाली का आधार क्या है? क्या है बाइनरी नंबर सिस्टम का आधार? संख्याएं त्रुटियों के साथ लिखी जाती हैं और उत्तर को सही ठहराती हैं: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, संख्या प्रणाली में न्यूनतम आधार क्या होना चाहिए यदि इसमें संख्याएं लिखी जा सकती हैं: 10, 21, 201 , 1201 कौन सा अंक एक सम बाइनरी संख्या के साथ समाप्त होता है? कौन सा अंक एक विषम बाइनरी संख्या के साथ समाप्त होता है?
लाप्लास ने महान गणितज्ञ लाइबनिज़ की बाइनरी (बाइनरी) संख्या प्रणाली के प्रति अपने दृष्टिकोण के बारे में लिखा: “अपने द्विआधारी अंकगणित में, लिबनिज़ ने सृजन के प्रोटोटाइप को देखा। उसे ऐसा लग रहा था कि कोई व्यक्ति दैवीय सिद्धांत का प्रतिनिधित्व करता है, और शून्य - गैर-अस्तित्व, और यह कि एक उच्चतर प्राणी गैर-अस्तित्व से सब कुछ ठीक उसी तरह बनाता है जैसे उसकी प्रणाली में एक और शून्य सभी संख्याओं को व्यक्त करते हैं। ये शब्द वर्णमाला की सार्वभौमिकता पर जोर देते हैं, जिसमें दो वर्ण होते हैं। सभी स्थितीय संख्या प्रणालियाँ "समान" हैं, अर्थात्, उन सभी में समान नियमों के अनुसार अंकगणितीय संक्रियाएँ की जाती हैं:
अंकगणित के वही नियम मान्य हैं: -- क्रमागत (विस्थापन) m + n = n + m m n = n m साहचर्य (संयोजन) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n) ) के = एम (एन के) = एम एन के वितरण (वितरक) (एम + एन) के = एम के + एन के
एक कॉलम द्वारा जोड़, घटाव और गुणा के नियम मान्य हैं;
अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के नियम जोड़ और गुणन सारणी पर आधारित होते हैं।
पोजिशनल नंबर सिस्टम में जोड़ सभी पोजिशनल सिस्टम में, बाइनरी नंबर सिस्टम विशेष रूप से सरल है। बाइनरी नंबरों पर बुनियादी अंकगणितीय संचालन करने पर विचार करें। सभी स्थितीय संख्या प्रणालियाँ "समान" हैं, अर्थात्, अंकगणितीय संक्रियाएँ उन सभी में समान नियमों के अनुसार की जाती हैं: वही मान्य हैं: क्रमपरिवर्तनीय, साहचर्य, वितरणात्मक; एक स्तंभ द्वारा जोड़, घटाव और गुणा के नियम हैं मान्य; अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के नियम जोड़ और गुणन सारणी पर आधारित होते हैं।
बाइनरी नंबर सिस्टम में दाएं से बाएं दो अंकों का कॉलम जोड़ते समय, जैसा कि किसी भी स्थिति प्रणाली में होता है, केवल एक ही अगले बिट पर जा सकता है। दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ने के परिणाम में या तो दो पदों के अधिकतम अंक के समान अंक होते हैं, या एक अंक अधिक होता है, लेकिन यह अंक केवल एक ही हो सकता है। उदाहरणों पर विचार करें उदाहरणों को स्वयं हल करें:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
घटाव ऑपरेशन करते समय, एक छोटी संख्या को हमेशा बड़ी संख्या से पूर्ण मूल्य में घटाया जाता है और परिणाम पर संबंधित चिह्न लगाया जाता है।
घटाव उदाहरणों पर विचार करें:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
स्थितीय संख्या प्रणालियों में गुणा गुणक के अगले अंक से गुणक के क्रमिक गुणन के साथ सामान्य योजना (दशमलव संख्या प्रणाली में प्रयुक्त) के अनुसार गुणन तालिका का उपयोग करके गुणन क्रिया की जाती है। आइए गुणन के उदाहरणों पर विचार करें। आइए उदाहरणों को देखें आइए विभाजन के उदाहरण को देखें
आइए उदाहरणों को हल करें:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
गृहकार्य 1.&3.1.22 बाइनरी सिस्टम में अंकगणितीय संचालन करने के नियमों को जानें, जोड़, घटाव, गुणा की तालिकाएं सीखें।3। निम्न कार्य करें: 110010+111.0111110000111-110110011010101.101*111 प्रतिबिंब आज पाठ में मेरे लिए सबसे अधिक जानकारीपूर्ण था ... मुझे आश्चर्य हुआ कि ... मैं आज प्राप्त ज्ञान को पाठ में लागू कर सकता हूं ...