कोई भी भाषा समान जानकारी व्यक्त कर सकती है अलग शब्दऔर टर्नओवर। गणितीय भाषा कोई अपवाद नहीं है। लेकिन एक ही अभिव्यक्ति को अलग-अलग तरीकों से समान रूप से लिखा जा सकता है। और कुछ स्थितियों में, प्रविष्टियों में से एक सरल है। हम इस पाठ में भावों को सरल बनाने के बारे में बात करेंगे।

लोग संवाद करते हैं विभिन्न भाषाएं. हमारे लिए, एक महत्वपूर्ण तुलना जोड़ी "रूसी भाषा - गणितीय भाषा" है। एक ही जानकारी को विभिन्न भाषाओं में रिपोर्ट किया जा सकता है। लेकिन, इसके अलावा एक भाषा में इसका अलग-अलग उच्चारण किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: "पीटर वास्या के साथ दोस्त है", "वास्या पेट्या के साथ दोस्त है", "पीटर और वास्या दोस्त हैं"। अलग तरह से कहा, लेकिन एक ही। इनमें से किसी भी वाक्यांश से, हम समझेंगे कि दांव पर क्या है।

आइए इस वाक्यांश को देखें: "लड़का पेट्या और लड़का वास्या दोस्त हैं।" हम क्या समझते हैं प्रश्न में. हालाँकि, हमें यह पसंद नहीं है कि यह वाक्यांश कैसा लगता है। क्या हम इसे सरल नहीं कह सकते, वही कह सकते हैं, लेकिन सरल? "लड़का और लड़का" - आप एक बार कह सकते हैं: "लड़के पेट्या और वास्या दोस्त हैं।"

"लड़के" ... क्या उनके नाम से यह स्पष्ट नहीं है कि वे लड़कियां नहीं हैं। हम "लड़कों" को हटाते हैं: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" और "दोस्तों" शब्द को "दोस्तों" से बदला जा सकता है: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" नतीजतन, पहले, लंबे, बदसूरत वाक्यांश को एक समान कथन के साथ बदल दिया गया था जो कहना आसान है और समझने में आसान है। हमने इस वाक्यांश को सरल बनाया है। सरल करने का अर्थ है इसे आसान कहना, लेकिन खोना नहीं, अर्थ को विकृत नहीं करना।

गणितीय भाषा में भी ऐसा ही होता है। एक ही बात को अलग तरह से कहा जा सकता है। किसी व्यंजक को सरल बनाने का क्या अर्थ है? इसका मतलब यह है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए कई समान अभिव्यक्तियाँ हैं, अर्थात्, जिनका अर्थ एक ही है। और इस सारी भीड़ में से, हमें अपनी राय में, सबसे सरल, या हमारे आगे के उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त चुनना चाहिए।

उदाहरण के लिए, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें। के बराबर होगा।

यह भी पहले दो के बराबर होगा: .

यह पता चला है कि हमने अपने भावों को सरल बना दिया है और सबसे छोटा समकक्ष अभिव्यक्ति पाया है।

सांख्यिक व्यंजकों के लिए, आपको हमेशा सभी कार्य करने होंगे और एक ही संख्या के रूप में समतुल्य व्यंजक प्राप्त करना होगा।

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति के उदाहरण पर विचार करें . जाहिर है, यह आसान होगा।

शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल करते समय, आपको वे सभी कार्य करने चाहिए जो संभव हों।

क्या किसी व्यंजक को सरल बनाना हमेशा आवश्यक होता है? नहीं, कभी-कभी एक समतुल्य लेकिन लंबा अंकन हमारे लिए अधिक सुविधाजनक होगा।

उदाहरण: संख्या से संख्या घटाएं।

गणना करना संभव है, लेकिन यदि पहली संख्या को इसके समकक्ष अंकन द्वारा दर्शाया गया था: , तो गणना तात्कालिक होगी:।

अर्थात्, आगे की गणना के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति हमेशा हमारे लिए फायदेमंद नहीं होती है।

फिर भी, बहुत बार हमें ऐसे कार्य का सामना करना पड़ता है जो "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" जैसा लगता है।

व्यंजक को सरल कीजिए : .

फेसला

1) पहले और दूसरे कोष्ठक में क्रियाएँ करें: .

2) उत्पादों की गणना करें: .

जाहिर है, अंतिम अभिव्यक्ति का प्रारंभिक रूप की तुलना में सरल रूप है। हमने इसका सरलीकरण कर दिया है।

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, इसे समतुल्य (बराबर) से बदला जाना चाहिए।

समकक्ष अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) सभी संभव कार्य करें,

2) गणना को सरल बनाने के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करें।

जोड़ और घटाव के गुण:

1. जोड़ की कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी: योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है।

2. जोड़ का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी संख्याओं का योग जोड़ सकते हैं।

3. किसी संख्या में से योग घटाने का गुण: किसी संख्या से योग घटाने के लिए आप प्रत्येक पद को अलग-अलग घटा सकते हैं।

गुणन और भाग के गुण

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनखंडों के क्रमपरिवर्तन से गुणनफल नहीं बदलता है।

2. साहचर्य गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी गुणनफल को दूसरे गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं।

3. गुणन का वितरण गुण: किसी संख्या को किसी योग से गुणा करने के लिए, आपको उसे प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा करना होगा।

आइए देखें कि हम वास्तव में मानसिक गणना कैसे करते हैं।

गणना करें:

फेसला

1) कल्पना कीजिए कि कैसे

2) आइए योग के रूप में पहले कारक का प्रतिनिधित्व करें बिट टर्म्सऔर गुणा करें:

3) आप कल्पना कर सकते हैं कि गुणा कैसे और कैसे करें:

4) पहले गुणनखंड को समतुल्य योग से बदलें:

वितरण नियम का उपयोग विपरीत दिशा में भी किया जा सकता है: .

इन चरणों का पालन करें:

1) 2)

फेसला

1) सुविधा के लिए, आप वितरण कानून का उपयोग कर सकते हैं, बस इसे विपरीत दिशा में उपयोग करें - सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें।

2) कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालते हैं

रसोई और दालान में लिनोलियम खरीदना आवश्यक है। रसोई क्षेत्र - दालान -। लिनोलियम तीन प्रकार के होते हैं: के लिए, और रूबल के लिए। तीन प्रकार के लिनोलियम में से प्रत्येक की लागत कितनी होगी? (चित्र .1)

चावल। 1. समस्या की स्थिति के लिए चित्रण

फेसला

विधि 1. आप अलग से पता लगा सकते हैं कि रसोई में लिनोलियम खरीदने में कितना पैसा लगेगा, और फिर इसे दालान में जोड़ें और परिणामी कार्यों को जोड़ें।

भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्ति (शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति) और उनका परिवर्तन

इस लेख में, हम भावों को शक्तियों के साथ बदलने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार के भावों के साथ किए जाते हैं, जिसमें शक्ति अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं, जैसे कि कोष्ठक खोलना, समान शब्दों को कम करना। और फिर हम विशेष रूप से डिग्री के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, डिग्री के गुणों का उपयोग करना, आदि।

पृष्ठ नेविगेशन।

पावर एक्सप्रेशन क्या हैं?

शब्द "शक्ति अभिव्यक्ति" व्यावहारिक रूप से गणित की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह अक्सर कार्यों के संग्रह में प्रकट होता है, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई के लिए तैयार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, उदाहरण के लिए,। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ किसी भी क्रिया को करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट हो जाता है कि शक्ति अभिव्यक्तियों को उनकी प्रविष्टियों में डिग्री वाले भावों के रूप में समझा जाता है। इसलिए, अपने लिए, आप निम्नलिखित परिभाषा ले सकते हैं:

परिभाषा।

शक्ति अभिव्यक्तिवे अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें शक्तियाँ हैं।

चलो लाते हैं शक्ति अभिव्यक्ति के उदाहरण. इसके अलावा, हम उनका प्रतिनिधित्व इस अनुसार करेंगे कि एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री से एक वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री तक विचारों का विकास कैसे होता है।

जैसा कि आप जानते हैं, पहले एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की डिग्री के साथ एक परिचित होता है, इस स्तर पर 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 आदि।

थोड़ी देर बाद, एक पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जो ऋणात्मक पूर्णांक घातों के साथ घात व्यंजकों की उपस्थिति की ओर ले जाती है, जैसे कि: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 ।

वरिष्ठ कक्षाओं में, वे फिर से डिग्रियों में लौट आते हैं। के साथ एक डिग्री पेश की गई है तर्कसंगत संकेतक, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति की ओर जाता है: , , आदि। अंत में, अपरिमेय घातांकों वाली डिग्रियों और उनमें समाविष्ट व्यंजकों पर विचार किया जाता है: , .

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक सीमित नहीं है: आगे चर घातांक में प्रवेश करता है, और उदाहरण के लिए, ऐसे भाव 2 x 2 +1 या हैं . और परिचित होने के बाद, घातों और लघुगणक वाले व्यंजक प्रकट होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2 lgx −5 x lgx।

इसलिए, हमने इस प्रश्न का पता लगाया कि शक्ति के भाव क्या हैं। इसके बाद, हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे बदलना है।

शक्ति अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी मूल पहचान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मानों से बदल सकते हैं, समान शब्द जोड़ सकते हैं, इत्यादि। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण।

घात व्यंजक 2 3 ·(4 2 −12) के मान की गणना करें।

फेसला।

क्रियाओं के क्रम के अनुसार, हम पहले क्रियाओं को कोष्ठक में करते हैं। वहां, सबसे पहले, हम 4 2 की शक्ति को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो तो देखें), और दूसरी बात, हम अंतर की गणना करते हैं 16−12=4 । हमारे पास है 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

परिणामी व्यंजक में, हम 2 3 की घात को इसके मान 8 से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम गुणनफल 8·4=32 की गणना करते हैं। यह वांछित मूल्य है।

इसलिए, 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

जवाब:

2 3 (4 2 -12)=32।

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

फेसला।

जाहिर है, इस व्यंजक में समान पद 3 · a 4 · b - 7 और 2 · a 4 · b - 7 हैं, और हम उन्हें कम कर सकते हैं: ।

जवाब:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

एक उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति व्यक्त करें।

फेसला।

कार्य से निपटने के लिए संख्या 9 को 3 2 की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करने और संक्षिप्त गुणन सूत्र के बाद के उपयोग, वर्गों के अंतर की अनुमति देता है:

जवाब:

शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। अगला, हम उनका विश्लेषण करेंगे।

आधार और घातांक के साथ कार्य करना

कुछ अंश ऐसे होते हैं जिनके आधार और/या संकेतक केवल संख्या या चर नहीं होते, बल्कि कुछ भाव होते हैं। उदाहरण के तौर पर, आइए (2+0.3 7) 5−3.7 और (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) लिखें।

समान अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय, डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति और घातांक में अभिव्यक्ति दोनों को समान रूप से बदला जा सकता है समान अभिव्यक्तिइसके चरों के ODZ पर। दूसरे शब्दों में, हमें ज्ञात नियमों के अनुसार, हम डिग्री के आधार को अलग से और अलग से - सूचक को परिवर्तित कर सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो मूल रूप से समान रूप से समान होती है।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने या अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, ऊपर उल्लिखित घात व्यंजक (2+0.3 7) 5−3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ संक्रियाएँ कर सकते हैं, जो आपको 4.1 1.3 की घात तक जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठकों को खोलने और डिग्री के आधार में समान पदों को लाने के बाद (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1) हमें अधिक घात व्यंजक प्राप्त होता है अराल तरीकाए 2 (एक्स+1)।

शक्ति गुणों का उपयोग करना

अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ बदलने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानताएं हैं जो प्रतिबिंबित करती हैं। आइए मुख्य लोगों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए ए और बी और मनमाना वास्तविक संख्या r और s में शक्तियों के निम्नलिखित गुण हैं:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ए बी) आर = ए आर बी आर;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
• (ए आर) एस = ए आर एस।

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या a और b पर प्रतिबंध इतने सख्त नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, के लिए प्राकृतिक संख्याएं m और n समानता a m ·a n =a m+n न केवल सकारात्मक a के लिए, बल्कि नकारात्मक लोगों के लिए भी, और a=0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में मुख्य रूप से चुनने की क्षमता पर ध्यान केंद्रित किया जाता है उपयुक्त संपत्तिऔर इसे सही तरीके से लागू करें। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो आपको बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। डिग्री के आधार में चर वाले भावों के परिवर्तन पर भी यही लागू होता है - चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है डिग्री का। सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी भी संपत्ति को लागू करना संभव है, क्योंकि गुणों के गलत उपयोग से ओडीजेड और अन्य परेशानियों का संकुचन हो सकता है। इन बिंदुओं पर विस्तार से चर्चा की गई है और उदाहरणों के साथ डिग्री के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति के परिवर्तन में उदाहरण दिए गए हैं। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों तक सीमित रखते हैं।

उदाहरण।

व्यंजक a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 को आधार a के साथ घात के रूप में व्यक्त करें।

फेसला।

सबसे पहले, हम दूसरे कारक (ए 2) -3 को एक शक्ति को शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति से बदलते हैं: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. इस मामले में, प्रारंभिक शक्ति अभिव्यक्ति 2.5 ·a −6:a −5.5 का रूप लेगी। जाहिर है, यह एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है
ए 2.5 ए -6: ए -5.5 =
एक 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 ।

जवाब:

ए 2.5 (ए 2) -3: ए -5.5 \u003d ए 2.

पावर एक्सप्रेशन को बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में बदलते समय शक्ति गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण।

घात व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

समानता (a·b) r =a r ·b r , जिसे दाएं से बाएं लागू किया जाता है, आपको मूल व्यंजक से प्रपत्र के गुणनफल तक और आगे जाने की अनुमति देता है। और जब घातों को से गुणा करते हैं एक ही आधारसंकेतक जोड़ते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति के परिवर्तन को दूसरे तरीके से करना संभव था:

जवाब:

.

उदाहरण।

1.5 −a 0.5 −6 घात व्यंजक को देखते हुए, एक नया चर t=a 0.5 दर्ज करें।

फेसला।

डिग्री a 1.5 को 0.5 3 के रूप में दर्शाया जा सकता है और आगे डिग्री (a r) s =a r s में डिग्री की संपत्ति के आधार पर दाएं से बाएं लागू किया जा सकता है, इसे फॉर्म (a 0.5) 3 में परिवर्तित करें। इस प्रकार, ए 1.5 -ए 0.5 -6=(ए 0.5) 3 -ए 0.5 -6. अब एक नया चर t=a 0.5 पेश करना आसान है, हमें t 3 −t−6 मिलता है।

जवाब:

टी 3 -टी−6।

घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

पावर एक्सप्रेशन में घात वाले भिन्न हो सकते हैं या ऐसे भिन्नों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित मूल भिन्न रूपांतरणों में से कोई भी ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, अंशों में अंशों को कम किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। उपरोक्त शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के हलों पर विचार करें।

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं .

फेसला।

यह शक्ति अभिव्यक्ति एक अंश है। आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में, हम कोष्ठक खोलते हैं और उसके बाद प्राप्त व्यंजक को घातों के गुणों का उपयोग करके सरल करते हैं, और हर में हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:

और हम भिन्न के सामने माइनस लगाकर हर का चिन्ह भी बदलते हैं: .

जवाब:

.

एक नए हर के लिए अंशों की शक्तियों को कम करना उसी तरह से किया जाता है जैसे एक नए हर में कमी तर्कसंगत अंश. साथ ही एक अतिरिक्त गुणनखंड भी मिलता है और भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाता है। यह क्रिया करते समय, यह याद रखने योग्य है कि नए हर में कमी करने से DPV का संकुचन हो सकता है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक गायब न हो।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में लाएँ: a) हर से a, b) भाजक को।

फेसला।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि वांछित परिणाम प्राप्त करने में कौन सा अतिरिक्त कारक मदद करता है। यह 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a के बाद से एक गुणक 0.3 है। ध्यान दें कि चर के स्वीकार्य मानों की श्रेणी में (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है), डिग्री 0.3 गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश के अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है इस अतिरिक्त कारक द्वारा:

ख) हर को अधिक बारीकी से देखने पर, हम पाते हैं कि

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर घनों का योग मिलेगा और , अर्थात्, । और यह नया हर है जिसमें हमें मूल भिन्न लाने की आवश्यकता है।

तो हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के स्वीकार्य मानों की सीमा पर व्यंजक लुप्त नहीं होता है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

जवाब:

ए) , बी) .

अंशों वाले अंशों की कमी में भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को एक निश्चित संख्या में कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान कारक कम हो जाते हैं।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी)।

फेसला।

a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो कि 15 के बराबर है। इसके अलावा, जाहिर है, आप x 0.5 +1 और by . तक कम कर सकते हैं . यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्ग सूत्र के अंतर के अनुसार भाजक को कारकों में विघटित करते हैं:

जवाब:

ए)

बी) .

भिन्नों को एक नए हर में कम करना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों पर संचालन करने के लिए उपयोग किया जाता है। ज्ञात नियमों के अनुसार क्रियाएं की जाती हैं। अंशों को जोड़ने (घटाने) पर, वे एक सामान्य हर में कम हो जाते हैं, जिसके बाद अंश जोड़े (घटाए) जाते हैं, और हर समान रहता है। परिणाम एक अंश है जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है। भिन्न से भाग उसके व्युत्क्रम से गुणा है।

उदाहरण।

उनके नक़्शे - कदम पर चलिए .

फेसला।

सबसे पहले, हम अंशों को कोष्ठक में घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य भाजक के पास लाते हैं, जो है , फिर अंशों को घटाएं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, शक्ति x 1/2 से कमी संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर में घात व्यंजक को भी सरल बना सकते हैं: .

जवाब:

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं .

फेसला।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 से घटाया जा सकता है, इससे भिन्न मिलता है . यह स्पष्ट है कि x की शक्तियों के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में परिवर्तित करते हैं। यह हमें समान आधारों के साथ शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग करने का अवसर देता है: . और प्रक्रिया के अंत में, हम अंतिम उत्पाद से भिन्न तक जाते हैं।

जवाब:

.

और हम जोड़ते हैं कि यह संभव है और कई मामलों में घातांक के चिह्न को बदलकर अंश से हर या हर से अंश में ऋणात्मक घातांक वाले कारकों को स्थानांतरित करना वांछनीय है। इस तरह के परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक शक्ति अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना

अक्सर उन अभिव्यक्तियों में जिनमें कुछ परिवर्तनों की आवश्यकता होती है, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के साथ, जड़ें भी होती हैं। ऐसे व्यंजक को में बदलने के लिए सही प्रकार, ज्यादातर मामलों में यह केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक जाने के लिए पर्याप्त है। लेकिन चूंकि डिग्री के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से डिग्री तक जाते हैं। हालांकि, इस तरह के एक संक्रमण को अंजाम देने की सलाह दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के ओडीजेड आपको मॉड्यूल तक पहुंचने या ओडीजेड को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को डिग्री से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है लेख, जड़ों से शक्तियों में संक्रमण और इसके विपरीत एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री से परिचित होने के बाद एक तर्कहीन संकेतक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो एक मनमानी वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री की बात करना संभव बनाता है। इस स्तर पर, स्कूल पढ़ना शुरू करता है घातांक प्रकार्य , जो विश्लेषणात्मक रूप से डिग्री द्वारा दिया जाता है, जिसके आधार पर एक संख्या होती है, और संकेतक में - एक चर। इसलिए हमें डिग्री के आधार में संख्याओं वाले घातीय अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और एक्सपोनेंट में - चर के साथ अभिव्यक्ति, और स्वाभाविक रूप से ऐसे अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

यह कहा जाना चाहिए कि संकेतित प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणऔर घातीय असमानताएँ , और ये परिवर्तन काफी सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और ज्यादातर भविष्य में एक नया चर पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। समीकरण हमें उन्हें प्रदर्शित करने की अनुमति देगा 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

सबसे पहले, घातांक, जिनके घातांक में कुछ चर (या चर के साथ व्यंजक) और एक संख्या का योग पाया जाता है, को उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर के व्यंजक के पहले और अंतिम पदों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.

इसके बाद, समानता के दोनों भागों को अभिव्यक्ति 7 2 x से विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए x चर के ODV पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं इसके बारे में अभी बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान दें):

अब घातांक वाले भिन्नों को रद्द कर दिया जाता है, जो देता है .

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को अनुपातों की घातों से बदल दिया जाता है, जो समीकरण की ओर ले जाता है , जो के बराबर है . किए गए परिवर्तन हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देते हैं, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान तक कम कर देता है

आई. वी. बोइकोव, एल.डी. रोमानोवापरीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों का संग्रह। भाग 1. पेन्ज़ा 2003।

एक बीजीय व्यंजक जिसके अभिलेख में जोड़, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के साथ-साथ भाग को शाब्दिक व्यंजक में भी प्रयोग किया जाता है, भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक कहलाता है। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, भाव

हम एक बीजीय भिन्न को एक बीजीय व्यंजक कहते हैं जिसमें दो पूर्णांक बीजीय व्यंजकों (उदाहरण के लिए, एकपदी या बहुपद) के विभाजन के भागफल का रूप होता है। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, भाव

भावों का तीसरा)।

भिन्नात्मक बीजगणितीय व्यंजकों के पहचान परिवर्तन अधिकांश भाग के लिए उन्हें रूप में दर्शाने के लिए हैं बीजीय भिन्न. एक सामान्य हर को खोजने के लिए, भिन्नों के हरों के गुणनखंडन - शब्दों का उपयोग उनके कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए किया जाता है। बीजगणितीय अंशों को कम करते समय, अभिव्यक्तियों की सख्त पहचान का उल्लंघन किया जा सकता है: मात्राओं के मूल्यों को बाहर करना आवश्यक है जिस पर वह कारक गायब हो जाता है जिसके द्वारा कमी की जाती है।

आइए हम भिन्नात्मक बीजीय व्यंजकों के समरूप रूपांतरणों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1: एक व्यंजक को सरल कीजिए

सभी पदों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है (अंतिम पद के हर में चिन्ह और उसके सामने के चिन्ह को बदलना सुविधाजनक है):

हमारी अभिव्यक्ति इन मूल्यों को छोड़कर सभी मूल्यों के लिए एक के बराबर है, यह परिभाषित नहीं है और अंश में कमी अवैध है)।

उदाहरण 2. व्यंजक को बीजीय भिन्न के रूप में निरूपित करें

फेसला। अभिव्यक्ति को एक सामान्य भाजक के रूप में लिया जा सकता है। हम क्रमिक रूप से पाते हैं:

अभ्यास

1. मापदंडों के निर्दिष्ट मूल्यों के लिए बीजीय व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए:

2. कारक बनाना।

गणित-कैलकुलेटर-ऑनलाइन v.1.0

कैलकुलेटर निम्नलिखित ऑपरेशन करता है: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, दशमलव के साथ काम करना, जड़ निकालना, एक शक्ति तक बढ़ाना, प्रतिशत की गणना करना और अन्य संचालन।

फेसला:

गणित कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चाबी	पद	व्याख्या
5	संख्या 0-9	अरबी अंक। प्राकृतिक पूर्णांक दर्ज करें, शून्य। ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त करने के लिए, +/- कुंजी दबाएं
.	अर्धविराम)	एक दशमलव विभाजक। यदि बिंदु (अल्पविराम) से पहले कोई अंक नहीं है, तो कैलकुलेटर स्वचालित रूप से बिंदु से पहले एक शून्य स्थानापन्न कर देगा। उदाहरण के लिए: .5 - 0.5 लिखा जाएगा
+	पलस हसताक्षर	संख्याओं का जोड़ (संपूर्ण, दशमलव भिन्न)
-	घटाव का चिन्ह	संख्याओं का घटाव (संपूर्ण, दशमलव भिन्न)
÷	विभाजन चिह्न	संख्याओं का विभाजन (संपूर्ण, दशमलव भिन्न)
एक्स	गुणन चिह्न	संख्याओं का गुणन (पूर्णांक, दशमलव)
√	जड़	किसी संख्या से जड़ निकालना। जब आप "रूट" बटन को फिर से दबाते हैं, तो परिणाम से रूट की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए: 16 = 4 का वर्गमूल; 4 = 2 . का वर्गमूल
x2	बराबरी	एक संख्या का वर्ग करना। जब आप "वर्ग" बटन को फिर से दबाते हैं, तो परिणाम चुकता हो जाता है। उदाहरण के लिए: वर्ग 2 = 4; वर्ग 4 = 16
1/x	अंश	दशमलव के लिए आउटपुट। अंश 1 में, हर में इनपुट संख्या
%	प्रतिशत	किसी संख्या का प्रतिशत प्राप्त करें। काम करने के लिए, आपको दर्ज करना होगा: जिस संख्या से प्रतिशत की गणना की जाएगी, चिह्न (प्लस, माइनस, डिवाइड, गुणा), संख्यात्मक रूप में कितने प्रतिशत, "%" बटन
(	खुला ब्रैकेट	मूल्यांकन प्राथमिकता निर्धारित करने के लिए एक खुला कोष्ठक। एक बंद कोष्ठक की आवश्यकता है। उदाहरण: (2+3)*2=10
)	बंद ब्रैकेट	मूल्यांकन प्राथमिकता निर्धारित करने के लिए एक बंद कोष्ठक। उपलब्धता आवश्यक खुला ब्रैकेट
±	धन ऋण	संकेत को विपरीत में बदलता है
=	बराबरी	समाधान का परिणाम प्रदर्शित करता है। साथ ही, मध्यवर्ती गणना और परिणाम "समाधान" फ़ील्ड में कैलकुलेटर के ऊपर प्रदर्शित होते हैं।
←	एक चरित्र हटाना	अंतिम वर्ण हटाता है
साथ में	रीसेट	रीसेट बटन। कैलकुलेटर को पूरी तरह से "0" पर रीसेट कर देता है

उदाहरण के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर का एल्गोरिदम

योग।

पूर्ण प्राकृत संख्याओं का योग ( 5 + 7 = 12 )

पूर्ण प्राकृत और ऋणात्मक संख्याओं का योग ( 5 + (-2) = 3 )

दशमलव जोड़ भिन्नात्मक संख्या { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

घटाव।

पूर्ण प्राकृत संख्याओं का घटाव ( 7 - 5 = 2 )

पूर्ण प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का घटाव ( 5 - (-2) = 7)

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का घटाव ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

गुणन।

पूर्ण प्राकृत संख्याओं का गुणनफल ( 3 * 7 = 21 )

पूर्ण प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल ( 5 * (-3) = -15 )

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का गुणनफल ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )

विभाजन।

पूर्ण प्राकृत संख्याओं का विभाजन ( 27/3 = 9 )

पूर्ण प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन ( 15 / (-3) = -5 )

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का विभाजन ( 6.2/2 = 3.1 )

किसी संख्या से जड़ निकालना।

एक पूर्णांक का मूल निकालना ( root(9) = 3 )

दशमलव के मूल को निकालना ( root(2.5) = 1.58 )

संख्याओं के योग से मूल निकालना ( root(56 + 25) = 9 )

संख्याओं में अंतर का मूल निकालना (मूल (32 - 7) = 5 )

एक संख्या का वर्ग करना।

एक पूर्णांक का वर्ग करना ( (3) 2 = 9 )

दशमलव का वर्ग करना ( (2.2) 2 = 4.84 )

दशमलव अंशों में बदलें।

किसी संख्या के प्रतिशत की गणना

230 को 15% बढ़ाएँ (230 + 230 * 0.15 = 264.5 )

संख्या 510 को 35% घटाएं ( 510 - 510 * 0.35 = 331.5 )

140 की संख्या का 18% है (140*0.18 = 25.2)

सुविधाजनक और सरल ऑनलाइन कैलकुलेटरविस्तृत समाधान के साथ अंशशायद:

• जोड़ें, घटाएं, गुणा करें और भाग दें अंश ऑनलाइन,
• पाना टर्नकी समाधानएक तस्वीर के साथ अंश और इसे स्थानांतरित करना सुविधाजनक है।



भिन्नों को हल करने का परिणाम यहाँ होगा...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
भिन्न चिह्न "/" + - * :
_साफ़ करें
हमारे ऑनलाइन अंश कैलकुलेटर में तेज़ इनपुट है. भिन्नों का हल निकालने के लिए, उदाहरण के लिए, बस लिखें 1/2+2/7 कैलकुलेटर में और "दबाएं" भिन्नों को हल करें"। कैलकुलेटर आपको लिखेगा विस्तृत समाधानअंशोंऔर मुद्दा कॉपी-फ्रेंडली इमेज.

कैलकुलेटर में लिखने के लिए प्रयुक्त वर्ण

आप कीबोर्ड से और बटनों का उपयोग करके समाधान के लिए एक उदाहरण टाइप कर सकते हैं।

ऑनलाइन अंश कैलकुलेटर की विशेषताएं

अंश कैलकुलेटर केवल 2 साधारण अंशों के साथ संचालन कर सकता है। वे या तो सही हो सकते हैं (अंश हर से छोटा है) या गलत (अंश हर से बड़ा है)। अंश और हर में संख्याएँ ऋणात्मक और 999 से अधिक नहीं हो सकती हैं।
हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर भिन्नों को हल करता है और उत्तर लाता है सही फार्म- भिन्न को कम करता है और यदि आवश्यक हो तो पूरे भाग को हाइलाइट करता है।

यदि आपको ऋणात्मक भिन्नों को हल करने की आवश्यकता है, तो केवल ऋणात्मक गुणों का उपयोग करें। जब ऋणात्मक भिन्नों को गुणा और भाग दिया जाता है, तो ऋण से घटाकर धनात्मक होता है। अर्थात्, ऋणात्मक भिन्नों का गुणनफल और विभाजन समान धनात्मक भिन्नों के गुणनफल और विभाजन के बराबर होता है। यदि गुणा या भाग करने पर एक अंश ऋणात्मक होता है, तो केवल ऋण को हटा दें, और फिर उसे उत्तर में जोड़ दें। ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने पर, परिणाम वही होगा जैसे कि आपने वही धनात्मक भिन्न जोड़े हों। यदि आप एक ऋणात्मक भिन्न जोड़ते हैं, तो यह उसी धनात्मक अंश को घटाने के समान है।
नकारात्मक अंशों को घटाते समय, परिणाम वही होगा जैसे कि उन्हें उलट दिया गया और सकारात्मक बना दिया गया। यही है, इस मामले में माइनस से माइनस एक प्लस देता है, और योग शर्तों के पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है। भिन्नों को घटाते समय हम उन्हीं नियमों का उपयोग करते हैं, जिनमें से एक ऋणात्मक है।

मिश्रित भिन्नों को हल करने के लिए (अंश जिसमें पूरे भाग को हाइलाइट किया गया है), बस पूरे भाग को भिन्न में चलाएं। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग को हर से गुणा करें और अंश में जोड़ें।

यदि आपको 3 या अधिक भिन्नों को ऑनलाइन हल करना है, तो आपको उन्हें एक-एक करके हल करना चाहिए। सबसे पहले, पहले 2 अंशों को गिनें, फिर अगले अंश को प्राप्त उत्तर से हल करें, और इसी तरह। 2 भिन्नों के लिए बारी-बारी से संचालन करें, और अंत में आपको सही उत्तर मिलेगा।