नकारात्मक जड़ें जोड़ना। वर्गमूल क्या होते हैं और ये कैसे जुड़ते हैं?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो मजबूत हैं "बहुत नहीं। »
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम। "")

पिछले पाठ में हमने जाना कि वर्गमूल क्या होता है। यह पता लगाने का समय है कि क्या हैं जड़ों के लिए सूत्र, क्या हैं मूल गुणऔर इसके बारे में क्या किया जा सकता है।

मूल सूत्र, मूल गुण, और मूल के साथ क्रियाओं के नियममूलतः एक ही चीज हैं। वर्गमूलों के लिए आश्चर्यजनक रूप से कुछ सूत्र हैं। जो, ज़ाहिर है, प्रसन्न! इसके बजाय, आप सभी प्रकार के बहुत सारे सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन जड़ों के साथ व्यावहारिक और आत्मविश्वास से काम करने के लिए केवल तीन ही पर्याप्त हैं। बाकी सब कुछ इन्हीं तीनों से प्रवाहित होता है। हालांकि कई लोग जड़ों के तीन सूत्रों में भटक जाते हैं, हां।

आइए सबसे सरल से शुरू करें। ये रही वो:

मैं आपको याद दिलाता हूं (पिछले पाठ से): ए और बी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं! अन्यथा, सूत्र का कोई मतलब नहीं है।

इस जड़ों की संपत्ति , जैसा कि आप देख सकते हैं, सरल, संक्षिप्त और हानिरहित। लेकिन इस मूल सूत्र से आप बहुत सारे उपयोगी काम कर सकते हैं! आइए एक नजर डालते हैं उदाहरणये सभी उपयोगी चीजें।

उपयोगी बातसबसे पहले। यह सूत्र हमें अनुमति देता है जड़ों को गुणा करें.

जड़ों को कैसे गुणा करें?

हाँ, बहुत सरल। सीधे सूत्र पर। उदाहरण के लिए:

ऐसा लगता है कि उन्होंने गुणा किया है, तो क्या? क्या बहुत खुशी है? मैं सहमत हूँ, थोड़ा। लेकिन आपको यह कैसी लगी उदाहरण?

जड़ों को कारकों से बिल्कुल नहीं निकाला जाता है। और परिणाम बहुत अच्छा है! पहले से बेहतर, है ना? बस मामले में, मैं आपको सूचित करूंगा कि आप जितने चाहें उतने गुणक हो सकते हैं। मूल गुणन सूत्र अभी भी काम करता है। उदाहरण के लिए:

तो, गुणा के साथ, सब कुछ स्पष्ट है कि इसकी आवश्यकता क्यों है जड़ों की संपत्ति- भी समझ में आता है।

उपयोगी बात दूसरी। जड़ के चिह्न के नीचे एक संख्या दर्ज करना।

रूट के नीचे नंबर कैसे दर्ज करें?

मान लें कि हमारे पास यह अभिव्यक्ति है:

क्या ड्यूस को जड़ के अंदर छिपाना संभव है? सरलता! यदि आप दो में से एक जड़ बनाते हैं, तो जड़ों को गुणा करने का सूत्र काम करेगा। और ड्यूस से जड़ कैसे बनाएं? हाँ, यह भी कोई सवाल नहीं है! डबल है चार . का वर्गमूल!

वैसे, रूट किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या से बनाया जा सकता है! यह इस संख्या के वर्ग का वर्गमूल होगा। 3 9 की जड़ है। 8 64 की जड़ है। 11 121 की जड़ है। ठीक है, और इसी तरह।

बेशक, इस तरह के विवरण में पेंट करने की कोई आवश्यकता नहीं है। सिवाय, शुरुआत के लिए। यह महसूस करने के लिए पर्याप्त है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या को मूल से गुणा किया जा सकता है, जड़ के नीचे लाया जा सकता है। लेकिन मत भूलना! - रूट के नीचे यह नंबर बन जाएगा वर्गवह स्वयं। यह क्रिया - जड़ के नीचे एक संख्या दर्ज करना - को जड़ से किसी संख्या को गुणा करना भी कहा जा सकता है। सामान्य शब्दों में, कोई लिख सकता है:

प्रक्रिया सरल है, जैसा कि आप देख सकते हैं। उसकी आवश्यकता क्यों है?

किसी भी परिवर्तन की तरह, यह प्रक्रिया हमारी संभावनाओं का विस्तार करती है। एक क्रूर और असहज अभिव्यक्ति को नरम और भुलक्कड़ में बदलने के अवसर)। यहाँ आपके लिए एक सरल है उदाहरण:

जैसा कि आप देख सकते हैं मूल संपत्ति,जो मूल के चिन्ह के तहत एक कारक को पेश करना संभव बनाता है, सरलीकरण के लिए काफी उपयुक्त है।

इसके अलावा, जड़ के नीचे गुणक जोड़ने से विभिन्न जड़ों के मूल्यों की तुलना करना आसान और सरल हो जाता है। बिना किसी गणना और कैलकुलेटर के! तीसरी उपयोगी बात।

जड़ों की तुलना कैसे करें?

मॉड्यूल, और अन्य अच्छी चीजों को अनलॉक करते समय, ठोस मिशनों में यह कौशल बहुत महत्वपूर्ण है।

इन अभिव्यक्तियों की तुलना करें। कौन सा अधिक है? कैलकुलेटर के बिना! कैलकुलेटर के साथ प्रत्येक। उह उह। संक्षेप में, हर कोई इसे कर सकता है!)

आप तुरंत ऐसा नहीं कहते। और अगर आप रूट के साइन के तहत नंबर एंटर करते हैं?

याद रखें (अचानक पता नहीं चला?): यदि मूल के चिन्ह के नीचे की संख्या अधिक है, तो जड़ ही बड़ी है! इसलिए बिना किसी जटिल गणना और गणना के तुरंत सही उत्तर:

यह बढ़िया है, है ना? लेकिन वह सब नहीं है! याद रखें कि सभी सूत्र बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों तरफ काम करते हैं। हमने अब तक जड़ों को बाएँ से दाएँ गुणा करने के सूत्र का उपयोग किया है। आइए इस रूट प्रॉपर्टी को पीछे की ओर दाएं से बाएं चलाएं। इस कदर:

और क्या अंतर है? क्या यह आपको कुछ देता है !? निश्चित रूप से! अब आप खुद देख लेंगे।

मान लीजिए हमें निकालने की जरूरत है (कैलकुलेटर के बिना!) संख्या 6561 का वर्गमूल। इस स्तर पर कुछ लोग कार्य के साथ एक असमान संघर्ष में पड़ेंगे। लेकिन हम जिद्दी हैं, हम हार नहीं मानते! उपयोगी बात चौथी।

बड़ी संख्या से जड़ें कैसे निकालें?

हम किसी उत्पाद से जड़ें निकालने का सूत्र याद करते हैं। जिसे मैंने ऊपर पोस्ट किया है। लेकिन हमारा काम कहां है? हमारे पास बड़ी संख्या 6561 है और बस इतना ही। हां, कोई कला नहीं है। लेकिन अगर हमें इसकी जरूरत है, तो हम किया जाए! आइए इस संख्या को कारक करें। हमें अधिकार है।

सबसे पहले, आइए जानें कि यह संख्या वास्तव में किससे विभाज्य है? क्या, तुम नहीं जानते!? क्या आप विभाज्यता के लक्षण भूल गए हैं !? व्यर्थ में। के लिए जाओ विशेष खंड 555, विषय "अंश" है, वे वहां हैं। यह संख्या 3 और 9 से विभाज्य है। क्योंकि अंकों का योग (6+5+6+1=18) इन संख्याओं से विभाज्य है। यह विभाज्यता के संकेतों में से एक है। हमें तीन से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है (अब आप समझेंगे क्यों), लेकिन हम 9 से विभाजित करेंगे। कम से कम एक कोने में। हमें 729 मिलते हैं। तो हमें दो गुणनखंड मिले! पहला एक नौ है (हमने इसे स्वयं चुना है), और दूसरा 729 है (यह इस तरह निकला)। आप पहले से ही लिख सकते हैं:

विचार प्राप्त करें? आइए 729 नंबर के साथ भी ऐसा ही करें। यह 3 और 9 से भी विभाज्य है। फिर, हम 3 से विभाजित नहीं करते हैं, हम 9 से विभाजित करते हैं। हमें 81 मिलता है। और हम इस संख्या को जानते हैं! हम लिखते हैं:

सब कुछ आसान और सुरुचिपूर्ण निकला! जड़ को टुकड़े-टुकड़े करके निकालना पड़ा, ठीक है, ठीक है। यह किसी के साथ किया जा सकता है बड़ी संख्या. उन्हें गुणा करें, और जाओ!

वैसे, आपको 3 से विभाजित क्यों नहीं करना पड़ा, क्या आपने अनुमान लगाया? हाँ, क्योंकि तीन की जड़ बिल्कुल नहीं निकाली जाती है! ऐसे कारकों में विघटित होना समझ में आता है कि कम से कम एक जड़ को अच्छी तरह से निकाला जा सके। यह 4, 9, 16 अच्छी तरह से है, और इसी तरह। अपनी बड़ी संख्या को इन संख्याओं से विभाजित करें, आप देखते हैं, और आप भाग्यशाली हैं!

लेकिन जरूरी नहीं। शायद भाग्यशाली नहीं। मान लें कि संख्या 432, जब गुणनखंड किया जाता है और उत्पाद के लिए मूल सूत्र का उपयोग किया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम देगा:

चलो ठीक है। हमने वैसे भी अभिव्यक्ति को सरल बना दिया है। गणित में सबसे ज्यादा छोड़ने का रिवाज है छोटी संख्यासंभव की। हल करने की प्रक्रिया में, सब कुछ उदाहरण पर निर्भर करता है (हो सकता है कि सब कुछ सरलीकरण के बिना कम हो जाए), लेकिन उत्तर में एक परिणाम देना आवश्यक है जिसे और सरल नहीं किया जा सकता है।

वैसे, क्या आप जानते हैं कि हमने अभी 432 के रूट के साथ क्या किया है?

हम जड़ के चिन्ह के नीचे से निकाले गए कारक ! यही इस ऑपरेशन को कहा जाता है। और फिर टास्क गिर जाएगा - " कारक को जड़ के चिह्न के नीचे से निकालें"लेकिन पुरुषों को पता भी नहीं है।) यहाँ आपके लिए एक और उपयोग है जड़ गुण।उपयोगी बात पांचवी।

गुणक को जड़ के नीचे से कैसे निकालें?

सरलता। रूट एक्सप्रेशन को फैक्टराइज़ करें और निकाले गए रूट्स को एक्सट्रेक्ट करें। हम देखो:

अलौकिक कुछ भी नहीं। सही गुणक चुनना महत्वपूर्ण है। यहां हमने 72 को 36 2 के रूप में विघटित किया है। और सब कुछ अच्छा निकला। या वे इसे अलग तरीके से विघटित कर सकते थे: 72 = 6 12. तो क्या!? न तो 6 से और न ही 12 में से जड़ निकाली जाती है। क्या करें?!

ठीक है। या अन्य अपघटन विकल्पों की तलाश करें, या सब कुछ रोकना जारी रखें! इस कदर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काम कर गया। वैसे, यह सबसे तेज़ नहीं है, बल्कि सबसे अधिक है विश्वसनीय तरीका. सबसे छोटे कारकों में संख्या को विघटित करें, और फिर उसी को ढेर में इकट्ठा करें। असुविधाजनक जड़ों को गुणा करते समय विधि को सफलतापूर्वक लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, आपको गणना करने की आवश्यकता है:

सब कुछ गुणा करें - आपको एक पागल संख्या मिलती है! और फिर उससे जड़ कैसे निकाले ?! फिर से गुणा करें? नहीं, हमें अतिरिक्त काम की जरूरत नहीं है। हम तुरंत कारकों में विघटित हो जाते हैं और उन्हें ढेर में एकत्र करते हैं:

बस इतना ही। बेशक, स्टॉप पर लेटना आवश्यक नहीं है। सब कुछ आपकी व्यक्तिगत क्षमताओं से निर्धारित होता है। ऐसे राज्य में उदाहरण लाया जहां आपके लिए सब कुछ स्पष्ट हैतो आप पहले से ही गिन सकते हैं। मुख्य बात गलतियाँ नहीं करना है। गणित के लिए आदमी नहीं, आदमी के लिए गणित!)

आइए अभ्यास के लिए ज्ञान लागू करें? आइए एक साधारण से शुरू करें:

वर्गमूल जोड़ने का नियम

वर्गमूल के गुण

अब तक, हमने संख्याओं पर पाँच अंकगणितीय संक्रियाएँ की हैं: जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन और घातांक, और इन संक्रियाओं के विभिन्न गुण गणनाओं में सक्रिय रूप से उपयोग किए गए थे, उदाहरण के लिए, a + b = b + a, और n -b n = (ab) n, आदि।

यह अध्याय एक नई संक्रिया का परिचय देता है - एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेना। इसका सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन के गुणों से परिचित होना होगा, जो हम इस खंड में करेंगे।

प्रमाण। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि गैर-ऋणात्मक संख्याओं x, y, z के लिए समानता x = yz सत्य है।

तो x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b। फिर x 2 \u003d y 2 z 2, अर्थात x 2 \u003d (yz) 2.

अगर वर्गोंदो गैर-ऋणात्मक संख्याएँ समान हैं, फिर संख्याएँ स्वयं समान हैं, जिसका अर्थ है कि समानता x 2 \u003d (yz) 2 से यह इस प्रकार है कि x \u003d yz, और इसे साबित करना आवश्यक था।

हम प्रमेय के प्रमाण का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड देते हैं:

टिप्पणी 1. प्रमेय उस मामले के लिए मान्य रहता है जब मूल अभिव्यक्ति दो से अधिक गैर-ऋणात्मक कारकों का उत्पाद है।

टिप्पणी 2. प्रमेय 1 "if" का उपयोग करके लिखा जा सकता है। , तब" (जैसा कि गणित में प्रमेयों के लिए प्रथागत है)। हम संगत सूत्रीकरण देते हैं: यदि a और b गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो समानता .

इस प्रकार हम निम्नलिखित प्रमेय बनाते हैं।

(एक संक्षिप्त सूत्रीकरण जो व्यवहार में उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है: भिन्न का मूल एक अंश के बराबरजड़ों से या भागफल की जड़ जड़ों के भागफल के बराबर है।)

इस बार हम सबूत का केवल एक संक्षिप्त रिकॉर्ड देंगे, और आप उन टिप्पणियों के समान उपयुक्त टिप्पणियां करने का प्रयास कर सकते हैं जो प्रमेय 1 के सबूत का सार बनाते हैं।

उदाहरण 1. गणना करें।
समाधान। पहली संपत्ति का उपयोग करना वर्गमूल(प्रमेय 1), हम प्राप्त करते हैं

टिप्पणी 3. बेशक, इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, खासकर यदि आपके पास कैलकुलेटर है: संख्या 36, 64, 9 गुणा करें, और फिर परिणामी उत्पाद का वर्गमूल लें। हालांकि, आप इस बात से सहमत होंगे कि ऊपर प्रस्तावित समाधान अधिक सांस्कृतिक लगता है।

टिप्पणी 4. पहली विधि में, हमने हेड-ऑन गणनाएँ कीं। दूसरा तरीका अधिक सुरुचिपूर्ण है:
हमने आवेदन किया सूत्रए 2 - बी 2 \u003d (ए - बी) (ए + बी) और वर्गमूल की संपत्ति का इस्तेमाल किया।

टिप्पणी 5. कुछ "हॉटहेड्स" कभी-कभी उदाहरण 3 के लिए निम्नलिखित "समाधान" प्रदान करते हैं:

यह, निश्चित रूप से, सच नहीं है: आप देखते हैं - परिणाम हमारे उदाहरण 3 के समान नहीं है। तथ्य यह है कि कोई संपत्ति नहीं है नहीं और गुण के रूप में वर्गमूलों के गुणन और विभाजन से संबंधित केवल गुण हैं। सावधान और सावधान रहें, इच्छाधारी सोच न लें।

उदाहरण 4. गणना करें: ए)
समाधान। बीजगणित में किसी भी सूत्र का उपयोग न केवल "दाएं से बाएं", बल्कि "बाएं से दाएं" भी किया जाता है। तो, वर्गमूल की पहली संपत्ति का अर्थ है कि, यदि आवश्यक हो, तो इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इसके विपरीत, जिसे व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है वही वर्गमूल की दूसरी संपत्ति पर लागू होता है। इसे ध्यान में रखते हुए, प्रस्तावित उदाहरण को हल करते हैं।

अनुभाग को समाप्त करते हुए, हम एक और बल्कि सरल और एक ही समय में नोट करते हैं महत्वपूर्ण संपत्ति:
अगर ए> 0 और एन - प्राकृतिक संख्या , फिर

उदाहरण 5गणना , संख्याओं के वर्गों की तालिका और कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना।

समाधान। आइए मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

टिप्पणी 6. इस उदाहरण को उसी तरह हल किया जा सकता है जैसे 15 में समान उदाहरण। यह अनुमान लगाना आसान है कि उत्तर "80 एक पूंछ के साथ" होगा, क्योंकि 80 2 2 । आइए "पूंछ", यानी वांछित संख्या का अंतिम अंक खोजें। अब तक हम जानते हैं कि यदि मूल निकाला जाता है, तो उत्तर 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 या 89 हो सकता है। केवल दो संख्याओं की जाँच करने की आवश्यकता है: 84 और 86, क्योंकि केवल वे, जब चुकता, परिणाम के रूप में देगा चार अंकों 6 में समाप्त होने वाली संख्या, अर्थात्। वही अंक जो 7056 की संख्या के साथ समाप्त होता है। हमारे पास 84 2 \u003d 7056 है - यही हमें चाहिए। साधन,

मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित. ग्रेड 8: प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान। - तीसरा संस्करण।, अंतिम रूप दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2001. - 223 पी .: बीमार।

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वर्गमूल कैसे जोड़ें

किसी संख्या का वर्गमूल एक्सएक नंबर कहा जाता है ए, जो स्वयं को स्वयं से गुणा करने की प्रक्रिया में ( ए*ए) एक नंबर दे सकते हैं एक्स.
वे। ए * ए = ए 2 = एक्स, और एक्स = ए.

वर्गमूल से अधिक ( x), अन्य संख्याओं की तरह, आप अंकगणितीय संक्रियाएँ जैसे घटाव और जोड़ कर सकते हैं। जड़ों को घटाने और जोड़ने के लिए, उन्हें इन क्रियाओं के अनुरूप संकेतों का उपयोग करके जोड़ा जाना चाहिए (उदाहरण के लिए x - y ).
और फिर जड़ों को उनके पास ले आओ सबसे सरल तरीका- यदि उनके बीच समान हैं, तो एक कास्ट बनाना आवश्यक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि समान पदों के गुणांकों को संबंधित शब्दों के संकेतों के साथ लिया जाता है, फिर उन्हें कोष्ठक में संलग्न किया जाता है, और सामान्य जड़ को गुणक कोष्ठक के बाहर प्रदर्शित किया जाता है। हमने जो गुणांक प्राप्त किया है वह सामान्य नियमों के अनुसार सरलीकृत है।

चरण 1. वर्गमूल निकालना

सबसे पहले, वर्गमूल जोड़ने के लिए, आपको सबसे पहले इन जड़ों को निकालना होगा। यह तब किया जा सकता है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ पूर्ण वर्ग हों। उदाहरण के लिए, दिए गए व्यंजक को लें √4 + √9 . पहला नंबर 4 संख्या का वर्ग है 2 . दूसरा नंबर 9 संख्या का वर्ग है 3 . इस प्रकार, निम्नलिखित समानता प्राप्त की जा सकती है: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
सब कुछ, उदाहरण हल हो गया है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है।

चरण 2. किसी संख्या के गुणक को मूल के नीचे से निकालना

यदि मूल चिह्न के नीचे कोई पूर्ण वर्ग नहीं है, तो आप मूल चिह्न के नीचे से संख्या के गुणक को निकालने का प्रयास कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक लें √24 + √54 .

आइए संख्याओं का गुणनखंड करें:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

सूची में 24 हमारे पास एक गुणक है 4 , इसे वर्गमूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है। सूची में 54 हमारे पास एक गुणक है 9 .

हमें समानता मिलती है:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

इस उदाहरण पर विचार करते हुए, हम मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड को हटाते हैं, जिससे दिए गए व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।

चरण 3. हर को कम करना

निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: दो वर्गमूलों का योग एक भिन्न का हर होता है, उदाहरण के लिए, ए / (√a + √b).
अब हम "हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने" के कार्य का सामना कर रहे हैं।
आइए निम्नलिखित विधि का प्रयोग करें: भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा करें a - b.

अब हम हर में संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त करते हैं:
(√a + b) * (√a - b) = a - b.

इसी तरह, यदि हर में जड़ों का अंतर होता है: a - b, भिन्न के अंश और हर को व्यंजक से गुणा किया जाता है a + b.

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

जटिल हर कमी का एक उदाहरण

आइए अब पर्याप्त विचार करें जटिल उदाहरणहर में तर्कहीनता से छुटकारा।

आइए एक अंश को एक उदाहरण के रूप में लें: 12 / (√2 + √3 + √5) .
आपको इसका अंश और हर लेना होगा और व्यंजक से गुणा करना होगा √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

चरण 4. कैलकुलेटर पर अनुमानित मूल्य की गणना करें

यदि आपको केवल एक अनुमानित मूल्य की आवश्यकता है, तो यह एक कैलकुलेटर पर वर्गमूल के मूल्य की गणना करके किया जा सकता है। अलग-अलग, प्रत्येक संख्या के लिए, मान की गणना और आवश्यक सटीकता के साथ दर्ज की जाती है, जो दशमलव स्थानों की संख्या से निर्धारित होती है। इसके अलावा, सभी आवश्यक संचालन सामान्य संख्याओं की तरह ही किए जाते हैं।

अनुमानित गणना उदाहरण

इस अभिव्यक्ति के अनुमानित मूल्य की गणना करना आवश्यक है √7 + √5 .

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

कृपया ध्यान दें: किसी भी परिस्थिति में वर्गमूल को अभाज्य संख्याओं के रूप में नहीं जोड़ा जाना चाहिए, यह पूरी तरह से अस्वीकार्य है। यानी अगर आप पांच और तीन के वर्गमूल को जोड़ दें तो हमें आठ का वर्गमूल नहीं मिल सकता है।

उपयोगी सलाह: यदि आप किसी संख्या को गुणनखंड करने का निर्णय लेते हैं, तो मूल चिह्न के नीचे से एक वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको एक रिवर्स चेक करने की आवश्यकता है, अर्थात, गणनाओं के परिणामस्वरूप सभी कारकों को गुणा करें, और इसका अंतिम परिणाम गणितीय गणना वह संख्या होनी चाहिए जो हमें मूल रूप से दी गई थी।

जड़ों के साथ क्रिया: जोड़ और घटाव

किसी संख्या का वर्गमूल निकालना एकमात्र ऐसा ऑपरेशन नहीं है जिसे इस गणितीय घटना के साथ किया जा सकता है। नियमित संख्याओं की तरह वर्गमूलजोड़ना और घटाना।

वर्गमूल जोड़ने और घटाने के नियम

वर्गमूल को जोड़ने और घटाने जैसी क्रियाएं तभी संभव हैं जब मूल व्यंजक समान हो।

आप व्यंजकों को जोड़ या घटा सकते हैं 2 3 और 6 3, लेकिन नहीं 5 6 और 9 4. यदि व्यंजक को सरल बनाना और उसे समान मूल संख्या के साथ मूल में लाना संभव है, तो सरल करें, और फिर जोड़ें या घटाएं।

मूल क्रियाएँ: मूल बातें

6 50 — 2 8 + 5 12

1. मूल व्यंजक को सरल कीजिए. ऐसा करने के लिए, मूल अभिव्यक्ति को 2 कारकों में विघटित करना आवश्यक है, जिनमें से एक वर्ग संख्या है (वह संख्या जिससे पूरा वर्गमूल निकाला जाता है, उदाहरण के लिए, 25 या 9)।
2. फिर आपको रूट निकालने की जरूरत है वर्ग संख्या और परिणामी मान को मूल चिह्न से पहले लिखें। कृपया ध्यान दें कि दूसरा कारक रूट साइन के तहत दर्ज किया गया है।
3. सरलीकरण प्रक्रिया के बाद, जड़ों को समान मूल अभिव्यक्तियों के साथ रेखांकित करना आवश्यक है - केवल उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है।
4. समान मूल भाव वाले मूलों के लिए, मूल चिह्न से पहले के कारकों को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। मूल अभिव्यक्ति अपरिवर्तित रहती है। मूल संख्याओं को जोड़ें या घटाएं नहीं!

यदि आपके पास के साथ एक उदाहरण है बड़ी राशिसमान मूलक व्यंजक, फिर गणना प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए ऐसे व्यंजकों को सिंगल, डबल और ट्रिपल लाइनों के साथ रेखांकित करें।

आइए इस उदाहरण को आजमाएं:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2। पहले आपको 50 को 2 गुणनखंड 25 और 2 में विघटित करने की आवश्यकता है, फिर 25 की जड़ लें, जो कि 5 है, और जड़ के नीचे से 5 निकाल लें। उसके बाद, आपको 5 को 6 से गुणा करना होगा (मूल पर गुणक) और 30 2 प्राप्त करना होगा।

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2। सबसे पहले, आपको 8 को 2 कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है: 4 और 2। फिर, 4 से, जड़ निकालें, जो 2 के बराबर है, और 2 को जड़ के नीचे से निकालें। उसके बाद, आपको 2 को 2 से गुणा करना होगा (मूल का गुणनखंड) और 4 2 प्राप्त करना होगा।

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3। सबसे पहले, आपको 12 को 2 कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है: 4 और 3। फिर जड़ को 4 से निकालें, जो कि 2 है, और इसे जड़ के नीचे से निकालें। उसके बाद, आपको 2 को 5 से गुणा करना होगा (मूल पर गुणनखंड) और 10 3 प्राप्त करना होगा।

सरलीकरण परिणाम: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

नतीजतन, हमने देखा कि कितने समान कट्टरपंथी अभिव्यक्तियां निहित हैं यह उदाहरण. अब अन्य उदाहरणों के साथ अभ्यास करते हैं।

• सरल कीजिए (45)। हम 45: (45) = (9 × 5) का गुणनखंड करते हैं;
• हम जड़ के नीचे से 3 निकालते हैं (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• हम गुणनखंडों को मूल में जोड़ते हैं: 3 5 + 4 5 = 7 5 ।
• 6 40 का सरलीकरण। हम 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) का गुणनखंड करते हैं;
• हम जड़ के नीचे से 2 निकालते हैं (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• हम मूल के सामने वाले गुणनखंडों को गुणा करते हैं: 12 10;
• हम व्यंजक को सरलीकृत रूप में लिखते हैं: 12 10 - 3 10 + 5;
• चूँकि पहले दो पदों की मूल संख्याएँ समान हैं, इसलिए हम उन्हें घटा सकते हैं: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5।

जैसा कि हम देख सकते हैं, मूलांकों को सरल बनाना संभव नहीं है, इसलिए हम उदाहरण में समान मूलांक वाले सदस्यों की तलाश करते हैं, गणितीय संक्रियाएँ करते हैं (जोड़ें, घटाएँ, आदि) और परिणाम लिखें:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

सलाह:

• जोड़ने या घटाने से पहले, मूल भावों को सरल (यदि संभव हो) करना अनिवार्य है।
• विभिन्न मूल भावों के साथ जड़ों को जोड़ना और घटाना सख्त वर्जित है।
• किसी पूर्णांक या वर्गमूल को न जोड़ें या घटाएं: 3 + (2 x) 1/2 ।
• भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको एक ऐसी संख्या ढूंढनी होगी जो प्रत्येक हर द्वारा पूरी तरह से विभाज्य हो, फिर भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं, फिर अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

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निकालना एक बहुपद का वर्गमूल, बहुपद की गणना करना और परिणामी संख्या से मूल निकालना आवश्यक है।

ध्यान!प्रत्येक पद (घटाया और घटा) से अलग-अलग मूल निकालना असंभव है।

जीतने के लिए शोब बहुपद का वर्गमूल, आवश्यकता रिच टर्म की गणना करने के लिए और घटाई गई संख्या से रूट लेने के लिए है।

आदर करना!त्वचा के पूरक (बदली हुई और दिखाई देने वाली) OKremo से जड़ निकालना असंभव है।

उत्पाद का वर्गमूल निकालने के लिए (भागफल), आप प्रत्येक कारक (लाभांश और भाजक) के वर्गमूल की गणना कर सकते हैं, और उत्पाद (भागफल) द्वारा परिणामी मान ले सकते हैं।

दोबुतका (भागों) का वर्गमूल जीतने के लिए, आप त्वचा गुणक (विभाजित और दिलनिक) के वर्गमूल की गणना कर सकते हैं, और एक पूरक (लगातार) लेकर मान को हटा सकते हैं।

भिन्न का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको अंश और हर के वर्गमूल को अलग-अलग निकालने की आवश्यकता है, और परिणामी मानों को एक अंश के रूप में छोड़ दें या भागफल के रूप में गणना करें (यदि संभव हो तो शर्त के अनुसार)।

भिन्न का वर्गमूल जीतने के लिए, आपको संख्या पुस्तक का वर्गमूल और ओकेरेमो का बैनर लेना होगा, और अंश के मान को भिन्न से वंचित करना होगा, या इसे एक भाग के रूप में गिनना होगा (जैसा कि मन के लिए संभव है)।

एक गुणनखंड को मूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है और एक गुणनखंड को मूल चिह्न के नीचे रखा जा सकता है। जब कोई गुणक निकाल दिया जाता है, तो उसमें से जड़ निकाल ली जाती है, और जब पेश किया जाता है, तो उसे संबंधित शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है।

तीसरे मूल चिह्न को गुणा किया जा सकता है और मूल चिह्न को गुणा किया जा सकता है। गुणक की गलती से जड़ें मुड़ जाती हैं, और परिचय के साथ, जड़ें ऊंचे पैरों पर बन जाती हैं।

उदाहरण। लागू करना

वर्गमूलों के योग (अंतर) को परिवर्तित करने के लिए, आपको मूल भावों को डिग्री के एक आधार पर लाने की आवश्यकता है, यदि संभव हो तो, जड़ों को अंशों से निकालें और उन्हें जड़ों के संकेतों से पहले लिखें, और शेष वर्गमूलों के साथ वही मूल भाव जोड़े जा सकते हैं, जिसके लिए गुणांकों को साइन रूट से पहले जोड़ा जाता है और वही वर्गमूल जोड़ दिया जाता है।

वर्गमूलों के योग (लागत) का रीमेक बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल जड़ों को चरण के किसी एक आधार पर लाया जाए, जैसा कि संभव हो, चरणों की जड़ को लेकर उन्हें चिह्नों से पहले लिख लें। जड़ों, और वर्गमूलों का समाधान समान मूल शब्दों के साथ, जिसे मैं जोड़ सकता हूं और उसी वर्गमूल को जोड़ सकता हूं।

हम सभी मूल भावों को आधार 2 पर लाते हैं।

सम अंश से जड़ पूरी तरह से निकाली जाती है, विषम अंश से आधार की जड़ को अंश 1 में जड़ के चिह्न के नीचे छोड़ दिया जाता है।

हम समान पूर्णांक देते हैं और समान मूल वाले गुणांक जोड़ते हैं। हम द्विपद को एक संख्या के गुणनफल और योग के द्विपद के रूप में लिखते हैं।

विराज़ी की सभी उप-जड़ों को आधार 2 पर लाएं।

युग्मित अवस्था से, जड़ें एक पंक्ति में खींची जाती हैं, अयुग्मित अवस्था से, चरण 1 में आधार की जड़ें जड़ के चिन्ह के नीचे भरी जाती हैं।

यह सुझाव दिया जाता है कि समान संख्याओं और गुणांकों को एक ही मूल में जोड़ा जाता है। हम द्विपद को सूमी द्विपद की संख्या i के पूरक के रूप में लिखते हैं।

हम रेडिकल एक्सप्रेशन को सबसे छोटे आधार या सबसे छोटे आधार वाले घातों के गुणनफल पर लाते हैं। हम मूल भावों की सम अंशों से जड़ निकालते हैं, शेष को 1 के सूचक के साथ एक अंश के आधार के रूप में छोड़ देते हैं या जड़ के चिह्न के नीचे ऐसे आधारों के गुणनफल को छोड़ देते हैं। हम समान पद देते हैं (समान मूलों के गुणांकों को जोड़ें)।

हम विराज़ी की जड़ को सबसे छोटे आधार तक ले जाते हैं या सबसे छोटे आधारों के साथ कदम जोड़ते हैं। विराज की जड़ों के नीचे भाप से भरे कदमों से, जड़ें ली जाती हैं, सूचक 1 के साथ कदम के आधार पर अधिशेष या ऐसे आधारों को जोड़ने से जड़ के संकेत के तहत भरा जाता है। हम समान पदों का सुझाव देते हैं (हम समान मूलों के गुणांकों को जोड़ते हैं)।

आइए भिन्नों के विभाजन को गुणन से बदलें (दूसरे भिन्न के प्रतिस्थापन के साथ पारस्परिक)। अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करें। जड़ के प्रत्येक चिन्ह के नीचे, हम अंशों को हाइलाइट करते हैं। आइए अंश और हर में समान गुणनखंडों को रद्द करें। हम सम शक्तियों से जड़ें निकालते हैं।

हम अंशों के विभाजन को गुणन से बदल देते हैं (वापसी के साथ दूसरे अंश के प्रतिस्थापन के साथ)। ओकेरेमो संख्या और अंशों के बैनर गुणा करें। जड़ की त्वचा के निशान के नीचे कदम दिखाई दे रहे हैं। हम नंबर बुक और बैनर में समान गुणकों को गति देंगे। जुड़वां चरणों की जड़ को दोष दें।

दो वर्गमूलों की तुलना करने के लिए, उनके मूल भावों को समान आधार के साथ अंशों तक कम किया जाना चाहिए, फिर जितना अधिक आप मूलक व्यंजक की डिग्री दिखाते हैं, वर्गमूल का मान उतना ही अधिक होता है।

इस उदाहरण में, मूल भाव को एक आधार तक कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि पहले में आधार 3 है, और दूसरे में 3 और 7 है।

तुलना करने का दूसरा तरीका मूल अभिव्यक्ति में मूल गुणांक दर्ज करना और मूल भाव के संख्यात्मक मूल्यों की तुलना करना है। वर्गमूल के लिए, मूल व्यंजक जितना बड़ा होगा, मूल का मान उतना ही अधिक होगा।

दो वर्गमूलों का मिलान करने के लिए, उनके उप-मूलों को समान आधार के साथ एक स्तर पर लाया जाना चाहिए, जबकि वायरस के उप-मूल की डिग्री का संकेतक जितना अधिक होगा, वर्गमूल का मान उतना ही अधिक होगा।

इस मामले में, विराज़ी की जड़ जड़ों को एक आधार पर लाना संभव नहीं है, क्योंकि पहले एक में आधार 3 है, और दूसरे में - 3 और 7।

बराबर करने का एक और तरीका है कि रूट गुणांक को रूट वायरेज में जोड़ा जाए और रूट वायरेज के संख्यात्मक मानों को बराबर किया जाए। वर्गमूल में उप-मूल विराज जितना अधिक होता है, मूल का मान उतना ही अधिक होता है।

गुणन के वितरण नियम और समान घातांक (हमारे मामले में, वर्गमूल) के साथ जड़ों को गुणा करने के नियम का उपयोग करते हुए, हमने मूल चिह्न के तहत उत्पाद के साथ दो वर्गमूलों का योग प्राप्त किया। हम 91 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं और उभयनिष्ठ मूलांक (13 * 5) वाले कोष्ठकों से जड़ निकालते हैं।

हमने एक मूल और एक द्विपद का गुणनफल प्राप्त किया है, जिसमें एक एकपदी एक पूर्णांक (1) है।

Vikoristovuyuchi rozpodilny गुणन का नियम और समान संकेतकों के साथ जड़ों के गुणन का नियम (हमारे मामले में - वर्गमूल), जड़ के संकेत के तहत एक अतिरिक्त जड़ के साथ दो वर्ग जड़ों का योग लिया। हम सरल शब्दों में 91 गुणक बिछा सकते हैं और मूल गुणकों (13 * 5) से मेहराब के लिए जड़ ले सकते हैं।

हमने एक रूट और एक बाइनरी का जोड़ लिया, जिसमें पूर्ण संख्या (1) में एक मोनोनोमियल है।

उदाहरण 9:

रेडिकल एक्सप्रेशन में, हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जिनसे हम पूरे वर्गमूल को निकाल सकते हैं। हम वर्गमूल को घातों से निकालते हैं और संख्याओं को वर्गमूल के गुणांकों द्वारा रखते हैं।

इस बहुपद के पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड √3 है, जिसे कोष्ठकों से निकाला जा सकता है। आइए हम इसी तरह की शर्तों को प्रस्तुत करते हैं।

सब-रूट virases में, इसे उस संख्या के गुणक के रूप में देखा जाता है, जिससे कोई व्यक्ति वर्गमूल ले सकता है। हम चरणों के वर्गमूल को दोष देते हैं और संख्याओं को वर्गमूलों के गुणांकों से लगाते हैं।

इस बहुपद की शर्तों में एक सामान्य गुणक 3 है, जिसे हथियारों के लिए दोषी ठहराया जा सकता है। हम इसी तरह के अतिरिक्त सुझाव देते हैं।

योग और दो के अंतर का गुणनफल एक ही आधार(3 और 5) संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके आधारों के वर्गों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।

वर्गमूल का वर्ग हमेशा मूलांक के बराबर होता है, इसलिए हम व्यंजक में मूलांक (मूल चिह्न) से छुटकारा पाएंगे।

दोबुटोक योग और दो समान आधारों के अंतर (3 में 5) को तेजी से गुणा के सूत्र से वर्ग आधारों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।

वर्ग zavzhd का वर्गमूल उप-मूल virase के बराबर है, इसलिए हम virase का मूल (मूल चिह्न) कहेंगे।

वापस स्कूल। जड़ों का जोड़

हमारे समय में, आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर, संख्या की जड़ की गणना का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं चुनौतीपूर्ण कार्य. उदाहरण के लिए, 2704=52, कोई भी कैलकुलेटर आपके लिए इसकी गणना करेगा। सौभाग्य से, कैलकुलेटर न केवल विंडोज़ में है, बल्कि सामान्य, यहां तक ​​​​कि सबसे सरल, फोन में भी है। सच है, अगर अचानक (संभावना की एक छोटी डिग्री के साथ, जिसकी गणना, वैसे, जड़ों को जोड़ना शामिल है) आप खुद को बिना पाते हैं मौजूद राशि, तो, अफसोस, आपको केवल अपने दिमाग पर भरोसा करना होगा।

माइंड ट्रेनिंग कभी फेल नहीं होती। खासकर उन लोगों के लिए जो संख्याओं के साथ इतनी बार काम नहीं करते हैं, और इससे भी ज्यादा जड़ों के साथ। ऊबड़-खाबड़ दिमाग के लिए जड़ों को जोड़ना और घटाना एक अच्छा व्यायाम है। और मैं आपको चरण दर चरण जड़ों को जोड़ना दिखाऊंगा। भावों के उदाहरण निम्नलिखित हो सकते हैं।

सरलीकृत किया जाने वाला समीकरण है:

यह एक तर्कहीन अभिव्यक्ति है। इसे सरल बनाने के लिए, आपको सभी मूल भावों को कम करने की आवश्यकता है सामान्य रूप से देखें. हम इसे चरणों में करते हैं:

पहली संख्या को अब सरल नहीं किया जा सकता है। चलिए दूसरे कार्यकाल की ओर बढ़ते हैं।

3√48 हम 48: 48=2×24 या 48=3×16 का गुणनखंड करते हैं। 24 का वर्गमूल एक पूर्णांक नहीं है, अर्थात। भिन्नात्मक शेष है। चूंकि हमें चाहिए सही मूल्य, तो अनुमानित जड़ें हमें शोभा नहीं देतीं। 16 का वर्गमूल 4 है, इसे मूल चिह्न के नीचे से निकाल लें। हम पाते हैं: 3×4×√3=12×√3

हमारी अगली अभिव्यक्ति नकारात्मक है, अर्थात। ऋणात्मक चिह्न -4×√(27.) फैक्टरिंग 27 के साथ लिखा गया है। हमें 27=3×9 प्राप्त होता है। हम भिन्नात्मक कारकों का उपयोग नहीं करते हैं, क्योंकि भिन्नों से वर्गमूल की गणना करना अधिक कठिन होता है। हम साइन के नीचे से 9 निकालते हैं, यानी। वर्गमूल की गणना करें। हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होते हैं: -4×3×√3 = -12×√3

अगला पद 128 उस भाग की गणना करता है जिसे जड़ के नीचे से निकाला जा सकता है। 128=64×2 जहां √64=8. यदि यह आपके लिए आसान बनाता है, तो आप इस व्यंजक को इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं: 128=√(8^2×2)

हम सरलीकृत शब्दों के साथ अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं:

अब हम समान मूलांक के साथ संख्याओं को जोड़ते हैं। आप अलग-अलग मूल भाव वाले व्यंजकों को जोड़ या घटा नहीं सकते। जड़ों को जोड़ने के लिए इस नियम के अनुपालन की आवश्यकता होती है।

हमें निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

√2=1×√2 - मुझे आशा है कि यह बीजगणित में प्रथागत है कि ऐसे तत्वों को छोड़ना आपके लिए समाचार नहीं होगा।

व्यंजकों को न केवल वर्गमूलों द्वारा, बल्कि घन या nवें मूल द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है।

विभिन्न घातांक के साथ जड़ों का जोड़ और घटाव, लेकिन एक समान मूल अभिव्यक्ति के साथ, निम्नानुसार होता है:

यदि हमारे पास √a+∛b+∜b जैसे व्यंजक हैं, तो हम इस व्यंजक को इस प्रकार सरल बना सकते हैं:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

हमने जड़ के उभयनिष्ठ घातांक के दो समान पदों को घटा दिया है। यहां जड़ों के गुण का उपयोग किया गया था, जो कहता है: यदि मूल अभिव्यक्ति की डिग्री की संख्या और मूल घातांक की संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसकी गणना अपरिवर्तित रहेगी।

नोट: घातांक केवल गुणा करने पर ही जोड़े जाते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें जहां व्यंजक में भिन्न मौजूद होते हैं।

आइए इसे चरण दर चरण हल करें:

5√8=5*2√2 - हम निकाले गए हिस्से को जड़ के नीचे से निकालते हैं।

यदि मूल भाग को भिन्न द्वारा निरूपित किया जाता है, तो भाज्य और भाजक का वर्गमूल लेने पर अक्सर यह भिन्न नहीं बदलेगा। नतीजतन, हमने ऊपर वर्णित समानता प्राप्त की है।

यहाँ उत्तर है।

याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि एक सम घातांक वाला मूल ऋणात्मक संख्याओं से नहीं निकाला जाता है। यदि एक सम अंश मूलक व्यंजक ऋणात्मक है, तो व्यंजक सुलझने योग्य नहीं है।

मूलों का योग तभी संभव है जब मूलक व्यंजक मेल खाते हों, क्योंकि वे समान पद हैं। यही बात अंतर पर भी लागू होती है।

विभिन्न संख्यात्मक घातांक के साथ जड़ों का जोड़ दोनों शब्दों को एक सामान्य मूल डिग्री तक कम करके किया जाता है। यह नियम उसी तरह से कार्य करता है जैसे भिन्नों को जोड़ने या घटाने पर एक सामान्य हर में कमी।

यदि मूलांक व्यंजक में घात तक बढ़ाई गई संख्या होती है, तो इस व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है बशर्ते कि मूल और घातांक के बीच एक उभयनिष्ठ भाजक हो।

किसी गुणनफल और भिन्न का वर्गमूल

a का वर्गमूल एक संख्या है जिसका वर्ग a है। उदाहरण के लिए, संख्या -5 और 5 संख्या 25 के वर्गमूल हैं। अर्थात्, समीकरण x^2=25 के मूल संख्या 25 के वर्गमूल हैं। अब आपको यह सीखने की जरूरत है कि इसके साथ कैसे काम किया जाए वर्गमूल संचालन: इसके मूल गुणों का अध्ययन करें।

उत्पाद का वर्गमूल

(ए*बी)=√ए*√बी

दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल इन संख्याओं के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, (9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह संपत्ति उस मामले पर भी लागू होती है जब मूल अभिव्यक्ति तीन, चार, आदि का उत्पाद है। गैर-नकारात्मक गुणक।

कभी-कभी इस संपत्ति का एक और सूत्रीकरण होता है। यदि ए और बी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं, तो निम्नलिखित समानता रखती है: √(a*b) =√a*√b. उनके बीच बिल्कुल कोई अंतर नहीं है, आप एक या दूसरे शब्दों का उपयोग कर सकते हैं (जो याद रखने के लिए अधिक सुविधाजनक है)।

भिन्न का वर्गमूल

अगर a>=0 तथा b>0, तो निम्नलिखित समानता सत्य है:

(ए/बी)=√a/√b.

उदाहरण के लिए, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

मेरी राय में, इस संपत्ति का एक अलग फॉर्मूलेशन भी है, जो याद रखने में अधिक सुविधाजनक है।
भागफल का वर्गमूल, भागफल के भागफल के बराबर होता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि ये सूत्र बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों तरफ काम करते हैं। अर्थात्, यदि आवश्यक हो, तो हम उत्पाद की जड़ के रूप में जड़ों के उत्पाद का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। वही दूसरी संपत्ति के लिए जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये गुण बहुत सुविधाजनक हैं, और मैं जोड़ और घटाव के लिए समान गुण रखना चाहता हूं:

(a+b)=√a+√b;

√(ए-बी)=√a-√b;

लेकिन दुर्भाग्य से ऐसे गुण वर्गाकार होते हैं कोई जड़ नहीं है, इसलिए गणना में नहीं किया जा सकता।.

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हैलो बिल्ली के बच्चे! पिछली बार हमने विस्तार से विश्लेषण किया था कि जड़ें क्या हैं (यदि आपको याद नहीं है, तो मैं पढ़ने की सलाह देता हूं)। उस पाठ का मुख्य निष्कर्ष: जड़ों की केवल एक सार्वभौमिक परिभाषा है, जिसे आपको जानना आवश्यक है। बाकी सब बकवास है और समय की बर्बादी है।

आज हम और आगे बढ़ते हैं। हम जड़ों को गुणा करना सीखेंगे, हम गुणन से जुड़ी कुछ समस्याओं का अध्ययन करेंगे (यदि इन समस्याओं को हल नहीं किया जाता है, तो वे परीक्षा में घातक हो सकते हैं) और हम ठीक से अभ्यास करेंगे। तो पॉपकॉर्न पर स्टॉक करें, अपने आप को सहज बनाएं - और हम शुरू करेंगे। :)

आपने अभी तक धूम्रपान नहीं किया है, है ना?

पाठ काफी बड़ा निकला, इसलिए मैंने इसे दो भागों में विभाजित किया:

1. सबसे पहले, हम गुणन के नियमों को देखेंगे। टोपी इशारा कर रही है: यह तब होता है जब दो जड़ें होती हैं, उनके बीच एक "गुणा" चिह्न होता है - और हम इसके साथ कुछ करना चाहते हैं।
2. फिर हम विपरीत स्थिति का विश्लेषण करेंगे: एक बड़ी जड़ है, और हम इसे दो जड़ों के उत्पाद के रूप में सरल तरीके से प्रस्तुत करने के लिए अधीर थे। यह किस डर से जरूरी है, यह एक अलग सवाल है। हम केवल एल्गोरिथम का विश्लेषण करेंगे।

उन लोगों के लिए जो सीधे भाग 2 में कूदने का इंतजार नहीं कर सकते, आपका स्वागत है। आइए बाकी क्रम से शुरू करें।

मूल गुणन नियम

आइए सबसे सरल से शुरू करें - शास्त्रीय वर्गमूल। जिन्हें $\sqrt(a)$ और $\sqrt(b)$ द्वारा दर्शाया जाता है। उनके लिए, सब कुछ आम तौर पर स्पष्ट है:

गुणन नियम। एक वर्गमूल को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको बस उनके मूल भावों को गुणा करना होगा, और परिणाम को सामान्य मूलांक के तहत लिखना होगा:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

दाएं या बाएं संख्याओं पर कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं लगाया गया है: यदि गुणक जड़ें मौजूद हैं, तो उत्पाद भी मौजूद है।

उदाहरण। एक साथ संख्याओं के साथ चार उदाहरणों पर विचार करें:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ और \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ और \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ और \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस नियम का मुख्य अर्थ अपरिमेय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना है। और अगर पहले उदाहरण में हमने बिना किसी नए नियम के 25 और 4 से जड़ें निकाली होंगी, तो टिन शुरू होता है: $\sqrt(32)$ और $\sqrt(2)$ खुद से गिनती नहीं करते हैं, लेकिन उनका गुणनफल एक सटीक वर्ग बन जाता है, इसलिए इसका मूल एक परिमेय संख्या के बराबर होता है.

अलग से, मैं अंतिम पंक्ति को नोट करना चाहूंगा। वहां, दोनों मूल भाव भिन्न हैं। उत्पाद के लिए धन्यवाद, कई कारक रद्द हो जाते हैं, और संपूर्ण अभिव्यक्ति पर्याप्त संख्या में बदल जाती है।

बेशक, सब कुछ हमेशा इतना सुंदर नहीं होगा। कभी-कभी जड़ों के नीचे पूरी बकवास होगी - यह स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ क्या करना है और गुणा के बाद कैसे बदलना है। थोड़ी देर बाद, जब आप पढ़ना शुरू करते हैं अपरिमेय समीकरणऔर असमानताएं, आम तौर पर सभी प्रकार के चर और कार्य होंगे। और बहुत बार, समस्याओं के संकलनकर्ता केवल इस तथ्य पर भरोसा कर रहे हैं कि आपको कुछ अनुबंधित शर्तें या कारक मिलेंगे, जिसके बाद कार्य बहुत सरल हो जाएगा।

इसके अलावा, बिल्कुल दो जड़ों को गुणा करना आवश्यक नहीं है। आप एक साथ तीन गुणा कर सकते हैं, चार - हाँ दस भी! इससे नियम नहीं बदलेगा। जरा देखो तो:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ और \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

और फिर दूसरे उदाहरण पर एक छोटी सी टिप्पणी। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे गुणक में, जड़ के नीचे एक दशमलव अंश होता है - गणना की प्रक्रिया में, हम इसे नियमित रूप से बदल देते हैं, जिसके बाद सब कुछ आसानी से कम हो जाता है। इसलिए: मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि किसी भी अपरिमेय भाव में दशमलव अंशों से छुटकारा पाएं (अर्थात, जिसमें कम से कम एक मूल चिह्न हो)। यह आपको भविष्य में बहुत समय और तंत्रिकाओं की बचत करेगा।

लेकिन यह एक गेय विषयांतर था। अब आइए एक अधिक सामान्य मामले पर विचार करें - जब मूल प्रतिपादक में एक मनमाना संख्या $n$ होती है, न कि केवल "शास्त्रीय" दो।

एक मनमाना संकेतक का मामला

इसलिए, हमने वर्गमूलों का पता लगाया। और क्यूब्स के साथ क्या करना है? या सामान्य रूप से मनमानी डिग्री $n$ की जड़ों के साथ? हाँ, सब कुछ वैसा ही है। नियम वही रहता है:

डिग्री $n$ की दो जड़ों को गुणा करने के लिए, उनके मूल भावों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद परिणाम एक मूलांक के तहत लिखा जाता है।

सामान्य तौर पर, कुछ भी जटिल नहीं है। जब तक गणना की मात्रा अधिक नहीं हो सकती। आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण। उत्पादों की गणना करें:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= पांच; \\ और \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\बाएं(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \अंत (संरेखित करें)\]

और दूसरी अभिव्यक्ति पर फिर से ध्यान दें। हम घनमूलों को गुणा करते हैं, दशमलव भिन्न से छुटकारा पाते हैं, और परिणामस्वरूप हमें हर में संख्या 625 और 25 का गुणनफल मिलता है। बड़ी संख्या- व्यक्तिगत रूप से, मैं तुरंत इस पर विचार नहीं करता कि यह किसके बराबर है।

इसलिए, हमने केवल अंश और हर में सटीक घन का चयन किया, और फिर $n$th डिग्री के मूल के एक प्रमुख गुण (या, यदि आप चाहें, तो परिभाषा) का उपयोग किया:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ और \sqrt(((a)^(2n)))=\बाएं| ए\राइट|. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस तरह के "घोटाले" परीक्षा में आपका बहुत समय बचा सकते हैं या नियंत्रण कार्यतो याद रखें:

रेडिकल एक्सप्रेशन में संख्याओं को गुणा करने में जल्दबाजी न करें। सबसे पहले, जांचें: क्या होगा यदि किसी अभिव्यक्ति की सटीक डिग्री वहां "एन्क्रिप्टेड" हो?

इस टिप्पणी की पूरी स्पष्टता के साथ, मुझे यह स्वीकार करना होगा कि अधिकांश अप्रस्तुत छात्र बिंदु रिक्त स्थान को सटीक डिग्री नहीं देखते हैं। इसके बजाय, वे आगे सब कुछ गुणा करते हैं, और फिर आश्चर्य करते हैं: उन्हें इतनी क्रूर संख्या क्यों मिली? :)

हालाँकि, अब हम जो अध्ययन करेंगे, उसकी तुलना में यह सब बच्चों का खेल है।

विभिन्न घातांक के साथ जड़ों का गुणन

खैर, अब हम एक ही घातांक के साथ जड़ों को गुणा कर सकते हैं। क्या होगा यदि स्कोर अलग हैं? कहो, आप एक साधारण $\sqrt(2)$ को $\sqrt(23)$ जैसे कुछ बकवास से कैसे गुणा करते हैं? क्या ऐसा करना भी संभव है?

हां बेशक आप कर सकते हैं। सब कुछ इस सूत्र के अनुसार किया जाता है:

मूल गुणन नियम। $\sqrt[n](a)$ को $\sqrt[p](b)$ से गुणा करने के लिए, बस निम्नलिखित परिवर्तन करें:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

हालाँकि, यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब कट्टरपंथी अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक हैं. यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण टिप्पणी है, जिस पर हम थोड़ी देर बाद लौटेंगे।

अभी के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ और \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ और \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। अब आइए जानें कि गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता कहां से आई और यदि हम इसका उल्लंघन करते हैं तो क्या होगा। :)

जड़ों को गुणा करना आसान है।

कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को गैर-नकारात्मक क्यों होना चाहिए?

बेशक, आप पसंद कर सकते हैं स्कूल के शिक्षकऔर चतुराई से पाठ्यपुस्तक को उद्धृत करें:

गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता सम और विषम डिग्री की जड़ों की विभिन्न परिभाषाओं से जुड़ी है (क्रमशः, उनकी परिभाषा के क्षेत्र भी भिन्न हैं)।

अच्छा, यह स्पष्ट हो गया? निजी तौर पर, जब मैंने 8वीं कक्षा में इस बकवास को पढ़ा, तो मैं अपने लिए कुछ इस तरह समझ गया: "गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता *#&^@(*#@^#)~%" से जुड़ी है - संक्षेप में, मैं उस समय बकवास समझ में नहीं आया। :)

तो अब मैं सब कुछ सामान्य तरीके से समझाऊंगा।

सबसे पहले, आइए जानें कि उपरोक्त गुणन सूत्र कहाँ से आता है। ऐसा करने के लिए, मैं आपको जड़ की एक महत्वपूर्ण संपत्ति की याद दिलाता हूं:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

दूसरे शब्दों में, हम रूट एक्सप्रेशन को किसी भी प्राकृतिक शक्ति $k$ तक सुरक्षित रूप से बढ़ा सकते हैं - इस मामले में, रूट इंडेक्स को उसी शक्ति से गुणा करना होगा। इसलिए, हम किसी भी मूल को आसानी से एक सामान्य संकेतक तक कम कर सकते हैं, जिसके बाद हम गुणा करते हैं। यह वह जगह है जहाँ से गुणन सूत्र आता है:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

लेकिन एक समस्या है जो इन सभी सूत्रों के आवेदन को गंभीर रूप से सीमित कर देती है। इस संख्या पर विचार करें:

अभी दिए गए फॉर्मूले के अनुसार हम कोई भी डिग्री जोड़ सकते हैं। आइए $k=2$ जोड़ने का प्रयास करें:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

हमने माइनस को ठीक से हटा दिया क्योंकि वर्ग माइनस को जला देता है (किसी भी अन्य डिग्री की तरह)। और अब हम रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन करते हैं: घातांक और डिग्री में दोनों को "कम" करें। आखिरकार, किसी भी समानता को बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों में पढ़ा जा सकता है:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ए); \\ और \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन फिर कुछ पागल होता है:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

ऐसा नहीं हो सकता क्योंकि $\sqrt(-5) \lt 0$ और $\sqrt(5) \gt 0$। इसका मतलब है कि यहां तक ​​कि घातों और ऋणात्मक संख्याओं के लिए, हमारा सूत्र अब काम नहीं करता है। जिसके बाद हमारे पास दो विकल्प होते हैं:

1. दीवार के खिलाफ लड़ने के लिए यह कहने के लिए कि गणित एक बेवकूफ विज्ञान है, जहां "कुछ नियम हैं, लेकिन यह गलत है";
2. अतिरिक्त प्रतिबंध लागू करें जिसके तहत सूत्र 100% काम करने वाला हो जाएगा।

पहले विकल्प में, हमें लगातार "गैर-कामकाजी" मामलों को पकड़ना होगा - यह कठिन, लंबा और आम तौर पर फू है। इसलिए गणितज्ञों ने दूसरा विकल्प पसंद किया। :)

लेकिन चिंता मत करो! व्यवहार में, यह प्रतिबंध किसी भी तरह से गणना को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि सभी वर्णित समस्याएं केवल एक विषम डिग्री की जड़ों की चिंता करती हैं, और उनमें से माइनस निकाले जा सकते हैं।

इसलिए, हम एक और नियम बनाते हैं जो सामान्य रूप से जड़ों के साथ सभी क्रियाओं पर लागू होता है:

जड़ों को गुणा करने से पहले, सुनिश्चित करें कि मूल अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक हैं।

उदाहरण। संख्या $\sqrt(-5)$ में, आप मूल चिह्न के नीचे से ऋण निकाल सकते हैं - तब सब कुछ ठीक हो जाएगा:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

अंतर महसूस करें? यदि आप माइनस को रूट के नीचे छोड़ देते हैं, तो जब रेडिकल एक्सप्रेशन को चुकता किया जाता है, तो यह गायब हो जाएगा, और बकवास शुरू हो जाएगी। और यदि आप पहले माइनस निकालते हैं, तो आप एक वर्ग को तब तक बढ़ा / हटा सकते हैं जब तक कि आप नीले रंग के न हों - संख्या नकारात्मक रहेगी। :)

इस प्रकार, जड़ों को गुणा करने का सबसे सही और सबसे विश्वसनीय तरीका इस प्रकार है:

1. रेडिकल्स के नीचे से सभी माइनस को हटा दें। माइनस केवल विषम बहुलता की जड़ों में होते हैं - उन्हें रूट के सामने रखा जा सकता है और यदि आवश्यक हो, तो कम किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, यदि इनमें से दो माइनस हैं)।
2. आज के पाठ में ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार गुणा करें। यदि मूलों के सूचकांक समान हैं, तो बस मूल व्यंजकों को गुणा करें। और यदि वे भिन्न हैं, तो हम दुष्ट सूत्र \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) का उपयोग करते हैं ^(एन)))\]।
3. 3. हम परिणाम और अच्छे ग्रेड का आनंद लेते हैं। :)

कुंआ? क्या हम अभ्यास करें?

उदाहरण 1. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ वर्ग (64) = -4; \end(संरेखित)\]

यह सबसे सरल विकल्प है: जड़ों के संकेतक समान और विषम हैं, समस्या केवल दूसरे गुणक के ऋण में है। हम इस माइनस नफिग को सहते हैं, जिसके बाद सब कुछ आसानी से माना जाता है।

उदाहरण 2. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( संरेखित करें)\]

यहाँ, कई लोग भ्रमित होंगे कि आउटपुट क्या निकला अपरिमेय संख्या. हां, ऐसा होता है: हम पूरी तरह से जड़ से छुटकारा नहीं पा सके, लेकिन कम से कम हमने अभिव्यक्ति को काफी सरल बना दिया।

उदाहरण 3. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((()) a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((ए)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

यही मैं आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। यहाँ दो बिंदु हैं:

1. जड़ के नीचे एक विशिष्ट संख्या या डिग्री नहीं है, लेकिन चर $a$ है। पहली नज़र में, यह थोड़ा असामान्य है, लेकिन वास्तव में, गणितीय समस्याओं को हल करते समय, आपको अक्सर चर से निपटना होगा।
2. अंत में, हम मूल प्रतिपादक और कट्टरपंथी अभिव्यक्ति में डिग्री को "कम" करने में कामयाब रहे। ऐसा काफी बार होता है। और इसका मतलब है कि यदि आप मुख्य सूत्र का उपयोग नहीं करते हैं तो गणनाओं को सरल बनाना संभव था।

उदाहरण के लिए, आप यह कर सकते हैं:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \अंत (संरेखित करें)\]

वास्तव में, सभी परिवर्तन केवल दूसरे कट्टरपंथी के साथ किए गए थे। और यदि आप सभी मध्यवर्ती चरणों को विस्तार से चित्रित नहीं करते हैं, तो अंत में गणना की मात्रा में काफी कमी आएगी।

वास्तव में, $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ उदाहरण को हल करते समय हम पहले ही ऊपर इसी तरह के कार्य का सामना कर चुके हैं। अब इसे बहुत आसान लिखा जा सकता है:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\बाएं(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\वर्ग (75)। \end(संरेखित)\]

खैर, हमने जड़ों के गुणन का पता लगा लिया। अब व्युत्क्रम संक्रिया पर विचार करें: जब कोई कार्य जड़ के नीचे हो तो क्या करें?

गणित में, मूल वर्ग, घन, या कोई अन्य घातांक (शक्ति) हो सकता है, जो मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखा होता है। मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को मूल व्यंजक कहते हैं। रूट जोड़ शब्द जोड़ के समान है। बीजगणतीय अभिव्यक्ति, अर्थात्, इसे समान जड़ों की परिभाषा की आवश्यकता है।

कदम

2 का भाग 1 : जड़ों का पता लगाना

जड़ पदनाम।मूल चिह्न () के तहत एक अभिव्यक्ति का अर्थ है कि इस अभिव्यक्ति से एक निश्चित डिग्री की जड़ निकालना आवश्यक है।

• जड़ को एक चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है।
• जड़ का सूचकांक (डिग्री) मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, 27 का घनमूल इस प्रकार लिखा जाता है: (27)
• यदि मूल का घातांक (डिग्री) अनुपस्थित हो, तो घातांक को 2 के बराबर माना जाता है, अर्थात यह वर्गमूल (या दूसरी डिग्री का मूल) होता है।
• मूल चिह्न से पहले लिखी गई संख्या को गुणक कहा जाता है (अर्थात इस संख्या को मूल से गुणा किया जाता है), उदाहरण के लिए 5 (2)
• यदि मूल के सामने कोई गुणनखंड नहीं है, तो यह 1 के बराबर है (याद रखें कि किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं के बराबर होती है)।
• यदि आप पहली बार जड़ों के साथ काम कर रहे हैं, तो मूल के गुणक और घातांक पर उपयुक्त नोट्स बनाएं ताकि भ्रमित न हों और उनके उद्देश्य को बेहतर ढंग से समझ सकें।

याद रखें कि किन जड़ों को मोड़ा जा सकता है और कौन सी नहीं।जैसे आप किसी व्यंजक के भिन्न-भिन्न पदों को नहीं जोड़ सकते, जैसे कि 2a + 2b 4ab, आप भिन्न मूल नहीं जोड़ सकते।

आप भिन्न मूल व्यंजकों के साथ मूल नहीं जोड़ सकते, उदाहरण के लिए, (2) + (3) (5)। लेकिन आप एक ही मूल के अंतर्गत संख्याएँ जोड़ सकते हैं, उदाहरण के लिए, (2 + 3) = (5) (2 का वर्गमूल लगभग 1.414 है, 3 का वर्गमूल लगभग 1.732 है, और 5 का वर्गमूल लगभग 2.236 है) )

आप समान मूल भावों के साथ मूल नहीं जोड़ सकते, लेकिन विभिन्न घातांक, उदाहरण के लिए, (64) + (64) (यह योग (64) के बराबर नहीं है, क्योंकि 64 का वर्गमूल 8 है, 64 का घनमूल है 4, 8 + 4 = 12, जो 64 के पांचवें मूल से काफी बड़ा है, जो लगभग 2.297 है)।

भाग 2 का 2: सरलीकरण और मूल जोड़ना

समान जड़ों को पहचानें और समूहित करें।समान जड़ें वे जड़ें होती हैं जिनमें समान घातांक और समान मूल भाव होते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• सबसे पहले, व्यंजक को फिर से लिखें ताकि समान घातांक वाले मूल श्रेणी में हों।
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• फिर व्यंजक को फिर से लिखें ताकि समान घातांक और समान मूल व्यंजक वाले मूल श्रृंखला में हों।
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

अपनी जड़ों को सरल बनाएं।ऐसा करने के लिए, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को दो कारकों में विघटित (जहां संभव हो) करें, जिनमें से एक को जड़ के नीचे से निकाला जाता है। इस मामले में, प्रदान की गई संख्या और मूल कारक को गुणा किया जाता है।

ऊपर के उदाहरण में, गुणनखंड 50 गुणा 2*25 और संख्या 32 गुणा 2*16. 25 और 16 से, आप वर्गमूल (क्रमशः 5 और 4) निकाल सकते हैं और मूल के नीचे से 5 और 4 निकाल सकते हैं, क्रमशः उन्हें गुणनखंड 2 और 1 से गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, आपको एक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

संख्या 81 को 3 * 27 में विभाजित किया जा सकता है, और 3 का घनमूल संख्या 27 से लिया जा सकता है। इस संख्या 3 को मूल के नीचे से निकाला जा सकता है। इस प्रकार, आपको और भी अधिक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

समान मूलों के गुणनखंडों को जोड़ें।हमारे उदाहरण में, 2 के समान वर्गमूल हैं (उन्हें जोड़ा जा सकता है) और 3 के समान वर्गमूल (उन्हें भी जोड़ा जा सकता है)। पर क्युब जड़ 3 में से ऐसी कोई जड़ें नहीं हैं।

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

अंतिम सरलीकृत अभिव्यक्ति: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• किसी व्यंजक में मूल लिखे जाने के क्रम के लिए आम तौर पर स्वीकृत नियम नहीं हैं। इसलिए, आप मूलों को उनके घातांक के आरोही क्रम में और मूल भाव के आरोही क्रम में लिख सकते हैं।

ध्यान दें, केवल आज!

सभी दिलचस्प

मूल चिह्न के नीचे की संख्या अक्सर समीकरण के समाधान में हस्तक्षेप करती है, इसके साथ काम करना असुविधाजनक होता है। यहां तक ​​​​कि अगर इसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, भिन्नात्मक, या एक निश्चित डिग्री के पूर्णांक के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, तो कोई इसे प्राप्त करने का प्रयास कर सकता है ...

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किसी संख्या x का वर्गमूल वह संख्या है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर संख्या x: a * a = a^2 = x, x = a प्राप्त होती है। किसी भी संख्या की तरह, आप वर्गमूलों पर जोड़ और घटाव की अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं।

अनुदेश

• सबसे पहले, वर्गमूल जोड़ते समय, उन जड़ों को निकालने का प्रयास करें। यह तभी संभव होगा जब मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ पूर्ण वर्ग हों। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि व्यंजक 4 + 9 दिया गया है। पहली संख्या 4 संख्या 2 का वर्ग है। दूसरी संख्या 9 संख्या 3 का वर्ग है। तो यह पता चलता है कि: √4 + √9 = 2 + 3 = 5।
• यदि मूल चिह्न के नीचे कोई पूर्ण वर्ग नहीं है, तो मूल चिह्न के नीचे से संख्या के गुणक को निकालने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, मान लें कि √24 + √54 दिया गया है। संख्याओं का गुणनखंड करें: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. संख्या 24 में 4 का गुणनखंड होता है, जिसे वर्गमूल चिह्न से हटाया जा सकता है। संख्या 54 में 9 का एक कारक है। इस प्रकार, यह पता चला है कि: √24 + 54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * 6 . इस उदाहरण में, गुणक को मूल चिह्न से निकालने के परिणामस्वरूप, यह दिए गए व्यंजक को सरल बना देता है।
• मान लीजिए कि दो वर्गमूलों का योग एक भिन्न का हर है, उदाहरण के लिए, A / (√a + b)। और अपने काम को "हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने" के लिए होने दें। फिर आप निम्न विधि का उपयोग कर सकते हैं। भिन्न के अंश और हर को व्यंजक a - b से गुणा करें। इस प्रकार, हर में आपको संक्षिप्त गुणन का सूत्र मिलता है: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b। सादृश्य द्वारा, यदि हर में जड़ों का अंतर दिया गया है: a - b, तो अंश के अंश और हर को अभिव्यक्ति √a + b से गुणा किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, दिया गया भिन्न 4 / (√3 + 5) = 4 * (√3 - 5) / ((√3 + √5) * (√3 - 5)) = 4 * (√3 - 5) / (-2) = 2 * (√5 - 3)।
• हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने के अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए भिन्न 12 / (√2 + 3 + √5) दिया गया है। 2 + 3 - √5 व्यंजक से भिन्न के अंश और हर को गुणा करना आवश्यक है:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• और अंत में, यदि आपको केवल अनुमानित मान की आवश्यकता है, तो आप कैलकुलेटर पर वर्गमूल की गणना कर सकते हैं। प्रत्येक संख्या के लिए अलग-अलग मानों की गणना करें और आवश्यक सटीकता के साथ लिखें (उदाहरण के लिए, दो दशमलव स्थान)। और फिर आवश्यक अंकगणितीय संचालन करें, जैसा कि सामान्य संख्याओं के साथ होता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आप व्यंजक 7 + 5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89 का अनुमानित मान जानना चाहते हैं।

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