बीजीय भिन्नों की कमी: एक नियम, उदाहरण। बीजीय भिन्नों को कैसे हल करें? सिद्धांत और अभ्यास

भिन्न और उनकी कमी एक और विषय है जो 5 वीं कक्षा में शुरू होता है। यहाँ इस क्रिया का आधार बनता है, और फिर इन कौशलों को एक सूत्र द्वारा उच्च गणित में खींचा जाता है। यदि छात्र ने नहीं सीखा है, तो उसे बीजगणित में समस्या हो सकती है। इसलिए, कुछ नियमों को एक बार और सभी के लिए समझना बेहतर है। और एक निषेध याद रखें और उसे कभी न तोड़ें।

भिन्न और उसकी कमी

यह क्या है, हर छात्र जानता है। क्षैतिज पट्टी के बीच स्थित कोई भी दो अंक तुरंत भिन्न के रूप में माने जाते हैं। हालांकि, हर कोई यह नहीं समझता है कि कोई भी संख्या बन सकती है। यदि यह एक पूर्णांक है, तो इसे हमेशा एक से विभाजित किया जा सकता है, तो आपको एक अनुचित भिन्न प्राप्त होता है। लेकिन उस पर बाद में।

शुरुआत हमेशा सरल होती है। सबसे पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि सही अंश को कैसे कम किया जाए। अर्थात् जिसका अंश हर से कम हो। ऐसा करने के लिए, आपको अंश की मुख्य संपत्ति को याद रखना होगा। यह बताता है कि जब इसके अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा (साथ ही विभाजित) किया जाता है, तो यह पता चलता है कि मूल भिन्न समतुल्य है।

इस संपत्ति पर की जाने वाली विभाजन क्रियाओं के परिणामस्वरूप कमी आती है। यानी इसका अधिकतम सरलीकरण। एक अंश को तब तक कम किया जा सकता है जब तक कि रेखा के ऊपर और नीचे सामान्य कारक हों। जब वे अब मौजूद नहीं हैं, तो कमी असंभव है। और वे कहते हैं कि यह अंश अपूरणीय है।

दो रास्ते

1.कदम दर कदम कमी।यह अनुमान लगाने की विधि का उपयोग करता है, जब दोनों संख्याओं को छात्र द्वारा देखे गए न्यूनतम सामान्य कारक से विभाजित किया जाता है। यदि पहली कमी के बाद यह स्पष्ट हो जाता है कि यह अंत नहीं है, तो विभाजन जारी रहता है। जब तक अंश इरेड्यूसेबल नहीं हो जाता।

2. अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।यह भिन्नों को कम करने का सबसे तर्कसंगत तरीका है। इसमें अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना शामिल है। उनमें से, आपको सभी समान चुनने की आवश्यकता है। उनका उत्पाद सबसे बड़ा सामान्य कारक देगा जिससे अंश कम हो जाता है।

ये दोनों विधियां समकक्ष हैं। छात्र को उनमें महारत हासिल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है और जो उसे सबसे अच्छा लगता है उसका उपयोग करता है।

क्या होगा यदि जोड़ और घटाव के अक्षर और संचालन हैं?

प्रश्न के पहले भाग के साथ, सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है। अक्षरों को संख्याओं की तरह ही संक्षिप्त किया जा सकता है। मुख्य बात यह है कि वे गुणक के रूप में कार्य करते हैं। लेकिन दूसरे के साथ, कई को समस्या है।

याद रखना महत्वपूर्ण है! आप केवल उन संख्याओं को कम कर सकते हैं जो कारक हैं। यदि वे शर्तें हैं, तो यह असंभव है।

यह समझने के लिए कि बीजीय व्यंजक की तरह दिखने वाले भिन्नों को कैसे कम किया जाए, आपको नियम सीखने की जरूरत है। सबसे पहले, अंश और हर को गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। तब आप कम कर सकते हैं यदि सामान्य कारक हैं। गुणक के रूप में प्रतिनिधित्व के लिए, निम्नलिखित तरकीबें उपयोगी हैं:

• समूह बनाना;
• ब्रैकेटिंग;
• संक्षिप्त गुणन पहचान का अनुप्रयोग।

इसके अलावा, बाद की विधि कारकों के रूप में शर्तों को तुरंत प्राप्त करना संभव बनाती है। इसलिए, यदि ज्ञात पैटर्न दिखाई दे रहा है तो इसका हमेशा उपयोग किया जाना चाहिए।

लेकिन यह अभी तक डरावना नहीं है, फिर डिग्री और जड़ों वाले कार्य दिखाई देते हैं। तभी आपको हिम्मत जुटानी होगी और कुछ नए नियम सीखने होंगे।

शक्ति अभिव्यक्ति

अंश। अंश और हर में उत्पाद। अक्षर और संख्याएँ हैं। और वे भी एक शक्ति के लिए उठाए जाते हैं, जिसमें शब्द या कारक भी होते हैं। डरने की बात है।

घातांक के साथ भिन्नों को कम करने का तरीका जानने के लिए, आपको दो बिंदुओं को सीखने की आवश्यकता है:

• यदि घातांक में कोई योग है, तो उसे ऐसे कारकों में विघटित किया जा सकता है, जिनकी घातें मूल पद होंगी;
• यदि अंतर है, तो लाभांश और भाजक में, डिग्री में पहला घटाया जाएगा, दूसरा - घटाया जाएगा।

इन चरणों को पूरा करने के बाद, सामान्य गुणक दिखाई देने लगते हैं। ऐसे उदाहरणों में, सभी शक्तियों की गणना करना आवश्यक नहीं है। यह केवल समान संकेतकों और आधारों के साथ डिग्री को कम करने के लिए पर्याप्त है।

शक्तियों के साथ अंशों को कम करने के तरीके में अंत में महारत हासिल करने के लिए, आपको बहुत अभ्यास की आवश्यकता है। एक ही प्रकार के कई उदाहरणों के बाद, क्रियाएं स्वचालित रूप से की जाएंगी।

क्या होगा यदि व्यंजक में एक जड़ हो?

इसे छोटा भी किया जा सकता है। फिर से, बस नियमों का पालन करें। इसके अलावा, ऊपर वर्णित सभी सत्य हैं। सामान्य तौर पर, यदि प्रश्न यह है कि किसी भिन्न को जड़ों से कैसे कम किया जाए, तो आपको विभाजित करने की आवश्यकता है।

इसे अपरिमेय भावों में भी विभाजित किया जा सकता है। अर्थात्, यदि अंश और हर के गुणनखंड मूल चिह्न के नीचे समान हों, तो उन्हें सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है। यह अभिव्यक्ति को सरल करेगा और काम पूरा करेगा।

यदि, कमी के बाद, अपरिमेयता अंश की रेखा के नीचे रहती है, तो आपको इससे छुटकारा पाने की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, अंश और हर को इससे गुणा करें। यदि इस ऑपरेशन के बाद सामान्य कारक दिखाई देते हैं, तो उन्हें फिर से कम करने की आवश्यकता होगी।

वह, शायद, भिन्नों को कम करने के तरीके के बारे में है। कुछ नियम, लेकिन एक निषेध। शर्तों को कभी कम न करें!

इस लेख में, हम पर ध्यान दिया जाएगा बीजीय भिन्नों की कमी. सबसे पहले, आइए जानें कि "बीजीय अंश की कमी" शब्द का क्या अर्थ है, और पता करें कि क्या एक बीजीय अंश हमेशा कम करने योग्य होता है। अगला, हम एक नियम देते हैं जो हमें इस परिवर्तन को करने की अनुमति देता है। अंत में, विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें जो प्रक्रिया की सभी सूक्ष्मताओं को समझना संभव बना देगा।

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बीजीय भिन्न को कम करने का क्या अर्थ है?

पढ़कर हमने उनकी कमी के बारे में बात की। हम इसके अंश और हर के सार्व गुणनखंड से भाग कहते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 30/54 को 6 से घटाया जा सकता है (अर्थात, इसके अंश और हर 6 से विभाजित), जो हमें भिन्न 5/9 तक ले जाएगा।

एक बीजीय अंश की कमी को एक समान क्रिया के रूप में समझा जाता है। बीजीय अंश कम करेंइसके अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करना है। लेकिन यदि किसी साधारण भिन्न के अंश और हर का सार्व गुणनखंड केवल एक संख्या हो सकता है, तो एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड एक बहुपद, विशेष रूप से, एक एकपदी या एक संख्या हो सकता है।

उदाहरण के लिए, एक बीजीय भिन्न को संख्या 3 से घटाया जा सकता है, जो भिन्न देता है . चर x को कम करना भी संभव है, जिसके परिणामस्वरूप व्यंजक होगा . मूल बीजीय भिन्न को एकपदी 3 x, साथ ही किसी भी बहुपद x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y या 3 x 2 +6 x y द्वारा घटाया जा सकता है।

बीजीय अंश को कम करने का अंतिम लक्ष्य एक सरल रूप का अंश प्राप्त करना है, सर्वोत्तम रूप से, एक अपरिवर्तनीय अंश।

क्या कोई बीजीय भिन्न कमी के अधीन है?

हम जानते हैं कि साधारण भिन्नों को उप-विभाजित किया जाता है। इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस में अंश और हर में एकता के अलावा अन्य सामान्य कारक नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें कम नहीं किया जा सकता है।

बीजीय अंशों में सामान्य अंश और हर कारक हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं। सामान्य कारकों की उपस्थिति में, बीजीय अंश को कम करना संभव है। यदि कोई सामान्य कारक नहीं हैं, तो इसकी कमी के माध्यम से बीजीय अंश का सरलीकरण असंभव है।

सामान्य स्थिति में, बीजीय भिन्न के प्रकट होने से, यह निर्धारित करना काफी कठिन है कि क्या इसकी कमी करना संभव है। निस्संदेह, कुछ मामलों में अंश और हर के सामान्य गुणनखंड स्पष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड 3 होता है। यह देखना भी आसान है कि एक बीजीय भिन्न को x, y या तुरंत x·y से घटाया जा सकता है। लेकिन बहुत अधिक बार, बीजीय अंश के अंश और हर का सामान्य कारक तुरंत दिखाई नहीं देता है, और इससे भी अधिक बार, यह बस मौजूद नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक भिन्न को x−1 से कम किया जा सकता है, लेकिन यह सामान्य कारक स्पष्ट रूप से संकेतन में मौजूद नहीं है। और एक बीजीय भिन्न कम नहीं किया जा सकता क्योंकि इसके अंश और हर में सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

सामान्य तौर पर, बीजीय अंश की सिकुड़न का प्रश्न बहुत कठिन होता है। और कभी-कभी यह पता लगाने की तुलना में कि क्या यह अंश प्रारंभिक रूप से कम किया जा सकता है, अपने मूल रूप में बीजीय अंश के साथ काम करके किसी समस्या को हल करना आसान होता है। लेकिन फिर भी, ऐसे परिवर्तन हैं जो कुछ मामलों में, अपेक्षाकृत कम प्रयास के साथ, अंश और हर के सामान्य कारकों को खोजने के लिए, यदि कोई हो, या यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि मूल बीजगणितीय अंश इरेड्यूसेबल है। इस जानकारी का खुलासा अगले पैराग्राफ में किया जाएगा।

बीजीय भिन्न में कमी का नियम

पिछले पैराग्राफ की जानकारी आपको निम्नलिखित को स्वाभाविक रूप से समझने की अनुमति देती है बीजीय भिन्न में कमी नियम, जिसमें दो चरण होते हैं:

• सबसे पहले, मूल भिन्न के अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड पाए जाते हैं;
• यदि कोई हो, तो इन कारकों द्वारा कमी की जाती है।

घोषित नियम के इन चरणों के स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

उभयनिष्ठों को खोजने का सबसे सुविधाजनक तरीका उन बहुपदों का गुणनखंड करना है जो मूल बीजीय भिन्न के अंश और हर में हैं। इस मामले में, अंश और हर के सामान्य कारक तुरंत दिखाई देते हैं, या यह स्पष्ट हो जाता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं।

यदि कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बीजीय भिन्न अपरिमेय है। यदि सामान्य कारक पाए जाते हैं, तो दूसरे चरण में वे कम हो जाते हैं। परिणाम एक सरल रूप का एक नया अंश है।

बीजीय भिन्नों को घटाने का नियम एक बीजीय भिन्न के मुख्य गुण पर आधारित होता है, जिसे समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां a, b और c कुछ बहुपद हैं, और b और c शून्येतर नहीं हैं। पहले चरण में, मूल बीजीय अंश को उस रूप में घटाया जाता है, जिसमें से सामान्य कारक c दिखाई देता है, और दूसरे चरण में, कमी का प्रदर्शन किया जाता है - अंश में संक्रमण।

आइए इस नियम का उपयोग करके उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। उन पर, हम उन सभी संभावित बारीकियों का विश्लेषण करेंगे जो बीजीय अंश के अंश और हर को कारकों और बाद में कमी में विघटित करते समय उत्पन्न होती हैं।

विशिष्ट उदाहरण

पहले आपको बीजीय अंशों की कमी के बारे में कहना होगा, जिनमें से अंश और हर समान हैं। इस तरह के अंश इसमें शामिल चर के संपूर्ण ODZ पर एक समान होते हैं, उदाहरण के लिए,
आदि।

अब यह याद रखने में कोई दिक्कत नहीं है कि साधारण अंशों की कमी कैसे की जाती है - आखिरकार, वे बीजीय अंशों का एक विशेष मामला हैं। एक साधारण भिन्न के अंश और हर में प्राकृतिक संख्याएँ, जिसके बाद सामान्य गुणनखंड कम हो जाते हैं (यदि कोई हो)। उदाहरण के लिए, . समान अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल को अंशों के रूप में लिखा जा सकता है, और जब घटाया जाता है, तो उपयोग किया जाता है। इस मामले में, समाधान इस तरह दिखेगा: यहाँ हमने अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 2 3 से विभाजित किया है। या, अधिक स्पष्टता के लिए, गुणन और भाग के गुणों के आधार पर, समाधान रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

बिल्कुल समान सिद्धांतों के अनुसार, अंश और हर में बीजीय अंशों की कमी की जाती है, जिनमें पूर्णांक गुणांक वाले मोनोमियल होते हैं।

उदाहरण।

बीजीय अंश कम करें .

फेसला।

आप मूल बीजीय भिन्न के अंश और हर को साधारण गुणनखंडों और चरों के गुणनफल के रूप में निरूपित कर सकते हैं और फिर घटाव कर सकते हैं:

लेकिन समाधान को शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखना अधिक तर्कसंगत है:

जवाब:

.

जहां तक ​​अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक वाले बीजगणितीय अंशों की कमी के लिए, आप दो काम कर सकते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग से विभाजित करें, या पहले अंश और हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। हमने लेख में अंतिम परिवर्तन के बारे में बात की, एक बीजीय अंश को एक नए हर में लाया, यह एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण के साथ इससे निपटें।

उदाहरण।

अंश में कमी करें।

फेसला।

आप अंश को इस तरह कम कर सकते हैं: .

और पहले इन गुणांकों के हर से, यानी LCM(5, 10)=10 से अंश और हर को गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाना संभव था। इस मामले में हमारे पास है .

जवाब:

.

आप एक सामान्य रूप के बीजीय भिन्नों पर आगे बढ़ सकते हैं, जिसमें अंश और हर में संख्याएं और एकपदी, साथ ही बहुपद दोनों शामिल हो सकते हैं।

इस तरह के अंशों को कम करते समय, मुख्य समस्या यह है कि अंश और हर का सामान्य कारक हमेशा दिखाई नहीं देता है। इसके अलावा, यह हमेशा मौजूद नहीं होता है। एक सामान्य कारक खोजने के लिए या यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह मौजूद नहीं है, आपको एक बीजीय अंश के अंश और हर का गुणनखंड करना होगा।

उदाहरण।

तर्कसंगत अंश कम करें .

फेसला।

ऐसा करने के लिए, हम अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करते हैं। आइए कोष्ठकों से शुरू करें: . जाहिर है, कोष्ठक के भावों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है

उनके मुख्य गुण के आधार पर: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य बहुपद से विभाजित किया जाता है, तो उसके बराबर भिन्न प्राप्त होगा।

आप केवल गुणकों को कम कर सकते हैं!

बहुपद के सदस्यों को कम नहीं किया जा सकता है!

बीजीय भिन्न को कम करने के लिए, अंश और हर में बहुपदों को पहले गुणनखंडित किया जाना चाहिए।

अंश में कमी के उदाहरणों पर विचार करें।

एक भिन्न के अंश और हर एकपदी होते हैं। वह प्रतिनिधित्व करते हैं काम(संख्याएं, चर और उनकी डिग्री), मल्टीप्लायरोंहम कम कर सकते हैं।

हम संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से घटाते हैं, अर्थात वह सबसे बड़ी संख्या जिससे दी गई प्रत्येक संख्या विभाज्य होती है। 24 और 36 के लिए, यह 12 है। 24 से घटने के बाद, 2 शेष, 36 से - 3।

हम सबसे छोटे संकेतक के साथ डिग्री को डिग्री से कम करते हैं। भिन्न को कम करने का अर्थ है अंश और हर को एक ही भाजक से विभाजित करना और घातांक घटाना।

a² और a⁷ को a² से कम किया जाता है। उसी समय, एक ए² से अंश में रहता है (हम 1 लिखते हैं यदि कमी के बाद कोई अन्य कारक नहीं बचा है। 24 से 2 रहता है, इसलिए हम ए से शेष 1 नहीं लिखते हैं)। कमी के बाद a⁷ से a⁵ रहता है।

b और b को b द्वारा संक्षिप्त किया जाता है, परिणामी इकाइयाँ नहीं लिखी जाती हैं।

c³º और c⁵ c⁵ से कम हो जाते हैं। c³º से, c²⁵ रहता है, c⁵ - यूनिट से (हम इसे नहीं लिखते हैं)। इस प्रकार,

इस बीजीय भिन्न के अंश और हर बहुपद हैं। बहुपद की शर्तों को कम करना असंभव है! (घटाया नहीं जा सकता, उदाहरण के लिए, 8x² और 2x!)। इस अंश को कम करने के लिए यह आवश्यक है। अंश का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 4x है। आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें:

अंश और हर दोनों का गुणनखंड (2x-3) समान है। हम इस कारक से भिन्न को कम करते हैं। हमें अंश में 4x, हर में 1 मिला है। बीजीय भिन्नों के 1 गुण के अनुसार, भिन्न 4x है।

आप केवल गुणनखंडों को कम कर सकते हैं (आप किसी दिए गए भिन्न को 25x² तक कम नहीं कर सकते!)। इसलिए, भिन्न के अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड होना चाहिए।

अंश योग का पूर्ण वर्ग है, और हर वर्गों का अंतर है। संक्षिप्त गुणन के सूत्रों द्वारा विस्तार के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

हम भिन्न को (5x + 1) से कम करते हैं (ऐसा करने के लिए, अंश में दोनों को एक घातांक के रूप में काट दें, (5x + 1) से यह निकल जाएगा (5x + 1)):

अंश में 2 का एक सामान्य गुणनखंड होता है, आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें। हर में - घनों के अंतर का सूत्र:

अंश और हर में विस्तार के परिणामस्वरूप, हमें वही गुणनखंड (9 + 3a + a²) प्राप्त हुआ। हम उस पर अंश कम करते हैं:

अंश के बहुपद में 4 पद होते हैं। दूसरे के साथ पहला पद, चौथा के साथ तीसरा, और हम पहले कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड x² निकालते हैं। हम घनों के योग के सूत्र के अनुसार हर को विघटित करते हैं:

अंश में, हम कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड (x + 2) निकालते हैं:

हम भिन्न को (x + 2) से घटाते हैं:

यह लेख बीजीय अंशों के परिवर्तन के विषय को जारी रखता है: इस तरह की क्रिया को बीजीय अंशों में कमी के रूप में देखें। आइए स्वयं शब्द को परिभाषित करें, संक्षिप्त नाम नियम तैयार करें और व्यावहारिक उदाहरणों का विश्लेषण करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

बीजीय भिन्न का अर्थ

साधारण अंश पर सामग्री में, हमने इसकी कमी पर विचार किया। हमने एक उभयनिष्ठ भिन्न की कमी को उसके अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया है।

बीजगणितीय अंश को कम करना एक समान ऑपरेशन है।

परिभाषा 1

बीजीय अंश में कमीएक सामान्य कारक द्वारा इसके अंश और हर का विभाजन है। इस मामले में, एक साधारण अंश (केवल एक संख्या एक सामान्य हर हो सकती है) की कमी के विपरीत, एक बहुपद, विशेष रूप से, एक मोनोमियल या संख्या, बीजीय अंश के अंश और हर के लिए एक सामान्य कारक के रूप में कार्य कर सकता है।

उदाहरण के लिए, बीजगणितीय भिन्न 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 को संख्या 3 से घटाया जा सकता है, परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. हम उसी भिन्न को चर x से घटा सकते हैं, और इससे हमें व्यंजक 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 प्राप्त होगा। किसी दिए गए भिन्न को एकपदी से घटाना भी संभव है 3 एक्सया कोई भी बहुपद एक्स + 2 वाई, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y या 3 एक्स 2 + 6 एक्स वाई।

बीजीय अंश को कम करने का अंतिम लक्ष्य एक सरल रूप का एक अंश है, सबसे अच्छा एक अपरिवर्तनीय अंश है।

क्या सभी बीजीय भिन्नों में कमी की जा सकती है?

फिर से, साधारण भिन्नों की सामग्री से, हम जानते हैं कि रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस हैं। इरेड्यूसिबल - ये वे भिन्न हैं जिनमें 1 के अलावा अंश और हर के सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

बीजीय भिन्नों के साथ, सब कुछ समान है: उनके अंश और हर के सामान्य गुणनखंड हो भी सकते हैं और नहीं भी। सामान्य कारकों की उपस्थिति आपको कमी के माध्यम से मूल अंश को सरल बनाने की अनुमति देती है। जब कोई सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो कमी विधि द्वारा दिए गए अंश को अनुकूलित करना असंभव है।

सामान्य मामलों में, किसी दिए गए प्रकार के भिन्न के लिए, यह समझना काफी कठिन है कि क्या यह कमी के अधीन है। बेशक, कुछ मामलों में अंश और हर के एक सामान्य कारक की उपस्थिति स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्न 3 · x 2 3 · y में यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य गुणनखंड संख्या 3 है।

एक भिन्न में - x · y 5 · x · y · z 3 हम यह भी तुरंत समझ जाते हैं कि इसे x, या y, या x · y से घटाना संभव है। और फिर भी, बीजीय अंशों के उदाहरण बहुत अधिक सामान्य हैं, जब अंश और हर का सामान्य कारक देखना इतना आसान नहीं है, और इससे भी अधिक बार - यह बस अनुपस्थित है।

उदाहरण के लिए, हम भिन्न x 3 - 1 x 2 - 1 को x -1 से कम कर सकते हैं, जबकि निर्दिष्ट सामान्य कारक रिकॉर्ड में नहीं है। लेकिन भिन्न x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 को कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड नहीं होता है।

इस प्रकार, बीजगणितीय अंश की सिकुड़न का पता लगाने का प्रश्न इतना सरल नहीं है, और यह पता लगाने की कोशिश करने की तुलना में कि क्या यह संविदात्मक है, किसी दिए गए रूप के अंश के साथ काम करना अक्सर आसान होता है। इस मामले में, ऐसे परिवर्तन होते हैं जो विशेष मामलों में हमें अंश और हर के सामान्य कारक को निर्धारित करने या यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि भिन्न अपरिवर्तनीय है। हम लेख के अगले पैराग्राफ में इस मुद्दे का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

बीजीय भिन्न में कमी का नियम

बीजीय भिन्न में कमी का नियमलगातार दो चरणों के होते हैं:

• अंश और हर के सामान्य गुणनखंड ज्ञात करना;
• ऐसा खोजने के मामले में, अंश को कम करने की सीधी कार्रवाई का कार्यान्वयन।

उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने का सबसे सुविधाजनक तरीका किसी दिए गए बीजीय भिन्न के अंश और हर में मौजूद बहुपदों का गुणनखंड करना है। यह आपको सामान्य कारकों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को तुरंत देखने की अनुमति देता है।

एक बीजीय अंश को कम करने की क्रिया एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति पर आधारित होती है, जिसे समानता अपरिभाषित द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां ए, बी, सी कुछ बहुपद हैं, और बी और सी गैर-शून्य हैं। पहला कदम भिन्न को a c b c के रूप में कम करना है, जिसमें हम तुरंत सामान्य कारक c को नोटिस करते हैं। दूसरा चरण कमी करना है, अर्थात। फॉर्म a b के एक अंश में संक्रमण।

विशिष्ट उदाहरण

कुछ स्पष्टता के बावजूद, आइए विशेष मामले के बारे में स्पष्ट करें जब एक बीजीय अंश के अंश और हर बराबर होते हैं। समान भिन्न इस भिन्न के चरों के संपूर्ण ODZ पर समान रूप से 1 के बराबर हैं:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; एक्स एक्स = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

चूँकि साधारण भिन्न बीजगणितीय भिन्नों की एक विशेष स्थिति होती है, आइए हम याद करें कि उन्हें कैसे घटाया जाता है। अंश और हर में लिखी गई प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर सार्व गुणनखंड कम हो जाते हैं (यदि कोई हो)।

उदाहरण के लिए, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

साधारण समान कारकों के उत्पाद को डिग्री के रूप में लिखा जा सकता है, और अंश में कमी की प्रक्रिया में, समान आधारों के साथ अंशों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग करें। तो उपरोक्त समाधान होगा:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित किया जाता है 2 2 3) या, स्पष्टता के लिए, गुणा और भाग के गुणों के आधार पर, हम समाधान को निम्नलिखित रूप देंगे:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

सादृश्य द्वारा, बीजीय अंशों को घटाया जाता है, जिसमें अंश और हर में पूर्णांक गुणांक वाले एकपदी होते हैं।

उदाहरण 1

एक बीजीय भिन्न दिया गया है - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z । इसे कम करने की जरूरत है।

फेसला

किसी दिए गए भिन्न के अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों और चरों के गुणनफल के रूप में लिखना और फिर घटाना संभव है:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

हालांकि, समाधान को शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखने का एक और तर्कसंगत तरीका होगा:

27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 ए 5 बी 2 सी जेड 2 3 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 2 3 ए 5 ए 2 बी 2 बी 2 सी सी 7 जेड जेड = = - 3 3 - 1 2 ए 5 - 2 1 1 1 सी 7 - 1 1 = - 3 2 ए 3 2 सी 6 = - 9 ए 3 2 सी 6।

जवाब:- 27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 9 ए 3 2 सी 6

जब किसी बीजीय भिन्न के अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक होते हैं, तो आगे की कार्रवाई के दो संभावित तरीके होते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करें, या पहले अंश और हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। . अंतिम परिवर्तन एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जाता है (आप इसके बारे में "एक नए भाजक के लिए एक बीजीय अंश को कम करना" लेख में पढ़ सकते हैं)।

उदाहरण 2

भिन्न 2 5 x 0 , 3 x 3 दिया गया है। इसे कम करने की जरूरत है।

फेसला

इस तरह से अंश को कम करना संभव है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

आइए पहले भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के बाद समस्या को अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें - हम इन गुणांकों के हर के कम से कम सामान्य गुणक द्वारा अंश और हर को गुणा करते हैं, अर्थात। प्रति एलसीएम(5, 10) = 10. तब हमें मिलता है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2।

उत्तर: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

जब हम सामान्य बीजीय भिन्नों को कम करते हैं, जिसमें अंश और हर एकपदी और बहुपद दोनों हो सकते हैं, एक समस्या संभव है जब सामान्य कारक हमेशा तुरंत दिखाई नहीं देता है। या इससे भी अधिक, यह बस मौजूद नहीं है। फिर, सामान्य कारक को निर्धारित करने या इसकी अनुपस्थिति के तथ्य को ठीक करने के लिए, बीजीय अंश के अंश और हर को गुणनखंडित किया जाता है।

उदाहरण 3

एक परिमेय भिन्न 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 दिया गया है। इसे छोटा करने की जरूरत है।

फेसला

आइए हम अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करें। आइए कोष्ठक करते हैं:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49)

हम देखते हैं कि कोष्ठक में व्यंजक को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7)

यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक सामान्य कारक द्वारा भिन्न को कम करना संभव है बी 2 (ए + 7). आइए एक कमी करें:

2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

हम समानता की श्रृंखला के रूप में स्पष्टीकरण के बिना एक संक्षिप्त समाधान लिखते हैं:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

जवाब: 2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी।

ऐसा होता है कि सामान्य कारक संख्यात्मक गुणांक द्वारा छिपे होते हैं। फिर, अंशों को कम करते समय, अंश और हर की उच्च शक्तियों पर संख्यात्मक कारकों को निकालना इष्टतम होता है।

उदाहरण 4

एक बीजीय भिन्न 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 दिया गया है। हो सके तो इसे कम करना चाहिए।

फेसला

पहली नज़र में, अंश और हर में एक समान भाजक नहीं होता है। हालांकि, आइए दिए गए भिन्न को बदलने का प्रयास करें। आइए अंश में से गुणनखंड x निकालें:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

अब आप x 2 y के कारण कोष्ठक में दिए गए व्यंजक और हर के व्यंजक में कुछ समानता देख सकते हैं . आइए हम इन बहुपदों की उच्च घातों पर संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = - 2 7 x - 7 10 + एक्स 2 वाई 5 एक्स 2 वाई - 7 10

अब उभयनिष्ठ गुणक दिखाई देता है, हम कटौती करते हैं:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

जवाब: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि परिमेय भिन्नों को कम करने का कौशल बहुपदों को गुणनखंड करने की क्षमता पर निर्भर करता है।

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पहली नज़र में, बीजीय भिन्न बहुत जटिल लगते हैं, और एक अप्रस्तुत छात्र सोच सकता है कि उनके साथ कुछ भी करना असंभव है। चरों, संख्याओं और यहां तक ​​कि शक्तियों का जमा होना भय को प्रेरित करता है। हालांकि, भिन्नों (जैसे 15/25) और बीजीय भिन्नों को कम करने के लिए समान नियमों का उपयोग किया जाता है।

कदम

अंश में कमी

सरल भिन्नों के साथ कार्य करना सीखें। साधारण और बीजीय भिन्नों के साथ संक्रियाएँ समान होती हैं। उदाहरण के लिए, अंश 15/35 लें। इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, एक सामान्य भाजक खोजें. दोनों संख्याएँ पाँच से विभाज्य हैं, इसलिए हम अंश और हर में 5 निकाल सकते हैं:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

अब आप कर सकते हैं सामान्य कारकों को कम करेंयानी अंश और हर में 5 को काट दें। नतीजतन, हमें एक सरलीकृत अंश मिलता है 3/7 . बीजीय व्यंजकों में, सामान्य गुणनखंडों को उसी तरह पहचाना जाता है जैसे सामान्य गुणनखंडों में। पिछले उदाहरण में, हम आसानी से 15 में से 5 निकालने में सक्षम थे - यही सिद्धांत 15x - 5 जैसे अधिक जटिल अभिव्यक्तियों पर लागू होता है। आइए सामान्य कारक खोजें। इस स्थिति में, यह 5 होगा, क्योंकि दोनों पद (15x और -5) 5 से विभाज्य हैं। पहले की तरह, हम सामान्य कारक का चयन करते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं बांई ओर.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

यह जाँचने के लिए कि क्या सब कुछ सही है, कोष्ठक में अभिव्यक्ति को 5 से गुणा करना पर्याप्त है - परिणाम वही संख्याएँ होंगी जो पहले थीं। जटिल शब्दों को उसी तरह से पहचाना जा सकता है जैसे सरल शब्दों में। बीजीय भिन्नों के लिए, सामान्य भिन्नों के समान ही सिद्धांत लागू होते हैं। अंश को कम करने का यह सबसे आसान तरीका है। निम्नलिखित अंश पर विचार करें:

(एक्स+2)(एक्स-3)(एक्स+2)(एक्स+10)

ध्यान दें कि अंश (ऊपर) और हर (नीचे) दोनों में एक पद (x+2) है, इसलिए इसे उसी तरह से घटाया जा सकता है जैसे 15/35 में सामान्य कारक 5:

(एक्स+2) (एक्स-3) → (एक्स-3)(एक्स+2) (एक्स+10) → (एक्स+10)

परिणामस्वरूप, हमें एक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: (x-3)/(x+10)

बीजीय भिन्नों की कमी

अंश के शीर्ष पर, अंश में सामान्य कारक खोजें। बीजगणितीय अंश को कम करते समय, पहला कदम इसके दोनों भागों को सरल बनाना है। अंश से शुरू करें और इसे यथासंभव अधिक से अधिक कारकों में विभाजित करने का प्रयास करें। इस खंड में निम्नलिखित भिन्न पर विचार करें:

9x-3 15x+6

आइए अंश से शुरू करें: 9x - 3. 9x और -3 के लिए, सामान्य कारक संख्या 3 है। आइए 3 कोष्ठकों में से लें, जैसा कि हम साधारण संख्याओं के साथ करते हैं: 3 * (3x-1)। इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित अंश प्राप्त होंगे:

3(3x-1) 15x+6

अंश में उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए। आइए उपरोक्त उदाहरण का निष्पादन जारी रखें और हर को लिखें: 15x+6। पहले की तरह, हम पाते हैं कि दोनों भाग किस संख्या से विभाज्य हैं। और इस स्थिति में उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है, इसलिए हम लिख सकते हैं: 3 * (5x +2)। आइए भिन्न को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें:

3(3x-1) 3(5x+2)

समान शर्तों को कम करें। इस चरण में, आप भिन्न को सरल बना सकते हैं। अंश और हर में समान पदों को रद्द करें। हमारे उदाहरण में, यह संख्या 3 है।

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

निर्धारित करें कि भिन्न का सबसे सरल रूप है। एक अंश पूरी तरह से सरल हो जाता है जब अंश और हर में कोई सामान्य कारक नहीं रहता है। ध्यान दें कि आप उन शब्दों को संक्षिप्त नहीं कर सकते जो कोष्ठक के अंदर हैं - उपरोक्त उदाहरण में, 3x और 5x से x निकालने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि (3x -1) और (5x + 2) पूर्ण सदस्य हैं। इस प्रकार, भिन्न अधिक सरलीकरण के लिए उत्तरदायी नहीं है, और अंतिम उत्तर इस प्रकार है:

(3x-1)(5x+2)

भिन्नों को स्वयं कम करने का अभ्यास करें। विधि सीखने का सबसे अच्छा तरीका है कि आप स्वयं समस्याओं का समाधान करें। उदाहरणों के नीचे सही उत्तर दिए गए हैं।

4(x+2)(x-13)(4x+8)

जवाब:(एक्स = 13)

2x 2-x 5x

जवाब:(2x-1)/5

विशेष चालें

भिन्न में से ऋणात्मक चिह्न को हटा दें। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित भिन्न दिया गया है:

3(x-4) 5(4x)

ध्यान दें कि (x-4) और (4-x) "लगभग" समान हैं, लेकिन उन्हें एकमुश्त रद्द नहीं किया जा सकता क्योंकि वे "फ़्लिप" हैं। हालाँकि, (x - 4) को -1 * (4 - x) के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे (4 + 2x) को 2 * (2 + x) के रूप में लिखा जा सकता है। इसे "साइन रिवर्सल" कहा जाता है।

-1*3(4-x) 5(4x)

अब आप समान पदों को कम कर सकते हैं (4-x):

-1 * 3 (4-एक्स) 5 (4x)

तो यहाँ अंतिम उत्तर है: -3/5 . वर्गों के अंतर को पहचानना सीखें। वर्गों का अंतर तब होता है जब एक संख्या का वर्ग दूसरी संख्या के वर्ग से घटाया जाता है, जैसा कि व्यंजक (a 2 - b 2) में है। पूर्ण वर्गों के अंतर को हमेशा दो भागों में विभाजित किया जा सकता है - योग और संबंधित वर्गमूल का अंतर। तब अभिव्यक्ति निम्नलिखित रूप लेगी:

ए 2 - बी 2 = (ए + बी) (ए-बी)

बीजीय भिन्नों में सामान्य शब्दों की खोज करते समय यह ट्रिक बहुत उपयोगी है।

• जाँच करें कि क्या आपने इस या उस व्यंजक का सही-सही गुणनखण्ड किया है। ऐसा करने के लिए, कारकों को गुणा करें - परिणाम समान अभिव्यक्ति होना चाहिए।
• किसी भिन्न को पूरी तरह से सरल बनाने के लिए, हमेशा सबसे बड़े गुणनखंडों का चयन करें।