खुला कोष्ठक एक संख्या है। कोष्ठक का विस्तार - ज्ञान हाइपरमार्केट

कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाओं को संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ चर के साथ अभिव्यक्तियों में किया जाता है। कोष्ठक वाले व्यंजक से समान रूप से पास करना सुविधाजनक है समान अभिव्यक्तिकोष्ठक के बिना। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।

कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम कोष्ठक के साथ प्रारंभिक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और कोष्ठक खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक के बजाय
3−(5−7) हमें व्यंजक 3−5+7 मिलता है। हम इन दोनों व्यंजकों को समानता 3−(5−7)=3−5+7 के रूप में लिख सकते हैं।

एक और महत्वपूर्ण बिंदु. गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथा है कि यदि किसी व्यंजक में या कोष्ठक में यह पहला है तो धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो सकारात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम +7 + 3 नहीं, बल्कि केवल 7 + 3 लिखते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक सकारात्मक संख्या है। इसी तरह, उदाहरण के लिए, यदि आप देखते हैं, अभिव्यक्ति (5 + x) - पता है कि ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है, और इसके सामने प्लस + ​​(+5 + x) है। पंज।

जोड़ने के लिए ब्रैकेट विस्तार नियम

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस है, तो इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक 2 + (7 + 3) में कोष्ठक खोलिए, कोष्ठक प्लस से पहले, इसका अर्थ है कि कोष्ठक में संख्याओं के सामने के वर्ण नहीं बदलते हैं।

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

घटाते समय कोष्ठक के विस्तार का नियम

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण है, तो यह ऋण कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो पद कोष्ठक में थे, उनके चिह्न को विपरीत में बदल देते हैं। कोष्ठक में पहले पद से पहले एक चिन्ह की अनुपस्थिति का अर्थ है + चिन्ह।

उदाहरण। व्यंजक 2 - (7 + 3) में कोष्ठक खोलें

कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए आपको कोष्ठक से संख्याओं से पहले संकेतों को बदलने की आवश्यकता है। अंक 7 से पहले कोष्ठक में कोई चिन्ह नहीं है, जिसका अर्थ है कि सात धनात्मक है, यह माना जाता है कि + चिन्ह इसके सामने है।

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

कोष्ठक खोलते समय, हम उदाहरण से ऋण को हटाते हैं, जो कोष्ठक से पहले था, और कोष्ठक स्वयं 2 - (+ 7 + 3), और कोष्ठक में मौजूद संकेतों को विपरीत वाले में बदलते हैं।

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

गुणा करते समय कोष्ठक का विस्तार करना

यदि कोष्ठक के सामने गुणन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या को कोष्ठक के सामने के गुणनखंड से गुणा किया जाता है। उसी समय, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करना माइनस देता है।

इस प्रकार, गुणन के वितरण गुण के अनुसार उत्पादों में कोष्ठकों का विस्तार किया जाता है।

उदाहरण। 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

वास्तव में, सभी नियमों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह केवल एक को याद रखने के लिए पर्याप्त है: c(a−b)=ca−cb। क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम (a−b)=a−b प्राप्त होता है। और यदि हम घटा एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम -(a−b)=−a+b प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

विभाजित करते समय कोष्ठक का विस्तार करें

यदि कोष्ठक के बाद एक विभाजन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या कोष्ठक के बाद भाजक द्वारा विभाज्य है, और इसके विपरीत।

उदाहरण। (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

नेस्टेड कोष्ठक का विस्तार कैसे करें

यदि व्यंजक में नेस्टेड कोष्ठक हैं, तो वे बाहरी या आंतरिक से प्रारंभ करते हुए क्रम में विस्तारित होते हैं।

उसी समय, किसी एक कोष्ठक को खोलते समय, यह महत्वपूर्ण है कि अन्य कोष्ठकों को स्पर्श न करें, बस उन्हें वैसे ही फिर से लिखें जैसे वे हैं।

उदाहरण। 12 - (ए + (6 - बी) - 3) = 12 - ए - (6 - बी) + 3 = 12 - ए - 6 + बी + 3 = 9 - ए + बी

कोष्ठक के सामने के चिन्ह को ध्यान में रखते हुए, कोष्ठक खोलने की क्षमता बनाने के लिए;

विकसित होना:

विकास करना तर्कसम्मत सोच, ध्यान, गणितीय भाषण, विश्लेषण करने, तुलना करने, सामान्यीकरण करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता;

शिक्षक:

जिम्मेदारी का गठन, विषय में संज्ञानात्मक रुचि

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

इसे देखें दोस्त
क्या आप सबक के लिए तैयार हैं?
सब कुछ जगह पर है? सबकुछ ठीक है?
कलम, किताब और नोटबुक।
क्या सभी सही बैठे हैं?
क्या हर कोई करीब से देख रहा है?

मैं आपके लिए एक प्रश्न के साथ पाठ की शुरुआत करना चाहता हूं:

आपको क्या लगता है कि पृथ्वी पर सबसे मूल्यवान चीज क्या है? (बच्चों के उत्तर।)

इस सवाल ने हजारों सालों से मानव जाति को परेशान किया है। यहाँ प्रसिद्ध वैज्ञानिक अल-बिरूनी द्वारा दिया गया उत्तर है: “ज्ञान सबसे उत्कृष्ट संपत्ति है। हर कोई इसके लिए प्रयास करता है, लेकिन यह अपने आप नहीं आता है।"

इन शब्दों को हमारे पाठ का आदर्श वाक्य बनने दें।

द्वितीय. पिछले ज्ञान, कौशल, कौशल की प्राप्ति:

मौखिक गणना:

1.1. आज की तारीख क्या है?

2. आप संख्या 20 के बारे में क्या जानते हैं?

3. और यह संख्या निर्देशांक रेखा पर कहाँ स्थित होती है?

4. उसके व्युत्क्रम की संख्या का नाम लिखिए।

5. इसके विपरीत संख्या का नाम लिखिए।

6. संख्या -20 का नाम क्या है?

7. कौन सी संख्याएँ विपरीत कहलाती हैं?

8. किन संख्याओं को ऋणात्मक कहा जाता है?

9. संख्या 20 का मापांक क्या है? - 20?

10. विपरीत संख्याओं का योग क्या है?

2. निम्नलिखित प्रविष्टियों की व्याख्या करें:

a) जीनियस आर्किमिडीज के प्राचीन गणितज्ञ का जन्म 0 287 ईसा पूर्व में हुआ था।

b) शानदार रूसी गणितज्ञ एन.आई. लोबचेव्स्की का जन्म 1792 में हुआ था।

पहली बार ओलिंपिक खेलोंग्रीस में 776 में हुआ था।

d) पहला अंतर्राष्ट्रीय ओलंपिक खेल 1896 में हुआ था।

ई) XXII ओलंपिक शीतकालीन खेल 2014 में हुए थे।

3. पता करें कि "गणित हिंडोला" पर कौन सी संख्याएँ घूम रही हैं (सभी क्रियाएं मौखिक रूप से की जाती हैं)।

द्वितीय. नए ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का निर्माण।

आपने पूर्णांकों के साथ विभिन्न संक्रियाओं को करना सीख लिया है। हम आगे क्या करने जा रहे हैं? हम उदाहरणों और समीकरणों को कैसे हल करेंगे?

आइए जानें इन भावों का अर्थ

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

1 उदाहरण में प्रक्रिया क्या है? कोष्ठक में कितना है? दूसरे उदाहरण में क्रियाओं का क्रम? पहली क्रिया का परिणाम? इन भावों के बारे में क्या कहा जा सकता है?

बेशक, पहले और दूसरे भावों के परिणाम समान हैं, इसलिए आप उनके बीच एक समान चिह्न लगा सकते हैं: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

हमने कोष्ठक के साथ क्या किया है? (खो गया।)

आपको क्या लगता है कि हम आज कक्षा में क्या करेंगे? (बच्चे पाठ का विषय बनाते हैं।) हमारे उदाहरण में, कोष्ठक के सामने कौन सा चिन्ह है। (प्लस।)

और इसलिए हम अगले नियम पर आते हैं:

यदि कोष्ठक से पहले + चिन्ह है, तो आप कोष्ठक में पदों के संकेतों को संरक्षित करते हुए कोष्ठक और इस + चिन्ह को छोड़ सकते हैं। यदि कोष्ठक में पहला पद बिना चिन्ह के लिखा गया है, तो उसे + चिन्ह के साथ लिखा जाना चाहिए।

लेकिन क्या होगा अगर कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है?

इस मामले में, आपको उसी तरह तर्क करने की आवश्यकता है जैसे घटाते समय: आपको घटाए जाने वाले के विपरीत संख्या जोड़ने की आवश्यकता है:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- तो, ​​हमने कोष्ठक खोले जब उनके सामने ऋण चिह्न था।

कोष्ठक के आगे "-" चिन्ह होने पर कोष्ठक के विस्तार का नियम।

- चिह्न से पहले वाले कोष्ठकों को खोलने के लिए, आपको इस चिह्न को + से बदलना होगा, कोष्ठक के सभी पदों के चिह्नों को विपरीत दिशा में बदलना होगा, और फिर कोष्ठकों को खोलना होगा।

आइए छंदों में कोष्ठक खोलने के नियमों को सुनें:

कोष्ठक के सामने एक प्लस है।
वह इसके बारे में बात करता है
आप कोष्ठक क्या छोड़ रहे हैं
सभी संकेतों को बाहर आने दो!
कोष्ठक से पहले ऋण सख्त
हमारा रास्ता रोक देंगे
कोष्ठक हटाने के लिए
हमें संकेतों को बदलने की जरूरत है!

हां, दोस्तों, माइनस साइन बहुत कपटी है, यह गेट (कोष्ठक) पर एक "चौकीदार" है, यह संख्या और चर तभी जारी करता है जब वे अपना "पासपोर्ट", यानी उनके संकेत बदलते हैं।

आपको कोष्ठक खोलने की बिल्कुल आवश्यकता क्यों है? (जब कोष्ठक होते हैं, तो अपूर्णता के किसी तत्व का क्षण होता है, किसी प्रकार का रहस्य। यह पसंद है बंद दरवाज़ा, जिसके पीछे कुछ दिलचस्प है।) आज हमने यह रहस्य जान लिया है।

इतिहास में एक छोटा विषयांतर:

वियत (1593) के लेखन में घुंघराले कोष्ठक दिखाई देते हैं। 18 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में ही ब्रैकेट का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था, लीबनिज़ के लिए धन्यवाद और इससे भी अधिक यूलर के लिए धन्यवाद।

फ़िज़्कुल्टमिनुत्का।

III. नए ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का समेकन।

पाठ्यपुस्तक कार्य:

संख्या 1234 (खुले कोष्ठक) - मौखिक रूप से।

संख्या 1236 (खुले कोष्ठक) - मौखिक रूप से।

संख्या 1235 (अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें) - लिखित रूप में।

नंबर 1238 (व्यंजनों को सरल बनाएं) - जोड़े में काम करें।

चतुर्थ। पाठ को सारांशित करना।

1. स्कोर की घोषणा की जाती है।

2. घर। व्यायाम। 39 नंबर 1254 (ए, बी, सी), 1255 (ए, बी, सी), 1259।

3. आज हमने क्या सीखा?

आपने क्या सीखा?

और मैं आप में से प्रत्येक के लिए शुभकामनाओं के साथ पाठ समाप्त करना चाहता हूं:

"गणित की क्षमता दिखाओ,
आलसी मत बनो, लेकिन दैनिक विकास करो।
गुणा करें, विभाजित करें, श्रम करें, सोचें,
गणित से दोस्ती करना न भूलें।

कोष्ठक का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन व्यंजक \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में योग की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें: \(-(4m+3)\)।
फेसला : \(-(4m+3)=-4m-3\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(5-(3x+2)+(2+3x)\)।
फेसला : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\)।
फेसला : हमारे पास ब्रैकेट में \(3\) और \(-x\) और ब्रैकेट के सामने पांच हैं। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न को अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\)।
फेसला : पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक को सरल कीजिए: \(5(x+y)-2(x-y)\)।
फेसला : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)।

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
फेसला : हमारे पास कोष्ठक का एक गुणनफल है और इसे ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए कदम से कदम मिलाकर सब कुछ करें।
चरण 1। पहला ब्रैकेट निकालें - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे ब्रैकेट से गुणा किया जाता है:

चरण 2. कोष्ठक के गुणनफल को ऊपर बताए अनुसार गुणनखंड द्वारा विस्तारित करें:
- पहले वाला पहला...

फिर दूसरा।

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पदों को लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \((a-b)=a-b\) प्राप्त होता है। और यदि हम ऋणात्मक एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों में नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: व्यंजक \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाने के लिए।

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के घोंसले को ध्यान से समझें - कौन सा है जिसमें;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ शुरू करना।

कोष्ठकों में से किसी एक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को मत छुओ, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए उपरोक्त कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण। कोष्ठक खोलिए और समान पद \(7x+2(5-(3x+y))\) दीजिए।
फेसला:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)।
फेसला :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		यह कोष्ठकों का ट्रिपल नेस्टिंग है। हम अंतरतम से शुरू करते हैं (हरे रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक प्लस है, इसलिए इसे आसानी से हटा दिया जाता है।
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		अब आपको दूसरा ब्रैकेट खोलने की जरूरत है, इंटरमीडिएट। लेकिन उससे पहले, हम इस दूसरे ब्रैकेट में समान शब्दों को घोस्ट करके व्यंजक को सरल बना देंगे।
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		अब हम दूसरा ब्रैकेट खोलते हैं (नीले रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक गुणक होता है - इसलिए कोष्ठक में प्रत्येक पद को इससे गुणा किया जाता है।
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		और अंतिम कोष्ठक खोलें। ब्रैकेट माइनस से पहले - तो सभी संकेत उलट जाते हैं।

ब्रैकेट खोलना गणित में एक बुनियादी कौशल है। इस कौशल के बिना, ग्रेड 8 और 9 में तीन से ऊपर का ग्रेड होना असंभव है। इसलिए, मैं इस विषय की अच्छी समझ की सलाह देता हूं।

इस लेख में, हम गणित पाठ्यक्रम में प्रारंभिक कोष्ठक जैसे महत्वपूर्ण विषय के लिए बुनियादी नियमों पर विस्तार से विचार करेंगे। आपको उन समीकरणों को सही ढंग से हल करने के लिए कोष्ठक खोलने के नियमों को जानना होगा जिनमें उनका उपयोग किया जाता है।

जोड़ते समय कोष्ठक को ठीक से कैसे खोलें

"+" चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करें

यह सबसे सरल मामला है, क्योंकि यदि कोष्ठक के सामने एक जोड़ चिह्न है, जब कोष्ठक खोले जाते हैं, तो उनके अंदर के संकेत नहीं बदलते हैं। उदाहरण:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

"-" चिन्ह से पहले कोष्ठक कैसे खोलें

इस मामले में, आपको कोष्ठक के बिना सभी शब्दों को फिर से लिखना होगा, लेकिन साथ ही उनके अंदर के सभी संकेतों को विपरीत में बदलना होगा। संकेत केवल उन कोष्ठकों की शर्तों के लिए बदलते हैं जो "-" चिह्न से पहले थे। उदाहरण:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

गुणा करते समय कोष्ठक कैसे खोलें

कोष्ठक एक गुणक से पहले होते हैं

इस मामले में, आपको प्रत्येक पद को एक गुणनखंड से गुणा करना होगा और चिह्नों को बदले बिना कोष्ठकों को खोलना होगा। यदि गुणक का चिन्ह "-" है, तो गुणा करने पर पदों के चिन्ह उलट जाते हैं। उदाहरण:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

उनके बीच गुणन चिह्न के साथ दो कोष्ठक कैसे खोलें

इस मामले में, आपको पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा। उदाहरण:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

एक वर्ग में कोष्ठक कैसे खोलें

यदि दो पदों के योग या अंतर को चुकता किया जाता है, तो कोष्ठकों को निम्नलिखित सूत्र के अनुसार विस्तारित किया जाना चाहिए:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2।

कोष्ठक के अंदर ऋणात्मक होने की स्थिति में, सूत्र नहीं बदलता है। उदाहरण:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

एक अलग डिग्री में कोष्ठक कैसे खोलें

यदि शब्दों का योग या अंतर बढ़ा दिया जाता है, उदाहरण के लिए, तीसरी या चौथी शक्ति तक, तो आपको बस ब्रैकेट की डिग्री को "वर्गों" में तोड़ने की जरूरत है। समान कारकों की शक्तियों को जोड़ा जाता है, और विभाजित करते समय, भाजक की डिग्री को लाभांश की डिग्री से घटाया जाता है। उदाहरण:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 कोष्ठक कैसे खोलें

ऐसे समीकरण हैं जिनमें 3 कोष्ठक एक साथ गुणा किए जाते हैं। इस स्थिति में, आपको पहले पहले दो कोष्ठकों के पदों को आपस में गुणा करना होगा, और फिर इस गुणन के योग को तीसरे कोष्ठक के पदों से गुणा करना होगा। उदाहरण:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

ये ब्रैकेट खोलने के नियम रैखिक और त्रिकोणमितीय समीकरणों दोनों पर समान रूप से लागू होते हैं।

ब्रैकेट विस्तार एक प्रकार का अभिव्यक्ति परिवर्तन है। इस खंड में, हम कोष्ठक के विस्तार के नियमों का वर्णन करेंगे, साथ ही समस्याओं के सबसे सामान्य उदाहरणों पर विचार करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

कोष्ठक विस्तार क्या है?

कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाओं को संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ चर के साथ अभिव्यक्तियों में किया जाता है। कोष्ठक वाले व्यंजक से कोष्ठक के बिना समान रूप से समान व्यंजक में जाना सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 (3 + 4) को इस प्रकार के व्यंजक से बदलें 2 3 + 2 4कोष्ठक के बिना। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।

परिभाषा 1

कोष्ठक के उद्घाटन के तहत, हमारा मतलब कोष्ठक से छुटकारा पाने के तरीकों से है और आमतौर पर उन भावों के संबंध में माना जाता है जिनमें निम्न शामिल हो सकते हैं:

• संकेत "+" या "-" कोष्ठक के सामने जिसमें योग या अंतर होते हैं;
• एक संख्या, अक्षर या कई अक्षरों का गुणनफल, और योग या अंतर, जिसे कोष्ठक में रखा जाता है।

इस प्रकार हम पाठ्यक्रम में कोष्ठकों के विस्तार की प्रक्रिया पर विचार करते थे स्कूल के पाठ्यक्रम. हालांकि, हमें इस कार्रवाई को अधिक व्यापक रूप से देखने से कोई नहीं रोकता है। हम कोष्ठक विस्तार को एक ऐसे व्यंजक से संक्रमण कह सकते हैं जिसमें कोष्ठकों में ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं और ऐसे व्यंजक होते हैं जिनमें कोष्ठक नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, हम 5 + (- 3) - (- 7) से 5 - 3 + 7 तक जा सकते हैं। वास्तव में, यह भी कोष्ठक विस्तार है।

इसी तरह, हम फॉर्म (a + b) · (c + d) के कोष्ठकों में व्यंजकों के गुणनफल को a · c + a · d + b · c + b · d के योग से बदल सकते हैं। यह तकनीक भी कोष्ठक विस्तार के अर्थ का खंडन नहीं करती है।

यहाँ एक और उदाहरण है। हम मान सकते हैं कि व्यंजकों में संख्याओं और चरों के स्थान पर किसी व्यंजक का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक x 2 1 a - x + sin (b) x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) के रूप के कोष्ठकों के बिना एक व्यंजक के संगत होगा।

एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम कोष्ठक के साथ प्रारंभिक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और कोष्ठक खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक के बजाय 3 − (5 − 7) हमें अभिव्यक्ति मिलती है 3 − 5 + 7 . इन दोनों व्यंजकों को हम समानता 3 - (5 - 7) = 3 - 5 + 7 के रूप में लिख सकते हैं।

बोझिल अभिव्यक्तियों के साथ कार्रवाई करने के लिए मध्यवर्ती परिणाम रिकॉर्ड करने की आवश्यकता हो सकती है। तब समाधान में समानता की एक श्रृंखला का रूप होगा। उदाहरण के लिए, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 या 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

कोष्ठक खोलने के नियम, उदाहरण

आइए कोष्ठक खोलने के नियमों से शुरू करें।

कोष्ठक में एकल संख्या

कोष्ठकों में ऋणात्मक संख्याएँ अक्सर व्यंजकों में दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए, (- 4) और 3 + (- 4)। कोष्ठक में धनात्मक अंक भी आते हैं।

आइए हम उन कोष्ठकों को खोलने का नियम बनाते हैं जिनमें एकल धनात्मक संख्याएँ होती हैं। मान लीजिए a कोई धनात्मक संख्या है। तब हम (a) को a से, + (a) को + a से, - (a) को - a से बदल सकते हैं। यदि a के स्थान पर हम एक विशिष्ट संख्या लेते हैं, तो नियम के अनुसार संख्या (5) को इस प्रकार लिखा जाएगा 5 , व्यंजक 3 + (5) बिना कोष्ठक के रूप लेगा 3 + 5 , चूंकि + (5) को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है + 5 , और व्यंजक 3 + (- 5) व्यंजक . के समतुल्य है 3 − 5 , जैसा + (− 5) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है − 5 .

सकारात्मक संख्याएं आमतौर पर कोष्ठक का उपयोग किए बिना लिखी जाती हैं, क्योंकि इस मामले में कोष्ठक बेमानी हैं।

अब उन कोष्ठकों को खोलने के नियम पर विचार करें जिनमें एक ऋणात्मक संख्या है। + (-ए)हम इसके साथ प्रतिस्थापित करते हैं - ए, - (- a) को + a से बदल दिया जाता है। यदि व्यंजक एक ऋणात्मक संख्या से प्रारंभ होता है (-ए), जो कोष्ठकों में लिखा जाता है, तब कोष्ठकों को छोड़ दिया जाता है और के स्थान पर (-ए)खंडहर - ए.

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: (− 5) को − 5 , (− 3) + 0 , 5 बन जाता है − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) के रूप में लिखा जा सकता है 4 − 3 , और - (- 4) - (- 3) कोष्ठक खोलने के बाद 4 + 3 का रूप लेता है, क्योंकि - (- 4) और - (- 3) + 4 और + 3 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यह समझा जाना चाहिए कि व्यंजक 3 · (- 5) को 3 · - 5 के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इस पर निम्नलिखित पैराग्राफों में चर्चा की जाएगी।

आइए देखें कि कोष्ठक विस्तार नियम किस पर आधारित हैं।

नियम के अनुसार, अंतर a - b बराबर है a + (- b) । संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणों के आधार पर, हम समानता की एक श्रृंखला बना सकते हैं (ए + (- बी)) + बी = ए + ((- बी) + बी) = ए + 0 = एजो न्यायसंगत होगा। समानता की यह श्रृंखला, घटाव के अर्थ के आधार पर, यह साबित करती है कि व्यंजक a + (- b) अंतर है ए-बी.

विपरीत संख्याओं के गुणों और ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के नियमों के आधार पर, हम यह कह सकते हैं कि - (- a) = a , a - (- b) = a + b ।

ऐसे भाव हैं जो एक संख्या, ऋण चिह्न और कई जोड़े कोष्ठक से बने होते हैं। उपरोक्त नियमों का उपयोग करने से आप क्रमिक रूप से कोष्ठक से छुटकारा पा सकते हैं, आंतरिक कोष्ठक से बाहरी कोष्ठक में जा सकते हैं या इसके विपरीत। ऐसे व्यंजक का एक उदाहरण होगा - (- ((- (5)))) । आइए अंदर से बाहर की ओर बढ़ते हुए कोष्ठक खोलें: - (- ((- (5)))) = - (- ((- 5))) = - (- (- 5)) = - (5) = - 5। इस उदाहरण को रिवर्स में भी पार्स किया जा सकता है: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

नीचे एऔर बी को न केवल संख्याओं के रूप में समझा जा सकता है, बल्कि मनमाना संख्यात्मक या के रूप में भी समझा जा सकता है शाब्दिक भावसामने "+" के साथ जो रकम या अंतर नहीं है। इन सभी मामलों में, आप नियमों को उसी तरह लागू कर सकते हैं जैसे हमने कोष्ठक में एकल संख्याओं के साथ किया था।

उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक - (-2 x) - (x 2) + (-1 x) - (2 x y 2: z) 2 x - x 2 - 1 x - 2 x y 2: z का रूप लेता है। हम इसे कैसे करेंगे? हम जानते हैं कि − (− 2 x) + 2 x है, और चूंकि यह व्यंजक पहले आता है, तो + 2 x को 2 x के रूप में लिखा जा सकता है, - (एक्स 2) = - एक्स 2, + (− 1 एक्स) = - 1 एक्स और - (2 x y 2: z) = - 2 x y 2: z.

दो संख्याओं के गुणनफल में

आइए दो संख्याओं के गुणनफल में कोष्ठक के विस्तार के नियम से शुरू करें।

चलो दिखावा करते हैं कि एऔर b दो धनात्मक संख्याएँ हैं। इस स्थिति में, दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल - एऔर - b फॉर्म के (- a) (- b) को (a b) से बदला जा सकता है, और फॉर्म (- a) b और a (- b) के विपरीत चिह्नों वाली दो संख्याओं के गुणनफल को द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है (- ए बी). माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करना माइनस देता है।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम द्वारा लिखित नियम के पहले भाग की शुद्धता की पुष्टि की जाती है। नियम के दूसरे भाग की पुष्टि करने के लिए, हम संख्याओं को गुणा करने के लिए नियमों का उपयोग कर सकते हैं विभिन्न संकेत.

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दो ऋणात्मक संख्याओं - 4 3 5 और - 2 के गुणनफल में (- 2) · - 4 3 5 के गुणनफल में कोष्ठक खोलने के लिए एल्गोरिथम पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हम मूल व्यंजक को 2 · 4 3 5 से बदल देते हैं। आइए कोष्ठकों का विस्तार करें और 2 · 4 3 5 प्राप्त करें।

और यदि हम ऋणात्मक संख्याओं (− 4) : (− 2) का भागफल लें, तो कोष्ठक खोलने के बाद रिकॉर्ड 4: 2 जैसा दिखेगा।

ऋणात्मक संख्याओं के बजाय - एऔर − b प्रमुख ऋण चिह्न के साथ कोई भी व्यंजक हो सकता है जो योग या अंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, ये उत्पाद, आंशिक, भिन्न, अंश, मूल, लघुगणक, हो सकते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यआदि।

आइए व्यंजक - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) में कोष्ठक खोलें। नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित परिवर्तन कर सकते हैं: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 ।

अभिव्यक्ति (- 3) 2व्यंजक (- 3 2) में परिवर्तित किया जा सकता है। उसके बाद, आप कोष्ठक खोल सकते हैं: - 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने के लिए कोष्ठकों के प्रारंभिक विस्तार की भी आवश्यकता हो सकती है: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 और 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5।

इस नियम का प्रयोग विभिन्न चिन्हों के साथ व्यंजकों का गुणन और विभाजन करने के लिए किया जा सकता है। आइए दो उदाहरण दें।

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

पाप (x) (- x 2) \u003d (- पाप (x) x 2) \u003d - पाप (x) x 2

तीन या अधिक संख्याओं के गुणनफल में

आइए उत्पाद और भागफल पर चलते हैं, जिसमें शामिल हैं बड़ी मात्रासंख्याएं। कोष्ठकों का विस्तार करने के लिए, यहाँ कार्य करेगा अगला नियम. पर सम संख्याऋणात्मक संख्याएँ, आप कोष्ठकों को छोड़ सकते हैं, संख्याओं को उनके विपरीत के साथ बदल सकते हैं। उसके बाद, आपको परिणामी अभिव्यक्ति को नए कोष्ठक में संलग्न करना होगा। विषम संख्या में ऋणात्मक संख्याओं के लिए, कोष्ठकों को छोड़ कर, संख्याओं को उनके विपरीत से बदलें। उसके बाद, परिणामी व्यंजक को नए कोष्ठकों में लिया जाना चाहिए और उसके सामने ऋण चिह्न लगाना चाहिए।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 5 · (- 3) · (- 2) लें, जो तीन संख्याओं का गुणनफल है। दो ऋणात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं (5 3 2) और फिर अंत में कोष्ठक खोलें, जिससे व्यंजक 5 3 2 प्राप्त होता है।

गुणनफल में (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) पांच अंक ऋणात्मक हैं। इसलिए (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1, 25: 1)। अंत में कोष्ठकों को खोलने पर, हमें प्राप्त होता है -2.5 3:2 4:1.25:1.

उपरोक्त नियम को निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। सबसे पहले, हम ऐसे व्यंजकों को एक उत्पाद के रूप में फिर से लिख सकते हैं, विभाजन को व्युत्क्रम से गुणा करके बदल सकते हैं। हम प्रत्येक ऋणात्मक संख्या को गुणक के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं और - 1 या - 1 को से प्रतिस्थापित करते हैं (- 1) ए.

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करते हुए, हम गुणनखंडों की अदला-बदली करते हैं और सभी गुणनखंडों को के बराबर स्थानान्तरित करते हैं − 1 , अभिव्यक्ति की शुरुआत के लिए। एक सम संख्या माइनस वाले का गुणनफल 1 के बराबर होता है, और एक विषम संख्या बराबर होती है − 1 , जो हमें ऋण चिह्न का उपयोग करने की अनुमति देता है।

यदि हम नियम का उपयोग नहीं करते हैं, तो अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलने के लिए क्रियाओं की श्रृंखला - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 इस तरह दिखेगी:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

उपरोक्त नियम का उपयोग ऐसे भावों में कोष्ठक का विस्तार करते समय किया जा सकता है जो उत्पाद हैं और एक ऋण चिह्न के साथ भागफल जो योग या अंतर नहीं हैं। उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति लें

एक्स 2 (- एक्स): (- 1 एक्स) एक्स - 3: 2।

इसे बिना कोष्ठक x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 के व्यंजक में घटाया जा सकता है।

+ चिह्न . से पहले कोष्ठक खोलना

एक ऐसे नियम पर विचार करें जो उन कोष्ठकों का विस्तार करने के लिए लागू किया जा सकता है जो एक प्लस चिह्न से पहले होते हैं और उन कोष्ठकों की "सामग्री" को किसी भी संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा या विभाजित नहीं किया जाता है।

नियम के अनुसार, कोष्ठकों को उनके सामने के चिन्ह के साथ छोड़ दिया जाता है, जबकि कोष्ठक में सभी पदों के चिन्ह संरक्षित रहते हैं। यदि कोष्ठक में पहले पद के सामने कोई चिन्ह नहीं है, तो आपको धन का चिह्न लगाना होगा।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, हम व्यंजक देते हैं (12 − 3 , 5) − 7 . कोष्ठकों को हटाकर हम कोष्ठक में पदों के चिन्ह रखते हैं और पहले पद के आगे धन का चिन्ह लगाते हैं। प्रविष्टि इस प्रकार दिखाई देगी (12 − ​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 । उपरोक्त उदाहरण में, पहले पद के सामने चिन्ह लगाना आवश्यक नहीं है, क्योंकि +12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7।

उदाहरण 4

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। व्यंजक x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x लें और इसके साथ क्रिया करें x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

कोष्ठकों का विस्तार करने का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

उदाहरण 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार कैसे करें

उन मामलों पर विचार करें जहां कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, और जो किसी भी संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा (या विभाजित) नहीं हैं। "-" चिह्न से पहले कोष्ठक के विस्तार के नियम के अनुसार, "-" चिह्न वाले कोष्ठकों को छोड़ दिया जाता है, जबकि कोष्ठक के अंदर सभी शब्दों के चिह्न उलट दिए जाते हैं।

उदाहरण 6

उदाहरण के लिए:

1 2 \u003d 1 2, - 1 एक्स + 1 \u003d - 1 एक्स + 1, - (- एक्स 2) \u003d एक्स 2

चर अभिव्यक्तियों को उसी नियम का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

एक्स + एक्स 3 - 3 - - 2 एक्स 2 + 3 एक्स 3 एक्स + 1 एक्स - 1 - एक्स + 2,

हमें x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 प्राप्त होता है।

किसी संख्या को कोष्ठक से गुणा करते समय कोष्ठक खोलना, कोष्ठक द्वारा व्यंजक

यहां हम उन मामलों पर विचार करेंगे जब किसी संख्या या व्यंजक से गुणा या भाग करने वाले कोष्ठकों को खोलना आवश्यक हो। यहां फॉर्म के फॉर्मूले (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) या बी (ए 1 ± ए 2 ± … ± ए एन) = (बी ए 1 ± बी ए 2 ± … ± बी ए एन), कहाँ पे ए 1 , ए 2 ,… , ए एनऔर b कुछ संख्याएँ या व्यंजक हैं।

उदाहरण 7

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें (3 - 7) 2. नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित परिवर्तन कर सकते हैं: (3 - 7) 2 = (3 2 - 7 2)। हमें 3 · 2 - 7 · 2 मिलता है।

व्यंजक 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 में कोष्ठकों का विस्तार करने पर, हमें 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2 प्राप्त होता है।

एक कोष्ठक को एक कोष्ठक से गुणा करें

फॉर्म (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) के दो कोष्ठकों के गुणनफल पर विचार करें। यह हमें कोष्ठकों को कोष्ठक से गुणा करते समय कोष्ठकों के विस्तार के लिए एक नियम प्राप्त करने में मदद करेगा।

उपरोक्त उदाहरण को हल करने के लिए, हम व्यंजक को निरूपित करते हैं (बी 1 + बी 2)जैसे बी. यह हमें कोष्ठक-अभिव्यक्ति गुणन नियम का उपयोग करने की अनुमति देगा। हम प्राप्त करते हैं (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b। रिवर्स प्रतिस्थापन करके बीपर (बी 1 + बी 2), फिर से ब्रैकेट द्वारा अभिव्यक्ति को गुणा करने के लिए नियम लागू करें: ए 1 बी + ए 2 बी = = ए 1 (बी 1 + बी 2) + ए 2 (बी 1 + बी 2) = = (ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2) + (ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2) = = ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2 + ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2

कई सरल तरकीबों के लिए धन्यवाद, हम पहले कोष्ठक से प्रत्येक पद के गुणनफल और दूसरे कोष्ठक से प्रत्येक पद का योग प्राप्त कर सकते हैं। नियम को कोष्ठक के भीतर कितने भी पदों तक बढ़ाया जा सकता है।

आइए हम कोष्ठकों द्वारा कोष्ठकों को गुणा करने के नियम बनाते हैं: दो योगों को आपस में गुणा करने के लिए, पहले योग के प्रत्येक पद को दूसरे योग के प्रत्येक पद से गुणा करना और परिणाम जोड़ना आवश्यक है।

सूत्र इस तरह दिखेगा:

(ए 1 + ए 2 + ... + ए एम) (बी 1 + बी 2 + ... + बी एन) = = ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2 +। . . + ए 1 बी एन + + ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2 +। . . + ए 2 बी एन + +। . . + + ए एम बी 1 + ए एम बी 1 +। . . एक एम बी नहीं

आइए व्यंजक (1 + x) · (x 2 + x + 6) में कोष्ठकों का विस्तार करें यह दो योगों का गुणनफल है। आइए समाधान लिखें: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + एक्स एक्स 2 + एक्स एक्स + एक्स 6

अलग-अलग, यह उन मामलों पर ध्यान देने योग्य है जब कोष्ठक में प्लस चिह्नों के साथ ऋण चिह्न होता है। उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) लें।

सबसे पहले, हम कोष्ठक में व्यंजकों को योग के रूप में निरूपित करते हैं: (1 + (- x)) (3 x y + (-2 x y 3)). अब हम नियम लागू कर सकते हैं: (1 + (- x)) (3 x y + (-2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (-2 x y 3) + (- x) 3 x y + ( - x) (-2 x y 3))

आइए कोष्ठकों का विस्तार करें: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 ।

अनेक कोष्ठकों और व्यंजकों के गुणनफलों में कोष्ठकों का विस्तार

यदि व्यंजक में कोष्ठकों में तीन या अधिक व्यंजक हैं, तो कोष्ठकों का क्रमिक रूप से विस्तार करना आवश्यक है। परिवर्तन को इस तथ्य से शुरू करना आवश्यक है कि पहले दो कारकों को कोष्ठक में लिया गया है। इन कोष्ठकों के अंदर, हम ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार परिवर्तन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक (2 + 4) 3 (5 + 7 8) में कोष्ठक।

व्यंजक में एक साथ तीन कारक होते हैं (2 + 4) , 3 और (5 + 7 8)। हम क्रमिक रूप से कोष्ठक का विस्तार करेंगे। हम पहले दो कारकों को एक और कोष्ठक में संलग्न करते हैं, जिन्हें हम स्पष्टता के लिए लाल कर देंगे: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

एक कोष्ठक को किसी संख्या से गुणा करने के नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित क्रियाएं कर सकते हैं: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) ।

ब्रैकेट द्वारा ब्रैकेट गुणा करें: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8।

प्रकार में कोष्ठक

डिग्रियाँ, जिनके आधार कोष्ठक में लिखे गए कुछ भाव हैं, प्राकृतिक घातांक के साथ कई कोष्ठकों के उत्पाद के रूप में माने जा सकते हैं। इसके अलावा, पिछले दो पैराग्राफ के नियमों के अनुसार, उन्हें इन कोष्ठकों के बिना लिखा जा सकता है।

व्यंजक को रूपांतरित करने की प्रक्रिया पर विचार करें (ए + बी + सी) 2। इसे दो कोष्ठकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है (ए + बी + सी) (ए + बी + सी). हम कोष्ठक को कोष्ठक से गुणा करते हैं और a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c प्राप्त करते हैं।

आइए एक और उदाहरण लें:

उदाहरण 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

एक कोष्ठक को एक संख्या से और एक कोष्ठक को एक कोष्ठक द्वारा विभाजित करना

एक कोष्ठक को किसी संख्या से विभाजित करने से पता चलता है कि आपको कोष्ठक में संलग्न सभी पदों को संख्या से विभाजित करना होगा। उदाहरण के लिए, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4।

विभाजन को पहले गुणा से बदला जा सकता है, जिसके बाद आप उपयोग कर सकते हैं उपयुक्त नियमकिसी कार्य में कोष्ठक खोलना। कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को विभाजित करते समय भी यही नियम लागू होता है।

उदाहरण के लिए, हमें व्यंजक (x + 2) : 2 3 में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, पहले भाग को (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 के व्युत्क्रम से गुणा करके प्रतिस्थापित करें। कोष्ठक को संख्या (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 से गुणा करें।

कोष्ठक विभाजन का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

उदाहरण 9

1 एक्स + एक्स + 1: (एक्स + 2)।

आइए भाग को गुणन से बदलें: 1 x + x + 1 1 x + 2 ।

आइए गुणा करें: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 ।

ब्रैकेट विस्तार आदेश

अब भावों में ऊपर चर्चा किए गए नियमों के लागू होने के क्रम पर विचार करें सामान्य दृष्टि से, अर्थात। ऐसे भावों में जिनमें अंतर के साथ योग, भागफल वाले उत्पाद, प्रकार में कोष्ठक होते हैं।

क्रियाओं का क्रम:

• पहला कदम कोष्ठकों को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना है;
• दूसरे चरण में, कोष्ठक कार्यों और निजी में खोले जाते हैं;
• अंतिम चरण कोष्ठक को योग और अंतर में खोलना है।

आइए व्यंजक (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) के उदाहरण का उपयोग करके क्रियाओं के क्रम पर विचार करें। आइए हम व्यंजकों 3 (- 2) : (- 4) और 6 (- 7) से रूपांतरित करें, जिन्हें रूप लेना चाहिए (3 2:4)और (- 6 7) । प्राप्त परिणामों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) – (− 6 7 ) कोष्ठक का विस्तार करें: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 ।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक वाले भावों के साथ व्यवहार करते समय, अंदर से बाहर परिवर्तन करना सुविधाजनक होता है।

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