समान आधार वाले लघुगणक का अंतर। लघुगणक के गुण और उनके समाधान के उदाहरण

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जोड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां सरल जोड़ के लिए बोझिल गुणा को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट का समय लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे कार्य करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लॉगरिदम निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति है: लॉग ए बी = सी, यानी, किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का लघुगणक (यानी कोई भी सकारात्मक) "बी" इसके आधार "ए" द्वारा "सी" की शक्ति माना जाता है। , जिससे आधार "ए" उठाया जाना चाहिए, ताकि अंत में "बी" मान प्राप्त हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक व्यंजक है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत आसान है, आपको इतनी डिग्री ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8 मिले। कुछ गणना करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही है, क्योंकि 2 का घात 3 उत्तर में 8 अंक देता है।

लघुगणक की किस्में

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में, लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना। लघुगणकीय व्यंजक तीन प्रकार के होते हैं:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव a, जहाँ आधार 10 है।
3. आधार a>1 से किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लॉगरिदमिक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एक लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं से सम मूल लेना भी असंभव है। लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि लंबी और विशाल लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के साथ भी कैसे काम किया जाए:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और साथ ही 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री तक हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने का कार्य दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको दस की संख्या बढ़ाकर ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है जिससे हमें 100 मिले। यह निश्चित रूप से 10 2 है। \u003d 100.

अब इस व्यंजक को लघुगणक के रूप में निरूपित करते हैं। हमें लॉग 10 100 = 2 मिलता है। लॉगरिदम को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लॉगरिदम का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ घातांक का सहज रूप से अनुमान लगाया जा सकता है यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है। हालांकि, बड़े मूल्यों के लिए पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग उनके द्वारा भी किया जा सकता है जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है, जिससे संख्या a उठाई जाती है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर संख्याओं का मान निर्धारित किया जाता है, जो उत्तर (a c =b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 के साथ बहुत पहले सेल को लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारे दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे वास्तविक मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानता

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक व्यंजक को लघुगणक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को आधार 3 के 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो चार है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक डिग्री के लिए, नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम एक लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, हम समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1)> 3 - यह एक लॉगरिदमिक असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लॉगरिदम के संकेत के तहत है। और व्यंजक में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = 9 का लघुगणक) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों की सीमा स्वीकार्य मान और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। नतीजतन, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक साधारण सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक के बारे में मूल प्रमेय

लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल सकता है। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक गुण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल पहचान इस तरह दिखती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2. इस मामले में, पूर्वापेक्षा है: डी, ​​एस 1 और एस 2> 0; ए≠1. आप लघुगणक के इस सूत्र के लिए उदाहरण और समाधान के साथ एक प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए a s 1 = f 1 लॉग करें और a s 2 = f 2 लॉग करें, फिर a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हमें वह मिलता है s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: लॉग ए (एस 1 * एस 2) = एफ 1 + एफ 2 = लॉग ए एस 1 + लॉग ए एस 2, जिसे साबित करना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1 / एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: log a q b n = n/q log a b।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित नियमित पदों पर टिकी हुई है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t दें, यह a t \u003d b निकलता है। यदि आप दोनों भागों को घात m: a tn = b n तक बढ़ाते हैं;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए a q b n = (n*t)/t लॉग करें, फिर a q b n = n/q log a b लॉग करें। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे आम प्रकार की लघुगणक समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने या गणित में प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मूल्य को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, हालांकि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है या सामान्य रूप में घटाया जा सकता है। यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं, तो आप लंबे लघुगणकीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। आइए जल्द ही उन्हें जान लेते हैं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे सामने किस प्रकार का लॉगरिदम है: अभिव्यक्ति के उदाहरण में प्राकृतिक लॉगरिदम या दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य तक उबाल जाता है कि आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणक के समाधान के लिए, लघुगणकीय पहचान या उनके गुणों को लागू करना चाहिए। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों के उपयोग के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदम की डिग्री की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और असफल अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को गुणनखंड करना और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लॉगरिदम अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से यूनिफाइड स्टेट परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में बहुत सारी लॉगरिदमिक समस्याएं। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा का तात्पर्य "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और सही ज्ञान है।

समस्याओं के उदाहरण और समाधान परीक्षा के आधिकारिक संस्करणों से लिए गए हैं। आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लघुगणक 2 (2x-1) = 4. हल:
आइए व्यंजक को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सा सरल करते हुए लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें 2x-1 = 2 4 मिलता है, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर सबसे अच्छा कम किया जाता है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित न हो।
• लघुगणक के चिह्न के तहत सभी भाव सकारात्मक के रूप में इंगित किए जाते हैं, इसलिए, अभिव्यक्ति के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के संकेत के तहत होता है और इसके आधार के रूप में, लघुगणक के तहत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

आज हम बात करेंगे लघुगणक सूत्रऔर प्रदर्शन दें समाधान उदाहरण.

अपने आप में, वे लघुगणक के मूल गुणों के अनुसार समाधान पैटर्न दर्शाते हैं। समाधान के लिए लघुगणक सूत्रों को लागू करने से पहले, हम आपके लिए सबसे पहले सभी गुणों को याद करते हैं:

अब, इन सूत्रों (गुणों) के आधार पर, हम दिखाते हैं लघुगणक हल करने के उदाहरण.

सूत्रों के आधार पर लघुगणक को हल करने के उदाहरण।

लोगारित्मआधार a में एक धनात्मक संख्या b (लॉग a b के रूप में दर्शाया गया है) वह घातांक है जिसके लिए b> 0, a> 0, और 1 के साथ b प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

परिभाषा के अनुसार लॉग a b = x, जो a x = b के बराबर है, इसलिए a x = x लॉग करें।

लघुगणक, उदाहरण:

लघुगणक 2 8 = 3, क्योंकि 2 3 = 8

लॉग 7 49 = 2 क्योंकि 7 2 = 49

लॉग 5 1/5 = -1, क्योंकि 5 -1 = 1/5

दशमलव लघुगणकएक साधारण लघुगणक है, जिसका आधार 10 है। इसे lg के रूप में दर्शाया जाता है।

लॉग 10 100 = 2 क्योंकि 10 2 = 100

प्राकृतिक- सामान्य लघुगणक भी, लेकिन आधार ई (ई \u003d 2.71828 ... - एक अपरिमेय संख्या) के साथ। एलएन के रूप में संदर्भित।

लॉगरिदम के सूत्रों या गुणों को याद रखना वांछनीय है, क्योंकि लॉगरिदम, लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय हमें बाद में उनकी आवश्यकता होगी। आइए उदाहरणों के साथ प्रत्येक सूत्र पर फिर से काम करें।

• मूल लघुगणकीय पहचान
  एक लॉग ए बी = बी

  8 2लॉग 8 3 = (8 2लॉग 8 3) 2 = 3 2 = 9

• उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है
  लॉग ए (बीसी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी

  लघुगणक 3 8.1 + लघुगणक 3 10 = लघुगणक 3 (8.1*10) = लघुगणक 3 81 = 4

• भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है
  लॉग ए (बी/सी) = लॉग ए बी - लॉग ए सी

  9 लघुगणक 5 50/9 लघुगणक 5 2 = 9 लघुगणक 5 50- लघुगणक 5 2 = 9 लघुगणक 5 25 = 9 2 = 81

• एक लघुगणकीय संख्या की डिग्री और लघुगणक के आधार के गुण

  एक लघुगणक संख्या का घातांक a b m = mlog a b . का घातांक

  लघुगणक के आधार का घातांक a n b =1/n*log a b

  लॉग ए एन बी एम = एम/एन * लॉग ए बी,

  यदि m = n, तो हमें log a n b n = log a b प्राप्त होता है

  लघुगणक 4 9 = लघुगणक 2 2 3 2 = लघुगणक 2 3

• एक नई नींव में संक्रमण
  लॉग ए बी = लॉग सी बी / लॉग सी ए,

  यदि c = b, तो हमें लघुगणक b b = 1 प्राप्त होता है

  फिर लॉग a b = 1/log b a

  लॉग 0.8 3*लॉग 3 1.25 = लॉग 0.8 3*लॉग 0.8 1.25/लॉग 0.8 3 = लॉग 0.8 1.25 = लॉग 4/5 5/4 = -1

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक सूत्र उतने जटिल नहीं हैं जितने वे लगते हैं। अब, लघुगणक को हल करने के उदाहरणों पर विचार करने के बाद, हम लघुगणकीय समीकरणों पर आगे बढ़ सकते हैं। हम लेख में लॉगरिदमिक समीकरणों को और अधिक विस्तार से हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे: ""। याद मत करिएं!

यदि आपके पास अभी भी समाधान के बारे में प्रश्न हैं, तो उन्हें लेख में टिप्पणियों में लिखें।

नोट: एक विकल्प के रूप में विदेश में दूसरी कक्षा के अध्ययन की शिक्षा प्राप्त करने का निर्णय लिया।

किसी संख्या का लघुगणक एन वजह से ए घातांक कहा जाता है एक्स , जिसके लिए आपको उठाने की जरूरत है ए नंबर पाने के लिए एन

उसे उपलब्ध कराया
,
,

यह लघुगणक की परिभाषा से इस प्रकार है कि
, अर्थात।
- यह समानता मूल लघुगणकीय पहचान है।

आधार 10 के लघुगणक दशमलव लघुगणक कहलाते हैं। के बजाय
लिखना
.

आधार लघुगणक इ प्राकृतिक और निरूपित कहलाते हैं
.

लघुगणक के मूल गुण।

किसी भी आधार के लिए एकता का लघुगणक शून्य होता है

उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

3) भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है

कारक
आधार पर लघुगणक से संक्रमण का मापांक कहलाता है ए आधार पर लघुगणक के लिए बी .

गुण 2-5 का उपयोग करते हुए, एक जटिल व्यंजक के लघुगणक को लघुगणक पर सरल अंकगणितीय संक्रियाओं के परिणाम तक कम करना अक्सर संभव होता है।

उदाहरण के लिए,

लघुगणक के ऐसे परिवर्तनों को लघुगणक कहा जाता है। लघुगणक के पारस्परिक परिवर्तन को पोटेंशिएशन कहा जाता है।

अध्याय 2. उच्च गणित के तत्व।

1. सीमाएं

कार्य सीमा
एक परिमित संख्या A है यदि, प्रयास करते समय xx 0 प्रत्येक पूर्व निर्धारित के लिए
, एक संख्या है
कि जैसे ही
, तब
.

एक फ़ंक्शन जिसकी एक सीमा होती है, वह इससे एक असीम राशि से भिन्न होता है:
, जहां - b.m.w., यानी।
.

उदाहरण। समारोह पर विचार करें
.

प्रयास करते समय
, समारोह आप शून्य हो जाता है:

1.1. सीमा के बारे में बुनियादी प्रमेय।

स्थिर मान की सीमा इस स्थिर मान के बराबर होती है

.

कार्यों की एक सीमित संख्या के योग (अंतर) की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर है।

सीमित संख्या में फलनों के गुणनफल की सीमा इन फलनों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

दो फलनों के भागफल की सीमा इन फलनों की सीमा के भागफल के बराबर होती है यदि हर की सीमा शून्य के बराबर न हो।

उल्लेखनीय सीमाएं

,
, कहाँ पे

1.2. सीमा गणना उदाहरण

हालांकि, सभी सीमाओं की गणना इतनी सरलता से नहीं की जाती है। अधिक बार, सीमा की गणना प्रकार की अनिश्चितता के प्रकटीकरण के लिए कम हो जाती है: या ।

.

2. एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

चलो एक समारोह है
, खंड पर निरंतर
.

बहस कुछ बढ़ावा मिला
. फिर समारोह बढ़ाया जाएगा
.

तर्क मूल्य फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है
.

तर्क मूल्य
फ़ंक्शन के मान से मेल खाता है।

इसलिये, ।

आइए इस संबंध की सीमा ज्ञात करें
. यदि यह सीमा मौजूद है, तो इसे दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है।

किसी दिए गए फ़ंक्शन के 3 व्युत्पन्न की परिभाषा
तर्क से तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, जब तर्क की वृद्धि मनमाने ढंग से शून्य हो जाती है।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न
निम्नानुसार निरूपित किया जा सकता है:

; ; ; .

परिभाषा 4 किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव।

2.1. व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

किसी कठोर पिंड या भौतिक बिंदु की सीधी गति पर विचार करें।

चलो किसी समय गतिमान बिंदु
दूर था प्रारंभिक स्थिति से
.

कुछ समय के बाद
वह दूर चली गई
. रवैया =- एक भौतिक बिंदु की औसत गति
. आइए हम इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि
.

नतीजतन, समय के संबंध में पथ के व्युत्पन्न को खोजने के लिए भौतिक बिंदु के तात्कालिक वेग का निर्धारण कम हो जाता है।

2.2. व्युत्पन्न का ज्यामितीय मान

मान लीजिए कि हमारे पास ग्राफिक रूप से परिभाषित कुछ फ़ंक्शन है
.

चावल। 1. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

यदि एक
, फिर बिंदु
, वक्र के साथ आगे बढ़ेगा, बिंदु पर पहुंचेगा
.

इसलिये
, अर्थात। व्युत्पन्न का मान तर्क का मान दिया गया है संख्यात्मक रूप से अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा द्वारा बनाए गए कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होती है
.

2.3. बुनियादी भेदभाव सूत्रों की तालिका।

ऊर्जा समीकरण

घातांक प्रकार्य

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन

त्रिकोणमितीय फलन

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

2.4. विभेदन नियम।

का व्युत्पन्न

कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न

दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

2.5. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

चलो समारोह
जैसे कि इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

और
, जहां चर एक मध्यवर्ती तर्क है, तो

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न x के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उदाहरण 1।

उदाहरण 2।

3. फ़ंक्शन अंतर।

उसे वही रहने दो
, कुछ अंतराल पर अवकलनीय
जाने दो पर इस फ़ंक्शन का एक व्युत्पन्न है

,

तब आप लिख सकते हैं

(1),

कहाँ पे - एक असीम मात्रा,

क्योंकि अत

समानता के सभी पदों को गुणा करना (1) द्वारा
अपने पास:

कहाँ
- बी.एम.वी. उच्च आदेश।

मूल्य
फ़ंक्शन का अंतर कहा जाता है
और निरूपित

.

3.1. अंतर का ज्यामितीय मूल्य।

चलो समारोह
.

रेखा चित्र नम्बर 2। अंतर का ज्यामितीय अर्थ।

.

जाहिर है, फ़ंक्शन का अंतर
दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर है।

3.2. विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव और अंतर।

अगर वहाँ
, तब
प्रथम व्युत्पन्न कहलाता है।

पहले अवकलज के अवकलज को द्वितीय कोटि का अवकलज कहा जाता है और इसे लिखा जाता है
.

फलन के nवें क्रम का व्युत्पन्न
(n-1) क्रम का व्युत्पन्न कहा जाता है और लिखा जाता है:

.

किसी फ़ंक्शन के अंतर के अंतर को दूसरा अंतर या दूसरे क्रम का अंतर कहा जाता है।

.

.

3.3 विभेदीकरण का उपयोग करके जैविक समस्याओं को हल करना।

कार्य 1। अध्ययनों से पता चला है कि सूक्ष्मजीवों के एक उपनिवेश का विकास कानून का पालन करता है
, कहाँ पे एन - सूक्ष्मजीवों की संख्या (हजारों में), टी - समय (दिन)।

ख) क्या इस अवधि के दौरान कॉलोनी की आबादी बढ़ेगी या घटेगी?

जवाब। कॉलोनी का आकार बढ़ेगा।

कार्य 2. रोगजनक बैक्टीरिया की सामग्री को नियंत्रित करने के लिए झील के पानी का समय-समय पर परीक्षण किया जाता है। द्वारा टी परीक्षण के कुछ दिनों बाद, बैक्टीरिया की सांद्रता अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है

.

झील में बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता कब आएगी और उसमें तैरना संभव होगा?

हल एक फलन अधिकतम या न्यूनतम तक पहुँच जाता है जब उसका अवकलज शून्य होता है।

,

आइए निर्धारित करें कि अधिकतम या न्यूनतम 6 दिनों में होगा। ऐसा करने के लिए, हम दूसरा व्युत्पन्न लेते हैं।

उत्तर: 6 दिनों के बाद बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता होगी।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एकता के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी के लिए a>0 , a≠1 । प्रमाण सीधा है: चूंकि a 0 =1 किसी भी a के लिए जो उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध समानता लॉग a 1=0 तुरंत लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है।

आइए मानी गई संपत्ति के आवेदन के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0 , lg1=0 तथा ।

आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर किसी संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए = 1 a>0 , a≠1 के लिए। वास्तव में, चूंकि a 1 =a किसी भी a के लिए है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार a a=1 लॉग करें।

लघुगणक के इस गुण का उपयोग करने के उदाहरण हैं log 5 5=1 , log 5.6 5.6 और lne=1 ।

उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 2 7 =7 , लघुगणक 10 -4 = -4 और .

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर हैं: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 । आइए हम उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x a log a y, और चूंकि मुख्य लघुगणकीय पहचान द्वारा a log a x =x और a log a y =y , तो a log a x a log a y =x y । इस प्रकार, a log a x+log a y =x y , जहां से आवश्यक समानता लघुगणक की परिभाषा के अनुसार होती है।

आइए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3)=लॉग 5 2+लॉग 5 3 और .

गुणनफल लघुगणक गुण को धनात्मक संख्याओं x 1, x 2, ..., x n की एक परिमित संख्या n के गुणनफल के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (x 1 x 2 ... x n)= लॉग a x 1 + लॉग a x 2 +…+ लॉग a x n . यह समानता आसानी से सिद्ध हो जाती है।

उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणकों के योग से बदला जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर हैं। भागफल लघुगणक गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है, जहाँ a>0 , a≠1 , x और y कुछ धनात्मक संख्याएँ हैं। इस सूत्र की वैधता उत्पाद के लघुगणक के सूत्र की तरह सिद्ध होती है: चूँकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार।

लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

चलिए आगे बढ़ते हैं डिग्री के लघुगणक की संपत्ति. एक डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। हम डिग्री के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखते हैं: लॉग ए बी पी = पी लॉग ए |बी|, जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।

हम पहले इस गुण को धनात्मक b के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को a log a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी व्यंजक, power गुण के कारण, a p log a b के बराबर होता है। तो हम समानता पर आते हैं b p =a p log a b , जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p log a b ।

यह इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना शेष है। यहाँ हम ध्यान दें कि व्यंजक लॉग a b p ऋणात्मक b के लिए केवल सम घातांक p के लिए अर्थ रखता है (क्योंकि घात b p का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई अर्थ नहीं होगा), और इस स्थिति में b p =|b| पी । फिर बी पी == बी | p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, कहाँ से लॉग a b p =p log a |b| .

उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 ।

यह पिछली संपत्ति से इस प्रकार है जड़ से लघुगणक की संपत्ति: nवें अंश के मूल का लघुगणक भिन्न 1/n के गुणनफल और मूल व्यंजक के लघुगणक के बराबर होता है, अर्थात्, , जहां a>0 , a≠1 , n एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, b>0 ।

सबूत समानता (देखें) पर आधारित है, जो किसी भी सकारात्मक b के लिए मान्य है, और डिग्री के लघुगणक की संपत्ति: .

इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

चलिए अब साबित करते हैं लघुगणक के नए आधार में रूपांतरण सूत्रतरह . ऐसा करने के लिए, यह समानता लॉग c b=log a b log c a की वैधता को साबित करने के लिए पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को लॉग a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b के रूप में। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग सी ए लॉग ए बी = लॉग ए बी लॉग सी ए. इस प्रकार, समानता लॉग c b=log a b log c a सिद्ध होता है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है।

आइए लघुगणक के इस गुण को लागू करने के कुछ उदाहरण दिखाते हैं: और .

एक नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक में जाने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण का सूत्र कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक के मूल्य को खोजने की अनुमति देता है, जब अन्य आधारों के साथ कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

अक्सर उपयोग किया जाता है, फॉर्म के c=b के लिए लघुगणक के एक नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र का एक विशेष मामला . यह दर्शाता है कि लॉग a b और लॉग b a – । उदाहरण के लिए, .

अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला सूत्र है , जो लघुगणक मानों को खोजने के लिए उपयोगी है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि फॉर्म के लॉगरिदम के मूल्य की गणना कैसे की जाती है। हमारे पास है . सूत्र सिद्ध करने के लिए यह लघुगणक के नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है a: .

यह लघुगणक के तुलनात्मक गुणों को साबित करने के लिए बनी हुई है।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी धनात्मक संख्या b 1 और b 2 , b 1 . के लिए लॉग a b 2 , और a>1 के लिए, असमानता लॉग a b 1

अंत में, यह लघुगणक के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। हम स्वयं को इसके पहले भाग को सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं, अर्थात हम यह सिद्ध करते हैं कि यदि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 1 सत्य है लॉग ए 1 बी>लॉग ए 2 बी। लघुगणक के इस गुण के शेष कथन इसी सिद्धांत से सिद्ध होते हैं।

आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 . के लिए 1 log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों से, इन असमानताओं को फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निम्नानुसार है कि लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2, क्रमशः। फिर, समान आधारों वाली घातों के गुणों से, समानताएं b log b a 1 b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, अर्थात a 1 a 2 । इस प्रकार, हम 1 . की स्थिति के विरोधाभास पर पहुंच गए हैं

ग्रंथ सूची।

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

के संदर्भ में

दिए गए अन्य दो में से तीन संख्याओं में से किसी एक को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया है और फिर घातांक द्वारा N पाया जाता है। यदि N दिया जाता है और फिर घात x (या घातांक) का मूल निकालकर a पाया जाता है। अब उस स्थिति पर विचार करें, जब a और N दिए जाने पर x ज्ञात करना आवश्यक हो।

मान लीजिए कि संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है: ।

परिभाषा। संख्या N से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या N प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाने की आवश्यकता होती है; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है

इस प्रकार, समानता (26.1) में, घातांक N के आधार a के लघुगणक के रूप में पाया जाता है। प्रविष्टियां

एक ही अर्थ रखते हैं। समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मूल पहचान कहा जाता है; वास्तव में, यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। इस परिभाषा के अनुसार, लघुगणक का आधार हमेशा सकारात्मक होता है और एकता से अलग होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में लघुगणक नहीं होते हैं। यह सिद्ध किया जा सकता है कि दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या का एक सुपरिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता जरूरी है। ध्यान दें कि यहां शर्त आवश्यक है, अन्यथा निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।

उदाहरण 1. खोजें

फेसला। संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है।

आप ऐसे उदाहरणों को निम्नलिखित रूप में हल करते समय रिकॉर्ड कर सकते हैं:

उदाहरण 2. खोजें।

फेसला। हमारे पास है

उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की डिग्री के रूप में लघुगणकीय संख्या का प्रतिनिधित्व करके वांछित लघुगणक को आसानी से पाया। सामान्य स्थिति में, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस कथन से संबंधित एक प्रश्न पर ध्यान दें। 12 में हमने किसी दी गई धनात्मक संख्या की वास्तविक घात ज्ञात करने की संभावना की अवधारणा दी है। लॉगरिदम की शुरूआत के लिए यह आवश्यक था, जो सामान्य रूप से, अपरिमेय संख्याएं हो सकती हैं।

लघुगणक के कुछ गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार समान हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार समान हैं।

प्रमाण। चलो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है और कहां से

इसके विपरीत, फिर परिभाषा के अनुसार

गुण 2. किसी भी आधार से एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।

प्रमाण। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहां से

क्यू.ई.डी.

विलोम कथन भी सत्य है: यदि , तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास .

लघुगणक के निम्नलिखित गुण बताने से पहले, आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि दो संख्याएँ a और b तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं, यदि वे दोनों या तो c से बड़ी हैं या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है और दूसरी c से छोटी है, तो हम कहते हैं कि वे c के विपरीत दिशा में स्थित हैं।

संपत्ति 3. यदि संख्या और आधार एकता के एक ही तरफ हैं, तो लघुगणक धनात्मक है; यदि संख्या और आधार एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।

गुण 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक धनात्मक है, या आधार एक से कम है और घातांक ऋणात्मक है तो a की घात एक से अधिक है। यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक ऋणात्मक है, या आधार एक से कम है और घातांक धनात्मक है तो अंश एक से कम है।

विचार करने के लिए चार मामले हैं:

हम उनमें से पहले के विश्लेषण के लिए खुद को सीमित रखते हैं, पाठक बाकी पर विचार करेगा।

मान लीजिए कि समानता में घातांक न तो ऋणात्मक है और न ही शून्य के बराबर है, इसलिए, यह सकारात्मक है, अर्थात, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण 3. ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-से लघुगणक धनात्मक हैं और कौन-से ऋणात्मक हैं:

हल, क) क्योंकि संख्या 15 और आधार 12 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं;

बी) , चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं; साथ ही, यह आवश्यक नहीं है कि आधार लघुगणक संख्या से बड़ा हो;

सी), चूंकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;

जी) ; क्यों?

इ) ; क्यों?

निम्नलिखित गुण 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे अनुमति देते हैं, कुछ संख्याओं के लघुगणक को जानने के लिए, उनके उत्पाद के लघुगणक, भागफल, उनमें से प्रत्येक की डिग्री का पता लगाने के लिए।

गुण 4 (उत्पाद के लघुगणक के लिए नियम)। किसी दिए गए आधार में कई धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक एक ही आधार में इन संख्याओं के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

प्रमाण। धनात्मक अंक दिए जाने दें।

उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम लघुगणक को परिभाषित करते हुए समानता (26.1) लिखते हैं:

यहाँ से हम पाते हैं

प्रथम और अंतिम व्यंजकों के घातांकों की तुलना करने पर हमें अपेक्षित समानता प्राप्त होती है:

ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक समझ में आता है, लेकिन इस मामले में हमें मिलता है

सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का गुणनफल सकारात्मक होता है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के मॉड्यूल के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

गुण 5 (भागफल लघुगणक नियम)। धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक समान आधार में लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। प्रमाण। लगातार खोजें

क्यू.ई.डी.

संपत्ति 6 ​​(डिग्री के लघुगणक का नियम)। किसी भी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक उस संख्या के घातांक के गुणा के लघुगणक के बराबर होता है।

प्रमाण। हम संख्या के लिए फिर से मुख्य पहचान (26.1) लिखते हैं:

क्यू.ई.डी.

परिणाम। एक धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक मूल संख्या के लघुगणक के बराबर होता है जो मूल के घातांक से विभाजित होता है:

हम गुण 6 को कैसे और किस प्रकार उपयोग करके प्रस्तुत करते हैं, हम इस उपफल की वैधता को सिद्ध कर सकते हैं।

उदाहरण 4. आधार का लघुगणक a:

ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);

बी) (ऐसा माना जाता है)।

हल, क) इस व्यंजक में भिन्नात्मक घातों को पारित करना सुविधाजनक है:

समानता के आधार पर (26.5)-(26.7) अब हम लिख सकते हैं:

हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर स्वयं संख्याओं की तुलना में सरल संचालन किया जाता है: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित होने पर उन्हें घटाया जाता है, आदि।

इसीलिए अभिकलनात्मक अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया गया है (देखें भाग 29)।

लघुगणक के विपरीत क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा यह संख्या स्वयं किसी संख्या के दिए गए लघुगणक द्वारा पाई जाती है। संक्षेप में, पोटेंशिएशन कोई विशेष क्रिया नहीं है: यह आधार को एक शक्ति (संख्या के लघुगणक के बराबर) तक बढ़ाने के लिए नीचे आता है। शब्द "पोटेंशिएशन" को "एक्सपोनेंटिएशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।

पोटेंशियेटिंग करते समय, उन नियमों का उपयोग करना आवश्यक है जो लघुगणक के नियमों के विपरीत हैं: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक से बदलें, भागफल के लघुगणक के साथ लघुगणक का अंतर, आदि। विशेष रूप से, यदि वहाँ है लॉगरिदम के संकेत के सामने कोई भी कारक, फिर पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के संकेत के तहत संकेतक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 5. N ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि

फेसला। अभी बताए गए पोटेंशिएशन नियम के संबंध में, कारक 2/3 और 1/3, जो इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने हैं, इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक को स्थानांतरित कर दिए जाएंगे; हम पाते हैं

अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से बदलते हैं:

समानता की इस श्रृंखला में अंतिम अंश प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले अंश को हर में अपरिमेयता से मुक्त किया (धारा 25)।

संपत्ति 7. यदि आधार एक से बड़ा है, तो बड़ी संख्या में एक बड़ा लघुगणक होता है (और छोटे वाले का एक छोटा होता है), यदि आधार एक से कम होता है, तो बड़ी संख्या में एक छोटा लघुगणक होता है (और छोटा होता है) एक के पास एक बड़ा है)।

यह गुण असमानताओं के लघुगणक के लिए एक नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों भाग धनात्मक हैं:

असमानताओं के लघुगणक को एक से अधिक आधार पर ले जाने पर, असमानता का चिन्ह संरक्षित रहता है, और जब एक लघुगणक को एक से कम के आधार पर ले जाया जाता है, तो असमानता का चिन्ह उलट जाता है (आइटम 80 भी देखें)।

सबूत गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस स्थिति पर विचार करें जब यदि, तो और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहां से

केस ए इस प्रकार है, पाठक इसे अपने लिए समझ लेगा।

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