फलन y x n के गुण। घातीय कार्य - गुण, रेखांकन, सूत्र
समारोह जहां एक्स – चर, ए – दी गई संख्या, कहा जाता है ऊर्जा समीकरण .
यदि तब एक रैखिक फलन है, तो इसका आलेख एक सीधी रेखा है (देखें खंड 4.3, चित्र 4.7)।
तो अगर- द्विघात फंक्शन, इसका आलेख एक परवलय है (देखें अनुच्छेद 4.3, चित्र 4.8)।
यदि तब इसका ग्राफ एक घन परवलय है (देखें खंड 4.3, चित्र 4.9)।
इस उलटा काम करनाके लिये
1. कार्यक्षेत्र: 
2. एकाधिक मान:
3. एकसा और अलग:पुराना फंक्शन।
4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।
5. फंक्शन नल: एक्स= 0 केवल शून्य है।
6. फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
7.
8. फंक्शन ग्राफएक सीधी रेखा के संबंध में एक घन परवलय के ग्राफ के सममित वाई =एक्सऔर अंजीर में दिखाया गया है। 5.1.
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ऊर्जा समीकरण
1. कार्यक्षेत्र: 
2. एकाधिक मान:
3. एकसा और अलग:समारोह सम है।
4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।
5. फंक्शन नल:एकल शून्य एक्स = 0.
6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:के लिए सबसे छोटा मान लेता है एक्स= 0, यह 0 के बराबर है।
7. आरोही और अवरोही अंतराल:फ़ंक्शन अंतराल पर घट रहा है और अंतराल पर बढ़ रहा है
8. फंक्शन ग्राफ(प्रत्येक के लिए एन Î एन) एक ग्राफ की तरह "दिखता है" द्विघात परवलय(फ़ंक्शन ग्राफ़ चित्र 5.2 में दिखाए गए हैं)।
ऊर्जा समीकरण
1. कार्यक्षेत्र:
2. एकाधिक मान: 
3. एकसा और अलग:पुराना फंक्शन।
4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।
5. फंक्शन नल: एक्स= 0 केवल शून्य है।
6. अधिकतम और न्यूनतम मान:
7. आरोही और अवरोही अंतराल:परिभाषा के पूरे क्षेत्र में कार्य बढ़ रहा है।
8. फंक्शन ग्राफ(प्रत्येक के लिए) एक घन परवलय के ग्राफ की तरह "दिखता है" (फ़ंक्शन ग्राफ़ चित्र 5.3 में दिखाए गए हैं)।
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ऊर्जा समीकरण
1. कार्यक्षेत्र:
2. एकाधिक मान:
3. एकसा और अलग:पुराना फंक्शन।
4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।
5. फंक्शन नल:कोई शून्य नहीं है।
6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:फ़ंक्शन में किसी के लिए सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान नहीं है
7. आरोही और अवरोही अंतराल:परिभाषा के क्षेत्र में कार्य घट रहा है।
8. स्पर्शोन्मुख:(एक्सिस कहां) ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है;
(एक्सिस ओह) क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।
9. फंक्शन ग्राफ(किसी के लिए भी एन) हाइपरबोला के ग्राफ की तरह "दिखता है" (फ़ंक्शन के ग्राफ़ चित्र 5.4 में दिखाए गए हैं)।
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ऊर्जा समीकरण
1. कार्यक्षेत्र:
2. एकाधिक मान:
3. एकसा और अलग:समारोह सम है।
4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।
5. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:फ़ंक्शन में किसी के लिए सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान नहीं है
6. आरोही और अवरोही अंतराल:फ़ंक्शन बढ़ रहा है और घट रहा है
7. स्पर्शोन्मुख: एक्स= 0 (अक्ष कहां) ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है;
यू= 0 (अक्ष ओह) क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।
8. फंक्शन ग्राफद्विघात अतिपरवलय हैं (चित्र 5.5)।
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ऊर्जा समीकरण
1. कार्यक्षेत्र:
2. एकाधिक मान:
3. एकसा और अलग:फ़ंक्शन में सम और विषम का गुण नहीं होता है।
4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।
5. फंक्शन नल: एक्स= 0 केवल शून्य है।
6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान: 0 के बराबर सबसे छोटा मान, फ़ंक्शन बिंदु पर लेता है एक्स= 0; सबसे बड़ा मूल्यनहीं है।
7. आरोही और अवरोही अंतराल:परिभाषा के पूरे क्षेत्र में कार्य बढ़ रहा है।
8. एक निश्चित संकेतक के साथ ऐसा प्रत्येक फ़ंक्शन फ़ंक्शन के लिए उलटा है, बशर्ते
9. फंक्शन ग्राफकिसी के लिए किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की तरह "दिखता है" एनऔर अंजीर में दिखाया गया है। 5.6.
ऊर्जा समीकरण
1. कार्यक्षेत्र:
2. एकाधिक मान:
3. एकसा और अलग:पुराना फंक्शन।
4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।
5. फंक्शन नल: एक्स= 0 केवल शून्य है।
6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:फ़ंक्शन में किसी के लिए सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान नहीं है
7. आरोही और अवरोही अंतराल:परिभाषा के पूरे क्षेत्र में कार्य बढ़ रहा है।
8. फंक्शन ग्राफअंजीर में दिखाया गया है। 5.7.
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एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घात फलनों के गुणधर्मों और आलेखों को याद कीजिए।
सम n के लिए:
समारोह उदाहरण:
ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी समता है, ग्राफ़ op-y अक्ष के संबंध में सममित हैं।
चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ
विषम n के लिए:
समारोह उदाहरण:
ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;-1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी विषमता है, मूल के संबंध में रेखांकन सममित हैं।
चावल। 2. फंक्शन ग्राफ
आइए मुख्य परिभाषा को याद करें।
एक परिमेय धनात्मक घातांक वाली एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की डिग्री को एक संख्या कहा जाता है।
एक परिमेय ऋणात्मक घातांक वाली धनात्मक संख्या a की घात को संख्या कहा जाता है।
निम्नलिखित समानता के लिए धारण करता है:
उदाहरण के लिए: 
; - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है; मौजूद है, क्योंकि घातांक एक पूर्णांक है, 
आइए हम एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों पर विचार करें।
उदाहरण के लिए:
इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आप एक टेबल बना सकते हैं। हम अन्यथा करेंगे: पहले, हम हर के ग्राफ का निर्माण और अध्ययन करेंगे - हम इसे जानते हैं (चित्र 3)।
चावल। 3. किसी फलन का ग्राफ
हर फलन का ग्राफ एक निश्चित बिंदु (1;1) से होकर गुजरता है। मूल फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय, यह बिंदु बना रहता है, जब रूट भी शून्य हो जाता है, तो फ़ंक्शन अनंत तक जाता है। और, इसके विपरीत, जैसे ही x अनंत की ओर जाता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 4)।
चावल। 4. फंक्शन ग्राफ
अध्ययनाधीन कार्यों के परिवार से एक और कार्य पर विचार करें।
यह महत्वपूर्ण है कि परिभाषा के अनुसार
हर में फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार करें: हम इस फ़ंक्शन के ग्राफ को जानते हैं, यह परिभाषा के अपने क्षेत्र में बढ़ता है और बिंदु (1; 1) (चित्रा 5) से गुजरता है।
चावल। 5. फंक्शन ग्राफ
मूल फलन का ग्राफ बनाते समय, बिंदु (1; 1) बना रहता है, जब मूल भी शून्य की ओर जाता है, तो फलन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। और, इसके विपरीत, जैसे-जैसे x अनंत की ओर बढ़ता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 6)।
चावल। 6. फंक्शन ग्राफ
विचार किए गए उदाहरण यह समझने में मदद करते हैं कि ग्राफ कैसे जाता है और अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के गुण क्या हैं - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक वाला फ़ंक्शन।
इस परिवार के कार्यों के रेखांकन बिंदु (1; 1) से गुजरते हैं, फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटता है।
समारोह का दायरा: 
फ़ंक्शन ऊपर से बाध्य नहीं है, बल्कि नीचे से बाध्य है। फ़ंक्शन में न तो अधिकतम है और न ही सबसे छोटा मान.
फ़ंक्शन निरंतर है, यह सभी सकारात्मक मानों को शून्य से प्लस अनंत तक लेता है।
उत्तल डाउन फंक्शन (चित्र 15.7)
बिंदु A और B को वक्र पर लिया जाता है, उनके माध्यम से एक खंड खींचा जाता है, संपूर्ण वक्र खंड के नीचे होता है, यह स्थिति वक्र पर दो बिंदुओं के मनमाने ढंग से संतुष्ट होती है, इसलिए फ़ंक्शन उत्तल नीचे की ओर होता है। चावल। 7.
चावल। 7. किसी फलन की उत्तलता
यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस परिवार के कार्य शून्य से नीचे से बंधे हैं, लेकिन उनका सबसे छोटा मूल्य नहीं है।
उदाहरण 1 - अंतराल पर अधिकतम और न्यूनतम फ़ंक्शन खोजें \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
ग्राफ (चित्र 2)।
चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n)$
प्राकृतिक विषम घातांक के साथ एक शक्ति फलन के गुण
परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ एक विषम फलन है।
$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।
रेंज सभी वास्तविक संख्याएं हैं।
$f"\बाएं(x\दाएं)=\बाएं(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फ़ंक्शन बढ़ता है।
$f\बाएं(x\दाएं)0$, $x\in (0,+\infty)$ के लिए।
$f(""\बाएं(x\दाएं))=(\बाएं(\बाएं(2n-1\दाएं)\cdot x^(2\बाएं(n-1\दाएं))\दाएं))"=2 \बाएं(2n-1\दाएं)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
फ़ंक्शन $x\in (-\infty ,0)$ के लिए अवतल है और $x\in (0,+\infty)$ के लिए उत्तल है।
ग्राफ (चित्र 3)।
चित्र 3. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
पूर्णांक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन
आरंभ करने के लिए, हम एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं।
परिभाषा 3
एक वास्तविक संख्या $a$ की डिग्री एक पूर्णांक घातांक $n$ के साथ सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
चित्र 4
अब एक पूर्णांक घातांक के साथ एक घात फलन पर विचार करें, इसके गुण और ग्राफ।
परिभाषा 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ को इंटीजर एक्सपोनेंट वाला पावर फंक्शन कहा जाता है।
यदि डिग्री शून्य से अधिक है, तो हम एक प्राकृतिक घातांक वाले घात फलन के मामले में आते हैं। हम पहले ही ऊपर विचार कर चुके हैं। $n=0$ के लिए हमें एक रैखिक फलन $y=1$ मिलता है। हम इसका विचार पाठक पर छोड़ते हैं। यह एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करने के लिए बनी हुई है
एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के गुण
दायरा $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ है।
यदि घातांक सम है, तो फलन सम है, यदि विषम है, तो फलन विषम है।
$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।
मूल्य की सीमा:
यदि घातांक सम है, तो $(0,+\infty)$, यदि विषम है, तो $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$।
यदि घातांक विषम है, तो फ़ंक्शन $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ के रूप में घटता है। एक सम घातांक के लिए, फ़ंक्शन $x\in (0,+\infty)$ के रूप में घटता है। और $x\in \left(-\infty ,0\right)$ के रूप में बढ़ता है।
पूरे डोमेन पर $f(x)\ge 0$
घातांक फ़ंक्शन पर संदर्भ डेटा दिए गए हैं - मूल गुण, ग्राफ़ और सूत्र। निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार किया जाता है: परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, एकरसता, उलटा कार्य, व्युत्पन्न, अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं के माध्यम से प्रतिनिधित्व।
परिभाषा
घातांक प्रकार्य
a के बराबर n संख्याओं के गुणनफल का एक सामान्यीकरण है:
आप (एन) = ए एन = ए ए ए ए,
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में x :
आप (एक्स) = एक्स.
यहाँ एक तय है वास्तविक संख्या, जिसे कहा जाता है घातीय फ़ंक्शन का आधार.
आधार a के साथ एक घातांकीय फलन को भी कहा जाता है आधार a . के घातीय.
सामान्यीकरण निम्नानुसार किया जाता है।
प्राकृतिक x = . के लिए 1, 2, 3,...
, घातांक फ़ंक्शन x कारकों का गुणनफल है:
.
इसके अलावा, इसमें गुण (1.5-8) () हैं, जो संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। शून्य पर और नकारात्मक मानपूर्णांक, घातीय फ़ंक्शन सूत्रों (1.9-10) द्वारा निर्धारित किया जाता है। भिन्नात्मक मानों के लिए x = m/n परिमेय संख्या, , यह सूत्र (1.11) द्वारा निर्धारित किया जाता है। वास्तविक के लिए, घातांकीय फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है अनुक्रम सीमा:
,
जहाँ परिमेय संख्याओं का एक मनमाना क्रम है जो x : में परिवर्तित होता है।
इस परिभाषा के साथ, घातीय फ़ंक्शन सभी के लिए परिभाषित किया गया है, और गुणों (1.5-8), साथ ही प्राकृतिक x के लिए भी संतुष्ट है।
एक घातांकीय फलन की परिभाषा का एक कठोर गणितीय सूत्रीकरण और उसके गुणों का प्रमाण "घातांकीय फलन के गुणों की परिभाषा और प्रमाण" पृष्ठ पर दिया गया है।
घातीय फ़ंक्शन के गुण
घातांकीय फलन y = a x में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय () में निम्नलिखित गुण हैं:
(1.1)
परिभाषित और निरंतर है, सभी के लिए;
(1.2)
जब एक 1
कई अर्थ हैं;
(1.3)
सख्ती से बढ़ता है, सख्ती से घटता है,
पर स्थिर है;
(1.4)
पर ;
पर ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
अन्य उपयोगी सूत्र
.
एक भिन्न शक्ति आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन में कनवर्ट करने का सूत्र:
b = e के लिए, हमें घातांक के रूप में घातांक फलन का व्यंजक प्राप्त होता है:
निजी मूल्य
, , , , .
आंकड़ा घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिखाता है
आप (एक्स) = एक्स
चार मूल्यों के लिए डिग्री के आधार:ए= 2
, ए = 8
, ए = 1/2
और एक = 1/8
. यह देखा जा सकता है कि > . के लिए 1
घातीय कार्य नीरस रूप से बढ़ रहा है। डिग्री ए का आधार जितना बड़ा होगा, विकास उतना ही मजबूत होगा। पर 0
< a < 1
घातीय कार्य नीरस रूप से घट रहा है। कैसे कम संकेतकडिग्री ए, मजबूत कमी।
आरोही अवरोही
पर घातीय कार्य सख्ती से मोनोटोनिक है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।
| वाई = ए एक्स, ए > 1 | वाई = एक्स, 0 < a < 1 | |
| कार्यक्षेत्र | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| मूल्यों की श्रृंखला | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| एक लय | एकरसता से बढ़ता है | नीरस रूप से घटता है |
| शून्य, y= 0 | नहीं | नहीं |
| y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0 | वाई = 1 | वाई = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
उलटा काम करना
डिग्री a के आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन का व्युत्क्रम आधार a का लघुगणक है।
तो अगर
.
तो अगर
.
घातीय फ़ंक्शन का अंतर
एक घातांकीय फलन में अंतर करने के लिए, इसके आधार को संख्या e तक घटाया जाना चाहिए, अवकलजों की तालिका और एक जटिल फलन को विभेदित करने के नियम को लागू करना चाहिए।
ऐसा करने के लिए, आपको लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है
और डेरिवेटिव की तालिका से सूत्र:
.
मान लीजिए कि एक घातांकीय कार्य दिया गया है:
.
हम इसे आधार ई में लाते हैं:
हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक चर पेश करते हैं
फिर
डेरिवेटिव की तालिका से हमारे पास है (चर x को z से बदलें):
.
चूँकि एक अचर है, x के सापेक्ष z का अवकलज है
.
एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:
.
घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >
एक घातीय फ़ंक्शन को अलग करने का एक उदाहरण
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
वाई = 35 x
समाधान
हम घातांक फलन के आधार को संख्या e के रूप में व्यक्त करते हैं।
3 = ई लॉग 3
फिर
.
हम एक चर पेश करते हैं
.
फिर
डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.
जहां तक कि 5ln 3अचर है, तो x के सापेक्ष z का अवकलज है:
.
एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
.
उत्तर
अभिन्न
सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक
सम्मिश्र संख्या फलन पर विचार करें जेड:
एफ (जेड) = एज़ू
जहाँ z = x + iy; मैं 2 = - 1
.
हम जटिल स्थिरांक a को मापांक r और तर्क के पदों में व्यक्त करते हैं:
ए = आर ई मैं
फिर
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। में सामान्य रूप से देखें
φ = φ 0 + 2 पीएन,
जहां n एक पूर्णांक है। इसलिए, फ़ंक्शन f (जेड)अस्पष्ट भी है। अक्सर इसका मुख्य महत्व माना जाता है
.
श्रृंखला में विस्तार
.
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।
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