व्यावहारिक गतिविधियों में, एक व्यक्ति को विभिन्न मात्राओं को मापना होता है, श्रम की सामग्री और उत्पादों को ध्यान में रखना होता है, उत्पादन विभिन्न गणना. विभिन्न मापों, गणनाओं और गणनाओं के परिणाम संख्याएँ हैं। माप के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या, केवल लगभग, एक निश्चित डिग्री सटीकता के साथ, वांछित मूल्यों की विशेषता है। अशुद्धियों के कारण सटीक माप संभव नहीं है मापन उपकरण, हमारे देखने के अंगों की खामियां, और मापी गई वस्तुएं कभी-कभी हमें किसी भी सटीकता के साथ उनके परिमाण को निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि स्वेज नहर की लंबाई 160 किमी है, साथ में दूरी रेलवेमास्को से लेनिनग्राद तक 651 किमी। यहां हमारे पास एक किलोमीटर तक की सटीकता के साथ किए गए माप के परिणाम हैं। यदि, उदाहरण के लिए, लंबाई आयताकार क्षेत्र 29 मीटर, चौड़ाई 12 मीटर, तो, शायद, माप एक मीटर की सटीकता के साथ किए गए थे, और एक मीटर के अंशों की उपेक्षा की गई थी,

किसी भी माप को करने से पहले, यह तय करना आवश्यक है कि इसे किस सटीकता के साथ करने की आवश्यकता है, अर्थात। माप की इकाई के किन अंशों को ध्यान में रखा जाना चाहिए, और जिन्हें उपेक्षित किया जाना चाहिए।

अगर कुछ मूल्य है लेकिन,जिसका सही मूल्य अज्ञात है, और इस मूल्य का अनुमानित मूल्य (सन्निकटन) बराबर है एक्स,वे लिखते हैं एक एक्स.

एक ही मात्रा के विभिन्न मापों के साथ, हम अलग-अलग सन्निकटन प्राप्त करेंगे। इनमें से प्रत्येक सन्निकटन मापे गए मान के वास्तविक मान से भिन्न होगा, उदाहरण के लिए, बराबर, लेकिन,कुछ राशि से, जिसे हम कहेंगे त्रुटि।परिभाषा। यदि संख्या x किसी मात्रा का अनुमानित मान (सन्निकटन) है, जिसका वास्तविक मान संख्या के बराबर है लेकिन,फिर संख्याओं के अंतर का मापांक, लेकिनऔर एक्सबुलाया पूर्ण त्रुटिदिया गया सन्निकटन और निरूपित ए एक्स: या केवल ए. इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार,

ए एक्स = ए-एक्स (1)

इस परिभाषा से यह इस प्रकार है कि

ए = एक्स ए एक्स (2)

यदि यह ज्ञात है कि हम किस मात्रा के बारे में बात कर रहे हैं, तो अंकन में ए एक्सअनुक्रमणिका लेकिनको छोड़ दिया जाता है और समानता (2) को इस प्रकार लिखा जाता है:

ए = एक्स एक्स (3)

चूंकि वांछित मूल्य का वास्तविक मूल्य सबसे अधिक बार अज्ञात होता है, इसलिए इस मूल्य के सन्निकटन में पूर्ण त्रुटि का पता लगाना असंभव है। आप प्रत्येक विशिष्ट मामले में केवल एक सकारात्मक संख्या इंगित कर सकते हैं, जो इससे अधिक है पूर्ण त्रुटियह नहीं हो सकता। इस संख्या को मात्रा के सन्निकटन की निरपेक्ष त्रुटि की सीमा कहते हैं एऔर निरूपित एच ए. इस प्रकार, यदि एक्ससन्निकटन प्राप्त करने के लिए दी गई प्रक्रिया के लिए मूल्य का एक मनमाना सन्निकटन है, तो

ए एक्स = ए-एक्स एच ए (4)

ऊपर से यह इस प्रकार है कि यदि एच एमात्रा के सन्निकटन की पूर्ण त्रुटि की सीमा है लेकिन, तो . से बड़ी कोई भी संख्या एच ए, मात्रा के सन्निकटन की पूर्ण त्रुटि की सीमा भी होगी लेकिन.

व्यवहार में, निरपेक्ष त्रुटि की सीमा के रूप में असमानता (4) को संतुष्ट करने वाली सबसे छोटी संख्या को चुनने की प्रथा है।

असमानता का समाधान ए-एक्स एच एहमें वह मिलता है लेकिनसीमाओं के भीतर समाहित

एक्स-एच ए एक एक्स + एच ए (5)

पूर्ण त्रुटि सीमा की अधिक कठोर अवधारणा निम्नानुसार दी जा सकती है।

रहने दो एक्स- कई संभावित अनुमान एक्समात्रा लेकिनसन्निकटन प्राप्त करने के लिए दी गई प्रक्रिया के लिए। फिर कोई संख्या एच, शर्त को संतुष्ट करना ए-एक्स एच एकिसी के लिए एक्सएक्स, समुच्चय से सन्निकटन की निरपेक्ष त्रुटि की सीमा कहलाती है एक्स. द्वारा निरूपित करें एच एसबसे छोटी ज्ञात संख्या एच. यह नंबर एच एऔर व्यवहार में इसे पूर्ण त्रुटि की सीमा के रूप में चुना जाता है।

पूर्ण सन्निकटन त्रुटि माप की गुणवत्ता की विशेषता नहीं है। वास्तव में, यदि हम किसी लंबाई को 1 सेमी की सटीकता के साथ मापते हैं, तो उस स्थिति में जब हम बात कर रहे हैंएक पेंसिल की लंबाई निर्धारित करने के बारे में, यह खराब सटीकता होगी। यदि, 1 सेमी की सटीकता के साथ, वॉलीबॉल कोर्ट की लंबाई या चौड़ाई निर्धारित करें, तो यह एक उच्च सटीकता होगी।

माप सटीकता को चिह्नित करने के लिए, सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा पेश की जाती है।

परिभाषा। अगर ए एक्स: एक पूर्ण सन्निकटन त्रुटि है एक्सकुछ मात्रा, जिसका सही मूल्य संख्या के बराबर है लेकिन, तो अनुपात ए एक्सएक संख्या के मापांक के लिए एक्ससन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि कहलाती है और इसे निरूपित किया जाता है ए एक्सया एक्स.

इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार,

सापेक्ष त्रुटि आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है।

निरपेक्ष त्रुटि के विपरीत, जो अक्सर एक आयामी मात्रा होती है, सापेक्ष त्रुटि एक आयाम रहित मात्रा होती है।

व्यवहार में, यह सापेक्ष त्रुटि नहीं है जिसे माना जाता है, लेकिन तथाकथित सापेक्ष त्रुटि सीमा: ऐसी संख्या इ ए, जो वांछित मूल्य के सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि से अधिक नहीं हो सकता है।

इस प्रकार से, ए एक्स ई ए .

अगर एच ए-- मात्रा के सन्निकटन की निरपेक्ष त्रुटि की सीमा लेकिन, फिर ए एक्स एच एऔर इसलिए

जाहिर है, कोई भी संख्या इ, शर्त को संतुष्ट करना, सापेक्ष त्रुटि की सीमा होगी। व्यवहार में, कुछ सन्निकटन आमतौर पर जाना जाता है एक्समात्रा लेकिनऔर पूर्ण त्रुटि सीमा। फिर नंबर

1. संख्याएं सटीक और अनुमानित हैं। व्यवहार में हमारे सामने जो संख्याएँ आती हैं वे दो प्रकार की होती हैं। कुछ मात्रा का सही मूल्य देते हैं, अन्य केवल अनुमानित। पहले को सटीक कहा जाता है, दूसरा - अनुमानित। अक्सर सटीक संख्या के बजाय अनुमानित संख्या का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, खासकर जब से कई मामलों में वास्तविक संख्याआम तौर पर खोजना असंभव है।

संख्याओं के साथ संचालन के परिणाम देते हैं: अनुमानित संख्याओं के साथ अनुमानित संख्याएँ। उदाहरण के लिए। महामारी के दौरान, सेंट पीटर्सबर्ग के 60% निवासियों को फ्लू हो जाता है। यह लगभग 3 मिलियन लोग हैं। सटीक संख्या के साथ सटीक संख्या उदा। दर्शकों में गणित पर एक व्याख्यान में 65 लोग हैं। अनुमानित संख्या उदा. दिन के दौरान रोगी का औसत शरीर का तापमान 37.3: सुबह: 37.2; दिन: 36.8; शाम38.

अनुमानित गणना का सिद्धांत अनुमति देता है: 1) डेटा की सटीकता की डिग्री जानने के लिए, परिणामों की सटीकता की डिग्री का आकलन करने के लिए; 2) परिणाम की आवश्यक सटीकता सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ डेटा लें; 3) गणना प्रक्रिया को युक्तिसंगत बनाना, इसे उन गणनाओं से मुक्त करना जो परिणाम की सटीकता को प्रभावित नहीं करेंगे।

1) यदि छोड़े गए अंकों में से पहला (बाएं) 5 से कम है, तो अंतिम शेष अंक नहीं बदला गया है (गोल नीचे); 2) यदि पहला छोड़ा गया अंक 5 से अधिक या 5 के बराबर है, तो अंतिम शेष अंक एक (राउंड अप) से बढ़ जाता है। गोलाई: क) दसवें से 12.34 12.3; बी) सौवें तक 3.2465 3.25; 1038.79. c) हजारवें हिस्से तक 3.4335 3.434। डी) हजारों तक; यह निम्नलिखित को ध्यान में रखता है:

दवा में सबसे अधिक मापी जाने वाली मात्राएँ: द्रव्यमान m, लंबाई l, प्रक्रिया गति v, समय t, तापमान t, आयतन V, आदि। किसी भौतिक राशि को मापने का अर्थ है इसकी तुलना एक इकाई के रूप में ली गई सजातीय मात्रा से करना। भौतिक मात्राओं के मापन की 9 इकाइयाँ: मूल लंबाई - 1 मी - (मीटर) समय - 1 s - (सेकंड) द्रव्यमान - 1 किग्रा - (किलोग्राम) उत्पाद आयतन - 1 m³ - (घन मीटर) वेग - 1 m/s - (मीटर प्रति सेकंड)

इकाइयों के नाम के उपसर्ग: एकाधिक उपसर्ग - 10, 100, 1000, आदि की वृद्धि। गुना g - हेक्टो (×100) k - किलो (× 1000) M - मेगा (×) 1 किमी (किलोमीटर) 1 किलो (किलोग्राम) 1 किमी = 1000 मीटर = 10³ मीटर 1 किलो = 1000 ग्राम = 10³ जी 10 की कमी , 100, 1000, आदि। गुना d - डेसी (×0.1) s - सेंटी (× 0.01) m - मिली (× 0.001) 1 dm (डेसीमीटर) 1dm = 0.1 m 1 cm (सेंटीमीटर) 1cm = 0.01 m 1 mm (मिलीमीटर) 1mm = 0.001 m

चिकित्सा में रोगों के निदान, उपचार, रोकथाम के लिए विभिन्न मापने वाले चिकित्सा उपकरणों का उपयोग किया जाता है।

थर्मामीटर। सबसे पहले, आपको माप की ऊपरी और निचली सीमाओं को ध्यान में रखना होगा। निचली सीमा न्यूनतम है और ऊपरी सीमा अधिकतम मापने योग्य मान है। यदि मापा मूल्य का अपेक्षित मूल्य अज्ञात है, तो डिवाइस को "मार्जिन" के साथ लेना बेहतर है। उदाहरण के लिए, तापमान माप गर्म पानीस्ट्रीट या रूम थर्मामीटर के साथ काम न करें। 100 डिग्री सेल्सियस की ऊपरी सीमा वाले उपकरण को ढूंढना बेहतर है। दूसरे, आपको यह समझने की जरूरत है कि मात्रा को कितनी सटीकता से मापा जाना चाहिए। चूंकि माप त्रुटि विभाजन मान पर निर्भर करती है, अधिक के लिए सटीक मापसबसे छोटे पैमाने के अंतराल वाले उपकरण का चयन किया जाता है।

माप त्रुटियाँ। विभिन्न नैदानिक ​​​​मापदंडों को मापने के लिए, आपको अपने स्वयं के उपकरण की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, लंबाई को रूलर से और तापमान को थर्मामीटर से मापा जाता है। लेकिन रूलर, थर्मामीटर, टोनोमीटर और अन्य उपकरण अलग-अलग हैं, इसलिए किसी भी भौतिक मात्रा को मापने के लिए, आपको एक ऐसा उपकरण चुनना होगा जो इस माप के लिए उपयुक्त हो।

डिवाइस के विभाजन की कीमत। मानव शरीर का तापमान सटीक रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए, दवाओं को कड़ाई से परिभाषित मात्रा में प्रशासित किया जाना चाहिए, इसलिए मापने वाले उपकरण के पैमाने के विभाजन की कीमत प्रत्येक उपकरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। डिवाइस के मूल्य विभाजन की गणना के लिए नियम। पैमाने के डिवीजनों की कीमत की गणना करने के लिए, आपको यह करना होगा: ए) पैमाने पर दो निकटतम डिजीटल स्ट्रोक का चयन करें; बी) उनके बीच विभाजन की संख्या की गणना करें; ग) चयनित स्ट्रोक के आसपास के मूल्यों में अंतर को विभाजनों की संख्या से विभाजित करें।

डिवाइस के विभाजन की कीमत। डिवीजन वैल्यू (50-30)/4=5 (एमएल) डिवीजन वैल्यू: (40-20)/10=2 किमी/घंटा, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0.4 साई, (90-50)/10= 4 अस्थायी, (4-2)/10=0.2 सेकेंड

उपकरणों के विभाजन की कीमत निर्धारित करें: 16

निरपेक्ष माप त्रुटि। किसी भी माप में त्रुटियाँ होना लाजमी है। ये त्रुटियां विभिन्न कारकों के कारण हैं। सभी कारकों को तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है: उपकरणों की अपूर्णता के कारण होने वाली त्रुटियां; माप विधियों की अपूर्णता के कारण होने वाली त्रुटियां; यादृच्छिक कारकों के प्रभाव के कारण त्रुटियां जिन्हें समाप्त नहीं किया जा सकता है। किसी भी मूल्य को मापते समय, न केवल उसका मूल्य जानना चाहता है, बल्कि यह भी जानना चाहता है कि इस मूल्य पर कितना भरोसा किया जा सकता है, यह कितना सही है। ऐसा करने के लिए, यह जानना आवश्यक है कि किसी मात्रा का वास्तविक मान मापी गई मात्रा से कितना भिन्न हो सकता है। इन उद्देश्यों के लिए, निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों की अवधारणा पेश की जाती है।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ। निरपेक्ष त्रुटि से पता चलता है कि वास्तविक मूल्य कितना है भौतिक मात्रामापा से अलग। यह डिवाइस पर ही (वाद्य त्रुटि) और माप प्रक्रिया (पैमाने पर पढ़ने की त्रुटि) पर निर्भर करता है। इंस्ट्रूमेंटल एरर को इंस्ट्रूमेंट के पासपोर्ट में इंगित किया जाना चाहिए (एक नियम के रूप में, यह इंस्ट्रूमेंट के स्केल डिवीजन के बराबर है)। रीडिंग एरर को आमतौर पर आधे डिविजन वैल्यू के बराबर लिया जाता है। अनुमानित मान की पूर्ण त्रुटि अंतर Δ x \u003d | x - x 0 | है, जहां x 0 एक अनुमानित मान है, और x मापा मान का सटीक मान है, या कभी-कभी x के बजाय वे A ΔA \ का उपयोग करते हैं। u003d | ए - ए 0 |।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ। उदाहरण। यह ज्ञात है कि -0.333 -1/3 के लिए अनुमानित मान है। फिर निरपेक्ष त्रुटि की परिभाषा के अनुसार Δ x= |x - x 0 |= | -1/3+0.333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300। कई व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण मामलों में, इस तथ्य के कारण सन्निकटन की पूर्ण त्रुटि का पता लगाना असंभव है कि मात्रा का सटीक मूल्य अज्ञात है। हालाँकि, आप एक धनात्मक संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिससे अधिक यह निरपेक्ष त्रुटि नहीं हो सकती है। यह कोई भी संख्या h है जो असमानता को संतुष्ट करती है | x | h इसे पूर्ण त्रुटि सीमा कहा जाता है।

इस मामले में, वे कहते हैं कि x का मान लगभग ज तक x 0 के बराबर है। x \u003d x 0 ± h या x 0 - h x x 0 + h

माप उपकरणों की निरपेक्ष वाद्य त्रुटियाँ

मापी गई मात्राओं की वाद्य त्रुटियों का आकलन। अधिकांश माप उपकरणों के लिए, उपकरण की त्रुटि इसके पैमाने के विभाजन के बराबर होती है। अपवाद डिजिटल उपकरण और डायल गेज हैं। डिजिटल उपकरणों के लिए, त्रुटि उनके पासपोर्ट में इंगित की जाती है और आमतौर पर डिवाइस के स्केल डिवीजन से कई गुना अधिक होती है। सूचक माप उपकरणों के लिए, त्रुटि उनकी सटीकता वर्ग द्वारा निर्धारित की जाती है, जो कि उपकरण के पैमाने और माप सीमा पर इंगित की जाती है। सटीकता वर्ग को डिवाइस के पैमाने पर एक संख्या के रूप में दर्शाया गया है जो किसी भी फ्रेम से घिरा नहीं है। उदाहरण के लिए, दिखाए गए चित्र में, दबाव नापने का यंत्र की सटीकता वर्ग 1.5 है। सटीकता वर्ग दिखाता है कि डिवाइस की माप की सीमा से कितने प्रतिशत त्रुटि है। एक पॉइंटर प्रेशर गेज के लिए, माप सीमा क्रमशः 3 एटीएम है, दबाव माप त्रुटि 3 एटीएम का 1.5%, यानी 0.045 एटीएम है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अधिकांश पॉइंटर उपकरणों के लिए, उनकी त्रुटि डिवाइस के विभाजन मूल्य के बराबर होती है। जैसा कि हमारे उदाहरण में है, जहां बैरोमीटर का विभाजन मूल्य 0.05 एटीएम है।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ। उस सीमा को निर्धारित करने के लिए निरपेक्ष त्रुटि की आवश्यकता होती है जिसमें वास्तविक मूल्य गिर सकता है, लेकिन समग्र रूप से परिणाम की सटीकता का आकलन करने के लिए, यह बहुत सांकेतिक नहीं है। आखिरकार, 1 मिमी की त्रुटि के साथ 10 मीटर की लंबाई को मापना निश्चित रूप से बहुत सटीक है, साथ ही, 1 मिमी की त्रुटि के साथ 2 मिमी की लंबाई को मापना स्पष्ट रूप से बेहद गलत है। निरपेक्ष माप त्रुटि आमतौर पर एक महत्वपूर्ण अंक ΔA 0.17 0.2 तक होती है। माप परिणाम के संख्यात्मक मान को गोल किया जाता है ताकि उसका अंतिम अंक उसी अंक में हो जो त्रुटि आकृति A=10.332 10.3 है

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ। निरपेक्ष त्रुटि के साथ, सापेक्ष त्रुटि पर विचार करने की प्रथा है, जो कि निरपेक्ष त्रुटि के अनुपात के बराबर है। एक अनुमानित संख्या की सापेक्ष त्रुटि एक अनुमानित संख्या की पूर्ण त्रुटि का अनुपात इस संख्या से ही है: E = x। 100% x 0 सापेक्ष त्रुटि दर्शाती है कि मूल्य के कितने प्रतिशत स्वयं त्रुटि हो सकती है और प्रयोगात्मक परिणामों की गुणवत्ता का आकलन करते समय सांकेतिक है।

उदाहरण। केशिका की लंबाई और व्यास को मापते समय, एल = (10.0 ± 0.1) सेमी, डी = (2.5 ± 0.1) मिमी प्राप्त किए गए थे। इनमें से कौन सा माप अधिक सटीक है? केशिका की लंबाई को मापते समय, 10 मिमी प्रति 100 मिमी की एक पूर्ण त्रुटि की अनुमति है, इसलिए पूर्ण त्रुटि 10/100 = 0.1 = 10% है। केशिका व्यास को मापते समय, अनुमेय पूर्ण त्रुटि 0.1/2.5 = 0.04 = 4% है इसलिए, केशिका व्यास का माप अधिक सटीक है।

कई मामलों में, कोई पूर्ण त्रुटि नहीं पाई जा सकती है। इसलिए सापेक्ष त्रुटि। लेकिन आप सापेक्ष त्रुटि की सीमा पा सकते हैं। कोई भी संख्या असमानता को संतुष्ट करती है | x | / | एक्स ओ | , सापेक्ष त्रुटि की सीमा है। विशेष रूप से, यदि h पूर्ण त्रुटि सीमा है, तो संख्या δ= h/| x o |, सन्निकटन x o की सापेक्ष त्रुटि की सीमा है। यहाँ से। सीमा जानने के संबंध में , कोई निरपेक्ष त्रुटि h की सीमा ज्ञात कर सकता है। एच = δ | एक्स ओ |

उदाहरण। यह ज्ञात है कि 2=1.41… सन्निकट समानता की सापेक्ष शुद्धता या सन्निकट समानता 2 1.41 की सापेक्ष त्रुटि की सीमा ज्ञात कीजिए। यहाँ x \u003d 2, x o \u003d 1.41, x \u003d 2-1.41। स्पष्ट रूप से 0 Δ x 1.42-1.41 = 0.01 x/ x o 0.01/1.41=1/141, पूर्ण त्रुटि सीमा 0.01 है, सापेक्ष त्रुटि सीमा 1/141 है

उदाहरण। पैमाने से रीडिंग पढ़ते समय, यह महत्वपूर्ण है कि आपकी निगाह उपकरण के पैमाने पर लंबवत पड़े, जबकि त्रुटि कम होगी। थर्मामीटर रीडिंग निर्धारित करने के लिए: 1. डिवीजनों की संख्या निर्धारित करें, 2. उन्हें डिवीजन मूल्य से गुणा करें 3. त्रुटि को ध्यान में रखें 4. अंतिम परिणाम लिखें। टी = 20 डिग्री सेल्सियस ± 1.5 डिग्री सेल्सियस इसका मतलब है कि तापमान 18.5 डिग्री और 21.5 डिग्री के बीच है। उदाहरण के लिए, यह 19, और 20 और 21 डिग्री सेल्सियस हो सकता है। माप की सटीकता बढ़ाने के लिए, उन्हें कम से कम तीन बार दोहराने और मापा मूल्य के औसत मूल्य की गणना करने की प्रथा है

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I माप परिणाम C 1 \u003d 34.5 C 2 \u003d 33.8 C 3 \u003d 33.9 C 4 \u003d 33 .5 C 5 \u003d 54.2 a) आइए cp \u003d (c 1 + c) के साथ चार मात्राओं का औसत मान ज्ञात करें। 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34.5 + 33.8 + 33.9 + 33 ,5):4 = 33.925 33.9 b) औसत मान से मान का विचलन с = | सी-सीपी | सी 1 = | सी 1 - सी सीपी | = | 34.5 - 33.9 | = 0.6 c 2 = | सी 2 - सी सीपी | = | 33.8 - 33.9 | = 0.1 c 3 = | सी 3 - सी सीपी | = | 33.9 - 33.9 | = 0 c 4 = | सी 4 - सी सीपी | = | 33.5 - 33.9 | = 0.4

सी) पूर्ण त्रुटि खोजें c \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c \u003d (0.6 + 0.4): 4 \u003d 0.275 0.3 g) सापेक्ष त्रुटि खोजें δ \u003d Δc: s SR δ = (0.3: 33.9) 100% = 0.9% e) अंतिम उत्तर लिखें c = 33.9 ± 0.3 = 0.9%

होमवर्क की तैयारी व्यावहारिक सबकव्याख्यान के आधार पर। कार्य निष्पादित करें। माध्य मान और त्रुटि ज्ञात कीजिए: a 1 = 3.685 a 2 = 3.247 a 3 = 3.410 a 4 = 3.309 a 5 = 3.392। विषयों पर प्रस्तुतियाँ बनाएँ: "चिकित्सा में मूल्यों की गोलाई", "माप त्रुटियाँ", "चिकित्सा माप उपकरण"

परिचय

पूर्ण त्रुटि- पूर्ण माप त्रुटि का अनुमान है। गणना विभिन्न तरीके. गणना विधि यादृच्छिक चर के वितरण द्वारा निर्धारित की जाती है। तदनुसार, यादृच्छिक चर के वितरण के आधार पर निरपेक्ष त्रुटि का परिमाण भिन्न हो सकता है। यदि मापा गया मान है और सही मान है, तो असमानता कुछ संभावना के साथ 1 के करीब होनी चाहिए। यदि यादृच्छिक मूल्यसामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, तो आमतौर पर इसके मानक विचलन को पूर्ण त्रुटि के रूप में लिया जाता है। निरपेक्ष त्रुटि को मान के समान ही इकाइयों में मापा जाता है।

किसी मात्रा को उसकी निरपेक्ष त्रुटि के साथ लिखने के कई तरीके हैं।

आमतौर पर ± चिह्न के साथ संकेतन का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1983 में स्थापित 100 मीटर का रिकॉर्ड है 9.930 ± 0.005 s.

· बहुत उच्च सटीकता के साथ मापे गए मानों को रिकॉर्ड करने के लिए, एक और संकेतन का उपयोग किया जाता है: मंटिसा के अंतिम अंकों की त्रुटि के अनुरूप संख्याओं को कोष्ठक में जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक का मापा गया मान है 1.380 6488 (13)?10?23 जम्मू/कश्मीर, जिसे बहुत लंबा भी लिखा जा सकता है 1.380 6488?10?23 ±0.000 0013?10?23 जे/के.

रिश्तेदारों की गलती- माप त्रुटि, मापा मात्रा (आरएमजी 29-99) के वास्तविक या औसत मूल्य के लिए पूर्ण माप त्रुटि के अनुपात के रूप में व्यक्त:।

सापेक्ष त्रुटि एक आयामहीन मात्रा है, या इसे प्रतिशत के रूप में मापा जाता है।

सन्निकटन

बहुत ज्यादा और बहुत कम? गणना की प्रक्रिया में, किसी को अक्सर अनुमानित संख्याओं से निपटना पड़ता है। रहने दो लेकिन- एक निश्चित मात्रा का सटीक मूल्य, जिसे इसके बाद कहा जाता है सटीक संख्या ए।मात्रा के अनुमानित मूल्य के तहत लेकिन,या अनुमानित संख्याएक नंबर कहा जाता है लेकिन, जो मात्रा के सटीक मान को प्रतिस्थापित करता है लेकिन।अगर लेकिन< लेकिन,फिर लेकिनसंख्या का अनुमानित मान कहलाता है और कमी के लिए।अगर लेकिन> लेकिन,- फिर अधिक।उदाहरण के लिए, 3.14 संख्या का एक सन्निकटन है आरकमी से, और 3.15 अधिक से। इस सन्निकटन की सटीकता की डिग्री को चिह्नित करने के लिए, अवधारणा का उपयोग किया जाता है त्रुटियोंया त्रुटियाँ।

त्रुटि डी लेकिनअनुमानित संख्या लेकिनरूप का अंतर कहा जाता है

डी ए = ए-लेकिन,

कहाँ पे लेकिनसंगत सटीक संख्या है।

चित्र से पता चलता है कि खंड AB की लंबाई 6 सेमी और 7 सेमी के बीच है।

इसका मतलब है कि 6 एक कमी के साथ खंड एबी (सेंटीमीटर में)\u003e की लंबाई का अनुमानित मूल्य है, और 7 एक अतिरिक्त के साथ है।

खंड की लंबाई को अक्षर y से निरूपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина खंड AB (चित्र 149) 7 सेमी की तुलना में 6 सेमी के करीब है। यह लगभग 6 सेमी के बराबर है। वे कहते हैं कि संख्या 6 को खंड की लंबाई को पूर्णांक में गोल करके प्राप्त किया गया था।

निरपेक्ष मूल्य मतभेदकिसी मात्रा के अनुमानित और सटीक (सत्य) मान के बीच कहा जाता है पूर्ण त्रुटिअनुमानित मूल्य। उदाहरण के लिएअगर सही संख्या 1,214 दसवें तक पूर्णांकित करने पर हमें एक अनुमानित संख्या प्राप्त होती है 1,2 . इस मामले में, अनुमानित संख्या की पूर्ण त्रुटि होगी 1,214 – 1,2 = 0,014 .

लेकिन ज्यादातर मामलों में, विचाराधीन मात्रा का सटीक मूल्य अज्ञात है, लेकिन केवल अनुमानित है। तब पूर्ण त्रुटि भी अज्ञात है। इन मामलों में इंगित करें बॉर्डरजो इससे अधिक न हो। इस नंबर को कहा जाता है सीमा निरपेक्ष त्रुटि।वे कहते हैं कि किसी संख्या का सटीक मान उसके अनुमानित मान के बराबर होता है जिसमें त्रुटि सीमा त्रुटि से कम होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 23,71 संख्या का अनुमानित मूल्य है 23,7125 तक 0,01 , चूंकि निरपेक्ष सन्निकटन त्रुटि के बराबर है 0,0025 और कम 0,01 . यहाँ, सीमा निरपेक्ष त्रुटि के बराबर है 0,01 .*

(* शुद्धत्रुटि सकारात्मक और नकारात्मक दोनों है। उदाहरण के लिए, 1,68 ≈ 1,7 . निरपेक्ष त्रुटि है 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . सीमात्रुटि हमेशा सकारात्मक होती है)।

अनुमानित संख्या की सीमा पूर्ण त्रुटि " लेकिन » प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है Δ लेकिन . रिकॉर्डिंग

एक्स लेकिन ( Δ लेकिन)

इस प्रकार समझा जाना चाहिए: मात्रा का सही मूल्य एक्स बीच में है लेकिन +Δ लेकिन और लेकिन –Δ लेकिन, जिन्हें क्रमशः नाम दिया गया है तलऔर ऊपरी सीमा एक्स और निरूपित करें एचजी एक्स और मेंजी एक्स .

उदाहरण के लिए, अगर एक्स≈ 2,3 ( 0,1), फिर 2,2 < एक्स < 2,4 .

इसके विपरीत, यदि 7,3 < एक्स < 7,4, फिर एक्स≈ 7,35 ( 0,05).

निरपेक्ष या सीमा निरपेक्ष त्रुटि नहींमाप की गुणवत्ता की विशेषता। उसी पूर्ण त्रुटि को महत्वपूर्ण और महत्वहीन माना जा सकता है, जो उस संख्या पर निर्भर करता है जो मापा मूल्य को व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम दो शहरों के बीच की दूरी को एक किलोमीटर की सटीकता के साथ मापते हैं, तो इस माप के लिए इतनी सटीकता काफी है, जबकि एक ही समय में, एक ही सड़क पर दो घरों के बीच की दूरी को मापते समय, ऐसी सटीकता अस्वीकार्य होगी .

इसलिए, किसी मात्रा के अनुमानित मूल्य की सटीकता न केवल निरपेक्ष त्रुटि के परिमाण पर निर्भर करती है, बल्कि मापी गई मात्रा के मूल्य पर भी निर्भर करती है। इसीलिए सटीकता का माप सापेक्ष त्रुटि है।

रिश्तेदारों की गलतीनिरपेक्ष त्रुटि का अनुपात अनुमानित संख्या के मान से है। सीमा निरपेक्ष त्रुटि और अनुमानित संख्या के अनुपात को कहा जाता है सीमा सापेक्ष त्रुटि; इसे इस तरह निरूपित करें: Δ ए/ए. सापेक्ष और सीमा सापेक्ष त्रुटियां आमतौर पर व्यक्त की जाती हैं प्रतिशत में.

उदाहरण के लिएयदि माप से पता चलता है कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी . से अधिक है 12.3 किमी, लेकिन कम 12.7 किमी, फिर के लिए अनुमानितइसका अर्थ स्वीकार किया जाता है औसतये दो नंबर, यानी। उन्हें आधा योग, फिर सीमापूर्ण त्रुटि है अर्ध-अंतरये नंबर। इस मामले में एक्स≈ 12,5 ( 0,2). यहाँ सीमा है शुद्धत्रुटि है 0.2 किमी, और सीमा

के लिये आधुनिक कार्यउन्हें हल करने के लिए एक जटिल गणितीय उपकरण और विकसित विधियों का उपयोग करना आवश्यक है। इस मामले में, अक्सर समस्याओं का सामना करना पड़ता है जिसके लिए विश्लेषणात्मक समाधान, अर्थात, प्रारंभिक डेटा को आवश्यक परिणामों से जोड़ने वाली विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के रूप में एक समाधान या तो बिल्कुल भी असंभव है, या ऐसे बोझिल सूत्रों में व्यक्त किया जाता है कि व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उनका उपयोग करना अव्यावहारिक है।

इस मामले में, संख्यात्मक समाधान विधियों का उपयोग किया जाता है, जिससे समस्या का एक संख्यात्मक समाधान प्राप्त करना संभव हो जाता है। कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम का उपयोग करके संख्यात्मक विधियों को लागू किया जाता है।

संख्यात्मक विधियों की पूरी विविधता को दो समूहों में विभाजित किया गया है:

सटीक - वे मानते हैं कि यदि गणना सटीक रूप से की जाती है, तो अंकगणित और तार्किक संचालन की एक सीमित संख्या की मदद से वांछित मात्राओं के सटीक मान प्राप्त किए जा सकते हैं।

अनुमानित - जो, इस धारणा के तहत भी कि गणना बिना गोलाई के की जाती है, आपको केवल दी गई सटीकता के साथ समस्या का समाधान प्राप्त करने की अनुमति देता है।

1. मूल्य और संख्या। एक मात्रा एक ऐसी चीज है जिसे कुछ इकाइयों में एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

जब वे किसी मात्रा के मूल्य के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब एक निश्चित संख्या से होता है, जिसे मात्रा का संख्यात्मक मान और इसकी माप की इकाई कहा जाता है।

इस प्रकार, मात्रा किसी वस्तु या घटना की संपत्ति की विशेषता है, जो कई वस्तुओं के लिए सामान्य है, लेकिन उनमें से प्रत्येक के लिए अलग-अलग मूल्य हैं।

मान स्थिर या परिवर्तनशील हो सकते हैं। यदि, कुछ शर्तों के तहत, मान केवल एक मान लेता है और इसे बदल नहीं सकता है, तो इसे स्थिर कहा जाता है, यदि यह ले सकता है विभिन्न अर्थ, तो एक चर है। हाँ, त्वरण निर्बाध गिरावटशरीर में इस जगहपृथ्वी की सतह एक स्थिर मान है, जो एक संख्यात्मक मान g = 9.81 ... m / s2 लेता है, जबकि पथ s, ट्रैवर्स किया जाता है सामग्री बिंदुअपने आंदोलन के दौरान, एक चर है।

2. संख्याओं का अनुमानित मान। मात्रा का वह मूल्य, जिसके सत्य पर हमें संदेह नहीं होता, सटीक कहलाता है। अक्सर, हालांकि, किसी मात्रा के मूल्य की तलाश करते समय, केवल उसका अनुमानित मूल्य ही प्राप्त होता है। गणना के अभ्यास में, अक्सर संख्याओं के अनुमानित मूल्यों से निपटना पड़ता है। तो, p एक सटीक संख्या है, लेकिन इसकी अपरिमेयता के कारण, केवल इसके अनुमानित मान का ही उपयोग किया जा सकता है।

कई समस्याओं में, जटिलता के कारण, और अक्सर सटीक समाधान प्राप्त करने की असंभवता, अनुमानित समाधान विधियों का उपयोग किया जाता है, इनमें शामिल हैं: समीकरणों का अनुमानित समाधान, कार्यों का प्रक्षेप, इंटीग्रल की अनुमानित गणना, आदि।

अनुमानित गणना के लिए मुख्य आवश्यकता मध्यवर्ती गणना और अंतिम परिणाम की निर्दिष्ट सटीकता का अनुपालन है। साथ ही, गणनाओं के अनुचित रूप से मोटे होने से त्रुटियों (त्रुटियों) में वृद्धि, और अनावश्यक आंकड़ों की अवधारण जो वास्तविक सटीकता के अनुरूप नहीं हैं, दोनों समान रूप से अस्वीकार्य हैं।

गणना और पूर्णांकन संख्याओं के परिणामस्वरूप त्रुटियों के दो वर्ग हैं - निरपेक्ष और सापेक्ष।

1. पूर्ण त्रुटि (त्रुटि)।

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

मान लीजिए A कुछ मात्रा का सटीक मान है, रिकॉर्ड करें ए » एहम पढ़ेंगे "ए लगभग ए के बराबर है"। कभी-कभी हम ए = ए लिखेंगे, यह ध्यान में रखते हुए कि हम लगभग समानता के बारे में बात कर रहे हैं।

यदि यह ज्ञात हो कि ए< А, то а называют एक नुकसान के साथ ए का अनुमानित मूल्य।यदि a > A, तो a कहा जाता है A का अनुमानित मान अधिक है।

किसी मात्रा के सटीक और अनुमानित मूल्यों के बीच के अंतर को कहते हैं सन्निकटन त्रुटिऔर इसे D से निरूपित किया जाता है, अर्थात।

डी \u003d ए - ए (1)

सन्निकटन की त्रुटि D धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकती है।

मात्रा के अनुमानित मूल्य और सटीक मूल्य के बीच अंतर को चिह्नित करने के लिए, सटीक और अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर के पूर्ण मूल्य को इंगित करने के लिए अक्सर पर्याप्त होता है।

अनुमानित . के बीच अंतर का निरपेक्ष मान लेकिनऔर सटीक लेकिनसंख्या मान कहलाते हैं सन्निकटन की पूर्ण त्रुटि (त्रुटि)और D . द्वारा निरूपित किया जाता है लेकिन:

डी लेकिन = ½ लेकिन – लेकिन½ (2)

उदाहरण 1एक रेखा को मापते समय मैंएक रूलर का उपयोग किया है, जिसका स्केल डिवीजन मान 0.5 सेमी है। हमें खंड की लंबाई के लिए एक अनुमानित मान मिला है लेकिन= 204 सेमी.

यह स्पष्ट है कि माप के दौरान उन्हें 0.5 सेमी से अधिक की गलती नहीं की जा सकती है, अर्थात। पूर्ण माप त्रुटि 0.5 सेमी से अधिक नहीं है।

आमतौर पर, पूर्ण त्रुटि अज्ञात होती है, क्योंकि संख्या A का सटीक मान अज्ञात होता है। इसलिए, कुछ मूल्यांकनपूर्ण त्रुटि:

डी लेकिन <= Dलेकिन इससे पहले. (3)

जहां घ इससे पहले. - सीमांत त्रुटि (संख्या, अधिकशून्य), जो उस निश्चितता को ध्यान में रखते हुए निर्धारित किया जाता है जिसके साथ संख्या ज्ञात होती है।

सीमित निरपेक्ष त्रुटि को भी कहा जाता है गलती की सम्भावना. तो, दिए गए उदाहरण में,
डी इससे पहले. = 0.5 सेमी।

से (3) हमें मिलता है: D लेकिन = ½ लेकिन – लेकिन½<= Dलेकिन इससे पहले. . और फिर

लेकिन- डी लेकिन इससे पहले. ≤ लेकिन≤ लेकिन+ डी लेकिन इससे पहले. . (4)

साधन, ए-डी लेकिन इससे पहले. एक सन्निकटन होगा लेकिनएक नुकसान के साथ और ए + डी लेकिन इससे पहले – अनुमानित मूल्य लेकिनअधिक। वे आशुलिपि का भी उपयोग करते हैं: लेकिन= लेकिन±डी लेकिन इससे पहले (5)

यह सीमित पूर्ण त्रुटि की परिभाषा से निम्नानुसार है कि संख्याएं डी लेकिन इससे पहले, असमानता को संतुष्ट करते हुए (3), एक अनंत समुच्चय होगा। व्यवहार में, हम चुनने का प्रयास करते हैं संभवतः कमसंख्या D . से इससे पहले, असमानता को संतुष्ट करना D लेकिन <= Dलेकिन इससे पहले.

उदाहरण 2आइए हम संख्या की सीमित निरपेक्ष त्रुटि का निर्धारण करें ए=3.14, संख्या के अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है।

यह जाना जाता है कि 3,14<π<3,15. इसलिए यह इस प्रकार है कि

|लेकिन – π |< 0,01.

संख्या डी को सीमित पूर्ण त्रुटि के रूप में लिया जा सकता है लेकिन = 0,01.

हालांकि, अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि 3,14<π<3,142 , तो हमें एक बेहतर अनुमान मिलता है :D लेकिन= 0.002, तब 3.14 ±0.002।

सापेक्ष त्रुटि (त्रुटि)।माप की गुणवत्ता को दर्शाने के लिए केवल पूर्ण त्रुटि जानना पर्याप्त नहीं है।

उदाहरण के लिए, दो निकायों का वजन करते समय, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

पी 1 \u003d 240.3 ± 0.1 ग्राम।

पी 2 \u003d 3.8 ± 0.1 ग्राम।

यद्यपि दोनों परिणामों की पूर्ण माप त्रुटियाँ समान हैं, पहले मामले में माप की गुणवत्ता दूसरे की तुलना में बेहतर होगी। यह एक सापेक्ष त्रुटि की विशेषता है।

सापेक्ष त्रुटि (त्रुटि)संख्या सन्निकटन लेकिननिरपेक्ष त्रुटि अनुपात कहा जाता है डी एसंख्या A के निरपेक्ष मान का सन्निकटन:

चूंकि किसी मात्रा का सटीक मूल्य आमतौर पर अज्ञात होता है, इसे एक अनुमानित मूल्य से बदल दिया जाता है और फिर:

सापेक्ष त्रुटि सीमित करनाया सापेक्ष सन्निकटन त्रुटि की सीमा,नंबर d . कहा जाता है और इससे पहले कि।> 0, ऐसा है कि:

डी लेकिन<= डी और इससे पहले कि।

सीमित सापेक्ष त्रुटि के लिए, कोई स्पष्ट रूप से सीमित निरपेक्ष त्रुटि के अनुपात को अनुमानित मूल्य के निरपेक्ष मान पर ले जा सकता है:

(9) से निम्नलिखित महत्वपूर्ण संबंध आसानी से प्राप्त होते हैं:

∆और इससे पहले कि। = |ए| डी और इससे पहले कि।

सीमित सापेक्ष त्रुटि आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है:

उदाहरण।गणना के लिए प्राकृतिक लघुगणक का आधार बराबर लिया जाता है इ=2.72. हमने सटीक मान के रूप में लिया इएम = 2.7183। एक अनुमानित संख्या की निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ ज्ञात कीजिए।

डी इ = ½ इ – इटी ½=0.0017;

.

सापेक्ष त्रुटि का मान सबसे अनुमानित संख्या में आनुपातिक परिवर्तन और इसकी पूर्ण त्रुटि के साथ अपरिवर्तित रहता है। तो, संख्या 634.7 के लिए, एक पूर्ण त्रुटि D = 1.3 के साथ गणना की जाती है, और संख्या 6347 के लिए त्रुटि D = 13 के साथ, सापेक्ष त्रुटियां समान हैं: डी= 0,2.