वैक्टर के बीच कोसाइन खोजने का सूत्र। वैक्टर का डॉट उत्पाद

अनुदेश

मान लीजिए कि एक बिंदु से प्लॉट किए गए विमान पर दो गैर-शून्य वैक्टर दिए गए हैं: निर्देशांक के साथ वेक्टर ए (x1, y1) बी निर्देशांक (x2, y2) के साथ। इंजेक्शनउनके बीच के रूप में दर्शाया गया है। कोण का अंश माप ज्ञात करने के लिए, आपको अदिश गुणनफल की परिभाषा का उपयोग करना होगा।

दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या होती है जो इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात (A,B)=|A|*|B|*cos(θ) . अब आपको इससे कोण की कोज्या व्यक्त करने की आवश्यकता है: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|)।

अदिश उत्पाद को सूत्र (A,B)=x1*x2+y1*y2 का उपयोग करके भी पाया जा सकता है, क्योंकि दो का गुणनफल गैर-शून्य वैक्टरसंबंधित वैक्टर के उत्पादों के योग के बराबर है। यदि शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य के बराबर है, तो सदिश लंबवत हैं (उनके बीच का कोण 90 डिग्री है) और आगे की गणनाओं को छोड़ा जा सकता है। यदि दो सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक है, तो इनके बीच का कोण वैक्टरतीव्र है, और यदि ऋणात्मक है, तो कोण अधिक है।

अब सूत्रों का उपयोग करके वैक्टर ए और बी की लंबाई की गणना करें: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²)। वेक्टर लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है वर्गमूलइसके निर्देशांक के वर्गों के योग से।

चरण 2 में प्राप्त कोण के सूत्र में स्केलर उत्पाद और वैक्टर की लंबाई के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें, अर्थात, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²))। अब, का मान जानने के लिए, के बीच के कोण का डिग्री माप ज्ञात करना वैक्टरआपको ब्रैडिस तालिका का उपयोग करने या इससे लेने की आवश्यकता है: θ=arccos(cos(θ))।

यदि सदिश A और B त्रिविमीय स्थान में दिए गए हैं और उनके निर्देशांक (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) हैं, तो कोण की कोज्या ज्ञात करते समय एक और निर्देशांक जोड़ दिया जाता है। इस मामले में कोज्या: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²))।

मददगार सलाह

यदि दो वैक्टर एक बिंदु से प्लॉट नहीं किए जाते हैं, तो समानांतर अनुवाद द्वारा उनके बीच के कोण को खोजने के लिए, आपको इन वैक्टरों की शुरुआत को जोड़ना होगा।
दो सदिशों के बीच का कोण 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता।

स्रोत:

वैक्टर के बीच कोण की गणना कैसे करें
रेखा और समतल के बीच का कोण

भौतिकी और रैखिक बीजगणित में अनुप्रयुक्त और सैद्धांतिक दोनों समस्याओं को हल करने के लिए, वैक्टर के बीच के कोण की गणना करना आवश्यक है। यदि आप अदिश उत्पाद के सार को स्पष्ट रूप से नहीं समझते हैं और इस उत्पाद के परिणामस्वरूप क्या मूल्य प्रकट होता है, तो यह प्रतीत होने वाला सरल कार्य बहुत सी कठिनाइयों का कारण बन सकता है।

अनुदेश

एक रेखीय सदिश समष्टि में सदिशों के बीच का कोण वह न्यूनतम कोण होता है जिस पर सदिशों का कोडनिर्देशन प्राप्त होता है। वैक्टर में से एक को इसके शुरुआती बिंदु के आसपास ले जाया जाता है। परिभाषा से, यह स्पष्ट हो जाता है कि कोण का मान 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता (चरण देखें)।

इस मामले में, यह बिल्कुल सही माना जाता है कि एक रैखिक स्थान में, जब वैक्टर समानांतर में स्थानांतरित होते हैं, तो उनके बीच का कोण नहीं बदलता है। इसलिए, कोण की विश्लेषणात्मक गणना के लिए, वैक्टर का स्थानिक अभिविन्यास मायने नहीं रखता है।

डॉट उत्पाद का परिणाम एक संख्या है, अन्यथा एक अदिश। आगे की गणना में त्रुटियों को रोकने के लिए याद रखें (यह जानना महत्वपूर्ण है)। एक विमान पर या वैक्टर के स्थान पर स्थित स्केलर उत्पाद के सूत्र का रूप होता है (चरण के लिए आंकड़ा देखें)।

यदि वैक्टर अंतरिक्ष में स्थित हैं, तो उसी तरह से गणना करें। केवल एक चीज लाभांश में शब्द की उपस्थिति होगी - यह आवेदन के लिए शब्द है, अर्थात। वेक्टर का तीसरा घटक। तदनुसार, वैक्टर के मॉड्यूल की गणना करते समय, जेड घटक को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए, फिर अंतरिक्ष में स्थित वैक्टर के लिए, अंतिम अभिव्यक्ति को निम्नानुसार रूपांतरित किया जाता है (चरण 6 में चित्र देखें)।

एक वेक्टर एक दी गई दिशा वाला एक रेखा खंड है। सदिशों के बीच का कोण होता है भौतिक अर्थ, उदाहरण के लिए, जब एक अक्ष पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण की लंबाई का पता लगाया जाता है।

अनुदेश

डॉट उत्पाद गणना का उपयोग करते हुए दो गैर-शून्य वैक्टर के बीच का कोण। परिभाषा के अनुसार, उत्पाद लंबाई और उनके बीच के कोण के उत्पाद के बराबर है। दूसरी ओर, निर्देशांक (x1; y1) और b निर्देशांक (x2; y2) के साथ दो वैक्टर a के लिए आंतरिक उत्पाद की गणना की जाती है: ab = x1x2 + y1y2। इन दो तरीकों में से, डॉट उत्पाद वैक्टर के बीच कोण बनाना आसान है।

वैक्टर की लंबाई या मॉड्यूल खोजें। हमारे सदिश a और b के लिए: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

सदिशों के निर्देशांकों को युग्मों में गुणा करके उनका आंतरिक गुणनफल ज्ञात कीजिए: ab = x1x2 + y1y2। डॉट उत्पाद की परिभाषा से ab = |a|*|b|*cos α, जहां α वैक्टर के बीच का कोण है। तब हम पाते हैं कि x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α। तब cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2।

ब्रैडिस टेबल का उपयोग करके कोण α खोजें।

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टिप्पणी

अदिश उत्पाद वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण की एक अदिश विशेषता है।

विमान ज्यामिति में बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। एक तल एक सतह है जिसके लिए कथन सत्य है - इसके दो बिंदुओं को जोड़ने वाली कोई भी सीधी रेखा पूरी तरह से इसी सतह से संबंधित होती है। विमानों को नामित किया गया है ग्रीक अक्षरα, β, , आदि। दो तल हमेशा एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं जो दोनों तलों से संबंधित है।

अनुदेश

के चौराहे पर बनने वाले अर्ध-तलों α और β पर विचार करें। एक सीधी रेखा a और दो अर्ध-तलों α और β द्वारा एक विकर्ण कोण द्वारा निर्मित कोण। इस मामले में, चेहरे द्वारा एक डायहेड्रल कोण बनाने वाले आधे-तल, रेखा जिस पर विमान प्रतिच्छेद करते हैं उसे किनारे कहा जाता है द्विफलक कोण.

डायहेड्रल कोण, एक समतल कोण की तरह, डिग्री में। एक विकर्ण कोण बनाने के लिए इसके फलक पर एक मनमाना बिंदु O चुनना आवश्यक है।दोनों में, दो किरणें बिंदु O से होकर खींची जाती हैं। परिणामी कोण AOB को विकर्ण कोण a का रैखिक कोण कहा जाता है।

तो, सदिश V = (a, b, c) और तल A x + B y + C z = 0 दिया जाए, जहां A, B और C प्रसामान्य N के निर्देशांक हैं। तब कोण की कोज्या वैक्टर V और N के बीच α है: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²))।

डिग्री या रेडियन में कोण के मान की गणना करने के लिए, आपको परिणामी अभिव्यक्ति से कोसाइन के विपरीत फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है, अर्थात। आर्ककोसाइन: α \u003d arscos ((a + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²)))।

उदाहरण: खोजें इंजेक्शनके बीच वेक्टर(5, -3, 8) और विमान, सामान्य समीकरण 2 x - 5 y + 3 z = 0 द्वारा दिया गया है। हल: समतल N = (2, -5, 3) के प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक लिखिए। सब कुछ बदलें ज्ञात मूल्यउपरोक्त सूत्र में: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°।

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एक समीकरण लिखिए और उसमें से कोज्या अलग कीजिए। एक सूत्र के अनुसार, सदिशों का अदिश गुणन उनकी लंबाई के एक दूसरे से गुणा और कोज्या के बराबर होता है कोना, और दूसरी ओर - प्रत्येक अक्ष के साथ निर्देशांक के उत्पादों का योग। दोनों सूत्रों की बराबरी करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोज्या कोनानिर्देशांक के उत्पादों के योग के अनुपात के बराबर होना चाहिए वैक्टर की लंबाई के उत्पाद के लिए।

परिणामी समीकरण लिखिए। ऐसा करने के लिए, हमें दोनों वैक्टरों को नामित करने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि वे 3D कार्टेशियन सिस्टम में दिए गए हैं और उनके शुरुआती बिंदु ग्रिड में हैं। पहले वेक्टर की दिशा और परिमाण बिंदु (X₁,Y₁,Z₁), दूसरे - (X₂,Y₂,Z₂) द्वारा दिया जाएगा, और कोण को अक्षर द्वारा दर्शाया जाएगा। फिर प्रत्येक वेक्टर की लंबाई हो सकती है, उदाहरण के लिए, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार प्रत्येक समन्वय अक्ष पर उनके अनुमानों द्वारा गठित: (X₁² + Y₁² + Z₁²) और √(X₂² + Y₂² + Z₂²)। पिछले चरण में तैयार किए गए सूत्र में इन अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करें और आपको समानता मिलती है: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²))।

इस तथ्य का प्रयोग करें कि वर्ग का योग साइनसऔर सह साइनससे कोनाएक मान हमेशा एक देता है। इसलिए, सह के लिए पिछले चरण में जो प्राप्त किया गया था उसे बढ़ाकर साइनसएकता से चुकता और घटाया जाता है, और फिर

ज्यामिति का अध्ययन करते समय, वैक्टर के विषय पर कई प्रश्न उठते हैं। जब वैक्टर के बीच के कोणों को खोजना आवश्यक होता है तो छात्र को विशेष कठिनाइयों का अनुभव होता है।

मूल शर्तें

सदिशों के बीच के कोणों पर विचार करने से पहले, सदिश की परिभाषा और सदिशों के बीच के कोण की अवधारणा से स्वयं को परिचित करना आवश्यक है।

एक वेक्टर एक खंड है जिसमें एक दिशा होती है, यानी एक खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत परिभाषित किया जाता है।

एक समतल पर दो सदिशों के बीच का कोण, जिसका उद्गम उभयनिष्ठ होता है, कोणों से छोटा होता है, जिसके द्वारा किसी एक सदिश को एक उभयनिष्ठ बिंदु के चारों ओर उस स्थिति में ले जाना आवश्यक होता है, जहां उनकी दिशाएं मेल खाती हैं।

समाधान सूत्र

एक बार जब आप समझ जाते हैं कि एक वेक्टर क्या है और इसका कोण कैसे निर्धारित किया जाता है, तो आप वैक्टर के बीच के कोण की गणना कर सकते हैं। इसका समाधान सूत्र काफी सरल है, और इसके प्रयोग का परिणाम कोण की कोज्या का मान होगा। परिभाषा के अनुसार, यह सदिशों के अदिश गुणनफल के भागफल और उनकी लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

सदिशों के अदिश गुणनफल को गुणक सदिशों के संगत निर्देशांकों के योग के रूप में गुणा किया जाता है। एक सदिश या उसके मापांक की लंबाई की गणना उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में की जाती है।

कोण के कोज्या का मान प्राप्त करने के बाद, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके या उपयोग करके कोण के मान की गणना स्वयं कर सकते हैं त्रिकोणमितीय तालिका.

उदाहरण

एक बार जब आप समझ जाते हैं कि वैक्टर के बीच के कोण की गणना कैसे की जाती है, तो संबंधित समस्या का समाधान सरल और सीधा हो जाता है। एक उदाहरण के रूप में, एक कोण का परिमाण ज्ञात करने की साधारण समस्या पर विचार करें।

सबसे पहले, हल करने के लिए आवश्यक वैक्टरों की लंबाई और उनके स्केलर उत्पाद के मूल्यों की गणना करना अधिक सुविधाजनक होगा। उपरोक्त विवरण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

प्राप्त मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित कोण के कोसाइन के मूल्य की गणना करते हैं:

यह संख्या पांच सामान्य कोसाइन मानों में से एक नहीं है, इसलिए कोण का मान प्राप्त करने के लिए, आपको एक कैलकुलेटर या ब्रैडिस त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करना होगा। लेकिन वैक्टर के बीच कोण प्राप्त करने से पहले, अतिरिक्त नकारात्मक चिह्न से छुटकारा पाने के लिए सूत्र को सरल बनाया जा सकता है:

सटीकता बनाए रखने के लिए इस फॉर्म में अंतिम उत्तर छोड़ा जा सकता है, या आप डिग्री में कोण के मान की गणना कर सकते हैं। ब्रैडिस तालिका के अनुसार, इसका मान लगभग 116 डिग्री और 70 मिनट होगा, और कैलकुलेटर 116.57 डिग्री का मान दिखाएगा।

एन-आयामी अंतरिक्ष में कोण गणना

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो वैक्टरों पर विचार करते समय, यह समझना अधिक कठिन होता है कि हम किस कोण के बारे में बात कर रहे हैं यदि वे एक ही विमान में नहीं हैं। धारणा को सरल बनाने के लिए, आप दो प्रतिच्छेदन खंड खींच सकते हैं जो उनके बीच सबसे छोटा कोण बनाते हैं, और यह वांछित होगा। वेक्टर में तीसरे निर्देशांक की उपस्थिति के बावजूद, वैक्टर के बीच के कोणों की गणना कैसे की जाती है, इसकी प्रक्रिया नहीं बदलेगी। वैक्टर के स्केलर उत्पाद और मॉड्यूल की गणना करें, उनके भागफल के आर्ककोसाइन और इस समस्या का उत्तर होगा।

ज्यामिति में, समस्याएँ अक्सर उन रिक्त स्थान के साथ होती हैं जिनमें तीन से अधिक आयाम होते हैं। लेकिन उनके लिए, उत्तर खोजने के लिए एल्गोरिथ्म समान दिखता है।

0 और 180 डिग्री के बीच का अंतर

वैक्टर के बीच कोण की गणना करने के लिए डिज़ाइन की गई समस्या का उत्तर लिखते समय सामान्य गलतियों में से एक यह लिखने का निर्णय है कि वैक्टर समानांतर हैं, अर्थात वांछित कोण 0 या 180 डिग्री निकला। यह उत्तर गलत है।

समाधान के परिणामस्वरूप 0 डिग्री का कोण मान प्राप्त करने के बाद, सही उत्तर वैक्टर को सह-दिशात्मक के रूप में नामित करना होगा, अर्थात वैक्टर की दिशा समान होगी। 180 डिग्री प्राप्त करने की स्थिति में, सदिश विपरीत दिशाओं की प्रकृति के होंगे।

विशिष्ट वैक्टर

ऊपर वर्णित सह-निर्देशित और विपरीत दिशा वाले लोगों के अलावा, वैक्टर के बीच के कोणों को ढूंढकर, विशेष प्रकारों में से एक पाया जा सकता है।

एक समतल के समानांतर कई सदिशों को समतलीय कहा जाता है।
वे सदिश जो लंबाई और दिशा में समान होते हैं, समान कहलाते हैं।
वे सदिश जो दिशा की परवाह किए बिना एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, संरेख कहलाते हैं।
यदि सदिश की लंबाई शून्य हो, अर्थात उसका आरंभ और अंत संपाती हो, तो इसे शून्य कहते हैं, और यदि यह एक है, तो इसे एक कहा जाता है।

दो सदिशों के बीच का कोण, :

यदि दो सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण है, तो उनका डॉट गुणनफल धनात्मक होता है; यदि सदिशों के बीच का कोण अधिक है, तो इन सदिशों का अदिश गुणन ऋणात्मक होता है। दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य होता है यदि और केवल यदि ये सदिश लंबकोणीय हों।

व्यायाम।वैक्टर और के बीच का कोण खोजें

फेसला।वांछित कोण की कोज्या

16. सीधी रेखाओं, एक सीधी रेखा और एक तल के बीच के कोण की गणना करना

रेखा और समतल के बीच का कोणइस रेखा को प्रतिच्छेद करना और इसके लंबवत नहीं इस तल पर रेखा और इसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है।

एक रेखा और एक तल के बीच के कोण का निर्धारण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि एक रेखा और एक तल के बीच का कोण दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण है: स्वयं रेखा और विमान पर इसका प्रक्षेपण। इसलिए, एक रेखा और एक तल के बीच का कोण एक न्यून कोण होता है।

एक लंबवत रेखा और एक विमान के बीच के कोण को बराबर माना जाता है, और समानांतर रेखा और एक विमान के बीच के कोण को या तो बिल्कुल भी निर्धारित नहीं किया जाता है, या इसके बराबर माना जाता है।

69. सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की समस्या को उसी तरह हल किया जाता है जैसे समतल (§ 32) में। रेखाओं के बीच के कोण . द्वारा निरूपित करें मैं 1 और मैं 2 , और से होकर - दिशा सदिशों के बीच का कोण ए और बी ये सीधी रेखाएँ।

तो अगर

90° (चित्र 206.6), तो = 180° - । यह स्पष्ट है कि दोनों ही स्थितियों में समानता cos = |cos | सत्य है। सूत्र द्वारा (1) § 20 हमारे पास है

इस तरह,

मान लीजिए कि रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं

फिर रेखाओं के बीच के कोण को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यदि पंक्तियों में से एक (या दोनों) गैर-विहित समीकरणों द्वारा दी गई है, तो कोण की गणना करने के लिए, आपको इन रेखाओं के दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे, और फिर सूत्र (1) का उपयोग करना होगा।

17. समांतर रेखाएं, समांतर रेखाओं पर प्रमेय

परिभाषा।समतल में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

तीन आयामों में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि वे एक ही तल में स्थित हों और उनके कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हों।

दो वैक्टर के बीच का कोण।

डॉट उत्पाद की परिभाषा से:

दो सदिशों की ओर्थोगोनैलिटी की स्थिति:

दो वैक्टर के लिए कोलीनियरिटी की स्थिति:

परिभाषा 5 से अनुसरण करता है - . वास्तव में, किसी संख्या द्वारा सदिश के गुणनफल की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है। इसलिए, सदिश समानता नियम के आधार पर, हम लिखते हैं , , जिसका अर्थ है . लेकिन सदिश एक संख्या से सदिश के गुणन के परिणामस्वरूप सदिश के संरेखीय होता है।

वेक्टर-से-वेक्टर प्रक्षेपण:

उदाहरण 4. दिए गए अंक , , , .

अदिश उत्पाद ज्ञात कीजिए।

फेसला. हम उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सदिशों के अदिश गुणनफल के सूत्र से पाते हैं। जहां तक कि

, ,

उदाहरण 5दिए गए अंक , , , .

प्रक्षेपण खोजें।

फेसला. जहां तक कि

, ,

प्रक्षेपण सूत्र के आधार पर, हमारे पास है

उदाहरण 6दिए गए अंक , , , .

वैक्टर और के बीच के कोण का पता लगाएं।

फेसला. ध्यान दें कि वैक्टर

, ,

संरेख नहीं हैं, क्योंकि उनके निर्देशांक समानुपाती नहीं हैं:

ये सदिश भी लम्बवत नहीं हैं, क्योंकि इनका डॉट गुणनफल .

हमे पता करने दें,

इंजेक्शन सूत्र से खोजें:

उदाहरण 7निर्धारित करें कि कौन से वैक्टर और समरेख।

फेसला. संरेखता के मामले में, सदिशों के संगत निर्देशांक और आनुपातिक होना चाहिए, अर्थात्:

यहाँ से और .

उदाहरण 8. वेक्टर के किस मूल्य पर निर्धारित करें और लंबवत हैं।

फेसला. वेक्टर और लंबवत हैं यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है। इस स्थिति से हम प्राप्त करते हैं: . वह है, ।

उदाहरण 9. ढूँढ़ने के लिए , अगर , , ।

फेसला. अदिश उत्पाद के गुणों के कारण, हमारे पास है:

उदाहरण 10. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए और , कहाँ और - इकाई सदिश और सदिशों के बीच का कोण 120o के बराबर है।

फेसला. हमारे पास है: , ,

अंत में हमारे पास है: .

5 बी. वेक्टर उत्पाद.

परिभाषा 21.वेक्टर कलासदिश से सदिश को सदिश या , निम्नलिखित तीन स्थितियों द्वारा परिभाषित किया जाता है:

1) सदिश का मॉड्यूल है , जहां सदिशों के बीच का कोण है और , अर्थात। .

यह इस प्रकार है कि वेक्टर उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से होता है क्षेत्रफल के बराबरसदिशों और भुजाओं पर निर्मित समांतर चतुर्भुज।

2) सदिश प्रत्येक सदिश और ( ; ) के लम्बवत् होता है, अर्थात्। सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के तल के लंबवत् और .

3) सदिश को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है कि यदि इसके सिरे से देखा जाए, तो सदिश से सदिश की ओर सबसे छोटा मोड़ वामावर्त होगा (सदिश , , दायां त्रिक बनाते हैं)।

वैक्टर के बीच कोणों की गणना कैसे करें?

मूल शर्तें

समाधान सूत्र

कोण के कोसाइन का मान प्राप्त करने के बाद, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करके स्वयं कोण के मान की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण

एन-आयामी अंतरिक्ष में कोण गणना

0 और 180 डिग्री के बीच का अंतर

विशिष्ट वैक्टर

एक समतल के समानांतर कई सदिशों को समतलीय कहा जाता है।
वे सदिश जो लंबाई और दिशा में समान होते हैं, समान कहलाते हैं।
वे सदिश जो दिशा की परवाह किए बिना एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, संरेख कहलाते हैं।
यदि सदिश की लंबाई शून्य हो, अर्थात उसका आरंभ और अंत संपाती हो, तो इसे शून्य कहते हैं, और यदि यह एक है, तो इसे एक कहा जाता है।

वैक्टर के बीच कोण कैसे खोजें?

कृपया मेरी मदद करें! मुझे सूत्र पता है लेकिन मैं इसका पता नहीं लगा सकता
वेक्टर ए (8; 10; 4) वेक्टर बी (5; -20; -10)

अलेक्जेंडर टिटोव

उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए सदिशों के बीच का कोण मानक एल्गोरिथम के अनुसार पाया जाता है। सबसे पहले आपको वैक्टर ए और बी के स्केलर उत्पाद को खोजने की जरूरत है: (ए, बी) = x1x2 + y1y2 + z1z2। हम यहां इन सदिशों के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं और विचार करते हैं:
(ए, बी) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200।
अगला, हम प्रत्येक वैक्टर की लंबाई निर्धारित करते हैं। किसी सदिश की लंबाई या मापांक उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है:
|ए| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) का मूल = (8^2 + 10^2 + 4^2) का मूल = (64 + 100 + 16) का मूल = 180 का मूल = 6 का मूल 5
|बी| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) का वर्गमूल = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) का वर्गमूल = (25 + 400 + 100 का वर्गमूल) ) = 525 में से वर्गमूल = 21 में से 5 मूल।
हम इन लंबाई को गुणा करते हैं। हमें 105 में से 30 जड़ें मिलती हैं।
और अंत में, हम सदिशों के अदिश गुणनफल को इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल से विभाजित करते हैं। हमें -200 / (105 में से 30 मूल) मिलते हैं या
- (105 के 4 मूल) / 63. यह सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है। और कोण स्वयं इस संख्या के चाप कोज्या के बराबर है
f \u003d आर्ककोस (105 की -4 जड़ें) / 63।
अगर मैं सही ढंग से गिना।

वैक्टर के निर्देशांक से वैक्टर के बीच कोण की साइन की गणना कैसे करें

मिखाइल तकाचेव

हम इन वैक्टरों को गुणा करते हैं। उनका डॉट उत्पाद इन वैक्टरों की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है।
कोण हमारे लिए अज्ञात है, लेकिन निर्देशांक ज्ञात हैं।
आइए इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखें।
मान लीजिए, दिए गए सदिश a(x1;y1) और b(x2;y2)
फिर

ए*बी=|ए|*|बी|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

हम बहस।
a*b-सदिशों का गुणनफल इन सदिशों के निर्देशांकों के संगत निर्देशांकों के गुणनफल के योग के बराबर होता है, अर्थात x1*x2+y1*y2 के बराबर

|a|*|b|-वेक्टर लंबाई का गुणनफल √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) के बराबर है।

तो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

किसी कोण की कोज्या को जानकर हम उसकी ज्या की गणना कर सकते हैं। आइए चर्चा करें कि इसे कैसे करें:

यदि किसी कोण की कोज्या धनात्मक है, तो यह कोण 1 या 4 तिमाहियों में होता है, इसलिए इसकी ज्या या तो धनात्मक होती है या ऋणात्मक। लेकिन चूँकि सदिशों के बीच का कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, तो इसकी ज्या धनात्मक होती है। हम इसी तरह तर्क देते हैं यदि कोसाइन ऋणात्मक है।

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

यह बात है)))) सौभाग्य यह पता लगा रहा है)))

दिमित्री लेविशचेव

तथ्य यह है कि सीधे साइन करना असंभव है, यह सच नहीं है।
सूत्र के अलावा:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
यह भी है:
||=|ए|*|बी|*पाप ए
यानी आप अदिश उत्पाद के बजाय वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल ले सकते हैं।

"वेक्टर अदिश उत्पाद" - सदिशों का अदिश उत्पाद। एक समबाहु त्रिभुज ABC में जिसकी भुजा 1 है, ऊँचाई BD खींची गई है। परिभाषा के अनुसार, कोण की विशेषता बताएं? वैक्टर के बीच और अगर: ए) बी) सी) डी)। t के किस मान पर सदिश सदिश के लंबवत है यदि (2, -1), (4, 3)। सदिशों का अदिश गुणन और निरूपित किया जाता है।

"ज्यामिति 9 वर्ग" सदिश "" - दो बिंदुओं के बीच की दूरी। निर्देशांक में सबसे सरल समस्याएं। अपने आप को जांचो! वेक्टर निर्देशांक। 1903 में, ओ. हेनरिकी ने सुझाव दिया कि अदिश गुणन को प्रतीक (ए, सी) द्वारा दर्शाया जाना चाहिए। एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है। निर्देशांक सदिशों में एक सदिश का अपघटन। वेक्टर की अवधारणा। दो असंरेखित सदिशों में एक समतल पर एक सदिश का अपघटन।

"समस्या समाधान वेक्टर" - वेक्टर ए और वेक्टर बी के संदर्भ में एक्सप्रेस वैक्टर एएम, डीए, सीए, एमबी, सीडी। 2 सदिशों DP, DM, AC को सदिश a और b से व्यक्त कीजिए। एसआर: पीडी=2:3; AK: KD = 1: 2. सदिश CK, RK को सदिश a और b से व्यक्त करें। BE:EC = 3:1. K, DC का मध्य है। VK: KС = 3: 4. सदिशों AK, DK को सदिश a और b से व्यक्त करें। समस्या समाधान के लिए सदिशों का अनुप्रयोग (भाग 1)।

"वैक्टर पर समस्या" - प्रमेय। निर्देशांक खोजें। तीन अंक दिए गए हैं। त्रिभुज के शीर्ष। वैक्टर के निर्देशांक खोजें। बिंदु के निर्देशांक खोजें। वेक्टर के निर्देशांक और लंबाई पाएं। वेक्टर की लंबाई व्यक्त करें। वेक्टर निर्देशांक। वेक्टर निर्देशांक। वेक्टर के निर्देशांक खोजें। वेक्टर दिए गए हैं। सदिशों के निर्देशांकों के नाम लिखिए। वेक्टर के निर्देशांक हैं।

"एक समतल पर निर्देशांक की विधि" - एक वृत्त खींचा जाता है। लंबवत। समन्वय अक्ष। साइन का मूल्य। विमान पर आयताकार समन्वय प्रणाली। शीर्ष निर्देशांक खोजें। एक उदाहरण पर विचार करें। इस समस्या का समाधान। विमान पर अंक दिए गए हैं। एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष। वैक्टर का विस्तार करें। गणना करें। बहुत सारे अंक। समीकरणों के निकाय को आलेखीय रूप से हल कीजिए।

"सदिशों का जोड़ और घटाव" - 1. पाठ के उद्देश्य। 2. मुख्य भाग। आपका बहुत, सबसे सबसे अच्छा दोस्तस्लीपवॉकर! सदिशों को घटाना सीखें। 2. सदिश a और b के योग का सदिश निर्दिष्ट करें। मेरा दोस्त!! आइए देखें कि हमारे पास यहां क्या है। हमारे लक्ष्य: निष्कर्ष। 3. सिर की समीक्षा। 4. संदर्भों की सूची। पागल के साथ यात्रा। बिंदु A से, हम दोनों सदिशों को स्थगित करते हैं।

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