"परीक्षा और ओगे के कार्यों में संभाव्यता का सिद्धांत"। संभाव्यता सिद्धांत में सरल समस्याएं

गणित (mathege.ru) में यूएसई समस्याओं के खुले बैंक में आज तक प्रस्तुत किया गया है, जिसका समाधान केवल एक सूत्र पर आधारित है, जो कि संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा है।

सूत्र को समझने का सबसे आसान तरीका उदाहरणों के साथ है।
उदाहरण 1टोकरी में 9 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। गेंदें केवल रंग में भिन्न होती हैं। यादृच्छिक रूप से (बिना देखे) हमें उनमें से एक मिलता है। इस तरह से चुनी गई गेंद के नीले होने की प्रायिकता क्या है?

टिप्पणी।संभाव्यता समस्याओं में, कुछ होता है (इस मामले में, गेंद को खींचने की हमारी क्रिया) जो हो सकती है अलग परिणाम- नतीजा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि परिणाम को विभिन्न तरीकों से देखा जा सकता है। "हमने एक गेंद निकाली" भी एक परिणाम है। "हमने नीली गेंद को बाहर निकाला" परिणाम है। "हमने इस विशेष गेंद को सभी संभावित गेंदों से बाहर निकाला" - परिणाम के इस कम से कम सामान्यीकृत दृष्टिकोण को प्राथमिक परिणाम कहा जाता है। यह प्राथमिक परिणाम हैं जो संभाव्यता की गणना के लिए सूत्र में हैं।

फेसला।अब हम एक नीली गेंद चुनने की प्रायिकता की गणना करते हैं।
घटना ए: "चुनी हुई गेंद नीली निकली"
सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या: 9+3=12 (सभी गेंदों की संख्या जो हम खींच सकते हैं)
घटना ए के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या: 3 (ऐसे परिणामों की संख्या जिसमें घटना ए हुई - यानी नीली गेंदों की संख्या)
पी(ए)=3/12=1/4=0.25
उत्तर: 0.25

आइए हम इसी समस्या के लिए लाल गेंद के चयन की प्रायिकता की गणना करें।
संभावित परिणामों की कुल संख्या वही रहेगी, 12. अनुकूल परिणामों की संख्या: 9. वांछित संभावना: 9/12=3/4=0.75

किसी भी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।
कभी-कभी रोजमर्रा के भाषण में (लेकिन संभाव्यता सिद्धांत में नहीं!) घटनाओं की संभावना प्रतिशत के रूप में अनुमानित की जाती है। गणितीय और संवादी मूल्यांकन के बीच संक्रमण 100% से गुणा (या विभाजित) करके किया जाता है।
इसलिए,
इस मामले में, उन घटनाओं के लिए संभावना शून्य है जो नहीं हो सकतीं - असंभव। उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरण में, यह टोकरी से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता होगी। (अनुकूल परिणामों की संख्या 0 है, P(A)=0/12=0 यदि सूत्र के अनुसार गिना जाए)
प्रायिकता 1 में ऐसी घटनाएँ होती हैं जो निश्चित रूप से बिना विकल्पों के घटित होंगी। उदाहरण के लिए, संभावना है कि "चुनी हुई गेंद या तो लाल या नीली होगी" हमारी समस्या के लिए है। (अनुकूल परिणामों की संख्या: 12, P(A)=12/12=1)

हमने एक उत्कृष्ट उदाहरण देखा है जो संभाव्यता की परिभाषा को दर्शाता है। सभी समान कार्यों का उपयोग करेंसंभाव्यता सिद्धांत के अनुसार इस सूत्र को लागू करके हल किया जाता है।
लाल और नीली गेंदों के बजाय, सेब और नाशपाती, लड़के और लड़कियां, सीखे हुए और बिना पढ़े टिकट, एक निश्चित विषय (प्रोटोटाइप) पर प्रश्न वाले टिकट, दोषपूर्ण और उच्च गुणवत्ता वाले बैग या बगीचे पंप (प्रोटोटाइप) हो सकते हैं। , ) - सिद्धांत वही रहता है।

वे यूएसई संभाव्यता सिद्धांत की समस्या के निर्माण में थोड़ा भिन्न होते हैं, जहां आपको किसी निश्चित दिन होने वाली घटना की संभावना की गणना करने की आवश्यकता होती है। ( , ) पिछले कार्यों की तरह, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि प्रारंभिक परिणाम क्या है, और फिर उसी सूत्र को लागू करें।

उदाहरण 2सम्मेलन तीन दिनों तक चलता है। पहले और दूसरे दिन, 15-15 वक्ता, तीसरे दिन - 20. क्या संभावना है कि तीसरे दिन प्रोफेसर एम की रिपोर्ट गिर जाएगी, यदि लॉटरी द्वारा रिपोर्ट का क्रम निर्धारित किया जाता है?

यहाँ प्राथमिक परिणाम क्या है? - एक भाषण के लिए सभी संभावित सीरियल नंबरों में से एक को प्रोफेसर की रिपोर्ट सौंपना। 15+15+20=50 लोग ड्रा में भाग लेते हैं। इस प्रकार, प्रोफेसर एम। की रिपोर्ट 50 नंबरों में से एक प्राप्त कर सकती है। इसका मतलब है कि केवल 50 प्राथमिक परिणाम हैं।
अनुकूल परिणाम क्या हैं? - जिनमें पता चलता है कि तीसरे दिन प्रोफेसर बोलेंगे। यानी अंतिम 20 अंक।
सूत्र के अनुसार, प्रायिकता P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
उत्तर: 0.4

यहां लॉट का चित्रण लोगों और आदेशित स्थानों के बीच एक यादृच्छिक पत्राचार की स्थापना है। उदाहरण 2 में, मिलान पर विचार किया गया था कि कोई विशेष व्यक्ति कौन से स्थान ले सकता है। आप दूसरी तरफ से उसी स्थिति से संपर्क कर सकते हैं: किस संभावना वाले लोगों में से किसी विशेष स्थान पर पहुंच सकता है (प्रोटोटाइप, , , ):

उदाहरण 3 5 जर्मन, 8 फ्रांसीसी और 3 एस्टोनियाई ड्रा में भाग लेते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहला (/दूसरा/सातवां/आखिरी - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) एक फ्रांसीसी होगा।

प्राथमिक परिणामों की संख्या सभी की संख्या है संभव लोगजो, बहुत से, मिल सकता है दी गई जगह. 5+8+3=16 लोग।
अनुकूल परिणाम - फ्रेंच। 8 लोग।
वांछित संभावना: 8/16=1/2=0.5
उत्तर: 0.5

प्रोटोटाइप थोड़ा अलग है। सिक्कों () और पासा () के बारे में ऐसे कार्य हैं जो कुछ अधिक रचनात्मक हैं। इन समस्याओं का समाधान प्रोटोटाइप पृष्ठों पर पाया जा सकता है।

यहाँ सिक्का उछालने या पासा उछालने के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण 4जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो पट आने की प्रायिकता क्या है?
परिणाम 2 - सिर या पूंछ। (ऐसा माना जाता है कि सिक्का कभी किनारे पर नहीं गिरता) अनुकूल परिणाम - पट, 1.
प्रायिकता 1/2=0.5
उत्तर: 0.5।

उदाहरण 5क्या होगा अगर हम एक सिक्के को दो बार पलटें? इसकी क्या प्रायिकता है कि यह दोनों बार चित आएगा?
मुख्य बात यह निर्धारित करना है कि दो सिक्कों को उछालते समय हम किन प्राथमिक परिणामों पर विचार करेंगे। दो सिक्कों को उछालने के बाद, निम्नलिखित में से एक परिणाम हो सकता है:
1) पीपी - दोनों बार यह पूंछ ऊपर आया
2) पीओ - ​​पहली बार टेल, दूसरी बार हेड
3) ओपी - पहली बार सिर, दूसरी बार पूंछ
4) OO - दोनों बार सिर ऊपर करें
यहां कोई दूसरे विकल्प नहीं। इसका मतलब है कि 4 प्राथमिक परिणाम हैं। केवल पहला अनुकूल है, 1.
प्रायिकता: 1/4=0.25
उत्तर: 0.25

इसकी क्या प्रायिकता है कि एक सिक्के की दो उछाल पटों पर उतरेगी?
प्रारंभिक परिणामों की संख्या समान है, 4. अनुकूल परिणाम दूसरे और तीसरे हैं, 2.
एक पट आने की प्रायिकता: 2/4=0.5

ऐसे में एक और फॉर्मूला काम आ सकता है।
अगर एक सिक्के के एक उछाल के साथ विकल्पहमारे पास 2 परिणाम हैं, फिर दो थ्रो के लिए परिणाम होंगे 2 2=2 2 =4 (उदाहरण के लिए 5), तीन थ्रो के लिए 2 2 2=2 3 =8, चार के लिए: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... N थ्रो के लिए 2·2·...·2=2 N संभावित परिणाम हैं।

तो, आप 5 सिक्कों में से 5 पट आने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं।
प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या: 2 5 = 32।
अनुकूल परिणाम: 1. (आरआरआरआरआरआर - सभी 5 बार पूंछ)
प्रायिकता: 1/32=0.03125

पासा के लिए भी यही सच है। एक थ्रो के साथ, 6 संभावित परिणाम हैं। इसलिए, दो थ्रो के लिए: 6 6=36, तीन 6 6 6=216, आदि के लिए।

उदाहरण 6हम एक पासा फेंकते हैं। एक सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

कुल परिणाम: 6, चेहरों की संख्या के अनुसार।
अनुकूल: 3 परिणाम। (2, 4, 6)
प्रायिकता: 3/6=0.5

उदाहरण 7दो पासे फेंको। इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल 10 रोल हो जाएँ? (लगभग सौवां)

एक मरने के लिए 6 संभावित परिणाम हैं। इसलिए, दो के लिए, उपरोक्त नियम के अनुसार, 6·6=36.
कुल 10 के फॉल आउट होने के लिए कौन से परिणाम अनुकूल होंगे?
10 को 1 से 6 तक की दो संख्याओं के योग में विघटित किया जाना चाहिए। यह दो तरह से किया जा सकता है: 10=6+4 और 10=5+5। तो, क्यूब्स के लिए, विकल्प संभव हैं:
(पहले पर 6 और दूसरे पर 4)
(पहले पर 4 और दूसरे पर 6)
(पहले पर 5 और दूसरे पर 5)
कुल मिलाकर, 3 विकल्प। वांछित संभावना: 3/36=1/12=0.08
उत्तर: 0.08

अन्य प्रकार की B6 समस्याओं पर निम्नलिखित "कैसे हल करें" लेखों में से एक में चर्चा की जाएगी।

अलग-अलग स्लाइड्स पर प्रस्तुतीकरण का विवरण:

1 स्लाइड

स्लाइड का विवरण:

संभाव्यता सिद्धांत में प्रमुख कार्य OGE नंबर 9 MBOU "व्यायामशाला नंबर 4 के नाम पर तैयारी। जैसा। पुश्किन" द्वारा संकलित: सोफिना एन.यू।

2 स्लाइड

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गणितीय तैयारी के लिए बुनियादी सत्यापन योग्य आवश्यकताएं गणित में नंबर 9 ओजीई उन व्यावहारिक समस्याओं को हल करें जिनके लिए विकल्पों की एक व्यवस्थित गणना की आवश्यकता होती है; यादृच्छिक घटनाओं के घटित होने की संभावना की तुलना करना, यादृच्छिक घटना की संभावनाओं का मूल्यांकन करना, संभाव्यता और आंकड़ों के तंत्र का उपयोग करके वास्तविक स्थिति के मॉडल की तुलना करना और उनका पता लगाना। नंबर 9 - मूल कार्य। कार्य को पूरा करने के लिए अधिकतम अंक 1 है।

3 स्लाइड

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किसी घटना A की प्रायिकता इस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या m का अनुपात है कुल गणना n सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं में से जो एक परीक्षण या अवलोकन के परिणामस्वरूप हो सकती हैं प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा एक यादृच्छिक घटना की शास्त्रीय संभावना की गणना के लिए सूत्र को याद करें Р = n m

4 स्लाइड

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संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा उदाहरण: माता-पिता समिति ने बच्चों के लिए स्नातक उपहार के लिए 40 रंग पृष्ठ खरीदे स्कूल वर्ष. इनमें से 14 ए.एस. पुश्किन और 26 जी.के. एंडरसन की परियों की कहानियों पर आधारित। उपहार बेतरतीब ढंग से वितरित किए जाते हैं। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नास्त्य को ए.एस. पुश्किन। हल: एम = 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0.35 उत्तर: 0.35।

5 स्लाइड

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उदाहरण: परीक्षा के लिए 60 प्रश्न थे। इवान ने उनमें से 3 को नहीं सीखा। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह सीखे गए प्रश्न पर आ जाएगा। हल : यहाँ n=60 है। इवान ने 3 नहीं सीखा, इसलिए उसने बाकी सब सीखा, यानी। मी=60-3=57. पी = 57/60 = 0.95। प्रायिकता की क्लासिक परिभाषा उत्तर: 0.95।

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"आदेश एक ड्रॉ द्वारा निर्धारित किया जाता है" उदाहरण: 20 एथलीट जिम्नास्टिक चैंपियनशिप में भाग लेते हैं: रूस से 8, यूएसए से 7, बाकी चीन से। जिस क्रम में जिमनास्ट प्रदर्शन करते हैं वह बहुत से निर्धारित होता है। संभावना है कि पांचवां एथलीट चीन से है। समाधान: समस्या की स्थिति में "जादू" शब्द "लॉट" होता है, जिसका अर्थ है कि हम बोलने के क्रम को भूल जाते हैं। इस प्रकार, m= 20-8-7=5 (चीन से); एन = 20। पी \u003d 5/20 \u003d 0.25। उत्तर: 0.25।

7 स्लाइड

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उदाहरण: 5 दिनों में एक वैज्ञानिक सम्मेलन आयोजित किया जाता है। कुल 75 रिपोर्ट की योजना बनाई गई है - पहले 3 दिन, 17 रिपोर्ट प्रत्येक, शेष 4 और 5 वें दिनों के बीच समान रूप से वितरित की जाती हैं। रिपोर्ट का क्रम एक ड्रा द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि सम्मेलन के अंतिम दिन प्रोफेसर इवानोव की रिपोर्ट निर्धारित की जाएगी? समाधान: आइए डेटा को तालिका में रखें। हमें वह मिला है m=12; एन = 75। पी = 12/75 = 0.16। उत्तर: 0.16। "लॉटरी द्वारा निर्धारित आदेश" दिन I II III IV V प्रस्तुतियों की कुल संख्या 17 17 17 12 12 75

8 स्लाइड

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घटना की आवृत्ति जिस प्रकार प्रायिकता के रूप में घटना की आवृत्ति पाई जाती है, उसी प्रकार के कार्य भी प्रोटोटाइप में होते हैं। क्या अंतर है? प्रायिकता एक पूर्वानुमेय मूल्य है, और आवृत्ति तथ्य का एक बयान है। उदाहरण: एक वर्ष के भीतर एक नए टैबलेट की मरम्मत होने की प्रायिकता 0.045 है। एक निश्चित शहर में, वर्ष के दौरान बेचे गए 1000 टैबलेट में से 51 पीस वारंटी वर्कशॉप में पहुंचे। "वारंटी मरम्मत" घटना की आवृत्ति इस शहर में इसकी संभावना से कितनी भिन्न है? हल: घटना की बारंबारता ज्ञात कीजिए: 51/1000=0.051। और संभावना 0.045 (शर्त के अनुसार) के बराबर है। इसका मतलब है कि इस शहर में घटना "वारंटी मरम्मत" अपेक्षा से अधिक बार होती है। आइए अंतर ज्ञात करें = 0.051- 0.045= 0.006। उसी समय, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि अंतर का संकेत हमारे लिए महत्वपूर्ण नहीं है, बल्कि केवल इसका पूर्ण मूल्य है। उत्तर: 0.006।

9 स्लाइड

स्लाइड का विवरण:

विकल्पों की गणना के साथ समस्याएं ("सिक्के", "माचिस") मान लें कि k सिक्के उछालने की संख्या है, फिर संभावित परिणामों की संख्या: n = 2k। उदाहरण: एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को दो बार उछाला जाता है। चित के ठीक एक बार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। समाधान: सिक्का ड्रॉप विकल्प: OO; या; आरआर; आरओ. इस प्रकार, एन = 4। अनुकूल परिणाम: आरआर और आरआर। यानी एम = 2. पी = 2/4 = 1/2 = 0.5। उत्तर: 0.5।

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उदाहरण: शुरू करने से पहले फुटबॉल मैचरेफरी यह निर्धारित करने के लिए एक सिक्का उछालता है कि किस टीम के पास पहले गेंद होगी। टीम "बुध" "मंगल", "बृहस्पति", "यूरेनस" टीमों के साथ खेलती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी मैचों में "मर्करी" टीम द्वारा गेंद के मालिक होने का अधिकार जीता जाएगा? विकल्पों की गणना के साथ समस्याएं ("सिक्के", "माचिस") समाधान: आइए मैच में "मर्करी" टीम की पहली गेंद के कब्जे के अधिकार को अन्य तीन टीमों में से एक के साथ "टेल्स" के रूप में नामित करें। फिर इस टीम की दूसरी गेंद पर कब्जा करने का अधिकार "ईगल" है। तो, आइए एक सिक्के को तीन बार उछालने के सभी संभावित परिणामों को लिख लें। "ओ" - सिर, "आर" - पूंछ। ; यानी, एन = 8; एम = 1। पी = 1/8 = 0.125। उत्तर: 0.125 n = 23 "मंगल" "बृहस्पति" "यूरेनस"

11 स्लाइड

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"पासा" (पासा) पर समस्याएं मान लें कि k पासे फेंकने की संख्या है, तो संभावित परिणामों की संख्या: n = 6k। उदाहरण: दशा एक पासे को दो बार उछालती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसका कुल योग 8 लुढ़क गया। परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें। उत्तर: 0.14। हल: दोनों पासों का योग 8 अंक होना चाहिए। यह संभव है यदि निम्नलिखित संयोजन हैं: 2 और 6 6 और 2 3 और 5 5 और 3 4 और 4 मीटर = 5 (5 उपयुक्त संयोजन) एन \u003d 36 पी \u003d 5/36 \u003d 0.13 (8)

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स्वतंत्र घटनाएँ और गुणन का नियम पहली और दूसरी, और n-वीं दोनों घटनाओं को खोजने की संभावना सूत्र द्वारा पाई जाती है: = Р1*Р2*…*Рn उदाहरण: एक बायैथलीट लक्ष्य पर पांच बार गोली मारता है। एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.8 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बायैथलीट ने पहले तीन बार लक्ष्य को मारा और अंतिम दो से चूक गया। परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें। उत्तर: 0.02। समाधान: प्रत्येक अगले शॉट का परिणाम पिछले वाले पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, घटनाएं "पहले शॉट पर हिट", "दूसरे शॉट पर हिट", आदि। स्वतंत्र। प्रत्येक हिट की संभावना 0.8 है। तो चूक की संभावना 1 - 0.8 = 0.2 है। 1 शॉट: 0.8 2 शॉट: 0.8 3 शॉट: 0.8 4 शॉट: 0.2 5 शॉट: 0.2 .8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 = 0.02048 ≈ 0.02।

13 स्लाइड

स्लाइड का विवरण:

"और" कानूनों और "या" कानूनों के संयोजन उदाहरण: एक कार्यालय 3 अलग-अलग फर्मों के कर्मचारियों के लिए स्टेशनरी खरीदता है। इसके अलावा, पहली कंपनी के उत्पाद सभी डिलीवरी का 40% बनाते हैं, और बाकी दूसरी कंपनी समान रूप से विभाजित होती है। यह पता चला कि दूसरी कंपनी के 2% पेन खराब हैं। पहली और तीसरी फर्मों में विवाह का प्रतिशत क्रमशः 1% और 3% है। कर्मचारी ए ने नई डिलीवरी से एक पेन लिया। इसके सही होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल: दूसरी और तीसरी फर्मों के उत्पाद हैं (100% -40%): 2 = 30% आपूर्ति का। पी(विवाह) \u003d 0.4 0.01 + 0.3 0.02 + 0.3 0.03 \u003d 0.019। पी (सेवा योग्य पेन) \u003d 1 - 0.019 \u003d 0.981। उत्तर: 0.981।

आसान काम

मेज पर 25 पाई हैं: 7 - जाम के साथ, 9 - आलू के साथ, बाकी गोभी के साथ। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित पाई पत्तागोभी के साथ होगी?

0,36

टैक्सी में 40 कारें कार्यरत हैं: 14 लाडा ब्रांड हैं, 8 रेनॉल्ट ब्रांड हैं, 2 मर्सिडीज ब्रांड हैं, और बाकी स्कोडा ब्रांड हैं। क्या प्रायिकता है कि मर्सिडीज आपके कॉल पर आएगी?

0,05

एक पासे को फेंकने पर कम से कम तीन आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

इरा, दीमा, वास्या, नताशा और एंड्री 60 मीटर में मानक पास करते हैं। लड़की के सबसे तेज दौड़ने की प्रायिकता क्या है?

अंडरपास में खरीदा गया फोन नकली होने की संभावना 0.83 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि ट्रांजिशन में खरीदा गया फोन नकली न हो?

0,17

बास्केटबॉल टूर्नामेंट में 20 टीमें हिस्सा लेती हैं, जिसमें "दोस्तों" टीम भी शामिल है। सभी टीमों को 4 समूहों में बांटा गया है: ए, बी, सी, डी। क्या संभावना है कि "दोस्तों" टीम समूह ए में होगी?

0,25

लॉटरी बैग में 5 से 94 तक के कीग शामिल हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि थैले से लिए गए केग में दो अंकों की संख्या है? अपने उत्तर को निकटतम सौवें भाग में गोल करें।

0,94

परीक्षा से पहले, इगोर आखिरी तक टिका रहा और 80 में से केवल 5 टिकट सीखने में सफल रहा। इस संभावना को निर्धारित करें कि उसे एक सीखा टिकट मिलेगा।

0,0625

अन्या रेडियो चालू करती है और बेतरतीब ढंग से एक रेडियो तरंग का चयन करती है। कुल मिलाकर, उसका रेडियो रिसीवर 20 रेडियो तरंगों को पकड़ता है और उनमें से केवल 7 में इस पलसंगीत बज रहा है। अन्या के संगीतमय लहर पर गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

0,35

सोडा की प्रत्येक बीसवीं बोतल में, टोपी के नीचे एक जीत वाला कोड छिपा होता है। इस संभावना का निर्धारण करें कि खरीदी गई बोतल में टोपी के नीचे एक विजेता कोड होगा।

0,05

कार्य अधिक कठिन हैं

क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई 3 अंकों की संख्या 5 से विभाज्य है?

0,2

पाँच विद्यार्थियों की ऊँचाई (सेमी में) दर्ज की गई है: 166, 158, 132, 136, 170। संख्याओं के इस समूह का अंकगणितीय माध्य इसके माध्यिका से कितना भिन्न है?

एक छोटे से देश के आंकड़ों के अनुसार, यह ज्ञात है कि बच्चे के पैदा होने की संभावना 0.507 है। 2017 में, इस देश में पैदा होने वाले प्रति 1,000 बच्चों पर औसतन 486 लड़कियां थीं। इस देश में 2017 में महिलाओं के जन्म की आवृत्ति इस घटना की संभावना से कितनी अलग है?

0,007

एक पासे को दो बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई दो संख्याओं का योग 3 या 7 है। अपने उत्तर को निकटतम सौवें भाग में गोल कीजिए।

0,22

इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई तीन अंकों की संख्या 2 से विभाज्य है?

0,5

दो सिक्कों के एक बार उछालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

0,5

एक पासे को दो बार फेंका जाता है, दोनों बार तीन से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर को निकटतम सौवें भाग में गोल करें।

0,31

एक छोटे से देश के आंकड़ों के अनुसार, यह ज्ञात है कि एक बच्चे के पैदा होने की संभावना 0.594 है। 2017 में, इस देश में पैदा होने वाले प्रति 1,000 बच्चों पर औसतन 513 लड़कियां थीं। इस देश में 2017 में महिलाओं के जन्म की आवृत्ति इस घटना की संभावना से कितनी अलग है?

0,107

पांच छात्रों की ऊंचाई (सेमी में) दर्ज की गई है: 184, 145, 176, 192, 174। संख्याओं के इस सेट का अंकगणितीय माध्य इसके माध्यिका से कितना भिन्न है?

1,8

"दिग्गज" गांव के निवासियों की औसत ऊंचाई 194 सेमी है। निकोलाई पेट्रोविच की ऊंचाई 195 सेमी है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

1) ग्रामीणों में से एक की ऊंचाई 194 सेमी होनी चाहिए।

2) निकोलाई पेत्रोविच गाँव का सबसे ऊँचा निवासी है।

3) निकोलाई पेत्रोविच के नीचे इस गाँव का कम से कम एक आदमी जरूर होगा।

4) निकोलाई पेत्रोविच के नीचे इस गाँव का कम से कम एक निवासी अवश्य होगा।

4

मुश्किल काम

निशानेबाज ने निशाने पर बंदूक से 4 बार गोली चलाई। इसके एक शॉट से लक्ष्य पर सटीक निशाना लगाने की प्रायिकता 0.5 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शूटर पहले दो बार लक्ष्य को हिट करता है और अंतिम दो से चूक जाता है।

0,0625

बैटरी के खराब होने की प्रायिकता 0.05 है। स्टोर में ग्राहक दो बैटरियों के साथ एक यादृच्छिक पैकेज चुनता है। दोनों बैटरियां अच्छी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

0,9025

निशानेबाज ने लगातार 5 बार निशाने पर निशाना साधा। दागे जाने पर लक्ष्य से टकराने की प्रायिकता 0.7 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निशानेबाज ने पहले चार बार निशाने पर निशाना साधा और आखिरी बार चूक गया। परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें।

वास्तविकता में या हमारी कल्पना में घटित होने वाली घटनाओं को 3 समूहों में विभाजित किया जा सकता है। ये कुछ ऐसी घटनाएँ हैं जिनका होना तय है, असंभव घटनाएँ और यादृच्छिक घटनाएँ। संभाव्यता सिद्धांत यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है, अर्थात। घटनाएँ जो घटित हो सकती हैं या नहीं भी हो सकती हैं। यह लेख प्रस्तुत किया जाएगा सारांशसंभाव्यता के सिद्धांत का सिद्धांत और संभाव्यता के सिद्धांत में समस्याओं को हल करने के उदाहरण, जो गणित (प्रोफाइल स्तर) में परीक्षा के चौथे कार्य में होंगे।

हमें संभाव्यता के सिद्धांत की आवश्यकता क्यों है

ऐतिहासिक रूप से, इन समस्याओं का अध्ययन करने की आवश्यकता 17वीं शताब्दी में के विकास और व्यावसायीकरण के संबंध में उठी जुआऔर कैसीनो के आगमन. यह एक वास्तविक घटना थी जिसके लिए इसके अध्ययन और शोध की आवश्यकता थी।

ताश, पासा, रूले खेलने से ऐसी परिस्थितियाँ पैदा हुईं जहाँ समान रूप से संभावित घटनाओं की एक सीमित संख्या हो सकती है। किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक अनुमान देने की आवश्यकता थी।

20वीं शताब्दी में, यह स्पष्ट हो गया कि यह प्रतीत होता है कि यह तुच्छ विज्ञान सूक्ष्म जगत में होने वाली मूलभूत प्रक्रियाओं को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। बनाया गया था आधुनिक सिद्धांतसंभावनाएं

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएं

संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन का उद्देश्य घटनाएं और उनकी संभावनाएं हैं। यदि घटना जटिल है, तो इसे सरल घटकों में विभाजित किया जा सकता है, जिनकी संभावनाएं खोजना आसान है।

घटनाओं ए और बी के योग को घटना सी कहा जाता है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि या तो घटना ए, या घटना बी, या घटना ए और बी एक ही समय में हुई थी।

घटना ए और बी का गुणनफल घटना सी है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि घटना ए और घटना बी दोनों घटित हुई हैं।

घटना ए और बी को असंगत कहा जाता है यदि वे एक ही समय में नहीं हो सकते हैं।

एक घटना ए को असंभव कहा जाता है यदि ऐसा नहीं हो सकता है। ऐसी घटना को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक घटना ए को निश्चित कहा जाता है यदि यह निश्चित रूप से घटित होगी। ऐसी घटना को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।

मान लीजिए कि प्रत्येक घटना A को एक संख्या P(A) दी गई है। इस संख्या P(A) को घटना A की प्रायिकता कहा जाता है यदि निम्नलिखित शर्तें इस तरह के पत्राचार से संतुष्ट हों।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला वह स्थिति है जब समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम होते हैं, और इन परिणामों की मनमानी से घटना ए बनती है। इस मामले में, सूत्र द्वारा संभावना को पेश किया जा सकता है। इस तरह से पेश की जाने वाली प्रायिकता कहलाती है शास्त्रीय संभावना. यह साबित किया जा सकता है कि इस मामले में संपत्ति 1-4 रखती है।

प्रायिकता के सिद्धांत में आने वाली समस्याएं, जो गणित में परीक्षा में पाई जाती हैं, मुख्य रूप से शास्त्रीय संभाव्यता से संबंधित हैं। ऐसे कार्य बहुत सरल हो सकते हैं। संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रूप से सरल समस्याएं हैं डेमो संस्करण. अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करना आसान है, सभी परिणामों की संख्या सीधे स्थिति में लिखी जाती है।

हमें सूत्र के अनुसार उत्तर मिलता है।

संभाव्यता निर्धारित करने के लिए गणित में परीक्षा से एक कार्य का एक उदाहरण

मेज पर 20 पाई हैं - 5 गोभी के साथ, 7 सेब के साथ और 8 चावल के साथ। मरीना एक पाई लेना चाहती है। क्या प्रायिकता है कि वह राइस केक लेगी?

फेसला।

कुल मिलाकर 20 समसंभाव्य प्राथमिक परिणाम हैं, यानी मरीना 20 पाई में से कोई भी ले सकती है। लेकिन हमें इस संभावना का अनुमान लगाने की जरूरत है कि मरीना चावल की पैटी ले लेगी, यानी जहां ए चावल की पैटी की पसंद है। इसका मतलब है कि हमारे पास कुल 8 अनुकूल परिणाम हैं (चावल पाई का चयन करना)। तब संभावना सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी:

स्वतंत्र, विपरीत और मनमाना घटनाक्रम

हालांकि, कार्यों के खुले बैंक में, से अधिक कठिन कार्य. इसलिए, आइए हम संभाव्यता सिद्धांत में अध्ययन किए गए अन्य प्रश्नों पर पाठक का ध्यान आकर्षित करें।

घटनाएँ A और B स्वतंत्र कहलाती हैं यदि उनमें से प्रत्येक की प्रायिकता इस बात पर निर्भर नहीं करती कि दूसरी घटना घटी है या नहीं।

घटना बी इस तथ्य में शामिल है कि घटना ए नहीं हुई, यानी। घटना बी घटना ए के विपरीत है। विपरीत घटना की संभावना प्रत्यक्ष घटना की संभावना के एक शून्य के बराबर है, यानी। .

जोड़ और गुणा प्रमेय, सूत्र

मनमानी घटनाओं ए और बी के लिए, इन घटनाओं के योग की संभावना उनके संयुक्त घटना की संभावना के बिना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है, यानी। .

स्वतंत्र घटनाओं ए और बी के लिए, इन घटनाओं के उत्पाद की संभावना उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, अर्थात। इस मामले में ।

अंतिम 2 कथनों को प्रायिकताओं के योग और गुणन के प्रमेय कहा जाता है।

हमेशा परिणामों की संख्या गिनना इतना आसान नहीं है। कुछ मामलों में, कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों का उपयोग करना आवश्यक है। सबसे महत्वपूर्ण बात कुछ शर्तों को पूरा करने वाली घटनाओं की संख्या की गणना करना है। कभी-कभी ऐसी गणना स्वतंत्र कार्य बन सकती है।

6 खाली सीटों पर 6 विद्यार्थियों को कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है? पहला छात्र 6 में से कोई भी स्थान लेगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र को रखने के 5 तरीकों से मेल खाता है। तीसरे छात्र के लिए 4 मुक्त स्थान हैं, चौथे के लिए - 3, पांचवें - 2 के लिए, छठा एकमात्र शेष स्थान लेगा। सभी विकल्पों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको गुणनफल ढूँढ़ना होगा, जो कि 6 चिह्न द्वारा दर्शाया गया है! और "छह भाज्य" पढ़ें।

सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के सूत्र द्वारा दिया जाता है। हमारे मामले में, .

अब हमारे छात्रों के साथ एक और मामले पर विचार करें। 6 खाली सीटों पर 2 विद्यार्थियों को कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है? पहला छात्र 6 में से कोई भी स्थान लेगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र को रखने के 5 तरीकों से मेल खाता है। सभी विकल्पों की संख्या खोजने के लिए, आपको उत्पाद खोजने की आवश्यकता है।

सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर k तत्वों द्वारा n तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के लिए सूत्र द्वारा दिया जाता है

हमारे मामले में ।

और इस श्रृंखला में आखिरी। 6 में से 3 विद्यार्थियों को चुनने के कितने तरीके हैं? पहले छात्र को 6 तरीकों से चुना जा सकता है, दूसरे को 5 तरीकों से और तीसरे को 4 तरीकों से चुना जा सकता है। लेकिन इन विकल्पों में से वही तीन छात्र 6 बार आते हैं। सभी विकल्पों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको मान की गणना करने की आवश्यकता है: . सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर तत्वों द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या के सूत्र द्वारा दिया जाता है:

हमारे मामले में ।

संभाव्यता निर्धारित करने के लिए गणित में परीक्षा से समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1. संग्रह से, एड। यशचेंको।

एक प्लेट पर 30 पाई हैं: 3 मांस के साथ, 18 गोभी के साथ और 9 चेरी के साथ। साशा बेतरतीब ढंग से एक पाई चुनती है। संभावना है कि वह एक चेरी के साथ समाप्त होता है।

.

उत्तर: 0.3.

समस्या 2. संग्रह से, एड. यशचेंको।

1000 प्रकाश बल्बों के प्रत्येक बैच में औसतन 20 खराब होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक बैच से यादृच्छिक रूप से चुना गया प्रकाश बल्ब अच्छा है।

हल: उपयोगी प्रकाश बल्बों की संख्या 1000-20=980 है। तब संभावना है कि बैच से यादृच्छिक रूप से लिया गया एक प्रकाश बल्ब सेवा योग्य होगा:

उत्तर: 0.98.

एक गणित की परीक्षा में छात्र U द्वारा 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करने की प्रायिकता 0.67 है। U. द्वारा 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करने की प्रायिकता 0.73 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि U. ठीक 9 समस्याओं को ठीक से हल करता है।

यदि हम एक संख्या रेखा की कल्पना करें और उस पर अंक 8 और 9 अंकित करें, तो हम देखेंगे कि स्थिति "U. ठीक 9 समस्याओं को सही ढंग से हल करें" को "यू" स्थिति में शामिल किया गया है। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें", लेकिन "W" शर्त पर लागू नहीं होता है। 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें।

हालांकि, शर्त "यू. 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें" स्थिति में निहित है "U. 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें। इस प्रकार, यदि हम घटनाओं को नामित करते हैं: "डब्ल्यू। ठीक 9 समस्याओं को सही ढंग से हल करें" - ए के माध्यम से, "यू। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें" - बी के माध्यम से, "यू। सी के माध्यम से 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करें। तब समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर: 0.06।

ज्यामिति परीक्षा में, छात्र परीक्षा प्रश्नों की सूची में से एक प्रश्न का उत्तर देता है। इस त्रिकोणमिति का प्रश्न होने की प्रायिकता 0.2 है। संभावना है कि यह एक बाहरी कोनों का प्रश्न है 0.15 है। एक ही समय में इन दोनों विषयों से संबंधित कोई प्रश्न नहीं हैं। परीक्षा में इन दो विषयों में से किसी एक पर छात्र के प्रश्न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

आइए सोचें कि हमारे पास कौन सी घटनाएं हैं। हमें दो असंगत घटनाएँ दी गई हैं। अर्थात्, या तो प्रश्न "त्रिकोणमिति" विषय से संबंधित होगा, या "बाह्य कोण" विषय से संबंधित होगा। प्रायिकता प्रमेय के अनुसार, असंगत घटनाओं की प्रायिकता प्रत्येक घटना की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है, हमें इन घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ज्ञात करना चाहिए, अर्थात्:

उत्तर: 0.35।

कमरे को तीन दीपों वाली लालटेन से रोशन किया जाता है। एक वर्ष में एक दीपक के जलने की प्रायिकता 0.29 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक वर्ष के भीतर कम से कम एक दीया नहीं जलता।

आइए संभावित घटनाओं पर विचार करें। हमारे पास तीन प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक किसी अन्य प्रकाश बल्ब से स्वतंत्र रूप से जल सकता है या नहीं भी। ये स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

फिर हम ऐसे आयोजनों के प्रकारों का संकेत देंगे। हम संकेतन स्वीकार करते हैं: - प्रकाश बल्ब चालू है, - प्रकाश बल्ब जल गया है। और इसके तुरंत बाद हम किसी घटना की प्रायिकता की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, एक ऐसी घटना की प्रायिकता जिसमें तीन स्वतंत्र घटनाएं "प्रकाश बल्ब जल गया", "प्रकाश बल्ब चालू है", "प्रकाश बल्ब चालू है" घटित हुई: .

ध्यान दें कि हमारे अनुकूल केवल 7 असंगत घटनाएँ हैं। ऐसी घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के योग के बराबर है:।

उत्तर: 0.975608।

आप तस्वीर में एक और समस्या देख सकते हैं:

इस प्रकार, आप और मैं समझ गए कि संभाव्यता का सिद्धांत क्या है, सूत्र और समस्या समाधान के उदाहरण जिसके लिए आप परीक्षा के संस्करण में मिल सकते हैं।

यह प्रस्तुति संभाव्यता सिद्धांत में परीक्षा में सबसे आम समस्याओं को प्रस्तुत करती है। बुनियादी स्तर के कार्य। प्रस्तुतिकरण से शिक्षकों को दोहराव को सामान्य बनाने के पाठों में मदद मिलेगी, और छात्रों को आत्म प्रशिक्षणपरीक्षा के लिए।

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प्रायिकता सिद्धांत प्रमुख कार्य OGE के लिए तैयार होना

सिक्का फेंका

1. एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। एक चित और एक पट आने की प्रायिकता क्या है? निर्णय: जब एक सिक्के को उछाला जाता है, तो दो परिणाम संभव होते हैं - "सिर" या "पूंछ"। दो सिक्के फेंकते समय - 4 परिणाम (2 * 2 \u003d 4): "ईगल" - "पूंछ" "पूंछ" - "पूंछ" "पूंछ" - "ईगल" "ईगल" - "ईगल" एक "ईगल" और एक चार में से दो मामलों में "पूंछ" गिर जाएगी। पी(ए)=2:4=0.5. उत्तर: 0.5।

2. एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। दो चित और एक पट आने की प्रायिकता क्या है? हल: जब फेंका जाता है तीन सिक्के 8 परिणाम संभव हैं (2*2*2=8): "ईगल" - "पूंछ" - "पूंछ" "पूंछ" - "पूंछ" - "पूंछ" "पूंछ" - "सिर" - "पूंछ" "सिर" - "ईगल" - "पूंछ" "पूंछ" - "पूंछ" - "सिर" "पूंछ" - "ईगल" - "ईगल" "ईगल" - "पूंछ" - "ईगल" "ईगल" - "ईगल" - " चील" » दो "ईगल" और एक "पूंछ" बाहर गिरेंगे तीन मामलेआठ में से। पी (ए) = 3: 8 = 0.375। उत्तर: 0.375.

3. एक यादृच्छिक प्रयोग में एक सममित सिक्के को चार बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चित कभी नहीं आएगा। हल: चार सिक्के फेंकते समय, 16 परिणाम संभव हैं: (2 * 2 * 2 * 2 = 16): अनुकूल परिणाम - 1 (चार टेल गिरेंगे)। पी (ए) = 1:16 = 0.0625। उत्तर: 0.0625।

पासा का खेल

4. पासे को लुढ़कने पर तीन से अधिक अंक गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल: कुल मिलाकर 6 संभावित परिणाम हैं। बड़ी संख्याएँ 3 - 4, 5, 6 हैं। पी(ए)=3:6=0.5. उत्तर: 0.5।

5. एक पासा फेंका जाता है। सम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल: कुल संभावित परिणाम - 6. 1, 3, 5 - विषम संख्या; 2, 4, 6 सम संख्याएँ हैं। सम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता 3:6=0.5 है। उत्तर: 0.5।

6. एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। कुल 8 अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें। हल: यह क्रिया - दो पासे फेंकने से कुल 36 संभावित परिणाम प्राप्त होते हैं, क्योंकि 6² = 36। अनुकूल परिणाम: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 आठ अंक प्राप्त करने की संभावना 5:36 ≈ 0.14 है। उत्तर: 0.14।

7. एक पासे को दो बार फेंके। कुल मिलाकर, 6 अंक गिर गए। किसी एक रोल पर 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। निर्णय: 6 अंक के कुल परिणाम - 5: 2 और 4; 4 और 2; 3 और 3; 1 और 5; 5 और 1. अनुकूल परिणाम - 2. P(A)=2:5=0.4. उत्तर: 0.4।

8. परीक्षा में 50 टिकट थे, टिमोफे ने उनमें से 5 को नहीं सीखा। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसे सीखा हुआ टिकट मिलेगा। हल: टिमोफे ने 45 टिकट सीखे। पी(ए)=45:50=0.9. उत्तर: 0.9.

प्रतियोगिताएं

9. जिम्नास्टिक चैंपियनशिप में 20 एथलीट भाग लेते हैं: रूस से 8, यूएसए से 7, बाकी चीन से। प्रदर्शन का क्रम बहुत से निर्धारित होता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले प्रतिस्पर्धा करने वाला एथलीट चीन से है। हल: कुल परिणाम 20. अनुकूल परिणाम 20-(8+7)=5. पी(ए)=5:20=0.25. उत्तर: 0.25।

10. फ्रांस से 4 एथलीट, इंग्लैंड से 5 और इटली से 3 एथलीट शॉट थ्रोइंग प्रतियोगिता में आए थे। प्रदर्शन का क्रम एक ड्रा द्वारा निर्धारित किया जाता है। पाँचवाँ एथलीट इटली से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल: सभी संभावित परिणामों की संख्या 12 (4 + 5 + 3 = 12) है। अनुकूल परिणामों की संख्या 3 है। P(A)=3:12=0.25. उत्तर: 0.25।

11. बैडमिंटन चैंपियनशिप के पहले दौर की शुरुआत से पहले, प्रतिभागियों को यादृच्छिक रूप से बहुत से ड्रॉ करके खेल जोड़े में विभाजित किया जाता है। चैंपियनशिप में कुल 26 बैडमिंटन खिलाड़ी भाग लेते हैं, जिसमें व्लादिमीर ओरलोव सहित रूस के 12 प्रतिभागी शामिल हैं। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले दौर में व्लादिमीर ओर्लोव रूस के किसी बैडमिंटन खिलाड़ी के साथ खेलेंगे? निर्णय: कुल परिणाम - 25 (25 बैडमिंटन खिलाड़ियों के साथ व्लादिमीर ओरलोव)। अनुकूल परिणाम - (12-1) = 11. पी (ए) = 11: 25 = 0.44। उत्तर : 0.44।

12. कलाकारों की प्रतियोगिता 5 दिनों में आयोजित की जाती है। कुल 75 प्रदर्शनों की घोषणा की गई - प्रत्येक देश से एक। पहले दिन 27 प्रदर्शन होते हैं, शेष शेष दिनों में समान रूप से वितरित किए जाते हैं। प्रदर्शन का क्रम एक ड्रा द्वारा निर्धारित किया जाता है। प्रतियोगिता के तीसरे दिन रूस के प्रतिनिधि का प्रदर्शन होने की क्या संभावना है? निर्णय: कुल परिणाम - 75. तीसरे दिन रूस के कलाकार प्रदर्शन करते हैं। अनुकूल परिणाम - (75-27): 4 = 12. पी (ए) = 12: 75 = 0.16। उत्तर: 0.16।

13. कोल्या दो अंकों की संख्या चुनती है। 5 से विभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल: दो अंकों की संख्याएँ: 10;11;12;…;99। कुल परिणाम - 90. 5: 10 से विभाज्य संख्याएँ; पंद्रह; 20; 25; …; 90; 95. अनुकूल परिणाम - 18. P(A)=18:90=0.2. उत्तर : 0.2.

संभाव्यता निर्धारित करने के लिए विभिन्न कार्य

14. कारखाना बैग का उत्पादन करता है। औसतन, प्रत्येक 170 गुणवत्ता वाले बैग के लिए, छिपे हुए दोषों के साथ छह बैग होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदा गया बैग उच्च गुणवत्ता का होगा। परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें। हल: कुल परिणाम - 176। अनुकूल परिणाम - 170। (А)=170:176 ≈ 0.97। उत्तर: 0.97।

15. औसतन, बेची गई प्रत्येक 100 बैटरियों में से 94 बैटरी चार्ज होती हैं। खरीदी गई बैटरी के चार्ज न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल: कुल परिणाम - 100। अनुकूल परिणाम - 100-94 = 6। पी (ए) = 6: 100 = 0.06। उत्तर: 0.06।

स्रोत http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru