डिग्री एक साधारण अंश है। एक बीजीय अंश को एक घात में बढ़ाना: नियम, उदाहरण

पाठ भिन्नों के गुणन के अधिक सामान्यीकृत संस्करण पर विचार करेगा - यह घातांक है। सबसे पहले, हम भिन्न की प्राकृतिक डिग्री और भिन्न के साथ समान क्रियाओं को प्रदर्शित करने वाले उदाहरणों के बारे में बात करेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम पूर्णांक व्यंजकों की प्राकृतिक घात को बढ़ाने को भी दोहराएंगे और देखेंगे कि यह आगे के उदाहरणों को हल करने के लिए कैसे उपयोगी है।

विषय: बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ: निर्माण बीजीय भिन्नएक स्तर तक

1. प्रारंभिक उदाहरणों के साथ भिन्नों और पूर्णांक व्यंजकों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के नियम

साधारण और बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने का नियम:

आप एक पूर्णांक अभिव्यक्ति की डिग्री के साथ एक सादृश्य बना सकते हैं और याद रख सकते हैं कि इसे एक शक्ति तक बढ़ाने का क्या मतलब है:

उदाहरण 1 .

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, भिन्न को घात में बढ़ाना है विशेष मामलाभिन्नों का गुणन, जिसका अध्ययन पिछले पाठ में किया गया था।

उदाहरण 2. ए), बी) - माइनस चला जाता है, क्योंकि हमने एक्सप्रेशन को सम पावर तक बढ़ा दिया है।

डिग्री के साथ काम करने की सुविधा के लिए, हम एक प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने के लिए बुनियादी नियमों को याद करते हैं:

- डिग्री का उत्पाद;

- डिग्री का विभाजन;

एक शक्ति के लिए एक डिग्री उठाना;

काम की डिग्री।

उदाहरण 3। - यह हमें "पूर्णांक अभिव्यक्तियों की शक्ति में वृद्धि" विषय के बाद से जाना जाता है, एक मामले को छोड़कर: यह अस्तित्व में नहीं है।

2. बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के लिए सबसे सरल उदाहरण

उदाहरण 4. भिन्न को घात तक बढ़ाइए।

फेसला। जब एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो माइनस चला जाता है:

उदाहरण 5. भिन्न को घात तक बढ़ाइए।

फेसला। अब हम एक अलग कार्यक्रम के बिना तुरंत एक शक्ति को एक डिग्री बढ़ाने के लिए नियमों का उपयोग करते हैं:

.

अब उन संयुक्त कार्यों पर विचार करें जिनमें हमें भिन्नों को एक घात में बढ़ाने, और उन्हें गुणा करने और विभाजित करने की आवश्यकता होगी।

उदाहरण 6: क्रियाएँ करें।

फेसला। . अगला, आपको कम करने की आवश्यकता है। हम एक बार विस्तार से वर्णन करेंगे कि हम यह कैसे करेंगे, और फिर हम परिणाम को सादृश्य द्वारा तुरंत इंगित करेंगे:। इसी प्रकार (या डिग्रियों के विभाजन के नियम के अनुसार)। हमारे पास है: ।

उदाहरण 7: क्रियाएँ करें।

फेसला। . कमी पहले चर्चा किए गए उदाहरण के अनुरूप सादृश्य द्वारा की जाती है।

उदाहरण 8: क्रियाएँ करें।

फेसला। . पर यह उदाहरणहमने एक बार फिर इस पद्धति को समेकित करने के लिए भिन्नों में शक्तियों को कम करने की प्रक्रिया का अधिक विस्तार से वर्णन किया है।

3. बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के लिए अधिक जटिल उदाहरण (चिह्नों को ध्यान में रखते हुए और कोष्ठक में पदों के साथ)

उदाहरण 9: क्रियाएँ करें .

फेसला। इस उदाहरण में, हम पहले से ही भिन्नों के अलग-अलग गुणन को छोड़ देंगे, और तुरंत उनके गुणन के लिए नियम का उपयोग करेंगे और इसे एक हर के नीचे लिख देंगे। उसी समय, हम संकेतों का पालन करते हैं - इस मामले में, अंशों को समान शक्तियों तक बढ़ा दिया जाता है, इसलिए माइनस गायब हो जाते हैं। आइए अंत में एक कमी करें।

उदाहरण 10: क्रियाएँ करें .

फेसला। इस उदाहरण में, भिन्नों का विभाजन है, याद रखें कि इस मामले में पहले अंश को दूसरे से गुणा किया जाता है, लेकिन उल्टा।

घातांक गुणन से निकटता से संबंधित एक संक्रिया है, यह संक्रिया अपने आप में किसी संख्या के बहुगुणन का परिणाम है। आइए सूत्र का प्रतिनिधित्व करें: a1 * a2 * ... * a = a।

उदाहरण के लिए, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 ।

सामान्य तौर पर, गणित और भौतिकी के विभिन्न सूत्रों में अक्सर घातांक का उपयोग किया जाता है। इस फ़ंक्शन का चार बुनियादी उद्देश्यों की तुलना में अधिक वैज्ञानिक उद्देश्य है: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

किसी संख्या को घात तक बढ़ाना कोई कठिन कार्य नहीं है। यह गुणन से संबंधित है जैसे गुणा और जोड़ के बीच संबंध। रिकॉर्ड a - संख्याओं की n-वें संख्या "a" को एक दूसरे से गुणा करने का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड।

अधिक से अधिक घातांक पर विचार करें सरल उदाहरणजटिल लोगों की ओर बढ़ रहा है।

उदाहरण के लिए, 42. 42 = 4 * 4 = 16। चार वर्ग (दूसरी शक्ति के लिए) सोलह के बराबर होता है। यदि आप गुणन 4*4 नहीं समझते हैं, तो गुणन के बारे में हमारा लेख पढ़ें।

आइए एक और उदाहरण देखें: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . पांच घन (तीसरी शक्ति के लिए) एक सौ पच्चीस के बराबर है।

एक और उदाहरण: 9^3। 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . नौ घन सात सौ उनतीस के बराबर है।

घातांक सूत्र

एक शक्ति को सही ढंग से बढ़ाने के लिए, आपको नीचे दिए गए सूत्रों को याद रखने और जानने की जरूरत है। इसमें प्राकृतिक से परे कुछ भी नहीं है, मुख्य बात यह है कि सार को समझना और फिर उन्हें न केवल याद किया जाएगा, बल्कि आसान भी लगेगा।

एक मोनोमियल को एक शक्ति में बढ़ाना

एकपदी क्या है? यह किसी भी मात्रा में संख्याओं और चरों का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, दो एकपदी है। और यह लेख ऐसे मोनोमियल को एक शक्ति में बढ़ाने के बारे में है।

घातांक सूत्रों का उपयोग करते हुए, किसी एकपदी के घातांक को घात के रूप में परिकलित करना कठिन नहीं होगा।

उदाहरण के लिए, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; यदि आप एक एकपदी को एक घात में बढ़ाते हैं, तो एकपदी के प्रत्येक घटक को एक घात तक बढ़ा दिया जाता है।

एक चर को बढ़ाते समय जिसमें पहले से ही एक शक्ति की डिग्री होती है, डिग्री को गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

एक नकारात्मक शक्ति को ऊपर उठाना

ऋणात्मक घातांक किसी संख्या का व्युत्क्रम होता है। एक पारस्परिक क्या है? किसी भी संख्या X के लिए व्युत्क्रम 1/X है। वह एक्स-1 = 1/एक्स है। यह नकारात्मक डिग्री का सार है।

उदाहरण (3Y)^-3 पर विचार करें:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3)।

ऐसा क्यों है? चूंकि डिग्री में एक माइनस है, हम बस इस अभिव्यक्ति को हर में स्थानांतरित करते हैं, और फिर इसे तीसरी शक्ति तक बढ़ाते हैं। बस सही?

भिन्नात्मक शक्ति में वृद्धि

आइए चर्चा शुरू करते हैं विशिष्ट उदाहरण. 43/2. पावर 3/2 का क्या मतलब है? 3 - अंश, का अर्थ है एक संख्या (इस मामले में 4) को एक घन तक बढ़ाना। संख्या 2 हर है, यह संख्या की दूसरी जड़ का निष्कर्षण है (इस मामले में 4)।

तब हमें 43 = 2^3 = 8 का वर्गमूल प्राप्त होता है। उत्तर: 8.

तो, एक भिन्नात्मक डिग्री का हर या तो 3 या 4 हो सकता है, और किसी भी संख्या को अनंत तक, और यह संख्या डिग्री निर्धारित करती है वर्गमूलइससे निष्कर्षित दी गई संख्या. बेशक, भाजक शून्य नहीं हो सकता।

एक शक्ति के लिए एक जड़ उठाना

यदि जड़ को जड़ की शक्ति के बराबर शक्ति तक उठाया जाता है, तो उत्तर मूल अभिव्यक्ति है। उदाहरण के लिए, (√x)2 = x। और इसलिए किसी भी मामले में जड़ की डिग्री और जड़ को ऊपर उठाने की डिग्री की समानता।

अगर (√x)^4. फिर (√x)^4=x^2। हल की जाँच करने के लिए, हम व्यंजक को भिन्नात्मक अंश वाले व्यंजक में अनुवाद करते हैं। चूँकि मूल वर्गाकार है, हर 2 है। और यदि जड़ को चौथी घात तक बढ़ा दिया जाए, तो अंश 4 है। हमें 4/2=2 प्राप्त होता है। उत्तर: एक्स = 2.

फिर भी सबसे अच्छा तरीकाबस व्यंजक को भिन्नात्मक शक्ति वाले व्यंजक में परिवर्तित करें। यदि भिन्न कम नहीं किया जाता है, तो ऐसा उत्तर होगा, बशर्ते कि दी गई संख्या का मूल आवंटित न हो।

एक सम्मिश्र संख्या का घातांक

एक सम्मिश्र संख्या क्या है? सम्मिश्र संख्या एक व्यंजक है जिसका सूत्र a + b * i है; ए, बी वास्तविक संख्याएं हैं। i वह संख्या है, जिसे चुकता करने पर संख्या -1 प्राप्त होती है।

एक उदाहरण पर विचार करें। (2 + 3i)^2।

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i।

जल्दी और सही तरीके से जोड़ने, घटाने, गुणा करने, विभाजित करने, वर्ग संख्याएं और यहां तक ​​कि जड़ें लेने का तरीका जानने के लिए "मानसिक गणना में तेजी लाएं, मानसिक अंकगणित नहीं" पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें। 30 दिनों में, आप सीखेंगे कि अंकगणितीय संक्रियाओं को सरल बनाने के लिए आसान तरकीबों का उपयोग कैसे करें। प्रत्येक पाठ में नई तकनीकें, स्पष्ट उदाहरण और उपयोगी कार्य होते हैं।

घातांक ऑनलाइन

हमारे कैलकुलेटर की सहायता से, आप किसी संख्या के घातांक को घात के रूप में परिकलित कर सकते हैं:

घातांक ग्रेड 7

स्कूली बच्चों को सातवीं कक्षा में ही पास करना शुरू कर देता है।

घातांक गुणन से निकटता से संबंधित एक संक्रिया है, यह संक्रिया अपने आप में किसी संख्या के बहुगुणन का परिणाम है। आइए सूत्र का प्रतिनिधित्व करें: a1 * a2 * … * an=an ।

उदाहरण के लिए, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

समाधान उदाहरण:

घातांक प्रस्तुति

घातांक पर प्रस्तुति, सातवीं कक्षा के छात्रों के लिए डिज़ाइन किया गया। प्रस्तुति कुछ समझ से बाहर के बिंदुओं को स्पष्ट कर सकती है, लेकिन हमारे लेख के लिए शायद ऐसे बिंदु नहीं होंगे।

नतीजा

गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए हमने केवल हिमशैल के सिरे पर विचार किया है - हमारे पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें: मानसिक अंकगणित को गति दें - मानसिक अंकगणित नहीं।

पाठ्यक्रम से, आप न केवल सरल और तेज़ गुणा, जोड़, गुणा, भाग, प्रतिशत की गणना के लिए दर्जनों तरकीबें सीखेंगे, बल्कि उन्हें विशेष कार्यों और शैक्षिक खेलों में भी काम करेंगे! मानसिक गणना के लिए भी बहुत अधिक ध्यान और एकाग्रता की आवश्यकता होती है, जो दिलचस्प समस्याओं को हल करने में सक्रिय रूप से प्रशिक्षित होते हैं।

अनुदेश

यदि स्रोत में यह एक साधारण अंश के प्रारूप में दिया गया है, तो ऑपरेशन दो चरणों में किया जाना चाहिए। उनका क्रम किसी भी तरह से परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा - उदाहरण के लिए, अंश के हर में इंगित डिग्री की जड़ की संख्या से निकालने से शुरू करें। उदाहरण के लिए, बढ़ाने के लिए डिग्रीइस चरण में संख्या 64 को इसमें से निकालना होगा: 64^⅔ = (³√64)² = 4²।

पहले चरण में प्राप्त मान को तक बढ़ाएँ डिग्रीभिन्न के अंश में संख्या के बराबर। इस ऑपरेशन का परिणाम संख्या को भिन्नात्मक तक बढ़ाने का परिणाम होगा डिग्री. पिछले चरण के उदाहरण के लिए, संपूर्ण गणना प्रक्रिया को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16।

ऊपर वर्णित संचालन के अनुक्रम का निर्धारण करते समय, रूट निकालने और ऊपर उठाने के लिए गणना की सादगी से आगे बढ़ें डिग्री. उदाहरण के लिए, यदि यह उसी में आवश्यक था डिग्री⅔ संख्या 8 बढ़ाने के लिए, फिर आठ का घनमूल लेने से प्रारंभ करना होगा, क्योंकि परिणाम भिन्न होगा। इस मामले में, 8 वर्ग शुरू करना बेहतर है, और फिर 64 का तीसरा मूल लें और इस प्रकार भिन्नात्मक मध्यवर्ती मानों से बचें: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4।

यदि स्रोत डेटा में घातांक दशमलव प्रारूप में दिया गया है, तो इसे एक साधारण अंश में परिवर्तित करके प्रारंभ करें, और फिर ऊपर वर्णित एल्गोरिथम का पालन करें। उदाहरण के लिए, किसी संख्या को बढ़ाने के लिए डिग्री 0.75 इस आकृति को एक साधारण भिन्न में रूपांतरित करें, फिर चौथा मूल निकालें और परिणाम को एक घन तक बढ़ाएँ।

यदि गणना के पाठ्यक्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता है, तो किसी का उपयोग करें, लेकिन केवल परिणाम महत्वपूर्ण है। यह अंतर्निहित स्क्रिप्ट भी हो सकती है गूगल सर्च इंजन- उसकी मदद से वांछित मूल्यमानक विंडोज कैलकुलेटर का उपयोग करने से भी आसान। उदाहरण के लिए, संख्या 15 को बढ़ाने के लिए डिग्रीमैं जाना होम पेजसाइट और खोज क्वेरी फ़ील्ड में 15^(3/5) दर्ज करें। Google अनुरोध भेजें बटन दबाए बिना भी 8 वर्णों तक की सटीकता के साथ गणना का परिणाम प्रदर्शित करेगा: 15 ^ (3/5) = 5.07755639।

स्रोत:

• भिन्नात्मक शक्ति को कैसे बढ़ाया जाए

डिग्री नंबर स्कूल में बीजगणित के पाठों में हल किया गया। जीवन में, ऐसा ऑपरेशन शायद ही कभी किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी वर्ग के क्षेत्रफल या घन के आयतन की गणना करते समय, डिग्री का उपयोग किया जाता है, क्योंकि लंबाई, चौड़ाई और घन और ऊंचाई के लिए समान मान होते हैं। अन्यथा, घातांक प्रायः एक अनुप्रयुक्त औद्योगिक प्रकृति का होता है।

आपको चाहिये होगा

• कागज, कलम, इंजीनियरिंग कैलकुलेटर, डिग्री टेबल, सॉफ्टवेयर उत्पाद (उदाहरण के लिए, एक एक्सेल स्प्रेडशीट संपादक)।

अनुदेश

ऋणात्मक संख्या के साथ काम करते समय, आपको संकेतों से सावधान रहने की आवश्यकता है। यह याद रखना चाहिए कि एक सम डिग्री (n) एक प्लस चिन्ह देगा, एक विषम - एक चिन्ह।
उदाहरण के लिए
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

किसी भी से शून्य डिग्री (n = 0) नंबरहमेशा एक के बराबर रहेगा।
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3) ^ 0 = 1 यदि n = 1 है, तो संख्या को स्वयं से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है।
वसीयत
7^1 = 7
329^1 = 329

यदि n = 2, तो घात एक वर्ग है, यदि n = 3, तो घात को घन कहा जाता है। पहले दस की संख्या से वर्ग और घन की गणना करना काफी आसान है। लेकिन वृद्धि के साथ नंबरएक शक्ति के लिए उठाया, और जैसे ही शक्ति बढ़ती है, गणना श्रमसाध्य हो जाती है। ऐसी गणनाओं के लिए, विशेष तालिकाओं का विकास किया गया था। विशेष इंजीनियरिंग और ऑनलाइन कैलकुलेटर, सॉफ्टवेयर उत्पाद भी हैं। संचालन के लिए सबसे सरल सॉफ्टवेयर के रूप में, आप स्प्रेडशीट संपादक एक्सेल का उपयोग कर सकते हैं।

स्रोत:

• http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

कुछ तकनीकी समस्याओं को हल करते समय, गणना करना आवश्यक हो सकता है जड़ तीसरा डिग्री. कभी-कभी इस संख्या को घनमूल भी कहते हैं। जड़ तीसरा डिग्रीदी गई संख्या से ऐसी संख्या कहलाती है, जिसका घन (तीसरी डिग्री) दी गई संख्या के बराबर होता है। यानी अगर आप जड़ तीसरा डिग्रीसंख्या x, तो निम्न शर्त पूरी होनी चाहिए: y?=x (x, y घन के बराबर है)।

आपको चाहिये होगा

• कैलकुलेटर या कंप्यूटर

अनुदेश

गिनती करने के लिए जड़ डिग्रीकैलकुलेटर का उपयोग करें। यह वांछनीय है कि यह सामान्य नहीं है, बल्कि इंजीनियरिंग गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला कैलकुलेटर है। हालांकि इस पर भी आपको रूट निकालने के लिए स्पेशल बटन नहीं मिलेगा। तीसरा डिग्री. इसलिए किसी संख्या को घात में बढ़ाने के लिए फ़ंक्शन का उपयोग करें। जड़ निकालना तीसरा डिग्री 1/3 (एक तिहाई) की शक्ति को बढ़ाने के अनुरूप है।

किसी संख्या को 1/3 की शक्ति तक बढ़ाने के लिए, कैलकुलेटर के कीबोर्ड पर ही नंबर टाइप करें। फिर "घातांक" कुंजी दबाएं। कैलकुलेटर के प्रकार के आधार पर ऐसा बटन xy (y - सुपरस्क्रिप्ट के रूप में) जैसा दिख सकता है। चूंकि अधिकांश कैलकुलेटर में सामान्य (गैर-दशमलव) संख्याओं के साथ काम करने की क्षमता नहीं होती है, संख्या 1/3 के बजाय, इसका अनुमानित मान टाइप करें: 0.33। गणना की अधिक सटीकता प्राप्त करने के लिए, "ट्रिपल" की संख्या बढ़ाना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, 0.3333333333333333 डायल करें। फिर, "=" बटन दबाएं।

गिनती करने के लिए जड़ तीसरा डिग्रीपर, मानक विंडोज कैलकुलेटर का उपयोग करें। प्रक्रिया पूरी तरह से निर्देश के पिछले पैराग्राफ में वर्णित के समान है। केवल एक चीज घातांक बटन है। "कंप्यूटर" कैलकुलेटर पर, यह x ^ y जैसा दिखता है।

यदि एक जड़ तीसरा डिग्रीयदि आपको इसे व्यवस्थित रूप से करना है, तो MS Excel का उपयोग करें। गिनती करने के लिए जड़ तीसरा डिग्रीएक्सेल में, किसी भी सेल में "=" चिह्न दर्ज करें, और फिर "fx" चुनें - एक फ़ंक्शन डालें। दिखाई देने वाली विंडो में, "एक फ़ंक्शन चुनें" सूची में, "डिग्री" लाइन का चयन करें। ओके बटन पर क्लिक करें। नई दिखाई देने वाली विंडो में, "नंबर" लाइन में उस नंबर का मान दर्ज करें जिससे आप निकालना चाहते हैं जड़. "डिग्री" लाइन में "1/3" नंबर दर्ज करें और "ओके" पर क्लिक करें। मूल संख्या से घनमूल का वांछित मान तालिका में दिखाई देगा।

तकनीकी गणना में और कई समस्याओं को हल करने में, कभी-कभी इसकी आवश्यकता होती है जड़यानी एक ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका घन मूल घन के बराबर हो। एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर क्यूब रूट के मूल्य की गणना करने के लिए पर्याप्त है। हालांकि, ऐसे कैलकुलेटर पर भी क्यूब रूट की गणना के लिए कोई विशेष कुंजी नहीं है। लेकिन कुछ आसान ट्रिक्स का इस्तेमाल करके आप ऐसे बटन के बिना भी कर सकते हैं।

आपको चाहिये होगा

• इंजीनियरिंग कैलकुलेटर या कंप्यूटर

अनुदेश

कैलकुलेटर का उपयोग करके घनमूल खोजने के लिए, इंजीनियरिंग नंबर लें और उस पर मूल संख्या टाइप करें। फिर, घातांक बटन पर क्लिक करें। अब संकेतक मान दर्ज करें। इस मामले में, यह (सैद्धांतिक रूप से) 1/3 के बराबर होना चाहिए। लेकिन, चूंकि एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर पर भी साधारण अंशों का उपयोग करना मुश्किल है, तो संख्या 1/3 का गोल मान टाइप करें, जो कि: 0.33 है। फिर "=" बटन पर क्लिक करें। कैलकुलेटर के संकेतक पर वांछित मूल्य दिखाई देगा। अधिक पाने के लिए सही मूल्य, दो ट्रिपल नहीं डायल करें, लेकिन, उदाहरण के लिए, 0.33333333333333।

कंप्यूटर पर क्यूब रूट की गणना करने के लिए, कैलकुलेटर प्रोग्राम चलाएँ। यदि संबंधित आइकन डेस्कटॉप पर नहीं है, तो निम्न कार्य करें:
- "प्रारंभ" बटन दबाएं;
- मेनू आइटम "रन" चुनें;
- दिखाई देने वाली विंडो में लाइन "कैल्क" दर्ज करें। यदि डेस्कटॉप पर दिखाई देने वाला कैलकुलेटर सामान्य दिखता है ("लेखा कैलकुलेटर" जैसा दिखता है), तो इसे गणना मोड पर स्विच करें। ऐसा करने के लिए, "व्यू" लाइन का चयन करें और "इंजीनियरिंग" आइटम का चयन करें। अब वह नंबर दर्ज करें जिससे आप क्यूब रूट निकालना चाहते हैं। फिर कैलकुलेटर पर "x^y" बटन दबाएं। अगला, डायल करें , उदाहरण के लिए, 0.33। अधिक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए, आप घातांक का एक बड़ा मान टाइप कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, 0.33333333333333। सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए, कोष्ठक में घातांक "1/3" दर्ज करें। यही है, क्रम में "(1/3)" कुंजी दबाएं।

एक्सेल में गणना। प्रोग्राम को ही चलाएं, "=" बटन दबाएं और "डिग्री" फ़ंक्शन का चयन करें। फिर वह संख्या दर्ज करें जिससे आप डिग्री का मूल निकालना चाहते हैं। फिर, दिखाई देने वाली अगली विंडो में, अंश "1/3" टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें।

संबंधित वीडियो

स्रोत:

• गणना कैसे करें घनमूल

अंकगणित और बीजगणितीय समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी निर्माण करना आवश्यक होता है अंशमें वर्ग. ऐसा करने का सबसे आसान तरीका है जब अंशदशमलव - एक साधारण कैलकुलेटर पर्याप्त है। हालांकि, यदि अंशसाधारण या मिश्रित, फिर ऐसी संख्या को बढ़ाने पर वर्गकुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं।

हमने यह पता लगाया कि सामान्य तौर पर किसी संख्या की घात क्या होती है। अब हमें यह समझने की आवश्यकता है कि इसकी सही गणना कैसे करें, अर्थात। शक्तियों के लिए संख्या बढ़ाएँ। इस सामग्री में, हम एक पूर्णांक, प्राकृतिक, भिन्नात्मक, परिमेय और अपरिमेय घातांक के मामले में डिग्री की गणना के लिए बुनियादी नियमों का विश्लेषण करेंगे। सभी परिभाषाओं को उदाहरणों के साथ सचित्र किया जाएगा।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

घातांक की अवधारणा

आइए बुनियादी परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरू करें।

परिभाषा 1

घातांककिसी संख्या की शक्ति के मूल्य की गणना है।

अर्थात्, "डिग्री के मूल्य की गणना" और "घातांक" शब्दों का अर्थ एक ही है। इसलिए, यदि कार्य "संख्या 0 , 5 को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ाएँ" है, तो इसे "शक्ति के मान की गणना (0 , 5) 5 के रूप में समझा जाना चाहिए।

अब हम बुनियादी नियम देते हैं जिनका ऐसी गणनाओं में पालन किया जाना चाहिए।

याद करें कि एक प्राकृतिक घातांक वाली संख्या की शक्ति क्या है। आधार a और घातांक n वाली घात के लिए, यह गुणनखंडों की nवीं संख्या का गुणनफल होगा, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

डिग्री के मूल्य की गणना करने के लिए, आपको गुणन के संचालन को करने की आवश्यकता है, अर्थात डिग्री के आधारों को निर्दिष्ट संख्या में गुणा करें। एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री की अवधारणा जल्दी से गुणा करने की क्षमता पर आधारित है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1

शर्त: उठाएँ - 2 को 4 के घात तक।

फेसला

ऊपर दी गई परिभाषा का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) । इसके बाद, हमें बस इन चरणों का पालन करने और 16 प्राप्त करने की आवश्यकता है।

आइए एक और अधिक जटिल उदाहरण लें।

उदाहरण 2

मान 3 2 7 2 . की गणना करें

फेसला

इस प्रविष्टि को 3 2 7 · 3 2 7 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पहले हमने देखा कि कंडीशन में उल्लिखित मिश्रित संख्याओं को सही तरीके से कैसे गुणा किया जाए।

इन चरणों का पालन करें और उत्तर प्राप्त करें: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

यदि कार्य एक प्राकृतिक शक्ति के लिए अपरिमेय संख्याओं को बढ़ाने की आवश्यकता को इंगित करता है, तो हमें पहले उनके आधारों को एक अंक तक गोल करना होगा जो हमें वांछित सटीकता का उत्तर प्राप्त करने की अनुमति देगा। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 3

संख्या का वर्गीकरण करें।

फेसला

आइए पहले इसे सौवें तक गोल करें। तब 2 (3, 14) 2 = 9, 8596। अगर 3 . 14159, तब हमें अधिक सटीक परिणाम मिलेगा: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281।

ध्यान दें कि व्यवहार में अपरिमेय संख्याओं की शक्तियों की गणना करने की आवश्यकता अपेक्षाकृत कम ही उत्पन्न होती है। फिर हम उत्तर को स्वयं घात (ln 6) 3 के रूप में लिख सकते हैं या यदि संभव हो तो रूपांतरित कर सकते हैं: 5 7 = 125 5 ।

अलग से, यह इंगित किया जाना चाहिए कि किसी संख्या की पहली शक्ति क्या है। यहां आप केवल यह याद रख सकते हैं कि कोई भी संख्या जो पहली घात तक उठाई गई है, वही रहेगी:

यह रिकॉर्ड से स्पष्ट है। .

यह डिग्री के आधार पर निर्भर नहीं करता है।

उदाहरण 4

तो, (- 9) 1 = -9 , और 7 3 को पहली घात तक बढ़ाए जाने पर 7 3 के बराबर रहता है।

सुविधा के लिए, हम तीन मामलों का अलग-अलग विश्लेषण करेंगे: यदि घातांक एक धनात्मक पूर्णांक है, यदि यह शून्य है, और यदि यह एक ऋणात्मक पूर्णांक है।

पहले मामले में, यह प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने जैसा ही है: आखिरकार, सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित होते हैं। हम पहले ही बता चुके हैं कि ऊपर ऐसी डिग्री के साथ कैसे काम किया जाए।

अब देखते हैं कि शून्य शक्ति को ठीक से कैसे बढ़ाया जाए। गैर-शून्य आधार के साथ, यह गणना हमेशा 1 का आउटपुट उत्पन्न करती है। हम पहले बता चुके हैं कि a की 0वीं घात को किसी के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है वास्तविक संख्या, 0 के बराबर नहीं है, और 0 = 1 है।

उदाहरण 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - परिभाषित नहीं।

हमारे पास केवल एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात का मामला बचा है। हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि ऐसी डिग्रियों को भिन्न 1 a z के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a कोई भी संख्या है, और z एक ऋणात्मक पूर्णांक है। हम देखते हैं कि इस भिन्न का हर एक धनात्मक पूर्णांक वाली साधारण घात से अधिक कुछ नहीं है, और हम पहले ही इसकी गणना करना सीख चुके हैं। आइए कार्यों के उदाहरण दें।

उदाहरण 6

3 से -2 की शक्ति बढ़ाएँ।

फेसला

ऊपर दी गई परिभाषा का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: 2 - 3 = 1 2 3

हम इस भिन्न के हर की गणना करते हैं और 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 प्राप्त करते हैं।

तो उत्तर है: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

उदाहरण 7

1, 43 को -2 शक्ति तक बढ़ाएँ।

फेसला

सुधारना: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

हम हर में वर्ग की गणना करते हैं: 1.43 1.43। दशमलव को इस तरह से गुणा किया जा सकता है:

परिणामस्वरूप, हमें (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 प्राप्त हुआ। इस परिणाम को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखना हमारे लिए शेष है, जिसके लिए इसे 10 हजार से गुणा करना आवश्यक है (अंशों के रूपांतरण पर सामग्री देखें)।

उत्तर: (1, 43) - 2 = 10000 20449

एक अलग मामला एक संख्या को माइनस फर्स्ट पावर तक बढ़ा रहा है। ऐसी डिग्री का मान आधार के मूल मान के विपरीत संख्या के बराबर होता है: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a।

उदाहरण 8

उदाहरण: 3 - 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

किसी संख्या को भिन्नात्मक घात में कैसे बढ़ाएं

इस तरह के एक ऑपरेशन को करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की मूल परिभाषा को याद करने की आवश्यकता है: a m n \u003d a m n किसी भी सकारात्मक a, पूर्णांक m और प्राकृतिक n के लिए।

परिभाषा 2

इस प्रकार, भिन्नात्मक अंश की गणना दो चरणों में की जानी चाहिए: एक पूर्णांक घात तक बढ़ाना और nवीं डिग्री का मूल ज्ञात करना।

हमारे पास समानता a m n = a m n है, जिसका उपयोग मूल के गुणों को देखते हुए, आमतौर पर a m n = a n m के रूप में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। इसका मतलब यह है कि यदि हम संख्या a को भिन्नात्मक घात m / n तक बढ़ाते हैं, तो पहले हम nth डिग्री की जड़ को a से निकालते हैं, फिर हम परिणाम को पूर्णांक घातांक m के साथ घात तक बढ़ाते हैं।

आइए एक उदाहरण से समझाते हैं।

उदाहरण 9

8 - 2 3 की गणना करें।

फेसला

विधि 1. मूल परिभाषा के अनुसार, हम इसे इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

अब आइए मूल के नीचे की डिग्री की गणना करें और परिणाम से तीसरा मूल निकालें: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

विधि 2। आइए बुनियादी समानता को बदलें: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

उसके बाद, हम मूल 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 निकालते हैं और परिणाम का वर्ग करते हैं: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

हम देखते हैं कि समाधान समान हैं। आप अपनी पसंद का कोई भी तरीका इस्तेमाल कर सकते हैं।

ऐसे मामले हैं जब डिग्री में एक मिश्रित संख्या या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त संकेतक होता है। गणना में आसानी के लिए, इसे एक साधारण अंश से बदलना और ऊपर बताए अनुसार गिनना बेहतर है।

उदाहरण 10

44.89 को 2.5 के घात तक बढ़ाएँ।

फेसला

आइए संकेतक के मान को एक साधारण भिन्न में परिवर्तित करें - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2।

और अब हम ऊपर बताए गए सभी कार्यों को क्रम में करते हैं: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

उत्तर: 13501, 25107।

यदि भिन्नात्मक घातांक के अंश और हर हैं बड़ी संख्या, तो ऐसी शक्तियों की गणना तर्कसंगत संकेतक- काफी मुश्किल काम। इसके लिए आमतौर पर कंप्यूटर तकनीक की आवश्यकता होती है।

अलग से, हम एक शून्य आधार और एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री पर ध्यान केंद्रित करते हैं। 0 m n के रूप का व्यंजक निम्नलिखित अर्थ दिया जा सकता है: यदि m n > 0, तो 0 m n = 0 m n = 0; अगर मैं नहीं< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

किसी संख्या को अपरिमेय शक्ति में कैसे बढ़ाया जाए

डिग्री के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता, जिसके संकेतक में एक अपरिमेय संख्या है, इतनी बार उत्पन्न नहीं होती है। व्यवहार में, कार्य आमतौर पर अनुमानित मूल्य (दशमलव स्थानों की एक निश्चित संख्या तक) की गणना करने तक सीमित होता है। यह आमतौर पर ऐसी गणनाओं की जटिलता के कारण कंप्यूटर पर गणना की जाती है, इसलिए हम इस पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, हम केवल मुख्य प्रावधानों का संकेत देंगे।

यदि हमें एक अपरिमेय घातांक a के साथ घात a के मान की गणना करने की आवश्यकता है, तो हम घातांक का दशमलव सन्निकटन लेते हैं और उसमें से गिनते हैं। परिणाम एक अनुमानित उत्तर होगा। दशमलव सन्निकटन जितना सटीक होगा, उत्तर उतना ही सटीक होगा। आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं:

उदाहरण 11

21, 174367 के अनुमानित मान की गणना करें ....

फेसला

हम स्वयं को दशमलव सन्निकटन a n = 1, 17 तक सीमित रखते हैं। आइए इस संख्या का उपयोग करके गणना करें: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 । यदि हम, उदाहरण के लिए, सन्निकटन a n = 1, 1743 लेते हैं, तो उत्तर थोड़ा अधिक सटीक होगा: 2 1 , 174367। . . 2 1 . 1743 2 . 256833 .

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अंकगणित और बीजगणितीय समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी निर्माण करना आवश्यक होता है अंशमें वर्ग. ऐसा करने का सबसे आसान तरीका है जब अंशदशमलव - एक साधारण कैलकुलेटर पर्याप्त है। हालांकि, यदि अंशसाधारण या मिश्रित, फिर ऐसी संख्या को बढ़ाने पर वर्गकुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं।

आपको चाहिये होगा

• कैलकुलेटर, कंप्यूटर, एक्सेल एप्लिकेशन।

अनुदेश

दशमलव बढ़ाने के लिए अंशमें वर्ग, एक इंजीनियरिंग लें, इसमें निर्मित होने पर डायल करें वर्ग अंशऔर घातांक कुंजी दबाएं। अधिकांश कैलकुलेटर पर, इस बटन को "x²" लेबल किया जाता है। एक मानक विंडोज कैलकुलेटर पर, को बढ़ाने के लिए वर्ग"एक्स ^ 2" जैसा दिखता है। उदाहरण के लिए, वर्गदशमलव भिन्न 3.14 बराबर होगा: 3.14² = 9.8596।

बढ़ाने के लिए वर्गदशमलव अंशएक नियमित (लेखा) कैलकुलेटर पर, इस संख्या को अपने आप से गुणा करें। वैसे, कैलकुलेटर के कुछ मॉडलों में एक संख्या को बढ़ाना संभव है वर्गभले ही कोई समर्पित बटन न हो। इसलिए, पहले एक विशिष्ट कैलकुलेटर के लिए निर्देश पढ़ें। कभी-कभी "मुश्किल" घातांक पिछले कवर पर या कैलकुलेटर पर दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या बढ़ाने के लिए कई कैलकुलेटर पर वर्गबस "x" और "=" बटन दबाएं।

इरेक्शन के लिए वर्गसाधारण भिन्न (अंश और हर से मिलकर), तक बढ़ाएँ वर्गइस भिन्न का अंश और हर अलग-अलग। अर्थात्, निम्नलिखित नियम का प्रयोग करें: (h / z)² = h² / z², जहाँ h भिन्न का अंश है, z भिन्न का हर है। उदाहरण: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

यदि में खड़ा किया गया है वर्ग अंश- मिश्रित (एक पूर्णांक भाग और एक साधारण अंश से मिलकर बनता है), फिर इसे पहले लाएं साधारण लुक. अर्थात्, निम्न सूत्र लागू करें: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) \u003d (ts * s + h) / s², जहाँ ts पूर्णांक भाग है मिश्रित भिन्न। उदाहरण: (3 2/5)² = ((3*5+2)/5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25।

मैं फ़िन वर्ग(नहीं) भिन्न स्थिर हैं, तो MS Excel का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, निम्न सूत्र को किसी एक तालिका में दर्ज करें: \u003d DEGREE (A2; 2) जहां A2 उस सेल का पता है जिसमें उठाया जा रहा मान दर्ज किया जाएगा वर्ग अंशप्रोग्राम को यह बताने के लिए कि इनपुट नंबर को इस प्रकार हैंडल किया जाना चाहिए अंश yu (अर्थात इसे दशमलव में न बदलें), पहले टाइप करें अंशवें अंक "0" और चिन्ह "स्पेस"। यही है, दर्ज करने के लिए, उदाहरण के लिए, अंश 2/3, आपको दर्ज करने की आवश्यकता है: "0 2/3" (और एंटर दबाएं)। इस मामले में, इनपुट लाइन दर्ज किए गए अंश का दशमलव प्रतिनिधित्व प्रदर्शित करेगी। अंश के मूल्य और प्रतिनिधित्व को सीधे उसके मूल रूप में संरक्षित किया जाएगा। इसके अलावा, उपयोग करते समय गणितीय कार्य, जिनके तर्क साधारण भिन्न हैं, परिणाम को भी एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जाएगा। इसलिये वर्गभिन्न 2/3 को 4/9 के रूप में दर्शाया जाएगा।