वर्गाकार आलेखों का हल। गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके न्यूनतम या अधिकतम की गणना कैसे करें

हर कोई जानता है कि परवलय क्या है। लेकिन विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में सक्षम रूप से इसका सही तरीके से उपयोग कैसे करें, हम नीचे समझेंगे।

सबसे पहले, आइए हम उन बुनियादी अवधारणाओं को निरूपित करें जो बीजगणित और ज्यामिति इस शब्द को देते हैं। सब कुछ पर विचार करें संभावित प्रकारयह चार्ट।

हम इस फ़ंक्शन की सभी मुख्य विशेषताओं को सीखते हैं। आइए एक वक्र (ज्यामिति) के निर्माण की मूल बातें समझते हैं। आइए जानें कि इस प्रकार के ग्राफ के शीर्ष, अन्य बुनियादी मूल्यों को कैसे खोजें।

हम यह पता लगाएंगे: समीकरण के अनुसार आवश्यक वक्र का निर्माण कैसे सही ढंग से किया गया है, आपको किस पर ध्यान देने की आवश्यकता है। आइए देखें मुख्य प्रायोगिक उपयोगमानव जीवन में यह अद्वितीय मूल्य।

परवलय क्या है और यह कैसा दिखता है

बीजगणित: यह शब्द एक ग्राफ को संदर्भित करता है द्विघात फंक्शन.

ज्यामिति: यह एक दूसरे क्रम का वक्र है जिसमें कई विशिष्ट विशेषताएं हैं:

विहित परवलय समीकरण

आंकड़ा एक आयताकार समन्वय प्रणाली (XOY), एक चरम, एब्सिस्सा अक्ष के साथ फ़ंक्शन ड्राइंग शाखाओं की दिशा दिखाता है।

विहित समीकरण है:

वाई 2 \u003d 2 * पी * एक्स,

जहां गुणांक p परवलय (AF) का फोकल पैरामीटर है।

बीजगणित में, इसे अलग तरह से लिखा जाता है:

y = a x 2 + b x + c (पहचानने योग्य पैटर्न: y = x 2)।

द्विघात फलन के गुण और ग्राफ

फ़ंक्शन में समरूपता की धुरी और एक केंद्र (चरम) होता है। परिभाषा का क्षेत्र x-अक्ष के सभी मान हैं।

फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी - (-∞, M) या (M, +∞) वक्र शाखाओं की दिशा पर निर्भर करती है। यहाँ पैरामीटर M का अर्थ है पंक्ति के शीर्ष पर फ़ंक्शन का मान।

कैसे निर्धारित करें कि एक परवलय की शाखाएँ कहाँ निर्देशित हैं

व्यंजक से इस प्रकार के वक्र की दिशा ज्ञात करने के लिए, आपको पहले पैरामीटर के सामने चिह्न निर्दिष्ट करना होगा बीजगणतीय अभिव्यक्ति. यदि a 0, तो वे ऊपर की ओर निर्देशित होते हैं। अन्यथा, नीचे।

सूत्र का उपयोग करके परवलय का शीर्ष कैसे ज्ञात करें

कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए चरम सीमा का पता लगाना मुख्य कदम है। बेशक, आप विशेष खोल सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटरलेकिन इसे स्वयं करने में सक्षम होना बेहतर है।

इसे कैसे परिभाषित करें? एक विशेष सूत्र है। जब b, 0 के बराबर न हो, तो हमें इस बिंदु के निर्देशांकों को देखना चाहिए।

शीर्ष खोजने के सूत्र:

• एक्स 0 \u003d -बी / (2 * ए);
• वाई 0 = वाई (एक्स 0)।

उदाहरण।

एक फ़ंक्शन y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 है। आइए इस फ़ंक्शन के कोने खोजें।

ऐसी लाइन के लिए:

• एक्स \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• वाई = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41।

हमें शीर्ष (-2, -41) के निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

परबोला ऑफसेट

क्लासिक मामला तब होता है जब द्विघात फ़ंक्शन y = a x 2 + b x + c में, दूसरा और तीसरा पैरामीटर 0 होता है, और = 1 - शीर्ष बिंदु (0; 0) पर होता है।

एब्सिस्सा या कोर्डिनेट कुल्हाड़ियों के साथ आंदोलन क्रमशः पैरामीटर बी और सी में बदलाव के कारण होता है।विमान पर लाइन की शिफ्ट बिल्कुल इकाइयों की संख्या से की जाएगी, जो कि पैरामीटर के मान के बराबर है।

उदाहरण।

हमारे पास है: बी = 2, सी = 3।

इसका मतलब यह है कि वक्र का क्लासिक दृश्य भुज अक्ष के साथ 2 इकाई खंडों और 3 निर्देशांक अक्ष के साथ स्थानांतरित हो जाएगा।

द्विघात समीकरण का उपयोग करके परवलय का निर्माण कैसे करें

स्कूली बच्चों के लिए यह सीखना महत्वपूर्ण है कि दिए गए मापदंडों के अनुसार परवलय को सही ढंग से कैसे बनाया जाए।

व्यंजकों और समीकरणों का विश्लेषण करके, आप निम्नलिखित देख सकते हैं:

1. निर्देशांक वेक्टर के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का मान c के बराबर होगा।
2. ग्राफ के सभी बिंदु (एक्स-अक्ष के साथ) फ़ंक्शन के मुख्य चरम के संबंध में सममित होंगे।

इसके अलावा, ऐसे फ़ंक्शन के विवेचक (D) को जानकर OX के साथ प्रतिच्छेदन पाया जा सकता है:

डी \u003d (बी 2 - 4 * ए * सी)।

ऐसा करने के लिए, आपको व्यंजक को शून्य के बराबर करना होगा।

परवलय जड़ों की उपस्थिति परिणाम पर निर्भर करती है:

• डी 0, फिर एक्स 1, 2 = (-बी ± डी 0.5) / (2 * ए);
• डी \u003d 0, फिर एक्स 1, 2 \u003d -बी / (2 * ए);
• D 0, तो सदिश OX के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं।

हम एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म प्राप्त करते हैं:

• शाखाओं की दिशा निर्धारित करें;
• शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए;
• y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए;
• x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 1

एक फ़ंक्शन को देखते हुए y \u003d x 2 - 5 * x + 4. एक परवलय का निर्माण करना आवश्यक है। हम एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं:

1. ए \u003d 1, इसलिए, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है;
2. चरम निर्देशांक: x = - (-5) / 2 = 5/2; वाई = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. y-अक्ष के साथ y = 4 के मान पर प्रतिच्छेद करता है;
4. विभेदक का पता लगाएं: डी = 25 - 16 = 9;
5. जड़ों की तलाश

• एक्स 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• एक्स 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10)।

उदाहरण 2

फ़ंक्शन y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 के लिए, आपको एक परवलय बनाने की आवश्यकता है। हम उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं:

1. ए \u003d 3, इसलिए, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है;
2. चरम निर्देशांक: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; वाई = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y-अक्ष के साथ y \u003d -1 के मान पर प्रतिच्छेद करेगा;
4. विवेचक खोजें: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. तो जड़ें:

• एक्स 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• एक्स 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0)।

प्राप्त बिंदुओं से, आप एक परवलय का निर्माण कर सकते हैं।

डायरेक्ट्रिक्स, विलक्षणता, एक परवलय का फोकस

विहित समीकरण के आधार पर, फ़ोकस F के निर्देशांक (p/2, 0) हैं।

सीधी रेखा AB एक डायरेक्ट्रिक्स (एक निश्चित लंबाई की परवलय जीवा का एक प्रकार) है। उसका समीकरण x = -p/2 है।

विलक्षणता (स्थिर) = 1.

निष्कर्ष

हमने उस विषय पर विचार किया जिसमें छात्र पढ़ते हैं उच्च विद्यालय. अब आप जानते हैं, एक परवलय के द्विघात कार्य को देखते हुए, इसके शीर्ष को कैसे खोजना है, शाखाओं को किस दिशा में निर्देशित किया जाएगा, क्या कुल्हाड़ियों के साथ एक ऑफसेट है, और, एक निर्माण एल्गोरिथ्म होने पर, आप इसका ग्राफ खींच सकते हैं।