फ़ंक्शन का ग्राफ़ x का क्यूब रूट 1. फ़ंक्शन y \u003d x का तीसरा रूट, इसके गुण और ग्राफ़

विषय "डिग्री की जड़ पी"इसे दो पाठों में विभाजित करने की सलाह दी जाती है। पहले पाठ में, घनमूल पर विचार करें, इसके गुणों की अंकगणितीय वर्गमूल से तुलना करें और इस घनमूल फलन के ग्राफ पर विचार करें। फिर दूसरे पाठ में, छात्र बेहतर ढंग से समझ पाएंगे ताज की अवधारणा पी-वीं डिग्री। दो प्रकार की जड़ों की तुलना से नकारात्मक भावों से मूल्यों की उपस्थिति के लिए "विशिष्ट" त्रुटियों से बचने में मदद मिलेगी जो रूट के संकेत के तहत हैं।

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"घनमूल"

पाठ विषय: घनमूल

ज़िखारेव सर्गेई अलेक्सेविच, गणित के शिक्षक, एमकेओयू "पॉज़िलिंस्काया स्कूल नंबर 13"

पाठ मकसद:

• घनमूल की अवधारणा का परिचय दे सकेंगे;
• घनमूलों की गणना में कौशल विकसित करना;
• अंकगणितीय वर्गमूल के बारे में ज्ञान को दोहराना और सामान्य बनाना;
• जीआईए की तैयारी जारी रखें।

जाँच d.z.

नीचे दी गई संख्याओं में से एक को निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु द्वारा चिह्नित किया गया है लेकिन. इस नंबर को दर्ज करें।

अंतिम तीन कार्यों की अवधारणा क्या है?

किसी संख्या का वर्गमूल क्या होता है ए ?

किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल क्या होता है ए ?

क्या मूल्य कर सकते हैं वर्गमूल?

क्या मूल व्यंजक ऋणात्मक संख्या हो सकती है?

इन ज्यामितीय निकायों में से एक घन का नाम बताइए

क्यूब के गुण क्या हैं?

घन का आयतन कैसे ज्ञात करें?

एक घन का आयतन ज्ञात कीजिए यदि उसकी भुजाएँ बराबर हों:

आइए समस्या का समाधान करें

घन का आयतन 125 सेमी³ है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।

माना घन का किनारा एक्ससेमी है, तो घन का आयतन है एक्ससेमी³। शर्त के अनुसार एक्स= 125.

इसलिये, एक्स= 5 सेमी.

संख्या एक्स= 5 समीकरण का मूल है एक्स= 125. इस संख्या को कहा जाता है घनमूलया तीसरी जड़ 125 में से।

परिभाषा।

संख्या का तीसरा मूल एइस नंबर को कहा जाता है बी, जिसकी तीसरी शक्ति के बराबर है ए .

पद।

क्यूब रूट की अवधारणा को पेश करने का एक और तरीका

क्यूबिक फ़ंक्शन के मान को देखते हुए ए, आप उस बिंदु पर क्यूबिक फ़ंक्शन तर्क का मान पा सकते हैं। यह बराबर होगा, क्योंकि जड़ निकालना किसी शक्ति को बढ़ाने के विपरीत है।

वर्गमूल।

परिभाषा। a . का वर्गमूल उस संख्या का नाम बताइए जिसका वर्ग के बराबर है ए .

परिभाषा। a . का अंकगणितीय वर्गमूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग के बराबर है ए .

संकेतन का उपयोग किया जाता है:

पर ए

घन जड़ें।

परिभाषा। घनमूल एक से उस संख्या का नाम बताइए जिसका घन के बराबर है ए .

संकेतन का उपयोग किया जाता है:

"घन जड़ ए", या

"तीसरी जड़ ए »

अभिव्यक्ति किसी के लिए समझ में आता है ए .

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परीक्षण "ग्रेड 9 पाठ" खोलें।

आराम का मिनट

क्या सबक या

आप अपने जीवन में मिले

जड़ की अवधारणा के साथ?

"समीकरण"

जब आप समीकरण हल करते हैं, मेरे दोस्त,

आपको उसे ढूंढ़ना होगा रीढ़ की हड्डी।

पत्र का अर्थ जांचना आसान है,

इसे ध्यान से समीकरण में डालें।

अगर आपको सही समानता मिले,

उस जड़ मूल्य को तुरंत कॉल करें।

आप कोज़्मा प्रुतकोव की कहावत को कैसे समझते हैं "जड़ को देखो।"

इस अभिव्यक्ति का उपयोग कब किया जाता है?

साहित्य और दर्शन में "बुराई की जड़" की अवधारणा है।

आप इस अभिव्यक्ति को कैसे समझते हैं?

इस अभिव्यक्ति का प्रयोग किस अर्थ में किया गया है?

इस बारे में सोचें कि क्या घनमूल हमेशा आसानी से और सटीक रूप से निकाला जाता है?

घनमूल का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए किसका प्रयोग किया जा सकता है?

फंक्शन ग्राफ का उपयोग करना पर = एक्स, आप मोटे तौर पर कुछ संख्याओं के घनमूलों की गणना कर सकते हैं।

फंक्शन ग्राफ का उपयोग करना

पर = एक्समौखिक रूप से जड़ों का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।

क्या कार्य ग्राफ से संबंधित हैं

अंक: ए (8; 2); में (216;-6) ?

क्या घनमूल का उप-मूल व्यंजक ऋणात्मक हो सकता है?

घनमूल और वर्गमूल में क्या अंतर है?

क्या घनमूल ऋणात्मक हो सकता है?

तीसरी जड़ को परिभाषित कीजिए।

मुख्य गुण दिए गए हैं ऊर्जा समीकरण, सूत्रों और जड़ों के गुणों सहित। एक शक्ति श्रृंखला में व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार और एक शक्ति समारोह की जटिल संख्याओं के माध्यम से प्रतिनिधित्व प्रस्तुत किया जाता है।

परिभाषा

परिभाषा
घातांक p . के साथ शक्ति फलनफलन है f (एक्स) = एक्सपी, जिसका बिंदु x पर मान बिंदु p पर आधार x के साथ घातांकीय फलन के मान के बराबर है।
इसके अलावा, एफ (0) = 0 पी = 0पी> . के लिए 0 .

घातांक के प्राकृतिक मूल्यों के लिए, पावर फ़ंक्शन x के बराबर n संख्याओं का गुणनफल है:
.
यह सभी वास्तविक के लिए परिभाषित है।

घातांक के धनात्मक परिमेय मानों के लिए, घात फलन संख्या x से n डिग्री m की जड़ों का गुणनफल है:
.
विषम m के लिए, यह सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित है। सम m के लिए, घात फलन को गैर-ऋणात्मक के लिए परिभाषित किया गया है।

नकारात्मक के लिए, पावर फ़ंक्शन को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:
.
इसलिए, इसे बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

घातांक p के अपरिमेय मानों के लिए, घातांक फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
,
जहाँ a एक मनमाना धनात्मक संख्या है, नहीं एक के बराबर: .
के लिए, इसके लिए परिभाषित किया गया है।
के लिए, पावर फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है।

निरंतरता. परिभाषा के अपने क्षेत्र पर एक शक्ति कार्य निरंतर है।

x 0 . के लिए पावर फ़ंक्शन के गुण और सूत्र

यहां हम नहीं के लिए पावर फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करते हैं नकारात्मक मानतर्क एक्स। जैसा कि ऊपर कहा गया है, घातांक p के कुछ मानों के लिए, घातांक फ़ंक्शन को x के ऋणात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। इस मामले में, इसके गुण सम या विषम समता का उपयोग करके पर के गुणों से प्राप्त किए जा सकते हैं। इन मामलों पर "" पृष्ठ पर विस्तार से चर्चा और चित्रण किया गया है।

घातांक p के साथ एक घात फलन y = x p में निम्नलिखित गुण होते हैं:
(1.1) सेट पर परिभाषित और निरंतर
पर ,
पर ;
(1.2) कई अर्थ हैं
पर ,
पर ;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है,
सख्ती से घट जाती है ;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

गुणों का प्रमाण पावर फंक्शन (निरंतरता और गुणों का प्रमाण) पृष्ठ पर दिया गया है।

जड़ें - परिभाषा, सूत्र, गुण

परिभाषा
x का मूल n . के घात सेवह संख्या है जिसका घात n तक बढ़ाने पर x मिलता है:
.
यहाँ n = 2, 3, 4, ... - प्राकृतिक संख्या, एक से बड़ा।

आप यह भी कह सकते हैं कि घात n की संख्या x का मूल समीकरण का मूल (अर्थात हल) है
.
ध्यान दें कि फ़ंक्शन फ़ंक्शन का विलोम है।

x . का वर्गमूलडिग्री 2 का मूल है: .

x . का घनमूलडिग्री 3 का मूल है: .

यहां तक ​​कि डिग्री

सम घातों के लिए n = 2 वर्ग मीटर, रूट को x . के लिए परिभाषित किया गया है 0 . अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला फॉर्मूला सकारात्मक और नकारात्मक दोनों x के लिए मान्य है:
.
वर्गमूल के लिए:
.

जिस क्रम में संचालन किया जाता है वह यहां महत्वपूर्ण है - यानी, पहले स्क्वायरिंग किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है, और फिर उसमें से रूट निकाला जाता है (एक गैर-ऋणात्मक संख्या से, आप वर्गमूल निकाल सकते हैं ) यदि हम क्रम बदलते हैं: , तो ऋणात्मक x के लिए मूल अपरिभाषित होगा, और इसके साथ संपूर्ण व्यंजक अपरिभाषित होगा।

विषम डिग्री

विषम घातों के लिए, रूट को सभी x के लिए परिभाषित किया गया है:
;
.

जड़ों के गुण और सूत्र

x का मूल एक शक्ति फलन है:
.
एक्स . के लिए 0 निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं:
;
;
, ;
.

इन सूत्रों को चरों के ऋणात्मक मानों के लिए भी लागू किया जा सकता है। केवल यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि सम शक्तियों की आमूल-चूल अभिव्यक्ति नकारात्मक न हो।

निजी मूल्य

0 का मूल 0: है।
1 का मूल 1 है।
0 का वर्गमूल 0: है।
1 का वर्गमूल 1 होता है।

उदाहरण। जड़ से जड़

जड़ों के वर्गमूल के उदाहरण पर विचार करें:
.
उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आंतरिक वर्गमूल को परिवर्तित करें:
.
अब मूल जड़ को रूपांतरित करते हैं:
.
इसलिए,
.

y = x p घातांक p के विभिन्न मानों के लिए।

एक्स तर्क के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ यहां दिए गए हैं। एक्स के नकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़, "पावर फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़" पृष्ठ पर दिए गए हैं।

उलटा काम करना

घातांक p के साथ एक शक्ति फलन का व्युत्क्रम घातांक 1/p के साथ एक शक्ति फलन है।

तो अगर ।

पावर फ़ंक्शन व्युत्पन्न

nवें क्रम का व्युत्पन्न:
;

सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

एक शक्ति समारोह का अभिन्न अंग

पु- 1 ;
.

शक्ति श्रृंखला विस्तार

पर - 1 < x < 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

एक जटिल चर z के एक फलन पर विचार करें:
एफ (जेड) = जेड टी.
हम सम्मिश्र चर z को मापांक r और तर्क (r = |z| ) के पदों में व्यक्त करते हैं:
जेड = आर ई मैं ।
हम सम्मिश्र संख्या t को वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में निरूपित करते हैं:
टी = पी + आई क्यू।
हमारे पास है:

इसके अलावा, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है:
,

उस स्थिति पर विचार करें जब q = 0 , अर्थात्, घातांक एक वास्तविक संख्या है, t = p। फिर
.

यदि p एक पूर्णांक है, तो kp भी एक पूर्णांक है। फिर, त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता के कारण:
.
अर्थात घातांक प्रकार्यएक पूर्णांक घातांक के साथ, किसी दिए गए z के लिए, केवल एक मान होता है और इसलिए यह एकल-मूल्यवान होता है।

यदि p अपरिमेय है, तो kp के गुणनफल किसी k के लिए पूर्णांक नहीं देते हैं। चूँकि k मानों की अनंत श्रृंखला से होकर गुजरता है के = 0, 1, 2, 3, ..., तो फलन z p के अपरिमित रूप से अनेक मान हैं। जब भी तर्क z को बढ़ाया जाता है 2 पाई(एक मोड़), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं।

यदि p परिमेय है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
, कहाँ पे एम, एनवे पूर्णांक हैं जिनमें कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है। फिर
.
k = k . के लिए प्रथम n मान 0 = 0, 1, 2, ... n-1, दिया गया विभिन्न अर्थकेपी:
.
हालाँकि, बाद के मान एक पूर्णांक द्वारा पिछले वाले से भिन्न मान देते हैं। उदाहरण के लिए, k = k . के लिए 0+एनअपने पास:
.
त्रिकोणमितीय कार्य, जिनके तर्क के गुणकों से भिन्न होते हैं 2 पाई, समान मूल्य हैं। इसलिए, k में और वृद्धि के साथ, हम z p के समान मान प्राप्त करते हैं जैसे k = k . के लिए 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

इस प्रकार, के साथ घातीय कार्य तर्कसंगत संकेतकडिग्री बहु-मूल्यवान है और इसमें n मान (शाखाएं) हैं। जब भी तर्क z को बढ़ाया जाता है 2 पाई(एक मोड़), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं। ऐसे n मोड़ों के बाद, हम उस पहली शाखा में लौटते हैं जहाँ से उलटी गिनती शुरू हुई थी।

विशेष रूप से, डिग्री n के मूल में n मान होते हैं। एक उदाहरण के रूप में, वास्तविक धनात्मक संख्या z = x के nवें मूल पर विचार करें। इस मामले में 0 = 0 , z = r = |z| = एक्स, .
.
तो, वर्गमूल के लिए, n = 2 ,
.
सम k के लिए, (- 1) के = 1. विषम k के लिए, (- 1 ) के = - 1.
यानी वर्गमूल के दो अर्थ होते हैं: + और -।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।

एक परिचय के बजाय

पाठों में आधुनिक तकनीकों (सीएसई) और शिक्षण सहायक सामग्री (मल्टीमीडिया बोर्ड) का उपयोग शिक्षक को प्रभावी पाठों की योजना बनाने और संचालन करने में मदद करता है, छात्रों को कौशल को समझने, याद रखने और अभ्यास करने के लिए स्थितियां बनाता है।

यदि पाठ के दौरान सीखने के विभिन्न रूपों को जोड़ दिया जाए तो पाठ गतिशील और दिलचस्प हो जाता है।

आधुनिक उपदेशों में, चार सामान्य हैं संगठनात्मक रूपसीख रहा हूँ:

• व्यक्तिगत रूप से मध्यस्थता;
• भाप से भरा कमरा;
• समूह;

सामूहिक (विनिमेय रचना के जोड़े में)। (डायचेन्को वी.के. मॉडर्न डिडक्टिक्स। - एम।: नेशनल एजुकेशन, 2005)।

एक पारंपरिक पाठ में, एक नियम के रूप में, ऊपर सूचीबद्ध शिक्षा के केवल पहले तीन संगठनात्मक रूपों का उपयोग किया जाता है। सामूहिक रूपशिक्षक द्वारा व्यावहारिक रूप से शिक्षण (जोड़ियों में काम करना) का उपयोग नहीं किया जाता है। हालांकि, सीखने का यह संगठनात्मक रूप टीम को दूसरों के प्रशिक्षण में सक्रिय रूप से भाग लेने के लिए प्रत्येक को प्रशिक्षित करने में सक्षम बनाता है। शिक्षा का सामूहिक रूप सीएसआर प्रौद्योगिकी में अग्रणी है।

सीखने के सामूहिक तरीके की तकनीक के सबसे आम तरीकों में से एक "म्यूचुअल ट्रेनिंग" की विधि है।

यह "जादू" तकनीक किसी भी विषय और किसी भी पाठ में अच्छी है। उद्देश्य प्रशिक्षण है।

प्रशिक्षण आत्म-नियंत्रण का उत्तराधिकारी है, यह छात्र को अध्ययन के विषय के साथ अपना संपर्क स्थापित करने में मदद करता है, जिससे सही कदम-क्रियाओं को खोजना आसान हो जाता है। अधिग्रहण, समेकन, पुनर्समूहन, संशोधन, ज्ञान के अनुप्रयोग में प्रशिक्षण के माध्यम से, मानव संज्ञानात्मक क्षमताओं का विकास होता है। (यानोवित्स्काया ई.वी. कक्षा में कैसे पढ़ाएं और सीखें ताकि आप सीखना चाहें। संदर्भ पुस्तक। - सेंट पीटर्सबर्ग: शैक्षिक परियोजनाएं, एम.: प्रकाशक ए.एम. कुशनिर, 2009.-पी.14;131)

यह आपको किसी भी नियम को जल्दी से दोहराने, अध्ययन किए गए प्रश्नों के उत्तर याद रखने और आवश्यक कौशल को मजबूत करने में मदद करेगा। विधि के अनुसार काम करने का इष्टतम समय 5-10 मिनट है। एक नियम के रूप में, प्रशिक्षण कार्ड पर काम मौखिक गिनती के दौरान किया जाता है, अर्थात पाठ की शुरुआत में, लेकिन शिक्षक के विवेक पर, इसे पाठ के किसी भी चरण में, उसके लक्ष्यों और के आधार पर किया जा सकता है। संरचना। प्रशिक्षण कार्ड में 5 से 10 सरल उदाहरण (प्रश्न, कार्य) हो सकते हैं। कक्षा के प्रत्येक छात्र को एक कार्ड मिलता है। "समेकित दस्ते" (एक ही पंक्ति में बैठे बच्चे) में सभी के लिए कार्ड अलग-अलग या सभी के लिए अलग-अलग हैं। एक समेकित टुकड़ी (समूह) एक विशिष्ट शैक्षिक कार्य करने के लिए गठित छात्रों का एक अस्थायी सहयोग है। (यालोवेट्स टी.वी. शिक्षक के व्यावसायिक विकास में शिक्षण की सामूहिक पद्धति की तकनीक: शैक्षिक और कार्यप्रणाली मैनुअल। - नोवोकुज़नेत्स्क: आईपीके का पब्लिशिंग हाउस, 2005। - पी। 122)

विषय पर पाठ परियोजना "फ़ंक्शन y =, इसके गुण और ग्राफ"

पाठ की परियोजना में, जिसका विषय है: " फलन y=, इसके गुण और ग्राफ”पारंपरिक और मल्टीमीडिया शिक्षण सहायक सामग्री के संयोजन में पारस्परिक प्रशिक्षण की तकनीक का उपयोग प्रस्तुत किया गया है।

पाठ विषय: " फंक्शन y=, इसके गुण और ग्राफ”

लक्ष्य:

• नियंत्रण कार्य की तैयारी;
• किसी फ़ंक्शन के सभी गुणों के ज्ञान की जाँच करना और फ़ंक्शन ग्राफ़ को प्लॉट करने और उनके गुणों को पढ़ने की क्षमता की जाँच करना।

कार्य: विषय स्तर:

अतिविषय स्तर:

• ग्राफिक जानकारी का विश्लेषण करना सीखें;
• संवाद करने की क्षमता विकसित करना;
• ग्राफ़ के साथ काम करने के उदाहरण का उपयोग करके एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड के साथ काम करने की क्षमता और कौशल विकसित करना।

पाठ संरचना	समय
1. शिक्षक की सूचना इनपुट (आईटीआई)	5 मिनट।
2. बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति: कार्यप्रणाली के अनुसार दो पारियों में काम करना “आपसी प्रशिक्षण”	8 मि.
3. "फ़ंक्शन y=, इसके गुण और ग्राफ" विषय से परिचित: शिक्षक प्रस्तुति	8 मि.
4. "फ़ंक्शन" विषय पर नए अध्ययन और पहले से ही पारित सामग्री का समेकन: एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड का उपयोग करना	15 मिनटों।
5. आत्म-नियंत्रण : एक परीक्षण के रूप में	7 मि.
6. सारांश, होमवर्क रिकॉर्ड करना।	दो मिनट।

आइए प्रत्येक चरण की सामग्री पर करीब से नज़र डालें।

1. शिक्षक सूचना इनपुट (आईटीआई) में शामिल हैं आयोजन का समय; विषय, उद्देश्य और पाठ योजना को आवाज देना; आपसी प्रशिक्षण की पद्धति के अनुसार जोड़ियों में काम का एक नमूना दिखा रहा है।

पाठ के इस स्तर पर छात्रों द्वारा जोड़े में काम के नमूने का प्रदर्शन हमें आवश्यक तकनीक के काम के एल्गोरिदम को दोहराने के लिए सलाह दी जाती है, क्योंकि। पाठ के अगले चरण में इस पर पूरी कक्षा टीम के कार्य की योजना बनाई जाती है। साथ ही, आप कार्य में त्रुटियों को एल्गोरिथम (यदि कोई हो) के अनुसार नाम दे सकते हैं, साथ ही इन छात्रों के कार्य का मूल्यांकन भी कर सकते हैं।

2. पारस्परिक प्रशिक्षण की विधि के अनुसार संदर्भ ज्ञान की प्राप्ति शिफ्ट रचना के जोड़े में की जाती है।

कार्यप्रणाली के एल्गोरिथ्म में व्यक्तिगत, जोड़ी (स्थिर जोड़े) और सामूहिक (शिफ्ट रचना के जोड़े) प्रशिक्षण के संगठनात्मक रूप शामिल हैं।

व्यक्तिगत: कार्ड प्राप्त करने वाला प्रत्येक व्यक्ति इसकी सामग्री से परिचित हो जाता है (कार्ड के पीछे प्रश्नों और उत्तरों को पढ़ता है)।

• प्रथम("प्रशिक्षु" की भूमिका में) टास्क को पढ़ता है और पार्टनर के कार्ड के सवालों के जवाब देता है;
• दूसरा("कोच" की भूमिका में) - कार्ड के पीछे उत्तरों की शुद्धता की जांच करता है;
• इसी तरह दूसरे कार्ड पर काम करते हैं, भूमिका बदलते हैं;
• एक व्यक्तिगत शीट में एक निशान बनाना और कार्ड बदलना;
• एक नई जोड़ी के लिए आगे बढ़ें।

सामूहिक:

• नई जोड़ी में वे पहले की तरह काम करते हैं; एक नई जोड़ी के लिए संक्रमण, आदि।

संक्रमण की संख्या शिक्षक द्वारा आवंटित समय पर निर्भर करती है यह अवस्थापाठ, प्रत्येक छात्र के परिश्रम और समझ की गति से और सहयोग में भागीदारों से।

जोड़े में काम करने के बाद, छात्र रिकॉर्ड शीट पर अंक बनाते हैं, शिक्षक काम का मात्रात्मक और गुणात्मक विश्लेषण करता है।

लिस्टिंग इस तरह दिख सकती है:

इवानोव पेट्या 7 "बी" वर्ग

तारीख	कार्ड संख्या	गलतियों की संख्या	आपने किसके साथ काम किया
20.12.09	№7	0	सिदोरोव के.
	№3	2	पेट्रोवा एम.
	№2	1	समोइलोवा जेड.

3. "फ़ंक्शन y =, इसके गुण और ग्राफ" विषय से परिचित होना शिक्षक द्वारा मल्टीमीडिया लर्निंग टूल्स (परिशिष्ट 4) का उपयोग करके एक प्रस्तुति के रूप में किया जाता है। एक ओर, यह एक विज़ुअलाइज़ेशन विकल्प है जो आधुनिक छात्रों के लिए समझ में आता है, दूसरी ओर, यह नई सामग्री को समझाने में समय बचाता है।

4. "कार्य" विषय पर नए अध्ययन और पहले से ही पारित सामग्री का समेकन ” पारंपरिक शिक्षण सहायक सामग्री (बोर्ड, पाठ्यपुस्तक) और अभिनव (इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड) का उपयोग करते हुए दो संस्करणों में आयोजित किया गया।

सबसे पहले, नई अध्ययन सामग्री को समेकित करने के लिए पाठ्यपुस्तक से कई कार्यों की पेशकश की जाती है। शिक्षण के लिए प्रयुक्त पाठ्यपुस्तक का उपयोग किया जाता है। पूरी कक्षा के साथ एक साथ काम किया जाता है। इस मामले में, एक छात्र "ए" कार्य करता है - एक पारंपरिक बोर्ड पर; दूसरा इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड पर कार्य "बी" है, शेष छात्र एक नोटबुक में समान कार्यों के समाधान लिखते हैं और बोर्डों पर प्रस्तुत समाधान के साथ उनके समाधान की तुलना करते हैं। इसके बाद, शिक्षक ब्लैकबोर्ड पर छात्रों के काम का मूल्यांकन करता है।

फिर, "फ़ंक्शन" विषय पर अध्ययन की गई सामग्री को और अधिक तेज़ी से समेकित करने के लिए, एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड के साथ ललाट कार्य प्रस्तावित है, जिसे निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है:

• इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड पर कार्य और शेड्यूल दिखाई देते हैं;
• एक छात्र जो उत्तर देना चाहता है, बोर्ड में जाता है, आवश्यक निर्माण करता है और उत्तर को आवाज देता है;
• बोर्ड पर एक नया कार्य और एक नया शेड्यूल दिखाई देता है;
• एक और छात्र जवाब देने के लिए बाहर आता है।

इस प्रकार, थोड़े समय में, छात्रों के उत्तरों का मूल्यांकन करने के लिए, बहुत सारे कार्यों को हल करना संभव है। रुचि के कुछ कार्य (आगामी से कार्यों के समान नियंत्रण कार्य), एक नोटबुक में दर्ज किया जा सकता है।

5. आत्म-नियंत्रण के स्तर पर, छात्रों को एक परीक्षा की पेशकश की जाती है जिसके बाद आत्म-परीक्षा होती है (परिशिष्ट 3)।

साहित्य

1. डायचेन्को, वी.के. आधुनिक उपदेश [पाठ] / वी.के. डायचेंको - एम .: सार्वजनिक शिक्षा, 2005।
2. यालोवेट्स, टी.वी. शिक्षक के व्यावसायिक विकास में शिक्षण की सामूहिक पद्धति की तकनीक: शैक्षिक और कार्यप्रणाली मैनुअल [पाठ] / टी.वी. यालोवेट्स। - नोवोकुज़नेत्स्क: आईपीसी पब्लिशिंग हाउस, 2005।
3. यानोवित्स्काया, ई.वी. कक्षा में कैसे पढ़ाना और सीखना है ताकि आप सीखना चाहें। संदर्भ पुस्तक [पाठ] / ई.वी. यानोवित्सकाया। - सेंट पीटर्सबर्ग: शैक्षिक परियोजनाएं, एम .: प्रकाशक ए.एम. कुशनिर, 2009।

बुनियादी लक्ष्य:

1) मात्राओं के उदाहरण पर वास्तविक मात्राओं की निर्भरता के एक सामान्यीकृत अध्ययन की समीचीनता का एक विचार बनाने के लिए, संबंधित संबंधवाई =

2) y= और उसके गुणों को आलेखित करने की क्षमता बनाने के लिए;

3) मौखिक और लिखित गणना, वर्गमूल निकालने, वर्गमूल निकालने के तरीकों को दोहराएं और समेकित करें।

उपकरण, प्रदर्शन सामग्री: हैंडआउट।

1. एल्गोरिदम:

2. समूहों में कार्य पूरा करने के लिए नमूना:

3. स्वतंत्र कार्य के स्व-परीक्षण के लिए नमूना:

4. प्रतिबिंब चरण के लिए कार्ड:

1) मुझे पता चला कि फ़ंक्शन y= को कैसे ग्राफ़ करना है।

2) मैं अनुसूची के अनुसार इसकी संपत्तियों को सूचीबद्ध कर सकता हूं।

3) मैंने अपने स्वतंत्र कार्य में कोई गलती नहीं की।

4) मैंने स्वतंत्र कार्य में गलतियाँ कीं (इन गलतियों को सूचीबद्ध करें और उनका कारण बताएं)।

कक्षाओं के दौरान

1. सीखने की गतिविधियों के लिए आत्मनिर्णय

मंच का उद्देश्य:

1) सीखने की गतिविधियों में छात्रों को शामिल करना;

2) पाठ की सामग्री निर्धारित करें: हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम करना जारी रखते हैं।

संगठन शैक्षिक प्रक्रियाचरण 1 पर:

हमने पिछले पाठ में क्या पढ़ा? (हमने बहुतों का अध्ययन किया है वास्तविक संख्या, उनके साथ क्रियाएं, एक फ़ंक्शन के गुणों का वर्णन करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाया, ग्रेड 7 में अध्ययन किए गए कार्यों को दोहराया)।

- आज हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय, एक फलन के साथ काम करना जारी रखेंगे।

2. ज्ञान को अद्यतन करना और गतिविधियों में कठिनाइयों को ठीक करना

मंच का उद्देश्य:

1) नई सामग्री की धारणा के लिए आवश्यक और पर्याप्त शैक्षिक सामग्री को अद्यतन करें: कार्य, स्वतंत्र चर, आश्रित चर, रेखांकन

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) नई सामग्री की धारणा के लिए आवश्यक और पर्याप्त मानसिक संचालन को अद्यतन करने के लिए: तुलना, विश्लेषण, सामान्यीकरण;

3) सभी दोहराई गई अवधारणाओं और एल्गोरिदम को योजनाओं और प्रतीकों के रूप में ठीक करें;

4) गतिविधि में एक व्यक्तिगत कठिनाई को ठीक करने के लिए, व्यक्तिगत रूप से महत्वपूर्ण स्तर पर मौजूदा ज्ञान की अपर्याप्तता का प्रदर्शन।

चरण 2 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

1. आइए याद रखें कि आप मात्राओं के बीच निर्भरता कैसे निर्धारित कर सकते हैं? (पाठ, सूत्र, तालिका, ग्राफ के माध्यम से)

2. फ़ंक्शन क्या कहलाता है? (दो मात्राओं के बीच संबंध, जहां एक चर का प्रत्येक मान दूसरे चर y = f(x) के एकल मान से मेल खाता है)।

एक्स किसे कहते हैं? (स्वतंत्र चर - तर्क)

आप का नाम क्या है? (निर्भर चर)।

3. क्या हमने 7वीं कक्षा में फंक्शन सीखे थे? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , )।

व्यक्तिगत कार्य:

फलन y = kx + m, y =x 2 , y = का आलेख क्या है?

3. कठिनाइयों के कारणों की पहचान और गतिविधि का लक्ष्य निर्धारित करना

मंच का उद्देश्य:

1) संचारी बातचीत का आयोजन करें, जिसके दौरान विशिष्ठ विशेषताशैक्षिक गतिविधियों में कठिनाई का कारण बनने वाले कार्य;

2) पाठ के उद्देश्य और विषय पर सहमत हों।

चरण 3 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

इस कार्य के बारे में क्या खास है? (निर्भरता सूत्र y = द्वारा दी गई है जिसे हम अभी तक नहीं मिले हैं)।

- पाठ का उद्देश्य क्या है? (फ़ंक्शन y \u003d, इसके गुणों और ग्राफ़ से परिचित हों। तालिका में फ़ंक्शन निर्भरता के प्रकार को निर्धारित करता है, एक सूत्र और ग्राफ का निर्माण करता है।)

- क्या आप पाठ के विषय का अनुमान लगा सकते हैं? (फ़ंक्शन y=, इसके गुण और ग्राफ)।

- विषय को अपनी नोटबुक में लिखें।

4. एक कठिनाई से बाहर निकलने के लिए एक परियोजना का निर्माण

मंच का उद्देश्य:

1) पहचान की गई कठिनाई के कारण को समाप्त करने वाली कार्रवाई का एक नया तरीका बनाने के लिए संचार बातचीत का आयोजन;

2) फिक्स नया रास्ताएक संकेत, मौखिक रूप में और एक मानक की मदद से क्रियाएं।

चरण 4 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

मंच पर काम को समूहों में y = प्लॉट करने के लिए आमंत्रित करके समूहों में व्यवस्थित किया जा सकता है, फिर परिणामों का विश्लेषण करें। साथ ही, एल्गोरिदम के अनुसार इस फ़ंक्शन के गुणों का वर्णन करने के लिए समूहों की पेशकश की जा सकती है।

5. बाहरी भाषण में प्राथमिक समेकन

मंच का उद्देश्य: बाहरी भाषण में अध्ययन की गई शैक्षिक सामग्री को ठीक करना।

चरण 5 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

एक आलेख y= - बनाइए और इसके गुणों का वर्णन कीजिए।

गुण y= - .

1. कार्य परिभाषा का दायरा।

2. फ़ंक्शन मानों का दायरा।

3. y=0, y>0, y<0.

वाई = 0 अगर एक्स = 0।

आप<0, если х(0;+)

4. बढ़ाएँ, फ़ंक्शन घटाएँ।

फलन x पर घट रहा है।

आइए प्लॉट करें y=.

आइए खंड पर इसके भाग का चयन करें। आइए ध्यान दें कि नईम में। = 1 x = 1 के लिए, और y अधिकतम। \u003d 3 x \u003d 9 के लिए।

उत्तर: नैम। = 1, अधिकतम पर। =3

6. मानक के अनुसार स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य

मंच का उद्देश्य: स्व-परीक्षण के लिए एक मानक के साथ अपने समाधान की तुलना करने के आधार पर विशिष्ट परिस्थितियों में नई शिक्षण सामग्री को लागू करने की आपकी क्षमता का परीक्षण करना।

चरण 6 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

छात्र स्वयं कार्य करते हैं, मानक के अनुसार स्व-परीक्षण करते हैं, विश्लेषण करते हैं, त्रुटियों को ठीक करते हैं।

आइए प्लॉट करें y=.

ग्राफ़ का उपयोग करके, सेगमेंट पर फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें।

7. ज्ञान प्रणाली में समावेश और दोहराव

मंच का उद्देश्य: पहले अध्ययन के साथ नई सामग्री का उपयोग करने के कौशल को प्रशिक्षित करने के लिए: 2) निम्नलिखित पाठों में आवश्यक शैक्षिक सामग्री को दोहराएं।

चरण 7 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

रेखांकन समीकरण को हल करें: \u003d x - 6.

ब्लैकबोर्ड पर एक छात्र, बाकी नोटबुक में।

8. गतिविधि का प्रतिबिंब

मंच का उद्देश्य:

1) पाठ में सीखी गई नई सामग्री को ठीक करें;

2) पाठ में अपनी गतिविधियों का मूल्यांकन करें;

3) सहपाठियों को धन्यवाद जिन्होंने पाठ का परिणाम प्राप्त करने में मदद की;

4) भविष्य की सीखने की गतिविधियों के लिए दिशा-निर्देशों के रूप में अनसुलझी कठिनाइयों को ठीक करना;

5) होमवर्क पर चर्चा करें और लिखें।

चरण 8 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

- दोस्तों, आज हमारे लिए क्या लक्ष्य था? (फ़ंक्शन y \u003d, इसके गुण और ग्राफ का अध्ययन करें)।

- किस ज्ञान ने हमें लक्ष्य हासिल करने में मदद की? (पैटर्न देखने की क्षमता, रेखांकन पढ़ने की क्षमता।)

- कक्षा में अपनी गतिविधियों की समीक्षा करें। (प्रतिबिंब कार्ड)

गृहकार्य

आइटम 13 (उदाहरण 2 तक) № 13.3, 13.4

ग्राफिक रूप से समीकरण को हल करें:

एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं और इसके गुणों का वर्णन करें।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "पावर फ़ंक्शन। क्यूबिक रूट। क्यूबिक रूट के गुण"

अतिरिक्त सामग्री
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ग्रेड 9 . के लिए ऑनलाइन स्टोर "इंटीग्रल" में शिक्षण सहायक सामग्री और सिमुलेटर
शैक्षिक परिसर 1C: "मापदंडों के साथ बीजगणितीय समस्याएं, ग्रेड 9-11" सॉफ्टवेयर वातावरण "1C: गणितीय निर्माता 6.0"

शक्ति फलन की परिभाषा - घनमूल

दोस्तों, हम बिजली के कार्यों का अध्ययन जारी रखते हैं। आज हम बात करने जा रहे हैं x फंक्शन के क्यूब रूट के बारे में।
क्यूब रूट क्या है?
एक संख्या y को x (थर्ड डिग्री रूट) का घनमूल कहा जाता है यदि $y^3=x$ सत्य है।
उन्हें $\sqrt(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहां x मूल संख्या है, 3 घातांक है।
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$।
जैसा कि हम देख सकते हैं, घनमूल को ऋणात्मक संख्याओं से भी निकाला जा सकता है। यह पता चला है कि हमारी जड़ सभी संख्याओं के लिए मौजूद है।
एक ऋणात्मक संख्या का तीसरा मूल ऋणात्मक संख्या के बराबर होता है। जब एक विषम घात तक उठाया जाता है, तो चिन्ह संरक्षित रहता है, तीसरी घात विषम होती है।

आइए समानता की जांच करें: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$।
चलो $\sqrt((-x))=a$ और $\sqrt(x)=b$। आइए दोनों भावों को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएँ। $–x=a^3$ और $x=b^3$। फिर $a^3=-b^3$ या $a=-b$। जड़ों के अंकन में, हम वांछित पहचान प्राप्त करते हैं।

घनमूलों के गुण

ए) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$।
बी) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

आइए दूसरी संपत्ति साबित करें। $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$।
हमने पाया कि घन में $\sqrt(\frac(a)(b))$ की संख्या $\frac(a)(b)$ के बराबर है और फिर यह $\sqrt(\frac(a) के बराबर है। (बी)) $, जो और साबित करने की जरूरत है।

दोस्तों, चलिए अपना फंक्शन ग्राफ बनाते हैं।
1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
2) फ़ंक्शन अजीब है क्योंकि $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$। इसके बाद, $x≥0$ के लिए हमारे फ़ंक्शन पर विचार करें, फिर मूल के सापेक्ष ग्राफ़ को प्रतिबिंबित करें।
3) फ़ंक्शन $х≥0$ के लिए बढ़ता है। हमारे फ़ंक्शन के लिए, तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, जिसका अर्थ है बढ़ना।
4) फ़ंक्शन ऊपर से सीमित नहीं है। वास्तव में, मनमाने ढंग से बड़ी संख्या से, आप तीसरी डिग्री की जड़ की गणना कर सकते हैं, और हम तर्क के बड़े मूल्यों को ढूंढते हुए अनंत तक जा सकते हैं।
5) $x≥0$ के लिए, सबसे छोटा मान 0 है। यह गुण स्पष्ट है।
आइए x≥0 के लिए बिंदुओं के आधार पर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए परिभाषा के पूरे डोमेन पर फ़ंक्शन के हमारे ग्राफ का निर्माण करें। याद रखें कि हमारा कार्य विषम है।

समारोह गुण:
1) डी(वाई)=(-∞;+∞).
2) विषम कार्य।
3) (-∞;+∞) से बढ़ता है।
4) असीमित।
5) कोई न्यूनतम या अधिकतम मूल्य नहीं है।

7) ई(वाई)= (-∞;+∞).
8) उत्तल नीचे की ओर (-∞;0), उत्तल ऊपर की ओर (0;+∞)।

शक्ति कार्यों को हल करने के उदाहरण

उदाहरण
1. समीकरण $\sqrt(x)=x$ को हल करें।
फेसला। आइए एक ही समन्वय विमान $y=\sqrt(x)$ और $y=x$ पर दो ग्राफ़ बनाएं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे रेखांकन तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
उत्तर: (-1;-1), (0;0), (1;1)।

2. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। $y=\sqrt((x-2))-3$.
फेसला। हमारा ग्राफ फ़ंक्शन $y=\sqrt(x)$ के ग्राफ से प्राप्त होता है, समानांतर में दो इकाइयों को दाईं ओर और तीन इकाइयों को नीचे स्थानांतरित करके।

3. एक फंक्शन ग्राफ बनाएं और उसे पढ़ें। $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$।
फेसला। आइए हमारी स्थितियों को ध्यान में रखते हुए एक ही समन्वय तल पर कार्यों के दो ग्राफ़ बनाएं। $х≥-1$ के लिए हम एक क्यूबिक रूट का ग्राफ बनाते हैं, $х≤-1$ के लिए एक लीनियर फंक्शन का ग्राफ बनाते हैं।
1) डी(वाई)=(-∞;+∞).
2) फलन न तो सम है और न ही विषम।
3) (-∞;-1) से घटता है, (-1;+∞) से बढ़ता है।
4) ऊपर से असीमित, नीचे से सीमित।
5) कोई अधिकतम मूल्य नहीं है। सबसे छोटा मान माइनस वन है।
6) फलन संपूर्ण वास्तविक रेखा पर सतत है।
7) ई (वाई) = (-1; + ∞)।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. समीकरण $\sqrt(x)=2-x$ को हल करें।
2. फ़ंक्शन $y=\sqrt((x+1))+1$ प्लॉट करें।
3. फंक्शन का एक ग्राफ बनाएं और उसे पढ़ें। $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$।