एक अंश का व्युत्पन्न क्या है। भिन्न का अवकलज कैसे ज्ञात करें
व्युत्पन्न और इसकी गणना के तरीकों के बारे में ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है गणितीय विश्लेषण. हमने आज के लेख को इस मौलिक विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक क्या है और ज्यामितीय अर्थकिसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?
व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ
एक समारोह होने दें एफ (एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए, बी) . बिंदु x और x0 इसी अंतराल के हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - इसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा जाता है डेल्टा x और तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:
एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।
अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? लेकिन कौन सा:
किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।
भौतिक अर्थव्युत्पन्न: पथ का समय व्युत्पन्न सरल रेखीय गति की गति के बराबर होता है।
दरअसल, स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं कि गति एक निजी रास्ता है। एक्स = एफ (टी) और समय टी . औसत गतिकुछ समय के लिए:
एक बार में गति की गति का पता लगाने के लिए t0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:
नियम एक: स्थिरांक निकालें
स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए। गणित में उदाहरण हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप व्यंजक को सरल बना सकते हैं, तो सरल करना सुनिश्चित करें .
उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:
नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न
दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।
हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:
नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न
दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
फेसला: 
यहां जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।
उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:
इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पांचवीं शक्ति के लिए 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।
नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न
दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:
हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर नुकसान होते हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।
इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन नियंत्रण को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।
परिभाषा।मान लें कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को कुछ अंतराल में परिभाषित किया जाता है जिसमें बिंदु \(x_0 \) अंदर होता है। आइए तर्क में वृद्धि \(\Delta x \) करें ताकि इस अंतराल को न छोड़ें। फ़ंक्शन की संगत वृद्धि खोजें \(\Delta y \) (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाते समय) और संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y) ) (\ डेल्टा एक्स) \)। यदि इस संबंध की सीमा \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर है, तो संकेतित सीमा कहलाती है व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
प्रतीक y अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) is नयी विशेषता, लेकिन स्वाभाविक रूप से उन सभी बिंदुओं x पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है जिस पर उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस तरह कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y \u003d f (x).
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित से मिलकर बनता है। यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, को फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ पर एब्सिसा x \u003d a के साथ एक बिंदु पर खींचा जा सकता है, तो f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(के = एफ"(ए)\)
चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।
और अब हम व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या सन्निकट समानता के रूप में करते हैं। मान लें कि फलन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर एक अवकलज है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, लगभग समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\)। प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक व्युत्पन्न का मान है दिया गया बिंदुएक्स। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \लगभग 2x \cdot \Delta x \) मान्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिथम शामिल है।
आइए इसे तैयार करें।
फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?
1. मान स्थिर करें \(x \), \(f(x) \) खोजें
2. वृद्धि \(x \) तर्क \(\Delta x \), एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) खोजें
3. फलन वृद्धि ज्ञात कीजिए: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फलन का अवकलज है।
यदि फलन y = f(x) का व्युत्पन्न बिंदु x पर है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है भेदभावफलन y = f(x)।
आइए हम निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: एक बिंदु पर एक फलन की निरंतरता और भिन्नता कैसे संबंधित हैं?
मान लीजिए फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर होता है। ऐसा ग्राफ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M, अर्थात फलन x पर सतत होना चाहिए।
यह "उंगलियों पर" तर्क कर रहा था। आइए अधिक कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो सन्निकट समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) शून्य है, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य हो जाएगा, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।
इसलिए, यदि कोई फलन बिंदु x पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर भी सतत होता है.
इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।
एक और उदाहरण। फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। । लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ऐसी सीधी रेखा के लिए कोई ढलान नहीं है, जिसका अर्थ है कि \ ( f "(0) \) या तो मौजूद नहीं है
इस प्रकार, हम एक फलन के एक नए गुण - अवकलनीयता से परिचित हुए। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है या नहीं?
उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न होता है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है।
विभेदन नियम
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "फ़ंक्शन ऑफ़ फ़ंक्शंस", यानी जटिल फ़ंक्शंस के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम इस कार्य को सुविधाजनक बनाने वाले विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं। यदि C एक अचर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ अवकलनीय फलन हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं भेदभाव नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
कुछ कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका
$$ \बाएं(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) "= a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \बाएं(ई^x \दाएं) " = ई^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) "= \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) "= \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ व्युत्पन्न गणनाडिफरेंशियल कैलकुलस में सबसे महत्वपूर्ण ऑपरेशनों में से एक है। डेरिवेटिव खोजने के लिए नीचे एक तालिका है सरल कार्य. अधिक जटिल विभेदीकरण नियमों के लिए, अन्य पाठ देखें: दिए गए फ़ार्मुलों को संदर्भ मानों के रूप में उपयोग करें। वे अंतर समीकरणों और समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे। चित्र में, सरल कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका में, व्युत्पन्न को एक ऐसे रूप में खोजने के मुख्य मामलों की "धोखा शीट" है जो उपयोग के लिए समझ में आता है, इसके आगे प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण हैं।सरल कार्यों के व्युत्पन्न
1. एक संख्या का व्युत्पन्नशून्यс´ = 0
उदाहरण:
5' = 0
व्याख्या:
व्युत्पन्न उस दर को दर्शाता है जिस पर तर्क बदलने पर फ़ंक्शन का मान बदलता है। चूँकि संख्या किसी भी स्थिति में किसी भी तरह से नहीं बदलती है, इसके परिवर्तन की दर हमेशा शून्य होती है।
2. एक चर का व्युत्पन्नएक के बराबर
एक्स' = 1
व्याख्या:
तर्क (x) के प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान (गणना परिणाम) उसी राशि से बढ़ता है। इस प्रकार, फलन y = x के मान के परिवर्तन की दर, तर्क के मान के परिवर्तन की दर के बिल्कुल बराबर है।
3. एक चर और एक कारक का व्युत्पन्न इस कारक के बराबर है
сx´ = с
उदाहरण:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
व्याख्या:
इस मामले में, हर बार फ़ंक्शन तर्क ( एक्स) इसका मान (y) में बढ़ता है साथएक बार। इस प्रकार, तर्क के परिवर्तन की दर के संबंध में फ़ंक्शन के मूल्य के परिवर्तन की दर मूल्य के बिल्कुल बराबर है साथ.
जहां से यह इस प्रकार है
(सीएक्स + बी)" = सी
अर्थात्, रैखिक फलन का अंतर y=kx+b बराबर है कोणीय गुणांकसीधी रेखा का ढलान (k)।
4. एक चर के मॉड्यूलो व्युत्पन्नइस चर के भागफल और उसके मापांक के बराबर है
|x|"= एक्स / |एक्स| बशर्ते कि x 0
व्याख्या:
चूंकि चर का व्युत्पन्न (सूत्र 2 देखें) एक के बराबर है, मॉड्यूल का व्युत्पन्न केवल इस मायने में भिन्न होता है कि मूल बिंदु को पार करते समय फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का मूल्य विपरीत में बदल जाता है (एक ग्राफ खींचने का प्रयास करें) फ़ंक्शन का y = |x| और स्वयं देखें। यह बिल्कुल मान है और x / |x| जब x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - एक। अर्थात्, अत नकारात्मक मानचर x, तर्क के परिवर्तन में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान बिल्कुल उसी मान से घटता है, और सकारात्मक लोगों के लिए, इसके विपरीत, यह बढ़ता है, लेकिन बिल्कुल उसी मान से।
5. एक चर की शक्ति व्युत्पन्नइस शक्ति की संख्या और घात में चर के गुणनफल के बराबर है, जो एक से कम हो जाता है
(एक्स सी)"= सीएक्स सी-1, बशर्ते कि x c और cx c-1 परिभाषित हों और c 0
उदाहरण:
(एक्स 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
सूत्र याद करने के लिए:
चर "नीचे" के घातांक को गुणक के रूप में लें, और फिर घातांक को स्वयं एक से घटाएं। उदाहरण के लिए, x 2 के लिए - दो x से आगे थे, और फिर घटी हुई शक्ति (2-1 = 1) ने हमें केवल 2x दिया। एक्स 3 के लिए भी यही हुआ - हम ट्रिपल को कम करते हैं, इसे एक से कम करते हैं, और क्यूब के बजाय हमारे पास एक वर्ग होता है, यानी 3x 2 । थोड़ा "अवैज्ञानिक", लेकिन याद रखना बहुत आसान है।
6.भिन्न व्युत्पन्न 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
उदाहरण:
चूंकि एक अंश को ऋणात्मक शक्ति में वृद्धि के रूप में दर्शाया जा सकता है
(1/x)" = (x -1)" , तो आप व्युत्पन्न तालिका के नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. भिन्न व्युत्पन्न मनमानी डिग्री के एक चर के साथहर में
(1/x ग)" = - सी / एक्स सी+1
उदाहरण:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. मूल व्युत्पन्न(के अंतर्गत चर का व्युत्पन्न वर्गमूल)
(√x)" = 1 / (2√x)या 1/2 x -1/2
उदाहरण:
(√x)" = (x 1/2)" ताकि आप नियम 5 . से सूत्र लागू कर सकें
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. एक मनमाना डिग्री की जड़ के तहत एक चर का व्युत्पन्न
(एन एक्स)" = 1 / (एन एन √ एक्स एन -1)
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