वर्गमूल किसे कहते हैं। मैन्युअल रूप से किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें

गणित का जन्म तब हुआ जब एक व्यक्ति अपने बारे में जागरूक हो गया और खुद को दुनिया की एक स्वायत्त इकाई के रूप में स्थापित करने लगा। आपके आस-पास की चीज़ों को मापने, तुलना करने, गणना करने की इच्छा - यह हमारे दिनों के मूलभूत विज्ञानों में से एक है। सबसे पहले, ये प्राथमिक गणित के टुकड़े थे, जिससे संख्याओं को उनके भौतिक अभिव्यक्तियों के साथ जोड़ना संभव हो गया, बाद में निष्कर्ष केवल सैद्धांतिक रूप से (उनके अमूर्तता के कारण) प्रस्तुत किए जाने लगे, लेकिन थोड़ी देर बाद, जैसा कि एक वैज्ञानिक ने कहा, " गणित जटिलता की सीमा तक पहुँच गया जब सभी संख्याएँ।" "वर्गमूल" की अवधारणा ऐसे समय में सामने आई जब इसे गणना के विमान से परे अनुभवजन्य डेटा द्वारा आसानी से समर्थित किया जा सकता था।

यह सब कब प्रारंभ हुआ

जड़ का पहला उल्लेख, जिस पर इस पलके रूप में निरूपित, बेबीलोन के गणितज्ञों के लेखन में दर्ज किया गया था, जिन्होंने आधुनिक अंकगणित की नींव रखी थी। बेशक, वे वर्तमान रूप की तरह थोड़े दिखते थे - उन वर्षों के वैज्ञानिकों ने पहले भारी गोलियों का इस्तेमाल किया था। लेकिन दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में। इ। वे एक अनुमानित गणना सूत्र के साथ आए, जिसमें दिखाया गया था कि वर्गमूल कैसे लिया जाता है। नीचे दी गई तस्वीर में एक पत्थर दिखाया गया है जिस पर बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने आउटपुट प्रक्रिया √2 को उकेरा है, और यह इतना सही निकला कि उत्तर में विसंगति केवल दसवें दशमलव स्थान पर पाई गई।

इसके अलावा, यदि त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना आवश्यक हो तो मूल का उपयोग किया जाता था, बशर्ते कि अन्य दो ज्ञात हों। खैर, द्विघात समीकरणों को हल करते समय, मूल निकालने से कोई बचता नहीं है।

बेबीलोनियन कार्यों के साथ, लेख के विषय का अध्ययन चीनी कार्य "मैथमैटिक्स इन नाइन बुक्स" में भी किया गया था, और प्राचीन यूनानियों ने इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि कोई भी संख्या जिसमें से शेष के बिना रूट नहीं निकाला जाता है, एक तर्कहीन परिणाम देता है .

इस शब्द की उत्पत्ति संख्या के अरबी प्रतिनिधित्व से जुड़ी है: प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना ​​​​था कि एक मनमाना संख्या का वर्ग एक पौधे की तरह जड़ से बढ़ता है। लैटिन में, यह शब्द मूलांक की तरह लगता है (कोई एक पैटर्न का पता लगा सकता है - हर चीज जिसमें "रूट" सिमेंटिक लोड होता है, वह व्यंजन है, चाहे वह मूली हो या कटिस्नायुशूल)।

बाद की पीढ़ियों के वैज्ञानिकों ने इस विचार को आरएक्स के रूप में नामित किया। उदाहरण के लिए, 15वीं शताब्दी में, यह इंगित करने के लिए कि वर्गमूल एक मनमाना संख्या a से लिया गया है, उन्होंने R 2 a लिखा। अभ्यस्त आधुनिक रूप"टिक" केवल 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस के लिए धन्यवाद दिखाई दिया।

हमारे दिन

गणितीय रूप से, y का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग y है। दूसरे शब्दों में, z 2 =y y=z के बराबर है। हालाँकि, यह परिभाषा केवल अंकगणितीय मूल के लिए प्रासंगिक है, क्योंकि यह व्यंजक का एक गैर-ऋणात्मक मान दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, y=z, जहाँ z, 0 से बड़ा या उसके बराबर है।

सामान्य तौर पर, जो बीजीय मूल के निर्धारण के लिए मान्य है, व्यंजक का मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। इस प्रकार, इस तथ्य के कारण कि z 2 =y और (-z) 2 =y, हमारे पास है: y=±z या √y=|z|।

इस तथ्य के कारण कि विज्ञान के विकास के साथ ही गणित के प्रति प्रेम बढ़ा है, इसके प्रति लगाव की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं, शुष्क गणनाओं में व्यक्त नहीं की गई हैं। उदाहरण के लिए, पाई के दिन जैसी दिलचस्प घटनाओं के साथ, वर्गमूल की छुट्टियां भी मनाई जाती हैं। वे सौ वर्षों में नौ बार मनाए जाते हैं, और निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं: संख्याएं जो क्रम में दिन और महीने को दर्शाती हैं, उन्हें वर्ष का वर्गमूल होना चाहिए। हां अंदर अगली बारयह अवकाश 4 अप्रैल 2016 को मनाया जाएगा।

मैदान पर वर्गमूल के गुण R

लगभग सभी गणितीय व्यंजकों का एक ज्यामितीय आधार होता है, यह नियति समाप्त नहीं हुई और y, जिसे y क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें?

कई गणना एल्गोरिदम हैं। सबसे सरल, लेकिन एक ही समय में काफी बोझिल, सामान्य अंकगणितीय गणना है, जो इस प्रकार है:

1) जिस संख्या के मूल की हमें आवश्यकता है, उसमें से विषम संख्याओं को बारी-बारी से घटाया जाता है - जब तक कि शेष निर्गत घटाए गए एक या सम संख्या से कम न हो जाए। शून्य. चालों की संख्या अंततः वांछित संख्या बन जाएगी। उदाहरण के लिए, गणना वर्गमूल 25 में से:

अगली विषम संख्या 11 है, शेषफल है: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ऐसे मामलों के लिए, टेलर श्रृंखला का विस्तार होता है:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , जहां n 0 से मान लेता है

+∞, और |y|≤1.

फ़ंक्शन z=√y . का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वास्तविक संख्या R के क्षेत्र में एक प्राथमिक फलन z=√y पर विचार करें, जहाँ y शून्य से बड़ा या उसके बराबर है। उसका चार्ट इस तरह दिखता है:

वक्र मूल बिंदु से बढ़ता है और अनिवार्य रूप से बिंदु (1; 1) को पार करता है।

वास्तविक संख्या R . के क्षेत्र में फलन z=√y के गुणधर्म

1. माना फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य शामिल है)।

2. माना फ़ंक्शन के मानों की सीमा शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य फिर से शामिल है)।

3. फलन केवल बिंदु (0; 0) पर न्यूनतम मान (0) लेता है। कोई अधिकतम मूल्य नहीं है।

4. फलन z=√y न तो सम है और न ही विषम।

5. फलन z=√y आवर्त नहीं है।

6. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु है: (0; 0)।

7. फलन z=√y के ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु भी इस फलन का शून्य होता है।

8. फलन z=√y लगातार बढ़ रहा है।

9. फलन z=√y केवल धनात्मक मान लेता है, इसलिए इसका ग्राफ पहले निर्देशांक कोण पर कब्जा करता है।

फ़ंक्शन z=√y . प्रदर्शित करने के विकल्प

गणित में, जटिल व्यंजकों की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, कभी-कभी वे वर्गमूल लिखने के शक्ति रूप का उपयोग करते हैं: y=y 1/2। यह विकल्प सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को घात तक बढ़ाने में: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 । यह विधि एकीकरण के साथ विभेदीकरण के लिए भी एक अच्छा प्रतिनिधित्व है, क्योंकि इसके लिए धन्यवाद वर्गमूल को एक साधारण शक्ति फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है।

और प्रोग्रामिंग में, प्रतीक √ का प्रतिस्थापन sqrt अक्षरों का संयोजन है।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस क्षेत्र में वर्गमूल बहुत मांग में है, क्योंकि यह गणना के लिए आवश्यक अधिकांश ज्यामितीय सूत्रों का हिस्सा है। गिनती एल्गोरिथ्म अपने आप में काफी जटिल है और यह रिकर्सन (एक फ़ंक्शन जो स्वयं को कॉल करता है) पर आधारित है।

जटिल क्षेत्र में वर्गमूल C

मोटे तौर पर, यह इस लेख का विषय था जिसने जटिल संख्या सी के क्षेत्र की खोज को प्रेरित किया, क्योंकि गणितज्ञ एक ऋणात्मक संख्या से एक समान डिग्री रूट प्राप्त करने के सवाल से प्रेतवाधित थे। इस प्रकार मैं काल्पनिक इकाई दिखाई दी, जो एक बहुत ही रोचक संपत्ति की विशेषता है: इसका वर्ग -1 है। इसके लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरण और एक नकारात्मक विवेचक के साथ एक समाधान मिला। सी में, वर्गमूल के लिए, वही गुण प्रासंगिक हैं जैसे आर में, केवल एक चीज यह है कि मूल अभिव्यक्ति पर प्रतिबंध हटा दिए जाते हैं।

एक वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल 81 वर्गमीटर है। उसका पक्ष खोजें। मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई है एक्सडेसीमीटर तब भूखंड का क्षेत्रफल है एक्स² वर्ग डेसीमीटर। चूँकि, शर्त के अनुसार, यह क्षेत्रफल 81 dm² है, तो एक्स= 81. एक वर्ग की भुजा की लंबाई एक धनात्मक संख्या होती है। एक धनात्मक संख्या जिसका वर्ग 81 है, संख्या 9 है। समस्या को हल करते समय, संख्या x ज्ञात करना आवश्यक था, जिसका वर्ग 81 है, अर्थात समीकरण को हल करें एक्स= 81. इस समीकरण के दो मूल हैं: एक्स 1 = 9 और एक्स 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 और (- 9)² \u003d 81 के बाद से। दोनों संख्या 9 और - 9 को संख्या 81 का वर्गमूल कहा जाता है।

ध्यान दें कि वर्गमूलों में से एक एक्स= 9 एक धनात्मक संख्या है। इसे 81 का अंकगणितीय वर्गमूल कहा जाता है और इसे 81 से दर्शाया जाता है, इसलिए 81 = 9।

किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल एएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग के बराबर है ए.

उदाहरण के लिए, संख्या 6 और - 6 संख्या 36 के वर्गमूल हैं। इस स्थिति में, संख्या 6 36 का अंकगणितीय वर्गमूल है, क्योंकि 6 एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और 6² \u003d 36। संख्या - 6 नहीं है अंकगणितीय जड़.

किसी संख्या का अंकगणित वर्गमूल एनिम्नानुसार दर्शाया गया है: ए।

चिह्न को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न कहा जाता है; एमूल अभिव्यक्ति कहा जाता है। अभिव्यक्ति एपढ़ना इस तरह: किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल ए।उदाहरण के लिए, 36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7। ऐसे मामलों में जहां यह स्पष्ट है कि हम एक अंकगणितीय मूल के बारे में बात कर रहे हैं, वे संक्षेप में कहते हैं: "का वर्गमूल ए«.

किसी संख्या का वर्गमूल निकालने की क्रिया को वर्गमूल निकालना कहते हैं। यह क्रिया चुकता का उल्टा है।

किसी भी संख्या का वर्ग किया जा सकता है, लेकिन वर्गमूल किसी भी संख्या से नहीं लिया जा सकता। उदाहरण के लिए, संख्या - 4 का वर्गमूल निकालना असंभव है। यदि ऐसा मूल मौजूद है, तो इसे अक्षर से निरूपित करते हुए एक्स, हमें गलत समानता x² \u003d - 4 मिलेगी, क्योंकि बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या है।

अभिव्यक्ति एकेवल तभी समझ में आता है जब एक 0. वर्गमूल की परिभाषा को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: एक 0, (√ए)² = ए. समानता ए)² = एके लिए मान्य एक 0. इस प्रकार, यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एबराबरी बी, यानी, कि ए =बी, आपको यह जांचना होगा कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं: बी 0, बी² = ए।

भिन्न का वर्गमूल

आइए गणना करें। ध्यान दें कि 25 = 5, √36 = 6, और जाँच करें कि क्या समानता है।

जैसा और , तो समानता सत्य है। इसलिए, .

प्रमेय:यदि एक ए 0 और बी> 0, यानी भिन्न का मूल जड़ के बराबरहर की जड़ से विभाजित अंश से। यह साबित करना आवश्यक है कि: और .

चूंकि ए 0 और बी> 0, फिर।

भिन्न को घात तक बढ़ाने और वर्गमूल निर्धारित करने के गुण से प्रमेय सिद्ध होता है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

सिद्ध प्रमेय के अनुसार गणना करें .

दूसरा उदाहरण: सिद्ध कीजिए कि , अगर ए ≤ 0, बी < 0. .

एक और उदाहरण: गणना करें।

.

वर्गमूल परिवर्तन

गुणक को जड़ के चिन्ह के नीचे से निकालना। एक अभिव्यक्ति दी जाए। यदि एक ए 0 और बी 0, तब गुणनफल के मूल पर प्रमेय द्वारा हम लिख सकते हैं:

इस तरह के परिवर्तन को मूल चिह्न का गुणनखंडन कहा जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें;

पर गणना करें एक्स= 2. प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन एक्स= 2 मूल अभिव्यक्ति में जटिल गणनाओं की ओर जाता है। इन गणनाओं को सरल बनाया जा सकता है यदि हम पहले मूल चिह्न के नीचे के कारकों को हटा दें: . अब x = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, जब मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालते हैं, तो मूलक व्यंजक को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें एक या अधिक गुणनखंड गैर-ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग होते हैं। फिर मूल उत्पाद प्रमेय लागू किया जाता है और प्रत्येक कारक की जड़ ली जाती है। एक उदाहरण पर विचार करें: पहले दो पदों में मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालकर व्यंजक A = √8 + √18 - 4√2 को सरल कीजिए, हमें प्राप्त होता है: हम इस बात पर जोर देते हैं कि समानता तभी मान्य है जब ए 0 और बी 0. अगर ए < 0, то .

घातांक का तात्पर्य है कि किसी दी गई संख्या को एक निश्चित संख्या में स्वयं से गुणा किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, संख्या 2 को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाना इस तरह दिखेगा:

जिस संख्या को स्वयं से गुणा करने की आवश्यकता होती है, उसे डिग्री का आधार कहा जाता है, और गुणा की संख्या इसका घातांक है। किसी घात को बढ़ाना दो विपरीत क्रियाओं से मेल खाता है: घातांक ढूँढना और आधार ढूँढना।

जड़ निष्कर्षण

घातांक का आधार ज्ञात करना मूल निष्कर्षण कहलाता है। इसका मतलब है कि आपको दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए n की शक्ति तक बढ़ाने के लिए आवश्यक संख्या को खोजने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 16 का चौथा मूल निकालना आवश्यक है, अर्थात। निर्धारित करने के लिए, आपको अंत में 16 प्राप्त करने के लिए स्वयं से 4 गुना गुणा करना होगा। यह संख्या 2 है।

ऐसा अंकगणितीय संक्रियाएक विशेष चिन्ह का उपयोग करके लिखा गया है - रेडिकल: , जिसके ऊपर घातांक बाईं ओर इंगित किया गया है।

अंकगणितीय जड़

यदि घातांक है सम संख्या, तो जड़ एक ही मापांक के साथ दो संख्याएँ हो सकती हैं, लेकिन साथ - सकारात्मक और नकारात्मक। तो, दिए गए उदाहरण में यह संख्या 2 और -2 हो सकती है।

अभिव्यक्ति स्पष्ट होनी चाहिए, अर्थात। एक परिणाम है। इसके लिए, एक अंकगणितीय मूल की अवधारणा पेश की गई थी, जो केवल एक सकारात्मक संख्या हो सकती है। अंकगणितीय मूल शून्य से कम नहीं हो सकता।

इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण में, केवल संख्या 2 अंकगणितीय मूल होगी, और दूसरा उत्तर - -2 - परिभाषा द्वारा बाहर रखा गया है।

वर्गमूल

कुछ अंशों के लिए जो दूसरों की तुलना में अधिक बार उपयोग किए जाते हैं, ऐसे विशेष नाम होते हैं जो मूल रूप से ज्यामिति से जुड़े होते हैं। इसके बारे मेंदूसरी और तीसरी शक्तियों को बढ़ाने के बारे में।

दूसरी शक्ति के लिए, वर्ग के किनारे की लंबाई जब आपको इसके क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता होती है। यदि आपको घन का आयतन ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो इसके किनारे की लंबाई को तीसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। इसलिए, इसे संख्या का वर्ग कहा जाता है, और तीसरे को घन कहा जाता है।

तदनुसार, दूसरी डिग्री की जड़ को वर्ग कहा जाता है, और तीसरी डिग्री की जड़ को घन कहा जाता है। वर्गमूल केवल उन जड़ों में से एक है जिसमें लिखे जाने पर रेडिकल के ऊपर एक घातांक नहीं होता है:

तो, किसी दी गई संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल एक सकारात्मक संख्या है जिसे दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए दूसरी शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए।

यह जुदा करने का समय है जड़ निकालने के तरीके. वे जड़ों के गुणों पर आधारित हैं, विशेष रूप से, समानता पर, जो किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या बी के लिए सही है।

नीचे हम बारी-बारी से जड़ों को निकालने की मुख्य विधियों पर विचार करेंगे।

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - वर्गों की एक तालिका, क्यूब्स की एक तालिका, आदि का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं से जड़ें निकालना।

यदि वर्ग, घन आदि की सारणी हाथ में नहीं है, जड़ निकालने की विधि का उपयोग करना तर्कसंगत है, जिसमें मूल संख्या को सरल कारकों में विघटित करना शामिल है।

अलग-अलग, यह रहने लायक है, जो विषम घातांक वाली जड़ों के लिए संभव है।

अंत में, एक विधि पर विचार करें जो आपको रूट के मान के अंकों को क्रमिक रूप से खोजने की अनुमति देता है।

आएँ शुरू करें।

वर्गों की तालिका, घनों की तालिका आदि का उपयोग करना।

अधिकांश में साधारण मामलेवर्गों, घनों आदि की तालिकाएँ जड़ों को निकालने की अनुमति देती हैं। ये टेबल क्या हैं?

0 से 99 तक के पूर्णांकों के वर्गों की तालिका (नीचे दिखाया गया है) में दो क्षेत्र होते हैं। तालिका का पहला क्षेत्र ग्रे पृष्ठभूमि पर स्थित है, यह चयन का उपयोग कर रहा है निश्चित स्ट्रिंगऔर एक विशिष्ट कॉलम आपको 0 से 99 तक की संख्या बनाने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, चलो 8 दहाई की एक पंक्ति और 3 इकाइयों के एक कॉलम का चयन करते हैं, इसके साथ हमने संख्या 83 तय की है। दूसरा ज़ोन शेष तालिका पर कब्जा करता है। इसकी प्रत्येक कोशिका एक निश्चित पंक्ति और एक निश्चित स्तंभ के चौराहे पर स्थित होती है, और इसमें 0 से 99 तक संबंधित संख्या का वर्ग होता है। हमारी चुनी हुई 8 दहाई की पंक्ति और एक के कॉलम 3 के चौराहे पर, संख्या 6889 वाली एक सेल है, जो संख्या 83 का वर्ग है।

घनों की सारणी, 0 से 99 तक की संख्याओं की चौथी घातों की सारणी आदि वर्ग सारणी के समान हैं, केवल उनमें घन, चतुर्थ घात आदि दूसरे क्षेत्र में हैं। संगत संख्याएँ।

वर्ग, घन, चतुर्थ घात आदि की सारणी। आपको वर्गमूल निकालने की अनुमति देता है, घनमूल, चौथी जड़ें, आदि। क्रमशः इन तालिकाओं की संख्याओं से। आइए हम जड़ों को निकालने में उनके आवेदन के सिद्धांत की व्याख्या करें।

मान लीजिए कि हमें संख्या a से nth डिग्री की जड़ निकालने की आवश्यकता है, जबकि संख्या nth डिग्री की तालिका में निहित है। इस तालिका के अनुसार, हम संख्या b को इस प्रकार पाते हैं कि a=b n । फिर , इसलिए, संख्या b nth डिग्री का वांछित मूल होगा।

एक उदाहरण के रूप में, आइए दिखाते हैं कि क्यूब टेबल का उपयोग करके 19683 का क्यूब रूट कैसे निकाला जाता है। हम घनों की तालिका में संख्या 19, 683 पाते हैं, इससे हम पाते हैं कि यह संख्या संख्या 27 का घन है, इसलिए, .

यह स्पष्ट है कि जड़ें निकालते समय n-th डिग्री की तालिकाएँ बहुत सुविधाजनक होती हैं। हालांकि, वे अक्सर हाथ में नहीं होते हैं, और उनके संकलन के लिए एक निश्चित समय की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, अक्सर उन संख्याओं से जड़ें निकालना आवश्यक होता है जो संबंधित तालिकाओं में समाहित नहीं होती हैं। इन मामलों में, जड़ों को निकालने के अन्य तरीकों का सहारा लेना पड़ता है।

मूल संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन

पर्याप्त सुविधाजनक तरीका, जो एक प्राकृतिक संख्या से जड़ निकालने की अनुमति देता है (यदि, निश्चित रूप से, जड़ निकाली जाती है) मूल संख्या का प्रमुख कारकों में अपघटन है। उसका सार इस प्रकार है: वांछित संकेतक के साथ इसे डिग्री के रूप में प्रस्तुत करना काफी आसान है, जो आपको रूट का मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। आइए इस बिंदु की व्याख्या करते हैं।

मान लीजिए कि nवीं डिग्री का मूल एक प्राकृतिक संख्या a से निकाला जाता है, और इसका मान b के बराबर होता है। इस स्थिति में, समानता a=b n सत्य है। संख्या बी किसी के रूप में प्राकृतिक संख्याइसके सभी अभाज्य गुणनखंडों p 1 , p 2 , ..., p m के गुणनफल को p 1 p 2 ... p m के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इस स्थिति में मूल संख्या a को (p 1 p 2) के रूप में दर्शाया जा सकता है। ... पी एम) एन। चूँकि संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन अद्वितीय है, मूल संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन ऐसा दिखाई देगा (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , जिससे मूल के मान की गणना करना संभव हो जाता है .

ध्यान दें कि यदि मूल संख्या a का गुणनखंडन (p 1 ·p 2 ·…·p m) n के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, तो ऐसी संख्या a से nवीं डिग्री का मूल पूरी तरह से निकाला नहीं जाता है।

आइए उदाहरणों को हल करते समय इससे निपटें।

उदाहरण।

144 का वर्गमूल लें।

फेसला।

यदि हम पिछले पैराग्राफ में दिए गए वर्गों की तालिका की ओर मुड़ें, तो यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि 144=12 2, जिससे यह स्पष्ट है कि 144 का वर्गमूल 12 है।

लेकिन इस बिंदु के आलोक में, हम इस बात में रुचि रखते हैं कि मूल संख्या 144 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके जड़ कैसे निकाली जाती है। आइए इस समाधान पर एक नजर डालते हैं।

आइए विघटित करें 144 से अभाज्य गुणनखंड:

अर्थात् 144=2 2 2 2 3 3 । परिणामी अपघटन के आधार पर, निम्नलिखित परिवर्तन किए जा सकते हैं: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. इसलिये, .

डिग्री के गुणों और जड़ों के गुणों का उपयोग करके, समाधान को थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: .

जवाब:

सामग्री को समेकित करने के लिए, दो और उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

मूल मान की गणना करें।

फेसला।

मूल संख्या 243 का अभाज्य गुणनखंड 243=3 5 है। इस प्रकार, .

जवाब:

उदाहरण।

क्या जड़ का मान एक पूर्णांक है?

फेसला।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें और देखें कि क्या इसे पूर्णांक के घन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हमारे पास 285 768=2 3 3 6 7 2 है। परिणामी अपघटन को पूर्णांक के घन के रूप में नहीं दर्शाया जाता है, क्योंकि अभाज्य गुणनखंड 7 की घात तीन का गुणज नहीं है। इसलिए, 285,768 का घनमूल पूरी तरह से नहीं लिया जाता है।

जवाब:

नहीं।

भिन्नात्मक संख्याओं से जड़ें निकालना

यह पता लगाने का समय है कि जड़ कैसे निकाली जाती है भिन्नात्मक संख्या. मान लें कि भिन्नात्मक मूल संख्या p/q के रूप में लिखी जाती है। भागफल के मूल के गुण के अनुसार निम्नलिखित समानता सत्य है। इस समानता से यह निम्नानुसार है भिन्न मूल नियम: भिन्न का मूल अंश के मूल को हर के मूल से भाग देने वाले भागफल के बराबर होता है।

आइए भिन्न से मूल निकालने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

का वर्गमूल क्या है सामान्य अंश 25/169 .

फेसला।

वर्गों की तालिका के अनुसार, हम पाते हैं कि मूल भिन्न के अंश का वर्गमूल 5 है, और हर का वर्गमूल 13 है। फिर . यह एक साधारण अंश 25/169 से जड़ की निकासी को पूरा करता है।

जवाब:

दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या का मूल मूल संख्याओं को साधारण भिन्नों से बदलने के बाद निकाला जाता है।

उदाहरण।

दशमलव 474.552 का घनमूल लें।

फेसला।

आइए मूल दशमलव को एक सामान्य भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 474.552=474552/1000। फिर . यह घन जड़ों को निकालने के लिए बनी हुई है जो परिणामी अंश के अंश और हर में हैं। जैसा 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 और 1 000=10 3 , तो और . यह केवल गणनाओं को पूरा करने के लिए बनी हुई है .

जवाब:

.

ऋणात्मक संख्या का मूल निकालना

अलग-अलग, यह नकारात्मक संख्याओं से जड़ें निकालने पर ध्यान देने योग्य है। मूलों का अध्ययन करते समय हमने कहा था कि जब मूल का घातांक विषम संख्या हो, तो ऋणात्मक संख्या मूल के चिह्न के नीचे हो सकती है। हमने इस तरह के नोटेशन को निम्नलिखित अर्थ दिया है: एक ऋणात्मक संख्या −a और मूल 2 n−1 के एक विषम घातांक के लिए, हमारे पास है . यह समानता देता है ऋणात्मक संख्याओं से विषम मूल निकालने का नियम: ऋणात्मक संख्या का मूल निकालने के लिए, आपको विपरीत धनात्मक संख्या का मूल निकालना होगा, और परिणाम के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

मूल मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

आइए मूल व्यंजक को रूपांतरित करें ताकि मूल चिह्न के नीचे एक धनात्मक संख्या दिखाई दे: . अब हम मिश्रित संख्या को एक साधारण भिन्न से बदलते हैं: . हम एक साधारण भिन्न से मूल निकालने का नियम लागू करते हैं: . यह परिणामी अंश के अंश और हर में जड़ों की गणना करने के लिए बनी हुई है: .

यहाँ समाधान का सारांश दिया गया है: .

जवाब:

.

बिटवाइज़ रूट वैल्यू ढूँढना

सामान्य स्थिति में, मूल के नीचे एक संख्या होती है, जिसे ऊपर चर्चा की गई तकनीकों का उपयोग करके किसी भी संख्या की nth शक्ति के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। लेकिन साथ ही, किसी दिए गए मूल के मूल्य को जानने की जरूरत है, कम से कम एक निश्चित संकेत तक। इस मामले में, रूट निकालने के लिए, आप एक एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं जो आपको वांछित संख्या के अंकों के पर्याप्त संख्या में मान लगातार प्राप्त करने की अनुमति देता है।

पहले कदम पर यह एल्गोरिथमआपको यह पता लगाने की जरूरत है कि रूट के मूल्य का सबसे महत्वपूर्ण बिट क्या है। ऐसा करने के लिए, संख्या 0, 10, 100, ... को क्रमिक रूप से n तक बढ़ा दिया जाता है जब तक कि मूल संख्या से अधिक संख्या प्राप्त न हो जाए। फिर पिछले चरण में हमने जिस संख्या को n की घात तक बढ़ाया है, वह संबंधित उच्च क्रम को इंगित करेगी।

उदाहरण के लिए, पांच का वर्गमूल निकालते समय एल्गोरिथम के इस चरण पर विचार करें। हम संख्याएँ 0, 10, 100, ... लेते हैं और उन्हें तब तक वर्गाकार करते हैं जब तक हमें 5 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। हमारे पास 0 2 = 0 . है<5 , 10 2 =100>5, जिसका अर्थ है कि सबसे महत्वपूर्ण अंक इकाई अंक होगा। इस बिट का मान, साथ ही निचले वाले, रूट एक्सट्रैक्शन एल्गोरिथम के अगले चरणों में मिलेगा।

एल्गोरिथम के निम्नलिखित सभी चरणों का उद्देश्य रूट के मूल्य के क्रमिक परिशोधन के उद्देश्य से है, इस तथ्य के कारण कि रूट के वांछित मूल्य के अगले अंकों के मान पाए जाते हैं, उच्चतम से शुरू होकर निम्नतम तक चलते हैं . उदाहरण के लिए, पहले चरण में रूट का मान 2 है, दूसरे में - 2.2, तीसरे में - 2.23, और इसी तरह 2.236067977 ...। आइए वर्णन करें कि बिट्स के मूल्य कैसे पाए जाते हैं।

अंकों का पता लगाना उनकी गणना करके किया जाता है संभावित मान 0, 1, 2, ..., 9। इस मामले में, संबंधित संख्याओं की nth शक्तियों की गणना समानांतर में की जाती है, और उनकी तुलना मूल संख्या से की जाती है। यदि किसी स्तर पर डिग्री का मान मूलांक से अधिक हो जाता है, तो पिछले मान के अनुरूप अंक का मान पाया जाता है, और रूट निष्कर्षण एल्गोरिथ्म के अगले चरण में संक्रमण किया जाता है, यदि ऐसा नहीं होता है, तो इस अंक का मान 9 है।

आइए इन सभी बिंदुओं को पांच का वर्गमूल निकालने के समान उदाहरण का उपयोग करके समझाएं।

सबसे पहले, इकाइयों के अंक का मान ज्ञात कीजिए। हम 0, 1, 2, …, 9 के मानों पर पुनरावृति करेंगे, क्रमशः 0 2 , 1 2 , …, 9 2 की गणना करते हुए, जब तक कि हमें मूलांक 5 से अधिक मान नहीं मिल जाता। इन सभी गणनाओं को तालिका के रूप में आसानी से प्रस्तुत किया जाता है:

अतः इकाई अंक का मान 2 है (क्योंकि 2 2<5 , а 2 3 >5)। आइए दसवें स्थान का मान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं। इस मामले में, हम प्राप्त मूल्यों की तुलना मूल संख्या 5 से करते हुए, संख्या 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 का वर्ग करेंगे:

2.2 2 . के बाद से<5 , а 2,3 2 >5 है, तो दशम स्थान का मान 2 है। आप सौवें स्थान का मान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं:

तो मिला अगला मूल्यपांच का मूल, यह 2.23 के बराबर है। और इसलिए आप आगे मूल्यों को खोजना जारी रख सकते हैं: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम माना एल्गोरिथम का उपयोग करके सौवें हिस्से की सटीकता के साथ जड़ के निष्कर्षण का विश्लेषण करेंगे।

सबसे पहले, हम वरिष्ठ अंक को परिभाषित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 0, 10, 100, आदि को घन करते हैं। जब तक हमें 2,151.186 से बड़ी संख्या नहीं मिल जाती। हमारे पास 0 3 = 0 . है<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, इसलिए सबसे महत्वपूर्ण अंक दहाई का अंक है।

आइए इसके मूल्य को परिभाषित करें।

10 3 . के बाद से<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186 है, तो दहाई के अंक का मान 1 है। चलो इकाइयों पर चलते हैं।

अत: इकाई के स्थान का मान 2 है। चलो दस पर चलते हैं।

चूँकि 12.9 3 भी मूलांक 2 151.186 से कम है, दसवें स्थान का मान 9 है। यह एल्गोरिथम के अंतिम चरण को पूरा करना बाकी है, यह हमें आवश्यक सटीकता के साथ रूट का मान देगा।

इस अवस्था में जड़ का मान सौवें भाग तक पाया जाता है: .

इस लेख के अंत में मैं यह कहना चाहूंगा कि जड़ें निकालने के और भी कई तरीके हैं। लेकिन अधिकांश कार्यों के लिए, जिनका हमने ऊपर अध्ययन किया है, वे पर्याप्त हैं।

ग्रंथ सूची।

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