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एक तर्कसंगत संकेतक विकल्प के साथ डिग्री 3. संख्या की डिग्री: परिभाषाएं, पदनाम, उदाहरण

संख्या a के पूर्णांक घातांक से, एक परिमेय घातांक के लिए संक्रमण स्वयं का सुझाव देता है। नीचे हम एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित करते हैं, और हम इसे इस तरह से करेंगे कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुण संरक्षित हैं। यह आवश्यक है क्योंकि पूर्णांक परिमेय संख्याओं का भाग होते हैं।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्यासकारात्मक या नकारात्मक के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है सामान्य अंश. हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें संख्या की डिग्री का अर्थ देना होगा एएक अंश के साथ मी/एन, कहाँ पे एमएक पूर्णांक है, और एन- प्राकृतिक। हो जाए।

फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री की संपत्ति के लिए वैध रहने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए . यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने nth डिग्री की जड़ कैसे निर्धारित की है, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि डेटा के साथ एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है।

यह सत्यापित करना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुण इस रूप में मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि दिया गया हो एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है, तो संख्या की शक्ति एएक अंश के साथ मी/एनजड़ कहा जाता है एनकी डिग्री एसीमा तक एम.

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। यह केवल किसके तहत वर्णन करने के लिए बनी हुई है एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है। पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर एम, एनऔर एदो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

1. सबसे आसान तरीका यह है कि पर प्रतिबंध लगाया जाए ए, स्वीकार करना ए≥0सकारात्मक के लिए एमऔर ए>0नकारात्मक के लिए एम(क्योंकि अत एम≤0डिग्री 0 एमअनिर्दिष्ट)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा।

एक सकारात्मक संख्या की डिग्री एएक अंश के साथ मी/एन , कहाँ पे एमएक संपूर्ण है, और एनएक प्राकृतिक संख्या है, जिसे रूट कहा जाता है एन-वें बीच से एसीमा तक एम, अर्थात, ।



शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को भी एकमात्र चेतावनी के साथ परिभाषित किया गया है कि घातांक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक के साथ शून्य की घात मी/एन , कहाँ पे एमएक धनात्मक पूर्णांक है, और एनएक प्राकृतिक संख्या है, जिसे के रूप में परिभाषित किया गया है .
जब डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है, अर्थात भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा के साथ, एक अति सूक्ष्म अंतर है: कुछ नकारात्मक के लिए एऔर कुछ एमऔर एनअभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने शर्त पेश करके इन मामलों को त्याग दिया ए≥0. उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और उपरोक्त परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ अर्थहीन हैं, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

2. भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री निर्धारित करने का एक अन्य तरीका मी/एनजड़ के सम और विषम घातांकों के अलग-अलग विचार शामिल हैं। इस दृष्टिकोण की आवश्यकता है अतिरिक्त शर्त: की डिग्री ए, जिसका सूचक एक कम साधारण अंश है, को एक संख्या की शक्ति माना जाता है ए, जिसका संकेतक संगत इरेड्यूसबल अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे समझाया जाएगा)। यानी अगर मी/एनएक अपरिवर्तनीय अंश है, तो किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए कडिग्री को प्रारंभिक रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है।

एक जैसे के लिए एनऔर सकारात्मक एमअभिव्यक्ति किसी भी गैर-नकारात्मक के लिए समझ में आता है ए(ऋणात्मक संख्या के सम अंश की जड़ का कोई अर्थ नहीं है), ऋणात्मक के साथ एमसंख्या एअभी भी शून्य से भिन्न होना चाहिए (अन्यथा यह शून्य से भाग होगा)। और विषम के लिए एनऔर सकारात्मक एमसंख्या एकुछ भी हो सकता है (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए एक विषम डिग्री की जड़ परिभाषित की जाती है), और ऋणात्मक के लिए एमसंख्या एशून्य से भिन्न होना चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

रहने दो मी/एन- अपूरणीय अंश एमएक संपूर्ण है, और एन- प्राकृतिक संख्या। किसी भी कम करने योग्य साधारण अंश के लिए, डिग्री को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। की डिग्री एअपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक के साथ मी/एन- इसके लिए है

ओ कोई वास्तविक संख्या ए, एक पूर्णांक सकारात्मक एमऔर अजीब प्राकृतिक एन, उदाहरण के लिए, ;

o कोई शून्येतर वास्तविक संख्या ए, एक पूर्णांक ऋणात्मक एमऔर अजीब एन, उदाहरण के लिए, ;

o कोई गैर-ऋणात्मक संख्या ए, एक पूर्णांक सकारात्मक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;

ओ कोई सकारात्मक ए, एक पूर्णांक ऋणात्मक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;

ओ अन्य मामलों में, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री परिभाषित नहीं है, उदाहरण के लिए, डिग्री परिभाषित नहीं हैं .a प्रविष्टियाँ हम कोई अर्थ नहीं देते हैं, हम सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए शून्य की डिग्री परिभाषित करते हैं मी/एनजैसा , ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए, संख्या शून्य की घात परिभाषित नहीं है।

इस अनुच्छेद के अंत में, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, . इस तरह के भावों के मूल्यों की गणना करने के लिए, आपको घातांक को एक साधारण अंश के रूप में लिखना होगा, और फिर भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा का उपयोग करना होगा। इन उदाहरणों के लिए, हमारे पास है और


संख्या की डिग्री निर्धारित होने के बाद, बात करना तर्कसंगत है डिग्री गुण. इस लेख में, हम सभी संभावित घातांकों को स्पर्श करते हुए, किसी संख्या की घात के मूल गुण देंगे। यहां हम डिग्री के सभी गुणों का प्रमाण देंगे, और यह भी दिखाएंगे कि उदाहरणों को हल करते समय इन गुणों को कैसे लागू किया जाता है।

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प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के गुण

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा के अनुसार, n की डिग्री n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक एक के बराबर है। इस परिभाषा के आधार पर, और प्रयोग गुणन गुण वास्तविक संख्या , हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं और उसका औचित्य सिद्ध कर सकते हैं प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

  1. डिग्री की मुख्य संपत्ति a m ·a n =a m+n , इसका सामान्यीकरण ;
  2. समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों का गुण a m:a n =a m−n ;
  3. उत्पाद डिग्री संपत्ति (ए बी) एन =ए एन बी एन, इसका विस्तार;
  4. प्रकार में भागफल संपत्ति (a:b) n =a n:b n;
  5. घातांक (ए एम) एन =ए एम एन, इसका सामान्यीकरण (((एक एन 1) एन 2) ...) एन के =ए एन 1 एन 2 ... एन के;
  6. शून्य के साथ डिग्री की तुलना:
    • अगर a>0 , तो a n >0 किसी भी प्राकृतिक n के लिए;
    • अगर a=0 , तो a n =0 ;
    • यदि एक<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 अगर ए<0 и показатель степени есть विषम संख्या 2 m−1 , फिर a 2 m−1<0 ;
  7. यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं और a
  8. यदि m और n प्राकृत संख्याएँ हैं जैसे कि m>n , तो 0 . पर 0 असमानता a m >a n सत्य है।

हम तुरंत ध्यान दें कि सभी लिखित समानताएं हैं सदृशनिर्दिष्ट शर्तों के तहत, और उनके दाएं और बाएं हिस्सों को आपस में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न का मुख्य गुण a m a n = a m + n with भावों का सरलीकरणअक्सर a m+n = a m a n के रूप में उपयोग किया जाता है।

आइए अब उनमें से प्रत्येक को विस्तार से देखें।

    आइए एक ही आधार वाले दो घातों के गुणनफल के गुण से शुरू करते हैं, जिसे कहा जाता है डिग्री की मुख्य संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए, समानता a m ·a n =a m+n सत्य है।

    आइए हम डिग्री की मुख्य संपत्ति को साबित करें। एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा के अनुसार, एक एम · ए एन के रूप के समान आधार वाले शक्तियों के उत्पाद को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। गुणन के गुणों के कारण, परिणामी व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: , और यह उत्पाद प्राकृतिक घातांक m+n के साथ a की शक्ति है, अर्थात a m+n । यह सबूत पूरा करता है।

    आइए एक उदाहरण दें जो डिग्री की मुख्य संपत्ति की पुष्टि करता है। आइए समान आधारों 2 और प्राकृतिक शक्तियों 2 और 3 के साथ डिग्री लें, डिग्री की मुख्य संपत्ति के अनुसार, हम समानता 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 लिख सकते हैं। आइए इसकी वैधता की जांच करें, जिसके लिए हम 2 2 ·2 3 और 2 5 के भावों के मूल्यों की गणना करते हैं। प्रदर्शन घातांक, हमारे पास है 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32और 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, चूंकि समान मूल्य प्राप्त होते हैं, तो समानता 2 2 2 3 \u003d 2 5 सही है, और यह डिग्री की मुख्य संपत्ति की पुष्टि करता है।

    गुणन के गुणों के आधार पर डिग्री की मुख्य संपत्ति को समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ तीन या अधिक शक्तियों के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। तो किसी भी संख्या k के लिए प्राकृत संख्या n 1 , n 2 ,…, n k समता a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    उदाहरण के लिए, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    आप एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री के अगले गुण पर जा सकते हैं - समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों की संपत्ति: किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या a और मनमानी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए शर्त m>n को संतुष्ट करने के लिए, समानता a m:a n =a m−n सत्य है।

    इस संपत्ति का प्रमाण देने से पहले, आइए हम बयान में अतिरिक्त शर्तों के अर्थ पर चर्चा करें। 0 n = 0 के बाद से शून्य से विभाजन से बचने के लिए शर्त a≠0 आवश्यक है, और जब हम विभाजन से परिचित हुए, तो हम सहमत हुए कि शून्य से विभाजित करना असंभव है। शर्त m>n की शुरुआत की गई है ताकि हम प्राकृतिक घातांक से आगे न जाएं। वास्तव में, m>n के लिए घातांक a m−n is प्राकृतिक संख्या, अन्यथा यह या तो शून्य होगा (जो तब होता है जब m - n ) या एक ऋणात्मक संख्या (जो तब होती है जब m

    प्रमाण। भिन्न का मुख्य गुण हमें समानता लिखने की अनुमति देता है a m−n a n =a (m−n)+n =a m. प्राप्त समानता से a m−n ·a n =a m और इससे यह पता चलता है कि a m−n, m और a n की घातों का एक भागफल है। यह समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों के गुण को सिद्ध करता है।

    आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए समान आधार π और प्राकृतिक घातांक 5 और 2 के साथ दो डिग्री लें, डिग्री की मानी गई संपत्ति समानता π 5: π 2 = π 5−3 = π 3 से मेल खाती है।

    अब विचार करें उत्पाद डिग्री संपत्ति: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के गुणनफल की प्राकृतिक घात n, a n और b n के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात (a b) n =a n b n।

    वास्तव में, एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है . गुणन के गुणों के आधार पर अंतिम उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है , जो a n b n के बराबर है।

    यहाँ एक उदाहरण है: .

    यह संपत्ति तीन या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री तक फैली हुई है। अर्थात्, k कारकों के गुणनफल का प्राकृतिक शक्ति गुण n इस प्रकार लिखा जाता है (ए 1 ए 2 ... ए के) एन =ए 1 एन ए 2 एन ... ए के एन.

    स्पष्टता के लिए, हम इस संपत्ति को एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं। तीन कारकों के गुणनफल से 7 की घात के लिए, हमारे पास .

    अगली संपत्ति है प्राकृतिक संपत्ति: वास्तविक संख्या a और b का भागफल, b≠0 से प्राकृतिक घात n, घातों a n और b n के भागफल के बराबर है, अर्थात (a:b) n =a n:b n।

    पिछली संपत्ति का उपयोग करके सबूत किया जा सकता है। इसलिए (ए: बी) एन बी एन = ((ए: बी) बी) एन = ए एन, और समानता (a:b) n b n =a n का अर्थ है कि (a:b) n, a n का भागफल b n से विभाजित है।

    आइए विशिष्ट संख्याओं के उदाहरण का उपयोग करके इस गुण को लिखें: .

    अब आवाज करते हैं घातांक संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृत संख्या m और n के लिए, m की घात n की घात के लिए घातांक m·n के साथ a की घात के बराबर है, अर्थात (a m) n =a m·n ।

    उदाहरण के लिए, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6।

    एक डिग्री में शक्ति संपत्ति का प्रमाण समानता की निम्नलिखित श्रृंखला है: .

    मानी गई संपत्ति को डिग्री के भीतर डिग्री के भीतर डिग्री तक बढ़ाया जा सकता है, और इसी तरह। उदाहरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या p, q, r, और s के लिए, समानता . अधिक स्पष्टता के लिए, यहाँ विशिष्ट संख्याओं के साथ एक उदाहरण दिया गया है: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की तुलना करने के गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है।

    हम एक प्राकृतिक घातांक के साथ शून्य और शक्ति की तुलना संपत्ति को साबित करके शुरू करते हैं।

    सबसे पहले, किसी a>0 के लिए a n >0 को उचित ठहराते हैं।

    गुणन की परिभाषा के अनुसार दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। यह तथ्य और गुणन के गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक संख्या को गुणा करने का परिणाम भी एक सकारात्मक संख्या होगी। और प्राकृतिक घातांक n के साथ की शक्ति, परिभाषा के अनुसार, n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक के बराबर है। ये तर्क हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक आधार के लिए n की डिग्री एक सकारात्मक संख्या है। सिद्ध संपत्ति के आधार पर 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 और .

    यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए a=0 साथ n की डिग्री शून्य है। दरअसल, 0 n =0·0·…·0=0 । उदाहरण के लिए, 0 3 =0 और 0 762 =0 ।

    आइए नकारात्मक आधारों पर चलते हैं।

    आइए उस स्थिति से शुरू करें जब घातांक एक सम संख्या हो, इसे 2 m के रूप में निरूपित करें, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। फिर . प्रपत्र के प्रत्येक उत्पाद के लिए a·a संख्याओं के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर है और a, इसलिए, एक धनात्मक संख्या है। इसलिए उत्पाद भी सकारात्मक होगा। और डिग्री 2 मी. यहां उदाहरण दिए गए हैं: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 और ।

    अंत में, जब a का आधार एक ऋणात्मक संख्या है और घातांक एक विषम संख्या 2 m−1 है, तो . सभी उत्पाद a·a धनात्मक संख्याएँ हैं, इन धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी धनात्मक होता है, और शेष ऋणात्मक संख्या से इसके गुणन से ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। इस गुण के कारण (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    हम एक ही प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की तुलना करने की संपत्ति की ओर मुड़ते हैं, जिसमें निम्नलिखित सूत्र होते हैं: एक ही प्राकृतिक घातांक के साथ दो डिग्री का, n उस से कम होता है जिसका आधार कम होता है, और जिसका आधार बड़ा होता है उससे अधिक होता है। आइए इसे साबित करें।

    असमानता असमानताओं के गुणअसमानता को n . के रूप में सिद्ध किया जा रहा है (2,2) 7 और .

    यह प्राकृतिक प्रतिपादकों के साथ शक्तियों के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। आइए इसे तैयार करें। प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से कम समान सकारात्मक आधारों में से, डिग्री अधिक है, जिसका संकेतक कम है; और प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से अधिक समान आधार, जिस डिग्री का संकेतक अधिक होता है वह अधिक होता है। हम इस संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं।

    आइए हम साबित करें कि m>n और 0 . के लिए 0 प्रारंभिक स्थिति के कारण m>n , जहां से यह इस प्रकार है कि 0 . पर

    यह संपत्ति का दूसरा हिस्सा साबित करना बाकी है। आइए हम सिद्ध करें कि m>n और a>1 के लिए, a m >a n सत्य है। कोष्ठक में से n निकालने के बाद a m −a n का अंतर a n ·(a m−n −1) का रूप ले लेता है। यह उत्पाद धनात्मक है, क्योंकि a>1 के लिए n की घात एक धनात्मक संख्या है, और अंतर a m−n −1 एक धनात्मक संख्या है, क्योंकि m−n>0 प्रारंभिक स्थिति के कारण, और a>1 के लिए, m−n की घात एक से अधिक होती है। इसलिए, a m - a n >0 और a m >a n , जिसे सिद्ध किया जाना था। यह गुण असमानता 3 7 >3 2 द्वारा दर्शाया गया है।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण

चूँकि धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याएँ हैं, तो धनात्मक पूर्णांक घातांक वाली घातों के सभी गुण पिछले अनुच्छेद में सूचीबद्ध और सिद्ध किए गए प्राकृतिक घातांक वाले घातों के गुणों से बिल्कुल मेल खाते हैं।

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री, साथ ही एक शून्य घातांक के साथ डिग्री, हमने इस तरह से परिभाषित किया है कि समानता द्वारा व्यक्त प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण वैध रहते हैं। इसलिए, ये सभी गुण शून्य घातांक और ऋणात्मक घातांक दोनों के लिए मान्य हैं, जबकि, निश्चित रूप से, डिग्री के आधार गैर-शून्य हैं।

तो, किसी भी वास्तविक और गैर-शून्य संख्या ए और बी के साथ-साथ किसी भी पूर्णांक एम और एन के लिए, निम्नलिखित सत्य हैं पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

  1. ए एम ए एन \u003d ए एम + एन;
  2. ए एम: ए एन = ए एम−एन;
  3. (ए बी) एन = ए एन बी एन;
  4. (ए: बी) एन = ए एन: बी एन;
  5. (ए एम) एन = एक एम एन;
  6. यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, और a बी-एन;
  7. यदि m और n पूर्णांक हैं, और m>n , तो 0 . पर 1 असमानता a m >a n पूरी होती है।

a=0 के लिए, घात a m और a n तभी समझ में आता है जब m और n दोनों धनात्मक पूर्णांक हों, अर्थात प्राकृत संख्याएँ। इस प्रकार, अभी लिखे गए गुण उन मामलों के लिए भी मान्य हैं जब a=0 और संख्या m और n धनात्मक पूर्णांक हैं।

इन गुणों में से प्रत्येक को साबित करना मुश्किल नहीं है, इसके लिए प्राकृतिक और पूर्णांक घातांक के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणों की डिग्री की परिभाषाओं का उपयोग करना पर्याप्त है। एक उदाहरण के रूप में, आइए साबित करें कि सकारात्मक पूर्णांक और गैर-धनात्मक पूर्णांक दोनों के लिए शक्ति गुण धारण करता है। ऐसा करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि यदि p शून्य या एक प्राकृत संख्या है और q शून्य या एक प्राकृत संख्या है, तो समानताएँ (a p) q =a p q , (a - p) q =a (−p) q, (a p ) −q =a p (−q) और (a−p)−q =a (−p) (−q). हो जाए।

सकारात्मक p और q के लिए, समानता (a p) q =a p·q पिछले उपखंड में सिद्ध हुई थी। अगर p=0 , तो हमारे पास (a 0) q =1 q =1 और a 0 q =a 0 =1 है, जहां से (a 0) q =a 0 q है। इसी तरह, यदि q=0 , तो (a p) 0 =1 और a p 0 =a 0 =1 , जहां से (a p) 0 =a p 0 । यदि दोनों p=0 और q=0 , तो (a 0) 0 =1 0 =1 और a 0 0 =a 0 =1 , जहां से (a 0) 0 =a 0 0 है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि (a −p) q =a (−p) q । एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात की परिभाषा के अनुसार, तब . अंश में भागफल के गुणधर्म से, हमारे पास है . चूँकि 1 p =1·1·…·1=1 और , तब । अंतिम व्यंजक, परिभाषा के अनुसार, a -(p q) के रूप की एक घात है, जिसे गुणन नियमों के आधार पर a (−p) q के रूप में लिखा जा सकता है।

उसी प्रकार .

और .

उसी सिद्धांत से, एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के अन्य सभी गुणों को समानता के रूप में लिखा जा सकता है।

नीचे लिखे गए गुणों के अंत में, यह असमानता के प्रमाण पर रहने लायक है a −n >b −n , जो किसी भी नकारात्मक पूर्णांक −n और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए सही है जिसके लिए शर्त a . चूंकि शर्त के अनुसार a 0. गुणनफल a n ·b n धनात्मक संख्याओं a n और b n के गुणनफल के रूप में भी धनात्मक है। तब परिणामी भिन्न धनात्मक संख्याओं b n - a n और a n b n के भागफल के रूप में धनात्मक होता है। इसलिए, जहां से a −n >b −n , जिसे सिद्ध किया जाना था।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री की अंतिम संपत्ति उसी तरह साबित होती है जैसे प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की अनुरूप संपत्ति।

परिमेय घातांक वाली शक्तियों के गुण

हमने डिग्री को एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का विस्तार करके एक भिन्नात्मक घातांक के साथ परिभाषित किया है। दूसरे शब्दों में, भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री में पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के समान गुण होते हैं। अर्थात्:

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का प्रमाण भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा पर और पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के गुणों पर आधारित होता है। आइए प्रमाण देते हैं।

एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार और, तब . अंकगणितीय मूल के गुण हमें निम्नलिखित समानताएँ लिखने की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री की संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, जहां से, एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से, हमारे पास है , और प्राप्त डिग्री के प्रतिपादक को निम्नानुसार परिवर्तित किया जा सकता है:। यह सबूत पूरा करता है।

भिन्नात्मक घातांक वाली घातों का दूसरा गुण ठीक उसी तरह सिद्ध होता है:

शेष समानताएं समान सिद्धांतों द्वारा सिद्ध होती हैं:

हम अगली संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि किसी धनात्मक a और b के लिए, a बी पी। आइए लिखते हैं परिमेय संख्या p, m/n के रूप में, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। शर्तें पी<0 и p>0 इस मामले में शर्तों के बराबर होगा एम<0 и m>0 क्रमशः। एम> 0 और ए . के लिए

इसी तरह, एम . के लिए<0 имеем a m >b m , कहाँ से , वह है, और a p >b p ।

यह सूचीबद्ध संपत्तियों में से अंतिम साबित करने के लिए बनी हुई है। आइए हम सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं p और q के लिए, p>q 0 . के लिए 0 - असमानता a p >a q । हम हमेशा परिमेय संख्या p और q को एक सामान्य हर में कम कर सकते हैं, आइए हम साधारण भिन्न प्राप्त करें और, जहाँ m 1 और m 2 पूर्णांक हैं, और n एक प्राकृतिक संख्या है। इस स्थिति में, स्थिति p>q, m 1 >m 2 की स्थिति के अनुरूप होगी, जो कि से अनुसरण करती है। फिर, 0 . पर समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ शक्तियों की तुलना करने के गुण से 1 - असमानता एक एम 1>ए एम 2। जड़ों के गुणों के संदर्भ में इन असमानताओं को क्रमशः इस प्रकार लिखा जा सकता है: और . और एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा हमें असमानताओं को पारित करने की अनुमति देती है और, क्रमशः। इससे हम अंतिम निष्कर्ष निकालते हैं: p>q और 0 . के लिए 0 - असमानता a p >a q ।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री को कैसे परिभाषित किया जाता है, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि इसमें तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण हैं। तो किसी a>0 , b>0 और अपरिमेय संख्या p और q के लिए निम्नलिखित सत्य हैं डिग्री के गुण के साथ तर्कहीन संकेतक :

  1. ए पी ए क्यू = ए पी + क्यू;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (ए बी) पी = ए पी बी पी;
  4. (ए: बी) पी = ए पी: बी पी;
  5. (ए पी) क्यू = ए पी क्यू;
  6. किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए a और b , a 0 असमानता एक पी बी पी;
  7. अपरिमेय संख्याओं के लिए p और q , p>q 0 . पर 0 - असमानता a p >a q ।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a>0 के लिए किसी भी वास्तविक घातांक p और q वाली घातों के गुण समान होते हैं।

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  • मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 9 कोशिकाओं के लिए एक पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
  • कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
  • गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

एमबीओयू "सिदोर्सकाया"

समावेशी स्कूल»

एक योजना-रूपरेखा का विकास खुला सबक

इस विषय पर कक्षा 11 में बीजगणित में:

तैयार और संचालित

गणित शिक्षक

इशाकोवा ई.एफ.

कक्षा 11 में बीजगणित में एक खुले पाठ की रूपरेखा।

विषय : "एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री"।

पाठ प्रकार : नई सामग्री सीखना

पाठ मकसद:

    पहले से अध्ययन की गई सामग्री (एक पूर्णांक संकेतक के साथ एक डिग्री) के आधार पर एक तर्कसंगत संकेतक और उसके मुख्य गुणों के साथ एक डिग्री की अवधारणा के साथ छात्रों को परिचित करने के लिए।

    कम्प्यूटेशनल कौशल और तर्कसंगत घातांक के साथ संख्याओं को बदलने और तुलना करने की क्षमता विकसित करना।

    छात्रों में गणितीय साक्षरता और गणितीय रुचि पैदा करना।

उपकरण : टास्क कार्ड, एक पूर्णांक संकेतक के साथ एक डिग्री पर एक छात्र की प्रस्तुति, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ एक शिक्षक की प्रस्तुति, एक लैपटॉप, एक मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, एक स्क्रीन।

कक्षाओं के दौरान:

    आयोजन का समय।

अलग-अलग टास्क कार्ड द्वारा कवर किए गए विषय को आत्मसात करने की जाँच करना।

टास्क नंबर 1.

=2;

बी) = एक्स + 5;

सिस्टम को हल करें अपरिमेय समीकरण: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

टास्क नंबर 2.

अपरिमेय समीकरण को हल करें: = - 3;

बी) = एक्स - 2;

अपरिमेय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    पाठ के विषय और उद्देश्यों की प्रस्तुति।

हमारे आज के पाठ का विषय तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री».

    पहले अध्ययन किए गए उदाहरण पर नई सामग्री की व्याख्या।

आप पूर्णांक घातांक के साथ घात की अवधारणा से पहले ही परिचित हैं। उन्हें याद रखने में मेरी मदद कौन कर सकता है?

प्रस्तुति के साथ दोहराव पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री».

किसी भी संख्या के लिए a , b और कोई भी पूर्णांक m और n समानताएँ सत्य हैं:

ए एम * ए एन = ए एम + एन;

ए एम: ए एन = ए एम-एन (ए 0);

(एम) एन = एक एमएन;

(ए बी) एन = ए एन * बी एन;

(ए / बी) एन = ए एन / बी एन (बी ≠ 0);

ए 1 = ए; ए 0 = 1 (ए 0)

आज हम किसी संख्या की घात की अवधारणा का सामान्यीकरण करेंगे और उन व्यंजकों को अर्थ देंगे जिनमें भिन्नात्मक घातांक होता है। आइए परिचय परिभाषाएक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री (प्रस्तुति "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री"):

ए की डिग्री > 0 एक परिमेय घातांक के साथ आर = , कहाँ पे एम एक पूर्णांक है, और एन - प्राकृतिक ( एन > 1), नंबर कहा जाता है एम .

तो, परिभाषा के अनुसार, हम पाते हैं कि = एम .

आइए कार्य करते समय इस परिभाषा को लागू करने का प्रयास करें।

उदाहरण 1

मैं एक संख्या के मूल के रूप में व्यंजक व्यक्त करता हूं:

लेकिन) बी) पर) .

आइए अब इस परिभाषा को उल्टा लागू करने का प्रयास करते हैं

II अभिव्यक्ति को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में व्यक्त करें:

लेकिन) 2 बी) पर) 5 .

0 की शक्ति को केवल सकारात्मक घातांक के लिए परिभाषित किया गया है।

0 आर= 0 किसी के लिए आर> 0.

इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, मकानोंआप #428 और #429 पूरा करेंगे।

आइए अब हम दिखाते हैं कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की उपरोक्त परिभाषा डिग्री के मूल गुणों को बरकरार रखती है जो किसी भी घातांक के लिए सही हैं।

किसी भी परिमेय संख्या r और s और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए, समानताएँ सत्य हैं:

1 0 . ए आर ए एस =ए आर+एस ;

उदाहरण: *

20. ए आर: ए एस = ए आर-एस;

उदाहरण: :

3 0 . (ए आर) एस = एक रुपये;

उदाहरण: ( -2/3

4 0 . ( अब) आर = ए आर बी आर ; 5 0 . ( = .

उदाहरण: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

एक साथ कई संपत्तियों के उपयोग पर उदाहरण: * : .

    फ़िज़्कुल्टमिनुत्का।

हम डेस्क पर पेन लगाते हैं, पीठ सीधी करते हैं, और अब हम आगे बढ़ रहे हैं, हम बोर्ड को छूना चाहते हैं। और अब हम उठे और दाहिनी ओर झुके, बाएँ, आगे, पीछे। उन्होंने मुझे पेन दिखाए, और अब मुझे दिखाओ कि तुम्हारी उंगलियां कैसे नाच सकती हैं।

    सामग्री पर काम करें

हम परिमेय घातांक वाली घातों के दो और गुण नोट करते हैं:

60. रहने दो r एक परिमेय संख्या है और 0< a < b . Тогда

ए आर < b आरपर आर> 0,

ए आर < b आरपर आर< 0.

7 0 . किसी भी परिमेय संख्या के लिएआरऔर एसअसमानता से आर> एसउसका अनुसरण करता है

ए आर> एक आरएक > 1 के लिए

ए आर < а आर 0 . पर< а < 1.

उदाहरण: संख्याओं की तुलना करें:

और ; 2 300 और 3 200 .

    पाठ सारांश:

आज पाठ में हमने एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों को याद किया, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा और बुनियादी गुणों को सीखा, इस के आवेदन पर विचार किया सैद्धांतिक सामग्रीअभ्यास के दौरान अभ्यास में। मैं इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं कि "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय अनिवार्य है असाइनमेंट का उपयोग करें. तैयारी में घर का पाठ (नंबर 428 और नंबर 429

वीडियो पाठ "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" में एक दृश्य शामिल है शैक्षिक सामग्रीइस विषय पर पढ़ाने के लिए। वीडियो पाठ में तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा के बारे में जानकारी, गुण, ऐसी डिग्री, साथ ही व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करने वाले उदाहरण शामिल हैं। इस वीडियो पाठ का कार्य शैक्षिक सामग्री को स्पष्ट रूप से और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना है, छात्रों द्वारा इसके विकास और याद रखने की सुविधा के लिए, सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाना है।

वीडियो पाठ के मुख्य लाभ दृश्य परिवर्तन और गणना करने की क्षमता, सीखने की दक्षता में सुधार के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता है। आवाज की संगत सही गणितीय भाषण विकसित करने में मदद करती है, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को बदलना भी संभव बनाती है, उसे व्यक्तिगत कार्य के लिए मुक्त करती है।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। लिंकिंग अध्ययन नया विषयपहले अध्ययन की गई सामग्री के साथ, यह याद करने का सुझाव दिया जाता है कि n a को प्राकृतिक n और धनात्मक a के लिए 1/n द्वारा अन्यथा दर्शाया जाता है। एन-रूट का यह प्रतिनिधित्व स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। इसके अलावा, यह विचार करने का प्रस्ताव है कि अभिव्यक्ति a m / n का क्या अर्थ है, जिसमें a एक सकारात्मक संख्या है, और m / n कुछ अंश है। बॉक्स में हाइलाइट की गई डिग्री की परिभाषा एक परिमेय घातांक के साथ m/n = n a m के रूप में दी गई है। यह ध्यान दिया जाता है कि n एक प्राकृतिक संख्या हो सकती है, और m - एक पूर्णांक।

एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री का निर्धारण करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों से पता चलता है: (5/100) 3/7 = 7 (5/100) 3 । एक उदाहरण भी दिखाया गया है जिसमें एक दशमलव द्वारा निरूपित शक्ति को एक सामान्य अंश में परिवर्तित किया जाता है जिसे मूल के रूप में दर्शाया जाता है: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 (1/7) 17 और से एक उदाहरण ऋणात्मक मानडिग्री: 3 -1/8 \u003d 8 3 -1।

अलग से, विशेष मामले की एक विशेषता जब डिग्री का आधार शून्य होता है। यह ध्यान दिया जाता है कि यह डिग्री केवल सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ ही समझ में आता है। इस मामले में, इसका मान शून्य के बराबर है: 0 m/n = 0।

परिमेय घातांक के साथ डिग्री की एक और विशेषता नोट की जाती है - कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को भिन्नात्मक घातांक के साथ नहीं माना जा सकता है। डिग्री के गलत अंकन के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

आगे वीडियो पाठ में, एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर विचार किया जाता है। यह नोट किया जाता है कि एक पूर्णांक घातांक वाली घात के गुण एक परिमेय घातांक वाली घात के लिए भी मान्य होंगे। उन संपत्तियों की सूची को वापस बुलाने का प्रस्ताव है जो इस मामले में भी मान्य हैं:

  1. समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करते समय, उनके संकेतक जोड़े जाते हैं: a p a q \u003d a p + q।
  2. एक ही आधार के साथ अंशों का विभाजन किसी दिए गए आधार और घातांक में अंतर के साथ एक डिग्री तक कम हो जाता है: a p:a q =a p-q ।
  3. यदि हम डिग्री को एक निश्चित डिग्री तक बढ़ाते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें दिए गए आधार और घातांक के गुणनफल के साथ एक डिग्री प्राप्त होती है: (a p) q =a pq।

ये सभी गुण तर्कसंगत घातांक p, q और धनात्मक आधार a>0 वाली घातों के लिए मान्य हैं। इसके अलावा, कोष्ठक खोलते समय डिग्री परिवर्तन सही रहता है:

  1. (एबी) पी = ए पी बी पी - एक तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ दो संख्याओं के उत्पाद को एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाना संख्याओं के उत्पाद तक कम हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक को किसी दिए गए शक्ति तक बढ़ाया जाता है।
  2. (a/b) p =a p /b p - किसी भिन्न के परिमेय घातांक के साथ घातांक को उस भिन्न में घटाया जाता है जिसका अंश और हर दी गई घात तक बढ़ा दिया जाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल उन उदाहरणों के समाधान पर चर्चा करता है जो तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के माने गए गुणों का उपयोग करते हैं। पहले उदाहरण में, एक व्यंजक का मान ज्ञात करना प्रस्तावित है जिसमें चर x से लेकर भिन्नात्मक घात: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1) शामिल हैं। अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, डिग्री के गुणों का उपयोग करके, इसे काफी सरलता से हल किया जाता है। कार्य का समाधान अभिव्यक्ति के सरलीकरण के साथ शुरू होता है, जो एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री बढ़ाने के नियम का उपयोग करता है, साथ ही साथ डिग्री को गुणा करता है एक ही आधार. दिए गए मान x=8 को सरलीकृत व्यंजक x 1/3 +48 में प्रतिस्थापित करने के बाद, मान - 50 प्राप्त करना आसान है।

दूसरे उदाहरण में, एक ऐसे अंश को कम करना आवश्यक है जिसके अंश और हर में परिमेय घातांक वाली घातें हों। डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतर से कारक x 1/3 का चयन करते हैं, जिसे बाद में अंश और हर में घटाया जाता है, और वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके अंश को कारकों में विघटित किया जाता है, जो कि अधिक कटौती देता है अंश और हर में समान कारक। इस तरह के परिवर्तनों का परिणाम एक छोटा अंश x 1/4 +3 है।

पाठ के नए विषय को समझाने वाले शिक्षक के बजाय वीडियो पाठ "एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" का उपयोग किया जा सकता है। साथ ही, इस मैनुअल में के लिए पर्याप्त जानकारी है स्वयं अध्ययनछात्र। सामग्री दूरस्थ शिक्षा में उपयोगी हो सकती है।

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