अपरिमेय समीकरण और उन्हें हल करने के तरीके। अपरिमेय समीकरण
नगर शिक्षण संस्थान
"कुडिंस्काया माध्यमिक विद्यालय नंबर 2"
अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके
द्वारा पूरा किया गया: ईगोरोवा ओल्गा,
पर्यवेक्षक:
अध्यापक
गणित,
उच्च योग्यता
परिचय....……………………………………………………………………………………… 3
खंड 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके…………………………………6
1.1 भाग सी के अपरिमेय समीकरणों को हल करना …………………………… 21
धारा 2. व्यक्तिगत कार्य…………………………………………….....………...24
जवाब………………………………………………………………………………………….25
ग्रन्थसूची…….…………………………………………………………………….26
परिचय
गणित की शिक्षा प्राप्त सामान्य शिक्षा विद्यालय, है एक आवश्यक भाग सामान्य शिक्षाऔर सामान्य संस्कृति आधुनिक आदमी. आधुनिक व्यक्ति को घेरने वाली लगभग हर चीज किसी न किसी रूप में गणित से जुड़ी होती है। लेकिन हाल की उपलब्धियांभौतिकी, इंजीनियरिंग और सूचना प्रौद्योगिकी में कोई संदेह नहीं है कि भविष्य में भी स्थिति जस की तस बनी रहेगी। इसलिए, कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान हल करने के लिए कम हो जाता है विभिन्न प्रकारहल करने के तरीके सीखने के लिए समीकरण। इन प्रकारों में से एक अपरिमेय समीकरण हैं।
अपरिमेय समीकरण
एक अज्ञात (या एक परिमेय युक्त समीकरण) बीजगणतीय अभिव्यक्तिअज्ञात से) रेडिकल के चिन्ह के तहत, कहा जाता है अपरिमेय समीकरण. प्रारंभिक गणित में, अपरिमेय समीकरणों के समाधान सेट में पाए जाते हैं वास्तविक संख्या.
कोई भी तर्कसंगत समीकरणप्रारंभिक बीजीय संक्रियाओं (गुणा, भाग, समीकरण के दोनों भागों को एक पूर्णांक घात तक बढ़ाना) की सहायता से एक परिमेय बीजीय समीकरण में घटाया जा सकता है। साथ ही, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि परिणामी तर्कसंगत बीजीय समीकरणमूल अपरिमेय समीकरण के गैर-समतुल्य हो सकते हैं, अर्थात्, इसमें "अतिरिक्त" जड़ें हो सकती हैं जो मूल अपरिमेय समीकरण की जड़ें नहीं होंगी। इसलिए, प्राप्त परिमेय बीजीय समीकरण की जड़ों को खोजने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या परिमेय समीकरण के सभी मूल अपरिमेय समीकरण के मूल होंगे।
सामान्य स्थिति में, किसी भी अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए किसी भी सार्वभौमिक विधि को इंगित करना मुश्किल है, क्योंकि यह वांछनीय है कि मूल अपरिमेय समीकरण के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, न केवल किसी प्रकार का तर्कसंगत बीजीय समीकरण प्राप्त होता है, जड़ों के बीच जहां इस अपरिमेय समीकरण की जड़ें होंगी, लेकिन यथासंभव कम डिग्री वाले बहुपदों से बनने वाला एक तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण होगा। सबसे छोटी संभव डिग्री के बहुपदों से बने उस तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण को प्राप्त करने की इच्छा काफी स्वाभाविक है, क्योंकि तर्कसंगत बीजीय समीकरण की सभी जड़ों को ढूंढना अपने आप में एक कठिन कार्य हो सकता है, जिसे हम केवल बहुत सीमित संख्या में ही हल कर सकते हैं मामलों की।
अपरिमेय समीकरणों के प्रकार
सम घात वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करने से विषम कोटि के अपरिमेय समीकरणों को हल करने की अपेक्षा अधिक समस्याएँ उत्पन्न होती हैं। विषम डिग्री के अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, ODZ नहीं बदलता है। इसलिए, नीचे हम अपरिमेय समीकरणों पर विचार करेंगे, जिनकी डिग्री सम है। अपरिमेय समीकरण दो प्रकार के होते हैं:
2.
.
आइए उनमें से पहले पर विचार करें।
ओडीज़ समीकरण: एफ (एक्स) 0. ODZ में, समीकरण का बायाँ भाग हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है, इसलिए एक समाधान तभी मौजूद हो सकता है जब जी(एक्स) 0. इस मामले में, समीकरण के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और घातांक 2 एनएक समान समीकरण देता है। हमें वह मिलता है
आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि जबकि ODZ स्वचालित रूप से किया जाता है, और आप इसे नहीं लिख सकते, लेकिन शर्तजी(x) 0 की जांच होनी चाहिए।
ध्यान दें:
यह बहुत ही महत्वपूर्ण शर्ततुल्यता। सबसे पहले, यह छात्र को जांच करने की आवश्यकता से मुक्त करता है, और समाधान खोजने के बाद, मूल अभिव्यक्ति की गैर-नकारात्मकता f(x) 0 की स्थिति की जांच करता है। दूसरे, यह स्थिति की जाँच पर केंद्रित हैजी(x) 0 दाईं ओर की गैर-नकारात्मकता है। आखिर चुकता करने के बाद समीकरण हल हो जाता है 
यानी, दो समीकरण एक साथ हल किए जाते हैं (लेकिन संख्यात्मक अक्ष के विभिन्न अंतरालों पर!):
1. - जहां जी(एक्स) 0 और
2. 
- जहां जी (एक्स) 0।
इस बीच, कई, ODZ खोजने की स्कूल की आदत के अनुसार, ऐसे समीकरणों को हल करते समय ठीक इसके विपरीत करते हैं:
ए) जाँच करें, समाधान खोजने के बाद, स्थिति f(x) 0 (जो स्वचालित रूप से संतुष्ट है), अंकगणितीय त्रुटियां करें और गलत परिणाम प्राप्त करें;
बी) शर्त को अनदेखा करेंजी(x) 0 - और फिर उत्तर गलत हो सकता है।
ध्यान दें: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय तुल्यता की स्थिति विशेष रूप से उपयोगी होती है, जिसमें ODZ खोजना त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने से जुड़ा होता है, जो त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से कहीं अधिक कठिन होता है। चेक इन त्रिकोणमितीय समीकरणसम स्थितियां जी(एक्स) 0 करना हमेशा आसान नहीं होता है।
दूसरे प्रकार के अपरिमेय समीकरणों पर विचार करें।
.
चलो समीकरण . उनका ओडीजेड:
ODZ में, दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और चुकता बराबर समीकरण देता है एफ(एक्स) =जी(एक्स)।इसलिए, ODZ or . में
समाधान की इस पद्धति के साथ, किसी एक फ़ंक्शन की गैर-नकारात्मकता की जांच करने के लिए पर्याप्त है - आप एक सरल चुन सकते हैं।
खंड 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके
1 विधि। समीकरण के दोनों पक्षों को क्रमिक रूप से संबंधित प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर रेडिकल से मुक्ति
अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि समीकरण के दोनों हिस्सों को क्रमिक रूप से संबंधित प्राकृतिक डिग्री तक बढ़ाकर रेडिकल से मुक्त करने की विधि है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जब समीकरण के दोनों हिस्सों को एक विषम शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणामी समीकरण मूल के बराबर होता है, और जब समीकरण के दोनों हिस्सों को एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणामी समीकरण समीकरण, सामान्यतया, मूल समीकरण के समकक्ष नहीं होगा। इसे समीकरण के दोनों पक्षों को किसी सम घात तक उठाकर आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। इस ऑपरेशन का परिणाम समीकरण में होता है 
, जिसका समाधान समाधान के सेट का संघ है: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. हालांकि, इसके बावजूद यह दोष, यह समीकरण के दोनों भागों को कुछ (अक्सर सम) घात तक बढ़ाने की प्रक्रिया है जो एक अपरिमेय समीकरण को एक परिमेय समीकरण में कम करने की सबसे सामान्य प्रक्रिया है।
प्रश्न हल करें:
कहां 
कुछ बहुपद हैं। वास्तविक संख्याओं के सेट में रूट निकालने के संचालन की परिभाषा के आधार पर, अज्ञात के स्वीकार्य मान https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 ऊँचाई = 21" ऊँचाई = "21">..gif "चौड़ाई = "243" ऊँचाई = "28 src = ">।
चूंकि पहले समीकरण के दोनों भाग चुकता थे, इसलिए यह पता चल सकता है कि दूसरे समीकरण के सभी मूल मूल समीकरण के समाधान नहीं होंगे, जड़ों की जांच करना आवश्यक है।
प्रश्न हल करें:
https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">
समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन बनाने पर, हम प्राप्त करते हैं
यह देखते हुए कि https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(अंतिम समीकरण की जड़ें हो सकती हैं, आम तौर पर बोलते हुए, मूल नहीं हैं समीकरण 
).
हम इस समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन तक बढ़ाते हैं: . हम समीकरण को x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 के रूप में फिर से लिखते हैं। जाँच करके, हम यह स्थापित करते हैं कि x1 = 0 समीकरण का एक बाहरी मूल है (-2 1), और x2 = 1 संतुष्ट करता है मूल समीकरण।
उत्तर:एक्स = 1.
2 विधि। स्थितियों की आसन्न प्रणाली को बदलना
सम-क्रम के मूलांक वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उत्तरों में बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें पहचानना हमेशा आसान नहीं होता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के दौरान, बाहरी जड़ों को पहचानना और त्यागना आसान बनाने के लिए, इसे तुरंत आसन्न स्थितियों की प्रणाली द्वारा बदल दिया जाता है। सिस्टम में अतिरिक्त असमानताएं वास्तव में हल किए जा रहे समीकरण के ODZ को ध्यान में रखती हैं। आप ओडीजेड को अलग से ढूंढ सकते हैं और बाद में इसे ध्यान में रख सकते हैं, लेकिन मिश्रित परिस्थितियों की प्रणालियों का उपयोग करना बेहतर होता है: समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में इसे ध्यान में न रखने पर कुछ भूलने का खतरा कम होता है। इसलिए, कुछ मामलों में मिश्रित प्रणालियों में संक्रमण की विधि का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है।
प्रश्न हल करें: 
उत्तर: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">
यह समीकरण प्रणाली के बराबर है
उत्तर:समीकरण का कोई हल नहीं है।
3 विधि। nवें मूल के गुणों का उपयोग करना
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, nth डिग्री के मूल के गुणों का उपयोग किया जाता है। अंकगणितीय जड़ एन-वांके बीच से डिग्री लेकिनएक गैर-ऋणात्मक संख्या पर कॉल करें, एन-मैं जिसकी डिग्री के बराबर है लेकिन. अगर एन-यहाँ तक की( 2एन), फिर a 0, अन्यथा रूट मौजूद नहीं है। अगर एन-अजीब( 2 एन+1), तो a कोई है और = - ..gif" चौड़ाई = "45" ऊंचाई = "19"> फिर:
2. 
3. 
4. 
5. 
इनमें से किसी भी फॉर्मूले को औपचारिक रूप से लागू करते हुए (बिना बताए गए प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए), यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि उनमें से प्रत्येक के बाएँ और दाएँ भागों का ODZ भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के साथ परिभाषित किया गया है च 0और जी 0, और व्यंजक in . के रूप में है च 0और जी 0, साथ ही साथ च 0और जी 0.
प्रत्येक सूत्र 1-5 के लिए (बिना संकेतित प्रतिबंधों को ध्यान में रखे), इसके दाहिने हिस्से का ODZ बाईं ओर के ODZ से अधिक चौड़ा हो सकता है। यह इस प्रकार है कि 1-5 "बाएं से दाएं" सूत्रों के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरण के परिवर्तन (जैसा कि वे लिखे गए हैं) एक समीकरण की ओर ले जाते हैं जो मूल एक का परिणाम है। इस मामले में, मूल समीकरण की बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, इसलिए मूल समीकरण को हल करने में सत्यापन एक अनिवार्य कदम है।
सूत्र 1-5 "दाएं से बाएं" के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरणों के परिवर्तन अस्वीकार्य हैं, क्योंकि मूल समीकरण के ODZ का न्याय करना संभव है, और, परिणामस्वरूप, जड़ों का नुकसान।
https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,
जो मूल का परिणाम है। इस समीकरण का हल समीकरणों के समुच्चय को हल करने के लिए घटाया गया है 
.
इस सेट के पहले समीकरण से हम पाते हैं https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> जहां से हम पाते हैं। इस प्रकार, जड़ें दिया गया समीकरणकेवल संख्याएँ (-1) और (-2) हो सकती हैं। जाँच से पता चलता है कि दोनों पाए गए मूल इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
उत्तर: -1,-2.
प्रश्न हल करें: ।
हल: सर्वसमिकाओं के आधार पर, पहले पद को से बदलें। ध्यान दें कि बाईं ओर दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में। मॉड्यूल को "निकालें" और, समान पदों को लाने के बाद, समीकरण को हल करें। चूंकि, हम समीकरण प्राप्त करते हैं। चूंकि और 
, फिर https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" चौड़ाई="145" ऊंचाई="21 src=">
उत्तर:एक्स = 4.25।
4 विधि। नए चर का परिचय
अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक और उदाहरण वह तरीका है जिसमें नए चर पेश किए जाते हैं, जिसके संबंध में या तो एक सरल अपरिमेय समीकरण या एक तर्कसंगत समीकरण प्राप्त होता है।
समीकरण को उसके परिणाम के साथ बदलकर (मूलों की बाद की जाँच के साथ) अपरिमेय समीकरणों का समाधान निम्नानुसार किया जा सकता है:
1. मूल समीकरण का ODZ ज्ञात कीजिए।
2. समीकरण से इसके उपफल पर जाएँ।
3. परिणामी समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
4. जाँच कीजिए कि प्राप्त मूल मूल समीकरण के मूल हैं या नहीं।
चेक इस प्रकार है:
ए) ओडीजेड के प्रत्येक पाए गए मूल के मूल समीकरण से संबंधित जाँच की जाती है। वे मूल जो ODZ से संबंधित नहीं हैं, मूल समीकरण के लिए बाहरी हैं।
बी) मूल समीकरण के ODZ में शामिल प्रत्येक रूट के लिए, यह जाँच की जाती है कि क्या उनके पास है समान संकेतप्रत्येक समीकरण के बाएँ और दाएँ भाग जो मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं और एक सम घात तक बढ़ा दिए जाते हैं। वे जड़ें जिनके लिए किसी समीकरण के भागों को सम घात तक बढ़ा दिया गया है विभिन्न संकेत, मूल समीकरण के लिए बाहरी हैं।
सी) केवल वे मूल जो मूल समीकरण के ODZ से संबंधित हैं और जिसके लिए प्रत्येक समीकरण के दोनों भाग जो मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं और एक समान घात तक समान होते हैं, को सीधे प्रतिस्थापन द्वारा जाँचा जाता है मूल समीकरण।
संकेतित सत्यापन विधि के साथ इस तरह की एक समाधान विधि अंतिम समीकरण की प्रत्येक मूल को मूल में सीधे प्रतिस्थापन के मामले में बोझिल गणनाओं से बचने की अनुमति देती है।
अपरिमेय समीकरण को हल करें:
.
इस समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों का सेट:
सेटिंग , प्रतिस्थापन के बाद हम समीकरण प्राप्त करते हैं
या इसके समकक्ष समीकरण
जिसे द्विघात समीकरण के रूप में देखा जा सकता है। इस समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं
.
इसलिए, मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान सेट निम्नलिखित दो समीकरणों के समाधान सेटों का मिलन है:
, .
इन समीकरणों में से प्रत्येक के दोनों पक्षों को घन करें, और हमें दो तर्कसंगत बीजीय समीकरण मिलते हैं:
, .
इन समीकरणों को हल करने पर, हम पाते हैं कि इस अपरिमेय समीकरण का एक ही मूल x = 2 है (कोई सत्यापन आवश्यक नहीं है, क्योंकि सभी परिवर्तन समान हैं)।
उत्तर:एक्स = 2.
अपरिमेय समीकरण को हल करें:
2x2 + 5x - 2 = t को निरूपित करें। तब मूल समीकरण का रूप ले लेगा 
. परिणामी समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके और समान पदों को लाकर, हम समीकरण प्राप्त करते हैं, जो पिछले एक का परिणाम है। इससे हम पाते हैं टी = 16.
अज्ञात x पर लौटने पर, हमें समीकरण 2x2 + 5x - 2 = 16 मिलता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि इसकी जड़ें x1 \u003d 2 और x2 \u003d - 9/2 मूल समीकरण के मूल हैं।
उत्तर: x1 = 2, x2 = -9/2।
5 विधि। पहचान समीकरण परिवर्तन
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, किसी को समीकरण के दोनों भागों को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर एक समीकरण को हल करना शुरू नहीं करना चाहिए, एक तर्कहीन समीकरण के समाधान को एक तर्कसंगत बीजीय समीकरण को हल करने की कोशिश कर रहा है। सबसे पहले, यह देखना आवश्यक है कि क्या समीकरण के कुछ समान परिवर्तन करना संभव है, जो इसके समाधान को काफी सरल बना सकता है।
प्रश्न हल करें:
इस समीकरण के लिए मान्य मानों का सेट: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> इस समीकरण को .
.
हमें मिला:
a = 0 के लिए, समीकरण का कोई हल नहीं होगा; के लिए, समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है
इस समीकरण के लिए कोई हल नहीं है, क्योंकि किसी के लिए एक्स, समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों के सेट से संबंधित, समीकरण के बाईं ओर की अभिव्यक्ति सकारात्मक है;
जब समीकरण का हल होता है
यह ध्यान में रखते हुए कि समीकरण के स्वीकार्य समाधानों का सेट शर्त द्वारा निर्धारित किया जाता है, हम अंत में प्राप्त करते हैं:
इस अपरिमेय समीकरण को हल करते समय, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> समीकरण का हल होगा। अन्य सभी मानों के लिए एक्ससमीकरण का कोई हल नहीं है।
उदाहरण 10:
अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">
समाधान द्विघात समीकरणप्रणाली दो जड़ें देती है: x1 = 1 और x2 = 4। प्राप्त जड़ों में से पहला सिस्टम की असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए x = 4।
टिप्पणियाँ।
1) समान परिवर्तन करना हमें सत्यापन के बिना करने की अनुमति देता है।
2) असमानता x – 3 ≥0 का अर्थ है समान परिवर्तन, और समीकरण के क्षेत्र के लिए नहीं।
3) समीकरण के बाईं ओर एक घटता हुआ कार्य है, और इस समीकरण के दाईं ओर एक बढ़ता हुआ कार्य है। परिभाषा के अपने डोमेन के चौराहे पर घटते और बढ़ते कार्यों के ग्राफ में एक से अधिक सामान्य बिंदु नहीं हो सकते हैं। जाहिर है, हमारे मामले में, x = 4 ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है।
उत्तर:एक्स = 4.
6 विधि। समीकरणों को हल करते समय कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र का उपयोग करना
समीकरणों को हल करते समय यह विधि सबसे प्रभावी है जिसमें https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> शामिल हैं और इसकी क्षेत्र परिभाषाएं खोजें (एफ)..gif" चौड़ाई = "53" ऊंचाई = "21"> 
.gif" width="88" height="21 src=">, तो आपको यह जांचना होगा कि अंतराल के अंत में समीकरण सही है या नहीं, इसके अलावा, यदि a< 0, а b >0, तो अंतराल पर जांचना आवश्यक है (ए; 0)और . E(y) में सबसे छोटा पूर्णांक 3 है।
उत्तर: एक्स = 3.
8 विधि। अपरिमेय समीकरणों को हल करने में अवकलज का अनुप्रयोग
अक्सर, व्युत्पन्न विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, अनुमान पद्धति का उपयोग किया जाता है।
उदाहरण 15:
समीकरण हल करें: (1)
समाधान: चूंकि https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, या (2)। फ़ंक्शन पर विचार करें 
..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> इसलिए बढ़ रही है। इसलिए, समीकरण 
एक समीकरण के बराबर है जिसका मूल मूल समीकरण का मूल है।
उत्तर:
उदाहरण 16:
अपरिमेय समीकरण को हल करें:
फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन एक खंड है। सबसे बड़ा खोजें और सबसे छोटा मानअंतराल पर इस फ़ंक्शन के मान। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं एफ(एक्स): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" चौड़ाई = "37 ऊंचाई = 19" ऊंचाई = "19">। आइए फ़ंक्शन के मान खोजें एफ(एक्स)खंड के सिरों पर और बिंदु पर: तो, लेकिन और, इसलिए, समानता केवल शर्त के तहत संभव है https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > सत्यापन से पता चलता है कि संख्या 3 इस समीकरण का मूल है।
उत्तर:एक्स = 3.
9 विधि। कार्यात्मक
परीक्षाओं में, वे कभी-कभी उन समीकरणों को हल करने की पेशकश करते हैं जिन्हें फॉर्म में लिखा जा सकता है, जहां एक निश्चित कार्य है।
उदाहरण के लिए, कुछ समीकरण: 1) 
2) 
. दरअसल, पहले मामले में 
, दूसरे मामले में 
. इसलिए, निम्नलिखित कथन का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करें: यदि कोई फ़ंक्शन सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है एक्सऔर किसी के लिए, तो समीकरण, आदि, सेट पर बराबर होते हैं एक्स .
अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है आर,और https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > जिसका एक अद्वितीय मूल है इसलिए, समतुल्य समीकरण (1) का भी एक अद्वितीय मूल है
उत्तर:एक्स = 3.
उदाहरण 18:
अपरिमेय समीकरण को हल करें: 
(1)
वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं कि यदि समीकरण (1) के मूल हैं, तो वे समुच्चय DIV_ADBLOCK166"> से संबंधित हैं।
. (2)
फ़ंक्शन पर विचार करें https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" चौड़ाई = "35" ऊंचाई = "21"> किसी भी ..gif" चौड़ाई = "100" के लिए इस सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है ऊंचाई = "41"> जिसका एक ही मूल है इसलिए, और सेट पर इसके बराबर एक्ससमीकरण (1) का एक ही मूल है
उत्तर: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">
हल: यह समीकरण मिश्रित प्रणाली के तुल्य है
यदि समीकरण में वर्गमूल चिह्न के नीचे एक चर है, तो समीकरण को अपरिमेय कहा जाता है।
अपरिमेय समीकरण पर विचार करें
वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार इस समानता का अर्थ है कि 2x + 1 = 32. वास्तव में, हम दिए गए अपरिमेय समीकरण से परिमेय समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके परिमेय समीकरण 2x + 1 = 9 पर गए। किसी समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने की विधि अपरिमेय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि है। हालाँकि, यह समझ में आता है: वर्गमूल के चिन्ह से और कैसे छुटकारा पाया जाए? समीकरण 2x + 1 = 9 से हम x = 4 पाते हैं।
यह समीकरण 2x + 1 = 9 और दिए गए अपरिमेय समीकरण दोनों का मूल है।
स्क्वायरिंग विधि तकनीकी रूप से सरल है, लेकिन कभी-कभी परेशानी का कारण बनती है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण पर विचार करें
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
आगे हमारे पास है:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; एक्स = 1.
लेकिन मान x-1, परिमेय समीकरण 2x - 5 = 4x - 7 का मूल होने के कारण दिए गए अपरिमेय समीकरण का मूल नहीं है। क्यों? दिए गए अपरिमेय समीकरण में x के स्थान पर 1 रखने पर हमें प्राप्त होता है 
. हम संख्यात्मक समानता की पूर्ति के बारे में कैसे बात कर सकते हैं, यदि इसके बाएँ और दाएँ दोनों भागों में ऐसे भाव हैं जिनका कोई मतलब नहीं है? ऐसे मामलों में, वे कहते हैं: x \u003d 1 किसी दिए गए अपरिमेय समीकरण के लिए एक बाहरी मूल है। यह पता चला है कि दिए गए अपरिमेय समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।
आइए अपरिमेय समीकरण को हल करें
-
इस समीकरण की जड़ों को मौखिक रूप से पाया जा सकता है, जैसा कि हमने पिछले पैराग्राफ के अंत में किया था: उनका उत्पाद - 38 है, और योग है - 17; यह अनुमान लगाना आसान है कि ये संख्याएँ 2 . हैं
और - 19. तो, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19।
दिए गए अपरिमेय समीकरण में x के स्थान पर मान 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है
यह सच नहीं है।
दिए गए अपरिमेय समीकरण में x के स्थान पर - 19 के मान को रखने पर हमें प्राप्त होता है
यह भी गलत है।
निष्कर्ष क्या है? दोनों पाए गए मान बाहरी जड़ें हैं। दूसरे शब्दों में, दिए गए अपरिमेय समीकरण, पिछले वाले की तरह, का कोई मूल नहीं है।
एक बाहरी जड़ आपके लिए कोई नई अवधारणा नहीं है, तर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों का सामना पहले ही किया जा चुका है, जांच से उन्हें पता लगाने में मदद मिलती है। अपरिमेय समीकरणों के लिए, समीकरण को हल करने में जाँच एक अनिवार्य कदम है, जो बाहरी जड़ों का पता लगाने में मदद करेगा, यदि कोई हो, और उन्हें त्याग दें (आमतौर पर वे कहते हैं "खरपतवार")।
अतः, एक अपरिमेय समीकरण को उसके दोनों भागों का वर्ग करके हल किया जाता है; परिणामी तर्कसंगत समीकरण को हल करने के बाद, संभावित बाहरी जड़ों को समाप्त करते हुए, एक जांच करना आवश्यक है।
इस व्युत्पत्ति का उपयोग करते हुए, आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1प्रश्न हल करें
समाधान। आइए समीकरण (1) के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
अगला, क्रमिक रूप से हमारे पास है
5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
एक्स 1 = 5, एक्स 2 = 4।
इंतिहान। x \u003d 5 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं - सही समानता। x \u003d 4 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं - सही समानता। इसलिए, दोनों पाए गए मान समीकरण (1) के मूल हैं।
ओ एन ई टी: 4; पांच।
उदाहरण 2प्रश्न हल करें 
(हमने 22 में इस समीकरण का सामना किया और हमने इसके समाधान को बेहतर समय तक "स्थगित" कर दिया।) एक अपरिमेय समीकरण के, हम प्राप्त करते हैं
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2।
तो हमारे पास हैं
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
इंतिहान। दिए गए अपरिमेय समीकरण में x = 80 रखने पर हमें प्राप्त होता है
यह स्पष्ट रूप से एक गलत समानता है, क्योंकि इसके दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या है, और इसके बाईं ओर एक धनात्मक संख्या है। अतः x = 80 इस समीकरण का एक बाह्य मूल है।
दिए गए अपरिमेय समीकरण में x = 12 रखने पर हमें प्राप्त होता है
अर्थात। । = 20, सही समानता है। अत: x = 12 इस समीकरण का मूल है।
उत्तर: 12.
हम अंतिम समीकरण पद के दोनों भागों को पद से 2 से विभाजित करते हैं:
इंतिहान। x = 14 के मान को समीकरण (2) में रखने पर हमें प्राप्त होता है 
गलत समानता है, इसलिए x = 14 एक बाह्य मूल है।
मान x = -1 को समीकरण (2) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं 
- सच्ची समानता। अत: x = - 1 समीकरण (2) का मूल है।
ए एन टी ई टी: - 1.
उदाहरण 4प्रश्न हल करें 
समाधान। बेशक, आप इस समीकरण को उसी तरह हल कर सकते हैं जैसे हमने पिछले उदाहरणों में इस्तेमाल किया था: समीकरण को फिर से लिखें
इस समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें, परिणामी परिमेय समीकरण को हल करें और पाए गए मूलों को में प्रतिस्थापित करके जांचें
मूल अपरिमेय समीकरण।
लेकिन हम एक अधिक सुरुचिपूर्ण तरीके का उपयोग करेंगे: हम एक नया चर y = पेश करते हैं। तब हमें 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - चर y के संबंध में एक द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसके मूल ज्ञात करें: y 1 = 1, y 2 = -। इस प्रकार, कार्य दो को हल करने के लिए कम हो गया था
पहले समीकरण से हम x \u003d 1 पाते हैं, दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है (आपको याद है कि यह केवल गैर-ऋणात्मक मान लेता है)।
उत्तर 1।
हम इस खंड को एक गंभीर सैद्धांतिक चर्चा के साथ समाप्त करते हैं। बात निम्नलिखित है। आप पहले ही विभिन्न समीकरणों को हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त कर चुके हैं: रैखिक, वर्ग, तर्कसंगत, अपरिमेय। आप जानते हैं कि समीकरणों को हल करते समय विभिन्न परिवर्तन किए जाते हैं,
उदाहरण के लिए: समीकरण के एक सदस्य को समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिन्ह के साथ स्थानांतरित किया जाता है; समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है; हर से छुटकारा पाएं, यानी, समीकरण = 0 को समीकरण p (x) = 0 से बदलें; समीकरण के दोनों पक्ष वर्ग हैं।
बेशक, आपने देखा कि कुछ परिवर्तनों के परिणामस्वरूप बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और इसलिए आपको सतर्क रहना होगा: सभी पाए गए जड़ों की जांच करें। तो अब हम इन सब को सैद्धान्तिक दृष्टि से समझने का प्रयास करेंगे।
परिभाषा। दो समीकरण f (x) = g (x) और r (x) = s (x) समतुल्य कहलाते हैं यदि उनके मूल समान हों (या, विशेष रूप से, यदि दोनों समीकरणों का कोई मूल न हो)।
आमतौर पर, एक समीकरण को हल करते समय, वे इस समीकरण को एक सरल, लेकिन इसके बराबर से बदलने की कोशिश करते हैं। इस प्रकार के परिवर्तन को समीकरण का तुल्य परिवर्तन कहते हैं।
निम्नलिखित परिवर्तन समीकरण के समतुल्य परिवर्तन हैं:
1. समीकरण के पदों का समीकरण के एक भाग से विपरीत चिह्नों के साथ दूसरे भाग में स्थानांतरण।
उदाहरण के लिए, समीकरण 2x + 5 = 7x - 8 को समीकरण 2x - 7x = - 8 - 5 से बदलना समीकरण का एक समान परिवर्तन है। इसका मतलब है कि
समीकरण 2x + 5 = 7x -8 और 2x - 7x = -8 - 5 समतुल्य हैं।
2. किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग करना।
उदाहरण के लिए, समीकरण 0.5x 2 - 0.3x \u003d 2 को समीकरण 5x 2 - Zx \u003d 20 से बदलना
(समीकरण के दोनों भागों को पद से 10 से गुणा किया गया था) समीकरण का एक समान परिवर्तन है।
समीकरण के गैर-समतुल्य परिवर्तन निम्नलिखित परिवर्तन हैं:
1. चर वाले हर से छूट।
उदाहरण के लिए, समीकरण को समीकरण x 2 \u003d 4 से बदलना समीकरण का एक गैर-समतुल्य परिवर्तन है। तथ्य यह है कि समीकरण x 2 \u003d 4 की दो जड़ें हैं: 2 और - 2, और दिया गया समीकरणमान x = 2 संतुष्ट नहीं कर सकता (हर गायब हो जाता है)। ऐसे मामलों में, हमने यह कहा: x \u003d 2 एक बाहरी जड़ है।
2. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना।
हम उदाहरण नहीं देंगे, क्योंकि इस पैराग्राफ में उनमें से बहुत सारे थे।
यदि समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में संकेतित गैर-समतुल्य परिवर्तनों में से एक का उपयोग किया गया था, तो पाए गए सभी जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाना चाहिए, क्योंकि उनमें से बाहरी जड़ें हो सकती हैं।
विषय: “रूप के अपरिमेय समीकरण , 
.»
(पद्धतिगत विकास।)
मूल अवधारणा
अपरिमेय समीकरण समीकरण कहलाते हैं जिसमें चर मूल (कट्टरपंथी) या भिन्नात्मक शक्ति तक बढ़ने के संकेत के तहत निहित होता है।
f(x)=g(x) के रूप का एक समीकरण, जहां कम से कम एक व्यंजक f(x) या g(x) अपरिमेय है अपरिमेय समीकरण।
रेडिकल्स के मूल गुण:
- सभी कट्टरपंथी सम डिग्री हैं अंकगणित, वे। अगर कट्टरपंथी अभिव्यक्ति नकारात्मक है, तो कट्टरपंथी समझ में नहीं आता (अस्तित्व में नहीं है); यदि मूल व्यंजक शून्य के बराबर है, तो मूलांक भी है शून्य; यदि मूलक व्यंजक धनात्मक है, तो मूलक का मान मौजूद है और धनात्मक है।
- सभी कट्टरपंथी विषम डिग्री कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के किसी भी मूल्य के लिए परिभाषित किया गया है। इसके अलावा, यदि मूलक व्यंजक ऋणात्मक है तो मूलक ऋणात्मक है; शून्य है यदि मूल व्यंजक शून्य है; सकारात्मक है अगर अधीन अभिव्यक्ति सकारात्मक है।
अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके
एक अपरिमेय समीकरण हल करें - का अर्थ है चर के सभी वास्तविक मूल्यों को खोजना, उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, यह सही संख्यात्मक समानता में बदल जाता है, या यह साबित करने के लिए कि ऐसे मान मौजूद नहीं हैं। अपरिमेय समीकरणों को वास्तविक संख्या R के समुच्चय पर हल किया जाता है।
समीकरण के मान्य मानों की श्रेणी वेरिएबल के वे मान होते हैं जिनके लिए सम डिग्री के रेडिकल के चिह्न के तहत सभी व्यंजक गैर-ऋणात्मक होते हैं।
अपरिमेय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं:
क) समीकरण के दोनों भागों को समान घात तक बढ़ाने की विधि;
बी) नए चर शुरू करने की विधि (प्रतिस्थापन की विधि);
ग) अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए कृत्रिम तरीके।
इस लेख में, हम ऊपर परिभाषित फॉर्म के समीकरणों पर विचार करेंगे और ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए 6 तरीके प्रस्तुत करेंगे।
1 विधि। घनक्षेत्र.
इस पद्धति में संक्षिप्त गुणन सूत्रों के उपयोग की आवश्यकता होती है और इसमें "नुकसान" नहीं होता है, अर्थात। बाहरी जड़ों की उपस्थिति के लिए नेतृत्व नहीं करता है।
उदाहरण 1प्रश्न हल करें 
समाधान:
हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं 
और इसके दोनों किनारों को घन कर लें। हम इस समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त करते हैं,
उत्तर: एक्स = 2, एक्स = 11।
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।
समाधान:
आइए समीकरण को रूप में फिर से लिखें और इसके दोनों पक्षों को एक घन में बढ़ाएं। हम इस समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त करते हैं
और परिणामी समीकरण को मूलों में से एक के संबंध में द्विघात के रूप में मानें
इसलिए, विवेचक 0 है, और समीकरण का हल x=-2 हो सकता है।
इंतिहान: 
उत्तर: एक्स = -2।
टिप्पणी: द्विघात समीकरण पूरा होने पर चेक छोड़ा जा सकता है।
2 विधि। सूत्र का उपयोग करके घन।
हम समीकरण को घन करना जारी रखेंगे, लेकिन साथ ही हम संक्षिप्त गुणन के लिए संशोधित सूत्रों का उपयोग करेंगे।
आइए सूत्रों का उपयोग करें:
(मामूली संशोधन ज्ञात सूत्र), फिर
उदाहरण3.प्रश्न हल करें 
.
समाधान:
आइए ऊपर दिए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को घन करें।
लेकिन अभिव्यक्ति 
दाईं ओर के बराबर होना चाहिए। इसलिए हमारे पास है:
.
अब, घन करने पर, हमें सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
, और इसकी दो जड़ें
दोनों मान, जैसा कि परीक्षण द्वारा दिखाया गया है, सही हैं।
उत्तर: x=2, x=-33.
लेकिन क्या यहां सभी परिवर्तन समान हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले, आइए एक और समीकरण हल करें।
उदाहरण 4.प्रश्न हल करें।
समाधान:
पहले की तरह, दोनों भागों को तीसरी शक्ति में बढ़ाते हुए, हमारे पास है:
जहां से (यह मानते हुए कि कोष्ठक में व्यंजक है), हम प्राप्त करते हैं:
हम प्राप्त करते हैं। आइए एक जाँच करें और सुनिश्चित करें कि x=0 एक बाहरी मूल है।
उत्तर: .
आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: "बाहरी जड़ें क्यों पैदा हुईं?"
समानता समानता की ओर ले जाती है 
. -s से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
पहचान की जांच करना आसान है
तो, अगर, तो या तो, या। समीकरण को के रूप में दर्शाया जा सकता है 
, .
-s से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: if 
, फिर या तो , या
इसलिए, इस समाधान विधि का उपयोग करते समय, यह जांचना और सुनिश्चित करना अनिवार्य है कि कोई बाहरी जड़ें तो नहीं हैं।
3 विधि। सिस्टम विधि।
उदाहरण 5प्रश्न हल करें 
.
समाधान:
रहने दो , । फिर:
यह कैसे स्पष्ट है कि 
निकाय का दूसरा समीकरण इस प्रकार प्राप्त किया जाता है कि मूलक व्यंजकों का रैखिक संयोजन मूल चर पर निर्भर न हो।
यह देखना आसान है कि निकाय का कोई हल नहीं है, और इसलिए मूल समीकरण का कोई हल नहीं है।
उत्तर: कोई जड़ नहीं।
उदाहरण 6प्रश्न हल करें 
.
समाधान:
हम एक प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं, समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं और हल करते हैं।
रहने दो , । फिर
मूल चर पर लौटने पर, हमारे पास है:
उत्तर: एक्स = 0।
4 विधि। कार्यों की एकरसता का उपयोग करना।
इस पद्धति का उपयोग करने से पहले, आइए सिद्धांत की ओर मुड़ें।
हमें निम्नलिखित गुणों की आवश्यकता होगी:
उदाहरण 7प्रश्न हल करें 
.
समाधान:
समीकरण का बायाँ भाग एक बढ़ता हुआ फलन है, और दायाँ पक्ष एक संख्या है, अर्थात। स्थिर, इसलिए, समीकरण में एक से अधिक रूट नहीं हैं, जिसे हम चुनते हैं: x \u003d 9। यह सुनिश्चित करने के लिए जाँच कर रहा है कि जड़ उपयुक्त है।
समीकरणों को अपरिमेय कहा जाता है यदि उनमें मूल चिह्न के नीचे एक अज्ञात मात्रा होती है। ये हैं, उदाहरण के लिए, समीकरण
कई मामलों में, समीकरण के दोनों भागों के घातांक को एक बार या बार-बार लागू करने से, अपरिमेय समीकरण को एक डिग्री या किसी अन्य के बीजीय समीकरण में कम करना संभव है (जो मूल समीकरण का परिणाम है)। चूँकि समीकरण को एक घात तक बढ़ाते समय, बाहरी समाधान प्रकट हो सकते हैं, फिर, बीजीय समीकरण को हल करने के बाद, जिसमें हमने इस अपरिमेय समीकरण को कम कर दिया है, हमें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके पाए गए जड़ों की जांच करनी चाहिए और केवल उन लोगों को बचाना चाहिए जो इसे संतुष्ट करते हैं, और बाकी को त्यागें - बाहरी।
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, हम स्वयं को केवल उनकी वास्तविक जड़ों तक ही सीमित रखते हैं; समीकरणों के अंकन में सम घात के सभी मूल अंकगणितीय अर्थों में समझे जाते हैं।
कुछ पर विचार करें विशिष्ट उदाहरणतर्कहीन समीकरण।
ए। वर्गमूल चिह्न के तहत अज्ञात युक्त समीकरण। यदि इस समीकरण में केवल एक है वर्गमूल, जिसके चिन्ह के नीचे कोई अज्ञात हो, तो इस मूल को पृथक कर देना चाहिए, अर्थात् समीकरण के एक भाग में रख देना चाहिए और अन्य सभी पदों को दूसरे भाग में स्थानान्तरित कर देना चाहिए। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, हम पहले से ही तर्कहीनता से मुक्त हो चुके हैं और इसके लिए बीजीय समीकरण प्राप्त कर चुके हैं
उदाहरण 1. समीकरण को हल करें।
समाधान। हम समीकरण के बाईं ओर के मूल को अलग करते हैं;
हम परिणामी समीकरण को वर्ग करते हैं:
हम इस समीकरण की जड़ें पाते हैं:
सत्यापन से पता चलता है कि केवल मूल समीकरण को संतुष्ट करता है।
यदि समीकरण में x वाले दो या अधिक मूल शामिल हैं, तो वर्ग को कई बार दोहराया जाना है।
उदाहरण 2. निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:
हल, क) हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:
हम जड़ को अलग करते हैं:
परिणामी समीकरण फिर से चुकता है:
परिवर्तनों के बाद, हम निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं:
इसे हल करो:
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि इसकी जड़ है, लेकिन यह इसके लिए एक बाहरी मूल है।
बी) उदाहरण को उसी तरह हल किया जा सकता है जैसे उदाहरण ए) हल किया गया था। हालाँकि, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि इस समीकरण के दाईं ओर एक अज्ञात मात्रा नहीं है, हम अलग तरीके से आगे बढ़ेंगे। हम समीकरण को इसके बायीं ओर संयुग्मित व्यंजक से गुणा करते हैं; हमें मिला
दाईं ओर योग और अंतर का गुणनफल है, अर्थात वर्गों का अंतर। यहाँ से
इस समीकरण के बाईं ओर वर्गमूलों का योग था; अब प्राप्त समीकरण के बाईं ओर समान मूलों का अंतर है। आइए दिए गए और प्राप्त समीकरणों को लिखें:
इन समीकरणों का योग लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं
हम अंतिम समीकरण का वर्ग करते हैं और, सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं
यहाँ से हम पाते हैं। जाँच करने से हम आश्वस्त हो जाते हैं कि केवल संख्या ही इस समीकरण के मूल के रूप में कार्य करती है। उदाहरण 3. समीकरण को हल करें
यहाँ, पहले से ही मूल चिन्ह के तहत, हमारे पास वर्ग त्रिपद हैं।
समाधान। हम समीकरण को इसके बायीं ओर से संयुग्मित व्यंजक से गुणा करते हैं:
दिए गए समीकरण से अंतिम समीकरण घटाएं:
आइए इस समीकरण को वर्गाकार करें:
अंतिम समीकरण से हम पाते हैं। जाँच करने से हम आश्वस्त होते हैं कि केवल संख्या x \u003d 1 ही इस समीकरण की जड़ के रूप में कार्य करती है।
बी। तीसरी डिग्री की जड़ों वाले समीकरण। अपरिमेय समीकरणों की प्रणाली। हम स्वयं को ऐसे समीकरणों और प्रणालियों के व्यक्तिगत उदाहरणों तक सीमित रखते हैं।
उदाहरण 4. समीकरण को हल करें
समाधान। आइए हम समीकरण (70.1) को हल करने के दो तरीके दिखाते हैं। पहला तरीका। आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें (देखें सूत्र (20.8)):
(यहां हमने योग को बदल दिया है घनमूलसंख्या 4, समीकरण का उपयोग करके)।
तो हमारे पास
यानी, सरलीकरण के बाद,
जहाँ से दोनों मूल मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
दूसरा तरीका। चलो रखो
समीकरण (70.1) के रूप में लिखा जाएगा। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि . समीकरण (70.1) से हम सिस्टम में आ गए हैं
निकाय पद के प्रथम समीकरण को पद से दूसरे पद से भाग देने पर हम पाते हैं
एक अपरिमेय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें मूल चिह्न के तहत एक फ़ंक्शन होता है। उदाहरण के लिए:
ऐसे समीकरण हमेशा 3 चरणों में हल होते हैं:
- जड़ को अलग करें। दूसरे शब्दों में, यदि मूल के अलावा समान चिह्न के बाईं ओर अन्य संख्याएँ या कार्य हैं, तो यह सब चिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया जाना चाहिए। उसी समय, केवल रेडिकल बाईं ओर रहना चाहिए - बिना किसी गुणांक के।
- 2. हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। साथ ही, याद रखें कि रूट की रेंज सभी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं। इसलिए दाईं ओर का कार्य अपरिमेय समीकरणगैर-ऋणात्मक भी होना चाहिए: जी (एक्स) 0।
- तीसरा चरण दूसरे से तार्किक रूप से अनुसरण करता है: आपको एक जांच करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि दूसरे चरण में हमारे पास अतिरिक्त जड़ें हो सकती हैं। और उन्हें काटने के लिए, परिणामी उम्मीदवार संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना और जांचना आवश्यक है: क्या सही संख्यात्मक समानता वास्तव में प्राप्त हुई है?
एक अपरिमेय समीकरण को हल करना
आइए पाठ की शुरुआत में दिए गए हमारे अपरिमेय समीकरण से निपटें। यहां जड़ पहले से ही एकांत में है: समान चिह्न के बाईं ओर जड़ के अलावा कुछ भी नहीं है। आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें:
2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
एक्स 2 - 4x - 12 = 0
हम परिणामी द्विघात समीकरण को विभेदक के माध्यम से हल करते हैं:
डी = बी 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
एक्स 1 = 6; एक्स 2 \u003d -2
यह केवल इन संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है, अर्थात। एक जाँच करें। लेकिन यहां भी आप अंतिम निर्णय को आसान बनाने के लिए सही काम कर सकते हैं।
समाधान को सरल कैसे करें
आइए सोचें: हम एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के अंत में भी जांच क्यों करते हैं? हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि जड़ों को प्रतिस्थापित करते समय, समान चिह्न के दाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होगी। आखिरकार, हम पहले से ही निश्चित रूप से जानते हैं कि यह बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, क्योंकि अंकगणितीय वर्गमूल (जिसके कारण हमारे समीकरण को अपरिमेय कहा जाता है) परिभाषा के अनुसार शून्य से कम नहीं हो सकता है।
इसलिए, हमें केवल यह जाँचने की आवश्यकता है कि फलन g ( x ) = 5 - x , जो समान चिह्न के दाईं ओर है, ऋणात्मक नहीं है:
जी (एक्स) 0
हम इस फ़ंक्शन में अपनी जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
जी (एक्स 1) \u003d जी (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
जी (एक्स 2) = जी (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0
प्राप्त मूल्यों से यह निम्नानुसार है कि रूट x 1 = 6 हमें शोभा नहीं देता है, क्योंकि मूल समीकरण के दाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या मिलती है। लेकिन रूट x 2 \u003d −2 हमारे लिए काफी उपयुक्त है, क्योंकि:
- यह मूल दोनों पक्षों को ऊपर उठाकर प्राप्त द्विघात समीकरण का हल है अपरिमेय समीकरणएक वर्ग में।
- मूल अपरिमेय समीकरण का दाहिना भाग, जब मूल x 2 = -2 को प्रतिस्थापित किया जाता है, एक धनात्मक संख्या में बदल जाता है, अर्थात। श्रेणी अंकगणितीय जड़टूटा हुआ न हो।
वह संपूर्ण एल्गोरिदम है! जैसा कि आप देख सकते हैं, रेडिकल वाले समीकरणों को हल करना इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात यह है कि प्राप्त जड़ों की जांच करना न भूलें, अन्यथा इसे अतिरिक्त उत्तर मिलने की संभावना है।
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