वर्गमूल के गुण। मूल सूत्र

यह लेख विस्तृत जानकारी का एक संग्रह है जो जड़ों के गुणों के विषय से संबंधित है। विषय पर विचार करते हुए, हम गुणों से शुरू करेंगे, सभी योगों का अध्ययन करेंगे और प्रमाण देंगे। विषय को समेकित करने के लिए, हम nth डिग्री के गुणों पर विचार करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

मूल गुण

हम संपत्तियों के बारे में बात करेंगे।

संपत्ति गुणा संख्या एऔर बी, जिसे समानता a · b = a · b के रूप में दर्शाया गया है। इसे गुणक के रूप में दर्शाया जा सकता है, धनात्मक या शून्य के बराबर ए 1 , ए 2 ,… , एक के a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
निजी से a: b = a: b, a 0, b > 0, इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है a b = a b;
एक संख्या की शक्ति से संपत्ति एकिसी भी संख्या के लिए एक सम घातांक a 2 m = a m के साथ ए, उदाहरण के लिए, एक संख्या a 2 = a के वर्ग से एक गुण।

किसी भी प्रस्तुत समीकरण में, आप डैश चिह्न से पहले और बाद में भागों को स्वैप कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, समानता a · b = a · b को a · b = a · b के रूप में रूपांतरित किया जाता है। जटिल समीकरणों को सरल बनाने के लिए अक्सर समानता गुणों का उपयोग किया जाता है।

प्रथम गुणों का प्रमाण परिभाषा पर आधारित है वर्गमूलऔर एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुण। तीसरी संपत्ति को प्रमाणित करने के लिए, किसी संख्या के मापांक की परिभाषा का उल्लेख करना आवश्यक है।

सबसे पहले वर्गमूल a · b = a · b के गुणों को सिद्ध करना आवश्यक है। परिभाषा के अनुसार, यह विचार करना आवश्यक है कि a b एक संख्या है, धनात्मक या शून्य के बराबर, जो इसके बराबर होगा एक बीनिर्माण के दौरान एक वर्ग में। व्यंजक a · b का मान धनात्मक या शून्य के बराबर होता है, जो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल के रूप में होता है। गुणित संख्याओं की घात का गुण हमें (a · b) 2 = a 2 · b 2 के रूप में समानता का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। वर्गमूल की परिभाषा से a 2 \u003d a और b 2 \u003d b, फिर a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b।

इसी तरह, कोई भी उत्पाद से यह साबित कर सकता है कमल्टीप्लायरों ए 1 , ए 2 ,… , एक केइन कारकों के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होगा। दरअसल, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k ।

इस समानता से यह पता चलता है कि a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ।

आइए विषय को सुदृढ़ करने के लिए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 और 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1)।

भागफल के अंकगणितीय वर्गमूल के गुण को सिद्ध करना आवश्यक है: a: b = a: b, a 0, b > 0. संपत्ति आपको समानता a: b 2 = a 2: b 2 , और a 2: b 2 = a: b लिखने की अनुमति देती है, जबकि a: b एक सकारात्मक संख्या या शून्य के बराबर है। यह अभिव्यक्ति प्रमाण होगी।

उदाहरण के लिए, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 और 30, 121 = 30, 121।

किसी संख्या के वर्ग के वर्गमूल के गुणधर्म पर विचार कीजिए। इसे 2 = a के रूप में एक समानता के रूप में लिखा जा सकता है इस संपत्ति को साबित करने के लिए, कई समानताओं पर विस्तार से विचार करना आवश्यक है एक 0और कम से ए< 0 .

जाहिर है, a 0 के लिए, समानता a 2 = a सत्य है। पर ए< 0 समता a 2 = - a सत्य होगा। दरअसल, इस मामले में - ए > 0और (- ए) 2 = ए 2। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

5 2 = 5 = 5 और - 0 36 2 = - 0 36 = 0 36।

सिद्ध संपत्ति a 2 m = a m को सही ठहराने में मदद करेगी, जहाँ ए- असली, और एम –प्राकृतिक संख्या. दरअसल, घातांक संपत्ति हमें डिग्री को बदलने की अनुमति देती है एक 2 मीअभिव्यक्ति (एम) 2, तो a 2 · m = (a m) 2 = a m।

उदाहरण 3

3 8 = 3 4 = 3 4 और (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7।

nवें मूल के गुण

सबसे पहले आपको nth डिग्री की जड़ों के मुख्य गुणों पर विचार करने की आवश्यकता है:

संख्याओं के गुणनफल से संपत्ति एऔर बी, जो धनात्मक या शून्य के बराबर हैं, को समानता a b n = a n b n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यह गुण उत्पाद के लिए मान्य है कनंबर ए 1 , ए 2 ,… , एक के a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n के रूप में;
से भिन्नात्मक संख्यासंपत्ति है a b n = a n b n , जहां ए- कोई भी वास्तविक संख्या, जो धनात्मक है या शून्य के बराबर है, और बीएक सकारात्मक वास्तविक संख्या है;
किसी के लिए एऔर सम संख्या एन = 2 एम a 2 m 2 m = a सत्य है, और विषम के लिए एन = 2 एम - 1समानता a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a पूरी होती है।
a m n = a n m से निष्कर्षण गुण, जहाँ ए- कोई भी संख्या, धनात्मक या शून्य के बराबर, एनऔर एमप्राकृतिक संख्याएं हैं, इस संपत्ति को इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है . . ए एन के एन 2 एन 1 = ए एन 1 · एन 2। . . एनके;
किसी भी गैर-ऋणात्मक a और मनमाना के लिए एनऔर एम, जो प्राकृतिक हैं, उचित समानता को भी परिभाषित किया जा सकता है a m n · m = a n ;
डिग्री संपत्ति एनएक संख्या की शक्ति से ए, जो धनात्मक है या शून्य के बराबर है, प्रकार में एम, समानता a m n = a n m द्वारा परिभाषित;
समान घातांक वाले गुणधर्मों की तुलना करें: किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए एऔर बीऐसा है कि ए< b , असमानता एक n< b n ;
तुलना संपत्ति जिसके पास है वही नंबरजड़: अगर एमऔर एन-प्राकृतिक संख्याएँ जो एम > एन, तो फिर 0 < a < 1 असमानता a m > a n मान्य है, और के लिए ए > 1पूर्वाह्न< a n .

उपरोक्त समीकरण मान्य हैं यदि बराबर चिह्न के पहले और बाद के भागों को उलट दिया जाता है। उनका उपयोग इस रूप में भी किया जा सकता है। यह अक्सर अभिव्यक्तियों के सरलीकरण या परिवर्तन के दौरान प्रयोग किया जाता है।

जड़ के उपरोक्त गुणों का प्रमाण परिभाषा, डिग्री के गुणों और किसी संख्या के मापांक की परिभाषा पर आधारित है। इन गुणों को सिद्ध किया जाना चाहिए। लेकिन सब कुछ क्रम में है।

सबसे पहले, हम उत्पाद a · b n = a n · b n से nth डिग्री के मूल के गुणों को सिद्ध करेंगे। के लिये एऔर बी, जोहैं सकारात्मक या शून्य , मान a n · b n भी धनात्मक या शून्य के बराबर है, क्योंकि यह गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणन का परिणाम है। एक प्राकृतिक बिजली उत्पाद की संपत्ति हमें समानता a n · b n n = a n n · b n n लिखने की अनुमति देती है। जड़ की परिभाषा के अनुसार एन th डिग्री a n n = a और b n n = b, इसलिए, a n · b n n = a · b। परिणामी समानता वही है जो सिद्ध करने के लिए आवश्यक थी।

यह गुण उत्पाद के लिए समान रूप से सिद्ध होता है कगुणनखंड: गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 ।

यहां मूल गुण का उपयोग करने के उदाहरण दिए गए हैं एनउत्पाद की शक्ति: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 और 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4।

आइए हम भागफल a b n = a n b n के मूल के गुण को सिद्ध करें। पर एक 0और बी > 0शर्त a n b n ≥ 0 संतुष्ट है, और a n b n n = a n n b n n = a b ।

आइए उदाहरण दिखाते हैं:

उदाहरण 4

8 27 3 = 8 3 27 3 और 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10।

अगले चरण के लिए, nवीं डिग्री के गुणों को संख्या से डिग्री तक साबित करना आवश्यक है एन. हम इसे किसी भी वास्तविक के लिए एक समानता a 2 m 2 m = a और a 2 m - 1 2 m - 1 = a के रूप में निरूपित करते हैं। एऔर प्राकृतिक एम. पर एक 0हम a = a और a 2 m = a 2 m प्राप्त करते हैं, जो समानता a 2 m 2 m = a साबित करता है, और समानता a 2 m - 1 2 m - 1 = a स्पष्ट है। पर ए< 0 हमें क्रमशः a = - a और a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m प्राप्त होता है। संख्या का अंतिम परिवर्तन डिग्री की संपत्ति के अनुसार मान्य है। यह वही है जो समानता साबित करता है a 2 m 2 m \u003d a, और a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a सत्य होगा, क्योंकि - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m को एक विषम के लिए माना जाता है डिग्री -1 किसी भी संख्या के लिए सी ,सकारात्मक या शून्य के बराबर।

प्राप्त जानकारी को समेकित करने के लिए, संपत्ति का उपयोग करके कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 और (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39।

आइए हम निम्नलिखित समानता को सिद्ध करें a m n = a n · m । ऐसा करने के लिए, आपको समान चिह्न से पहले और उसके बाद n · m = a m n स्थानों पर संख्याओं को बदलने की आवश्यकता है। यह सही प्रविष्टि का संकेत देगा। के लिये ए ,जो सकारात्मक है या शून्य के बराबर , रूप से a m n एक धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर है। आइए हम एक शक्ति को एक शक्ति और परिभाषा में बढ़ाने की संपत्ति की ओर मुड़ें। उनकी सहायता से आप समानता को a m n n · m = a m n n m = a m m = a के रूप में रूपांतरित कर सकते हैं। यह जड़ से जड़ की मानी गई संपत्ति को साबित करता है।

इसी प्रकार अन्य गुण सिद्ध होते हैं। सच में, । . . एक एन के एन 2 एन 1 एन 1 एन 2। . . एनके =। . . एक एन के एन 3 एन 2 एन 2 एन 3। . . एनके =। . . एक एनके एन 4 एन 3 एन 3 एन 4। . . एनके =। . . = ए एन के एन के = ए।

उदाहरण के लिए, 7 3 5 = 7 5 3 और 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24।

आइए हम निम्नलिखित गुण a m n · m = a n सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, यह दिखाना आवश्यक है कि n एक संख्या है जो धनात्मक या शून्य के बराबर है। जब एक घात n m तक बढ़ा दिया जाता है पूर्वाह्न. यदि संख्या एधनात्मक है या शून्य है, तो एनमें से th डिग्री एएक धनात्मक संख्या है या शून्य के बराबर है इसके अलावा, a n · m n = a n n m, जिसे सिद्ध किया जाना था।

अर्जित ज्ञान को समेकित करने के लिए, कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

आइए हम निम्नलिखित गुण को सिद्ध करें - a m n = a n m के रूप की घात के मूल का गुण। यह स्पष्ट है कि एक 0घात n m एक ऋणात्मक संख्या है। इसके अलावा, उसे एन-थ डिग्री के बराबर है पूर्वाह्न, वास्तव में, a n m n = a n m · n = a n n m = a m। यह डिग्री की मानी गई संपत्ति को साबित करता है।

उदाहरण के लिए, 2 3 5 3 = 2 3 3 5।

हमें यह साबित करना होगा कि किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए एऔर बी ए< b . असमानता पर विचार करें n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ए< b . इसलिए, एक n< b n при ए< b .

उदाहरण के लिए, हम 12 4 . देते हैं< 15 2 3 4 .

मूल संपत्ति पर विचार करें एन-वीं डिग्री। सबसे पहले, असमानता के पहले भाग पर विचार करें। पर एम > एनऔर 0 < a < 1 सच एक एम> एक एन। मान लीजिए a m a n । गुण व्यंजक को a n m · n a m m · n तक सरल बना देंगे। फिर, एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों के अनुसार, असमानता a n m n m n a m m n m n संतुष्ट है, अर्थात्, एक एन एक एम. पर प्राप्त मूल्य एम > एनऔर 0 < a < 1 उपरोक्त गुणों से मेल नहीं खाता।

उसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि एम > एनऔर ए > 1शर्त एक एम< a n .

उपरोक्त गुणों को ठीक करने के लिए, कुछ पर विचार करें ठोस उदाहरण. विशिष्ट संख्याओं का उपयोग करके असमानताओं पर विचार करें।

उदाहरण 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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विषय पर पाठ और प्रस्तुति:
"वर्गमूल के गुण। सूत्र। समाधान के उदाहरण, उत्तर के साथ कार्य"

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वर्गमूल गुण

हम वर्गमूल का अध्ययन जारी रखते हैं। आज हम जड़ों के मुख्य गुणों पर विचार करेंगे। सभी मुख्य गुण सहज ज्ञान युक्त हैं और उन सभी कार्यों के अनुरूप हैं जो हमने पहले किए हैं।

संपत्ति 1. दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल इन संख्याओं के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$।

यह किसी भी गुण को साबित करने के लिए प्रथागत है, चलो करते हैं।
चलो $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$। तब हमें यह सिद्ध करना होगा कि $x=y*z$.
आइए प्रत्येक व्यंजक को वर्गाकार करें।
अगर $\sqrt(a*b)=x$ तो $a*b=x^2$।
यदि $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, तो दोनों भावों का वर्ग करने पर, हमें मिलता है: $a=y^2$, $b=z^2$।
$a*b=x^2=y^2*z^2$, यानी $x^2=(y*z)^2$। यदि दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग समान हैं, तो संख्याएँ स्वयं समान हैं, जिसे सिद्ध करना था।

यह हमारी संपत्ति से इस प्रकार है कि, उदाहरण के लिए, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$।

टिप्पणी 1. संपत्ति उस मामले के लिए भी मान्य है जब मूल के तहत दो से अधिक गैर-नकारात्मक कारक हैं।
संपत्ति 2. अगर $a≥0$ और $b>0$, तो निम्नलिखित समानता रखती है: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

अर्थात् भागफल का मूल भागफल के बराबर होता है।
प्रमाण।
आइए तालिका का उपयोग करें और संक्षेप में अपनी संपत्ति साबित करें।

वर्गमूल गुणों का उपयोग करने के उदाहरण

उदाहरण 1
गणना करें: $\sqrt(81*25*121)$।

समाधान।
बेशक, हम एक कैलकुलेटर ले सकते हैं, रूट के नीचे सभी नंबरों को गुणा कर सकते हैं और वर्गमूल निकालने का ऑपरेशन कर सकते हैं। और अगर हाथ में कोई कैलकुलेटर नहीं है, तो क्या?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
उत्तर: 495।

उदाहरण 2. गणना करें: $\sqrt(11\frac(14)(25))$।

समाधान।
हम मूलांक को एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
आइए संपत्ति 2 का उपयोग करें।
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3.4$.
उत्तर : 3.4.

उदाहरण 3
गणना करें: $\sqrt(40^2-24^2)$।

समाधान।
हम अपनी अभिव्यक्ति का सीधे मूल्यांकन कर सकते हैं, लेकिन इसे लगभग हमेशा सरल बनाया जा सकता है। आइए ऐसा करने की कोशिश करते हैं।
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
तो $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$।
उत्तर: 32.

दोस्तों, कृपया ध्यान दें कि रेडिकल एक्सप्रेशन के जोड़ और घटाव के संचालन के लिए कोई सूत्र नहीं हैं और नीचे दिए गए व्यंजक सही नहीं हैं।
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$।
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$।

उदाहरण 4
गणना करें: ए) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; बी) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$।
समाधान।
ऊपर प्रस्तुत गुण बाएँ से दाएँ और in . दोनों में काम करते हैं उल्टे क्रम, अर्थात:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
आइए इसका उपयोग हमारे उदाहरण को हल करने के लिए करें।
ए) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

बी) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

उत्तर: ए) 16; बी) 2.

संपत्ति 3. अगर $a≥0$ और n एक प्राकृतिक संख्या है, तो निम्नलिखित समानता रखती है: $\sqrt(a^(2n))=a^n$।

उदाहरण के लिए। $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ इत्यादि।

उदाहरण 5
गणना करें: $\sqrt(129600)$।

समाधान।
हमारे सामने प्रस्तुत संख्या काफी बड़ी है, आइए इसे अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।
हमें मिला: $129600=5^2*2^6*3^4$ या $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$।
उत्तर: 360.

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. गणना करें: $\sqrt(144*36*64)$।
2. गणना करें: $\sqrt(8\frac(1)(36))$।
3. गणना करें: $\sqrt(52^2-48^2)$।
4. गणना करें:
ए) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
बी) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$।

गणित का जन्म तब हुआ जब एक व्यक्ति अपने बारे में जागरूक हो गया और खुद को दुनिया की एक स्वायत्त इकाई के रूप में स्थापित करने लगा। आपके आस-पास की चीज़ों को मापने, तुलना करने, गणना करने की इच्छा - यह हमारे दिनों के मूलभूत विज्ञानों में से एक है। सबसे पहले, ये प्राथमिक गणित के कण थे, जिससे संख्याओं को उनके भौतिक भावों से जोड़ना संभव हो गया, बाद में निष्कर्ष केवल सैद्धांतिक रूप से (उनकी अमूर्तता के कारण) प्रस्तुत किए जाने लगे, लेकिन थोड़ी देर बाद, जैसा कि एक वैज्ञानिक ने कहा, " गणित जटिलता की सीमा तक पहुँच गया जब सभी संख्याएँ।" "वर्गमूल" की अवधारणा ऐसे समय में सामने आई जब इसे गणना के विमान से परे अनुभवजन्य डेटा द्वारा आसानी से समर्थित किया जा सकता था।

यह सब कब प्रारंभ हुआ

जड़ का पहला उल्लेख, जिस पर इस पलके रूप में निरूपित, बेबीलोन के गणितज्ञों के लेखन में दर्ज किया गया था, जिन्होंने आधुनिक अंकगणित की नींव रखी थी। बेशक, वे वर्तमान रूप की तरह थोड़े दिखते थे - उन वर्षों के वैज्ञानिकों ने पहले भारी गोलियों का इस्तेमाल किया था। लेकिन दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में। इ। वे एक अनुमानित गणना सूत्र के साथ आए, जिसमें दिखाया गया था कि वर्गमूल कैसे लिया जाता है। नीचे दी गई तस्वीर में एक पत्थर दिखाया गया है जिस पर बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने आउटपुट प्रक्रिया √2 को उकेरा है, और यह इतना सही निकला कि उत्तर में विसंगति केवल दसवें दशमलव स्थान पर पाई गई।

इसके अलावा, यदि त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना आवश्यक हो तो मूल का उपयोग किया जाता था, बशर्ते कि अन्य दो ज्ञात हों। खैर, द्विघात समीकरणों को हल करते समय, मूल निकालने से कोई बच नहीं सकता है।

बेबीलोनियन कार्यों के साथ, लेख की वस्तु का अध्ययन चीनी काम "मैथमैटिक्स इन नाइन बुक्स" में भी किया गया था, और प्राचीन यूनानियों ने इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि कोई भी संख्या जिसमें से शेष के बिना रूट नहीं निकाला जाता है, एक तर्कहीन परिणाम देता है .

इस शब्द की उत्पत्ति संख्या के अरबी प्रतिनिधित्व से जुड़ी है: प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना था कि एक मनमाना संख्या का वर्ग एक पौधे की तरह जड़ से बढ़ता है। लैटिन में, यह शब्द मूलांक की तरह लगता है (कोई एक पैटर्न का पता लगा सकता है - हर चीज जिसमें "रूट" सिमेंटिक लोड होता है, वह व्यंजन है, चाहे वह मूली हो या कटिस्नायुशूल)।

बाद की पीढ़ियों के वैज्ञानिकों ने इस विचार को आरएक्स के रूप में नामित किया। उदाहरण के लिए, 15वीं शताब्दी में, यह इंगित करने के लिए कि वर्गमूल एक मनमाना संख्या a से लिया गया है, उन्होंने R 2 a लिखा। अभ्यस्त आधुनिक रूप"टिक" केवल 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस के लिए धन्यवाद दिखाई दिया।

हमारे दिन

गणितीय रूप से, y का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग y है। दूसरे शब्दों में, z 2 =y y=z के बराबर है। हालाँकि, यह परिभाषा केवल के लिए प्रासंगिक है अंकगणितीय जड़, क्योंकि यह व्यंजक का एक गैर-ऋणात्मक मान दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, y=z, जहाँ z, 0 से बड़ा या उसके बराबर है।

सामान्य तौर पर, जो बीजीय मूल के निर्धारण के लिए मान्य है, व्यंजक का मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। इस प्रकार, इस तथ्य के कारण कि z 2 =y और (-z) 2 =y, हमारे पास है: √y=±z या √y=|z|।

इस तथ्य के कारण कि विज्ञान के विकास के साथ ही गणित के प्रति प्रेम बढ़ा है, इसके प्रति लगाव की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं, शुष्क गणनाओं में व्यक्त नहीं की गई हैं। उदाहरण के लिए, पाई के दिन जैसी दिलचस्प घटनाओं के साथ, वर्गमूल की छुट्टियां भी मनाई जाती हैं। वे सौ वर्षों में नौ बार मनाए जाते हैं, और निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं: संख्याएं जो क्रम में दिन और महीने को दर्शाती हैं, उन्हें वर्ष का वर्गमूल होना चाहिए। हां अंदर अगली बारयह अवकाश 4 अप्रैल 2016 को मनाया जाएगा।

मैदान पर वर्गमूल के गुण R

लगभग सभी गणितीय व्यंजकों का एक ज्यामितीय आधार होता है, यह नियति समाप्त नहीं हुई और y, जिसे क्षेत्र y के साथ एक वर्ग की भुजा के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें?

कई गणना एल्गोरिदम हैं। सबसे सरल, लेकिन एक ही समय में काफी बोझिल, सामान्य अंकगणितीय गणना है, जो इस प्रकार है:

1) जिस संख्या के मूल की हमें आवश्यकता है, उसमें से विषम संख्याओं को बारी-बारी से घटाया जाता है - जब तक कि शेष निर्गत घटाए गए एक या सम संख्या से कम न हो जाए। शून्य. चालों की संख्या अंततः वांछित संख्या बन जाएगी। उदाहरण के लिए, 25 के वर्गमूल की गणना:

अगले विषम संख्या 11 है, हमारे पास निम्नलिखित शेषफल है: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ऐसे मामलों के लिए, टेलर श्रृंखला का विस्तार होता है:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , जहां n 0 से मान लेता है

+∞, और |y|≤1.

फ़ंक्शन z=√y . का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वास्तविक संख्या R के क्षेत्र में एक प्राथमिक फलन z=√y पर विचार करें, जहाँ y शून्य से बड़ा या उसके बराबर है। उसका चार्ट इस तरह दिखता है:

वक्र मूल बिंदु से बढ़ता है और अनिवार्य रूप से बिंदु (1; 1) को पार करता है।

वास्तविक संख्या R . के क्षेत्र में फलन z=√y के गुणधर्म

1. माना फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य शामिल है)।

2. माना फ़ंक्शन के मानों की सीमा शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य फिर से शामिल है)।

3. फलन केवल बिंदु (0; 0) पर न्यूनतम मान (0) लेता है। कोई अधिकतम मूल्य नहीं है।

4. फलन z=√y न तो सम है और न ही विषम।

5. फलन z=√y आवर्त नहीं है।

6. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु है: (0; 0)।

7. फलन z=√y के ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु भी इस फलन का शून्य होता है।

8. फलन z=√y लगातार बढ़ रहा है।

9. फलन z=√y केवल धनात्मक मान लेता है, इसलिए इसका ग्राफ पहले निर्देशांक कोण पर कब्जा करता है।

फ़ंक्शन z=√y . प्रदर्शित करने के विकल्प

गणित में, जटिल भावों की गणना की सुविधा के लिए, कभी-कभी वे वर्गमूल लिखने के घातीय रूप का उपयोग करते हैं: y=y 1/2। यह विकल्प सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को घात तक बढ़ाने में: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 । यह विधि एकीकरण के साथ विभेदीकरण के लिए भी एक अच्छा प्रतिनिधित्व है, क्योंकि इसके लिए धन्यवाद वर्गमूल को एक साधारण शक्ति फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है।

और प्रोग्रामिंग में, प्रतीक √ का प्रतिस्थापन sqrt अक्षरों का संयोजन है।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस क्षेत्र में वर्गमूल बहुत मांग में है, क्योंकि यह गणना के लिए आवश्यक अधिकांश ज्यामितीय सूत्रों का हिस्सा है। गिनती एल्गोरिथ्म अपने आप में काफी जटिल है और यह रिकर्सन (एक फ़ंक्शन जो स्वयं को कॉल करता है) पर आधारित है।

जटिल क्षेत्र में वर्गमूल C

मोटे तौर पर, यह इस लेख का विषय था जिसने जटिल संख्या सी के क्षेत्र की खोज को प्रेरित किया, क्योंकि गणितज्ञ एक ऋणात्मक संख्या से एक समान डिग्री रूट प्राप्त करने के सवाल से प्रेतवाधित थे। इस प्रकार मैं काल्पनिक इकाई दिखाई दी, जो एक बहुत ही रोचक संपत्ति की विशेषता है: इसका वर्ग -1 है। इसके लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को भी एक नकारात्मक विवेचक के साथ हल किया गया था। सी में, वर्गमूल के लिए, वही गुण प्रासंगिक हैं जैसे आर में, केवल एक चीज यह है कि मूल अभिव्यक्ति पर प्रतिबंध हटा दिए जाते हैं।

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तथ्य 1.
$\bullet$ कुछ गैर-ऋणात्मक संख्या लें $a$ (यानी $a\geqslant 0$ )। तब (अंकगणित) वर्गमूलसंख्या $a$ से ऐसी गैर-ऋणात्मक संख्या $b$ कहलाती है, इसका वर्ग करने पर हमें संख्या $a$ प्राप्त होती है: \[\sqrt a=b\quad \text(उसी तरह )\quad a=b^2\]यह परिभाषा से इस प्रकार है कि $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. ये प्रतिबंध एक वर्गमूल के अस्तित्व के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त है और इसे याद रखना चाहिए!
याद रखें कि कोई भी संख्या जब चुकता है तो एक गैर-ऋणात्मक परिणाम देता है। यानी, $100^2=10000\geqslant 0$ और $(-100)^2=10000\geqslant 0$ ।
$\bullet$ $\sqrt(25)$ क्या है? हम जानते हैं कि $5^2=25$ और $(-5)^2=25$ । चूँकि परिभाषा के अनुसार हमें एक गैर-ऋणात्मक संख्या ज्ञात करनी है, $-5$ उपयुक्त नहीं है, इसलिए $\sqrt(25)=5$ (चूंकि $25=5^2$ )।
$\sqrt a$ का मान ज्ञात करना $a$ का वर्गमूल लेना कहलाता है, और संख्या $a$ को मूल व्यंजक कहा जाता है।
$\bullet$ परिभाषा के आधार पर, भाव $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ , आदि। कोई मतलब नहीं।

तथ्य 2.
त्वरित गणना के लिए, $1$ से $20$ तक प्राकृत संख्याओं के वर्गों की तालिका सीखना उपयोगी होगा: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 और \quad14^2=196\\ 5^2=25 और \quad15^2=225\\ 6^2=36 और \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 और \quad17^2=289\\ 8^2=64 और \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(सरणी)\]

तथ्य 3.
वर्गमूलों से क्या किया जा सकता है?
$\गोली$ वर्गमूल का योग या अंतर योग या अंतर के वर्गमूल के बराबर नहीं होता है, अर्थात। \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]इस प्रकार, यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , तो शुरू में आपको $\sqrt(25)$ और $\sqrt मान खोजने होंगे (49)\ ) और फिर उन्हें जोड़ दें। फलस्वरूप, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] यदि \(\sqrt a$ या $\sqrt b$ को $\sqrt a+\sqrt b$ जोड़ते समय मान नहीं मिल सकते हैं, तो ऐसी अभिव्यक्ति आगे परिवर्तित नहीं होती है और जैसी है वैसी ही रहती है। उदाहरण के लिए, योग $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ में हम $\sqrt(49)$ पा सकते हैं - यह $7$ है, लेकिन $\sqrt 2$ नहीं हो सकता किसी भी तरह से परिवर्तित, इसलिए $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. इसके अलावा, दुर्भाग्य से, इस अभिव्यक्ति को किसी भी तरह से सरल नहीं बनाया जा सकता है।$\bullet$ वर्गमूल का गुणनफल/भागफल गुणनफल/भागफल के वर्गमूल के बराबर होता है, अर्थात। \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (बशर्ते कि समानता के दोनों भाग अर्थपूर्ण हों)
उदाहरण: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ इन गुणों का उपयोग करते हुए, बड़ी संख्याओं के वर्गमूलों को गुणन करके निकालना सुविधाजनक होता है।
एक उदाहरण पर विचार करें। $\sqrt(44100)$ खोजें। चूंकि $44100:100=441$ , तो $44100=100\cdot 441$ । विभाज्यता की कसौटी के अनुसार, संख्या $441$ $9$ से विभाज्य है (क्योंकि इसके अंकों का योग 9 है और 9 से विभाज्य है), इसलिए, $441:9=49$ , वह है, $441=9\ cdot 49$ ।
इस प्रकार, हमें मिला: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]आइए एक और उदाहरण देखें: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ आइए दिखाते हैं कि व्यंजक $5\sqrt2$ (अभिव्यक्ति $5\cdot \sqrt2$ के लिए संक्षिप्त) के उदाहरण का उपयोग करके वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत संख्याएं कैसे दर्ज करें। चूँकि $5=\sqrt(25)$ , तब \ यह भी ध्यान दें कि, उदाहरण के लिए,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ ।

ऐसा क्यों है? आइए उदाहरण 1 के साथ समझाएं)। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, हम किसी तरह $\sqrt2$ संख्या को रूपांतरित नहीं कर सकते। कल्पना कीजिए कि $\sqrt2$ कुछ संख्या $a$ है। तदनुसार, व्यंजक $\sqrt2+3\sqrt2$ और कुछ नहीं बल्कि $a+3a$ (एक संख्या $a$ और समान संख्याओं के तीन और अधिक हैं $a$ )। और हम जानते हैं कि यह चार ऐसी संख्याओं $a$ के बराबर है, यानी $4\sqrt2$ ।

तथ्य 4.
$\bullet$ अक्सर कहा जाता है कि "जड़ नहीं निकाल सकता" जब किसी संख्या का मान ज्ञात करते समय रूट (कट्टरपंथी) के चिह्न $\sqrt () \ $ से छुटकारा पाना संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आप संख्या को रूट कर सकते हैं $16$ क्योंकि $16=4^2$ , इसलिए $\sqrt(16)=4$ । लेकिन संख्या $3$ से रूट निकालना, यानी $\sqrt3$ खोजना असंभव है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो चुकता $3$ देगी।
ऐसी संख्याएँ (या ऐसी संख्याओं वाले व्यंजक) अपरिमेय हैं। उदाहरण के लिए, संख्या $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$आदि। तर्कहीन हैं।
साथ ही अपरिमेय संख्याएँ $\pi$ (संख्या "pi", लगभग $3,14$ के बराबर), $e$ (इस संख्या को यूलर संख्या कहा जाता है, लगभग $2 के बराबर) ,7$) आदि।
$\bullet$ कृपया ध्यान दें कि कोई भी संख्या या तो परिमेय होगी या अपरिमेय। और सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ मिलकर एक समुच्चय बनाती हैं जिसे कहा जाता है वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का समूह।इस सेट को $\mathbb(R)$ अक्षर से दर्शाया जाता है।
इसका मतलब है कि वे सभी संख्याएँ जिन्हें हम वर्तमान में जानते हैं, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

तथ्य 5.
$\bullet$ एक वास्तविक संख्या का मापांक $a$ एक गैर-ऋणात्मक संख्या है $|a|$ वास्तविक पर बिंदु $a$ से $0$ की दूरी के बराबर रेखा। उदाहरण के लिए, $|3|$ और $|-3|$ 3 के बराबर हैं, क्योंकि $3$ और $-3$ से $0$ तक की दूरी हैं समान और बराबर $3 $ ।
$\bullet$ अगर $a$ एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो $|a|=a$ ।
उदाहरण: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ । $\bullet$ यदि $a$ एक ऋणात्मक संख्या है, तो $|a|=-a$ ।
उदाहरण: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
वे कहते हैं कि नकारात्मक संख्याओं के लिए, मॉड्यूल माइनस को "खाता है", और सकारात्मक संख्या, साथ ही संख्या $0$ , मॉड्यूल अपरिवर्तित रहता है।
लेकिनयह नियम केवल संख्याओं पर लागू होता है। यदि आपके पास मॉड्यूल चिह्न के नीचे एक अज्ञात $x$ (या कोई अन्य अज्ञात) है, उदाहरण के लिए, $|x|$ , जिसके बारे में हम नहीं जानते कि यह सकारात्मक है, शून्य के बराबर है या नकारात्मक है, तो उस मॉड्यूल से छुटकारा पाएं जो हम नहीं कर सकते। इस स्थिति में, यह व्यंजक इस प्रकार बना रहता है: $|x|$ । $\bullet$ निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं: \[(\बड़ा(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\बड़ा((\sqrt(a))^2=a)), \text(प्रदान किया गया) a\geqslant 0\]निम्नलिखित गलती अक्सर की जाती है: वे कहते हैं कि $\sqrt(a^2)$ और $(\sqrt a)^2$ एक ही चीज हैं। यह तभी सत्य है जब $a$ एक धनात्मक संख्या या शून्य हो। लेकिन अगर $a$ एक ऋणात्मक संख्या है, तो यह सत्य नहीं है। इस तरह के एक उदाहरण पर विचार करना पर्याप्त है। आइए $a$ के स्थान पर $-1$ नंबर लें। तब $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , लेकिन व्यंजक $(\sqrt (-1))^2$ बिल्कुल मौजूद नहीं है (क्योंकि यह है मूल चिह्न के तहत असंभव नकारात्मक संख्याएं डालें!)
इसलिए, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि $\sqrt(a^2)$ बराबर नहीं है $(\sqrt a)^2$ !उदाहरण 1) $\sqrt(\बाएं(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, इसलिये $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ । $\bullet$ चूंकि $\sqrt(a^2)=|a|$ , तो \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (व्यंजक $2n$ एक सम संख्या को दर्शाता है)
यानी किसी संख्या से जो कुछ अंश में हो, जड़ निकालने पर यह अंश आधा हो जाता है।
उदाहरण:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (ध्यान दें कि यदि मॉड्यूल सेट नहीं है, तो यह पता चलता है कि संख्या का मूल $-25) के बराबर है $ ; लेकिन हमें याद है, जो, रूट की परिभाषा के अनुसार, यह नहीं हो सकता है: रूट निकालते समय, हमें हमेशा एक सकारात्मक संख्या या शून्य प्राप्त करना चाहिए)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (चूंकि सम घात के लिए कोई भी संख्या ऋणात्मक नहीं है)

तथ्य 6.
दो वर्गमूलों की तुलना कैसे करें?
$\bullet$ वर्गमूलों के लिए सही: यदि $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aउदाहरण:
1) \(\sqrt(50)$ और $6\sqrt2$ की तुलना करें। सबसे पहले, हम दूसरी अभिव्यक्ति को . में बदलते हैं $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. इस प्रकार, चूंकि $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) किस पूर्णांक के बीच $\sqrt(50)$ है?
चूंकि $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ , और $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) $\sqrt 2-1$ और $0,5$ की तुलना करें। मान लीजिए $\sqrt2-1>0.5$ : \[\शुरू (गठबंधन) और\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((दोनों पक्षों में एक जोड़ें))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((दोनों भागों को चौकोर करें))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]हम देखते हैं कि हमने एक गलत असमानता प्राप्त की है। इसलिए, हमारी धारणा गलत थी और $\sqrt 2-1<0,5$ .
ध्यान दें कि असमानता के दोनों पक्षों में एक निश्चित संख्या जोड़ने से इसका चिन्ह प्रभावित नहीं होता है। असमानता के दोनों भागों को धनात्मक संख्या से गुणा/भाग करने से भी उसके चिन्ह पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, लेकिन ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करने से असमानता का चिन्ह उलट जाता है!
एक समीकरण/असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग तभी किया जा सकता है जब दोनों पक्ष ऋणात्मक न हों। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण से असमानता में, आप असमानता में दोनों पक्षों को वर्ग कर सकते हैं $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\बुलेट$ ध्यान दें कि \[\शुरू (गठबंधन) और\sqrt 2\लगभग 1,4\\ &\sqrt 3\लगभग 1,7 \end(गठबंधन)\]इन संख्याओं का अनुमानित अर्थ जानने से आपको संख्याओं की तुलना करने में मदद मिलेगी! $\bullet$ किसी बड़ी संख्या से जड़ निकालने के लिए (यदि इसे निकाला जाता है) जो वर्गों की तालिका में नहीं है, तो आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि यह किस "सैकड़ों" के बीच है, फिर किस "दसियों" के बीच है, और फिर इस संख्या का अंतिम अंक ज्ञात करें। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे काम करता है।
$\sqrt(28224)$ लें। हम जानते हैं कि $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ इत्यादि। ध्यान दें कि $28224$ $10\,000$ और $40\,000$ के बीच है। इसलिए, $\sqrt(28224)$ $100$ और $200$ के बीच है।
अब आइए निर्धारित करें कि हमारी संख्या किस "दहाई" के बीच है (अर्थात, उदाहरण के लिए, $120$ और $130$ के बीच)। हम वर्गों की तालिका से यह भी जानते हैं कि $11^2=121$ , $12^2=144$ आदि, फिर $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ) . तो हम देखते हैं कि \(28224$ $160^2$ और $170^2$ के बीच है। इसलिए, संख्या $\sqrt(28224)$ $160$ और $170$ के बीच है।
आइए अंतिम अंक निर्धारित करने का प्रयास करें। आइए याद करें कि \ (4 \) के अंत में वर्ग करने पर कौन-सी एकल-अंकीय संख्याएँ प्राप्त होती हैं? ये हैं $2^2$ और $8^2$ । इसलिए, $\sqrt(28224)$ 2 या 8 में समाप्त होगा। आइए इसे जांचें। खोजें $162^2$ तथा $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ ।
अत: $\sqrt(28224)=168$ । वोइला!

गणित में परीक्षा को पर्याप्त रूप से हल करने के लिए, सबसे पहले, सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना आवश्यक है, जो कई प्रमेयों, सूत्रों, एल्गोरिदम आदि का परिचय देता है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि यह काफी सरल है। हालांकि, किसी भी स्तर के प्रशिक्षण वाले छात्रों के लिए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के सिद्धांत को आसानी से और समझने के लिए एक स्रोत खोजना वास्तव में एक कठिन काम है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकें हमेशा हाथ में नहीं रखी जा सकतीं। और गणित में परीक्षा के लिए बुनियादी सूत्र खोजना इंटरनेट पर भी मुश्किल हो सकता है।

केवल परीक्षा देने वालों के लिए ही नहीं, गणित में सिद्धांत का अध्ययन करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

क्योंकि यह आपके क्षितिज को विस्तृत करता है. गणित में सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन उन सभी के लिए उपयोगी है जो दुनिया के ज्ञान से संबंधित व्यापक प्रश्नों के उत्तर प्राप्त करना चाहते हैं। प्रकृति में सब कुछ व्यवस्थित है और इसका एक स्पष्ट तर्क है। यह ठीक वही है जो विज्ञान में परिलक्षित होता है, जिसके माध्यम से दुनिया को समझना संभव है।
क्योंकि इससे बुद्धि का विकास होता है. गणित में परीक्षा के लिए संदर्भ सामग्री का अध्ययन करने के साथ-साथ विभिन्न समस्याओं को हल करने से व्यक्ति तार्किक रूप से सोचना और तर्क करना सीखता है, विचारों को सही और स्पष्ट रूप से तैयार करता है। वह विश्लेषण, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करता है।

हम आपको शैक्षिक सामग्री के व्यवस्थितकरण और प्रस्तुति के लिए हमारे दृष्टिकोण के सभी लाभों का व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करने के लिए आमंत्रित करते हैं।