Posez différentes racines. Règles de soustraction des racines

La racine carrée d'un nombre X appelé un numéro UN, qui en train de se multiplier par lui-même ( Un*Un) peut donner un nombre X.
Ceux. UNE * UNE = UNE 2 = X, et √X = UNE.

Sur les racines carrées ( √x), comme pour les autres nombres, vous pouvez effectuer des opérations arithmétiques telles que la soustraction et l'addition. Pour soustraire et ajouter des racines, il faut les relier à l'aide de signes correspondant à ces actions (par exemple √x- √y ).
Et puis apportez-leur les racines forme la plus simple- s'il y en a des semblables entre eux, il faut faire un casting. Cela consiste en ce que les coefficients de termes similaires avec les signes des termes correspondants sont pris, puis ils sont mis entre parenthèses, et la racine commune est affichée en dehors des parenthèses multiplicatrices. Le coefficient que nous avons obtenu est simplifié selon les règles habituelles.

Étape 1. Extraction des racines carrées

Tout d'abord, pour ajouter des racines carrées, vous devez d'abord extraire ces racines. Cela peut être fait si les nombres sous le signe racine sont des carrés parfaits. Par exemple, prenons l'expression donnée √4 + √9 . Premier numéro 4 est le carré du nombre 2 . Deuxième numéro 9 est le carré du nombre 3 . Ainsi, l'égalité suivante peut être obtenue : √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Tout, l'exemple est résolu. Mais cela ne se passe pas toujours ainsi.

Étape 2. Retirer le multiplicateur d'un nombre sous la racine

S'il n'y a pas de carrés pleins sous le signe racine, vous pouvez essayer de retirer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Prenons par exemple l'expression √24 + √54 .

Factorisons les nombres :
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Dans la liste 24 nous avons un multiplicateur 4 , il peut être retiré sous le signe de la racine carrée. Dans la liste 54 nous avons un multiplicateur 9 .

On obtient l'égalité :
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

En considérant cet exemple, nous obtenons la suppression du facteur sous le signe racine, simplifiant ainsi l'expression donnée.

Étape 3. Réduire le dénominateur

Considérez la situation suivante : la somme de deux racines carrées est le dénominateur d'une fraction, par exemple, A / (√a + √b).
Nous sommes maintenant confrontés à la tâche de "se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur".
Utilisons la méthode suivante : multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √a - √b.

Nous obtenons maintenant la formule de multiplication abrégée au dénominateur :
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

De même, si le dénominateur contient la différence des racines : √a - √b, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par l'expression √a + √b.

Prenons une fraction comme exemple :
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Un exemple de réduction de dénominateur complexe

Considérons maintenant assez exemple complexe se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur.

Prenons une fraction comme exemple : 12 / (√2 + √3 + √5) .
Vous devez prendre son numérateur et son dénominateur et multiplier par l'expression √2 + √3 - √5 .

On a:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Étape 4. Calculez la valeur approximative sur la calculatrice

Si vous n'avez besoin que d'une valeur approximative, cela peut être fait sur une calculatrice en calculant la valeur des racines carrées. Séparément, pour chaque nombre, la valeur est calculée et enregistrée avec la précision requise, qui est déterminée par le nombre de décimales. De plus, toutes les opérations requises sont effectuées, comme avec les nombres ordinaires.

Exemple de calcul estimé

Il faut calculer la valeur approchée de cette expression √7 + √5 .

En conséquence, nous obtenons :

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Attention : il ne faut en aucun cas ajouter des racines carrées comme nombres premiers, c'est totalement inacceptable. C'est-à-dire que si l'on ajoute Racine carrée sur cinq et sur trois, nous ne pouvons pas obtenir la racine carrée de huit.

Conseil utile: si vous décidez de factoriser un nombre, afin de dériver un carré sous le signe racine, vous devez effectuer une vérification inverse, c'est-à-dire multiplier tous les facteurs résultant des calculs et le résultat final de ce le calcul mathématique devrait être le nombre qui nous a été donné à l'origine.

En mathématiques, les racines peuvent être carrées, cubiques ou avoir tout autre exposant (puissance), qui est écrit à gauche au-dessus du signe racine. L'expression sous le signe racine est appelée l'expression racine. L'addition de racine est similaire à l'addition de terme. expression algébrique, c'est-à-dire qu'il nécessite la définition de racines similaires.

Pas

Partie 1 sur 2 : Trouver des racines

Désignation racine. Une expression sous le signe racine () signifie qu'il faut extraire une racine d'un certain degré de cette expression.

La racine est désignée par un signe.
L'indice (degré) de la racine est écrit à gauche au-dessus du signe racine. Par exemple, la racine cubique de 27 s'écrit : (27)
Si l'exposant (degré) de la racine est absent, alors l'exposant est considéré comme égal à 2, c'est-à-dire qu'il s'agit de la racine carrée (ou de la racine du second degré).
Le nombre écrit avant le signe racine s'appelle un multiplicateur (c'est-à-dire que ce nombre est multiplié par la racine), par exemple 5 (2)
S'il n'y a pas de facteur devant la racine, alors il est égal à 1 (rappelez-vous que tout nombre multiplié par 1 est égal à lui-même).
Si vous travaillez avec des racines pour la première fois, prenez des notes appropriées sur le multiplicateur et l'exposant de la racine afin de ne pas vous tromper et de mieux comprendre leur objectif.

Rappelez-vous quelles racines peuvent être pliées et lesquelles ne le peuvent pas. Tout comme vous ne pouvez pas ajouter différents termes d'une expression, tels que 2a + 2b 4ab, vous ne pouvez pas ajouter différentes racines.

Vous ne pouvez pas ajouter des racines avec différentes expressions de racine, par exemple, (2) + (3) (5). Mais vous pouvez ajouter des nombres sous la même racine, par exemple, (2 + 3) = (5) (la racine carrée de 2 est d'environ 1,414, la racine carrée de 3 est d'environ 1,732 et la racine carrée de 5 est d'environ 2,236 ).

Vous ne pouvez pas ajouter des racines avec les mêmes expressions de racine, mais des exposants différents, par exemple, (64) + (64) (cette somme n'est pas égale à (64), puisque la racine carrée de 64 est 8, la racine cubique de 64 est 4, 8 + 4 = 12, ce qui est beaucoup plus grand que la cinquième racine de 64, qui est d'environ 2,297).

Partie 2 sur 2 : Simplifier et ajouter des racines

Identifiez et regroupez les racines similaires. Les racines similaires sont des racines qui ont les mêmes exposants et les mêmes expressions de racine. Par exemple, considérons l'expression :
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Tout d'abord, réécrivez l'expression de sorte que les racines avec le même exposant soient en série.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Ensuite, réécrivez l'expression de sorte que les racines avec le même exposant et la même expression de racine soient en série.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Simplifiez vos racines. Pour ce faire, décomposez (si possible) les expressions radicales en deux facteurs, dont l'un est extrait de sous la racine. Dans ce cas, le nombre rendu et le facteur racine sont multipliés.

Dans l'exemple ci-dessus, divisez 50 en 2*25 et le nombre 32 en 2*16. De 25 et 16, vous pouvez extraire les racines carrées (respectivement 5 et 4) et retirer 5 et 4 sous la racine, en les multipliant respectivement par les facteurs 2 et 1. Ainsi, vous obtenez une expression simplifiée : 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Le nombre 81 peut être factorisé en 3 * 27, et la racine cubique de 3 peut être extraite du nombre 27. Ce nombre 3 peut être extrait de sous la racine. Ainsi, vous obtenez une expression encore plus simplifiée : 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Additionnez les facteurs de racines similaires. Dans notre exemple, il existe des racines carrées similaires de 2 (elles peuvent être additionnées) et des racines carrées similaires de 3 (elles peuvent également être additionnées). À racine cubique sur 3 il n'y a pas de telles racines.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Expression finale simplifiée : 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Il n'y a pas de règles généralement acceptées pour l'ordre dans lequel les racines sont écrites dans une expression. Par conséquent, vous pouvez écrire les racines dans l'ordre croissant de leurs exposants et dans l'ordre croissant des expressions radicales.

Attention, seulement AUJOURD'HUI !

Tout intéressant

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Et puis amenez les racines à leur forme la plus simple - s'il y en a des similaires entre elles, vous devez faire un plâtre. Cela consiste en ce que les coefficients de termes similaires avec les signes des termes correspondants sont pris, puis ils sont mis entre parenthèses, et la racine commune est affichée en dehors des parenthèses multiplicatrices. Le coefficient que nous avons obtenu est simplifié selon les règles habituelles.

Étape 1. Extraction des racines carrées

Étape 2. Retirer le multiplicateur d'un nombre sous la racine

S'il n'y a pas de carrés pleins sous le signe racine, vous pouvez essayer de retirer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Prenons par exemple l'expression √24 + √54 .

Factorisons les nombres :
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Dans la liste 24 nous avons un multiplicateur 4 , il peut être retiré sous le signe de la racine carrée. Dans la liste 54 nous avons un multiplicateur 9 .

On obtient l'égalité :
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

En considérant cet exemple, nous obtenons la suppression du facteur sous le signe racine, simplifiant ainsi l'expression donnée.

Étape 3. Réduire le dénominateur

Nous obtenons maintenant la formule de multiplication abrégée au dénominateur :
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

De même, si le dénominateur contient la différence des racines : √a - √b, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par l'expression √a + √b.

Prenons une fraction comme exemple :
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Un exemple de réduction de dénominateur complexe

Nous allons maintenant considérer un exemple assez compliqué de suppression de l'irrationalité dans le dénominateur.

Prenons une fraction comme exemple : 12 / (√2 + √3 + √5) .
Vous devez prendre son numérateur et son dénominateur et multiplier par l'expression √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Étape 4. Calculez la valeur approximative sur la calculatrice

Exemple de calcul estimé

Il faut calculer la valeur approchée de cette expression √7 + √5 .

En conséquence, nous obtenons :

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Attention : il ne faut en aucun cas ajouter des racines carrées comme nombres premiers, c'est totalement inacceptable. Autrement dit, si vous ajoutez la racine carrée de cinq et trois, nous ne pouvons pas obtenir la racine carrée de huit.

Règles de soustraction des racines

1. La racine du degré du produit de nombres non négatifs est égale au produit des racines du même degré des facteurs: où (la règle pour extraire la racine du produit).

2. Si , alors y (la règle pour extraire la racine d'une fraction).

3. Si alors (la règle d'extraction de la racine de la racine).

4. Si alors la règle pour élever une racine à une puissance).

5. Si alors où, c'est-à-dire, l'index racine et l'index d'expression radicale peuvent être multipliés par le même nombre.

6. Si alors 0, c'est-à-dire qu'une expression radicale positive plus grande correspond à une valeur plus grande de la racine.

7. Toutes les formules ci-dessus sont souvent utilisées dans ordre inverse(c'est-à-dire de droite à gauche). Par example,

(règle de multiplication des racines);

(la règle pour diviser les racines);

8. La règle pour retirer le multiplicateur sous le signe de la racine. À

9. Problème inverse - introduction d'un facteur sous le signe de la racine. Par example,

10. Destruction de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction.

Considérons quelques cas typiques.

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Par example,

11. Application des identités de multiplication abrégées aux opérations avec des racines arithmétiques :

12. Le facteur devant la racine s'appelle son coefficient. Par exemple, ici 3 est un facteur.

13. Les racines (radicaux) sont dites similaires si elles ont les mêmes exposants racines et les mêmes expressions radicales, mais ne diffèrent que par le coefficient. Pour juger si ces racines (radicaux) sont similaires ou non, il faut les réduire à leur forme la plus simple.

Par exemple, et sont similaires parce que

EXERCICES AVEC SOLUTIONS

1. Simplifiez les expressions :

Décision. 1) Cela n'a aucun sens de multiplier l'expression racine, puisque chacun des facteurs représente le carré d'un nombre entier. Utilisons la règle d'extraction de la racine du produit :

À l'avenir, ces actions seront effectuées oralement.

2) Essayons, si possible, de représenter l'expression radicale comme un produit de facteurs dont chacun est le cube d'un entier, et appliquons la règle sur la racine du produit :

2. Trouvez la valeur de l'expression :

Décision. 1) D'après la règle d'extraction de la racine d'une fraction, on a :

3) Nous transformons les expressions radicales et extrayons la racine :

3. Simplifiez quand

Décision. Lors de l'extraction d'une racine à partir d'une racine, les indices des racines sont multipliés et l'expression de la racine reste inchangée.

S'il y a un coefficient avant la racine sous la racine, alors avant d'effectuer l'opération d'extraction de la racine, ce coefficient est inscrit sous le signe du radical devant lequel il se trouve.

Sur la base des règles ci-dessus, nous extrayons les deux dernières racines :

4. Élever à une puissance :

Décision. Lors de l'élévation d'une racine à une puissance, l'exposant racine reste inchangé et les exposants de l'expression radicale sont multipliés par l'exposant.

(puisqu'il est défini, alors );

Si un racine donnée a un coefficient, alors ce coefficient est élevé à une puissance séparément et le résultat est écrit sous la forme d'un coefficient à la racine.

Ici, nous avons utilisé la règle selon laquelle l'indice de la racine et l'indice de l'expression radicale peuvent être multipliés par le même nombre (nous avons multiplié par c'est-à-dire divisé par 2).

Par exemple, ou

4) L'expression entre parenthèses, représentant la somme de deux radicaux différents, sera cubée et simplifiée :

Parce que nous avons:

5. Éliminer l'irrationalité dans le dénominateur :

Décision. Pour éliminer (détruire) l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction, vous devez trouver la plus simple des expressions, qui dans le produit avec le dénominateur donne expression rationnelle, et multipliez le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le facteur trouvé.

Par exemple, s'il y a un binôme dans le dénominateur d'une fraction, alors le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés par l'expression conjuguée au dénominateur, c'est-à-dire que la somme doit être multipliée par la différence correspondante et vice versa.

En plus cas difficiles détruire l'irrationalité non pas immédiatement, mais en plusieurs étapes.

1) L'expression doit contenir

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par on obtient :

2) En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le carré incomplet de la somme, on obtient :

3) Ramenons les fractions à un dénominateur commun :

Lors de la résolution de cet exemple, nous devons garder à l'esprit que chaque fraction a une signification, c'est-à-dire que le dénominateur de chaque fraction est différent de zéro. Outre,

Lors de la conversion d'expressions contenant des radicaux, des erreurs sont souvent commises. Ils sont causés par l'incapacité d'appliquer correctement le concept (définition) de la racine arithmétique et de la valeur absolue.

Règles de soustraction des racines

Calculer la valeur de l'expression

Décision.

Explication.
Pour réduire l'expression racine, représentons dans le deuxième facteur de son expression racine le nombre 31 comme la somme de 15+16. (ligne 2)

Après la transformation, on peut voir que la somme dans la deuxième expression radicale peut être représentée comme le carré de la somme en utilisant les formules de multiplication abrégées. (ligne 3)

Représentons maintenant chaque racine du produit donné par un degré. (ligne 4)

Simplifiez l'expression (ligne 5)

Puisque la puissance du produit est égale au produit des puissances de chacun des facteurs, nous le représentons en conséquence (ligne 6)

Comme vous pouvez le voir, selon les formules de multiplication abrégée, nous avons la différence des carrés de deux nombres. D'où et calculer la valeur de l'expression (ligne 7)

Calculez la valeur de l'expression.

Décision.

Explication.

Nous utilisons les propriétés de la racine, que la racine d'une puissance arbitraire de nombres privés est égale au privé des racines de ces nombres (ligne 2)

La racine d'une puissance arbitraire d'un nombre de même degré est égale à ce nombre (ligne 3)

Supprimons le moins du support du premier multiplicateur. Dans ce cas, tous les caractères à l'intérieur de la parenthèse seront inversés (ligne 4)

Réduisons la fraction (ligne 5)

Représentons le nombre 729 comme le carré du nombre 27, et le nombre 27 comme le cube du nombre 3. D'où nous obtenons la valeur de l'expression radicale.

Racine carrée. Premier niveau.

Voulez-vous tester votre force et connaître le résultat de votre degré de préparation à l'examen d'État unifié ou à l'OGE ?

1. Introduction du concept de racine carrée arithmétique

La racine carrée (racine carrée arithmétique) d'un nombre non négatif est un nombre non négatif dont le carré est égal.
.

Le nombre ou l'expression sous le signe racine doit être non négatif

2. Tableau des carrés

3. Propriétés de la racine carrée arithmétique

Introduction au concept de racine carrée arithmétique

Essayons de comprendre quel genre de concept est une "racine" et "avec quoi elle est mangée". Pour ce faire, considérez des exemples que vous avez déjà rencontrés dans les leçons (enfin, ou vous devez simplement y faire face).

Par exemple, nous avons une équation. quelle est la solution équation donnée? Quels nombres peuvent être élevés au carré et obtenus en même temps ? En vous souvenant de la table de multiplication, vous pouvez facilement donner la réponse : et (car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs, vous obtenez un nombre positif) ! Pour simplifier, les mathématiciens ont introduit un concept spécial de racine carrée et lui ont attribué un symbole spécial.

Définissons la racine carrée arithmétique.

Pourquoi le nombre doit-il être non négatif ? Par exemple, à quoi est égal ? Bon, essayons de comprendre. Peut-être trois ? Vérifions : et non. Peut-être, ? Encore une fois, vérifiez : Eh bien, n'est-il pas sélectionné? C'est à prévoir - car il n'y a pas de nombres qui, une fois au carré, donnent un nombre négatif !

Cependant, vous avez probablement déjà remarqué que la définition dit que la solution de la racine carrée de "un nombre est un nombre non négatif dont le carré est égal à". Et au tout début, nous avons analysé l'exemple, sélectionné des nombres qui peuvent être élevés au carré et obtenus en même temps, la réponse était et, et ici il s'agit d'une sorte de "nombre non négatif" ! Une telle remarque est tout à fait appropriée. Ici, il faut simplement faire la distinction entre les concepts d'équations quadratiques et la racine carrée arithmétique d'un nombre. Par exemple, il n'est pas équivalent à une expression.

Et cela s'ensuit.

Bien sûr, c'est très déroutant, mais il faut se rappeler que les signes sont le résultat de la résolution de l'équation, car lors de la résolution de l'équation, nous devons écrire tous les x qui, une fois substitués dans l'équation d'origine, donneront le bon résultat. Dans notre équation quadratique correspond à la fois et.

Cependant, si vous prenez simplement la racine carrée de quelque chose, vous obtenez toujours un résultat non négatif.

Essayez maintenant de résoudre cette équation. Tout n'est pas si simple et fluide, n'est-ce pas? Essayez de trier les chiffres, peut-être que quelque chose va griller ?

Commençons par le tout début - à partir de zéro : - ne convient pas, passez à autre chose ; - moins de trois, on s'écarte aussi, mais et si ? Vérifions : - ne convient pas non plus, car c'est plus que trois. Avec des nombres négatifs, la même histoire se produira. Et que faire maintenant ? La recherche ne nous a-t-elle rien donné ? Pas du tout, maintenant nous savons avec certitude que la réponse sera un certain nombre entre et, ainsi qu'entre et. De plus, il est évident que les solutions ne seront pas des nombres entiers. De plus, ils ne sont pas rationnels. Alors, quelle est la prochaine? Construisons un graphique de la fonction et marquons les solutions dessus.

Essayons de tromper le système et d'obtenir une réponse à l'aide d'une calculatrice ! Sortons la racine des affaires ! Oh-oh-oh, il s'avère qu'un tel nombre ne finit jamais. Comment pouvez-vous vous en souvenir, car il n'y aura pas de calculatrice à l'examen !? Tout est très simple, vous n'avez pas besoin de vous en souvenir, vous devez vous souvenir (ou être capable d'estimer rapidement) une valeur approximative. et les réponses elles-mêmes. De tels nombres sont appelés irrationnels, et c'est pour simplifier la notation de tels nombres que le concept de racine carrée a été introduit.
Prenons un autre exemple pour renforcer. Analysons le problème suivant : vous devez traverser en diagonale un champ carré de km de côté, combien de km devez-vous parcourir ?

La chose la plus évidente ici est de considérer le triangle séparément et d'utiliser le théorème de Pythagore :. Ainsi, . Alors, quelle est la distance requise ici ? Évidemment, la distance ne peut pas être négative, nous comprenons cela. La racine de deux est approximativement égale, mais, comme nous l'avons noté précédemment, est déjà une réponse complète.

Extraction de racines

Pour que la résolution d'exemples avec des racines ne pose pas de problèmes, vous devez les voir et les reconnaître. Pour ce faire, vous devez connaître au moins les carrés des nombres de à, ainsi que pouvoir les reconnaître.

Autrement dit, vous devez savoir ce qui est au carré, et aussi, inversement, ce qui est au carré. Dans un premier temps, ce tableau vous aidera à extraire la racine.

Dès que vous aurez résolu un nombre suffisant d'exemples, le besoin en disparaîtra automatiquement.
Essayez d'extraire vous-même la racine carrée des expressions suivantes :

Eh bien, comment cela a-t-il fonctionné ? Voyons maintenant ces exemples :

Propriétés de la racine carrée arithmétique

Vous savez maintenant comment extraire des racines et il est temps d'apprendre les propriétés de la racine carrée arithmétique. Il n'y en a que 3 :

multiplication;
division;
exponentiation.

Eh bien, ils sont simplement très faciles à retenir à l'aide de ce tableau et, bien sûr, de la formation :

Comment décider
équations du second degré

Dans les leçons précédentes, nous avons analysé "Comment résoudre des équations linéaires", c'est-à-dire des équations du premier degré. Dans cette leçon, nous explorerons qu'est-ce qu'une équation quadratique et comment le résoudre.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique

Le degré d'une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l'inconnue.

Si le degré maximum auquel l'inconnue est "2", alors vous avez une équation quadratique.

Exemples d'équations quadratiques

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +

Pour trouver "a", "b" et "c", vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique "ax 2 + bx + c = 0".

Entraînons-nous à déterminer les coefficients "a", "b" et "c" dans les équations quadratiques.

un=5
b = −14
c = 17

un = −7
b = −13
c = 8

un = -1
b = 1

un = 1
b = 0,25
c = 0

un = 1
b = 0
c = −8

Comment résoudre des équations quadratiques

Contrairement à équations linéaires pour résoudre des équations quadratiques, un formule pour trouver des racines.

Pour résoudre une équation quadratique, il vous faut :

amener l'équation quadratique à vue générale" ax 2 + bx + c = 0 ". C'est-à-dire que seul "0" doit rester sur le côté droit ;
utilisez la formule pour les racines:

Prenons un exemple pour comprendre comment appliquer la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique. Résolvons l'équation quadratique.

L'équation "x 2 − 3x − 4 = 0" a déjà été réduite à la forme générale "ax 2 + bx + c = 0" et ne nécessite pas de simplifications supplémentaires. Pour le résoudre, il suffit d'appliquer formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

Définissons les coefficients "a", "b" et "c" pour cette équation.

un = 1
b = −3
c = −4

Remplacez-les dans la formule et trouvez les racines.

Assurez-vous de mémoriser la formule pour trouver des racines.

Avec son aide, toute équation quadratique est résolue.

Prenons un autre exemple d'équation quadratique.

Sous cette forme, il est assez difficile de déterminer les coefficients "a", "b" et "c". Ramenons d'abord l'équation à la forme générale "ax 2 + bx + c = 0".

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour les racines.

Il y a des moments où il n'y a pas de racines dans les équations quadratiques. Cette situation se produit lorsqu'un nombre négatif apparaît dans la formule sous la racine.

Nous nous souvenons de la définition de la racine carrée que vous ne pouvez pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Prenons un exemple d'équation quadratique qui n'a pas de racine.

Donc, nous avons une situation où il y a un nombre négatif sous la racine. Cela signifie qu'il n'y a pas de racines dans l'équation. Par conséquent, en réponse, nous avons écrit "Il n'y a pas de vraies racines."

Que signifient les mots "pas de vraies racines" ? Pourquoi ne pouvez-vous pas simplement écrire "pas de racines" ?

En fait, il y a des racines dans de tels cas, mais dans le cadre de programme scolaire ils ne sont pas passés, donc, en réponse, nous écrivons que parmi nombres réels il n'y a pas de racines. En d'autres termes, "Il n'y a pas de vraies racines."

Équations quadratiques incomplètes

Parfois, il existe des équations quadratiques dans lesquelles il n'y a pas de coefficients explicites "b" et/ou "c". Par exemple, dans cette équation :

De telles équations sont dites incomplètes. équations du second degré. Comment les résoudre est discuté dans la leçon "Équations quadratiques incomplètes".

Extraire la racine carrée d'un nombre n'est pas la seule opération réalisable avec ce phénomène mathématique. Tout comme les nombres ordinaires, les racines carrées peuvent être additionnées et soustraites.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Règles d'addition et de soustraction de racines carrées

Définition 1

Des actions telles que l'ajout et la soustraction d'une racine carrée ne sont possibles que si l'expression de la racine est la même.

Exemple 1

Vous pouvez ajouter ou soustraire des expressions 2 3 et 6 3, mais pas 5 6 et 9 4 . S'il est possible de simplifier l'expression et de l'amener aux racines avec le même numéro de racine, alors simplifiez, puis ajoutez ou soustrayez.

Actions racine : les bases

Exemple 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Algorithme d'action :

Simplifier l'expression racine. Pour ce faire, il faut décomposer l'expression racine en 2 facteurs dont l'un est un nombre carré (le nombre dont on extrait toute la racine carrée, par exemple 25 ou 9).
Ensuite, vous devez extraire la racine de nombre carré et écrivez la valeur résultante avant le signe racine. Veuillez noter que le deuxième facteur est entré sous le signe racine.
Après le processus de simplification, il est nécessaire de souligner les racines avec les mêmes expressions de racine - seules elles peuvent être ajoutées et soustraites.
Pour les racines avec les mêmes expressions radicales, il est nécessaire d'ajouter ou de soustraire les facteurs qui précèdent le signe racine. L'expression racine reste inchangée. N'ajoutez ni ne soustrayez pas de nombres racine !

Astuce 1

Si vous avez un exemple avec grande quantité expressions radicales identiques, puis soulignez ces expressions avec des lignes simples, doubles et triples pour faciliter le processus de calcul.

Exemple 3

Essayons cet exemple :

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Vous devez d'abord décomposer 50 en 2 facteurs 25 et 2, puis prendre la racine de 25, qui est 5, et retirer 5 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 5 par 6 (le multiplicateur à la racine) et obtenir 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Tout d'abord, vous devez décomposer 8 en 2 facteurs : 4 et 2. Ensuite, à partir de 4, extrayez la racine, qui est égale à 2, et retirez 2 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 2 (le facteur à la racine) et obtenir 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Tout d'abord, vous devez décomposer 12 en 2 facteurs : 4 et 3. Ensuite, extrayez la racine de 4, qui est égale à 2, et sortez-la de sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 5 (le facteur à la racine) et obtenir 10 3 .

Résultat simplifié : 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

En conséquence, nous avons vu combien d'expressions radicales identiques sont contenues dans cet exemple. Pratiquons maintenant avec d'autres exemples.

Exemple 4

Simplifier (45) . Nous factorisons 45 : (45) = (9 × 5) ;
Nous retirons 3 sous la racine (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Nous additionnons les facteurs aux racines : 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Exemple 5

6 40 - 3 10 + 5:

Simplification 6 40 . Nous factorisons 40 : 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Nous retirons 2 sous la racine (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Nous multiplions les facteurs qui sont devant la racine : 12 10 ;
On écrit l'expression sous une forme simplifiée : 12 10 - 3 10 + 5 ;
Puisque les deux premiers termes ont les mêmes nombres racines, nous pouvons les soustraire : (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Exemple 6

Comme nous pouvons le voir, il n'est pas possible de simplifier les nombres radicaux, nous recherchons donc des membres avec les mêmes nombres radicaux dans l'exemple, effectuons des opérations mathématiques (addition, soustraction, etc.) et écrivons le résultat :

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Conseil :

Avant d'additionner ou de soustraire, il est impératif de simplifier (si possible) les expressions radicales.
L'ajout et la soustraction de racines avec des expressions de racine différentes sont strictement interdits.
Ne pas ajouter ou soustraire un nombre entier ou une racine carrée : 3 + (2 x) 1 / 2 .
Lorsque vous effectuez des actions avec des fractions, vous devez trouver un nombre entièrement divisible par chaque dénominateur, puis amener les fractions à un dénominateur commun, puis ajouter les numérateurs et laisser les dénominateurs inchangés.

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