Graphique de la fonction racine cubique de x 1. Fonction y \u003d troisième racine de x, ses propriétés et son graphique

Sujet "La racine du diplôme P"Il est conseillé de le diviser en deux leçons. Dans la première leçon, considérez la racine cubique, comparez ses propriétés avec la racine carrée arithmétique et considérez le graphique de cette fonction Racine cubique. Puis dans la deuxième leçon, les élèves comprendront mieux la notion de couronne P-ème degré. La comparaison de deux types de racines aidera à éviter les erreurs "typiques" pour la présence de valeurs d'expressions négatives sous le signe de la racine.

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"Racine cubique"

Sujet de la leçon : racine cubique

Zhikharev Sergey Alekseevich, professeur de mathématiques, MKOU "Pozhilinskaya School No. 13"

Objectifs de la leçon:

• introduire le concept de racine cubique ;
• développer des compétences dans le calcul des racines cubiques;
• répéter et généraliser les connaissances sur la racine carrée arithmétique;
• continuer à préparer le GIA.

Vérification d.z.

L'un des nombres ci-dessous est marqué sur la ligne de coordonnées par un point MAIS. Saisissez ce numéro.

Quel est le concept des trois dernières tâches ?

Quelle est la racine carrée d'un nombre un ?

Quelle est la racine carrée arithmétique d'un nombre un ?

Quelles valeurs peuvent Racine carrée?

L'expression racine peut-elle être un nombre négatif ?

Nommez un cube parmi ces corps géométriques

Quelles sont les propriétés d'un cube ?

Comment trouver le volume d'un cube ?

Trouver le volume d'un cube si ses côtés sont égaux :

Résolvons le problème

Le volume du cube est de 125 cm³. Trouvez le côté du cube.

Soit le bord du cube X cm, alors le volume du cube est X³ cm³. Par condition X³ = 125.

Par conséquent, X= 5cm.

Numéro X= 5 est la racine de l'équation X³ = 125. Ce nombre s'appelle racine cubique ou troisième racine sur 125.

Définition.

Troisième racine du nombre un ce numéro s'appelle b, dont la troisième puissance est égale à un .

La désignation.

Une autre approche pour introduire le concept de racine cubique

Étant donné la valeur de la fonction cubique un, vous pouvez trouver la valeur de l'argument de la fonction cubique à ce point. Ce sera égal, puisque extraire une racine est le contraire d'élever à une puissance.

racines carrées.

Définition. La racine carrée d'un nommer le nombre dont le carré est égal à un .

Définition. Racine carrée arithmétique d'un est un nombre non négatif dont le carré est égal à un .

La notation est utilisée :

À un

racines cubiques.

Définition. racine cubique de nommer le nombre dont le cube est égal à un .

La notation est utilisée :

"racine cubique de un", ou

« racine 3 de un »

L'expression a du sens pour tout un .

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Ouvrez le test "Leçon de 9e année".

Minute de repos

Quelles leçons ou

tu as rencontré dans ta vie

avec le concept d'une racine?

"L'équation"

Lorsque vous résolvez l'équation, mon ami,

Tu dois le trouver la colonne vertébrale.

La signification de la lettre est facile à vérifier,

Mettez-le soigneusement dans l'équation.

Si vous obtenez la bonne égalité,

Ce racine appeler la valeur immédiatement.

Comment comprenez-vous le dicton de Kozma Prutkov "Regardez la racine".

Quand cette expression est-elle utilisée ?

Dans la littérature et la philosophie, il y a le concept de "La racine du mal".

Comment comprenez-vous cette expression ?

Dans quel sens cette expression est-elle utilisée ?

Demandez-vous si la racine cubique est toujours extraite facilement et avec précision ?

Que peut-on utiliser pour trouver des valeurs approximatives de la racine cubique ?

Utilisation du graphe de fonctions à = X³, vous pouvez calculer approximativement les racines cubiques de certains nombres.

Utilisation du graphe de fonctions

à = X³ trouver verbalement la valeur approximative des racines.

Les fonctions appartiennent-elles au graphe

points : A(8;2); En (216;–6) ?

L'expression sous-radicale d'une racine cubique peut-elle être négative ?

Quelle est la différence entre une racine cubique et une racine carrée ?

La racine cubique peut-elle être négative ?

Définissez une troisième racine.

Les principales propriétés sont données fonction de puissance, y compris les formules et les propriétés des racines. L'expansion et la représentation des séries dérivées, intégrales et puissances au moyen de nombres complexes de la fonction puissance sont présentées.

Définition

Définition
Fonction puissance avec exposant p est la fonction f (x) = xp, dont la valeur au point x est égale à la valeur de la fonction exponentielle de base x au point p .
De plus, f (0) = 0 p = 0 pour p > 0 .

Pour les valeurs naturelles de l'exposant, la fonction puissance est le produit de n nombres égaux à x :
.
Il est défini pour tout réel .

Pour les valeurs rationnelles positives de l'exposant , la fonction puissance est le produit de n racines de degré m par le nombre x :
.
Pour m impair, il est défini pour tout réel x. Pour m pair, la fonction puissance est définie pour non négatif .

Pour négatif , la fonction puissance est définie par la formule :
.
Par conséquent, il n'est pas défini au point .

Pour les valeurs irrationnelles de l'exposant p, la fonction exponentielle est déterminée par la formule :
,
où a est un nombre positif arbitraire, non égal à un: .
Pour , il est défini pour .
Pour , la fonction puissance est définie pour .

Continuité. Une fonction puissance est continue sur son domaine de définition.

Propriétés et formules de la fonction puissance pour x ≥ 0

Ici, nous considérons les propriétés de la fonction puissance pour ne pas valeurs négatives argument x. Comme mentionné ci-dessus, pour certaines valeurs de l'exposant p , la fonction exponentielle est également définie pour les valeurs négatives de x . Dans ce cas, ses propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés en , en utilisant une parité paire ou impaire. Ces cas sont discutés et illustrés en détail sur la page "".

Une fonction puissance, y = x p , d'exposant p a les propriétés suivantes :
(1.1) défini et continu sur le plateau
à ,
à ;
(1.2) a plusieurs significations
à ,
à ;
(1.3) augmente strictement à ,
décroît strictement à ;
(1.4) à ;
à ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

La preuve des propriétés est donnée sur la page Power Function (Proof of Continuity and Properties).

Racines - définition, formules, propriétés

Définition
Racine de x à la puissance n est le nombre dont l'élévation à la puissance n donne x :
.
Ici n = 2, 3, 4, ... - entier naturel, supérieur à un.

Vous pouvez également dire que la racine du nombre x de degré n est la racine (c'est-à-dire la solution) de l'équation
.
Notez que la fonction est l'inverse de la fonction .

La racine carrée de x est une racine de degré 2 : .

Racine cubique de x est une racine de degré 3 : .

Degré pair

Pour des puissances paires n = 2 mètres, la racine est définie pour x ≥ 0 . Une formule fréquemment utilisée est valable pour x positif et négatif :
.
Pour la racine carrée :
.

L'ordre dans lequel les opérations sont effectuées est important ici - c'est-à-dire que la mise au carré est effectuée en premier, ce qui donne un nombre non négatif, puis la racine en est extraite (à partir d'un nombre non négatif, vous pouvez extraire la racine carrée ). Si nous changions l'ordre : , alors pour x négatif la racine serait indéfinie, et avec elle l'expression entière serait indéfinie.

degré impair

Pour les puissances impaires, la racine est définie pour tout x :
;
.

Propriétés et formules des racines

La racine de x est une fonction puissance :
.
Pour x ≥ 0 les formules suivantes tiennent :
;
;
, ;
.

Ces formules peuvent également être appliquées pour les valeurs négatives des variables. Il faut seulement s'assurer que l'expression radicale des puissances paires n'est pas négative.

Valeurs privées

La racine de 0 est 0 : .
La racine de 1 est 1 : .
La racine carrée de 0 est 0 : .
La racine carrée de 1 est 1 : .

Exemple. Racine des racines

Prenons l'exemple de la racine carrée des racines :
.
Convertissez la racine carrée interne en utilisant les formules ci-dessus :
.
Transformons maintenant la racine d'origine :
.
Alors,
.

y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p .

Voici les graphiques de la fonction pour les valeurs non négatives de l'argument x. Les graphiques de la fonction puissance définie pour les valeurs négatives de x sont donnés sur la page "La fonction puissance, ses propriétés et ses graphiques"

Fonction inverse

L'inverse d'une fonction puissance d'exposant p est une fonction puissance d'exposant 1/p .

Si donc .

Dérivée de la fonction puissance

Dérivée du nième ordre :
;

Dérivation de formules > > >

Intégrale d'une fonction puissance

P≠- 1 ;
.

Extension de la série Power

À - 1 < x < 1 la décomposition suivante a lieu :

Expressions en termes de nombres complexes

Considérons une fonction d'une variable complexe z :
F (z) = z t.
Nous exprimons la variable complexe z en termes de module r et d'argument φ (r = |z| ) :
z = r e je φ .
Nous représentons le nombre complexe t en parties réelles et imaginaires :
t = p + je q .
Nous avons:

De plus, nous tenons compte du fait que l'argument φ n'est pas défini de manière unique :
,

Considérons le cas où q = 0 , c'est-à-dire que l'exposant est un nombre réel, t = p. Alors
.

Si p est un entier, alors kp est aussi un entier. Alors, du fait de la périodicité des fonctions trigonométriques :
.
C'est-à-dire fonction exponentielleà exposant entier, pour un z donné, n'a qu'une valeur et est donc à valeur unique.

Si p est irrationnel, alors les produits de kp ne donnent pas d'entier pour tout k. Puisque k parcourt une suite infinie de valeurs k = 0, 1, 2, 3, ..., alors la fonction z p a une infinité de valeurs. Chaque fois que l'argument z est incrémenté 2 pi(un tour), on passe à une nouvelle branche de la fonction.

Si p est rationnel, alors il peut être représenté par :
, où m,n sont des entiers sans diviseurs communs. Alors
.
n premières valeurs, pour k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, donné différentes significations kp :
.
Cependant, les valeurs suivantes donnent des valeurs qui diffèrent des précédentes par un nombre entier. Par exemple, pour k = k 0+n Nous avons:
.
Fonctions trigonométriques, dont les arguments diffèrent par des multiples de 2 π, ont des valeurs égales. Par conséquent, avec une nouvelle augmentation de k, nous obtenons les mêmes valeurs de z p que pour k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Ainsi, la fonction exponentielle avec indicateur rationnel degré est multivalué et a n valeurs (branches). Chaque fois que l'argument z est incrémenté 2 π(un tour), on passe à une nouvelle branche de la fonction. Après n tels tours, nous retournons à la première branche à partir de laquelle le compte à rebours a commencé.

En particulier, une racine de degré n a n valeurs. A titre d'exemple, considérons la nième racine d'un nombre réel positif z = x. Dans ce cas φ 0 = 0 , z = r = |z| =x, .
.
Donc, pour la racine carrée, n = 2 ,
.
Pour k pair, (- 1 ) k = 1. Pour k impair, (- 1 ) k = - 1.
Autrement dit, la racine carrée a deux significations : + et -.

Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.

Au lieu d'une introduction

L'utilisation des technologies modernes (CSE) et des aides pédagogiques (tableau multimédia) dans les cours aide l'enseignant à planifier et à mener des cours efficaces, à créer les conditions permettant aux élèves de comprendre, de mémoriser et de mettre en pratique les compétences.

La leçon s'avère dynamique et intéressante si vous combinez différentes formes d'apprentissage pendant la leçon.

Dans la didactique moderne, il y a quatre généralités formes d'organisation apprentissage:

• médiatisé individuellement;
• chambre à vapeur;
• groupe;

collectif (par paires de composition interchangeable). (Dyachenko V.K. Didactique moderne. - M.: Education nationale, 2005).

Dans une leçon traditionnelle, en règle générale, seules les trois premières formes d'organisation de l'éducation énumérées ci-dessus sont utilisées. forme collective l'enseignement (travail en binômes) n'est pratiquement pas utilisé par l'enseignant. Cependant, cette forme organisationnelle d'apprentissage permet à l'équipe de former chacun à participer activement à la formation des autres. La forme collective d'éducation est à la pointe de la technologie de la RSE.

L'une des méthodes les plus courantes de la technologie de la voie collective d'apprentissage est la méthode de "l'entraînement mutuel".

Cette technique « magique » est bonne dans n'importe quel sujet et dans n'importe quelle leçon. Le but est la formation.

La formation est le successeur de la maîtrise de soi, elle aide l'étudiant à établir son contact avec le sujet d'étude, facilitant ainsi la recherche des bonnes étapes-actions. Par la formation à l'acquisition, la consolidation, le regroupement, la révision, l'application des connaissances, le développement des capacités cognitives humaines se produit. (Yanovitskaya E.V. Comment enseigner et apprendre en classe pour avoir envie d'apprendre. Ouvrage de référence. - Saint-Pétersbourg: Projets pédagogiques, M. : Editeur A.M. Kushnir, 2009.-p.14;131)

Cela aidera à répéter rapidement n'importe quelle règle, à se souvenir des réponses aux questions étudiées, à consolider les compétences nécessaires. Le temps optimal pour travailler selon la méthode est de 5 à 10 minutes. En règle générale, le travail sur les cartes de formation est effectué pendant le comptage oral, c'est-à-dire au début de la leçon, mais à la discrétion de l'enseignant, il peut être effectué à n'importe quelle étape de la leçon, en fonction de ses objectifs et structure. Dans la fiche de formation, il peut y avoir de 5 à 10 exemples simples (questions, tâches). Chaque élève de la classe reçoit une carte. Les cartes sont différentes pour tout le monde ou différentes pour tout le monde dans « l'équipe consolidée » (enfants assis sur la même rangée). Un détachement consolidé (groupe) est une coopération temporaire d'étudiants formés pour effectuer une tâche éducative spécifique. (Yalovets T.V. La technologie d'une méthode collective d'enseignement dans la formation avancée d'un enseignant: Manuel pédagogique et méthodologique. - Novokuznetsk: Maison d'édition IPC, 2005. - P. 122)

Projet de cours sur le sujet "Fonction y=, ses propriétés et son graphe"

Dans le projet de la leçon dont le sujet est : « Fonction y=, ses propriétés et son graphique » l'utilisation de la technique de formation mutuelle en combinaison avec l'utilisation de supports pédagogiques traditionnels et multimédias est présentée.

Sujet de la leçon : " Fonction y=, ses propriétés et son graphe”

Buts:

• préparation aux travaux de contrôle;
• vérifier la connaissance de toutes les propriétés d'une fonction et la capacité de tracer des graphiques de fonctions et de lire leurs propriétés.

Tâches: niveau matière :

niveau sursujet :

• apprendre à analyser les informations graphiques ;
• développer la capacité à mener un dialogue;
• développer la capacité et la compétence de travailler avec un tableau blanc interactif en utilisant l'exemple de travailler avec des graphiques.

Structure de la leçon	Temps
1. Saisie des informations de l'enseignant (ITI)	5 minutes.
2. Actualisation des connaissances de base : travail en binôme selon la méthodologie “Formation mutuelle”	8 min.
3. Familiarisation avec le sujet "Fonction y=, ses propriétés et son graphe": présentation de l'enseignant	8 min.
4. Consolidation du matériel nouvellement étudié et déjà passé sur le thème "Fonction": à l'aide d'un tableau blanc interactif	15 minutes.
5. Maîtrise de soi : sous forme d'épreuve	7 min.
6. Résumer, enregistrer les devoirs.	2 minutes.

Examinons de plus près le contenu de chaque étape.

1. La saisie des informations de l'enseignant (ITI) comprend Organisation du temps; exprimer le sujet, le but et le plan de leçon ; montrant un échantillon de travail en binôme selon la méthode de la formation mutuelle.

La démonstration d'un échantillon de travail par paires par les étudiants à ce stade de la leçon est conseillée pour répéter l'algorithme du travail de la technique dont nous avons besoin, car. à l'étape suivante de la leçon, le travail de toute l'équipe de classe y est prévu. Dans le même temps, vous pouvez nommer les erreurs dans le travail en fonction de l'algorithme (le cas échéant), ainsi qu'évaluer le travail de ces étudiants.

2. L'actualisation des connaissances de référence est effectuée par paires de composition d'équipe selon la méthode de formation mutuelle.

L'algorithme de la méthodologie comprend des formes organisationnelles de formation individuelles, en paires (paires statiques) et collectives (paires de composition d'équipe).

Individuel : toute personne qui reçoit la carte prend connaissance de son contenu (lit les questions et réponses au dos de la carte).

• la première(dans le rôle d'un « stagiaire ») lit la tâche et répond aux questions de la carte du partenaire ;
• deuxième(dans le rôle d'un "coach") - vérifie l'exactitude des réponses au dos de la carte;
• travailler de la même manière sur une autre carte, en changeant les rôles ;
• faire une marque dans une feuille individuelle et changer les cartes;
• passer à une nouvelle paire.

Collectif:

• dans la nouvelle paire, ils fonctionnent comme dans la première ; transition vers une nouvelle paire, etc.

Le nombre de transitions dépend du temps alloué par l'enseignant pour cette étape leçon, de la diligence et de la rapidité de compréhension de chaque étudiant et des partenaires de collaboration.

Après un travail en binôme, les élèves prennent des notes sur les feuilles de notes, l'enseignant procède à une analyse quantitative et qualitative du travail.

La liste pourrait ressembler à ceci :

Ivanov Petya 7 classe "b"

la date	Numéro de carte	Nombre d'erreurs	Avec qui avez-vous travaillé
20.12.09	№7	0	Sidorov K.
	№3	2	Pétrova M.
	№2	1	Samoïlova Z.

3. La connaissance du sujet «Fonction y =, ses propriétés et son graphe» est réalisée par l'enseignant sous la forme d'une présentation à l'aide d'outils d'apprentissage multimédia (annexe 4). D'une part, il s'agit d'une option de visualisation compréhensible pour les étudiants modernes, d'autre part, elle permet de gagner du temps sur l'explication du nouveau matériel.

4. Consolidation du matériel nouvellement étudié et déjà passé sur le sujet «Fonction ” organisée en deux versions, utilisant des supports pédagogiques traditionnels (tableau, manuel) et innovants (tableau blanc interactif).

Tout d'abord, plusieurs tâches du manuel sont proposées pour consolider le matériel nouvellement étudié. Le manuel utilisé pour l'enseignement est utilisé. Le travail est effectué simultanément avec toute la classe. Dans ce cas, un élève exécute la tâche «a» - sur un tableau traditionnel; l'autre est la tâche "b" sur le tableau blanc interactif, le reste des élèves notent les solutions des mêmes tâches dans un cahier et comparent leur solution avec la solution présentée sur les tableaux. Ensuite, l'enseignant évalue le travail des élèves au tableau noir.

Ensuite, afin de consolider plus rapidement le matériel étudié sur le thème « Fonction », un travail frontal avec un tableau blanc interactif est proposé, qui peut être organisé comme suit :

• la tâche et le planning apparaissent sur le tableau blanc interactif ;
• un élève qui veut répondre se rend au tableau, effectue les constructions nécessaires et exprime la réponse ;
• une nouvelle tâche et un nouveau planning apparaissent au tableau ;
• Un autre étudiant sort pour répondre.

Ainsi, en peu de temps, il est possible de résoudre pas mal de tâches, d'évaluer les réponses des élèves. Certaines tâches d'intérêt (similaires aux tâches du prochain travail de contrôle), peut être enregistré dans un cahier.

5. Au stade de la maîtrise de soi, l'élève se voit proposer un test suivi d'un auto-examen (annexe 3).

Littérature

1. Dyatchenko, V.K. Didactique moderne [Texte] / V.K. Dyachenko - M.: Education publique, 2005.
2. Yalovets, T.V. La technologie de la méthode collective d'enseignement dans le développement professionnel de l'enseignant: Manuel pédagogique et méthodologique [Texte] / T.V. Yalovets. - Novokouznetsk : Maison d'édition IPC, 2005.
3. Ianovitskaïa, E.V. Comment enseigner et apprendre en classe pour avoir envie d'apprendre. Ouvrage de référence [Texte] / E.V. Yanovitskaya. - Saint-Pétersbourg : Projets éducatifs, M. : Editeur A.M. Kushnir, 2009.

Objectifs de base :

1) se faire une idée de l'opportunité d'une étude généralisée des dépendances des quantités réelles sur l'exemple des quantités, relation connexe y=

2) former la capacité de tracer y= et ses propriétés ;

3) répéter et consolider les méthodes de calculs oraux et écrits, mise au carré, extraction de la racine carrée.

Matériel, matériel de démonstration : polycopié.

1. Algorithme :

2. Exemple pour effectuer la tâche en groupe :

3.Sample pour l'auto-test de travail indépendant :

4. Carte pour l'étape de réflexion :

1) J'ai compris comment représenter graphiquement la fonction y=.

2) Je peux répertorier ses propriétés selon le calendrier.

3) Je n'ai pas fait d'erreurs dans mon travail indépendant.

4) J'ai commis des erreurs dans un travail indépendant (énumérez ces erreurs et indiquez leur raison).

Pendant les cours

1. Autodétermination aux activités d'apprentissage

But de l'étape :

1) inclure les élèves dans les activités d'apprentissage;

2) déterminer le contenu de la leçon : nous continuons à travailler avec des nombres réels.

Organisme processus éducatifà l'étape 1 :

Qu'avons-nous étudié dans la dernière leçon ? (Nous avons étudié plusieurs nombres réels, actions avec eux, construit un algorithme pour décrire les propriétés d'une fonction, répété les fonctions étudiées en 7e année).

– Aujourd'hui, nous allons continuer à travailler avec l'ensemble des nombres réels, une fonction.

2. Mise à jour des connaissances et résolution des difficultés dans les activités

But de l'étape :

1) mettre à jour le contenu pédagogique nécessaire et suffisant à la perception du nouveau matériel : fonction, variable indépendante, variable dépendante, graphiques

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) mettre à jour les opérations mentales nécessaires et suffisantes à la perception du nouveau matériel : comparaison, analyse, généralisation ;

3) fixer tous les concepts et algorithmes répétés sous forme de schémas et de symboles ;

4) pour résoudre une difficulté individuelle dans l'activité, démontrant l'insuffisance des connaissances existantes à un niveau personnellement significatif.

Organisation du processus pédagogique au stade 2 :

1. Rappelons-nous comment définir les dépendances entre les quantités ? (Via texte, formule, tableau, graphique)

2. Qu'appelle-t-on une fonction ? (La relation entre deux quantités, où chaque valeur d'une variable correspond à une seule valeur de l'autre variable y = f(x)).

Comment s'appelle x ? (Variable indépendante - argument)

Comment t'appelles-tu ? (Variable dépendante).

3. Avons-nous appris les fonctions en 7e ? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Tâche individuelle :

Quel est le graphe des fonctions y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identification des causes des difficultés et fixation du but de l'activité

But de l'étape :

1) organiser une interaction communicative, au cours de laquelle caractéristique tâches qui ont causé des difficultés dans les activités éducatives;

2) se mettre d'accord sur le but et le sujet de la leçon.

Organisation du processus pédagogique au stade 3 :

Quelle est la particularité de cette tâche ? (La dépendance est donnée par la formule y = que nous n'avons pas encore rencontrée).

- Quel est le but de la leçon ? (Faites connaissance avec la fonction y \u003d, ses propriétés et son graphique. La fonction dans le tableau détermine le type de dépendance, construit une formule et un graphique.)

- Pouvez-vous deviner le sujet de la leçon? (Fonction y=, ses propriétés et son graphe).

- Écrivez le sujet dans votre cahier.

4. Construire un projet pour sortir d'une difficulté

But de l'étape :

1) organiser l'interaction communicative pour construire un nouveau mode d'action qui élimine la cause de la difficulté identifiée ;

2) réparer nouvelle façon actions sous une forme gestuelle, verbale et à l'aide d'un étalon.

Organisation du processus éducatif à l'étape 4 :

Le travail à l'étape peut être organisé en groupes en invitant les groupes à tracer y = , puis à analyser les résultats. Aussi, des groupes peuvent être proposés pour décrire les propriétés de cette fonction selon l'algorithme.

5. Consolidation primaire dans le discours externe

Le but de l'étape: fixer le contenu pédagogique étudié dans le discours extérieur.

Organisation du processus éducatif à l'étape 5 :

Construisez un graphe y= - et décrivez ses propriétés.

Propriétés y= - .

1. Portée de la définition de la fonction.

2. Portée des valeurs de fonction.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 si x=0.

y<0, если х(0;+)

4. Augmenter, diminuer la fonction.

La fonction est décroissante en x.

Traçons y=.

Sélectionnons sa partie sur le segment . Notons que chez Naïm. = 1 pour x = 1, et y max. \u003d 3 pour x \u003d 9.

Réponse : naïm. = 1, au max. =3

6. Travail indépendant avec autotest selon la norme

Objectif de l'étape : tester votre capacité à appliquer le nouveau contenu d'apprentissage dans des conditions typiques en comparant votre solution à un standard d'autotest.

Organisation du processus éducatif au stade 6 :

Les élèves effectuent la tâche par eux-mêmes, effectuent un autotest selon la norme, analysent, corrigent les erreurs.

Traçons y=.

À l'aide du graphique, trouvez les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction sur le segment.

7. Inclusion dans le système de connaissances et répétition

Le but de l'étape : former les compétences d'utilisation de nouveaux contenus en conjonction avec des connaissances antérieures : 2) répéter le contenu d'apprentissage qui sera requis dans les leçons suivantes.

Organisation du processus éducatif à l'étape 7 :

Résolvez graphiquement l'équation: \u003d x - 6.

Un étudiant au tableau noir, le reste dans des cahiers.

8. Reflet de l'activité

But de l'étape :

1) corriger le nouveau contenu appris dans la leçon ;

2) évaluer leurs propres activités dans la leçon ;

3) remercier les camarades de classe qui ont aidé à obtenir le résultat de la leçon ;

4) corriger les difficultés non résolues en tant qu'orientations pour les activités d'apprentissage futures ;

5) Discutez et notez les devoirs.

Organisation du processus éducatif à l'étape 8 :

- Les gars, quel était l'objectif pour nous aujourd'hui ? (Etudiez la fonction y \u003d, ses propriétés et son graphique).

- Quelles connaissances nous ont aidés à atteindre l'objectif ? (La capacité de rechercher des modèles, la capacité de lire des graphiques.)

- Révisez vos activités en classe. (Cartes de réflexion)

Devoirs

article 13 (jusqu'à l'exemple 2) № 13.3, 13.4

Résolvez graphiquement l'équation :

Dessinez un graphe de fonctions et décrivez ses propriétés.

Leçon et présentation sur le thème: "Fonctions de puissance. Racine cubique. Propriétés de la racine cubique"

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Définition d'une fonction puissance - racine cubique

Les gars, nous continuons à étudier les fonctions de puissance. Aujourd'hui, nous allons parler de la fonction racine cubique de x.
Qu'est-ce qu'une racine cubique ?
Un nombre y est appelé racine cubique de x (racine du troisième degré) si $y^3=x$ est vrai.
Ils sont notés $\sqrt(x)$, où x est le nombre racine, 3 est l'exposant.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Comme nous pouvons le voir, la racine cubique peut également être extraite des nombres négatifs. Il s'avère que notre racine existe pour tous les nombres.
La troisième racine d'un nombre négatif est égale à un nombre négatif. Lorsqu'il est élevé à une puissance impaire, le signe est conservé, la troisième puissance est impaire.

Vérifions l'égalité : $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Soit $\sqrt((-x))=a$ et $\sqrt(x)=b$. Élevons les deux expressions à la troisième puissance. $–x=a^3$ et $x=b^3$. Alors $a^3=-b^3$ ou $a=-b$. Dans la notation des racines, on obtient l'identité recherchée.

Propriétés des racines cubiques

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Démontrons la seconde propriété. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Nous avons trouvé que le nombre $\sqrt(\frac(a)(b))$ dans le cube est égal à $\frac(a)(b)$ et donc il est égal à $\sqrt(\frac(a) (b))$, ce qui devait être prouvé.

Les gars, traçons notre graphique de fonction.
1) Le domaine de définition est l'ensemble des nombres réels.
2) La fonction est impaire car $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Ensuite, considérons notre fonction pour $x≥0$, puis réfléchissons le graphique par rapport à l'origine.
3) La fonction augmente pour $х≥0$. Pour notre fonction, une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction, ce qui signifie augmenter.
4) La fonction n'est pas limitée par le haut. En fait, à partir d'un nombre arbitrairement grand, vous pouvez calculer la racine du troisième degré, et nous pouvons remonter à l'infini, en trouvant des valeurs toujours plus grandes de l'argument.
5) Pour $x≥0$, la plus petite valeur est 0. Cette propriété est évidente.
Construisons un graphe de la fonction par points pour x≥0.

Construisons notre graphe de la fonction sur tout le domaine de définition. Rappelez-vous que notre fonction est impaire.

Propriétés de la fonction :
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fonction impaire.
3) Augmente de (-∞;+∞).
4) Illimité.
5) Il n'y a pas de valeur minimale ou maximale.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convexe vers le bas de (-∞;0), convexe vers le haut de (0;+∞).

Exemples de résolution de fonctions puissance

Exemples
1. Résolvez l'équation $\sqrt(x)=x$.
La solution. Construisons deux graphes sur le même plan de coordonnées $y=\sqrt(x)$ et $y=x$.

Comme vous pouvez le voir, nos graphiques se croisent en trois points.
Réponse : (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construisez un graphique de la fonction. $y=\sqrt((x-2))-3$.
La solution. Notre graphe est obtenu à partir du graphe de la fonction $y=\sqrt(x)$, en décalant parallèlement deux unités vers la droite et trois unités vers le bas.

3. Construisez un graphe de fonctions et lisez-le. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
La solution. Construisons deux graphes de fonctions sur le même plan de coordonnées, en tenant compte de nos conditions. Pour $х≥-1$ on construit un graphe d'une racine cubique, pour $х≤-1$ un graphe d'une fonction linéaire.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) La fonction n'est ni paire ni impaire.
3) Diminue de (-∞;-1), augmente de (-1;+∞).
4) Illimité d'en haut, limité d'en bas.
5) Il n'y a pas de valeur maximale. La plus petite valeur est moins un.
6) La fonction est continue sur toute la ligne réelle.
7) E(y)= (-1;+∞).

Tâches pour une solution indépendante

1. Résolvez l'équation $\sqrt(x)=2-x$.
2. Tracez la fonction $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Construisez un graphique de la fonction et lisez-le. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.