C 14 racine carrée arithmétique. Comment trouver manuellement la racine carrée d'un nombre

Les mathématiques sont nées lorsqu'une personne a pris conscience de lui-même et a commencé à se positionner comme une unité autonome du monde. Le désir de mesurer, de comparer, de calculer ce qui vous entoure est ce qui sous-tend l'une des sciences fondamentales de nos jours. Au début, c'étaient des particules de mathématiques élémentaires, qui permettaient de relier les nombres à leurs expressions physiques, plus tard les conclusions ont commencé à être présentées uniquement théoriquement (en raison de leur abstraction), mais après un certain temps, comme l'a dit un scientifique, " les mathématiques ont atteint le plafond de la complexité lorsque tous les nombres." Concept " Racine carrée» est apparue à une époque où elle pouvait être facilement étayée par des données empiriques, dépassant le plan des calculs.

Comment tout a commencé

La première mention de la racine, qui sur ce moment noté √, a été enregistré dans les écrits des mathématiciens babyloniens, qui ont jeté les bases de l'arithmétique moderne. Bien sûr, ils ressemblaient un peu à la forme actuelle - les scientifiques de ces années ont d'abord utilisé des comprimés volumineux. Mais au deuxième millénaire av. e. ils ont proposé une formule de calcul approximative qui montrait comment prendre la racine carrée. La photo ci-dessous montre une pierre sur laquelle des scientifiques babyloniens ont gravé le processus de sortie √2, et il s'est avéré si correct que l'écart dans la réponse n'a été trouvé qu'à la dixième décimale.

De plus, la racine était utilisée s'il fallait trouver le côté d'un triangle, à condition que les deux autres soient connus. Eh bien, lors de la résolution d'équations quadratiques, il n'y a pas d'échappatoire à l'extraction de la racine.

Parallèlement aux travaux babyloniens, l'objet de l'article a également été étudié dans l'ouvrage chinois "Mathematics in Nine Books", et les anciens Grecs sont arrivés à la conclusion que tout nombre dont la racine n'est pas extraite sans reste donne un résultat irrationnel .

L'origine de ce terme est associée à la représentation arabe du nombre : les anciens scientifiques croyaient que le carré d'un nombre arbitraire pousse à partir de la racine, comme une plante. En latin, ce mot sonne comme radix (on peut tracer un schéma - tout ce qui a une charge sémantique "racine" est consonne, que ce soit radis ou sciatique).

Les scientifiques des générations suivantes ont repris cette idée, la désignant comme Rx. Par exemple, au XVe siècle, pour indiquer que la racine carrée est tirée d'un nombre arbitraire a, on écrivait R 2 a. Habituel aspect moderne"tique" √ n'est apparu qu'au 17ème siècle grâce à René Descartes.

Nos jours

Mathématiquement, la racine carrée de y est le nombre z dont le carré est y. Autrement dit, z 2 =y est équivalent à √y=z. Cependant, cette définition n'est pertinente que pour la racine arithmétique, puisqu'elle implique une valeur non négative de l'expression. En d'autres termes, √y=z, où z est supérieur ou égal à 0.

En général, ce qui est valable pour déterminer une racine algébrique, la valeur d'une expression peut être soit positive, soit négative. Ainsi, du fait que z 2 =y et (-z) 2 =y, on a : √y=±z ou √y=|z|.

En raison du fait que l'amour pour les mathématiques n'a fait qu'augmenter avec le développement de la science, il existe diverses manifestations d'affection pour elles, non exprimées dans des calculs secs. Par exemple, parallèlement à des événements aussi intéressants que le jour de Pi, les vacances de la racine carrée sont également célébrées. Elles sont célébrées neuf fois en cent ans, et sont déterminées selon le principe suivant : les nombres qui désignent le jour et le mois dans l'ordre doivent être la racine carrée de l'année. Oui, dans la prochaine fois Cette fête sera célébrée le 4 avril 2016.

Propriétés de la racine carrée sur le corps R

Presque toutes les expressions mathématiques ont une base géométrique, ce sort n'est pas passé et √y, qui est défini comme le côté d'un carré d'aire y.

Comment trouver la racine d'un nombre ?

Il existe plusieurs algorithmes de calcul. Le plus simple, mais en même temps assez lourd, est le calcul arithmétique habituel, qui est le suivant :

1) du nombre dont nous avons besoin, les nombres impairs sont soustraits à leur tour - jusqu'à ce que le reste à la sortie soit inférieur à celui soustrait ou pair zéro. Le nombre de coups finira par devenir le nombre souhaité. Par exemple, en calculant la racine carrée de 25 :

Suivant nombre impair est 11, on a le reste suivant : 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pour de tels cas, il existe un développement en série de Taylor :

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , où n prend des valeurs de 0 à

+∞, et |y|≤1.

Représentation graphique de la fonction z=√y

Considérons une fonction élémentaire z=√y sur le corps de nombres réels R, où y est supérieur ou égal à zéro. Son graphique ressemble à ceci :

La courbe croît à partir de l'origine et passe nécessairement par le point (1 ; 1).

Propriétés de la fonction z=√y sur le corps de nombres réels R

1. Le domaine de définition de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est inclus).

2. La plage de valeurs de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est à nouveau inclus).

3. La fonction prend la valeur minimale (0) uniquement au point (0; 0). Il n'y a pas de valeur maximale.

4. La fonction z=√y n'est ni paire ni impaire.

5. La fonction z=√y n'est pas périodique.

6. Il n'y a qu'un seul point d'intersection du graphe de la fonction z=√y avec les axes de coordonnées : (0 ; 0).

7. Le point d'intersection du graphique de la fonction z=√y est aussi le zéro de cette fonction.

8. La fonction z=√y croît continuellement.

9. La fonction z=√y ne prend que des valeurs positives, donc son graphique occupe le premier angle de coordonnées.

Options d'affichage de la fonction z=√y

En mathématiques, pour faciliter le calcul d'expressions complexes, on utilise parfois la forme puissance d'écriture de la racine carrée : √y=y 1/2. Cette option est pratique, par exemple, pour élever une fonction à une puissance : (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Cette méthode est également une bonne représentation pour la différenciation avec intégration, puisque grâce à elle la racine carrée est représentée par une fonction puissance ordinaire.

Et en programmation, le remplacement du symbole √ est la combinaison de lettres sqrt.

Il convient de noter que dans ce domaine, la racine carrée est très demandée, car elle fait partie de la plupart des formules géométriques nécessaires aux calculs. L'algorithme de comptage lui-même est assez compliqué et est basé sur la récursivité (une fonction qui s'appelle elle-même).

La racine carrée dans le corps complexe C

Dans l'ensemble, c'est le sujet de cet article qui a stimulé la découverte du corps des nombres complexes C, puisque les mathématiciens étaient hantés par la question d'obtenir une racine de degré pair à partir d'un nombre négatif. C'est ainsi qu'est apparue l'unité imaginaire i, qui se caractérise par une propriété très intéressante : son carré est -1. Grâce à cela, les équations quadratiques et avec un discriminant négatif ont obtenu une solution. En C, pour la racine carrée, les mêmes propriétés sont pertinentes que dans R, la seule chose est que les restrictions sur l'expression de la racine sont supprimées.

Dans cet article, nous présenterons le concept de la racine d'un nombre. Nous agirons de manière séquentielle : nous commencerons par la racine carrée, à partir de laquelle nous passerons à la description racine cubique, on généralise ensuite la notion de racine en définissant la racine du nième degré. En même temps, nous introduirons des définitions, des notations, donnerons des exemples de racines et donnerons les explications et commentaires nécessaires.

Racine carrée, racine carrée arithmétique

Pour comprendre la définition de la racine d'un nombre, et de la racine carrée en particulier, il faut avoir . À ce stade, nous rencontrerons souvent la deuxième puissance d'un nombre - le carré d'un nombre.

Commençons avec définitions de racine carrée.

Définition

La racine carrée d'un est le nombre dont le carré est un .

Afin d'apporter exemples racines carrées , prenons plusieurs nombres, par exemple, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , et élevons-les au carré, nous obtenons respectivement les nombres 25 , 0,09 , 0,09 et 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 et 0 2 =0 0=0 ). Ensuite, selon la définition ci-dessus, 5 est la racine carrée de 25, -0,3 et 0,3 sont les racines carrées de 0,09 et 0 est la racine carrée de zéro.

Il convient de noter qu'il n'existe pour aucun nombre a , dont le carré est égal à a . A savoir, pour tout nombre négatif a il n'y a pas nombre réel b , dont le carré serait égal à a . En effet, l'égalité a=b 2 est impossible pour tout a négatif, puisque b 2 est un nombre non négatif pour tout b . Ainsi, sur l'ensemble des nombres réels il n'y a pas de racine carrée d'un nombre négatif. Autrement dit, sur l'ensemble des nombres réels, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie et n'a pas de sens.

Cela conduit à une question logique : « Existe-t-il une racine carrée de a pour tout a non négatif » ? La réponse est oui. La justification de ce fait peut être considérée comme une méthode constructive utilisée pour trouver la valeur de la racine carrée.

Alors la question logique suivante se pose : "Quel est le nombre de toutes les racines carrées d'un nombre non négatif donné a - un, deux, trois, ou même plus" ? Voici la réponse : si a vaut zéro, alors la seule racine carrée de zéro est zéro ; si a est un nombre positif, alors le nombre de racines carrées du nombre a est égal à deux, et les racines sont . Justifions cela.

Commençons par le cas a=0 . Montrons d'abord que zéro est bien la racine carrée de zéro. Cela découle de l'égalité évidente 0 2 =0·0=0 et de la définition de la racine carrée.

Prouvons maintenant que 0 est la seule racine carrée de zéro. Utilisons la méthode inverse. Supposons qu'il existe un nombre b non nul qui soit la racine carrée de zéro. Alors la condition b 2 =0 doit être satisfaite, ce qui est impossible, puisque pour tout b non nul la valeur de l'expression b 2 est positive. Nous sommes arrivés à une contradiction. Cela prouve que 0 est la seule racine carrée de zéro.

Passons aux cas où a est un nombre positif. Ci-dessus, nous avons dit qu'il y a toujours une racine carrée de tout nombre non négatif, soit b la racine carrée de a. Disons qu'il existe un nombre c , qui est aussi la racine carrée de a . Alors, par la définition de la racine carrée, les égalités b 2 =a et c 2 =a sont valables, d'où il résulte que b 2 −c 2 =a−a=0, mais puisque b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , alors (b−c) (b+c)=0 . L'égalité résultante en vigueur propriétés des actions avec des nombres réels uniquement possible lorsque b−c=0 ou b+c=0 . Ainsi les nombres b et c sont égaux ou opposés.

Si nous supposons qu'il existe un nombre d, qui est une autre racine carrée du nombre a, alors par un raisonnement semblable à ceux déjà donnés, on prouve que d est égal au nombre b ou au nombre c. Ainsi, le nombre de racines carrées d'un nombre positif est de deux, et les racines carrées sont des nombres opposés.

Pour la commodité de travailler avec des racines carrées, la racine négative est "séparée" de la racine positive. A cet effet, il introduit définition de la racine carrée arithmétique.

Définition

Racine carrée arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le carré est égal à a .

Pour la racine carrée arithmétique du nombre a, la notation est acceptée. Le signe est appelé le signe racine carrée arithmétique. On l'appelle aussi le signe du radical. Par conséquent, vous pouvez en partie entendre à la fois "racine" et "radical", ce qui signifie le même objet.

Le nombre sous le signe de la racine carrée arithmétique s'appelle numéro racine, et l'expression sous le signe racine - expression radicale, tandis que le terme "nombre radical" est souvent remplacé par "expression radicale". Par exemple, dans la notation, le nombre 151 est un nombre radical, et dans la notation, l'expression a est une expression radicale.

Lors de la lecture, le mot "arithmétique" est souvent omis, par exemple, l'entrée est lue comme "la racine carrée de sept virgule vingt-neuf centièmes". Le mot "arithmétique" n'est prononcé que lorsqu'ils veulent souligner que nous parlons de la racine carrée positive d'un nombre.

A la lumière de la notation introduite, il résulte de la définition de la racine carrée arithmétique que pour tout nombre non négatif a .

Les racines carrées d'un nombre positif a s'écrivent en utilisant le signe arithmétique de la racine carrée comme et . Par exemple, les racines carrées de 13 sont et . La racine carrée arithmétique de zéro est zéro, c'est-à-dire . Pour les nombres négatifs a, nous n'attacherons pas de sens aux entrées tant que nous n'aurons pas étudié nombres complexes. Par exemple, les expressions et n'ont aucun sens.

Sur la base de la définition d'une racine carrée, les propriétés des racines carrées sont prouvées, qui sont souvent utilisées dans la pratique.

Pour conclure cette sous-section, notons que les racines carrées d'un nombre sont des solutions de la forme x 2 =a par rapport à la variable x .

racine cubique de

Définition de la racine cubique du nombre a est donnée de manière similaire à la définition de la racine carrée. Seulement, il est basé sur le concept d'un cube d'un nombre, pas d'un carré.

Définition

La racine cubique d'un un nombre dont le cube est égal à a est appelé.

Apportons exemples de racines cubiques. Pour ce faire, prenez plusieurs nombres, par exemple, 7 , 0 , −2/3 , et mettez-les au cube : 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Ensuite, sur la base de la définition de la racine cubique, nous pouvons dire que le nombre 7 est la racine cubique de 343, 0 est la racine cubique de zéro et −2/3 est la racine cubique de −8/27.

On peut montrer que la racine cubique du nombre a, contrairement à la racine carrée, existe toujours, et pas seulement pour a non négatif, mais aussi pour tout nombre réel a. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la même méthode que celle que nous avons mentionnée lors de l'étude de la racine carrée.

De plus, il n'y a qu'une seule racine cubique d'un nombre a donné. Démontrons la dernière assertion. Pour cela, considérons trois cas séparément : a est un nombre positif, a=0 et a est un nombre négatif.

Il est facile de montrer que pour a positif, la racine cubique de a ne peut être ni négative ni nulle. En effet, soit b la racine cubique de a , alors par définition on peut écrire l'égalité b 3 =a . Il est clair que cette égalité ne peut pas être vraie pour b négatif et pour b=0, puisque dans ces cas b 3 =b·b·b sera un nombre négatif ou zéro, respectivement. Donc la racine cubique d'un nombre positif a est un nombre positif.

Supposons maintenant qu'en plus du nombre b, il y ait une autre racine cubique du nombre a, notons-la c. Alors c 3 =a. Donc, b 3 −c 3 =a−a=0 , mais b 3 -c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(c'est la formule de multiplication abrégée différence de cubes), d'où (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . L'égalité résultante n'est possible que lorsque b−c=0 ou b 2 +b c+c 2 =0 . De la première égalité, nous avons b=c , et la deuxième égalité n'a pas de solutions, puisque son côté gauche est un nombre positif pour tous les nombres positifs b et c comme la somme de trois termes positifs b 2 , b c et c 2 . Cela prouve l'unicité de la racine cubique d'un nombre positif a.

Pour a=0, la seule racine cubique de a est zéro. En effet, si nous supposons qu'il existe un nombre b , qui est une racine cubique non nulle de zéro, alors l'égalité b 3 =0 doit être vérifiée, ce qui n'est possible que lorsque b=0 .

Pour a négatif, on peut argumenter de la même manière que pour a positif. Premièrement, nous montrons que la racine cubique d'un nombre négatif ne peut être égale ni à un nombre positif ni à zéro. Deuxièmement, nous supposons qu'il existe une deuxième racine cubique d'un nombre négatif et montrons qu'elle coïncidera nécessairement avec la première.

Ainsi, il y a toujours une racine cubique d'un nombre réel donné a, et une seule.

Donne moi définition de la racine cubique arithmétique.

Définition

Racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a un nombre non négatif dont le cube est égal à a est appelé.

La racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est notée , le signe est appelé le signe de la racine cubique arithmétique, le nombre 3 dans cette notation est appelé indicateur racine. Le nombre sous le signe racine est numéro racine, l'expression sous le signe racine est expression radicale.

Bien que la racine cubique arithmétique ne soit définie que pour les nombres non négatifs a, il est également pratique d'utiliser des entrées dans lesquelles les nombres négatifs sont sous le signe de la racine cubique arithmétique. Nous les comprendrons comme suit : , où a est un nombre positif. Par example, .

Nous parlerons des propriétés des racines cubiques dans l'article général sur les propriétés des racines.

Calculer la valeur d'une racine cubique s'appelle extraire une racine cubique, cette action est abordée dans l'article extraction des racines : méthodes, exemples, solutions.

Pour conclure cette sous-section, on dit que la racine cubique de a est une solution de la forme x 3 =a.

Nième racine, racine arithmétique de n

Nous généralisons le concept de racine à partir d'un nombre - nous introduisons détermination de la nième racine pour n.

Définition

nième racine de a est un nombre dont la puissance n est égale à a.

D'après cette définition, il est clair que la racine du premier degré du nombre a est le nombre a lui-même, puisque lors de l'étude du degré avec un indicateur naturel, nous avons pris a 1 = a.

Ci-dessus, nous avons considéré des cas particuliers de la racine du nième degré pour n=2 et n=3 - la racine carrée et la racine cubique. Autrement dit, la racine carrée est la racine du deuxième degré et la racine cubique est la racine du troisième degré. Pour étudier les racines du nième degré pour n=4, 5, 6, ..., il convient de les diviser en deux groupes : le premier groupe - les racines des degrés pairs (c'est-à-dire pour n=4, 6 , 8, ...), le deuxième groupe - les racines des puissances impaires (c'est-à-dire pour n=5, 7, 9, ... ). Cela est dû au fait que les racines des degrés pairs sont similaires à la racine carrée et que les racines des degrés impairs sont similaires à la racine cubique. Traitons-les tour à tour.

Commençons par les racines dont les puissances sont les nombres pairs 4, 6, 8, ... Comme nous l'avons déjà dit, elles sont semblables à la racine carrée du nombre a. Autrement dit, la racine de tout degré pair du nombre a n'existe que pour a non négatif. De plus, si a=0, alors la racine de a est unique et égale à zéro, et si a>0, alors il y a deux racines de degré pair à partir du nombre a, et ce sont des nombres opposés.

Justifions la dernière affirmation. Soit b une racine de degré pair (on la note 2 m, où m est un entier naturel) du numéro a . Supposons qu'il existe un nombre c - une autre racine de 2 m de a . Alors b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Mais nous connaissons la forme b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), alors (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. De cette égalité il résulte que b−c=0 , ou b+c=0 , ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Les deux premières égalités signifient que les nombres b et c sont égaux ou b et c sont opposés. Et la dernière égalité n'est valable que pour b=c=0 , puisque son côté gauche contient une expression non négative pour tout b et c comme somme de nombres non négatifs.

Quant aux racines du nième degré pour n impair, elles sont similaires à la racine cubique. Autrement dit, la racine de tout degré impair du nombre a existe pour tout nombre réel a, et pour un nombre donné a, elle est unique.

L'unicité de la racine de degré impair 2·m+1 à partir du nombre a se prouve par analogie avec la preuve de l'unicité de la racine cubique à partir de a . Seulement ici au lieu de l'égalité une 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) une égalité de la forme b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). L'expression entre la dernière parenthèse peut être réécrite comme b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Par exemple, pour m=2 on a b 5 -c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Lorsque a et b sont tous deux positifs ou tous deux négatifs, leur produit est un nombre positif, alors l'expression b 2 +c 2 +b·c , qui est entre parenthèses du plus haut degré d'emboîtement, est positive comme la somme des nombres positifs Nombres. Maintenant, en passant successivement aux expressions entre parenthèses des degrés d'imbrication précédents, on s'assure qu'elles sont aussi positives que les sommes de nombres positifs. Par conséquent, on obtient que l'égalité b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 possible uniquement lorsque b−c=0 , c'est-à-dire lorsque le nombre b est égal au nombre c .

Il est temps de s'occuper de la notation des racines du nième degré. Pour cela, il est donné détermination de la racine arithmétique du nième degré.

Définition

racine arithmétique nième puissance d'un nombre non négatif a on appelle un nombre non négatif dont la puissance n est égale à a.

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Ce concept est très simple. Naturel, je dirais. Les mathématiciens essaient de trouver une réaction à chaque action. Il y a addition et il y a soustraction. Il y a multiplication et il y a division. Il y a la quadrature... Donc il y a aussi extraire la racine carrée ! C'est tout. Cette action ( prendre la racine carrée) en mathématiques est indiqué par cette icône :

L'icône elle-même s'appelle beau mot "radical".

Comment extraire la racine ? Il vaut mieux considérer exemples.

Quelle est la racine carrée de 9 ? Et quel nombre au carré nous donnera 9 ? 3 au carré nous donne 9 ! Ceux:

Quelle est la racine carrée de zéro ? Aucun problème! Quel nombre au carré zéro donne ? Oui, lui-même donne zéro! Moyens:

Pris qu'est-ce qu'une racine carrée? Ensuite on considère exemples:

Réponses (en désordre) : 6 ; une; 4 ; neuf; 5.

Décidé? Vraiment, c'est beaucoup plus facile !

Mais... Que fait une personne lorsqu'elle voit une tâche avec des racines ?

Une personne commence à aspirer ... Il ne croit pas à la simplicité et à la légèreté des racines. Bien qu'il semble savoir qu'est-ce que la racine carrée...

C'est parce qu'une personne a ignoré plusieurs points importants lors de l'étude des racines. Puis ces effets de mode prennent brutalement leur revanche sur les tests et les examens...

Point un. Les racines doivent être reconnues à vue !

Quelle est la racine carrée de 49 ? Sept? À droite! Comment saviez-vous qu'il y en avait sept ? Sept au carré et obtenu 49 ? Correctement! Veuillez noter que extraire la racine sur 49, nous avons dû faire l'opération inverse - case 7 ! Et assurez-vous que nous ne manquons rien. Ou ils pourraient rater...

C'est là que réside la difficulté extraction de racine. Quadrature n'importe quel nombre est possible sans aucun problème. Multipliez le nombre par lui-même dans une colonne - et c'est tout. Mais pour extraction de racine il n'y a pas de technologie aussi simple et sans problème. compte pour Récupérer répondez et vérifiez qu'il n'y a pas de coup au carré.

Ce processus créatif complexe - choisir une réponse - est grandement simplifié si vous rappelles toi carrés de nombres populaires. Comme une table de multiplication. Si, disons, vous devez multiplier 4 par 6 - vous n'additionnez pas les quatre 6 fois, n'est-ce pas ? La réponse apparaît immédiatement 24. Bien que tout le monde ne l'ait pas, oui ...

Pour un travail gratuit et réussi avec les racines, il suffit de connaître les carrés des nombres de 1 à 20. De plus, là et arrière. Ceux. vous devriez être capable de nommer facilement à la fois, disons, 11 au carré et la racine carrée de 121. Pour réaliser cette mémorisation, il y a deux façons. La première consiste à apprendre la table des carrés. Cela aidera beaucoup avec des exemples. Deuxièmement, décidez plus d'exemples. C'est bien de se souvenir de la table des carrés.

Et pas de calculatrices ! Pour vérification seulement. Sinon, vous allez ralentir sans pitié pendant l'examen...

Alors, qu'est-ce que la racine carrée Et comment extraire les racines- Je pense que c'est compréhensible. Découvrons maintenant DE QUOI vous pouvez les extraire.

Point deux. Racine, je ne te connais pas !

De quels nombres peux-tu tirer des racines carrées ? Oui, presque n'importe lequel. C'est plus facile de comprendre ce que c'est interdit les extraire.

Essayons de calculer cette racine :

Pour ce faire, vous devez choisir un nombre qui au carré nous donnera -4. Nous sélectionnons.

Qu'est-ce qui n'est pas sélectionné ? 2 2 donne +4. (-2) 2 donne encore +4 ! C'est tout... Il n'y a pas de nombres qui, une fois au carré, nous donneront un nombre négatif ! Même si je connais les chiffres. Mais je ne vous le dirai pas.) Allez à l'université et découvrez par vous-même.

La même histoire sera avec n'importe quel nombre négatif. D'où la conclusion :

Une expression dans laquelle un nombre négatif est sous le signe de la racine carrée - n'a pas de sens! C'est une opération interdite. Aussi interdit que la division par zéro. Gardez ce fait à l'esprit ! Ou, en d'autres termes :

Vous ne pouvez pas extraire les racines carrées des nombres négatifs !

Mais de tout le reste - vous pouvez. Par exemple, il est possible de calculer

A première vue, c'est très difficile. Prenez des fractions, mais mettez au carré... Ne vous inquiétez pas. Lorsque nous traiterons des propriétés des racines, de tels exemples seront réduits à la même table des carrés. La vie deviendra plus facile !

Ok les fractions. Mais nous rencontrons encore des expressions comme :

C'est bon. Tous les mêmes. La racine carrée de deux est le nombre qui, une fois élevé au carré, nous donnera un deux. Seul le nombre est complètement impair... Le voici :

Fait intéressant, cette fraction ne finit jamais... De tels nombres sont appelés irrationnels. En racines carrées, c'est la chose la plus courante. Au fait, c'est pourquoi les expressions avec des racines sont appelées irrationnel. Il est clair qu'écrire une telle fraction infinie tout le temps n'est pas pratique. Par conséquent, au lieu d'une fraction infinie, ils la laissent comme ceci :

Si, lors de la résolution de l'exemple, vous obtenez quelque chose qui n'est pas extractible, tel que :

puis on laisse comme ça. Ce sera la réponse.

Vous devez comprendre clairement ce qui se trouve sous les icônes

Bien sûr, si la racine du nombre est prise lisse, vous devez le faire. La réponse de la tâche dans le formulaire, par exemple

une réponse assez complète.

Et, bien sûr, vous devez connaître les valeurs approximatives de mémoire :

Cette connaissance aide beaucoup à évaluer la situation dans des tâches complexes.

Point trois. Le plus rusé.

La principale confusion dans le travail avec les racines vient de cette mode. C'est lui qui donne confiance en propres forces... Traitons cette mode correctement !

Pour commencer, nous extrayons à nouveau la racine carrée de leur quatre. Quoi, je t'ai déjà eu avec cette racine ?) Rien, maintenant ça va être intéressant !

Quel nombre donnera dans le carré de 4 ? Eh bien, deux, deux - j'entends des réponses insatisfaites ...

À droite. Deux. Mais aussi moins deux donnera 4 au carré ... Pendant ce temps, la réponse

correct et la réponse

erreur la plus grossière. Comme ça.

Alors, quel est le problème ?

En effet, (-2) 2 = 4. Et sous la définition de la racine carrée de quatre moins deux tout à fait convenable... C'est aussi la racine carrée de quatre.

Mais! Dans le cours scolaire de mathématiques, il est d'usage de considérer les racines carrées uniquement des nombres non négatifs ! C'est-à-dire zéro et tout positif. Même un terme spécial a été inventé: du nombre un- Cette non négatif nombre dont le carré est un. Les résultats négatifs lors de l'extraction de la racine carrée arithmétique sont simplement ignorés. A l'école, toutes les racines carrées - arithmétique. Même si ce n'est pas spécifiquement mentionné.

D'accord, c'est compréhensible. C'est encore mieux de ne pas déconner avec des résultats négatifs... Ce n'est pas encore la confusion.

La confusion commence lors de la résolution d'équations quadratiques. Par exemple, vous devez résoudre l'équation suivante.

L'équation est simple, on écrit la réponse (telle qu'enseignée):

Cette réponse (tout à fait correcte, soit dit en passant) n'est qu'une notation abrégée deux réponses:

Stop STOP! Un peu plus haut j'ai écrit que la racine carrée est un nombre toujours non négatif ! Et voici l'une des réponses - négatif! Désordre. C'est le premier (mais pas le dernier) problème qui provoque la méfiance des racines... Résolvons ce problème. Écrivons les réponses (uniquement pour la compréhension !) comme ceci :

Les parenthèses ne changent pas l'essence de la réponse. je viens de séparer entre parenthèses panneaux depuis racine. Maintenant, on voit clairement que la racine elle-même (entre parenthèses) est toujours un nombre non négatif ! Et les signes sont le résultat de la résolution de l'équation. Après tout, lors de la résolution d'une équation, nous devons écrire tout x, qui, une fois substitué dans l'équation d'origine, donnera le résultat correct. La racine de cinq (positive !) convient à notre équation avec à la fois plus et moins.

Comme ça. Si tu prends juste la racine carrée de tout ce que vous toujours avoir un non négatif résultat. Par example:

Parce qu'il - racine carrée arithmétique.

Mais si tu décides équation quadratique, taper:

alors toujours il s'avère deux réponse (avec plus et moins):

Parce que c'est la solution d'une équation.

Espoir, qu'est-ce que la racine carrée vous avez bien compris vos points. Reste maintenant à savoir ce que l'on peut faire avec les racines, quelles sont leurs propriétés. Et quelles sont les modes et les boîtes sous-marines ... excusez-moi, les pierres!)

Tout cela - dans les prochaines leçons.

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Parmi les nombreuses connaissances qui sont un signe d'alphabétisation, l'alphabet occupe la première place. Le suivant, le même élément "signe", sont les compétences d'addition-multiplication et, adjacentes à elles, mais de sens inverse, les opérations arithmétiques de soustraction-division. Les compétences acquises dans l'enfance à l'école lointaine servent fidèlement jour et nuit : TV, journal, SMS, Et partout où nous lisons, écrivons, comptons, additionnons, soustrayons, multiplions. Et, dis-moi, as-tu souvent dû t'enraciner dans la vie, sauf à la campagne ? Par exemple, un problème aussi amusant, comme la racine carrée du nombre 12345... Y a-t-il encore de la poudre à canon dans les flacons de poudre ? Pouvons-nous le faire? Oui, il n'y a rien de plus simple ! Où est ma calculatrice... Et sans elle, au corps à corps, faible ?

Tout d'abord, clarifions ce que c'est - la racine carrée d'un nombre. D'une manière générale, "extraire la racine d'un nombre" signifie effectuer l'opération arithmétique opposée à l'élévation à une puissance - ici vous avez l'unité des contraires dans l'application de la vie. disons qu'un carré est une multiplication d'un nombre par lui-même, c'est-à-dire, comme ils l'ont enseigné à l'école, X * X = A ou dans une autre notation X2 = A, et en mots - "X au carré est égal à A". Alors le problème inverse ressemble à ceci : la racine carrée du nombre A, est le nombre X, qui, mis au carré, est égal à A.

Extraction de la racine carrée

Depuis le cours scolaire d'arithmétique, on connaît des méthodes de calcul "dans une colonne", qui permettent d'effectuer tous les calculs en utilisant les quatre premiers opérations arithmétiques. Hélas ... Pour le carré, et pas seulement le carré, les racines de tels algorithmes n'existent pas. Et dans ce cas, comment extraire la racine carrée sans calculatrice ? Sur la base de la définition de la racine carrée, il n'y a qu'une seule conclusion - il est nécessaire de sélectionner la valeur du résultat par énumération séquentielle de nombres, dont le carré se rapproche de la valeur de l'expression racine. Seulement et tout ! Avant qu'une heure ou deux ne se soient écoulées, il peut être calculé en utilisant la méthode bien connue de multiplication dans une "colonne", n'importe quelle racine carrée. Si vous avez les compétences, quelques minutes suffisent pour cela. Même un utilisateur de calculatrice ou de PC pas tout à fait avancé le fait d'un seul coup - le progrès.

Mais sérieusement, le calcul de la racine carrée est souvent effectué à l'aide de la technique de la "fourchette d'artillerie": d'abord, ils prennent un nombre dont le carré correspond approximativement à l'expression de la racine. C'est mieux si "notre carré" est légèrement inférieur à cette expression. Ensuite, ils corrigent le nombre en fonction de leur propre compréhension des compétences, par exemple, multiplient par deux et ... le mettent au carré à nouveau. Si le résultat plus de nombre sous la racine, ajustant séquentiellement le nombre d'origine, se rapprochant progressivement de son "collègue" sous la racine. Comme vous pouvez le voir - pas de calculatrice, seulement la possibilité de compter "dans une colonne". Bien sûr, il existe de nombreux algorithmes scientifiquement raisonnés et optimisés pour calculer la racine carrée, mais pour un "usage domestique", la technique ci-dessus donne une confiance de 100% dans le résultat.

Oui, j'ai presque oublié, afin de confirmer notre alphabétisation accrue, nous calculons la racine carrée du nombre 12345 précédemment indiqué. Nous le faisons étape par étape :

1. Prenons, purement intuitivement, X=100. Calculons : X * X = 10000. L'intuition est au top - le résultat est inférieur à 12345.

2. Essayons, également de manière purement intuitive, X = 120. Alors : X * X = 14400. Et encore une fois, avec intuition, l'ordre - le résultat est supérieur à 12345.

3. Ci-dessus, on obtient une «fourchette» de 100 et 120. Choisissons de nouveaux nombres - 110 et 115. Nous obtenons respectivement 12100 et 13225 - la fourchette se rétrécit.

4. Nous essayons "peut-être" X = 111. On obtient X * X = 12321. Ce nombre est déjà assez proche de 12345. Conformément à la précision requise, le « montage » peut être poursuivi ou arrêté au résultat obtenu. C'est tout. Comme promis - tout est très simple et sans calculatrice.

Un peu d'histoire...

Même les Pythagoriciens, élèves de l'école et disciples de Pythagore, pensaient utiliser les racines carrées, 800 av. et juste là, "est tombé sur" de nouvelles découvertes dans le domaine des nombres. Et d'où vient-il?

1. La solution du problème avec l'extraction de la racine, donne le résultat sous forme de nombres d'une nouvelle classe. Ils ont été qualifiés d'irrationnels, c'est-à-dire de "déraisonnables", parce que. ils ne sont pas écrits comme un nombre complet. L'exemple le plus classique de ce genre est la racine carrée de 2. Ce cas correspond au calcul de la diagonale d'un carré de côté égal à 1 - c'est là l'influence de l'école pythagoricienne. Il s'est avéré que dans un triangle avec une taille unitaire très spécifique des côtés, l'hypoténuse a une taille qui s'exprime par un nombre qui "n'a pas de fin". Ainsi en mathématiques est apparu

2. On sait qu'il s'est avéré que ce opération mathématique contient un piège supplémentaire - en extrayant la racine, nous ne savons pas quel carré de quel nombre, positif ou négatif, est l'expression de la racine. Cette incertitude, double résultat d'une opération, est écrite.

L'étude des problèmes associés à ce phénomène est devenue une direction des mathématiques appelée théorie d'une variable complexe, qui revêt une grande importance pratique en physique mathématique.

Il est curieux que la désignation racine - radical - ait été utilisée dans son "Arithmétique universelle" par le même I. Newton omniprésent, mais exactement aspect moderne L'enregistrement racine est connu depuis 1690 dans le livre du Frenchman Roll "Guide to Algebra".