Sujet de la leçon : Opérations arithmétiques dans les systèmes de nombres positionnels.

9e année

Objectifs de la leçon:

Didactique: initier les élèves à l'addition, à la soustraction, à la multiplication et à la division dans le système binaire et effectuer une pratique primaire de l'habileté d'effectuer ces actions.

Éducatif: développer l'intérêt des élèves pour l'apprentissage de nouvelles choses, montrer la possibilité d'une approche non standard des calculs.

Développement: développer l'attention, la rigueur de la pensée, la capacité de raisonnement.

Structuration de la leçon.

Orgmoment -1 minute.

Vérification des devoirs avec une épreuve orale -15 minutes.

Devoirs -2 minutes.

Résoudre des problèmes avec une analyse simultanée et un développement indépendant du matériel -25 min.

Résumant la leçon -2 minutes.

PENDANT LES COURS

Moment d'organisation.

Vérification des devoirs (épreuve orale) .

L'enseignant lit les questions dans l'ordre. Les élèves écoutent attentivement la question sans l'écrire. Seule la réponse est enregistrée, et très brièvement. (S'il est possible de répondre par un mot, alors seul ce mot est enregistré).

Qu'est-ce qu'un système de numération ? (-il s'agit d'un système de signes dans lequel les nombres sont écrits selon certaines règles en utilisant les caractères d'un alphabet appelé nombres )

Quels systèmes de numération connaissez-vous ?( non positionnel et positionnel )

Quel système est appelé non positionnel ? (SCH est dit non positionnel si l'équivalent quantitatif (valeur quantitative) d'un chiffre dans un nombre ne dépend pas de sa position dans la notation du nombre ).

Quelle est la base du SSC positionnel. (égal au nombre de chiffres composant son alphabet )

Quelle opération mathématique doit être utilisée pour convertir un entier d'un NSC décimal en un autre ? (division )

Que faut-il faire pour convertir un nombre décimal en binaire ? (Diviser systématiquement par 2 )

Combien de fois le nombre 11,1 diminuera-t-il 2 lors du déplacement de la virgule d'un caractère vers la gauche ? (2 fois )

Écoutons maintenant un verset sur une fille extraordinaire et répondons aux questions. (Ressemble à un verset )

FILLE EXTRAORDINAIRE

Elle avait mille et cent ans
Elle est allée à la cent unième classe,
J'avais une centaine de livres dans mon portefeuille.
Tout cela est vrai, pas absurde.

Quand, saupoudré d'une douzaine de pieds,
Elle marchait le long de la route.
Elle était toujours suivie d'un chiot
Avec une queue, mais cent pattes.

Elle a capté chaque son
Avec dix oreilles
Et dix mains bronzées
Ils tenaient une mallette et une laisse.

Et dix yeux bleu foncé
Considéré habituellement comme le monde,
Mais tout deviendra tout à fait normal,
Quand tu comprends mon histoire.

/ N. Starikov /

Et quel âge avait la fille ? (12 ans ) Dans quelle classe est-elle allée ? (5e année ) Combien de bras et de jambes avait-elle ? (2 bras, 2 jambes ) Comment un chiot a-t-il 100 pattes ? (4 pattes )

Après avoir terminé le test, les réponses sont prononcées à haute voix par les étudiants eux-mêmes, un auto-examen est effectué et les étudiants se donnent des notes.

Critère:

10 bonnes réponses (peut-être un petit défaut) - "5" ;

9 ou 8 - "4" ;

7, 6 – “3”;

les autres sont "2".

II. Devoirs (2 minutes)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Travailler avec du nouveau matériel

Opérations arithmétiques dans le système binaire.

L'arithmétique du système binaire est basée sur l'utilisation de tables d'addition, de soustraction et de multiplication de chiffres. Les opérandes arithmétiques sont situés dans la ligne supérieure et dans la première colonne des tableaux, et les résultats sont à l'intersection des colonnes et des lignes :

0

1

1

1

Une addition.

La table d'addition binaire est extrêmement simple. Ce n'est que dans un cas, lorsque l'addition 1 + 1 est effectuée, qu'un transfert vers le bit de poids fort se produit.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Soustraction.

Lors d'une opération de soustraction, un nombre plus petit est toujours soustrait d'un nombre plus grand en valeur absolue, et le signe correspondant est mis. Dans le tableau de soustraction, un 1 avec une barre signifie un prêt d'ordre élevé. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Multiplication

L'opération de multiplication est effectuée à l'aide de la table de multiplication selon le schéma usuel utilisé dans le système de numération décimale avec multiplication successive du multiplicateur par le chiffre suivant du multiplicateur. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

La multiplication est réduite aux déplacements du multiplicande et aux additions.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Résumé de la leçon

Carte pour les travaux supplémentaires des étudiants.

Effectuez des opérations arithmétiques :

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Une addition. L'addition de nombres dans le système de numération binaire est basée sur la table d'addition des nombres binaires à un chiffre (tableau 6).

Il est important de faire attention au fait que lors de l'ajout de deux unités, un transfert est effectué vers le chiffre le plus élevé. Cela se produit lorsque la valeur d'un nombre devient égale ou supérieure à la base du système numérique.

L'addition des nombres binaires à plusieurs chiffres s'effectue conformément au tableau d'addition ci-dessus, en tenant compte des éventuels transferts des chiffres inférieurs vers les chiffres supérieurs. Par exemple, ajoutons des nombres binaires dans une colonne :

Vérifions l'exactitude des calculs par addition dans le système de numération décimale. Convertissons les nombres binaires en système décimal et additionnons-les :

Soustraction. La soustraction de nombres binaires est basée sur le tableau de soustraction de nombres binaires à un chiffre (tableau 7).

En soustrayant d'un plus petit nombre (0) un plus grand (1), un prêt est effectué à partir de l'ordre le plus élevé. Dans le tableau, le prêt est indiqué par 1 avec une barre.

La soustraction de nombres binaires à plusieurs chiffres est mise en œuvre conformément à ce tableau, en tenant compte d'éventuels emprunts en chiffres de poids fort.

Par exemple, soustrayons des nombres binaires :

Multiplication. La multiplication est basée sur la table de multiplication des nombres binaires à un chiffre (tableau 8).

La multiplication de nombres binaires à plusieurs chiffres est effectuée conformément à cette table de multiplication selon le schéma usuel utilisé dans le système de nombre décimal, avec multiplication successive du multiplicateur par le chiffre suivant du multiplicateur. Prenons un exemple de multiplication binaire

Remarque : Lors de l'addition de deux nombres égaux à 1, 0 est obtenu dans ce chiffre, et le 1er est transféré au chiffre le plus significatif.

Exemple_21: Les numéros 101 (2) et 11 (2) sont donnés. Trouvez la somme de ces nombres.

où 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Vérifier : 5+3=8.

En soustrayant un de 0, une unité est prise du chiffre le plus proche le plus élevé, qui est différent de 0. Dans le même temps, une unité occupée dans le chiffre le plus élevé donne 2 unités dans le chiffre le moins significatif et une dans tous les chiffres entre le chiffre le plus élevé. et le plus bas.

Exemple_22: Les numéros 101 (2) et 11 (2) sont donnés. Trouvez la différence entre ces nombres.

où 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Vérification : 5-3=2.

L'opération de multiplication est réduite à un décalage et à une addition répétés.

Exemple_23: Les numéros 11 (2) et 10 (2) sont donnés. Trouvez le produit de ces nombres.

où 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Vérifier : 3*2=6.

Opérations arithmétiques dans le système de numération octal

Lors de l'addition de deux nombres dont la somme est égale à 8, dans cette catégorie, 0 est obtenu et le 1er est transféré à l'ordre le plus élevé.

Exemple_24: Les numéros 165 (8) et 13 (8) sont donnés. Trouvez la somme de ces nombres.

où 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Lors de la soustraction d'un nombre plus grand d'un nombre plus petit, une unité est tirée du chiffre le plus proche le plus élevé qui est différent de 0. Dans le même temps, une unité occupée dans le chiffre le plus élevé donne 8 dans le chiffre le moins significatif.

Exemple_25: Les numéros 114 (8) et 15 (8) sont donnés. Trouvez la différence entre ces nombres.

où 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Opérations arithmétiques dans le système de numération hexadécimal

Lors de l'addition de deux nombres, totalisant 16, 0 est écrit dans cette catégorie et le 1 est transféré à l'ordre le plus élevé.

Exemple_26: Les numéros 1B5 (16) et 53 (16) sont donnés. Trouvez la somme de ces nombres.

où 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Lors de la soustraction d'un nombre plus grand d'un nombre plus petit, une unité est prise à partir du chiffre le plus proche le plus élevé autre que 0. Dans le même temps, une unité occupée dans le chiffre le plus élevé donne 16 dans le chiffre le moins significatif.

Exemple_27: Les numéros 11A (16) et 2C (16) sont donnés. Trouvez la différence entre ces nombres.

où 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Encodage des données informatiques

Les données dans un ordinateur sont représentées sous forme de code, composé de uns et de zéros dans différentes séquences.

Le code– un ensemble de symboles pour présenter des informations. L'encodage est le processus de présentation des informations sous la forme d'un code.

Codes numériques

Lorsqu'ils effectuent des opérations arithmétiques sur un ordinateur, ils utilisent direct, inverse et Additionnel codes numériques.

Indicatif direct

Droit le code (représentation sous la forme d'une valeur absolue avec un signe) d'un nombre binaire est le nombre binaire lui-même, dans lequel tous les chiffres représentant sa valeur sont écrits comme en notation mathématique, et le signe du nombre est écrit comme un chiffre binaire.

Les nombres entiers peuvent être représentés dans un ordinateur avec ou sans signe.

Les entiers non signés occupent généralement un ou deux octets de mémoire. Pour stocker des entiers signés, un, deux ou quatre octets sont alloués, tandis que le bit le plus significatif (le plus à gauche) est alloué sous le signe du nombre. Si le nombre est positif, alors 0 est écrit sur ce bit, s'il est négatif, alors 1.

Exemple_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Les nombres positifs dans l'ordinateur sont toujours représentés à l'aide d'un code direct. Le code direct du numéro coïncide complètement avec l'entrée du numéro lui-même dans la cellule de la machine. Le code direct d'un nombre négatif ne diffère du code direct du nombre positif correspondant que par le contenu du bit de signe.

Le code direct est utilisé lors du stockage de nombres dans la mémoire de l'ordinateur, ainsi que lors de l'exécution d'opérations de multiplication et de division, mais le format de représentation des nombres dans un code direct n'est pas pratique pour une utilisation dans les calculs, car l'addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs sont effectuées différemment, et il est donc nécessaire d'analyser les bits d'opérande de signe. Par conséquent, le code direct n'est pratiquement pas utilisé lors de la mise en œuvre d'opérations arithmétiques sur des nombres entiers dans l'ALU. Mais les entiers négatifs ne sont pas représentés dans l'ordinateur par un code direct. Au lieu de ce format, des formats de représentation des nombres à l'envers et des codes supplémentaires se sont généralisés.

Inverser le code

Inverser le code d'un nombre positif coïncide avec un nombre direct, et lors de l'écriture d'un nombre négatif, tous ses chiffres, à l'exception du chiffre représentant le signe du nombre, sont remplacés par des opposés (0 est remplacé par 1, et 1 est remplacé par 0 ).

Exemple_29:

Exemple_30:

Pour restaurer le code direct d'un nombre négatif à partir du code inverse, tous les chiffres, à l'exception du chiffre représentant le signe du nombre, doivent être remplacés par des opposés.

Code supplémentaire

Code supplémentaire d'un nombre positif coïncide avec le direct, et le code d'un nombre négatif est formé en ajoutant 1 au code inverse.

Exemple_31:

Exemple_32:

Exemple_33:

Pour un entier -32 (10), écrivez un code supplémentaire.

1. Après avoir converti le nombre 32 (10) dans le système binaire, nous obtenons :

32 (10) =100000 (2) .

2. Le code direct du nombre positif 32 (10) est 0010 0000.

3. Pour un nombre négatif -32 (10), le code direct est 1010 0000.

4. Le code inverse du nombre -32 (10) est 1101 1111.

5. Le code supplémentaire du nombre -32 (10) est 1110 0000.

Exemple_34:

Le code supplémentaire du nombre est 0011 1011. Trouvez la valeur du nombre en notation décimale.

1. Le premier chiffre (signe) du nombre 0 011 1011 vaut 0, donc le nombre est positif.

2. Pour un nombre positif, les codes additionnels, inverses et directs sont les mêmes.

3. Le nombre dans le système binaire est obtenu à partir de l'enregistrement du code direct - 111011 (2) (nous supprimons les zéros des chiffres les plus élevés).

4. Le nombre 111011 (2) après avoir été converti au système décimal est 59 (10).

Exemple_35:

Le code supplémentaire du nombre est 1011 1011. Trouvez la valeur du nombre en notation décimale.

1. Signer le chiffre d'un nombre 1 011 1011 vaut 1, donc le nombre est négatif.

2. Pour déterminer le code inverse du numéro, soustrayez un du code supplémentaire. Le code inverse est 1 011 1010.

3. Le code direct est obtenu à partir de l'inverse en remplaçant tous les chiffres binaires du nombre par les opposés (1 pour 0, 0 pour 1). Le code direct du numéro est 1 100 0101 (dans le bit de signe on écrit 1).

4. Le nombre dans le système binaire est obtenu à partir de l'enregistrement du code direct - -100 0101 (2).

4. Le nombre -1000101 (2) après conversion en décimal est égal à -69 (10).

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Arithmétique binaire

Les nombres que nous avons l'habitude d'utiliser sont appelés décimaux et l'arithmétique que nous utilisons est également appelée décimale. En effet, chaque numéro peut être composé d'un ensemble de chiffres contenant 10 caractères - chiffres - "0123456789".

Les mathématiques se sont développées de telle manière que c'est cet ensemble qui est devenu le principal, mais l'arithmétique décimale n'est pas la seule. Si nous ne prenons que cinq chiffres, alors sur leur base, nous pouvons construire une arithmétique quintuple, à partir de sept chiffres - sept fois. Dans les domaines de connaissances liés à la technologie informatique, l'arithmétique est souvent utilisée dans laquelle les nombres sont composés de seize chiffres, respectivement, cette arithmétique est appelée hexadécimale. Pour comprendre ce qu'est un nombre en arithmétique non décimale, nous découvrons d'abord ce qu'est un nombre en arithmétique décimale.

Prenons, par exemple, le nombre 246. Cette entrée signifie qu'il y a deux centaines, quatre dizaines et six unités dans le nombre. On peut donc écrire l'égalité suivante :

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Ici, les signes égal séparent trois manières d'écrire le même nombre. La plus intéressante pour nous maintenant est la troisième forme d'écriture : 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Il est organisé comme suit :

Nous avons trois numéros. Le chiffre "2" le plus élevé a le chiffre 3. Il est donc multiplié par 10 à la seconde puissance. Le chiffre suivant "4" a le numéro de série 2 et est multiplié par 10 dans le premier. On peut déjà voir que les chiffres sont multipliés par dix à la puissance un de moins que le nombre ordinal du chiffre. Après avoir compris ce qui a été dit, nous pouvons écrire la formule générale pour représenter un nombre décimal. Soit un nombre à N chiffres. On notera le i-ième chiffre par un i. Alors le nombre peut être écrit sous la forme suivante : a n a n-1 ….a 2 a 1 . Ceci est le premier formulaire, et le troisième formulaire d'entrée ressemblera à ceci :

une n une n-1 ….une 2 une 1 = une n * 10 n-1 + une n-1 * 10 n-2 + …. + un 2 * 10 1 + un 1 * 10 0

où a i est un caractère de l'ensemble "0123456789"

Dans cette entrée, le rôle de dix est très clairement visible. Dix est la base de la formation du nombre. Et au fait, on l'appelle "la base du système de numération", et le système de numération lui-même, c'est pourquoi on l'appelle "décimal". Bien sûr, le nombre dix n'a pas de propriétés particulières. Nous pouvons facilement remplacer dix par n'importe quel autre nombre. Par exemple, un nombre dans le système de numération à cinq chiffres peut être écrit comme ceci :

une n une n-1 ….une 2 une 1 = une n * 5 n-1 + une n-1 * 5 n-2 + …. + un 2 * 5 1 + un 1 * 5 0

où a i est un caractère de l'ensemble "01234"

En général, nous remplaçons 10 par n'importe quel autre nombre et obtenons un système de numération complètement différent et une arithmétique différente. L'arithmétique la plus simple est obtenue si 10 est remplacé par 2. Le système numérique résultant est appelé binaire et le nombre qu'il contient est défini comme suit :

une n une n-1 ….une 2 une 1 = une n * 2 n-1 + une n-1 * 2 n-2 + …. + un 2 * 2 1 + un 1 * 2 0

où a i est un caractère de l'ensemble "01"

Ce système est le plus simple de tous, car tout nombre n'est formé que de deux chiffres 0 et 1. Il est clair qu'il n'y a nulle part plus simple. Exemples de nombres binaires : 10, 111, 101.

Question très importante. Un nombre binaire peut-il être représenté par un nombre décimal et vice versa, un nombre décimal peut-il être représenté par un nombre binaire.

Binaire à décimal. C'est très simple. La méthode d'une telle traduction donne notre façon d'écrire les nombres. Prenons, par exemple, le nombre binaire suivant 1011. Développons-le en puissances de deux. Nous obtenons ce qui suit :

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Nous effectuons toutes les actions enregistrées et obtenons :

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Ainsi, nous obtenons que 1011 (binaire) = 11 (décimal). Vous pouvez immédiatement voir un léger inconvénient du système binaire. Le même nombre, qui, dans le système décimal, s'écrit avec un caractère dans le système binaire, nécessite quatre caractères pour son enregistrement. Mais c'est le prix de la simplicité (rien n'arrive gratuitement). Mais le système binaire donne un énorme gain dans les opérations arithmétiques. Et puis nous le verrons.

Exprimez les nombres binaires suivants sous forme de nombre décimal.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Addition de nombres binaires.

La méthode d'addition par une colonne est en général la même que pour un nombre décimal. C'est-à-dire que l'addition est effectuée petit à petit, en commençant par le chiffre le moins significatif. Si l'addition de deux chiffres donne une SOMME supérieure à neuf, alors le nombre = SOMME-10 est écrit, et la PARTIE ENTIÈRE (SOMME / 10) est ajoutée au chiffre le plus élevé. (Ajoutez quelques nombres dans une colonne, rappelez-vous comment cela se fait.) C'est donc avec un nombre binaire. Additionnez petit à petit, en commençant par le chiffre le plus bas. S'il s'avère plus que 1, alors 1 est écrit et 1 est ajouté au chiffre le plus significatif (ils disent "c'est fou").

Exécutons un exemple : 10011 + 10001.

Premier rang : 1+1 = 2. Nous écrivons 0 et 1 nous vient à l'esprit.

Deuxième rang: 1+0+1(unité mémorisée) =2. Nous écrivons 0 et 1 est venu à l'esprit.

Troisième rang: 0+0+1(unité mémorisée) = 1. Ecrire 1.

Quatrième rang 0+0=0. Nous écrivons 0.

Cinquième rang 1+1=2. Nous écrivons 0 et ajoutons 1 au sixième bit.

Convertissons les trois nombres au système décimal et vérifions l'exactitude de l'addition.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 égalité correcte

Exemples de solution indépendante :

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Comment convertir décimal en binaire. L'opération suivante est la soustraction. Mais nous traiterons de cette opération un peu plus tard, et maintenant nous considérerons une méthode pour convertir un nombre décimal en binaire.

Pour convertir un nombre décimal en binaire, il doit être développé en puissances de deux. Mais si le développement en puissances de dizaines est obtenu immédiatement, alors comment se développer en puissances de deux demande un peu de réflexion. Tout d'abord, regardons comment faire cela par la méthode de sélection. Prenons le nombre décimal 12.

La première étape. 2 2 \u003d 4, cela ne suffit pas. C'est aussi petit et 2 3 \u003d 8, et 2 4 \u003d 16 c'est déjà beaucoup. Laissons donc 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Vous devez maintenant représenter 4 comme une puissance de deux.

Deuxième étape. 4 = 2 2 .

Alors notre nombre 12 = 2 3 + 2 2 . Le chiffre le plus élevé a le nombre 4, le degré le plus élevé = 3, donc, il devrait y avoir des termes avec des puissances de deux 1 et 0. Mais nous n'en avons pas besoin, donc pour se débarrasser des degrés inutiles, et laisser le nécessaire uns, nous écrivons le nombre comme ceci : 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - c'est la représentation binaire du nombre 12. Il est facile de voir que chaque puissance suivante est la plus grande puissance de deux, qui est inférieure au nombre à développer. Pour corriger la méthode, regardons un autre exemple. Numéro 23.

Étape 1. La puissance de deux la plus proche est 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Étape 2. La puissance de deux la plus proche est 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Étape 3. La puissance de deux la plus proche est 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Étape 4. La puissance de deux la plus proche 2 0 =1 1 - 1 =0

On obtient la décomposition suivante : 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Et notre nombre binaire souhaité est 10111

La méthode considérée ci-dessus résout bien le problème qui lui a été posé, mais il existe une méthode beaucoup mieux algorithmisée. L'algorithme de cette méthode est écrit ci-dessous :

Tant que NOMBRE est supérieur à zéro, faites

CHIFFRE SUIVANT \u003d reste de la division du NOMBRE par 2

NOMBRE = partie entière de NOMBRE divisée par 2

Lorsque cet algorithme aura terminé son travail, la séquence de CHIFFRES RÉGULIERS calculés représentera un nombre binaire. Par exemple, travaillons avec le nombre 19.

NOMBRE de début d'algorithme = 19

CHIFFRE SUIVANT = 1

CHIFFRE SUIVANT = 1

CHIFFRE SUIVANT = 0

CHIFFRE SUIVANT = 0

CHIFFRE SUIVANT = 1

Donc, en conséquence, nous avons le nombre suivant 10011. Notez que les deux méthodes considérées diffèrent dans l'ordre dans lequel les chiffres suivants sont obtenus. Dans la première méthode, le premier chiffre reçu est le chiffre le plus élevé du nombre binaire, et dans la deuxième méthode, le premier chiffre reçu, au contraire, est le plus bas.

Convertir décimal en binaire de deux manières

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

Comment convertir la partie fractionnaire en décimal.

On sait que tout nombre rationnel peut être représenté sous la forme d'une fraction décimale et ordinaire. Une fraction ordinaire, c'est-à-dire une fraction de la forme A/B, peut être régulière et impropre. Une fraction est dite propre si A<В и неправильной если А>À.

Si un nombre rationnel est représenté par une fraction impropre, et en même temps le numérateur de la fraction est complètement divisé par le dénominateur, alors ce nombre rationnel est un entier, dans tous les autres cas une partie fractionnaire apparaît. La partie fractionnaire est souvent un nombre très long et même infini (une fraction périodique infinie, par exemple, 20/6), donc dans le cas de la partie fractionnaire, nous n'avons pas seulement la tâche de traduire une représentation dans une autre, mais de traduire avec une certaine justesse.

Règle de précision. Supposons qu'on vous donne un nombre décimal qui peut être représenté comme une fraction décimale jusqu'à N chiffres. Pour que le nombre binaire correspondant soit de même précision, il faut y écrire M - caractères, de sorte que

Et maintenant essayons d'obtenir la règle de traduction, et considérons d'abord l'exemple 5,401

Décision:

Nous obtiendrons la partie entière selon les règles que nous connaissons déjà, et elle est égale au nombre binaire 101. Et nous développons la partie fractionnaire en puissances de 2.

Étape 1: 2 -2 = 0,25 ; 0,401 - 0,25 = 0,151. est le reste.

Étape 2: Maintenant, nous devons représenter 0,151 comme une puissance de deux. Faisons ceci : 2 -3 = 0,125 ; 0,151 - 0,125 = 0,026

Ainsi, la partie fractionnaire d'origine peut être représentée par 2 -2 +2 -3 . La même chose peut être écrite dans un tel nombre binaire : 0,011. Le premier chiffre fractionnaire est zéro, c'est parce que le degré 2 -1 est absent de notre décomposition.

Il ressort des première et deuxième étapes que cette représentation n'est pas exacte et qu'il peut être souhaitable de poursuivre la décomposition. Revenons à la règle. Il dit que nous avons besoin de tant de signes de M pour que 10 3 soit inférieur à 2 M. C'est-à-dire 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Étape 3: Nous travaillons maintenant avec le nombre 0,026. La puissance de deux la plus proche de ce nombre est 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 maintenant notre nombre binaire plus précis est 0,011001. Il y a déjà six décimales après la virgule, mais cela ne suffit pas encore, nous effectuons donc une étape supplémentaire.

Étape 4: Nous travaillons maintenant avec le nombre 0.010375. La puissance de deux la plus proche de ce nombre est 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Étape 5 : Nous travaillons maintenant avec le numéro 0.0025625. La puissance de deux la plus proche de ce nombre est 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Le dernier reste résultant est inférieur à 2 -10 et si nous voulions continuer à nous approcher du nombre d'origine, nous aurions besoin de 2 -11 , mais cela dépasse déjà la précision requise, et donc les calculs peuvent être arrêtés et la représentation binaire finale de la partie fractionnaire peut être écrite.

0,401 = 0,011001101

Comme vous pouvez le voir, convertir la partie fractionnaire d'un nombre décimal en représentation binaire est un peu plus compliqué que de convertir la partie entière. Tableau des puissances de deux en fin de cours.

Et maintenant nous écrivons l'algorithme de transformation :

Données initiales de l'algorithme : Par A nous noterons la fraction décimale propre d'origine écrite sous forme décimale. Soit cette fraction contenant N signes.

Algorithme

Action 1. Déterminer le nombre de caractères binaires requis M à partir de l'inégalité 10 N< 2 M

Étape 2 : Calculez les chiffres de la représentation binaire (chiffres après zéro). Le numéro du chiffre sera désigné par le symbole K.

1. Nombre de chiffres = 1
2. Si 2 -K > A

Ensuite, nous ajoutons zéro à la notation du nombre binaire

• ajouter 1 au nombre binaire
• Un \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Si K > M

• alors l'algorithme est terminé.
• Sinon, passez à l'étape 2.

Convertir décimal en binaire

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23,0091

Soustraction de nombres binaires. On va aussi soustraire des nombres, on va aussi utiliser une colonne et la règle générale est la même que pour les nombres décimaux, la soustraction s'effectue bit à bit et s'il n'y a pas assez d'unité dans le bit, alors on enclenche le plus ancien. Résolvons l'exemple suivant :

Premier rang. 1 - 0 =1. Nous écrivons 1.

Deuxième rang 0-1. Unité manquante. Nous le prenons dans la catégorie senior. L'un du chiffre le plus élevé va au plus bas, sous forme de deux unités (car le chiffre le plus élevé est représenté par un deux d'un degré supérieur) 2-1 \u003d 1. Nous écrivons 1.

Troisième rang. Nous avons occupé l'unité de ce chiffre, donc maintenant dans le chiffre 0, il est nécessaire d'occuper l'unité du chiffre le plus significatif. 2-1=1. Nous écrivons 1.

Vérifions le résultat en système décimal

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Véritable égalité.

Une autre façon intéressante d'effectuer une soustraction est liée au concept de complément à deux, qui permet de réduire la soustraction à l'addition. Il s'avère que le nombre dans le code supplémentaire est extrêmement simple, nous prenons le nombre, remplaçons les zéros par des uns, vice versa, nous remplaçons les uns par des zéros et ajoutons un au chiffre le moins significatif. Par exemple, 10010 serait 011011 dans le code complément à deux.

La règle de soustraction du complément à deux stipule que la soustraction peut être remplacée par l'addition si le soustrait est remplacé par un nombre dans le code du complément à deux.

Exemple : 34 - 22 = 12

Écrivons cet exemple sous forme binaire. 100010 - 10110 = 1100

Le code supplémentaire pour le numéro 10110 sera comme ceci

01001 + 00001 = 01010. Ensuite, l'exemple original peut être remplacé par une addition comme celle-ci 100010 + 01010 = 101100 Ensuite, vous devez jeter une unité dans l'ordre le plus élevé. Si nous faisons cela, nous obtenons 001100. Nous supprimons les zéros non significatifs et obtenons 1100, c'est-à-dire que l'exemple a été résolu correctement

Faites vos soustractions. De manière habituelle et en code supplémentaire, ayant préalablement converti les nombres décimaux en binaire :

Vérifiez en convertissant le résultat binaire en décimal.

Multiplication dans le système de numération binaire.

Commençons par le fait intéressant suivant. Pour multiplier un nombre binaire par 2 (la décimale deux vaut 10 en binaire), il suffit d'ajouter un zéro au nombre multiplié à gauche.

Exemple. 10101 * 10 = 101010

Examen.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Si nous nous souvenons que tout nombre binaire peut être développé en puissances de deux, alors il devient clair que la multiplication dans le système de nombres binaires est réduite à la multiplication par 10 (c'est-à-dire par la décimale 2), et par conséquent, la multiplication est une série de nombres successifs. changements. La règle générale est que, comme pour les nombres décimaux, la multiplication binaire est effectuée bit à bit. Et pour chaque chiffre du deuxième multiplicateur, un zéro est ajouté à droite du premier multiplicateur. Exemple (pas encore une colonne) :

1011 * 101 Cette multiplication peut être réduite à la somme de trois multiplications au niveau du bit :

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 La même chose peut être écrite dans une colonne comme celle-ci :

Examen:

101 = 5 (décimal)

1011 = 11 (décimal)

110111 = 55 (décimal)

5*11 = 55 égalité correcte

Décider vous-même

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Remarque : Soit dit en passant, la table de multiplication dans le système binaire se compose d'un seul élément 1 * 1 = 1

Division dans le système binaire.

Nous avons déjà considéré trois actions et je pense qu'il est déjà clair qu'en général, les actions sur les nombres binaires diffèrent peu des actions sur les nombres décimaux. La différence n'apparaît que dans le fait qu'il y a deux chiffres et non dix, mais cela ne fait que simplifier les opérations arithmétiques. Il en va de même pour la division, mais pour une meilleure compréhension de l'algorithme de division, nous analyserons plus en détail. Supposons que nous ayons besoin de diviser deux nombres décimaux, par exemple 234 divisé par 7. Comment procédons-nous ?

Nous attribuons à droite (à partir du chiffre le plus significatif) un nombre de chiffres tel que le nombre résultant est aussi petit que possible et en même temps supérieur au diviseur. 2 est inférieur au diviseur, par conséquent, le nombre dont nous avons besoin est 23. Ensuite, nous divisons le nombre résultant par le diviseur avec un reste. Nous obtenons le résultat suivant :

L'opération décrite est répétée jusqu'à ce que le reste résultant soit inférieur au diviseur. Lorsque cela se produit, le nombre obtenu sous la barre est le quotient, et le dernier reste est le reste de l'opération. Ainsi, l'opération de division d'un nombre binaire s'effectue exactement de la même manière. Essayons

Exemple: 10010111 / 101

On cherche un nombre, d'ordre le plus élevé dont le premier serait supérieur au diviseur. Il s'agit du nombre à quatre chiffres 1001. Il est indiqué en gras. Vous devez maintenant trouver un diviseur pour le nombre sélectionné. Et là encore on gagne en comparaison dans le système décimal. Le fait est que le diviseur sélectionné est nécessairement un chiffre, et nous n'avons que deux chiffres. Puisque 1001 est nettement supérieur à 101, tout est clair avec le diviseur, c'est 1. Effectuons l'étape de l'opération.

Donc, le reste de l'opération est 100. C'est moins que 101, donc pour effectuer la deuxième étape de division, vous devez ajouter le chiffre suivant à 100, c'est le nombre 0. Nous avons maintenant le nombre suivant :

1000 est supérieur à 101, donc dans la deuxième étape, nous ajoutons à nouveau 1 au chiffre privé et obtenons le résultat suivant (pour économiser de l'espace, nous omettons immédiatement le chiffre suivant).

Troisième étape. Le nombre résultant 110 est supérieur à 101, donc à cette étape nous l'écrirons dans le quotient 1. Cela se passera comme ceci :

Le nombre résultant 11 est inférieur à 101, nous l'écrivons donc dans le chiffre privé 0 et abaissons le chiffre suivant. Ça se passe comme ça :

Le nombre résultant est supérieur à 101, nous écrivons donc le nombre 1 dans le quotient et effectuons à nouveau les actions. Il s'avère que cette image:

1

0

Le reste résultant 10 est inférieur à 101, mais nous avons manqué de chiffres dans le dividende, donc 10 est le reste final et 1110 est le quotient souhaité.

Vérifier en décimales

Ceci conclut la description des opérations arithmétiques les plus simples que vous devez connaître pour utiliser l'arithmétique binaire, et maintenant nous allons essayer de répondre à la question "Pourquoi avons-nous besoin de l'arithmétique binaire". Bien sûr, il a déjà été montré plus haut qu'écrire un nombre dans le système binaire simplifie grandement les opérations arithmétiques, mais en même temps, l'enregistrement lui-même devient beaucoup plus long, ce qui réduit la valeur de la simplification obtenue, il faut donc regarder pour de tels problèmes, dont la solution est beaucoup plus simple en nombres binaires.

Tâche 1 : Obtention de tous les échantillons

Très souvent, il y a des tâches dans lesquelles vous devez être capable de construire toutes les combinaisons possibles à partir d'un ensemble donné d'éléments. Par exemple, une telle tâche :

Étant donné un gros tas de pierres, disposez les pierres en deux tas de manière à ce que la masse de ces deux tas soit autant que possible la même.

Cette tâche peut être formulée comme suit :

Trouver un échantillon de pierres d'un gros tas tel que sa masse totale diffère le moins possible de la moitié de la masse du gros tas.

Il existe de nombreuses tâches de ce type. Et tous se résument, comme déjà mentionné, à la capacité d'obtenir toutes les combinaisons possibles (nous les appellerons sélections ci-dessous) à partir d'un ensemble d'éléments donné. Et maintenant, nous allons considérer une méthode générale pour obtenir tous les échantillons possibles en utilisant l'opération d'addition binaire. Commençons par un exemple. Soit un ensemble de trois éléments. Nous construisons tous les échantillons possibles. Les articles seront désignés par des numéros de série. C'est-à-dire qu'il y a les éléments suivants : 1, 2, 3.

Échantillons : (0, 0, 1) ; (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

S'il y en a un dans la position avec le numéro suivant, cela signifie que l'élément avec le numéro égal à cette position est présent dans la sélection, et s'il y en a zéro, alors l'élément n'est pas présent. Par exemple, échantillon(0, 1, 0); se compose d'un élément avec le numéro 2, et l'échantillon est (1, 1, 0); se compose de deux éléments numérotés 1 et 2.

Cet exemple montre clairement que l'échantillon peut être représenté comme un nombre binaire. De plus, il est facile de voir que tous les nombres binaires possibles à un, deux et trois chiffres sont écrits ci-dessus. Réécrivons-les comme suit :

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Nous avons reçu une série de nombres binaires consécutifs, dont chacun est obtenu à partir du précédent en ajoutant un. Vous pouvez le vérifier. En utilisant cette régularité observée, nous pouvons construire l'algorithme suivant pour obtenir des échantillons.

Données initiales de l'algorithme

Soit un ensemble d'éléments N - pièces. Dans ce qui suit, nous appellerons cet ensemble l'ensemble des éléments initiaux. Numérotons tous les éléments de l'ensemble original de 1 à N. Faisons un nombre binaire à partir de N zéros non significatifs. 0000… 0 N Ce nombre binaire zéro désignera l'échantillon zéro à partir duquel le processus d'échantillonnage commencera. Les chiffres d'un nombre sont comptés de droite à gauche, c'est-à-dire que le chiffre le plus à gauche est le plus significatif.

Convenons de noter ce nombre binaire avec des majuscules BINARY

Algorithme

Si un nombre BINAIRE est entièrement composé d'unités

Puis on arrête l'algorithme

• Nous ajoutons un au nombre BINAIRE selon les règles de l'arithmétique binaire.
• A partir du nombre BINAIRE reçu, nous composons l'échantillon suivant, comme décrit ci-dessus.

Tâche 2 : Trouver de grands nombres premiers

Tout d'abord, rappelez-vous qu'un nombre premier est un nombre naturel qui n'est divisible que par 1 et lui-même. Exemples de nombres premiers : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Trouver de grands nombres premiers est un problème mathématique très important. De grands nombres premiers sont nécessaires pour chiffrer en toute sécurité les messages avec certains algorithmes de chiffrement. Et pas seulement de grands nombres sont nécessaires, mais de très grands. Plus le nombre est grand, plus le chiffrement basé sur ce nombre est sécurisé.

Noter. Un chiffrement fort est un chiffrement très long à déchiffrer.

Pourquoi? Un nombre premier joue le rôle de clé dans le chiffrement et le déchiffrement. De plus, nous savons que les nombres premiers n'apparaissent pas très souvent dans la série des nombres naturels. Ils sont assez nombreux parmi le premier millier, puis leur nombre commence à décroître rapidement. Par conséquent, si nous prenons un nombre pas très grand comme clé, le décrypteur, utilisant même un ordinateur pas très rapide, pourra y accéder (en triant tous les nombres premiers les uns après les autres comme clé) dans un temps limité.

Un code assez fiable peut être obtenu si vous en prenez un simple dans lequel, par exemple, 150 caractères. Cependant, trouver un tel simple n'est pas si facile. Supposons qu'un certain nombre A (très grand) doive être testé pour le caractère premier. Cela revient à chercher ses diviseurs. Si nous pouvons trouver des diviseurs entre 2 et la racine carrée de A, alors ce n'est pas premier. Estimons le nombre de nombres à vérifier pour pouvoir diviser le nombre A.

Supposons que le nombre A comporte 150 chiffres. La racine carrée de celui-ci contiendra au moins 75 caractères. Pour trier un tel nombre de diviseurs possibles, nous avons besoin d'un ordinateur très puissant et de beaucoup de temps, ce qui signifie que le problème est pratiquement insoluble.

Comment y faire face.

Premièrement, vous pouvez apprendre à vérifier rapidement la divisibilité d'un nombre par un autre, et deuxièmement, vous pouvez essayer de sélectionner le nombre A de telle manière qu'il soit simple avec un degré de probabilité élevé. Il s'avère que c'est possible. Le mathématicien Mersen a découvert que les nombres de la forme suivante

Sont simples avec un haut degré de probabilité.

Pour comprendre la phrase écrite ci-dessus, comptons combien de nombres premiers sont dans le premier millier et combien de nombres de Mersenne dans le même millier sont premiers. Ainsi, les nombres de Mersen dans le premier millier sont les suivants :

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Les nombres premiers sont marqués en gras. Au total, il y a 5 nombres premiers pour 9 nombres de Mersenne. En pourcentage, cela correspond à 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Dans le même temps, il n'y a que 169 nombres premiers pour les 1000 premiers nombres naturels. En pourcentage, c'est 169/1000 * 100 = 16,9 %. Autrement dit, dans le premier millier, en termes de pourcentage, les nombres premiers parmi les nombres de Mersenne se trouvent presque 4 fois plus souvent que parmi les nombres simplement naturels.

___________________________________________________________

Et maintenant, prenons un nombre de Mersen spécifique, par exemple 2 4 - 1. Écrivons-le sous la forme d'un nombre binaire.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Prenons le prochain nombre de Mersen 2 5 -1 et écrivons-le sous la forme d'un nombre binaire. Nous obtenons ce qui suit :

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Il est déjà clair que tous les nombres de Mersenne sont une séquence de uns, et ce seul fait donne un gros gain. Premièrement, dans le système binaire, il est très facile d'obtenir le prochain nombre de Mersenne, il suffit d'en ajouter un au nombre suivant, et deuxièmement, il est beaucoup plus facile de rechercher des diviseurs dans le système binaire que dans le décimal.

Conversion décimale en binaire rapide

L'un des principaux problèmes liés à l'utilisation du système de numération binaire est la difficulté de convertir un nombre décimal en binaire. C'est une tâche assez laborieuse. Bien sûr, il n'est pas trop difficile de traduire de petits nombres de trois ou quatre chiffres, mais pour les nombres décimaux dans lesquels il y a 5 chiffres ou plus, c'est déjà difficile. Autrement dit, nous avons besoin d'un moyen de convertir rapidement de grands nombres décimaux en représentation binaire.

Cette méthode a été inventée par le mathématicien français Legendre. Soit, par exemple, le nombre 11183445. On le divise par 64, on obtient le reste 21 et le quotient 174741. On divise à nouveau ce nombre par 64, on obtient le reste 21 et le quotient 2730. Enfin, 2730 divisé par 64 donne le reste 42 et le quotient 42 Mais 64 en binaire est 1000000, 21 en binaire est 10101, et 42 est 101010, donc le nombre original s'écrira en binaire comme suit :

101010 101010 010101 010101

Pour que ce soit plus clair, un autre exemple avec un nombre plus petit. Traduisons la représentation binaire du nombre 235. Divisons 235 par 64 avec un reste. On a:

PRIVÉ = 3, binaire 11 ou 000011

RESOLUTION = 43, binaire 101011

Alors 235 = 11101011, Vérifiez ce résultat :

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Remarques:

1. Il est facile de voir que le nombre binaire final comprend tous les restes et, à la dernière étape, à la fois le reste et le quotient.
2. Le quotient s'écrit avant le reste.
3. Si le quotient ou le reste résultant a moins de 6 chiffres en représentation binaire (6 zéros contiennent la représentation binaire du nombre 64 = 1000000), alors des zéros non significatifs lui sont ajoutés.

Et un autre exemple difficile. Numéro 25678425.

Étape 1 : 25678425 divisé par 64

Privé = 401225

Reste = 25 = 011001

Étape 2 : 401225 divisé par 64

Privé = 6269

Reste = 9 = 001001

Étape 3 : 6269 divisé par 64

Privé = 97

Reste = 61 = 111101

Étape 4 : 97 divisé par 64

Privé = 1 = 000001

Reste = 33 = 100001

Résultat numérique = 1.100001.111101.001001.011001

Dans ce numéro, un point sépare les résultats intermédiaires qui y sont inclus.

Convertir en représentation binaire d'un nombre :

ANNEXE : TABLEAU 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Lieu du cours : cours de 9e-3e de la section étudiée
2. Sujet de la leçon : Opérations arithmétiques dans le système binaire.

Type de classe : conférence, conversation, travail indépendant.

Objectifs de la leçon:

Didactique: introduire les règles d'exécution des opérations arithmétiques (addition, multiplication, soustraction) dans le système binaire.

Éducatif: inculcation de compétences d'indépendance dans le travail, éducation à la précision, à la discipline.

Développement: développement de l'attention, mémoire des élèves, développement de la capacité à comparer les informations reçues.

Liens interdisciplinaires : Mathématiques:

Cours d'équipement pédagogique (équipement):projecteur, table, cartes de tâches.

Support méthodologique de la leçon :présentation sous PowerPoint.

Plan de cours

1. Moment d'organisation (2 min).
2. Répétition (10)
3. Explication du nouveau matériel (15 min)
4. Consolidation du matériel couvert (10 min)
5. devoir
6. Réflexion (2 min)
7. Résumé (2 min)

Pendant les cours

1. Organisation du temps
2. Mise à jour des connaissances.Nous continuons à étudier le sujet du système de numération et le but de notre leçon d'aujourd'hui sera d'apprendre à effectuer des opérations arithmétiques dans le système de numération binaire, à savoir, nous examinerons avec vous la règle pour effectuer des opérations telles que l'addition, la soustraction, multiplication, division.
3. Vérification des connaissances (enquête frontale).

Souvenons-nous:

1. Quel est le système de numération ?
2. Quelle est la base d'un système numérique ?
3. Quelle est la base du système de numération binaire ?
4. Indiquez quels nombres sont écrits avec des erreurs et justifiez votre réponse :
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Quelle est la base minimale que le système de numération devrait avoir si les nombres peuvent y être écrits : 10, 21, 201, 1201
6. Quelle est la fin d'un nombre binaire pair ?
   Quel chiffre se termine par un nombre binaire impair ?

4 . L'étude du nouveau matériel est accompagnée d'une présentation

/ Annexe 1/

L'enseignant explique le nouveau sujet sur les diapositives de la présentation, les élèves prennent des notes et complètent les tâches proposées par l'enseignant dans le cahier.

De tous les systèmes positionnels, le système de numération binaire est particulièrement simple. Envisagez d'effectuer des opérations arithmétiques de base sur des nombres binaires.

Tous les systèmes de nombres positionnels sont "les mêmes", à savoir que dans chacun d'eux, les opérations arithmétiques sont effectuées selon les mêmes règles:

une . les mêmes lois de l'arithmétique sont valables : commutative, associative, distributive ;

2. les règles d'addition, de soustraction et de multiplication par une colonne sont justes ;

3. Les règles d'exécution des opérations arithmétiques sont basées sur des tables d'addition et de multiplication.

Une addition

Envisagez des exemples supplémentaires.

Lors de l'ajout d'une colonne de deux chiffres de droite à gauche dans le système de numération binaire, comme dans tout système positionnel, un seul peut aller au bit suivant.

Le résultat de l'addition de deux nombres positifs a soit le même nombre de chiffres que le maximum des deux termes, soit un chiffre de plus, mais ce chiffre ne peut être qu'un.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Soustraction

Travail indépendant des élèves dans un cahier pour consolider le matériel

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Multiplication
Prenons des exemples de multiplication.

L'opération de multiplication est effectuée à l'aide de la table de multiplication selon le schéma habituel (utilisé dans le système de numération décimale) avec multiplication successive du multiplicateur par le chiffre suivant du multiplicateur.
Considérez des exemples de multiplication
Lors de l'exécution de la multiplication dans l'exemple 2, trois unités sont ajoutées 1+1+1=11 dans le chiffre correspondant, 1 est écrit et l'autre unité est transférée au chiffre le plus élevé.
Dans le système de numération binaire, l'opération de multiplication se réduit à des décalages du multiplicande et à l'addition de résultats intermédiaires.
Division

L'opération de division est effectuée selon un algorithme similaire à l'algorithme d'opération de division dans le système de numération décimale.

Prenons l'exemple de la division

Consolidation (le travail indépendant des élèves sur fiches est réalisé dans un cahier) / Annexe 2 /

Pour les étudiants qui ont réalisé un travail indépendant dans un court laps de temps, une tâche supplémentaire est proposée.

5. Devoirs

2. Apprenez les règles pour effectuer des opérations arithmétiques dans le système de numération binaire, apprenez les tables d'addition, de soustraction, de multiplication.

3. Suivez ces étapes:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Réflexion

Aujourd'hui, dans la leçon, la plus informative pour moi était ...

J'ai été surpris que…

Je peux appliquer ce que j'ai appris en classe aujourd'hui...

7. Résumé de la leçon

Aujourd'hui, nous avons appris à effectuer des opérations arithmétiques dans le système de numération binaire (notation pour la leçon).

Légendes des diapositives :

Thème de la leçon: "Opérations arithmétiques dans les systèmes de nombres positionnels" Professeur d'informatique Marina Valentinovna Fedorchenko MOU École secondaire Berezovskaya avec le district de Berezovka Taishet, région d'Irkoutsk Rappelons-nous: Qu'est-ce que le système de nombre? Quelle est la base du système de nombre? Qu'est-ce que la base du système de numération binaire ? les nombres sont écrits avec des erreurs et justifient la réponse : 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Quelle est la base minimale que le système de numération doit avoir si des nombres peuvent y être écrits : 10, 21, 201 , 1201 Quel chiffre se termine par un nombre binaire pair Quel chiffre se termine par un nombre binaire impair ?
Laplace a écrit à propos de son attitude envers le système de numération binaire (binaire) du grand mathématicien Leibniz : « Dans son arithmétique binaire, Leibniz a vu le prototype de la création. Il lui semblait que l'un représente le principe divin et le zéro - la non-existence, et qu'un être supérieur crée tout à partir de la non-existence exactement de la même manière que le un et le zéro dans son système expriment tous les nombres. Ces mots soulignent l'universalité de l'alphabet, qui se compose de deux caractères. Tous les systèmes de nombres positionnels sont "les mêmes", à savoir, les opérations arithmétiques sont effectuées dans chacun d'eux selon les mêmes règles :
les mêmes lois arithmétiques sont valables : --commutatif (déplacement) m + n = n + m m n = n m associatif (combinatif) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n ) k = m (n k) = m n k distributif (distributif) (m + n) k = m k + n k
les règles d'addition, de soustraction et de multiplication par une colonne sont valables ;
les règles d'exécution des opérations arithmétiques sont basées sur des tables d'addition et de multiplication.
Addition dans les systèmes de nombres positionnels De tous les systèmes de nombres positionnels, le système de nombres binaires est particulièrement simple. Envisagez d'effectuer des opérations arithmétiques de base sur des nombres binaires. Tous les systèmes de nombres positionnels sont "les mêmes", c'est-à-dire que les opérations arithmétiques sont effectuées dans chacun d'eux selon les mêmes règles : les mêmes sont valables : commutatives, associatives, distributives ; les règles d'addition, de soustraction et de multiplication par une colonne sont valide ; les règles d'exécution des opérations arithmétiques sont basées sur les tables d'addition et de multiplication.
Lors de l'ajout d'une colonne de deux chiffres de droite à gauche dans le système de numération binaire, comme dans tout système positionnel, un seul peut aller au bit suivant. Le résultat de l'addition de deux nombres positifs a soit le même nombre de chiffres que le maximum des deux termes, soit un chiffre de plus, mais ce chiffre ne peut être qu'un. Considérez des exemples Résolvez vous-même des exemples :
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Lors d'une opération de soustraction, un nombre plus petit est toujours soustrait d'une valeur absolue plus grande et le signe correspondant est mis sur le résultat.
Soustraction Prenons des exemples Exemples :
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Multiplication dans les systèmes de nombres positionnels L'opération de multiplication est effectuée à l'aide de la table de multiplication selon le schéma habituel (utilisé dans le système de nombres décimaux) avec multiplication successive du multiplicande par le chiffre suivant du multiplicateur. Considérons des exemples de multiplication. Regardons les exemples Regardons l'exemple de la division
Résolvons des exemples :
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Devoirs 1.&3.1.22.Apprenez les règles pour effectuer des opérations arithmétiques dans le système binaire, apprenez les tables d'addition, de soustraction, de multiplication.3. Faites ce qui suit : 110010+111.011110000111-11011000110101.101*111 Réflexion Aujourd'hui, dans la leçon, la plus informative pour moi était... J'ai été surpris que... Je puisse appliquer les connaissances acquises aujourd'hui dans la leçon...