Exemples d'expressions rationnelles fractionnaires avec solutions. expression rationnelle

L'article parle de la transformation expressions rationnelles. Considérez les types d'expressions rationnelles, leurs transformations, leurs regroupements, la mise entre parenthèses du facteur commun. Apprenons à représenter des expressions rationnelles fractionnaires sous la forme fractions rationnelles.

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Définition et exemples d'expressions rationnelles

Définition 1

Les expressions composées de nombres, de variables, de parenthèses, de degrés avec les actions d'addition, de soustraction, de multiplication, de division avec la présence d'une barre de fraction sont appelées expressions rationnelles.

Par exemple, nous avons que 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a : (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .

Autrement dit, ce sont des expressions qui n'ont pas de division en expressions avec des variables. L'étude des expressions rationnelles commence avec la 8e année, où elles sont appelées expressions rationnelles fractionnaires.Une attention particulière est accordée aux fractions du numérateur, qui sont converties à l'aide de règles de transformation.

Cela nous permet de procéder à la transformation de fractions rationnelles d'une forme arbitraire. Une telle expression peut être considérée comme une expression avec la présence de fractions rationnelles et d'expressions entières avec des signes d'action.

Les principaux types de transformations d'expressions rationnelles

Les expressions rationnelles sont utilisées pour effectuer des transformations identiques, des regroupements, la réduction de semblables, effectuer d'autres opérations avec des nombres. Le but de telles expressions est de simplifier.

Exemple 1

Convertir l'expression rationnelle 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Solution

On peut voir qu'une telle expression rationnelle est la différence 3 · x x · y - 1 et 2 · x x · y - 1 . Remarquez qu'ils ont le même dénominateur. Cela signifie que la réduction de termes similaires prend la forme

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Répondre: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Exemple 2

Effectuez la transformation 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2 : (3 · x - x) .

Solution

Initialement, nous effectuons des actions entre parenthèses 3 · x − x = 2 · x . Cette expression est représentée par 2 x y 4 (- 4) x 2 : (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2 : 2 x. Nous arrivons à une expression qui contient des actions à une étape, c'est-à-dire qu'elle a une addition et une soustraction.

Débarrassez-vous des parenthèses en utilisant la propriété division. Nous obtenons alors que 2 x y 4 (- 4) x 2 : 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2 : 2 : x .

Nous regroupons les facteurs numériques avec la variable x, après quoi nous pouvons effectuer des opérations avec des puissances. On comprend ça

2 x y 4 (- 4) x 2 : 2 : x = (2 (- 4) : 2) (x x 2 : x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Répondre: 2 x y 4 (- 4) x 2 : (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Exemple 3

Convertir une expression de la forme x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Solution

Commençons par convertir le numérateur et le dénominateur. On obtient alors une expression de la forme (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, et les actions entre parenthèses sont faites en premier. Au numérateur, les actions sont effectuées et les facteurs sont regroupés. On obtient alors une expression de la forme x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Nous transformons la formule de la différence des carrés au numérateur, puis nous obtenons que

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Répondre: X (x + 3) - (3 X + 1) 1 2 X 4 + 2 = X - 1 2 .

Représentation sous forme de fraction rationnelle

Une fraction algébrique est le plus souvent soumise à une simplification lors de la résolution. Tout rationnel se réduit à cela différentes façons. Tout doit être fait actions nécessaires avec des polynômes pour que l'expression rationnelle puisse éventuellement donner une fraction rationnelle.

Exemple 4

Exprimer comme une fraction rationnelle a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Solution

Cette expression peut être représentée par un 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . La multiplication est effectuée tout d'abord selon les règles.

Nous devrions commencer par la multiplication, puis nous obtenons que

une 2 - 25 une + 3 1 une 2 + 5 une = une - 5 (une + 5) une + 3 1 une (une + 5) = une - 5 (une + 5) 1 ( une + 3) une (une + 5) = une - 5 (une + 3) une

Nous produisons une représentation du résultat obtenu avec l'original. On comprend ça

une + 5 une (une - 3) - une 2 - 25 une + 3 1 une 2 + 5 une = une + 5 une une - 3 - une - 5 une + 3 une

Faisons maintenant la soustraction :

une + 5 une une - 3 - une - 5 une + 3 une = une + 5 une + 3 une (une - 3) (une + 3) - (une - 5) (une - 3) (une + 3) une ( une - 3) = = une + 5 une + 3 - (une - 5) (une - 3) une (une - 3) (une + 3) = une 2 + 3 une + 5 une + 15 - (une 2 - 3 une - 5 une + 15) une (une - 3) (une + 3) = = 16 une une (une - 3) (une + 3) = 16 une - 3 (une + 3) = 16 une 2 - 9

Après cela, il est évident que l'expression originale prendra la forme 16 a 2 - 9 .

Répondre: une + 5 une (une - 3) - une 2 - 25 une + 3 1 une 2 + 5 une = 16 une 2 - 9 .

Exemple 5

Exprimez x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x sous la forme d'une fraction rationnelle.

Solution

L'expression donnée s'écrit comme une fraction, au numérateur dont il y a x x + 1 + 1, et au dénominateur 2 x - 1 1 + x. Il faut faire des transformations x x + 1 + 1 . Pour ce faire, vous devez ajouter une fraction et un nombre. Nous obtenons que xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Il s'ensuit que x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

La fraction résultante peut être écrite sous la forme 2 x + 1 x + 1 : 2 x - 1 1 + x .

Après division, on arrive à une fraction rationnelle de la forme

2 x + 1 x + 1 : 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 × + 1 2 × - 1

Vous pouvez le résoudre différemment.

Au lieu de diviser par 2 x - 1 1 + x, nous multiplions par l'inverse de 1 + x 2 x - 1 . En appliquant la propriété de distribution, on obtient que

xx + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 : 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = xx + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Répondre: X X + 1 + 1 2 X - 1 1 + X = 2 X + 1 2 X - 1 .

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Cette leçon couvrira les informations de base sur les expressions rationnelles et leurs transformations, ainsi que des exemples de transformation d'expressions rationnelles. Ce sujet résume les sujets que nous avons étudiés jusqu'à présent. Les transformations d'expression rationnelle comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'exponentiation fractions algébriques, réduction, factorisation, etc. Dans le cadre de la leçon, nous verrons ce qu'est une expression rationnelle, et nous analyserons également des exemples pour leur transformation.

Sujet:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Cours:Informations de base sur les expressions rationnelles et leurs transformations

Définition

expression rationnelle est une expression composée de nombres, de variables, d'opérations arithmétiques et d'exponentiation.

Prenons un exemple d'expression rationnelle :

Cas particuliers d'expressions rationnelles :

1er degré : ;

2. monôme : ;

3. fraction : .

Transformation d'expression rationnelle est une simplification d'une expression rationnelle. L'ordre des opérations lors de la conversion d'expressions rationnelles : d'abord, il y a des actions entre parenthèses, puis des opérations de multiplication (division), puis d'addition (soustraction).

Considérons quelques exemples sur la transformation d'expressions rationnelles.

Exemple 1

Solution:

Résolvons cet exemple étape par étape. L'action entre parenthèses est effectuée en premier.

Répondre:

Exemple 2

Solution:

Répondre:

Exemple 3

Solution:

Répondre: .

Noter: peut-être quand tu verras cet exemple une idée a surgi : réduire la fraction avant d'aboutir à un dénominateur commun. En effet, c'est tout à fait correct : d'abord, il est souhaitable de simplifier au maximum l'expression, puis de la transformer. Essayons de résoudre le même exemple de la deuxième manière.

Comme vous pouvez le voir, la réponse s'est avérée absolument similaire, mais la solution s'est avérée un peu plus simple.

Dans cette leçon, nous avons regardé expressions rationnelles et leurs transformations, ainsi que plusieurs exemples concrets données de transformation.

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2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et autres Algèbre 8. - 5e éd. - M. : Éducation, 2010.

Cet article est à propos de transformation d'expressions rationnelles, principalement fractionnellement rationnelle, est l'une des questions clés du cours d'algèbre pour les élèves de 8e année. Tout d'abord, nous rappelons quel genre d'expressions sont appelées rationnelles. Ensuite, nous nous concentrerons sur l'exécution de transformations standard avec des expressions rationnelles, telles que le regroupement de termes, la suppression de facteurs communs entre parenthèses, la réduction de termes similaires, etc. Enfin, nous apprendrons à représenter des expressions rationnelles fractionnaires sous forme de fractions rationnelles.

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Définition et exemples d'expressions rationnelles

Les expressions rationnelles sont l'un des types d'expressions étudiées dans les cours d'algèbre à l'école. Donnons une définition.

Définition.

Expressions composées de nombres, de variables, de parenthèses, de degrés avec des exposants entiers, reliés par des signes opérations arithmétiques+, -, et :, où la division peut être indiquée par une barre d'une fraction, sont appelés expressions rationnelles.

Voici quelques exemples d'expressions rationnelles : .

Les expressions rationnelles commencent à être délibérément étudiées en 7e année. De plus, en 7e année, les bases du travail avec le soi-disant expressions rationnelles entières, c'est-à-dire avec des expressions rationnelles qui ne contiennent pas de division en expressions avec des variables. Pour ce faire, les monômes et les polynômes sont systématiquement étudiés, ainsi que les principes pour effectuer des actions avec eux. Toutes ces connaissances permettent éventuellement d'effectuer la transformation d'expressions entières.

En 8e année, ils passent à l'étude des expressions rationnelles contenant une division par une expression à variables, appelées expressions rationnelles fractionnaires. Où Attention particulière donné au soi-disant fractions rationnelles(aussi appelé fractions algébriques), c'est-à-dire des fractions dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes. Cela permet finalement d'effectuer la transformation de fractions rationnelles.

Les compétences acquises nous permettent de procéder à la transformation d'expressions rationnelles d'une forme arbitraire. Ceci s'explique par le fait que toute expression rationnelle peut être considérée comme une expression composée de fractions rationnelles et d'expressions entières, reliées par des signes d'opérations arithmétiques. Et nous savons déjà travailler avec des expressions entières et des fractions algébriques.

Les principaux types de transformations d'expressions rationnelles

Avec les expressions rationnelles, vous pouvez effectuer n'importe laquelle des transformations d'identité de base, qu'il s'agisse d'un regroupement de termes ou de facteurs, d'apporter des termes similaires, d'effectuer des opérations avec des nombres, etc. Typiquement, le but de ces transformations est simplification d'expression rationnelle.

Exemple.

.

Solution.

Il est clair que cette expression rationnelle est la différence de deux expressions et, de plus, ces expressions sont semblables, puisqu'elles ont la même partie littérale. Ainsi, on peut effectuer une réduction de termes semblables :

Répondre:

.

Il est clair qu'en effectuant des transformations avec des expressions rationnelles, comme d'ailleurs avec toute autre expression, il faut rester dans le cadre de l'ordre accepté des actions.

Exemple.

Transformer l'expression rationnelle.

Solution.

Nous savons que les actions entre parenthèses sont exécutées en premier. Donc, tout d'abord, nous transformons l'expression entre parenthèses : 3 x − x=2 x .

Vous pouvez maintenant substituer le résultat dans l'expression rationnelle d'origine : . Nous sommes donc arrivés à une expression contenant les actions d'une étape - addition et multiplication.

Supprimons les parenthèses à la fin de l'expression en appliquant la propriété de division par produit : .

Enfin, on peut regrouper les facteurs numériques et les facteurs x, puis effectuer les opérations correspondantes sur les nombres et appliquer : .

Ceci achève la transformation de l'expression rationnelle et, par conséquent, nous avons obtenu un monôme.

Répondre:

Exemple.

Transformer l'expression rationnelle .

Solution.

Nous convertissons d'abord le numérateur et le dénominateur. Cet ordre de transformation des fractions s'explique par le fait que le trait d'une fraction est, par essence, une autre désignation de division, et que l'expression rationnelle originale est essentiellement une forme particulière , et les actions entre parenthèses sont exécutées en premier.

Ainsi, au numérateur, nous effectuons des opérations avec des polynômes, d'abord la multiplication, puis la soustraction, et au dénominateur, nous regroupons les facteurs numériques et calculons leur produit : .

Imaginons aussi le numérateur et le dénominateur de la fraction résultante comme un produit : du coup il est possible de réduire la fraction algébrique. Pour ce faire, au numérateur nous utilisons formule différence des carrés, et au dénominateur nous retirons le deux entre parenthèses, nous avons .

Répondre:

.

Ainsi, la connaissance initiale de la transformation des expressions rationnelles peut être considérée comme accomplie. On passe, pour ainsi dire, au plus doux.

Représentation sous forme de fraction rationnelle

L'objectif final le plus courant de la transformation d'expressions est de simplifier leur forme. Dans cette optique, le plus vue simplifiée, en laquelle une expression fractionnellement rationnelle peut être convertie, est une fraction rationnelle (algébrique) et, dans un cas particulier, un polynôme, un monôme ou un nombre.

Est-il possible de représenter n'importe quelle expression rationnelle comme une fraction rationnelle ? La réponse est oui. Expliquons pourquoi il en est ainsi.

Comme nous l'avons déjà dit, toute expression rationnelle peut être considérée comme des polynômes et des fractions rationnelles, reliés par des signes plus, moins, multiplier et diviser. Toutes les opérations pertinentes sur les polynômes donnent un polynôme ou une fraction rationnelle. À son tour, tout polynôme peut être converti en une fraction algébrique en l'écrivant avec un dénominateur 1. Et l'addition, la soustraction, la multiplication et la division de fractions rationnelles donnent une nouvelle fraction rationnelle. Par conséquent, après avoir effectué toutes les opérations avec des polynômes et des fractions rationnelles dans une expression rationnelle, nous obtenons une fraction rationnelle.

Exemple.

Exprimer sous forme de fraction rationnelle l'expression .

Solution.

L'expression rationnelle originale est la différence entre une fraction et un produit de fractions de la forme . Selon l'ordre des opérations, il faut d'abord effectuer la multiplication, et ensuite seulement l'addition.

On commence par multiplier les fractions algébriques :

On substitue le résultat obtenu dans l'expression rationnelle originale : .

Nous sommes arrivés à la soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs:

Ainsi, après avoir effectué des actions avec des fractions rationnelles qui composent l'expression rationnelle originale, nous l'avons présentée comme une fraction rationnelle.

Répondre:

.

Pour consolider le matériel, nous allons analyser la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Exprimer une expression rationnelle sous la forme d'une fraction rationnelle.

Quelconque expression fractionnaire(point 48) peut être écrit comme , où P et Q sont des expressions rationnelles, et Q contient nécessairement des variables. Une telle fraction est appelée fraction rationnelle.

Exemples de fractions rationnelles :

La propriété principale d'une fraction est exprimée par une identité qui est valide dans les conditions ici - une expression rationnelle entière. Cela signifie que le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle peuvent être multipliés ou divisés par le même nombre non nul, monôme ou polynôme.

Par exemple, la propriété d'une fraction peut être utilisée pour changer les signes des membres d'une fraction. Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par -1, nous obtenons Ainsi, la valeur de la fraction ne changera pas si les signes du numérateur et du dénominateur sont modifiés en même temps. Si vous changez le signe uniquement du numérateur ou uniquement du dénominateur, alors la fraction changera de signe :

Par exemple,

60. Réduction des fractions rationnelles.

Réduire une fraction consiste à diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un facteur commun. La possibilité d'une telle réduction est due à la propriété principale de la fraction.

Pour réduire une fraction rationnelle, vous devez factoriser le numérateur et le dénominateur. S'il s'avère que le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, la fraction peut être réduite. S'il n'y a pas de facteurs communs, alors la conversion de la fraction par réduction est impossible.

Exemple. Réduire la fraction

Solution. Nous avons

La réduction de la fraction est effectuée sous la condition .

61. Amener des fractions rationnelles à un dénominateur commun.

Le dénominateur commun de plusieurs fractions rationnelles est l'expression rationnelle entière, qui est divisée par le dénominateur de chaque fraction (voir point 54).

Par exemple, un polynôme sert de dénominateur commun de fractions, puisqu'il est divisible par et par et par et par un polynôme et un polynôme et un polynôme, etc. Habituellement, un tel dénominateur commun est pris que tout autre dénominateur commun est divisible par Élu. Ce dénominateur le plus simple est parfois appelé le plus petit dénominateur commun.

Dans l'exemple ci-dessus, le dénominateur commun est Nous avons

La réduction de ces fractions à un dénominateur commun est obtenue en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2. Et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par polynômes sont appelés facteurs supplémentaires pour les première et deuxième fractions, respectivement. Le facteur supplémentaire pour une fraction donnée est égal au quotient de la division du dénominateur commun par le dénominateur de la fraction donnée.

Pour réduire plusieurs fractions rationnelles à un dénominateur commun, il vous faut :

1) décomposer le dénominateur de chaque fraction en facteurs ;

2) faire un dénominateur commun, en y incluant comme facteurs tous les facteurs obtenus au paragraphe 1) des développements; si un certain facteur existe dans plusieurs développements, alors il est pris avec un exposant égal au plus grand de ceux disponibles ;

3) trouver des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions (pour cela, le dénominateur commun est divisé par le dénominateur de la fraction) ;

4) en multipliant le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire, amener la fraction à un dénominateur commun.

Exemple. Réduire au dénominateur commun d'une fraction

Solution. Factorisons les dénominateurs :

Les facteurs suivants doivent être inclus dans le dénominateur commun : et le plus petit commun multiple des nombres 12, 18, 24, soit . Donc le dénominateur commun est

Multiplicateurs supplémentaires : pour la première fraction pour la seconde pour la troisième Donc, on obtient :

62. Addition et soustraction de fractions rationnelles.

La somme de deux (et en général de tout nombre fini) fractions rationnelles avec mêmes dénominateurs identiquement égal à une fraction de même dénominateur et de numérateur égal à la somme des numérateurs des fractions additionnées :

La situation est similaire lors de la soustraction de fractions avec les mêmes dénominateurs :

Exemple 1 : Simplifier une expression

Solution.

Pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles avec des dénominateurs différents, vous devez d'abord amener les fractions à un dénominateur commun, puis effectuer des opérations sur les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs.

Exemple 2 : Simplifier une expression

Solution. Nous avons

63. Multiplication et division de fractions rationnelles.

Le produit de deux (et en général de tout nombre fini) fractions rationnelles est identiquement égal à une fraction dont le numérateur est égal au produit des numérateurs, et le dénominateur est le produit des dénominateurs des fractions multipliées :

Le quotient de la division de deux fractions rationnelles est identiquement égal à une fraction dont le numérateur est égal au produit du numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et le dénominateur est le produit du dénominateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction :

Les règles formulées pour la multiplication et la division s'appliquent également au cas de la multiplication ou de la division par un polynôme : il suffit d'écrire ce polynôme sous la forme d'une fraction de dénominateur 1.

Etant donné la possibilité de réduire une fraction rationnelle obtenue en multipliant ou en divisant des fractions rationnelles, on cherche généralement à factoriser les numérateurs et les dénominateurs des fractions d'origine avant d'effectuer ces opérations.

Exemple 1. Multiplier

Solution. Nous avons

En utilisant la règle de multiplication des fractions, on obtient :

Exemple 2 : Réaliser une division

Solution. Nous avons

En utilisant la règle de division, on obtient :

64. Élever une fraction rationnelle à une puissance entière.

Pour élever une fraction rationnelle - à une puissance naturelle, vous devez élever le numérateur et le dénominateur de la fraction séparément à cette puissance ; la première expression est le numérateur et la deuxième expression est le dénominateur du résultat :

Exemple 1. Convertir en une fraction une puissance de 3.

Solution Solution.

Lors de l'élévation d'une fraction à une puissance entière négative, une identité est utilisée qui est valable pour toutes les valeurs des variables pour lesquelles .

Exemple 2. Convertir une expression en fraction

65. Transformation des expressions rationnelles.

La transformation de toute expression rationnelle revient à additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions rationnelles, ainsi qu'à élever une fraction à une puissance naturelle. Toute expression rationnelle peut être convertie en une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des expressions rationnelles entières ; c'est généralement le but transformations identiques expressions rationnelles.

Exemple. Simplifier l'expression

66. Les transformations les plus simples des racines arithmétiques (radicaux).

Lors de la conversion des coria arithmétiques, leurs propriétés sont utilisées (voir point 35).

Prenons quelques exemples sur l'utilisation des propriétés racines arithmétiques pour les transformations les plus simples de radicaux. Dans ce cas, toutes les variables seront considérées comme ne prenant que des valeurs non négatives.

Exemple 1. Extraire la racine du produit

Solution. En appliquant la propriété 1°, on obtient :

Exemple 2. Sortez le facteur sous le signe racine

Solution.

Une telle transformation est appelée factorisation sous le signe racine. Le but de la transformation est de simplifier l'expression radicale.

Exemple 3 : Simplifier.

Solution. D'après la propriété 3°, on essaie généralement de simplifier l'expression radicale, pour laquelle on supprime les multiplicateurs au-delà du signe du corium. Nous avons

Exemple 4 : Simplifier

Solution. On transforme l'expression en introduisant un facteur sous le signe de la racine : Par la propriété 4° on a

Exemple 5 : Simplifier

Solution. Par la propriété 5°, on a le droit de diviser l'exposant de la racine et l'exposant de l'expression de la racine en le même entier naturel. Si, dans l'exemple considéré, nous divisons les indicateurs indiqués par 3, nous obtenons .

Exemple 6. Simplifiez les expressions :

Solution, a) Par la propriété 1°, on obtient que pour multiplier des racines de même degré, il suffit de multiplier les expressions de racine et d'extraire la racine de même degré du résultat obtenu. Moyens,

b) Tout d'abord, il faut réduire les radicaux à un seul indice. D'après la propriété 5°, on peut multiplier l'exposant de la racine par le même entier naturel. Par conséquent, Ensuite, nous avons maintenant dans le résultat obtenu en divisant les indicateurs de la racine et le degré de l'expression radicale par 3, nous obtenons .