Ce qu'on appelle une racine carrée. Comment trouver manuellement la racine carrée d'un nombre

Les mathématiques sont nées lorsqu'une personne a pris conscience de lui-même et a commencé à se positionner comme une unité autonome du monde. Le désir de mesurer, de comparer, de calculer ce qui vous entoure est ce qui sous-tend l'une des sciences fondamentales de nos jours. Au début, c'étaient des particules de mathématiques élémentaires, qui permettaient de relier les nombres à leurs expressions physiques, plus tard les conclusions ont commencé à être présentées uniquement théoriquement (en raison de leur abstraction), mais après un certain temps, comme l'a dit un scientifique, " les mathématiques ont atteint le plafond de la complexité lorsque tous les nombres." La notion de « racine carrée » est apparue à une époque où elle pouvait être facilement étayée par des données empiriques, dépassant le plan des calculs.

Comment tout a commencé

La première mention de la racine, qui sur ce moment noté √, a été enregistré dans les écrits des mathématiciens babyloniens, qui ont jeté les bases de l'arithmétique moderne. Bien sûr, ils ressemblaient un peu à la forme actuelle - les scientifiques de ces années ont d'abord utilisé des comprimés volumineux. Mais au deuxième millénaire av. e. ils ont proposé une formule de calcul approximative qui montrait comment prendre la racine carrée. La photo ci-dessous montre une pierre sur laquelle des scientifiques babyloniens ont gravé le processus de sortie √2, et il s'est avéré si correct que l'écart dans la réponse n'a été trouvé qu'à la dixième décimale.

De plus, la racine était utilisée s'il fallait trouver le côté d'un triangle, à condition que les deux autres soient connus. Eh bien, lors de la résolution d'équations quadratiques, il n'y a pas d'échappatoire à l'extraction de la racine.

Parallèlement aux travaux babyloniens, l'objet de l'article a également été étudié dans l'ouvrage chinois "Mathematics in Nine Books", et les anciens Grecs sont arrivés à la conclusion que tout nombre dont la racine n'est pas extraite sans reste donne un résultat irrationnel .

L'origine de ce terme est associée à la représentation arabe du nombre : les anciens scientifiques croyaient que le carré d'un nombre arbitraire pousse à partir de la racine, comme une plante. En latin, ce mot sonne comme radix (on peut tracer un schéma - tout ce qui a une charge sémantique "racine" est consonne, que ce soit radis ou sciatique).

Les scientifiques des générations suivantes ont repris cette idée, la désignant comme Rx. Par exemple, au XVe siècle, pour indiquer que la racine carrée est tirée d'un nombre arbitraire a, on écrivait R 2 a. Habituel aspect moderne"tique" √ n'est apparu qu'au 17ème siècle grâce à René Descartes.

Nos jours

Mathématiquement, la racine carrée de y est le nombre z dont le carré est y. Autrement dit, z 2 =y est équivalent à √y=z. Cependant, cette définition n'est pertinente que pour la racine arithmétique, puisqu'elle implique une valeur non négative de l'expression. En d'autres termes, √y=z, où z est supérieur ou égal à 0.

En général, ce qui est valable pour déterminer une racine algébrique, la valeur d'une expression peut être soit positive, soit négative. Ainsi, du fait que z 2 =y et (-z) 2 =y, on a : √y=±z ou √y=|z|.

En raison du fait que l'amour pour les mathématiques n'a fait qu'augmenter avec le développement de la science, il existe diverses manifestations d'affection pour elles, non exprimées dans des calculs secs. Par exemple, parallèlement à des événements aussi intéressants que le jour de Pi, les vacances de la racine carrée sont également célébrées. Elles sont célébrées neuf fois en cent ans, et sont déterminées selon le principe suivant : les nombres qui désignent le jour et le mois dans l'ordre doivent être la racine carrée de l'année. Oui, dans la prochaine fois Cette fête sera célébrée le 4 avril 2016.

Propriétés de la racine carrée sur le corps R

Presque toutes les expressions mathématiques ont une base géométrique, ce sort n'est pas passé et √y, qui est défini comme le côté d'un carré d'aire y.

Comment trouver la racine d'un nombre ?

Il existe plusieurs algorithmes de calcul. Le plus simple, mais en même temps assez lourd, est le calcul arithmétique habituel, qui est le suivant :

1) du nombre dont nous avons besoin, les nombres impairs sont soustraits à leur tour - jusqu'à ce que le reste à la sortie soit inférieur à celui soustrait ou pair zéro. Le nombre de coups finira par devenir le nombre souhaité. Par exemple, le calcul racine carrée sur 25 :

Le prochain nombre impair est 11, le reste est : 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pour de tels cas, il existe un développement en série de Taylor :

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , où n prend des valeurs de 0 à

+∞, et |y|≤1.

Représentation graphique de la fonction z=√y

Considérons une fonction élémentaire z=√y sur le corps de nombres réels R, où y est supérieur ou égal à zéro. Son graphique ressemble à ceci :

La courbe croît à partir de l'origine et passe nécessairement par le point (1 ; 1).

Propriétés de la fonction z=√y sur le corps de nombres réels R

1. Le domaine de définition de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est inclus).

2. La plage de valeurs de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est à nouveau inclus).

3. La fonction prend la valeur minimale (0) uniquement au point (0; 0). Il n'y a pas de valeur maximale.

4. La fonction z=√y n'est ni paire ni impaire.

5. La fonction z=√y n'est pas périodique.

6. Il n'y a qu'un seul point d'intersection du graphe de la fonction z=√y avec les axes de coordonnées : (0 ; 0).

7. Le point d'intersection du graphique de la fonction z=√y est aussi le zéro de cette fonction.

8. La fonction z=√y croît continuellement.

9. La fonction z=√y ne prend que des valeurs positives, donc son graphique occupe le premier angle de coordonnées.

Options d'affichage de la fonction z=√y

En mathématiques, pour faciliter le calcul d'expressions complexes, on utilise parfois la forme puissance d'écriture de la racine carrée : √y=y 1/2. Cette option est pratique, par exemple, pour élever une fonction à une puissance : (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Cette méthode est également une bonne représentation pour la différenciation avec intégration, puisque grâce à elle la racine carrée est représentée par une fonction puissance ordinaire.

Et en programmation, le remplacement du symbole √ est la combinaison de lettres sqrt.

Il convient de noter que dans ce domaine, la racine carrée est très demandée, car elle fait partie de la plupart des formules géométriques nécessaires aux calculs. L'algorithme de comptage lui-même est assez compliqué et est basé sur la récursivité (une fonction qui s'appelle elle-même).

La racine carrée dans le corps complexe C

Dans l'ensemble, c'est le sujet de cet article qui a stimulé la découverte du corps des nombres complexes C, puisque les mathématiciens étaient hantés par la question d'obtenir une racine de degré pair à partir d'un nombre négatif. C'est ainsi qu'est apparue l'unité imaginaire i, qui se caractérise par une propriété très intéressante : son carré est -1. Grâce à cela, les équations quadratiques et avec un discriminant négatif ont obtenu une solution. En C, pour la racine carrée, les mêmes propriétés sont pertinentes que dans R, la seule chose est que les restrictions sur l'expression de la racine sont supprimées.

La superficie d'un terrain carré est de 81 dm². Trouvez son côté. Supposons que la longueur du côté du carré soit X décimètres. Ensuite, la superficie de la parcelle est X² décimètres carrés. Puisque, selon la condition, cette surface est de 81 dm², alors X² = 81. La longueur du côté d'un carré est un nombre positif. Un nombre positif dont le carré est 81 est le nombre 9. Lors de la résolution du problème, il fallait trouver le nombre x, dont le carré est 81, c'est-à-dire résoudre l'équation X² = 81. Cette équation a deux racines : X 1 = 9 et X 2 \u003d - 9, puisque 9² \u003d 81 et (- 9)² \u003d 81. Les nombres 9 et - 9 sont appelés les racines carrées du nombre 81.

Notez que l'une des racines carrées X= 9 est un nombre positif. Elle est appelée la racine carrée arithmétique de 81 et est notée √81, donc √81 = 9.

Racine carrée arithmétique d'un nombre un est un nombre non négatif dont le carré est égal à un.

Par exemple, les nombres 6 et - 6 sont les racines carrées du nombre 36. Dans ce cas, le nombre 6 est la racine carrée arithmétique de 36, puisque 6 est un nombre non négatif et 6² \u003d 36. Le nombre - 6 n'est pas racine arithmétique.

Racine carrée arithmétique d'un nombre un noté comme suit : √ un.

Le signe est appelé le signe racine carrée arithmétique ; un est appelée expression racine. Expression √ un lis comme ceci : la racine carrée arithmétique d'un nombre un. Par exemple, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Dans les cas où il est clair que nous parlons d'une racine arithmétique, ils disent brièvement : "la racine carrée de un«.

Le fait de trouver la racine carrée d'un nombre s'appelle prendre la racine carrée. Cette action est l'inverse de la quadrature.

Tout nombre peut être élevé au carré, mais tous les nombres ne peuvent pas être des racines carrées. Par exemple, il est impossible d'extraire la racine carrée du nombre - 4. Si une telle racine existait, alors, en la désignant par la lettre X, nous aurions la mauvaise égalité x² \u003d - 4, car il y a un nombre non négatif à gauche et un nombre négatif à droite.

Expression √ un n'a de sens que lorsque un ≥ 0. La définition de la racine carrée peut être brièvement écrite comme : √ un ≥ 0, (√un)² = un. Égalité (√ un)² = un valable un ≥ 0. Ainsi, pour s'assurer que la racine carrée d'un nombre non négatif unéquivaut à b, c'est-à-dire que √ un =b, vous devez vérifier que les deux conditions suivantes sont remplies : b ≥ 0, b² = un.

La racine carrée d'une fraction

Calculons. Notez que √25 = 5, √36 = 6, et vérifiez si l'égalité est vraie.

Comme et , alors l'égalité est vraie. Alors, .

Théorème: Si un un≥ 0 et b> 0, c'est-à-dire la racine de la fraction égal à la racine du numérateur divisé par la racine du dénominateur. Il est nécessaire de prouver que : et .

Depuis √ un≥0 et √ b> 0, alors .

Par la propriété d'élever une fraction à une puissance et d'en déterminer la racine carrée le théorème est prouvé. Regardons quelques exemples.

Calculer , selon le théorème prouvé .

Deuxième exemple : prouver que , si un ≤ 0, b < 0. .

Autre exemple : Calculer .

.

Transformation racine carrée

Sortir le multiplicateur sous le signe de la racine. Donnons une expression. Si un un≥ 0 et b≥ 0, alors par le théorème sur la racine du produit, on peut écrire :

Une telle transformation s'appelle factoriser le signe racine. Prenons un exemple ;

Calculer à X= 2. Substitution directe X= 2 dans l'expression radicale conduit à des calculs compliqués. Ces calculs peuvent être simplifiés si nous supprimons d'abord les facteurs sous le signe racine : . En substituant maintenant x = 2, nous obtenons :.

Ainsi, en retirant le facteur sous le signe racine, l'expression radicale est représentée comme un produit dans lequel un ou plusieurs facteurs sont les carrés de nombres non négatifs. Le théorème du produit racine est ensuite appliqué et la racine de chaque facteur est prise. Prenons un exemple : Simplifions l'expression A = √8 + √18 - 4√2 en retirant les facteurs sous le signe racine dans les deux premiers termes, nous obtenons :. Nous soulignons que l'égalité valable uniquement lorsque un≥ 0 et b≥ 0. si un < 0, то .

L'exponentiation implique qu'un nombre donné doit être multiplié par lui-même un certain nombre de fois. Par exemple, élever le nombre 2 à la cinquième puissance ressemblerait à ceci :

Le nombre qui doit être multiplié par lui-même s'appelle la base du degré et le nombre de multiplications est son exposant. Elever à une puissance correspond à deux actions opposées : trouver l'exposant et trouver la base.

extraction de racine

Trouver la base d'un exposant s'appelle l'extraction de racine. Cela signifie que vous devez trouver le nombre qui doit être élevé à la puissance n pour obtenir celui donné.

Par exemple, il faut extraire la racine 4 du nombre 16, c'est-à-dire pour déterminer, vous devez multiplier par lui-même 4 fois pour obtenir au final 16. Ce nombre est 2.

Tel opération arithmétique est écrit en utilisant un signe spécial - le radical: √, au-dessus duquel l'exposant est indiqué à gauche.

racine arithmétique

Si l'exposant est nombre pair, alors la racine peut être deux nombres avec le même module, mais avec - positif et négatif. Ainsi, dans l'exemple donné, il peut s'agir des numéros 2 et -2.

L'expression doit être univoque, c'est-à-dire avoir un seul résultat. Pour cela, le concept de racine arithmétique a été introduit, qui ne peut être qu'un nombre positif. Une racine arithmétique ne peut pas être inférieure à zéro.

Ainsi, dans l'exemple discuté ci-dessus, seul le nombre 2 sera la racine arithmétique, et la deuxième réponse - -2 - est exclue par définition.

Racine carrée

Pour certains degrés qui sont utilisés plus souvent que d'autres, il existe des noms spéciaux qui sont à l'origine associés à la géométrie. Il s'agit de sur l'élévation aux deuxième et troisième puissances.

À la deuxième puissance, la longueur du côté du carré lorsque vous devez calculer son aire. Si vous avez besoin de trouver le volume d'un cube, la longueur de son arête est élevée à la troisième puissance. Par conséquent, il s'appelle le carré du nombre et le troisième s'appelle le cube.

En conséquence, la racine du deuxième degré s'appelle le carré et la racine du troisième degré s'appelle le cubique. La racine carrée est la seule des racines qui n'a pas d'exposant au-dessus du radical lorsqu'elle s'écrit :

Ainsi, la racine carrée arithmétique d'un nombre donné est un nombre positif qui doit être élevé à la seconde puissance pour obtenir le nombre donné.

Il est temps de démonter méthodes d'extraction des racines. Ils sont basés sur les propriétés des racines, en particulier sur l'égalité, qui est vraie pour tout nombre non négatif b.

Ci-dessous, nous examinerons tour à tour les principales méthodes d'extraction des racines.

Commençons par le cas le plus simple - extraire les racines des nombres naturels en utilisant une table de carrés, une table de cubes, etc.

Si les tables de carrés, de cubes, etc. n'est pas à portée de main, il est logique d'utiliser la méthode d'extraction de la racine, qui consiste à décomposer le nombre racine en facteurs simples.

Séparément, cela vaut la peine de s'y attarder, ce qui est possible pour les racines avec des exposants impairs.

Enfin, considérons une méthode qui vous permet de trouver séquentiellement les chiffres de la valeur de la racine.

Commençons.

À l'aide d'un tableau de carrés, d'un tableau de cubes, etc.

Dans la plupart cas simples des tables de carrés, de cubes, etc. permettent d'extraire des racines. Quels sont ces tableaux ?

Le tableau des carrés des nombres entiers de 0 à 99 inclus (présenté ci-dessous) se compose de deux zones. La première zone du tableau est située sur fond gris, elle utilise la sélection certaine chaîne et une colonne spécifique permet de faire un nombre de 0 à 99 . Par exemple, sélectionnons une ligne de 8 dizaines et une colonne de 3 unités, avec cela nous fixons le nombre 83. La deuxième zone occupe le reste du tableau. Chacune de ses cellules est située à l'intersection d'une certaine ligne et d'une certaine colonne, et contient le carré du nombre correspondant de 0 à 99 . À l'intersection de notre rangée choisie de 8 dizaines et de la colonne 3 de un, il y a une cellule avec le nombre 6889, qui est le carré du nombre 83.

Les tables de cubes, les tables de puissances quatrièmes des nombres de 0 à 99 et ainsi de suite sont similaires à la table de carrés, sauf qu'elles contiennent des cubes, des puissances quatrièmes, etc. dans la deuxième zone. numéros correspondants.

Tables de carrés, cubes, puissances quatrièmes, etc. permettent d'extraire des racines carrées, racines cubiques, racines quatrièmes, etc. respectivement à partir des chiffres de ces tableaux. Expliquons le principe de leur application dans l'extraction des racines.

Disons que nous devons extraire la racine du nième degré du nombre a, alors que le nombre a est contenu dans le tableau des nièmes degrés. D'après ce tableau, on trouve le nombre b tel que a=b n . Puis , par conséquent, le nombre b sera la racine désirée du nième degré.

À titre d'exemple, montrons comment la racine cubique de 19683 est extraite à l'aide de la table de cube. On retrouve le nombre 19 683 dans le tableau des cubes, à partir de là on constate que ce nombre est un cube du nombre 27, donc, .

Il est clair que les tables de nième degrés sont très pratiques lors de l'extraction des racines. Cependant, ils ne sont souvent pas à portée de main et leur compilation nécessite un certain temps. De plus, il est souvent nécessaire d'extraire des racines de nombres qui ne sont pas contenus dans les tables correspondantes. Dans ces cas, il faut recourir à d'autres méthodes d'extraction des racines.

Décomposition du nombre racine en facteurs premiers

Suffisant moyen pratique, qui permet d'extraire la racine d'un nombre naturel (si, bien sûr, la racine est extraite) est la décomposition du nombre racine en facteurs premiers. Le sien l'essentiel est le suivant: après il est assez facile de le représenter en degré avec l'indicateur voulu, ce qui permet d'obtenir la valeur de la racine. Expliquons ce point.

Soit la racine du nième degré extraite d'un nombre naturel a, et sa valeur est égale à b. Dans ce cas, l'égalité a=b n est vraie. Numéro b comme tout entier naturel peut être représenté comme un produit de tous ses facteurs premiers p 1 , p 2 , ..., p m sous la forme p 1 p 2 ... p m , et le nombre racine a dans ce cas est représenté par (p 1 p 2 ... p m) n. Comme la décomposition du nombre en facteurs premiers est unique, la décomposition du nombre racine a en facteurs premiers ressemblera à (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ce qui permet de calculer la valeur de la racine comme .

Notons que si la factorisation du nombre racine a ne peut pas être représentée sous la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , alors la racine du nième degré d'un tel nombre a n'est pas complètement extraite.

Traitons cela lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Prenez la racine carrée de 144 .

Décision.

Si nous nous tournons vers la table des carrés donnée dans le paragraphe précédent, on voit clairement que 144=12 2 , d'où il ressort que la racine carrée de 144 est 12 .

Mais à la lumière de ce point, nous nous intéressons à la façon dont la racine est extraite en décomposant le nombre racine 144 en facteurs premiers. Voyons cette solution.

décomposons 144 aux facteurs premiers :

Autrement dit, 144=2 2 2 2 3 3 . Sur la base de la décomposition résultante, les transformations suivantes peuvent être effectuées : 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Ainsi, .

En utilisant les propriétés du degré et les propriétés des racines, la solution pourrait être formulée un peu différemment : .

Répondre:

Pour consolider le matériel, considérons les solutions de deux autres exemples.

Exemple.

Calculez la valeur racine.

Décision.

La factorisation première du nombre racine 243 est 243=3 5 . Ainsi, .

Répondre:

Exemple.

La valeur de la racine est-elle un entier ?

Décision.

Pour répondre à cette question, décomposons le nombre racine en facteurs premiers et voyons s'il peut être représenté comme un cube d'un entier.

Nous avons 285 768=2 3 3 6 7 2 . La décomposition résultante n'est pas représentée comme un cube d'entier, puisque le degré du facteur premier 7 n'est pas un multiple de trois. Par conséquent, la racine cubique de 285 768 n'est pas prise complètement.

Répondre:

Non.

Extraction de racines à partir de nombres fractionnaires

Il est temps de comprendre comment la racine est extraite de nombre fractionnaire. Laissez le nombre racine fractionnaire être écrit comme p/q . D'après la propriété de la racine du quotient, l'égalité suivante est vraie. De cette égalité il résulte règle de racine de fraction: La racine d'une fraction est égale au quotient de la racine du numérateur par la racine du dénominateur.

Regardons un exemple d'extraction d'une racine d'une fraction.

Exemple.

Quelle est la racine carrée de fraction commune 25/169 .

Décision.

Selon la table des carrés, nous constatons que la racine carrée du numérateur de la fraction originale est 5 et la racine carrée du dénominateur est 13. Puis . Ceci complète l'extraction de la racine d'une fraction ordinaire 25/169.

Répondre:

La racine d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire est extraite après avoir remplacé les nombres racines par des fractions ordinaires.

Exemple.

Prenez la racine cubique de la décimale 474,552.

Décision.

Représentons la décimale d'origine sous la forme d'une fraction commune : 474,552=474552/1000 . Puis . Il reste à extraire les racines cubiques qui sont au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante. Comme 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 et 1 000=10 3 , alors et . Il ne reste plus qu'à compléter les calculs .

Répondre:

.

Extraire la racine d'un nombre négatif

Séparément, il vaut la peine de s'attarder sur l'extraction des racines des nombres négatifs. Lors de l'étude des racines, nous avons dit que lorsque l'exposant de la racine est un nombre impair, alors un nombre négatif peut être sous le signe de la racine. Nous avons donné à ces notations la signification suivante : pour un nombre négatif −a et un exposant impair de la racine 2 n−1, on a . Cette égalité donne règle pour extraire les racines impaires des nombres négatifs: pour extraire la racine d'un nombre négatif, il faut extraire la racine du nombre positif opposé, et mettre un signe moins devant le résultat.

Prenons un exemple de solution.

Exemple.

Trouvez la valeur racine.

Décision.

Transformons l'expression d'origine pour qu'un nombre positif apparaisse sous le signe racine : . Remplaçons maintenant le nombre fractionnaire par une fraction ordinaire : . On applique la règle d'extraction de la racine d'une fraction ordinaire : . Il reste à calculer les racines au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante : .

Voici un résumé de la solution : .

Répondre:

.

Recherche au niveau du bit de la valeur racine

Dans le cas général, sous la racine, il y a un nombre qui, en utilisant les techniques décrites ci-dessus, ne peut pas être représenté comme la puissance n d'un nombre. Mais en même temps, il est nécessaire de connaître la valeur d'une racine donnée, au moins jusqu'à un certain signe. Dans ce cas, pour extraire la racine, vous pouvez utiliser un algorithme qui vous permet d'obtenir de manière cohérente un nombre suffisant de valeurs des chiffres du nombre souhaité.

Au premier pas cet algorithme vous devez savoir quel est le bit le plus significatif de la valeur de la racine. Pour ce faire, les nombres 0, 10, 100, ... sont successivement élevés à la puissance n jusqu'à obtenir un nombre supérieur au nombre racine. Ensuite, le nombre que nous avons élevé à la puissance n à l'étape précédente indiquera l'ordre supérieur correspondant.

Par exemple, considérez cette étape de l'algorithme lors de l'extraction de la racine carrée de cinq. Nous prenons les nombres 0, 10, 100, ... et les mettons au carré jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 5 . Nous avons 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ce qui signifie que le chiffre le plus significatif sera le chiffre des unités. La valeur de ce bit, ainsi que les plus faibles, seront trouvées dans les prochaines étapes de l'algorithme d'extraction de racine.

Toutes les étapes suivantes de l'algorithme visent à affiner successivement la valeur de la racine du fait que les valeurs des chiffres suivants de la valeur souhaitée de la racine sont trouvées, en partant du plus haut et en se déplaçant vers le plus bas . Par exemple, la valeur de la racine dans la première étape est 2 , dans la seconde - 2,2 , dans la troisième - 2,23 , et ainsi de suite 2,236067977 ... . Décrivons comment les valeurs des bits sont trouvées.

La recherche des chiffres s'effectue en les énumérant valeurs possibles 0, 1, 2, ..., 9 . Dans ce cas, les nièmes puissances des nombres correspondants sont calculées en parallèle, et elles sont comparées au nombre racine. Si à un moment donné la valeur du degré dépasse le nombre radical, alors la valeur du chiffre correspondant à la valeur précédente est considérée comme trouvée, et la transition vers l'étape suivante de l'algorithme d'extraction de racine est effectuée, si cela ne se produit pas, alors la valeur de ce chiffre est 9 .

Expliquons tous ces points en utilisant le même exemple d'extraction de la racine carrée de cinq.

Tout d'abord, trouvez la valeur du chiffre des unités. On va itérer sur les valeurs 0, 1, 2, …, 9 , en calculant respectivement 0 2 , 1 2 , …, 9 2 jusqu'à obtenir une valeur supérieure au nombre radical 5 . Tous ces calculs sont commodément présentés sous forme de tableau :

Donc la valeur du chiffre des unités est 2 (car 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Passons à la recherche de la valeur de la dixième place. Dans ce cas, nous mettrons au carré les nombres 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, en comparant les valeurs obtenues avec le nombre racine 5 :

Depuis 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , alors la valeur de la dixième place est 2 . Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur de la place des centièmes :

Donc trouvé valeur suivante racine de cinq, il est égal à 2,23. Et ainsi vous pouvez continuer à trouver des valeurs plus loin : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pour consolider le matériel, nous analyserons l'extraction de la racine avec une précision au centième en utilisant l'algorithme considéré.

Tout d'abord, nous définissons le chiffre supérieur. Pour ce faire, nous mettons au cube les nombres 0, 10, 100, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre supérieur à 2 151,186 . Nous avons 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , donc le chiffre le plus significatif est le chiffre des dizaines.

Définissons sa valeur.

Depuis 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , alors la valeur du chiffre des dizaines est 1 . Passons aux unités.

Ainsi, la valeur de la place des uns est 2 . Passons à dix.

Puisque même 12,9 3 est inférieur au nombre radical 2 151,186 , la valeur de la dixième place est 9 . Il reste à effectuer la dernière étape de l'algorithme, il nous donnera la valeur de la racine avec la précision requise.

A ce stade, la valeur de la racine se trouve au centième près : .

En conclusion de cet article, je voudrais dire qu'il existe de nombreuses autres façons d'extraire des racines. Mais pour la plupart des tâches, celles que nous avons étudiées ci-dessus sont suffisantes.

Bibliographie.

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