NOMBRES RÉELS II

§ 44 Représentation géométrique des nombres réels

Les nombres géométriquement réels, comme les nombres rationnels, sont représentés par des points sur une ligne droite.

Laisser être je - une ligne droite arbitraire, et O - certains de ses points (Fig. 58). Tout nombre réel positif α mettre en correspondance le point A, situé à droite de O à une distance de α unités de longueur.

Si, par exemple, α = 2,1356..., alors

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

etc. Il est évident que le point A dans ce cas doit être sur la ligne je à droite des points correspondant aux nombres

2; 2,1; 2,13; ... ,

mais à gauche des points correspondant aux nombres

3; 2,2; 2,14; ... .

On peut montrer que ces conditions définissent sur la ligne je le seul point A, que l'on considère comme l'image géométrique d'un nombre réel α = 2,1356... .

De même, tout nombre réel négatif β mettre en correspondance le point B situé à gauche de O à une distance de | β | unités de longueur. Enfin, nous attribuons le point O au nombre "zéro".

Ainsi, le chiffre 1 sera affiché sur une ligne droite je point A, situé à droite de O à une distance d'une unité de longueur (Fig. 59), le nombre - √2 - point B, situé à gauche de O à une distance de √2 unités de longueur, etc.

Montrons comment sur une ligne droite je à l'aide d'un compas et d'une règle, vous pouvez trouver des points correspondant aux nombres réels √2, √3, √4, √5, etc. Pour cela, dans un premier temps, nous allons montrer comment construire des segments dont les longueurs s'expriment par ces chiffres. Soit AB un segment pris comme unité de longueur (fig. 60).

Au point A, on restitue une perpendiculaire à ce segment et on y écarte le segment AC, égal au segment AB. Ensuite, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle ABC, nous obtenons ; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Par conséquent, le segment BC a une longueur √2. Rétablissons maintenant la perpendiculaire au segment BC au point C et choisissons le point D sur celui-ci pour que le segment CD soit égal à un Longueur AB. Puis de triangle rectangle Trouver BCD :

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Par conséquent, le segment BD a une longueur √3. En poursuivant le processus décrit plus loin, nous pourrions obtenir des segments BE, BF, ..., dont les longueurs sont exprimées par les nombres √4, √5, etc.

Maintenant en ligne je il est facile de trouver les points qui servent de représentation géométrique des nombres √2, √3, √4, √5, etc.

En plaçant, par exemple, à droite du point O le segment BC (Fig. 61), on obtient le point C, qui sert de représentation géométrique du nombre √2. De même, en reportant le segment BD à droite du point O, on obtient le point D", qui est l'image géométrique du nombre √3, etc.

Cependant, il ne faut pas penser qu'à l'aide d'un compas et d'une règle sur une droite numérique je on peut trouver un point correspondant à n'importe quel nombre réel donné. Il a été prouvé, par exemple, qu'en n'ayant à sa disposition qu'un compas et une règle, il est impossible de construire un segment dont la longueur s'exprime par le nombre π = 3,14 ... . Donc sur la droite numérique je avec de telles constructions, il est impossible d'indiquer un point correspondant à ce nombre, pourtant un tel point existe.

Donc pour tout nombre réel α il est possible d'associer un point bien défini de la ligne je . Ce point sera séparé du point de départ O à une distance de | α | unités de longueur et être à droite de O si α > 0, et à gauche de O si α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две divers points droit je . En effet, laissez le nombre α correspond au point A, et le nombre β - point B. Alors, si α > β , alors A sera à droite de B (Fig. 62, a) ; si α < β , alors A se trouvera à gauche de B (Fig. 62, b).

Parlant au § 37 de la représentation géométrique des nombres rationnels, nous avons posé la question : tout point d'une droite peut-il être considéré comme une image géométrique de certains rationnel Nombres? A cette époque, nous ne pouvions pas donner de réponse à cette question; maintenant nous pouvons y répondre avec certitude. Il y a des points sur une ligne droite qui servent d'image géométrique nombres irrationnels(par exemple √2 ). Par conséquent, tous les points d'une ligne droite ne représentent pas un nombre rationnel. Mais dans ce cas, une autre question se pose : tout point de la droite réelle peut-il être considéré comme une image géométrique de quelque valide Nombres? Ce problème a déjà été résolu positivement.

En effet, soit A un point arbitraire sur la droite je , située à droite de O (Fig. 63).

La longueur du segment OA est exprimée par un nombre réel positif α (voir § 41). Donc le point A est l'image géométrique du nombre α . De même, on établit que chaque point B, situé à gauche de O, peut être considéré comme une image géométrique d'un nombre réel négatif - β , où β - la longueur du segment VO. Enfin, le point O sert de représentation géométrique du nombre zéro. Il est clair que deux points distincts de la ligne je ne peut pas être l'image géométrique d'un même nombre réel.

Pour les raisons énoncées ci-dessus, une droite sur laquelle un point O est indiqué comme point "initial" (pour une unité de longueur donnée) est appelée ligne numérique.

Conclusion. L'ensemble de tous les nombres réels et l'ensemble de tous les points de la ligne réelle sont dans une correspondance biunivoque.

Cela signifie qu'à chaque nombre réel correspond un point bien défini de la droite numérique et, inversement, à chaque point de la droite numérique, à une telle correspondance correspond un nombre réel bien défini.

Des exercices

320. Découvrez lequel des deux points se trouve sur la droite numérique à gauche et lequel à droite, si ces points correspondent à des nombres :

a) 1,454545... et 1,455454... ; c) 0 et - 1,56673...;

b) - 12,0003... et - 12,0002... ; d) 13h24... et 13h00....

321. Découvrez lequel des deux points est le plus éloigné du point de départ O sur la droite numérique, si ces points correspondent à des nombres :

a) 5,2397... et 4,4996... ; .. c) -0,3567... et 0,3557... .

d) - 15,0001 et - 15,1000... ;

322. Dans cette section, il a été montré que pour construire un segment de longueur √ n à l'aide d'un compas et d'une règle, on peut faire ceci : construire d'abord un segment de longueur √2, puis un segment de longueur √3, etc., jusqu'à arriver à un segment de longueur √ n . Mais pour chaque fixe P > 3 ce processus peut être accéléré. Comment, par exemple, commenceriez-vous à construire un segment de longueur √10 ?

323*. Comment utiliser un compas et une règle pour trouver un point sur la droite numérique correspondant au chiffre 1 / α , si la position du point correspondant au nombre α , connu?

Une droite numérique, un axe des nombres, est une ligne sur laquelle sont représentés des nombres réels. Sur la droite, l'origine est choisie - le point O (le point O représente 0) et le point L, représentant l'unité. Le point L se trouve généralement à droite du point O. Le segment OL est appelé segment unitaire.

Les points à droite du point O représentent des nombres positifs. Points à gauche du point. Oh, décrivez les nombres négatifs. Si le point X représente un nombre positif x, alors la distance OX = x. Si le point X représente un nombre négatif x, alors la distance OX = - x.

Le nombre indiquant la position d'un point sur une droite s'appelle la coordonnée de ce point.

Le point V illustré sur la figure a une coordonnée de 2 et le point H a une coordonnée de -2,6.

Le module d'un nombre réel est la distance de l'origine au point correspondant à ce nombre. Désigner le module du nombre x, donc : | x |. Évidemment, | 0 | = 0.

Si le nombre x est supérieur à 0, alors | x | = x, et si x est inférieur à 0, alors | x | = -x. Sur ces propriétés du module, la solution de nombreuses équations et inégalités avec le module est basée.

Exemple : Résoudre l'équation | x-3 | = 1.

Solution : Considérons deux cas - le premier cas, lorsque x -3 > 0, et le second cas, lorsque x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

Dans ce cas | x-3 | = x - 3.

L'équation prend la forme x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - satisfait la première condition.

2. x -3 0, x 3.

Dans ce cas | x-3 | = - x + 3

L'équation prend la forme x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - satisfait la deuxième condition.

Réponse : x = 4, x = -2.

Expressions numériques.

Une expression numérique est une collection d'un ou plusieurs nombres et fonctions reliés par des opérateurs arithmétiques et des parenthèses.
Exemples d'expressions numériques :

La valeur d'une expression numérique est un nombre.
Les opérations d'expression numérique sont effectuées dans l'ordre suivant :

1. Actions entre parenthèses.

2. Calcul des fonctions.

3. Exponentation

4. Multiplication et division.

5. Addition et soustraction.

6. Les opérations du même type sont effectuées de gauche à droite.

Ainsi, la valeur de la première expression sera le nombre lui-même 12,3
Afin de calculer la valeur de la deuxième expression, nous effectuerons les actions dans l'ordre suivant :

1. Effectuez les actions entre parenthèses dans l'ordre suivant - nous élevons d'abord 2 à la puissance 3, puis soustrayons 11 du nombre résultant :

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Multipliez 3 par 4 :

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Effectuez les opérations dans l'ordre de gauche à droite :

12 + (-3) = 9.
Une expression avec des variables est une collection d'un ou plusieurs nombres, variables et fonctions reliés par des opérateurs arithmétiques et des parenthèses. Les valeurs des expressions avec des variables dépendent des valeurs des variables qui y sont incluses. La séquence des opérations ici est la même que pour les expressions numériques. Il est parfois utile de simplifier des expressions avec des variables en effectuant diverses actions - parenthèses, expansion de parenthèses, regroupement, réduction de fractions, réduction de fractions similaires, etc. De plus, pour simplifier les expressions, diverses formules sont souvent utilisées, par exemple des formules de multiplication abrégées, des propriétés de diverses fonctions, etc.

Expressions algébriques.

Une expression algébrique est une ou plusieurs quantités algébriques (chiffres et lettres) reliées entre elles par des signes d'opérations algébriques : addition, soustraction, multiplication et division, ainsi que l'extraction de la racine et l'élévation à une puissance entière (de plus, la racine et l'exposant doivent nécessairement être des nombres entiers) et des signes de la séquence de ces actions (généralement des parenthèses différentes sortes). Le nombre de quantités incluses dans expression algébrique devrait être définitif.

Exemple d'expression algébrique :

"L'expression algébrique" est un concept syntaxique, c'est-à-dire que quelque chose est une expression algébrique si et seulement si elle obéit à certaines règles grammaticales (voir Grammaire formelle). Si les lettres d'une expression algébrique sont considérées comme des variables, alors l'expression algébrique acquiert la signification d'une fonction algébrique.

De la grande variété de ensembles d'un intérêt particulier sont les soi-disant ensembles de nombres, c'est-à-dire des ensembles dont les éléments sont des nombres. Il est clair que pour travailler confortablement avec eux, vous devez être capable de les écrire. Avec la notation et les principes d'écriture des ensembles numériques, nous commencerons cet article. Et puis nous examinerons comment les ensembles numériques sont représentés sur la ligne de coordonnées.

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Écrire des ensembles numériques

Commençons par la notation acceptée. Comme on le sait, les majuscules de l'alphabet latin sont utilisées pour désigner des ensembles. Ensembles numériques comme cas particulier les ensembles sont également notés. Par exemple, on peut parler d'ensembles numériques A , H , W , etc. Les ensembles de nombres naturels, entiers, rationnels, réels, complexes, etc., pour lesquels leurs propres désignations ont été adoptées, revêtent une importance particulière :

• N est l'ensemble de tous les nombres naturels ;
• Z est l'ensemble des nombres entiers ;
• Q est l'ensemble des nombres rationnels ;
• J est l'ensemble des nombres irrationnels ;
• R est l'ensemble des nombres réels ;
• C est l'ensemble des nombres complexes.

Il en ressort clairement qu'il n'est pas nécessaire de désigner un ensemble composé, par exemple, de deux nombres 5 et -7 comme Q, cette désignation sera trompeuse, car la lettre Q désigne généralement l'ensemble de tous les nombres rationnels. Pour désigner l'ensemble numérique spécifié, il est préférable d'utiliser une autre lettre "neutre", par exemple, A.

Puisqu'on parle de notation, on rappelle ici aussi la notation d'un ensemble vide, c'est-à-dire un ensemble qui ne contient pas d'éléments. Il est noté par le signe ∅.

Rappelons aussi la désignation d'appartenance et de non-appartenance d'un élément à un ensemble. Pour ce faire, utilisez les signes ∈ - appartient et ∉ - n'appartient pas. Par exemple, l'entrée 5∈N signifie que le nombre 5 appartient à l'ensemble des nombres naturels, et 5.7∉Z - la fraction décimale 5.7 n'appartient pas à l'ensemble des nombres entiers.

Rappelons aussi la notation adoptée pour inclure un ensemble dans un autre. Il est clair que tous les éléments de l'ensemble N sont inclus dans l'ensemble Z, donc, ensemble de nombres N est inclus dans Z , ceci est noté N⊂Z . Vous pouvez également utiliser la notation Z⊃N , ce qui signifie que l'ensemble de tous les entiers Z inclut l'ensemble N . Les relations non incluses et non incluses sont désignées par les signes ⊄ et , respectivement. Les signes d'inclusion non stricts de la forme ⊆ et ⊇ sont également utilisés, signifiant, respectivement, inclus ou correspond et inclut ou correspond.

Nous avons parlé de la notation, passons à la description des ensembles numériques. Dans ce cas, nous n'aborderons que les principaux cas les plus utilisés en pratique.

Commençons par des ensembles numériques contenant un nombre fini et petit d'éléments. Les ensembles numériques constitués d'un nombre fini d'éléments peuvent être facilement décrits en énumérant tous leurs éléments. Tous les éléments numériques sont écrits séparés par des virgules et entourés de , ce qui est cohérent avec le commun définir des règles de description. Par exemple, un ensemble composé de trois nombres 0 , −0,25 et 4/7 peut être décrit comme (0, −0,25, 4/7) .

Parfois, lorsque le nombre d'éléments d'un ensemble numérique est suffisamment grand, mais que les éléments obéissent à un certain modèle, des points de suspension sont utilisés pour décrire. Par exemple, l'ensemble de tous les nombres impairs de 3 à 99 inclus peut s'écrire (3, 5, 7, ..., 99) .

Nous avons donc abordé en douceur la description des ensembles numériques dont le nombre d'éléments est infini. Parfois, ils peuvent être décrits en utilisant tous les mêmes points de suspension. Par exemple, décrivons l'ensemble de tous les nombres naturels : N=(1, 2. 3, …) .

Ils utilisent également la description des ensembles numériques en indiquant les propriétés de ses éléments. Dans ce cas, la notation (x|propriétés) est utilisée. Par exemple, la notation (n| 8 n+3, n∈N) définit l'ensemble des nombres naturels qui, divisés par 8, donnent un reste de 3 . Le même ensemble peut être décrit comme (11,19, 27, ...) .

Dans des cas particuliers, les ensembles numériques avec un nombre infini d'éléments sont des ensembles connus N , Z , R , etc. ou les écarts de nombre. Et en général, les ensembles numériques sont représentés par syndicat des intervalles numériques individuels qui les composent et des ensembles numériques avec un nombre fini d'éléments (dont nous avons parlé un peu plus haut).

Montrons un exemple. Soit l'ensemble de nombres les nombres −10 , −9 , −8.56 , 0 , tous les nombres de l'intervalle [−5, −1.3] et les nombres du rayon ouvert (7, +∞) . En vertu de la définition de l'union des ensembles, l'ensemble numérique indiqué peut s'écrire {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Une telle notation signifie en fait un ensemble contenant tous les éléments des ensembles (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] et (7, +∞) .

De même, en combinant diverses plages numériques et ensembles de nombres individuels, tout ensemble de nombres (constitué de nombres réels) peut être décrit. Ici, il devient clair pourquoi des types d'intervalles numériques tels que intervalle, demi-intervalle, segment, ouvert nombre faisceau et un rayon numérique : tous, avec la notation d'ensembles de nombres individuels, permettent de décrire n'importe quel ensemble de nombres par leur union.

Veuillez noter que lors de l'écriture d'un ensemble numérique, ses numéros constitutifs et intervalles numériques sont triés par ordre croissant. Ce n'est pas une condition obligatoire, mais souhaitable, car un ensemble numérique ordonné est plus facile à représenter et à représenter sur une ligne de coordonnées. Notez également que ces enregistrements n'utilisent pas d'intervalles numériques avec éléments communs, puisque de telles entrées peuvent être remplacées par l'union d'intervalles numériques sans éléments communs. Par exemple, la réunion d'ensembles numériques d'éléments communs [−10, 0] et (−5, 3) est un demi-intervalle [−10, 3) . Il en va de même pour l'union d'intervalles numériques avec les mêmes nombres de bord, par exemple, l'union (3, 5]∪(5, 7] est un ensemble (3, 7] , nous nous y attarderons séparément quand nous apprendrons à trouver l'intersection et l'union d'ensembles numériques .

Image d'ensembles de nombres sur la ligne de coordonnées

En pratique, il est commode d'utiliser les images géométriques d'ensembles numériques - leurs images sur . Par exemple, lorsque résoudre des inégalités, dans lequel il est nécessaire de prendre en compte l'ODZ, il est nécessaire de représenter des ensembles numériques afin de trouver leur intersection et/ou union. Il sera donc utile de bien comprendre toutes les nuances de la représentation des ensembles numériques sur la ligne de coordonnées.

On sait qu'entre les points de la ligne de coordonnées et les nombres réels, il existe une correspondance biunivoque, ce qui signifie que la ligne de coordonnées elle-même est un modèle géométrique de l'ensemble de tous les nombres réels R. Ainsi, pour représenter l'ensemble de tous les nombres réels, il est nécessaire de tracer une ligne de coordonnées hachurée sur toute sa longueur:

Et souvent ils n'indiquent même pas l'origine et un seul segment :

Parlons maintenant de l'image des ensembles numériques, qui sont un nombre fini de nombres individuels. Par exemple, dessinons l'ensemble de nombres (−2, −0.5, 1.2) . L'image géométrique de cet ensemble, composé de trois nombres -2, -0,5 et 1,2 sera trois points de la ligne de coordonnées avec les coordonnées correspondantes :

Notez que généralement pour les besoins de la pratique, il n'est pas nécessaire d'effectuer le dessin avec précision. Souvent, un dessin schématique est suffisant, ce qui signifie qu'il n'est pas nécessaire de maintenir l'échelle, alors qu'il est seulement important de maintenir arrangement mutuel points les uns par rapport aux autres : tout point avec une plus petite coordonnée doit être à gauche d'un point avec une plus grande coordonnée. Le dessin précédent ressemblera schématiquement à ceci :

Séparément, de tous les ensembles numériques possibles, on distingue les intervalles numériques (intervalles, demi-intervalles, rayons, etc.), qui représentent leurs images géométriques, nous avons examiné en détail dans la section. Nous ne nous répéterons pas ici.

Et il ne reste plus qu'à s'attarder sur l'image des ensembles numériques, qui sont l'union de plusieurs intervalles numériques et des ensembles constitués de nombres individuels. Il n'y a rien de compliqué ici: selon le sens de l'union, dans ces cas, sur la ligne de coordonnées, vous devez représenter tous les composants de l'ensemble d'un ensemble numérique donné. À titre d'exemple, montrons l'image d'un ensemble de nombres (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Et arrêtons-nous sur des cas assez courants où l'ensemble numérique représenté est l'ensemble complet des nombres réels, à l'exception d'un ou plusieurs points. De tels ensembles sont souvent spécifiés par des conditions telles que x≠5 ou x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 etc. Dans ces cas, géométriquement, ils représentent toute la ligne de coordonnées, à l'exception des points correspondants. En d'autres termes, ces points doivent être "coupés" de la ligne de coordonnées. Ils sont représentés par des cercles avec un centre vide. Pour plus de clarté, dessinons un ensemble de nombres, conforme aux conditions (cet ensemble est essentiellement):

Résumer. Idéalement, les informations des paragraphes précédents doivent former la même vue de l'enregistrement et de la représentation des ensembles numériques que la vue des intervalles numériques individuels : l'enregistrement d'un ensemble numérique doit immédiatement donner son image sur la ligne de coordonnées, et à partir de l'image sur la ligne de coordonnées, nous devrions être prêts à décrire facilement l'ensemble numérique correspondant par l'union d'écarts individuels et d'ensembles constitués de nombres individuels.

Bibliographie.

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Façonner les chiffres

Dans les appareils numériques, il existe deux formes d'images de nombres : avec un fixe і coma flottant.

Au premier paragraphe, seuls quelques chiffres positifs étaient visibles. La formule (1.14) donne la possibilité d'afficher un nombre double avec un entier et une partie fractionnaire et une virgule fixe. Le signe d'un nombre à deux chiffres avec une virgule fixe est donné par un rang supplémentaire, qui est placé devant les nombres. Pour les numéros supplémentaires, la valeur de la commande supplémentaire est égale à " 0 ”, pour les visuels - “ 1 ”.

À la table 1.3, il existe trois options pour coder le dernier et le deuxième numéro avec un double code.

Tableau 1.3.

Dans la première variante, comme il ressort des tableaux, dans la double séquence codée, il peut y avoir une place de zéros supplémentaires et finaux, ce qui peut entraîner des problèmes lors des opérations arithmétiques vikonann.

La représentation des nombres donnés dans le code de porte ne résout pas non plus le problème ci-dessus. Vous ne vous tromperez pas une seule fois, si vous voyez les chiffres code supplémentaire, qui est calculé par la formule :

Sur la fig. 1.12 montre une interprétation graphique de l'image des nombres positifs et négatifs qui sont semblables à zéro aux alternatives des codes directs et complémentaires. Comme on le verra plus loin, une telle forme de représentation des nombres en dixièmes simplifiera simplement les opérations arithmétiques.

Exemple 1.10. Connaître le code complémentaire aux dixièmes chiffres : 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannya. On connaît deux équivalents de nombres donnés :

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Nous connaissons le code, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110 ; 01111110.

Il est connu de compléter les codes de nombres donnés : 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10 ;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Nous expliquons maintenant l'essence de l'enregistrement des nombres avec une virgule fixe. Que le nombre dans les systèmes numériques soit pris en charge par des dispositifs de mémoire spéciaux, une rangée de peaux est formée à partir d'un nombre fixe d'éléments. Le coma, qui comprenait dans le nombre de coups une partie du nombre de coups, occupe dans une rangée de mémoire une position fixe - devant le rang supérieur ou après le jeune.

Pour le premier type, la valeur absolue du nombre est inférieure à un - par exemple, 0,110101 2. En tant que rangée d'affectations de mémoire pour dix décharges, le nombre dans le nouveau doit être écrit comme indiqué sur la Fig. 1.13, le rang de prélèvement final montre le signe du nombre et le reshta - le rang du module. Les décharges jeunes de Vilni sont remplies de zéros. Oskіlki dans le vipadku révisé dans une rangée de mémoire transfère l'enregistrement de moins d'une partie fractionnaire du nombre, puis les résultats de toutes les opérations sont dus à des valeurs absolues inférieures à un. Wikonnannya tsієї assurez-vous de choisir les facteurs d'échelle appropriés, sur lesquels les données externes sont multipliées. Si le coefficient d'échelle des vibrations est erroné, il peut y avoir une réorganisation des décharges et l'apparence de la pièce entière, comme si elle était épuisée, les éclats de la grille de décharge ne seront pas transférés à l'apparence її. Tout de même, je vais vous amener en enfer dans le résultat, qui est à court d'une telle méthode.

Dans un autre état d'esprit, si un coma est fixé après l'ordre le plus jeune, il peut être juste avec des nombres entiers. Ainsi, par exemple, le nombre 10011 2 dans une rangée de mémoire est placé dans la visibilité de la fig. 1.14, le rang de vie est un signe, et après celui-ci à droite, les chiffres vides sont remplis de zéros. De cette manière, la valeur du module est une ligne de mémoire clôturée.

Les nombres avec une virgule flottante transfèrent l'image du nombre à la mante, qui est multipliée par la base du système de nombres au stade, qui est mis en ordre. Par exemple, le nombre 200 s'écrit 0,2 × 10 3 et le nombre 0,000312 - 0,312 × 10 -3. Numéros Vidpovidno zapisyutsya et dvіykovі. La mante et l'ordre sont affichés dans un double code, et la base est un deux. Par exemple, le nombre 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 dans le dixième système est affiché sous la forme 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10. Dans une rangée de mémoire, ces nombres sont tirés de deux groupes de nombres: le premier groupe - la mante - détermine le nombre lui-même, l'autre - l'ordre - la place des Komi dans le nombre (Fig. 1.15).

À l'élément zéro de la ligne de mémoire, le signe du nombre est affiché (pour le nombre double donné, qui est écrit dans la ligne de mémoire - " 0 ”). Les distances sont définies dans l'ordre du nombre lui-même (stowpts 1…8). S'il est donné par un plus petit nombre de lignes, les éléments de mémoire à droite du nombre sont remplis de zéros. Au neuvième ordre, le signe de l'ordre est affiché, et dans le reste, par analogie avec la mantisse, - le nombre qui signifie l'ordre. Avec un tel enregistrement, la valeur du nombre est définie de telle manière que le premier chiffre significatif de la mante n'est pas égal à " 0 ". Cette forme d'entrée s'appelle Ordinaire.

Le nombre supplémentaire minimum pouvant être écrit sous forme normale dans la rangée de mémoire est déterminé par la mantisse minimum 0,1000..0 2 et l'ordre visuel maximum 111..1 2 . Avec une quantité k dans l'ordre du minimum dix, le nombre qui peut être écrit est déterminé par la formule :

. (1.15)

Le nombre maximal de matimemos à la valeur maximale de la mante (0,111 ... 1) 2 et l'ordre supplémentaire maximal (111 ... 1 2) = 2 k– 1, puis

Varier ré nombres représentés sous forme normale, comme il ressort des formules (1.15) et (1.16), signifie seulement un nombre k. Par exemple, pour k= 6 est connu :

; .

La précision de l'enregistrement du nombre est fixée par le nombre de commandes m manci. Si le nombre de rangs du nombre inverse le nombre de rangs entrés dans la mante, alors le nombre est arrondi au nombre requis. La règle pour arrondir deux nombres de cette manière est la suivante : si l'ordre le plus ancien de la partie du mot qui est vue est un, alors un est ajouté à l'ordre le plus jeune de la mante. Avec un chiffre absolu aussi arrondi, l'image de la mante ne dépasse pas la moitié du coefficient de la catégorie jeune mante, qui est prise, tobto:

Vrakhovuchi, que dans la forme normale de l'enregistrement de la mante ne peut pas être inférieur à 0,5, une erreur évidente η :

Par exemple, lorsque m= 24 mois :

.

Dans les systèmes numériques actuels d'affichage des nombres avec une virgule flottante, une rangée d'octets dozhinoy chotiri est utilisée. Avec 23 décharges, réglez la mante religieuse et 7 - l'ampleur de la commande. La plage des nombres affichés est pliée de ± 2 127 à ± 2 -127 .

La variation des nombres avec une virgule flottante élargira et simplifiera la représentation des nombres, mais la polyvalence des opérations sur ces nombres est plus collaborative, plus faible sur les nombres avec une virgule fixe.

Une représentation géométrique expressive du système de nombres rationnels peut être obtenue comme suit.

Riz. 8. Axe des nombres

Sur une ligne droite, "l'axe numérique", nous marquons le segment de 0 à 1 (Fig. 8). Ceci fixe la longueur du segment unitaire, qui, en général, peut être choisie arbitrairement. Les nombres entiers positifs et négatifs sont ensuite représentés comme un ensemble de points équidistants sur l'axe des nombres, à savoir, les nombres positifs sont marqués à droite et les nombres négatifs à gauche du point 0. Pour représenter les nombres avec un dénominateur, nous divisons chaque des segments de longueur unitaire obtenus en parties égales ; les points de division représenteront des fractions avec un dénominateur. Si nous le faisons pour les valeurs correspondant à tous les nombres naturels, chaque nombre rationnel sera représenté par un point sur l'axe numérique. Nous conviendrons de qualifier ces points de « rationnels » ; en général, les termes "nombre rationnel" et "point rationnel" seront utilisés comme synonymes.

Au chapitre I, § 1, la relation d'inégalité pour les nombres naturels a été définie. Sur l'axe des nombres, ce rapport se reflète comme suit : si entier naturel A est inférieur à un nombre naturel B, alors le point A se trouve à gauche du point B. Puisque la relation géométrique spécifiée est établie pour toute paire de points rationnels, il est naturel d'essayer de généraliser la relation d'inégalité arithmétique dans un tel manière à conserver cet ordre géométrique pour les points considérés. Ceci est possible si l'on accepte la définition suivante : on dit que le nombre rationnel A est inférieur à nombre rationnel ou que le nombre B est supérieur au nombre si la différence est positive. Il en résulte (pour ) que les points (nombres) entre sont ceux qui

simultanément Chacune de ces paires de points, ainsi que tous les points entre eux, est appelée un segment (ou segment) et est notée (et l'ensemble de points intermédiaires seul est appelé un intervalle (ou intervalle), noté par

La distance d'un point arbitraire A à l'origine 0, considérée comme un nombre positif, est appelée la valeur absolue de A et est désignée par le symbole

La notion de « valeur absolue » est définie comme suit : si , alors si alors Il est clair que si les nombres ont le même signe, alors l'égalité est vraie s'ils ont différents signes, alors . En combinant ces deux résultats, on arrive à l'inégalité générale

qui est valable quels que soient les signes

Un fait d'importance fondamentale est exprimé par la proposition suivante : les points rationnels sont partout denses sur la droite numérique. La signification de cette déclaration est qu'à l'intérieur de tout intervalle, aussi petit soit-il, il y a des points rationnels. Pour vérifier la validité de l'énoncé énoncé, il suffit de prendre un nombre si grand que l'intervalle ( soit inférieur à l'intervalle donné ; alors au moins un des points de la forme sera à l'intérieur de cet intervalle. Donc, il y a pas un tel intervalle sur l'axe des nombres (même le plus petit, qu'on puisse imaginer), à l'intérieur duquel il n'y aurait pas de points rationnels. De là découle un autre corollaire : tout intervalle contient un nombre infini de points rationnels. En effet, si un intervalle contenait qu'un nombre fini de points rationnels, alors à l'intérieur de l'intervalle formé par deux tels points voisins, il n'y aurait plus de points rationnels, ce qui contredit ce qui vient d'être démontré.