Pi ning qisqacha tarixi. "Pi" raqami nima yoki matematiklar qanday qasam ichishadi
Eng biri sirli raqamlar, insoniyatga ma'lum, albatta, n soni (o'qing - pi). Algebrada bu raqam aylana aylanasining diametriga nisbatini aks ettiradi. Ilgari bu miqdor Ludolf raqami deb atalgan. Pi soni qanday va qaerdan kelgani aniq noma'lum, ammo matematiklar n sonining butun tarixini 3 bosqichga, qadimgi, klassik va raqamli kompyuterlar davriga bo'lishadi.
P soni irratsionaldir, ya'ni uni oddiy kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi, bunda pay va maxraj butun sonlardir. Shuning uchun bunday raqamning oxiri yo'q va davriydir. P ning irratsionalligi birinchi marta 1761 yilda I. Lambert tomonidan isbotlangan.
Bu xususiyatga qo'shimcha ravishda, P soni ham hech qanday ko'phadning ildizi bo'la olmaydi va shuning uchun son xossasi bo'lib, u 1882 yilda isbotlanganida, matematiklarning "aylana kvadrati haqidagi deyarli muqaddas bahsiga nuqta qo'ydi. ”, 2500 yil davom etgan.
Ma'lumki, bu raqamni belgilashni birinchi bo'lib 1706 yilda britaniyalik Jons kiritgan. Eylerning ishi paydo bo'lgandan so'ng, bunday belgidan foydalanish umumiy qabul qilindi.
Pi raqami nima ekanligini batafsil tushunish uchun shuni aytish kerakki, uning qo'llanilishi shunchalik keng tarqalganki, hatto undan voz kechadigan fan sohasini ham nomlash qiyin. Eng oddiy va eng tanishlaridan biri maktab o'quv dasturi qiymatlar geometrik davrning belgisidir. Doira uzunligining uning diametri uzunligiga nisbati doimiy va 3,14 ga teng.Bu qiymat hatto Hindiston, Gretsiya, Bobil, Misrdagi eng qadimgi matematiklarga ham ma’lum bo‘lgan. Nisbatni hisoblashning eng qadimgi versiyasi miloddan avvalgi 1900 yilga to'g'ri keladi. e. ga yaqinroq zamonaviy ma'no P xitoylik olim Liu Hui tomonidan hisoblab chiqilgan, bundan tashqari, u ixtiro qilgan va tez yo'l bunday hisoblash. Uning qiymati deyarli 900 yil davomida umumiy qabul qilingan.
Matematika rivojlanishidagi klassik davr Pi sonining aniq nima ekanligini aniqlash uchun olimlar usullardan foydalanishni boshlaganligi bilan ajralib turardi. matematik tahlil. 1400-yillarda hind matematigi Madhava qatorlar nazariyasidan foydalanib, oʻnli kasrdan keyingi 11 ta raqam aniqlik bilan P sonining davrini hisoblab chiqdi va aniqladi. Arximeddan keyin P raqamini tekshirgan va uni asoslashga katta hissa qo'shgan birinchi evropalik gollandiyalik Lyudolf van Zeulen bo'lib, u kasrdan keyin 15 ta raqamni aniqlagan va o'z vasiyatiga juda qiziqarli so'zlarni yozgan: ".. Kim manfaatdor bo'lsa, u uzoqroqqa borsin." Aynan shu olim sharafiga P raqami tarixdagi birinchi va yagona nominal nomini oldi.
Kompyuter hisoblash davri P sonining mohiyatini tushunishga yangi tafsilotlarni olib keldi. Shunday qilib, Pi soni nima ekanligini bilish uchun 1949 yilda birinchi marta ENIAC kompyuteridan foydalanilgan, uni ishlab chiquvchilardan biri zamonaviy kompyuterlar nazariyasining bo'lajak "otasi" edi J. Birinchi o'lchov 70 soat davomida amalga oshirildi va P soni davridagi kasrdan keyin 2037 ta raqamni berdi. Bir million belgi belgisi 1973 yilda erishildi. . Bundan tashqari, ushbu davrda P sonini aks ettiruvchi boshqa formulalar o'rnatildi. Shunday qilib, aka-uka Chudnovskiylar davrning 1 011 196 691 raqamini hisoblash imkonini beradigan birini topa oldilar.
Umuman olganda, shuni ta'kidlash kerakki, "Pi soni nima?" Degan savolga javob berish uchun ko'plab tadqiqotlar musobaqalarga o'xshab ketdi. Bugungi kunda superkompyuterlar allaqachon Pi soni nima degan savol bilan shug'ullanmoqda. qiziq faktlar Ushbu tadqiqotlar bilan bog'liq bo'lgan ishlar matematikaning deyarli butun tarixiga kiradi.
Bugungi kunda, masalan, P raqamini yodlash bo'yicha jahon chempionatlari o'tkazilmoqda va jahon rekordlari o'rnatildi, ikkinchisi xitoylik Liu Chaoga tegishli, u bir kun ichida 67 890 belgini nomlagan. Dunyoda hatto "Pi kuni" sifatida nishonlanadigan P raqami bayrami ham bor.
2011 yil holatiga ko'ra, raqam davrining 10 trillion raqami allaqachon o'rnatilgan.
Odamlar hisoblash qobiliyatiga ega bo'lib, raqamlar deb ataladigan mavhum ob'ektlarning xususiyatlarini o'rgana boshlaganidan beri, qiziquvchan avlod avlodlari ajoyib kashfiyotlar qilishdi. Raqamlar haqidagi bilimimiz ortib borayotganligi sababli, ularning ba'zilari o'ziga jalb qildi Maxsus e'tibor, va ba'zilariga hatto tasavvufiy ma'nolar berilgan. Was, bu hech narsani anglatmaydi va istalgan songa ko'paytirilsa, o'zini beradi. Hamma narsaning ibtidosi bor edi, u ham noyob xususiyatlarga, tub sonlarga ega edi. Keyin ular butun son bo'lmagan va ba'zan ikkita butun sonni - ratsional sonlarni bo'lish orqali olinadigan raqamlar mavjudligini aniqladilar. Irratsional sonlar, uni butun sonlar nisbati sifatida olish mumkin emas va hokazo. Ammo ko'plab asarlarning yozilishiga sabab bo'lgan va hayratga solgan raqam bo'lsa, bu (pi). Shunga qaramay, raqam uzoq tarix, XVIII asrgacha, biz bugungi kunda atagandek nomlanmagan.
Boshlash
Pi soni aylana atrofini uning diametriga bo'lish yo'li bilan olinadi. Bunday holda, aylananing kattaligi muhim emas. Katta yoki kichik, uzunlik va diametr nisbati bir xil. Garchi bu xususiyat ilgari ma'lum bo'lsa-da, bu bilimning eng dastlabki dalili miloddan avvalgi 1850 yildagi Moskva matematik papirusidir. va Ahmes papirusi, miloddan avvalgi 1650 yil. (garchi bu eski hujjatning nusxasi bo'lsa ham). Unda bor ko'p miqdorda matematik masalalar, ularning ba'zilarida u ga yaqinlashadi, bu aniq qiymatdan 0,6% dan bir oz ko'proq farq qiladi. Taxminan bir vaqtning o'zida bobilliklar teng deb hisoblashgan. IN Eski Ahd, o'n asrdan ko'proq vaqt o'tib yozilgan, Yahve hayotni murakkablashtirmaydi va ilohiy farmon bilan uning ga to'liq teng ekanligini belgilaydi.
Biroq, bu raqamning buyuk tadqiqotchilari Anaksagor, Xios Gippokrati va Afinaning Antifon kabi qadimgi yunonlar edi. Ilgari, qiymat aniqlangan, deyarli aniq, yordamida eksperimental o'lchovlar. Arximed birinchi bo'lib uning ahamiyatini nazariy jihatdan qanday baholashni tushundi. Cheklangan va chizilgan ko'pburchaklardan foydalanish (kattasi kichikroqi yozilgan doira yaqinida chegaralangan) nima katta va kichik ekanligini aniqlash imkonini berdi. Arximed usulidan foydalangan holda, boshqa matematiklar yaxshiroq taxminlarga ega bo'lishdi va 480 yilda Zu Chongji qiymatlar va orasida ekanligini aniqladilar. Shunga qaramay, ko'pburchak usuli juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi (esda tutingki, hamma narsa qo'lda emas, balki qo'lda qilingan. zamonaviy tizim Hisoblash), shuning uchun uning kelajagi yo'q edi.
Vakillik
17-asrni kutish kerak edi, cheksiz qatorlar kashf etilishi bilan hisoblashda inqilob sodir bo'ldi, garchi birinchi natija yaqin bo'lmasa ham, bu mahsulot edi. Cheksiz qatorlar - bu ma'lum bir ketma-ketlikni tashkil etuvchi cheksiz sonli atamalar yig'indisidir (masalan, qiymatlarni cheksizdan cheksizgacha oladigan shaklning barcha raqamlari). Ko'p hollarda yig'indi cheklangan va uni topish mumkin turli usullar. Ma'lum bo'lishicha, bu qatorlarning ba'zilari ga yaqinlashadi yoki ba'zi bir miqdor bilan bog'liq. Ketma-ket yaqinlashish uchun yig'iladigan miqdorlar o'sish bilan nolga moyil bo'lishi kerak (lekin etarli emas). Shunday qilib ko'proq raqamlar qo'shsak, qanchalik aniq bo'lsa, qiymatini olamiz. Endi bizda aniqroq qiymat olish uchun ikkita imkoniyat bor. Yoki ko'proq raqamlar qo'shing yoki kamroq raqamlar qo'shish uchun tezroq birlashadigan boshqa seriyalarni toping.
Ushbu yangi yondashuv tufayli hisob-kitoblarning aniqligi keskin oshdi va 1873 yilda Uilyam Shenks ko'p yillik ish natijasini e'lon qilib, 707 kasrli qiymatni berdi. Yaxshiyamki, u 1945 yilga qadar yashamadi, u xato qilgani va dan boshlab barcha raqamlar noto'g'ri ekanligi aniqlandi. Biroq, uning yondashuvi kompyuterlar paydo bo'lishidan oldin eng aniq edi. Bu hisoblash sohasidagi so'nggi inqilob edi. Matematik operatsiyalar, qo'lda bajarish uchun bir necha daqiqa vaqt ketadi, hozirda deyarli hech qanday xatoliksiz, soniyaning bir ulushida bajariladi. Jon Wrench va L. R. Smit birinchi elektron kompyuterda 70 soat ichida 2000 ta raqamni hisoblashga muvaffaq bo'lishdi. Million raqamli to'siq 1973 yilda erishilgan.
Oxirgi (yoqilgan bu daqiqa) hisoblashda oldinga siljish - cheksiz qatorlarga qaraganda tezroq birlashuvchi iterativ algoritmlarni kashf qilish, shuning uchun bir xil hisoblash quvvati uchun ancha yuqori aniqlikka erishish mumkin. Hozirgi rekord 10 trilliondan sal ko'proq to'g'ri raqam. Nega bunchalik aniq hisoblash kerak? Bu raqamning 39 ta raqamini bilgan holda, ma'lum bo'lgan Olam hajmini atom aniqligi bilan hisoblash mumkinligini hisobga olsak, hech qanday sabab yo'q ....
Ba'zi qiziqarli faktlar
Biroq, qiymatni hisoblash uning tarixining faqat kichik bir qismidir. Bu raqam bu doimiyni juda qiziqtiradigan xususiyatlarga ega.
Ehtimol, eng ko'p katta muammo, bilan bog'liq bo'lgan, doirani kvadratga solishning mashhur muammosi, maydoni berilgan doiraning maydoniga teng bo'lgan kompas va o'lchagich yordamida kvadrat qurish muammosi. Doira kvadrati yigirma to'rt asr davomida matematiklarning avlodlarini qiynab keldi, toki fon Lindemann bu transsendental son ekanligini isbotlamaguncha (bu ratsional koeffitsientli har qanday polinom tenglamaning yechimi emas) va shuning uchun cheksizlikni tushunish mumkin emas. 1761 yilgacha bu raqamning irratsional ekanligi, ya'ni ikkitasi yo'qligi isbotlanmagan. natural sonlar va shunga o'xshash. Transsendensiya 1882 yilgacha isbotlanmagan, ammo raqamlar yoki (boshqa irratsional transsendental raqam) irratsional ekanligi hali noma'lum. Davralar bilan bog'liq bo'lmagan ko'plab munosabatlar paydo bo'ladi. Bu normal funktsiyani normallashtirish koeffitsientining bir qismi bo'lib, statistikada eng ko'p qo'llaniladi. Avval aytib o'tganimizdek, son ko'plab qatorlar yig'indisi sifatida namoyon bo'ladi va cheksiz ko'paytmalarga teng, u kompleks sonlarni o'rganishda ham muhimdir. Fizikada uni (ishlatilgan birliklar tizimiga qarab) kosmologik doimiylikda (Albert Eynshteynning eng katta xatosi) yoki doimiy konstantada topish mumkin. magnit maydon. Har qanday asosga ega (o'nlik, ikkilik ...) raqamlar tizimida raqamlar tasodifiylik uchun barcha testlardan o'tadi, ko'rinadigan tartib yoki ketma-ketlik yo'q. Riemann zeta funktsiyasi sonni tub sonlar bilan chambarchas bog'laydi. Bu raqam uzoq tarixga ega va ehtimol hali ham ko'plab kutilmagan hodisalarni o'z ichiga oladi.
"Pi" sonining tarixi
Aylana aylanasining diametriga nisbatini ifodalovchi p sonining tarixi qadimgi Misrda boshlangan. Doira diametrining maydoni d Misr matematiklari sifatida belgilangan (d-d/9) 2(bu yozuv shu yerda berilgan zamonaviy belgilar). Yuqoridagi ifodadan xulosa qilishimiz mumkinki, o'sha paytda p soni hisobga olingan kasrga teng (16/9) 2
, yoki 256/81
, ya'ni. p= 3,160...
Jaynizmning muqaddas kitobida (biri qadimgi dinlar Hindistonda mavjud bo'lgan va VI asrda paydo bo'lgan. BC) ko'rsatkich mavjud bo'lib, shundan kelib chiqadiki, o'sha paytda p soni teng qabul qilingan, bu kasrni beradi 3,162...
Qadimgi yunonlar Evdoks, Gippokrat va aylananing boshqa o'lchovlari segmentni qurishga va aylana o'lchovi - teng kvadrat qurishga qisqartirildi. Shuni ta'kidlash kerakki, ko'p asrlar davomida turli mamlakatlar va xalqlar matematiklari aylana aylanasining diametriga nisbatini ratsional son bilan ifodalashga harakat qilishgan.
Arximed 3-asrda Miloddan avvalgi. O'zining "Ayra o'lchovi" nomli qisqa asarida uchta pozitsiyani asosladi:
Har bir doira teng to'g'ri uchburchak, oyoqlari mos ravishda aylana va uning radiusiga teng;
Doira maydonlari diametrda qurilgan kvadrat bilan bog'liq, kabi 11 dan 14 gacha;
Har qanday doiraning diametriga nisbati dan kichik 3 1/7 va boshqalar 3 10/71 .
Oxirgi jumla Arximed muntazam chizilgan va chegaralangan ko'pburchaklarning perimetrlarini ularning tomonlarini ikki barobarga oshirish bilan ketma-ket hisoblash bilan asoslanadi. Birinchidan, u muntazam chizilgan va chizilgan olti burchakli, so'ngra o'nta burchakli va hokazo tomonlar sonini ikki barobarga oshirib, hisob-kitoblarni 96 tomoni bo'lgan muntazam chizilgan va chegaralangan ko'pburchaklarning perimetrlariga keltirdi. Aniq hisob-kitoblarga ko'ra Arximed aylananing diametrga nisbati raqamlar orasida 3*10/71
Va 3*1/7
, bu p = degan ma'noni anglatadi 3,1419...
Ushbu munosabatlarning haqiqiy ma'nosi 3,1415922653...
5-asrda Miloddan avvalgi. Xitoylik matematik Zu Chongji bu raqamning aniqroq qiymati topildi: 3,1415927...
XV asrning birinchi yarmida. rasadxonalar Ulug'bek, yaqin Samarqand, astronom va matematik al-Kashi 16 kasrli p hisoblangan. U ko'pburchaklar tomonlari sonini 27 taga ko'paytirdi va 3*2 28 burchakli ko'pburchak topdi. Al-Kashi qadam bilan sinuslar jadvalini tuzish uchun zarur bo'lgan noyob hisob-kitoblarni amalga oshirdi 1"
. Ushbu jadvallar astronomiyada muhim rol o'ynagan.
Yarim asrdan keyin Evropada F.Vyet ko'pburchaklar tomonlari sonini 16 marta ko'paytirish orqali faqat 9 ta to'g'ri kasrli p raqamini topdi. Lekin ayni paytda F.Vyet birinchi bo'lib p ni ayrim qatorlar chegarasidan foydalanib topish mumkinligini payqagan. Bu kashfiyot bor edi katta ahamiyatga ega, chunki u bizga p ni istalgan aniqlik bilan hisoblash imkonini berdi. Faqat 250 yildan keyin al-Kashi uning natijasi ortda qoldi.
Zamonaviy p belgisi bilan aylana aylanasining diametriga nisbati yozuvini birinchi bo'lib ingliz matematiki kiritgan. V. Jonson 1706 yilda ramz sifatida u birinchi harfni oldi yunoncha so'z
"chekka", bu tarjimada degan ma'noni anglatadi "doira". Tanishtirdi V. Jonson asarlar nashr etilgandan keyin belgilash odatiy holga aylandi L. Eyler, kiritilgan belgini birinchi marta ishlatgan 1736
G.
XVIII asr oxirida. A.M.Lajandre asarlarga asoslanadi I.G.Lambert p sonining irratsional ekanligini isbotladi. Keyin nemis matematiki F. Lindeman tadqiqotlarga asoslangan Sh. Ermita, bu raqam nafaqat irratsional, balki transandantal ekanligining qat'iy isbotini topdi, ya'ni. ildiz bo‘la olmaydi algebraik tenglama. Shundan kelib chiqadiki, aylana bo'ylab teng segmentni qurish uchun faqat kompas va o'lchagich yordamida, imkonsiz, va shuning uchun aylanani kvadratga solish masalasining yechimi yo'q.
p ning aniq ifodasini izlash ish tugagandan keyin ham davom etdi F. Vieta. XVII asr boshlarida. Kyolnlik gollandiyalik matematik Ludolf van Zeulen(1540-1610) (ba'zi tarixchilar uni chaqirishadi L. van Keulen) 32 ta to'g'ri belgi topildi. O'shandan beri (nashr qilingan yili 1615), 32 kasrli p sonining qiymati raqam deb ataladi. Ludolf.
TO kech XIX c., 20 yillik mashaqqatli mehnatdan so'ng, ingliz Uilyam Shenks p sonining 707 ta raqamini topdi. Biroq, 1945 yilda u kompyuter yordamida aniqlandi Shanks hisob-kitoblarida 520-belgida xatoga yo‘l qo‘ygan va keyingi hisob-kitoblari noto‘g‘ri bo‘lib chiqdi.
Differensial va integral hisoblash usullari ishlab chiqilgandan so'ng, "pi" sonini o'z ichiga olgan ko'plab formulalar topildi. Ushbu formulalarning ba'zilari "pi" ni usuldan tashqari boshqa usullar bilan hisoblash imkonini beradi Arximed va yanada oqilona. Misol uchun, "pi" raqamiga ba'zi seriyalarning chegaralarini qidirish orqali erishish mumkin. Shunday qilib, G. Leybnits(1646-1716) 1674 yilda raqam olgan
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,
dan qisqaroq usulda p ni hisoblash imkonini berdi Arximed. Shunga qaramay, bu seriya juda sekin yaqinlashadi va shuning uchun juda uzoq hisob-kitoblarni talab qiladi. "Pi" ni hisoblash uchun kengaytirishdan olingan seriyalardan foydalanish qulayroqdir arctg x qiymati bilan x=1/ , buning uchun funktsiyani kengaytirish arktan 1/=p /6 ketma-ketlikda tenglikni beradi
p /6 = 1/,
bular.
p= 2
Qisman, bu qatorning yig'indilari formula bo'yicha hisoblanishi mumkin
S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,
"pi" esa ikki barobar tengsizlik bilan cheklanadi:
Hisoblash uchun yanada qulayroq formula p oldi J. Machin. Ushbu formuladan foydalanib, u hisoblab chiqdi p(1706 yilda) 100 ta to'g'ri belgi aniqligi bilan. "Pi" uchun yaxshi yaqinlik tomonidan berilgan
Biroq, shuni esda tutish kerakki, bu tenglikni taxminiy deb hisoblash kerak, chunki uning o'ng tomoni algebraik son, chap tomoni esa transsendental sondir, shuning uchun bu raqamlar teng bo'lishi mumkin emas.
Ularning maqolalarida ta'kidlanganidek E.Ya.Baxmutskaya(XX asrning 60-yillari), XV-XVI asrlarda. Janubiy hind olimlari, shu jumladan Nilakanta, p sonining taxminiy hisoblash usullaridan foydalanib, arctg ni kengaytirish yo'lini topdi. x topilgan seriyaga o'xshash kuch seriyasiga Leybnits. Hind matematiklari ketma-ketlikni kengaytirish qoidalarining og'zaki formulasini berishdi sinus Va kosinus. Bu bilan ular 17-asr yevropalik matematiklarining kashfiyoti kutilgan edi. Shunga qaramay, ularning ajratilgan va amaliy ehtiyojlari bilan cheklangan hisoblash ishlari hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi yanada rivojlantirish fan bilan ta'minlanmagan.
Bizning davrimizda kalkulyatorlarning ishi kompyuterlar bilan almashtirildi. Ularning yordami bilan "pi" soni milliondan ortiq kasrli kasrlar aniqligi bilan hisoblab chiqilgan va bu hisoblar bir necha soat davom etgan.
Zamonaviy matematikada p soni nafaqat aylananing diametrga nisbati, balki u juda ko'p sonli turli formulalarga, shu jumladan Evklid bo'lmagan geometriya formulalariga va formulaga kiritilgan. L. Eyler, bu p soni va son o'rtasidagi aloqani o'rnatadi e
quyida bayon qilinganidek:
e 2 p i = 1 , qayerda i = .
Bu va boshqa o'zaro bog'liqliklar matematiklarga p sonining mohiyatini yanada chuqurroq tushunish imkonini berdi.
14 mart kuni butun dunyoda juda noodatiy bayram - Pi kuni nishonlanadi. Buni hamma maktab davridan beri biladi. Talabalarga darhol Pi sonining matematik doimiyligi, aylana aylanasining uning diametriga nisbati, cheksiz qiymatga ega ekanligi tushuntiriladi. Ma'lum bo'lishicha, ko'plab qiziqarli faktlar ushbu raqam bilan bog'liq.
1. Matematika fani mavjud bo'lgunga qadar, sonlar tarixi bir ming yillikdan ko'proq vaqtga ega. Albatta, aniq qiymat raqamlar darhol hisoblab chiqilmadi. Dastlab, aylananing diametrga nisbati 3 ga teng deb hisoblangan. Ammo vaqt o'tishi bilan arxitektura rivojlana boshlaganida, u ko'proq narsani talab qildi. aniq o'lchash. Aytgancha, raqam mavjud edi, lekin u harf belgisini faqat 18-asrning boshlarida (1706) oldi va "aylana" va "perimetr" degan ma'noni anglatuvchi ikkita yunoncha so'zning bosh harflaridan kelib chiqqan. Matematik Jons raqamga "p" harfini berdi va u 1737 yilda matematikaga qat'iy kirib keldi.
2. In turli davrlar va da turli xalqlar pi bor boshqa ma'no. Masalan, qadimgi Misrda u 3,1604 edi, hindular orasida u 3,162 qiymatini oldi, xitoyliklar 3,1459 ga teng raqamdan foydalanganlar. Vaqt o'tishi bilan p ko'proq va aniqroq hisoblab chiqildi va qachon paydo bo'ldi Kompyuter muhandisligi, ya'ni kompyuter, u 4 milliarddan ortiq belgilarga ega bo'la boshladi.
3. Bir rivoyat bor, aniqrog‘i, mutaxassislar Pi sonidan Bobil minorasi qurilishida foydalanilgan deb hisoblashadi. Biroq, uning qulashiga Xudoning g'azabi emas, balki qurilish paytida noto'g'ri hisob-kitoblar sabab bo'lgan. Xuddi qadimgi ustalar xato qilishgan. Shunga o'xshash versiya Sulaymonning ma'badi haqida ham mavjud.
4. Shunisi e'tiborga loyiqki, ular Pi qiymatini hatto davlat darajasida ham, ya'ni qonun orqali joriy etishga harakat qilganlar. 1897 yilda Indiana shtatida qonun loyihasi ishlab chiqildi. Hujjatga ko'ra, Pi 3,2 edi. Biroq, olimlar o'z vaqtida aralashib, xatoning oldini olishdi. Xususan, qonun chiqaruvchi assambleyada ishtirok etgan professor Purdue qonun loyihasiga qarshi chiqdi.
5. Qizig'i shundaki, Pi cheksiz ketma-ketligidagi bir nechta raqamlar o'z nomiga ega. Shunday qilib, oltita to'qqizta Pi amerikalik fizik sharafiga nomlangan. Bir kuni Richard Feynman ma'ruza o'qiyotgan edi va bir so'z bilan tinglovchilarni hayratda qoldirdi. U oltita to‘qqizgacha bo‘lgan pi raqamlarini yoddan o‘rganishni xohlayotganini, faqat hikoya oxirida olti marta “to‘qqiz” deyishini aytdi va bu uning ma’nosi mantiqiy ekanligiga ishora qildi. Qachonki, bu mantiqiy emas.
6. Butun dunyodagi matematiklar Pi soni bilan bog'liq tadqiqotlarni to'xtatmaydilar. U tom ma'noda sir bilan qoplangan. Ba'zi nazariyotchilar hatto u universal haqiqatni o'z ichiga oladi, deb hisoblashadi. Pi haqida bilim va yangi ma'lumotlar almashish maqsadida ular Pi klubini tashkil qilishdi. Unga kirish oson emas, siz ajoyib xotiraga ega bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, klubga a'zo bo'lishni xohlovchilar ko'rikdan o'tkaziladi: odam imkon qadar Pi raqamining belgilarini xotiradan aytib berishi kerak.
7. Ular hatto o'nli kasrdan keyin Pi sonini eslab qolishning turli usullarini o'ylab topishdi. Masalan, ular butun matnlarni o'ylab topadilar. Ularda so'zlar kasrdan keyin mos keladigan raqam bilan bir xil miqdordagi harflarga ega. Bunday uzun raqamni yodlashni yanada soddalashtirish uchun ular xuddi shu tamoyilga muvofiq oyatlarni tuzadilar. Pi klubi a'zolari ko'pincha shu tarzda zavqlanishadi va shu bilan birga ularning xotirasi va zukkoligini mashq qiladilar. Misol uchun, Mayk Keytning shunday sevimli mashg'uloti bor edi, u o'n sakkiz yil oldin har bir so'z pi ning deyarli to'rt ming (3834) birinchi raqamiga teng bo'lgan hikoyani o'ylab topgan.
8. Hatto Pi belgilarini yodlash bo'yicha rekord o'rnatganlar ham bor. Shunday qilib, Yaponiyada Akira Xaraguchi sakson uch mingdan ortiq belgilarni yod oldi. Ammo mahalliy rekord unchalik ajoyib emas. Chelyabinskda yashovchi Pi ning kasr nuqtasidan keyin bor-yo'g'i ikki yarim ming raqamni yodlashi mumkin edi.
Perspektivda "Pi"
9. Pi kuni chorak asrdan ko'proq vaqtdan beri, 1988 yildan beri nishonlanadi. Bir kuni San-Frantsiskodagi mashhur fan muzeyi fizikasi Larri Shou 14 mart kuni pi bilan bir xil yozilganligini payqadi. Sana, oy va kunda 3.14.
10. Pi kuni nafaqat original tarzda, balki qiziqarli tarzda nishonlanadi. Albatta, buni aniq fanlar bilan shug‘ullanuvchi olimlar ham chetlab o‘tishmaydi. Ular uchun bu sevgan narsasidan ajralishning emas, ayni paytda dam olishning bir usuli. Shu kuni odamlar to'planib, Pi tasviri bilan turli xil shirinliklar pishiradilar. Ayniqsa, qandolatchilarning sayr qiladigan joyi bor. Ular pi kek va pechene tayyorlashlari mumkin o'xshash shakl. Noziklarni tatib ko'rgandan so'ng, matematiklar turli viktorinalar tashkil qiladi.
11. Qiziqarli tasodif bor. 14-mart kuni nisbiylik nazariyasini yaratgan buyuk olim Albert Eynshteyn dunyoga keldi. Qanday bo'lmasin, fiziklar Pi kunini nishonlashda ishtirok etishlari mumkin.
Pi- aylana aylanasining diametriga nisbatiga teng matematik konstanta. Pi soni cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr bo'lgan raqamli ko'rinishi - 3,141592653589793238462643... va hokazo.
100 ta kasr: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06830 78164 2682.
Pi qiymatini aniqlashtirish tarixi
Qiziqarli matematikaga oid har bir kitobda siz, albatta, pi qiymatini aniqlashtirish tarixini topasiz. Dastlab, qadimgi Xitoy, Misr, Bobil va Yunonistonda hisob-kitoblar uchun kasrlar ishlatilgan, masalan, 22/7 yoki 49/16. O'rta asrlar va Uyg'onish davrida Evropa, Hindiston va arab matematiklari o'nli kasrdan keyin pi qiymatini 40 ta raqamgacha aniqladilar va kompyuter asrining boshida ko'plab ishqibozlarning sa'y-harakatlari bilan raqamlar soni 500 tagacha ko'tarildi. .
Bunday aniqlik faqat ilmiy qiziqish uyg'otadi (quyida batafsilroq) va Yerdagi amaliy ehtiyojlar uchun 10 kasr belgisi kifoya qiladi. Yerning radiusi 6400 km yoki 6,4 10 9 mm bo'lganligi sababli, o'nli kasrdan keyin pi ning o'n ikkinchi raqamini tashlab, meridian uzunligini hisoblashda biz bir necha millimetrga xato qilamiz. Va Yerning Quyosh atrofida aylanish uzunligini hisoblashda (uning radiusi 150 million km = 1,5 10 14 mm), xuddi shunday aniqlik uchun o'n to'rtta kasrli pi raqamidan foydalanish kifoya. Quyoshdan Plutongacha bo'lgan o'rtacha masofa, eng uzoq sayyora quyosh sistemasi- Yerdan Quyoshgacha bo'lgan o'rtacha masofadan 40 marta. Pluton orbitasining uzunligini bir necha millimetr xatolik bilan hisoblash uchun pi ning o'n olti raqami kifoya qiladi. Ha, arziydigan narsa yo'q, bizning Galaktikamizning diametri taxminan 100 ming yorug'lik yili (1 yorug'lik yili taxminan 10 13 km ga teng) yoki 10 19 mm, ammo 17-asrda ortiqcha 35 pi belgilari olingan. hatto bunday masofalar uchun ham.
Pi qiymatini hisoblashda qanday qiyinchilik bor? Gap shundaki, bu nafaqat irratsional, ya'ni uni p / q kasr sifatida ifodalash mumkin emas, bu erda p va q butun sonlardir. Bunday raqamlarni aniq yozib bo'lmaydi, ularni faqat ketma-ket yaqinlashish usuli bilan hisoblash mumkin, bu esa kattaroq aniqlikka erishish uchun qadamlar sonini oshiradi. Eng oson yo'li - tomonlar soni ortib borayotgan aylana ichiga chizilgan muntazam ko'pburchaklarni ko'rib chiqish va ko'pburchak perimetrining uning diametriga nisbatini hisoblash. Tomonlarning soni ortishi bilan bu nisbat pi ga intiladi. Shunday qilib, 1593 yilda Adrian van Romen 1073741824 (ya'ni 2 30) tomonlari bo'lgan ichki chizilgan muntazam ko'pburchakning perimetrini hisoblab chiqdi va pi ning 15 ta belgisini aniqladi. 1596 yilda Lyudolf van Zeulen 60 x 2 33 tomoni bo'lgan ichki chizilgan ko'pburchakni hisoblab, 20 ta belgi oldi. Keyinchalik, u hisob-kitoblarni 35 belgiga olib keldi.
Pi ni hisoblashning yana bir usuli - cheksiz sonli atamalar bilan formulalardan foydalanish. Misol uchun:
p = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...
p = 4 (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) + (1/9 - 1/11) + ...
Shunga o'xshash formulalarni, masalan, Maklaurin qatoridagi yoy tangensini kengaytirish yo'li bilan olish mumkin.
arctg(1) = p/4(chunki tg(45°) = 1)
yoki buni bilib, arksinusni ketma-ket kengaytirish
arcsin(1/2) = p/6(oyoq 30 ° burchak ostida yotadi).
Zamonaviy hisob-kitoblarda, hatto ko'proq samarali usullar. Ularning yordami bilan bugun.
pi kuni
Pi soni kunini ba'zi matematiklar 14 mart kuni soat 1:59 da nishonlashadi (Amerika sanalar tizimida - 3/14; p sonining birinchi raqamlari = 3,14159). Odatda soat 13:59 da (12 soatlik tizimda) nishonlanadi, ammo 24 soatlik yorug'lik tizimiga rioya qilganlar uni 13:59 deb hisoblashadi va tunda nishonlashni afzal ko'radilar. Bu vaqtda ular pi soni, uning insoniyat hayotidagi o'rni sharafiga maqtovlar o'qiydilar, dunyoning pisiz distopik rasmlarini chizadilar, pirog iste'mol qiladilar ( pirog), ichimliklar iching va "pi" bilan boshlanadigan o'yinlarni o'ynang.
- Pi (raqam) - Vikipediya
Gapirishdan oldin pi tarixi , Pi soni matematikadagi eng sirli miqdorlardan biri ekanligini ta'kidlaymiz. Endi o‘zingiz ko‘rasiz, aziz o‘quvchim...
Keling, hikoyamizni ta'rifdan boshlaylik. Shunday qilib, Pi soni mavhum raqam , aylana aylanasining diametri uzunligiga nisbatini bildiradi. Bu ta'rif bizga maktab kursidan tanish. Ammo bu erda sirlar boshlanadi ...
Bu qiymatni oxirigacha hisoblash mumkin emas, u teng 3,1415926535 , keyin kasrdan keyin - cheksizgacha. Olimlarning fikricha, raqamlar ketma-ketligi takrorlanmaydi va bu ketma-ketlik mutlaqo tasodifiy...
Pi topishmoq bu bilan tugamaydi. Astronomlarning ishonchi komilki, bu raqamdagi o'ttiz to'qqizta kasr vodorod atomi radiusida xatolik bilan koinotdagi ma'lum kosmik ob'ektlarni o'rab turgan aylanani hisoblash uchun etarli ...
mantiqsiz , ya'ni. uni kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi. Bu qiymat transsendent - ya'ni. uni butun sonlar ustida amallar bajarib bo‘lmaydi....Pi soni oltin nisbat tushunchasi bilan chambarchas bog'liq. Arxeologlar Gizaning Buyuk Piramidasining balandligi, xuddi aylana radiusi uning uzunligiga bog'liq bo'lgani kabi, uning poydevorining uzunligiga ham bog'liqligini aniqladilar...
P raqamining tarixi ham sirligicha qolmoqda. Ma'lumki, hatto quruvchilar ham dizayn uchun ushbu qiymatdan foydalanganlar. Bir necha ming yillik saqlanib qolgan, unda muammolarni o'z ichiga olgan, ularni hal qilish Pi raqamidan foydalanishni o'z ichiga olgan. Biroq, olimlar orasida bu miqdorning aniq qiymati haqida fikr turli mamlakatlar noaniq edi. Shunday qilib, Bobildan ikki yuz kilometr uzoqlikda joylashgan Suza shahrida Pi raqami ko'rsatilgan planshet topildi. 3¹/8 . Qadimgi Bobilda aylana radiusi akkord sifatida unga olti marta kirishi aniqlangan, aynan o'sha erda birinchi marta aylanani 360 darajaga bo'lish taklif qilingan. Aytgancha, xuddi shunday geometrik harakat Quyoshning orbitasi bilan amalga oshirilganligini ta'kidlaymiz, bu qadimgi olimlarni bir yilda taxminan 360 kun bo'lishi kerak degan fikrga olib keldi. Biroq, Misrda pi soni teng edi 3,16 , va ichida qadimgi Hindiston – 3, 088 , qadimgi Italiyada - 3,125 . bu qiymat kasrga teng ekanligiga ishonishdi 22/7 .
Pi xitoylik astronom tomonidan eng aniq hisoblangan. Zu Chun Chji eramizning V asrida. Buning uchun u ikki marta yozgan toq raqamlar 11 33 55, keyin ularni yarmiga bo'lib, birinchi qismni kasrning maxrajiga, ikkinchi qismini esa hisoblagichga qo'ydi va shu bilan kasrni oldi. 355/113 . Ajablanarlisi shundaki, ma'no ettinchi raqamgacha bo'lgan zamonaviy hisob-kitoblarga to'g'ri keladi ...
Kim birinchi berdi rasmiy nomi bu qiymat?
Bunga ishoniladi 1647 yilda matematik Savdodan tashqari nomli Yunoncha harf p aylanasi, buning uchun yunoncha so'zning birinchi harfini oladi pireftaria - "chekka" . Lekin 1706 yilda ish chiqdi Ingliz tili o'qituvchisi Uilyam Jons "Matematika yutuqlarini ko'rib chiqish", unda u Pi harfi bilan aylana aylanasining diametriga nisbatini belgilagan. Nihoyat, bu belgi o'rnatildi 20-asrda matematik Leonhard Eyler .
Odamlar hisoblash qobiliyatiga ega bo'lib, raqamlar deb ataladigan mavhum ob'ektlarning xususiyatlarini o'rgana boshlaganidan beri, qiziquvchan avlod avlodlari ajoyib kashfiyotlar qilishdi. Raqamlar haqidagi bilimlarimiz ortib borishi bilan ularning ba’zilariga alohida e’tibor qaratildi, ba’zilariga esa tasavvufiy ma’nolar ham berildi. Was, bu hech narsani anglatmaydi va istalgan songa ko'paytirilganda o'zini beradi. Hamma narsaning ibtidosi bor edi, u ham noyob xususiyatlarga, tub sonlarga ega edi. Keyin ular butun son bo'lmagan va ba'zan ikkita butun sonni - ratsional sonlarni bo'lish orqali olinadigan raqamlar mavjudligini aniqladilar. Butun sonlar nisbati sifatida olinmaydigan irratsional sonlar va boshqalar. Ammo ko'plab asarlarning yozilishiga sabab bo'lgan va hayratga solgan raqam bo'lsa, bu (pi). O'zining uzoq tarixiga qaramay, XVIII asrgacha bugungi kunda biz atagandek nomlanmagan raqam.
Boshlash
Pi soni aylana atrofini uning diametriga bo'lish yo'li bilan olinadi. Bunday holda, aylananing kattaligi muhim emas. Katta yoki kichik, uzunlik va diametr nisbati bir xil. Garchi bu xususiyat ilgari ma'lum bo'lsa-da, bu bilimning eng dastlabki dalili miloddan avvalgi 1850 yildagi Moskva matematik papirusidir. va Ahmes papirusi, miloddan avvalgi 1650 yil. (garchi bu eski hujjatning nusxasi bo'lsa ham). U juda ko'p matematik muammolarga ega, ularning ba'zilarida u taxminan 0,6% dan bir oz ko'proq aniq qiymatdan farq qiladi. Taxminan bir vaqtning o'zida bobilliklar teng deb hisoblashgan. O'n asrdan ko'proq vaqt o'tgach yozilgan Eski Ahdda Yahve hayotni murakkablashtirmaydi va ilohiy farmon bilan nima tengligini belgilaydi.
Biroq, bu raqamning buyuk tadqiqotchilari Anaksagor, Xios Gippokrati va Afinaning Antifon kabi qadimgi yunonlar edi. Ilgari, qiymat deyarli aniq, eksperimental o'lchovlar yordamida aniqlangan. Arximed birinchi bo'lib uning ahamiyatini nazariy jihatdan qanday baholashni tushundi. Cheklangan va chizilgan ko'pburchaklardan foydalanish (kattasi kichikroqi yozilgan doira yaqinida chegaralangan) nima kattaroq va kichikroq ekanligini aniqlash imkonini berdi. Arximed usuli yordamida boshqa matematiklar yaxshiroq taxminlarga ega bo'lishdi va 480 yilda Zu Chongji qiymatlar va o'rtasida ekanligini aniqladilar. Biroq, ko'pburchak usuli juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi (eslaylik, hamma narsa zamonaviy sanoq tizimida emas, balki qo'lda qilingan), shuning uchun uning kelajagi yo'q edi.
Vakillik
17-asrni kutish kerak edi, cheksiz qatorlar kashf etilishi bilan hisoblashda inqilob sodir bo'ldi, garchi birinchi natija yaqin bo'lmasa ham, bu mahsulot edi. Cheksiz qatorlar - bu ma'lum bir ketma-ketlikni tashkil etuvchi cheksiz sonli atamalar yig'indisidir (masalan, qiymatlarni cheksizdan cheksizgacha oladigan shaklning barcha raqamlari). Ko'p hollarda yig'indi cheklangan va uni turli usullar bilan topish mumkin. Ma’lum bo‘lishicha, bu qatorlarning ba’zilari o‘zaro bog‘liq bo‘lgan yoki qaysidir miqdorga yaqinlashadi.Kator yaqinlashishi uchun yig‘indisi kattaliklarning o‘sish bilan nolga moyil bo‘lishi zarur (lekin yetarli emas). Shunday qilib, qancha ko'p son qo'shsak, qiymatni shunchalik aniqroq olamiz. Endi bizda aniqroq qiymatni olish uchun ikkita imkoniyat mavjud. Yoki ko'proq raqamlar qo'shing yoki kamroq raqamlar qo'shish uchun tezroq birlashadigan boshqa seriyalarni toping.
Ushbu yangi yondashuv tufayli hisob-kitoblarning aniqligi keskin oshdi va 1873 yilda Uilyam Shenks ko'p yillik ish natijasini e'lon qilib, 707 kasrli qiymatni berdi. Yaxshiyamki, u 1945 yilga qadar yashamadi, u xato qilgani va barcha raqamlar noto'g'ri ekanligi aniqlandi. Biroq, uning yondashuvi kompyuterlar paydo bo'lishidan oldin eng aniq edi. Bu hisoblash texnikasidagi so'nggi inqilob edi. Qo'lda bajarish uchun bir necha daqiqa ketadigan matematik amallar endi soniyaning kasrlarida, deyarli hech qanday xatosiz bajariladi. Jon Wrench va L. R. Smit birinchi elektron kompyuterda 70 soat ichida 2000 ta raqamni hisoblashga muvaffaq bo'lishdi. Million raqamli to'siq 1973 yilda erishilgan.
Hisoblashdagi eng so'nggi (hozircha) muvaffaqiyat cheksiz qatorlarga qaraganda tezroq birlashuvchi iterativ algoritmlarni kashf qilishdir, shuning uchun bir xil hisoblash quvvati uchun ancha yuqori aniqlikka erishish mumkin. Hozirgi rekord 10 trilliondan sal ko'proq to'g'ri raqam. Nega bunchalik aniq hisoblash kerak? Bu raqamning 39 ta raqamini bilgan holda, ma'lum bo'lgan Olam hajmini atom aniqligi bilan hisoblash mumkinligini hisobga olsak, hech qanday sabab yo'q ....
Ba'zi qiziqarli faktlar
Biroq, qiymatni hisoblash uning tarixining faqat kichik bir qismidir. Bu raqam bu doimiyni juda qiziqtiradigan xususiyatlarga ega.
Ehtimol, u bilan bog'liq eng katta muammo - bu doirani kvadratga solishning taniqli muammosi, kompas va to'g'ri chiziq yordamida maydoni berilgan doiraning maydoniga teng bo'lgan kvadratni qurish muammosi. Doira kvadrati yigirma to'rt asr davomida matematiklarning avlodlarini qiynab keldi, toki fon Lindeman buni isbotlamaguncha - transsendental raqam (bu ratsional koeffitsientli har qanday polinom tenglamaning yechimi emas) va shuning uchun cheksizlikni tushunish mumkin emas. . 1761 yilgacha bu sonning irratsional ekanligi, ya'ni ikkita natural son yo'qligi va shunga o'xshashligi isbotlanmagan. Transsendensiya 1882 yilgacha isbotlanmagan, ammo raqamlar irratsionalmi yoki (boshqa irratsional transsendental raqam) hali noma'lum. Davralar bilan bog'liq bo'lmagan ko'plab munosabatlar paydo bo'ladi. Bu normal funktsiyani normallashtirish koeffitsientining bir qismi bo'lib, statistikada eng ko'p qo'llaniladi. Avval aytib o'tganimizdek, son ko'plab qatorlar yig'indisi sifatida namoyon bo'ladi va cheksiz ko'paytmalarga teng, u kompleks sonlarni o'rganishda ham muhimdir. Fizikada uni (ishlatiladigan birliklar tizimiga qarab) kosmologik konstantada (Albert Eynshteynning eng katta xatosi) yoki doimiy magnit maydon konstantasida topish mumkin. Har qanday asosga ega (o'nlik, ikkilik ...) raqamlar tizimida raqamlar tasodifiylik uchun barcha testlardan o'tadi, ko'rinadigan tartib yoki ketma-ketlik yo'q. Riemann zeta funktsiyasi sonni tub sonlar bilan chambarchas bog'laydi. Bu raqam uzoq tarixga ega va ehtimol hali ham ko'plab kutilmagan hodisalarni o'z ichiga oladi.
Agar biz turli o'lchamdagi doiralarni solishtirsak, biz quyidagilarni ko'rishimiz mumkin: turli doiralarning o'lchamlari proportsionaldir. Va bu shuni anglatadiki, aylananing diametri ma'lum bir necha marta oshganda, bu doira uzunligi ham bir xil songa ortadi. Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin:
| C 1 | C 2 | ||
| = | |||
| d 1 | d 2 | (1) |
bu yerda C1 va C2 ikki xil aylana uzunligi, d1 va d2 esa ularning diametri.
Bu nisbat mutanosiblik koeffitsienti mavjud bo'lganda ishlaydi - bizga allaqachon tanish bo'lgan doimiy p. (1) munosabatdan xulosa qilishimiz mumkin: aylana C bu aylana diametri va p aylanaga bog'liq bo'lmagan proportsionallik omilining mahsulotiga teng:
C = pd.
Shuningdek, ushbu formulani boshqa ko'rinishda yozish mumkin, u diametr d ni berilgan doiraning R radiusi bilan ifodalaydi:
C \u003d 2p R.
Aynan mana shu formula yettinchi sinf o‘quvchilari uchun to‘garak olamiga qo‘llanma.
Qadim zamonlardan beri odamlar ushbu doimiy qiymatni aniqlashga harakat qilishgan. Masalan, Mesopotamiya aholisi aylana maydonini quyidagi formula bo'yicha hisoblab chiqdilar:
Nima uchun p = 3.
Qadimgi Misrda p ning qiymati aniqroq edi. Miloddan avvalgi 2000-1700 yillarda Ahmes ismli kotib papirus tuzdi, unda biz turli amaliy masalalarni hal qilish retseptlarini topamiz. Masalan, aylananing maydonini topish uchun u quyidagi formuladan foydalanadi:
| 8 | 2 | |||||
| S | = | ( | d | ) | ||
| 9 |
U bu formulani qanday mulohazalardan olgan? - Noma'lum. Ehtimol, boshqa antik faylasuflar kabi, ularning kuzatishlariga asoslanadi.
Arximed izidan
Ikki raqamdan qaysi biri 22/7 yoki 3,14 dan katta?
- Ular teng.
- Nega?
- Ularning har biri p ga teng.
A. A. VLASOV Imtihon chiptasidan.
Ba'zilar 22/7 kasr va p soni bir xil deb hisoblashadi. Lekin bu aldanish. Imtihondagi yuqoridagi noto'g'ri javobga qo'shimcha ravishda (epigrafga qarang), ushbu guruhga bitta juda qiziqarli jumboq ham qo'shilishi mumkin. Vazifada aytilishicha: "tenglik to'g'ri bo'lishi uchun bitta gugurtni siljiting."
Yechim shunday bo'ladi: o'ngdagi maxrajdagi vertikal mosliklardan birini ishlatib, chapdagi ikkita vertikal o'yin uchun "tom" hosil qilishingiz kerak. Siz p harfining vizual tasvirini olasiz.
Ko'pchilik p = 22/7 ga yaqinlik aniqlanganligini biladi qadimgi yunon matematigi Arximed. Buning sharafiga bunday yaqinlashuv ko'pincha "Arximed" raqami deb ataladi. Arximed nafaqat p ning taxminiy qiymatini o'rnatishga, balki bu yaqinlashishning to'g'riligini, ya'ni p ning qiymati tegishli bo'lgan tor sonli intervalni topishga muvaffaq bo'ldi. Arximed o'z asarlaridan birida tengsizliklar zanjirini isbotlaydi, ular zamonaviy tarzda quyidagicha ko'rinadi:
| 10 | 6336 | 14688 | 1 | |||||||||
| 3 | < | < | π | < | < | 3 | ||||||
| 71 | 1 | 1 | 7 | |||||||||
| 2017 | 4673 | |||||||||||
| 4 | 2 | |||||||||||
oddiyroq yozish mumkin: 3.140 909< π < 3,1 428 265...
Tengsizliklardan ko'rinib turibdiki, Arximed 0,002 aniqlik bilan juda aniq qiymatni topdi. Eng ajablanarlisi shundaki, u birinchi ikkita kasrni topdi: 3.14 ... Biz oddiy hisob-kitoblarda ko'pincha bu qiymatdan foydalanamiz.
Amaliy foydalanish
Poyezdda ikki kishi bor:
- Qarang, relslar to'g'ri, g'ildiraklari yumaloq.
Taqil qayerdan keladi?
- Qanday qilib qayerdan? G'ildiraklar yumaloq va maydon
doira pi er kvadrat, bu kvadrat taqillatadi!
Qoidaga ko'ra, ular bu ajoyib raqam bilan 6-7-sinfda tanishadilar, lekin ular 8-sinfning oxiriga kelib uni yanada chuqurroq o'rganadilar. Maqolaning ushbu qismida biz geometrik muammolarni hal qilishda sizga foydali bo'lgan asosiy va eng muhim formulalarni taqdim etamiz, ammo yangi boshlanuvchilar uchun hisoblash qulayligi uchun p ni 3,14 deb qabul qilishga rozi bo'lamiz.
Ehtimol, eng ko'p mashhur formula p qo'llaniladigan maktab o'quvchilari orasida bu doira uzunligi va maydoni uchun formuladir. Birinchisi - aylananing maydoni uchun formula - quyidagicha yoziladi:
| π D 2 | |
| S=p R 2 = | |
| 4 |
Bu erda S - aylananing maydoni, R - uning radiusi, D - aylananing diametri.
Doira aylanasi yoki ba'zan aylana perimetri deb ataladigan bo'lsak, quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
C = 2 π R = pd,
Bu erda C - aylana, R - radius, d - aylananing diametri.
Ko'rinib turibdiki, d diametri ikki R radiusga teng.
Doira aylanasi formulasidan siz aylana radiusini osongina topishingiz mumkin:
Bu erda D - diametri, C - aylana, R - aylananing radiusi.
Bu har bir talaba bilishi kerak bo'lgan asosiy formulalardir. Bundan tashqari, ba'zida siz butun doiraning maydonini emas, balki faqat uning qismini - sektorni hisoblashingiz kerak. Shuning uchun biz uni sizga taqdim etamiz - aylananing sektorining maydonini hisoblash uchun formula. Bu shunday ko'rinadi:
| α | |||
| S | = | p R 2 | |
| 360 ˚ |
Bu erda S - sektorning maydoni, R - aylananing radiusi, a - darajalardagi markaziy burchak.
Juda sirli 3.14
Darhaqiqat, bu sirli. Chunki bu sehrli raqamlar sharafiga ular bayramlar uyushtirishadi, filmlar suratga olishadi, ommaviy tadbirlarni o'tkazishadi, she'rlar yozishadi va yana ko'p narsalar.
Masalan, 1998 yilda amerikalik rejissyor Darren Aronofskiyning “Pi” nomli filmi chiqdi. Film ko'plab mukofotlarga sazovor bo'lgan.
Har yili 14 mart kuni soat 1:59:26 da matematikaga qiziquvchilar “Pi kuni”ni nishonlaydilar. Bayram uchun odamlar dumaloq pirojnoe tayyorlaydilar, o'tirishadi davra stoli va pi ni muhokama qiling, pi bilan bog'liq muammo va jumboqlarni yeching.
Bu ajoyib raqamning e'tiborini shoirlar ham chetlab o'tmadi, deb yozgan noma'lum shaxs:
Siz shunchaki harakat qilishingiz va hamma narsani qanday bo'lgani kabi eslab qolishingiz kerak - uch, o'n to'rt, o'n besh, to'qson ikki va olti.
Keling, dam olaylik!
Sizga Pi raqami bilan qiziqarli jumboqlarni taklif qilamiz. Quyida shifrlangan so'zlarni toping.
1. π R
2. π L
3. π k
Javoblar: 1. Bayram; 2. topshirilgan; 3. Chiqillash.
Pi tarixi shundan boshlanadi qadimgi Misr va barcha matematikaning rivojlanishi bilan birga boradi. Biz bu qadriyatni maktab devorlari ichida birinchi marta uchratamiz.
Pi soni, ehtimol, cheksiz sonli boshqalarning eng sirlisidir. Unga she'rlar bag'ishlanadi, rassomlar uni tasvirlaydilar, hatto u haqida film ham suratga olingan. Maqolamizda biz rivojlanish va hisoblash tarixini, shuningdek, Pi konstantasini hayotimizda qo'llash sohalarini ko'rib chiqamiz.
Pi - aylana aylanasining diametrining uzunligiga nisbatiga teng bo'lgan matematik doimiydir. Dastlab u Lyudolf raqami deb atalgan va uni 1706 yilda ingliz matematigi Jons tomonidan Pi harfi bilan belgilash taklif qilingan. 1737 yilda Leonhard Euler ishidan so'ng, bu belgi umumiy qabul qilindi.
Pi soni irratsionaldir, ya'ni uning qiymatini m/n kasr sifatida aniq ifodalab bo'lmaydi, bu erda m va n butun sonlardir. Buni birinchi marta 1761 yilda Iogann Lambert isbotlagan.
Pi sonining rivojlanish tarixi allaqachon 4000 yilni tashkil etgan. Hatto qadimgi Misr va Bobil matematiklari ham aylananing diametrga nisbati har qanday doira uchun bir xil ekanligini va uning qiymati uchdan bir oz ko'proq ekanligini bilishgan.
Arximed Pi ni hisoblashning matematik usulini taklif qildi, u aylana ichiga chizdi va uning atrofidagi muntazam ko'pburchaklarni tasvirlab berdi. Uning hisob-kitoblariga ko'ra, Pi taxminan 22/7 ≈ 3,142857142857143 ga teng edi.
2-asrda Chjan Xen pi uchun ikkita qiymatni taklif qildi: ≈ 3,1724 va ≈ 3,1622.
Hindistonlik matematiklar Aryabhata va Bxaskara 3,1416 ning taxminiy qiymatini topdilar.
900 yil davomida pi ning eng aniq yaqinlashuvi 480-yillarda Xitoy matematigi Zu Chongji tomonidan hisob-kitob qilingan. U Pi ≈ 355/113 degan xulosaga keldi va 3,1415926 ekanligini ko'rsatdi.< Пи < 3,1415927.
2-ming yillikka qadar Pi ning 10 tadan koʻp boʻlmagan soni hisoblanardi. Faqatgina matematik tahlilning rivojlanishi va ayniqsa qatorlarning ochilishi bilan doimiyni hisoblashda keyingi katta yutuqlarga erishildi.
1400-yillarda Madhava Pi=3,14159265359 ni hisoblay oldi. Uning rekordini fors matematigi Al-Kashi 1424 yilda yangilagan. U o'zining "Aylana haqidagi risola" asarida Pi ning 17 ta raqamini keltirgan, ulardan 16 tasi to'g'ri bo'lgan.
Gollandiyalik matematik Lyudolf van Zeulen o'z hisob-kitoblarida 20 raqamga yetib, buning uchun hayotining 10 yilini berdi. Uning o'limidan so'ng uning qaydlarida pi ning yana 15 ta raqami topilgan. U bu figuralar uning qabr toshiga o‘yib yozilganligini vasiyat qilgan.
Kompyuterlarning paydo bo'lishi bilan bugungi kunda Pi soni bir necha trillion raqamlarga ega va bu chegara emas. Ammo, "Sinf uchun fraktallar" da ta'kidlanganidek, pi ning barcha ahamiyatiga qaramay, "ilmiy hisob-kitoblarda yigirmata kasrdan ko'proq narsani talab qiladigan maydonlarni topish qiyin".
Bizning hayotimizda Pi soni ko'plab ilmiy sohalarda qo'llaniladi. Fizika, elektronika, ehtimollar nazariyasi, kimyo, qurilish, navigatsiya, farmakologiya - bu sirli raqamsiz tasavvur qilib bo'lmaydigan ba'zilari.
O'zingiz bilishni va ko'proq narsani qilishni xohlaysizmi?
Biz sizga quyidagi yo'nalishlarda treningni taklif etamiz: kompyuterlar, dasturlar, ma'muriyat, serverlar, tarmoqlar, sayt qurish, SEO va boshqalar. Tafsilotlarni hozir bilib oling!
Calculator888.ru saytiga ko'ra - Pi raqami - ma'nosi, tarixi, uni kim ixtiro qilgan.
Yuklanmoqda...